Chủ đề số phức

Phạm Thanh Bình 1 Web site
SỐ PHỨC

Vấn đề 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC

I). Kiến thức cần nhớ:
1. Khái niệm.
 Số phức có dạng :
z a bi
 



,
a b R



a
là phần thực ,
b
là phần ảo,
i
là đơn vị ảo,
2
1
i
 
.

0

a

thì
z bi

được gọi là số thuần ảo .

0
b

thì
z a

là số thực .
 Số phức liên hợp của
z
là :
z a bi
 

chú ý: ' ' ; . ' . ' ;
'
'
z z
z z z z z z z z
z
z
 
    
 

 

 Hai số phức bằng nhau :
'
. ' '.
'
a a
a b i a b i
b b


   





 Mỗi số phức
z a bi
 
được biểu diễn bởi một điểm M(a;b)
trong mặt phẳng Oxy, Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo.

 Môđun của số phức
z
là :
2 2
z OM a b
  


chú ý: . ' . ' ;
' '
z
z
z z z z
z z
 
2. Các phép toán số phức:
Cho
, ' .
z a bi z c d i
   
. Khi đó ta có:

' ( ) ( )
z z a c b d i
    


' ( ) ( )
z z a c b d i
    


. ' ( . . ) ( . . )
z z a c b d a d c b i
   

Đặc biệt : 

2
2 2
.
z z a b z
  



2 2 2
2 .
z a b ab i
  



2 2
. ( . )( . )
' .
z a b i a b i c d i
z c d i c d
  
 
 
(nhân tử và mẫu cho liên hợp của mẫu)

3. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Xác định phần thực ,phần ảo và tìm môđun của số phức z trong các trường hợp sau:
a). (1 3 )(2 )
1

i
z i i
i
   


giải:
Phạm Thanh Bình 2 Web site
a). Ta có :
(1 ) 1 9 11
[1.2 3.( 1)] [1.( 1) 2.3] 5 5
2 2 2 2 2
i i i
z i i i

            
Vậy phần thực của z là
9
2
,phần ảo của z là
11
2
,mođun
2 2
9 11 202
( ) ( )
2 2 2
z   
b).
3 4

z i
 
.
c).
(1 3 ) ( 2 )
z i i
    

d).
(2 3 )(1 2 )
z i i
  
.
e).
1 3.
1 3.
i
z
i



.

Ví dụ 2: a).Cho 2 số phức
1 2
1 2 , 2 3
z i z i
   
.

Xác định phần thực ,phần ảo của số phức
1 2
2
z z


b).Cho hai số phức
1 2
2 5 , 3 4
z i z i
   
.
Xác định phần thực và phần ảo của số phức
1 2
.
z z

(Tốt nghiệp THPT năm 2010)
Ví dụ 3: Tìm phần ảo của số phức z biết :




2
2 1 2
z i i
   .
(Đại học khối A năm 2010)
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a).





7 4 3 2 3
z i i
   
. b).




5 2 . 3 4 1 3
i z i i
    .
c).


2 3. . 1 3 .
i i z i z
    d).


2 3 . 2 3 2 2
i z i i
   
e).







3 2 . 1 1 3 . 5 2.
i z i i z i
     
.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n ta có :
4 4 1 4 2 4 3
1; ; 1 ;
n n n n
i i i i i i
  
     

Ví dụ 6. Tính :
a).




2 2
1 3. 1 3.
P i i
    ( Tốt nghiệp THPT năm 2008 )
b).


9
1

i

c).




8 2
1 3 4
i i
   d).


3
2 3
i
 .
ví dụ 7: Tìm số phức z biết :
a).
3 2
Z Z i
   .
b).
2
z  và
2
z
là số thuần ảo . ( Đề đại học khối D năm 2010 )
c).
2 3

Z Z i
  
. d).
5
z

và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó .
e).


2 10
z i   và
. 25
z z

. (Đề đại học khối B năm 2009 )
e).
2
0
Z Z
 
. f).
2 3
2
z i z i
z z i
   


  




Phạm Thanh Bình 3 Web site
Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn mỗi
điều kiện sau:
a).
2 1
z i
  

b).


1 .
z i i z
   (Đề đại học khối B năm 2010 )
c).
1
z i
z i



.
d).


3 4. 2
z i

  
(Đề đại học khối D năm 2009 )
d).
2
z

và phần thực của z không vượt quá phần ảo của nó .
e).
2 3 2
z z i
   

II.Bài tập vận dụng :
1). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện






2
2 3 4 1 3
i z i z i
      .
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
(Cao đẳng khối A năm 2010)
2). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện







2
1 2 8 1 2
i i z i i z
      .
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z
(Cao đẳng khối A năm 2009)
1). Xác định phần thực ,phần ảo và tìm mođun của số phức z trong mỗi trường hợp sau:
a).
1 3
(1 )(2 )
i
z
i i


 
b).
7
(1 )
z i
 
c).
46 2 2 1 2
2
1 2 2 2
i i
z

i i
 
  
 

2). Viết các số phức sau dưới dạng đại số:
a).
1
(1 2 )(3 )
i i
 
b).
1 2
1 2
i
i



c).




