Bảng tổng hợp kiến thức cần trhiết phần hình học

GV : Phạm Thanh Bình 1 Web site :

 Hình Học Phẳng 
 Diện tích tam giác
ABC

.
1.Vectơ
1 1 1
. . .
2 2 2
a b c
S a h b h c h
  
 Quy tắc 3 điểm.
, ,
A B C
là 3 điểm tùy ý
AB BC AC
  
  


1 1 1
. . .
2 2 2
a b c
S a h b h c h
  

 Quy tắc hình bình hành.

ABCD
là hình bìnhhành
AB AD AC
  
  


   
. .
.
4
a b c
S p p a p b p c p r
R
     
Trong đó :
,
R r
là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp.

p
là nửa chu vi tam giác
2
a b c
p
 

6. Đường thẳng
 Điều kiện để hai vectơ cùng phương.

a

cùng phương với


0
b b

 



.
a k b k R
  
 



Nếu
0
k

thì
a

và
b

cùng hướng .


Nếu
0
k

thì
a

và
b

ngược hướng .
Ứng dụng: Ba điểm
, ,
A B C
thẳng hàng
.
AB k AC
 
 

 Phương trình tổng quát :
0
ax by c
  


2 2
0

a b
 

2. Trung Điểm Và Trọng Tâm.
 Phương trình tham số .

I
là trung điểm đoạn
AB
2. ,
MA MB MI M
   
  


G
là trọng tâm
ABC


0
GA GB GC
   
   



Tính chất : Với M tùy ý t/c :
3.
MA MB MC MG

  
   

Đường thẳng đi qua


0 0
;
M x y
vá nhận


;
u a b

làm vectơ
chỉ phương có p/t tham số là :
 
0
0
.
.
x x a t
t R
y y b t

 






 



3. Tích vô hướng của hai vectơ
,
a b
 
:
 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Là một số xác định bởi :


. . .cos ;
a b a b a b

     

1 1 1 1
: 0
a x b y c
   
;


2 2 2 2 2 2 2
: 0 0
a x b y c a b c

    

4. Biểu thức tọa độ . Với


1 2
;
a a a

và


1 2
;
b b b

ta có :

1 1 2 2
. . .
a b a b a b
 
 
; 
2 2
1 2
a a a
 





1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
. .
.
cos ;

a b a b
a b
a b
a a b b
a b

 
 
 
 
 


1

cắt
2

1 1
2 2

a b
a b
 

1

/ /
2


1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
  


1


2



1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
  


1 1 2 2
. 0 . . 0
a b a b a b a b
     
   

 Khoảng cách giữa hai điểm
,
A B
:

   
2 2
B A B A
AB AB x x y y
    


 Khoảng cách từ điểm


;
M M
M x y
đến đường thẳng
: 0
ax by c
   
là :

 
2 2
. .
;
M M
a x b y c
d M
a b
 
 


7. Đường tròn.
 Tọa độ tring điểm
I
của
AB
: ;
2 2
A B A B
x x y y
I
 
 







 

 Phương trình đường tròn tâm


;
I a b
bán kính
R
:
 Tọa độ trọng tâm
G
của
ABC

:





2 2
2
x a y b R
   

 Định lý .
;
3 3
A B C A B C

x x x y y y
G
 
   






 

5. Hệ thức lượng trong tam giác .
 Định lý cosin .
P/trình :
2 2
2 2 0
x y ax by c
    

với
2 2
a b c
 
là phương trình




2 2 2

2 .cos
a b c bc A
  
đường tròn tâm


;
I a b
bán kính
2 2
R a b c
  




2 2 2
2 .cos
b a c ac B
  

8. Elíp



2 2 2
2 .cos
c a b ab C
  

 Định lý sin.
 Phương trình chính tắc :

2 2
2 2
1
x y
a b
 



0
a b
 


2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   (
R
là bán kính đg tròn ng/t )

2 2 2
c a b
 

 Công thức độ dài đường trung tuyến.
 Hai tiêu điểm:




1 2
;0 ; ;0
F c F c




2 2 2
2
2 4

 
a
b c a
m



Tâm sai :
1
c
e
a

 
;
O
là tâm đối xứng
 Trục lớn
1 2
2
A A a

; Trục bé :
1 2
2
B B b



2 2 2
2
2 4

 
b
a c b
m


2 2 2
2
2 4


 
c
a b c
m



Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elíp :

1
. .
M M
c
MF a e x a x
a
    ;
2
.
M
MF a e x
 


GV : Phm Thanh Bỡnh 2 Web site :

Hỡnh Hc Khụng Gian 5. Th tớch khi a din
1.Vect
Khi chúp Khi lng tr
Quy tc hỡnh hp
ABCD.ABCD l hỡnh hp

' '
AB AD AA AC



iu kin ng phng ca 3 vect

Cho 3 vect
, ,
a b c

vi
,
b c

khụng cựng phng. Khi ú :

.

h SH

l chiu
cao.

.
B
l din
tớch ỏy

.
'

h C H

l chiu
cao.

.
B
l din
tớch ỏy



, ,
a b c

ng phng
, : . .
m n R a m b n c



2. Quan h vuụng gúc.
1 1
. .
3 3

ABCD

V B h S SH

. . '

ABCD
V B h S C H

Chng minh hai ng thng vuụng gúc Khi nún Khi tr

AB
BC
AC













/ / ( )
( )
a P
a b
b P

S
O
M
l

.
l SM

l
ng sinh.
.
R OM

l
bỏn kớnh ỏy
.
h SO

lỏ

ng cao.
O'
O
M
l
M'
h

.
'
l MM

l
ng sinh.
.
R OM

l
bỏn kớnh ỏy
.
'
h OO

lỏ
ng cao.

( )
( )
a P
a b

b P












Chng minh ng vuụng gúc vi mt
xq
S Rl


;
2
1
.
3
V R h



2 .
xq
S R l

;
2
.
V R h


Phng Phỏp Ta
1. H ta trong khụng gian.











,
,
,
a b a c
b c caột nhau
b c P

( )
a P

c
a
b
P










( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q b a P
a Q a b


Q
P
b
a


H gm ba trc

, ,
Ox Oy Oz
ụi mt
vuụng gúc vi cỏc vect n v tng
ng l
, ,

i j k
c gi l h trc ta
vuụng gúc trong khụng gian Oxyz

im O c gi l gc ta .

Chng minh hai mt phng vuụng gúc
2. Ta ca vect v ca im.



; ;


u x y z u xi y j zk


( )
( ) ( )
( )
a
a

a




; ;


M x y z OM xi y j zk

x : honh
y : tung
z : cao
3. Khong cỏch
Khong cỏch t im
M
n ng thng

M l trung im AB ; ;
2 2 2





A B A B A B
x x y y z z
M



;
MH taùi H
d M MH

Dựng MH



:
d
(
M
,

) =
MH

M
H

G l trng tõm tam giỏc ABC


; ;
3 3 3





A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
Khong cỏch t im
M
n ng thng


mp


G l trng tõm t din ABCD


; ;
4 4 4

A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
G




;




MH taùi H
d M MH

Dựng
:
MH

(

)
,
H thuộc
(

)

ta có
:

M
H






; ; ; ; ;
A A A B B B
A x y z B x y z


; ;
B A B A B A
AB x x y y z z



4. Gúc 3. Hai vect cựng phng v hai vect bng nhau
Gúc ga ng thng a v mp()
Cho hai vect :


1 1 1
; ;
u x y z

v


2 2 2
; ;
v x y z

. Khi ú:
L gúc gia a
v hỡnh chiu
a ca nú trờn
mp() .