   
2 3
3 2
1 2 1
3 2 2
i i

i i
  
  
d).
5 2
1
i
i



3). Cho hai số phức
1 2
(2 3) (3 1) , (2 1) (3 7)
z m n i z n m i
       
.Với m,n thuộc R.Tìm m ,n
biết
a).
1 2
z z

b).
1 2
z z
 

4). Tìm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a).
2 1 3

1 2
i i
z
i i
  

 
b).
 
1
2 3 0
2
i z i iz
i
 
 
    
 
 
 

c).
2 2 4
z z i
  
d).
3
z z


5). Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện
sau:
a).
3 4
z z
  
b).
1 2
z z i
   

c).
2 1 2 3
z i
   
d).




2
z i z
 
là số thực tùy ý
Phạm Thanh Bình 4 Web site
e)
2 2
z i z z i
   
f)



2
2
4
z z
 
. g).
z i
z i


là số thực dương .
6). Tìm số phức z biết
a).
2 5
z  và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó
b).z thỏa mãn hệ
2
1
z i z
z i z

 


  



7). Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
1
1
z
z i



và
3
1
z i
z i



.

Vấn đề 2 :CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC.
I).Kiến thức cần nhớ:
1).Định nghĩa căn bậc hai của số phức
 Số phức
w x yi
 

( , )
x y R

là căn bậc hai của số phức

z a bi
 

2 2
2
2
x y a
w z
xy b

 
  



.
 Số
0
có đúng một căn bậc hai là :
0
.
 Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
 Số thực
0
a

có hai căn bậc hai là :
a
 .
 Số thực

0
a

có hai căn bậc hai là :
i a
 

2). Phương trình bậc hai trên tập số phức .
 Phương trình bậc hai có dạng :
2
0 , ( 0)
Az Bz C A
   
(1)
 Cách giải:
 Tính
2
4
B AC
  
 Nếu
0
 
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :

1 2
,
2 2
B B
z z

A A
 
   
  (

là một căn bậc hai của

)
 Nếu
0
 
thì phương trình (1) có nghiệm kép:
1 2
2
B
z z
A
  
 Định lí Viet vẫn đúng đối với phương trình bậc hai hệ số phức.

1 2
B
z z
A
  
;
1 2
.
C
z z

A



3). Các ví dụ .
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau.
a) 8 b). 5 + 12i
Giải:
Phạm Thanh Bình 5 Web site
a). Ta có: -8 =


2
2
8 8
i i .Vậy -8 có hai căn bậc hai là
8
i

b). Gọi z = x + yi là căn bậc hai của 5 + 12i.
Ta có:
 
2 2
2
5 (1)
5 12
2 12 (2)
x y
x yi i
xy


 
   




Từ pt (2) suy ra y theo x thay vào (1) ta được
3
x
 

Với x = 3 ta có :y = 2. Do đó : z = 3+2i
Với x = -3 ta có :y = -2. Do đó :z = -3 – 2i
Vậy số phức 5 + 12i có 2 căn bậc hai là 3 + 2i và -3 – 2i.
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau.
a).
2
i

b).
1 4 3.
i
 
c).
1 2 6.
i
  d).
 
9 13

1 3
10 10
i i
 
 
 
 
.
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a).
2
2(1 2 ) 3 6 0
z i z i
    

Giải:
a). Ta có:




2 2
' 1 2 1.( 3 6 ) 2 1
i i i i
         

Gọi

là một căn bậc hai của
'


.Chọn
1
i

 
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt :
1
(1 2 ) (1 )
2
1
i i
z i
  
  
,




2
1 2 1
3
1
i i
z i
  
 

b).
2
7 0
z z
  
.
c).
2
8 4 1 0
z z
  
( Đề tốt nghiệp THPT 2009 )
d).


2
1 2(1 ) 1 0
i z i z i
     

e).
2
2 . 1 0
z i z
  
( Đề tốt nghiệp THPT 2009 )
f).


2

2 3 1 2 0
z i z i
    
.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a).


2
1 6 3 0
z i z i
    
(Cao đẳng khối A năm 2010)
b).
4 3 7
2
z i
z i
z i
 
 

(Cao đẳng khối A năm 2009)
c).


4 2
2 2 0
z i z i
   

d).




2 3
1 0
z z i
  
.
Ví dụ 5: Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình :
2
2 10 0
z z
  
.
Tính giá trị của bểu thức
2 2
1 2
A z z
  .
( Đề đại học khối A năm 2009 )
Ví dụ 6: Tìm các số thực
,

b c
để z = 2+ i là một nghiệm của phương trình
2
. 0
i z bz c
  
.
II.Bài tập vận dụng:
Phạm Thanh Bình 6 Web site
1).Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a) 5 b).
2
i

c).
4 6 5
i
 d).8 + 6i
2).Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a).




4 3 2 1 3
z i i i
    
b).
4 3
3 2

i
z
i




3). Giải các phương trình sau trên C:
a).
2
2 2
x x
 
(TN 2008 L2) b).
2
4 7 0
x x
  
(TN_THPT 2007)
c).
2
1 0
z z
  
d).
2
2 3 5 0
z z
  

e).
4 2
5 4 0
z z
  
f).
4
1 0
z
 

4). Giải các phương trình sau trên C:
a).
2
2 2 1 0
z z i
   
b).




2
1 5 3 10 0
i z i z
    

c).



2
2 3 5 0
z i z i
    
d).
4 2
3 4 0
z z
  

5). Giải các phương trình sau trên C:
a).






2 3
1 0
z i z z i
   
b).




2
2 2
4 12 0

z z z z
    

6). Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình
2
(3 2 ) 5 5 0
z i z i
    

Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biể thức sau:
a).
2 2
1 2
z z

b).
3 3
1 2
z z


c).
1 2
2 1
z z
z z


d).
2 2
1 2 1 2
z z z z

7).Tìm
,
b c R

để z = 1+ i là một nghiệm của phương trình
2
0
z bz c
  
.

Phạm Thanh Bình 7 Web site
Vấn đề 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG.
I).Kiến thức cần nhớ:
1). Dạng lượng giác của số phức .
Cho số phức


0
z a bi z
  
.
Dạng lượng giác của số phức z là:
(cos sin )

z r i
 
 

Trong đó : 
 
2 2
0
r z a b r
   



là số thực sao cho cos ,sin
a b
r r
 
 



gọi là acgumen của
z
,


,
Ox OM



.
Chú ý: Nếu

là Acgumen của z thì :



là Acgumen của
z
và
1
z


 

là Acgumen của
z

.

2). Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho
.(cos sin ) , .(cos ' sin ')
z r i z r i
   
   


. ' . '[cos( ') .sin( ')]

z z r r i
   
   


 
cos( ') .sin( ')
' '
z r
i
z r
   
   
3). Công thức Moa-vrơ :
Với mọi số nguyên dương n ta có :


(cos sin ) (cos sin )
n
n n
z r i r n i n
   
   
4). Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức
(cos sin )
z r i
 
 
luôn có hai căn bậc hai là

. cos .sin
2 2
r i
 
 
 
 
 
.

5). Các ví dụ .
Ví dụ 1: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a).
1 3
z i
 
Giải :
a).Ta có :
2
2
1 3 2
r
  
;

thỏa
1 3
cos ; sin
2 2
 

  .Ta chọn :
3



.
Vậy
2 cos sin
3 3
z i
 
 
 
 
 

b).
4.
z i
 
. c).
3
z

d).


sin cos
z i
 

   e).
3
1
i
z
i




Ví dụ 2: Viết dưới dạng lượng giác số phức
Phạm Thanh Bình 8 Web site
a).


4
3
1 3
( 3 )
i
z
i




Giải:
Ta có: 1 3 2 cos sin
3 3
i i

 
 
  
 
 

 
4
4
4 4
1 3 2 cos sin 16 cos sin
3 3 3 3
i i i
   
 
   
     
   
 
   
 

3 2 cos sin
6 6
i i
 
 
 
   
 

 

3
3 3
( 3 ) 8. cos sin
6 6
i i
 
 
 
   
  
   
 
   
 

Do đó:
4 3 4 3 11 11
2 cos sin 2 cos sin
3 6 3 6 6 6
z i i
     
 
     
     
     
 
     
 

b).
1
(2 3 2 )
z
i


c).


 
7
8
1 3 . 1
z i i
  

d). 1 sin .cos 0
2
z i

  
 
    
 
 

Ví dụ 3: Cho số phức
z

thỏa mãn


3
1 3.
1
i
z
i



.Tìm Môđun của số phức
.
z i z

.
( Đề đại học khối A 2010 )
Ví dụ 4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn
điều kiện:
a). Một acgumen của
1 2
z i
 
bằng
6

.

b). Một Acgumen của
z i

bằng một Acgumen của
1
z

.
II.Bài tập vận dụng:
1).Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a).5i b). -7 c). -1 +i
d).
3
i
 
e).
2 5.
i
 f).
4
1 3
i



2).Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác :
a).
1
2 cos sin
6 6

z i
 
 
 
 
 
b).
2
2
2 cos sin
3 3
z i
 
 
  
 
 

c).
3
2 2
3 cos sin
3 3
z i
 
 
   
 
 
d).