,
A a a M
AH taùi H

Goực

( ;( ))
a

=

AMH

Gúc gia hai mt phng () v ()
Hai vt
và
u v

cựng phng
:



k u kv




1 1 1

2 2 2
2 2 2
0
x y z
x y x
x y z



1 2
1 2
1 2
x x
u v y y
z z










4. Tớch vụ hng v ng dng
Bng gúc gia hai ng thng a v b
ln lt nm trong hai mt phng v
cựng vuụng gúc vi giao tuyn

ca
chỳng tai mt im.




1 2 1 2 1 2
. . . ,

os
u v u v c u v x x y y z z


GV : Phạm Thanh Bình 3 Web site :

2
2 2 2
1 1 1
   
 
u u x y z


   
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos , , 0
.
x x y y z z

u v u v
x y z x y z
 
 
   
    

 Mặt phẳng đi qua điểm


0 0 0
; ;
M x y x
và nhận



; ;

n A B C
làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng
quát là :






0 0 0
0

     
A x x B y y C z z
.

1 2 1 2 1 2
. 0 0
u v u v x x y y z z
      
   

5. Tích có hướng của hai vectơ
 Tích có hướng của hai vectơ
 
vµ
u v
là một véctơ ,
 Nếu hai vectơ
u

và
v

không cùng phương và giá của
chúng song song hoặc nằm trên



thì vectơ

,

 

 
  
n u v
là một vectơ pháp tuyến của



.


Phương pháp viết phương trình mặt phẳng




kí hiệu là
,
 
 
 
u v
, được xác định bởi :
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y
u v
y z z x x y

 
 

 
 
 
 
 



, 0
u v
 
 
 
  
u

và
v

cùng phương.

Tìm một điểm


0 0 0 0
; ;
M x y z

thuộc mp



.

Tìm một VTPT


; ;
n A B C

của mặt phẳng



.

Khi đó, phương trình mặt phẳng là:







0 0 0
0
A x x B y y C z z
     

9. Đường thẳng

,
u v u
 

 
  
;
,
u v v
 

 
  



, . .sin ;
u v u v u v
 

 
     


Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

,

u v
 
,
w

đồng phẳng
, . 0
u v w
 
 
 
  
.
6. Ứng dụng tích có hướng tính diện tích và thể tích.
Véctơ
0

 
u
được gọi là vectơ chỉ phương của đường
thẳng
d
nếu giá của

u
song song hoặc trùng với
d
.
 Diện tích tam giác ABC


Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng.
1
,
2
 

 
 
ABC
S AB AC


Đường thẳng d qua


0 0 0
; ;
M x y z
và có vectơ chỉ
phương


; ;

u a b c
có :
 Thể tích tứ diện:
1
, .
6

 

 
  
ABCD
V AB AC AD
.
 Diện tích hình bình hành ABCD
 Phương trình tham số là :
0
0
0
 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
.
,
 

 
 
ABCD

S AB AD


 Phương trình chính tắc là :
0 0 0
x x y y z z
a b c
  
 

với điều kiện
0

abc
. (Nếu
0
abc

thỉ d không có PTCT)

 Thể tích khối hộp:
. ' ' ' '
, .
 

 
  
ABCD A B C D
V AB AC AD
.

10. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
7. Mặt cầu.
 Mặt cầu tâm


; ;
I a b c
, bán kính
R

có phương trình là :
     
2 2 2
2
     
x a y b z c R

P
I
M
R

Cho mặt phẳng


: 0

   
Ax By Cz D
có VTPT



; ;


n A B C
, đương thẳng
0
0
0
:
 


 


 

x x at
d y y bt
z z ct
đi qua


0 0 0 0
; ;
M x y z
và có véctơ chỉ phương là



; ;


a a b c
.
 Phương trình :
2 2 2
2 2 2 0
      
x y z ax by cz d
với
2 2 2
0
a b c d
   
là phương trình của mặt cầu có
tâm


; ;
  
I a b c
và bán kính
2 2 2
R a b c d
   
.