2
4
sin 2 sin
2
z i


 
Phạm Thanh Bình 9 Web site
3).Cho các số phức
1 2
1 3 , 3
z i z i
    
.
a).Viết
1 2
,
z z
dưới dạng lượng giác?
b).Tính
8
6
1 1
1 2 1
3 5
2 2 2
1
. ; ; ; ;
z z

z z z
z z z
.

4).Dùng công thức Moa-vrơ tính :
a).


16
1
i
 b).




5 5
1 3 1 3
i i  
c).


 
 
4
5
10
3 2
1
i i

i


d).


 
10
9
1
3
i
i



5).Cho các số phức
1 2
1 ; 3
z i z i
    

a).Tính
1
1 2
2
. ;
z
z z
z

b).Từ kết quả câu a hãy suy ra
13
cos
12

;
7
sin
12


6).Viết dưới dạng đại số các số phức sau:
a).




0 0 0 0
2 cos18 sin18 cos72 sin 72
z i i  

b).


 
0 0
0 0
2 cos45 sin 45
3 cos15 sin15

i
z
i




c).
12
3
1
i
z
i
 
 

 

 

7). a).Chứng minh rằng
30
1
3
i
i

 
 


 
là số ảo
b).Chứng minh rằng
2007
1 3
2 2
i
 


 
 
là số thực
8).Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau:
a)
cos sin
i
 

b)
sin cos
i
 

c)
sin cos
i
 


9).Tìm số phức z sao cho
2
z z
 
và một acgumen của
2
z

bằng một acgumen của
2
z


cộng
2

?
10). a).Tính cos5a và sin5a theo cosa và sina.
b). Tính cos6a và sin6a theo cosa và sina.


Phạm Thanh Bình 10 Web site
MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG.

ĐỀ 1

1) Tìm số phức liên hợp của z = (1 + i)(2 + 3i)
2) Tìm mođun của số phức z =
3 4

2
i
i



3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =


2010
1 i
4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn | z – i + 3| = 1
5) Tìm số phức z, biết
2
z
= 1 + i
3

6) Giải các phương trình:
a)
2 3 4
z z i
  
b)
2
5 0
z z
  
c)
4 3 2

6 9 100 0
z z z
   



ĐỀ 2

1) Tìm số phức liên hợp của z = (2 - i)(i + 3).
2) Tìm mođun của số phức z biết
1
1 2
i
z
i




3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =


2010
1 i
4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn | z + 2i|
2

.
5) Tìm số phức z, biết
2

z
= - 1 + i
3
.
6) Giải các phương trình:
a)
2 3 4
z z i
  
b)
2
5 0
z z
  
c)
4 3 2
8 16 9 0
z z z
   



ĐỀ 3

1) Tìm số phức liên hợp của z = (3i+2)(i + 1).
2) Tìm mođun của số phức z =
4 3
2
i
i




3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =


2012
1i  .
4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn
2
z z i
  
.
5) Tìm số phức z, biết
2
z
= -i
3
-1.
6) Giải các phương trình:
a)
2 3 4
z z i
  
b)
2
2 5 0
z z
  
c)

4 3 2
4 4 25 0
z z z
   
.
Phạm Thanh Bình 11 Web site

MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN

1). Tìm phần thực phần áo của số phức
z
biết :
a).
2. 6 5.
z z i
  
. b).


. 1 2. 0
z i z
  
.
c).
3 2
3
1
z i
z i
i

 
 

d).


 
3
2
1 3.
1
i
z
i




2). Giải phương trình sau trên tập số phức :
a).
2
2 6 3 0
z z
  
. (cơ bản )
b).
3 2
1 0
z z z
   

(nâng cao )
c).


2 3 0
z i z i
    
(nâng cao )

3). Tìm số phức z biết :
a).
2
z i z
  
và phần thực của z gấp ba lần phần ảo của nó . (cơ bản )
b).
3
2 1
z i z
z i z
   


  


(nâng cao )

4). Tìm các phương trình bậc hai hệ số thực có một trong các nghiệm sau :
a).

3
i

(cơ bản )
b).
5
2
i
i


(nâng cao )

5). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn mỗi điều
kiện sau:
a).
2 3
z
 

b).
1
z
z

là một số thực .
c).
2
2 2
1

z i z z z
    

d). Một acgumen của
2
z i

bằng
4

. ( nâng cao )
6). Tìm căn bậc hai của số phức z biết


2
z z i
  
. ( Nâng cao )

7). Giải phương trình các sau trên tập số phức :
a).


3 2 . 2
i z i i z
   
(cơ bản )
b).
  
1

2 3 2 2i i z
z
   
(nâng cao )