Điều kiện để mặt phẳng



P
tiếp xúc mặt cầu tâm
I

bán kính
R
là :




;
d I P R


8. Mặt Phẳng

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
 Xét phương trình ( ẩn là t):







0 0 0
. . . 0

      
A x a t B y b t C z c t D
(1).




 
d Phương trình (1) có vô số nghiệm.



/ /


d
Phương trình (1) vô nghiệm.

d
cắt




Phương trình (1) có đúng một nghiệm



,


 
 
d n a
cùng phương .
Véctơ
0

 
n được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng



nếu giá của

n
vuông góc với mp




11. Khoảng Cách

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng :

0
   
Ax By Cz D ( với
2 2 2
0

  
A B C )

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :

 
1 0
x y z
abc
a b c
   


Tính chất.

 Mặt phẳng


: 0
P Ax By Cz D
   
có một vectơ
pháp tuyến là


; ;


n A B C
.

 Khoảng cách giữa hai điểm.
Cho hai điẻm


; ;
A A A
A x y z
và


; ;
B B B
B x y z
. Khi đó:

     
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z
      

.
 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho


: 0

   
Ax By Cz D và điểm



0 0 0
; ;
M x y z
.
Khi đó:
 
 
0 0 0
2 2 2
,

  

 
Ax By Cz D
d M
A B C
.
GV : Phm Thanh Bỡnh 4 Web site :

Khong cỏch t M n ng thng


Nu ng thng

i qua
0
M

v cú VTCP l

u
.
Thỡ

0
;
;
M M u
d M
u







Khong cỏch gia 2 ng thngchộo nhau
1

v
2

' ' ' '

A B C D
A B C D

.
. '










n k n
D k D






/ /

' ' ' '

A B C D
A B C D

.
. '










n k n
D k D





ct

: : ': ': '

A B C A B C

.



n k n









' ' ' 0

AA BB CC



n n

Nu


mp

cha
1

v song song vi
2


Thỡ






1 2
; ;d d M


,vi
2
M




12. Gúc Phn kin thc t b sung
Gúc

gia ng d thng v mt phng

Cho
d
cú VTCP


; ;
u a b c

v



cú VTPT


; ;
n A B C

.

Gi

l gúc gia


&

d ,


0
0 90

. Ta cú:

2 2 2 2 2 2
.
sin cos ;

u n
Aa Bb Cc
u n
A B C a b c
u n

Gúc

gia hai mt phng



v



.

Gi s


: 0
Ax By Cz D


;




: ' ' ' ' 0
A x B y C z D

Khi ú ta cú :





2 2 2 2 2 2
' ' '
cos cos ;
. ' ' '






AA BB CC
n n
A B C A B C
.

Gúc

gia hai ng thng
1
d
v

2
d
.


Cho hai ng thng
1 2
,
d d
ln lt cú vect ch phng




1 1 1 1 2 2 2 2
, , & , ,

u a b c u a b c
. Khi ú :




1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos cos ;
.
a a b b c c

u u
a b c a b c







13. V trớ tng i ca hai ng thng
1
d
v
2
d
.




Cho 2 g/thng
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
'
: : '
'

và
x x a t x x a t
d y y b t d y y b t
z z c t z z c t


1
d
cú vect ch phng
1

u
v
2
d
cú vect ch phng
2

u
.




Xột h (I):

1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
'
'
'








x a t x a t
y b t y b t
z c t z c t
( n t v t ).



1
d
v
2
d
ct nhau

H (I) cú ỳng mt nghim

1 2

d d
H (I) cú vụ s nghim.





1 2
/ /

d d












1 2
Heọ I voõ nghieọm
u vaứ u cuứng phửụng

1
d
v
2
d
chộo nhau













1 2
Heọ I voõ nghieọm
u vaứ u khoõng cuứng phửụng


14. V trớ tng i ca hai mt phng.

Cho


: 0


Ax By Cz D cú VTPT


; ;



n A B C




: ' ' ' ' 0


A x B y C z D
cú VTPT


'; '; '

n A B C