các bài toán góc và khoảng cách

CÁC BÀI TOÁN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
LÝ THUYẾT VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
I. CÁC BÀI TOÁN GÓC:
1. Góc giữa 2 vecto:
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ;a a a a b b b b= =
uur uur
,gọi
( )
;a b
ϕ
=
uur uur

thì góc
ϕ
được xác định bởi công thức:
.
os ; (0 )
.
a b
c
a b
ϕ ϕ π
= ≤ ≤
uur uur
uur uur
* Chú ý:
+
và a b

uur uur
cùng phương
0 hay
ϕ ϕ π
⇒ = =
+
2
a b
π
ϕ
⊥ ⇔ =
uur uur
.
2. Góc giữa 2 đt: cho đt d có vtcp là
a
uur
, đt d’
có vtcp là
b
uur
. Gọi
ϕ
là góc giữa 2 đt, thì góc
ϕ

được xác định bởi công thức:
.
os ; (0 )
2
.

a b
c
a b
π
ϕ ϕ
= ≤ ≤
uur uur
uur uur
* Chú ý:
'
0; '
'
2
d d
d d
d d
π
ϕ ϕ

+ ⇒ = + ⊥ ⇒ =

≡

P
3. Góc giữa 2 mp: cho mp
α
có pvt là
n
α
uur

, mp
β
có pvt là
n
β
uur
. Gọi
ϕ
là góc giữa 2mp, thì
góc
ϕ
được xác định bởi công thức:
.
os ; (0 )
2
.
n n
c
n n
α β
α β
π
ϕ ϕ
= ≤ ≤
uur uur
uur uur
* Chú ý:
0;
2
α β

π
ϕ α β ϕ
α β

+ ⇒ = + ⊥ ⇒ =

≡

P
4. Góc giữa đt và mp: cho mp
α
có pvt là
n
uur
,
đt d có vtcp là
a
uur
. Gọi
ϕ
là góc giữa
α
và d ,
thì góc
ϕ
được xác định bởi công thức:
.
sin ; (0 )
2
.

n a
n a
π
ϕ ϕ
= ≤ ≤
uur uur
uur uur
* Chú ý:
0;
2
d
d
d
α
π
ϕ α ϕ
α

+ ⇒ = + ⊥ ⇒ =

⊂

P
Công thức
1 1 2 2 3 3
. . . .a b a b a b a b
= + +
uur uur
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3

;a a a a b b b b
= + + = + +
uur uur
VD1: cho
( ) ( )
2;3;1 ; 1;2; 3a b= − = −
uur uur
( ) ( )
1;2; 4 ; 0; 2;1c d= − = −
uur uur
. Tính góc giữa các
vecto
và a b
uur uur
;
và a c
uur uur
;
và a d
uur uur
;
và c b
uur uur
;
và d b
uur uur
;
và c d
uur uur
VD2: cho 2 đt d:

1
1 2 2
2 3 ; : 1 2
3 4
x t x t
y t d y t
z t z t
= − = − +
 
 
= + = − +
 
 
= = −
 
.
Tính góc giữa các đt: d và d
1
; d và Ox; d và Oy;
d
1
và Ox
VD3: cho 2 mp
: 2 3 1 0x y z
α
− − + =
;
: 2 4 3 0x y z
β
+ − + =

. Tính góc giữa các mp:
α

và (Oxy);
α
và
β
;
α
và ( Oxz);
β
và ( Oyx).
VD4:cho đt d:
1 2
2 3 ;
x t
y t
z t
= −


= +


=

mp
: 2 4 0x y z
α
+ − =

.
Tính góc giữa đt d và
α
; d và ( Oxy); Ox và
α
;
d và ( Oxz); Oy và
α
.
II. CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH:
1. Khoảng cách giữa 2 điểm:
Cho
( ) ( )
; ; ; ; ;
A A A B B B
A x y z B x y z
thì khoảng cách
giữa 2 điểm A,B được xác định bởi công thức:
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp:
VD5: cho các điểm
( ) ( )
2;3;1 ; 1;2; 3A B− −
;
( ) ( )
1;2; 4 ; 0; 2;1C D− −

.
a.Tính độ dài các đoạn thẳng AB; AC; BC; BD;
CD; OA; OB
b. Tìm
Ox : 2M MA
∈ =
Cho điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và mp
α
có pt:
0Ax By Cz D+ + + =
. Gọi
H hc M MH
α
α
= ⇔ ⊥
, thì đoạn MH đgl khoảng cách từ M đến
α
và:
( )
0 0 0
2 2 2
;
Ax By Cz D
MH d M
A B C
α

+ + +
= =
+ +
* Chú ý:
( ) ( )
( ) ( )
d ; ; ;
; ; ;
d M M
d d M M
α β α β β α
α α α
+ ⇒ = ∀ ∈
+∆ ⇒ ∆ = ∀ ∈∆
P
P
+ Có thể tính khoảng cách từ M đến mp
α
như sau:
- Xác định tọa độ điểm
H hc M
α
=
- Tính độ dài đoạn thẳng MH.
3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đt:
Cho điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và đt

∆
pt:
1 1
1 2
1 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

.
Gọi
H hc M MH
∆
= ⇔ ⊥ ∆
, thì đoạn MH đgl
khoảng cách từ M đến
∆
và :
( )
;
; ;
a MN
MH d M N

a
 
 
= ∆ = ∈∆
uur uuuuur
uur
* Chú ý:
Có thể tính khoảng cách từ M đến đt
∆

như sau:
- Xác định tọa độ điểm
H hc M
∆
=
- Tính độ dài đoạn thẳng MH.
4. Khoảng cách giữa 2 đt:
Cho đt
∆
có vtcp là
a
uur
, đt
1
∆
có vtcp là
b
uur
. Ta
có các trường hợp sau:

+ Nếu
1
và ∆ ∆
cắt nhau
⇒
không xét k/c.
+ Nếu
( )
1 1
; 0d∆ ≡ ∆ ⇒ ∆ ∆ =
( ) ( )
1 1 1
d ; ; ;d M M+ ∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ = ∆ ∀ ∈∆P
+ Nếu
1
và ∆ ∆
chéo nhau thì:
* Cách 1: Tính
( )
1
; ?d ∆ ∆ =
b.1: Viết pt mp
α
chứa
1 1
:
α
∆ ∆P
.
b.2:

( ) ( ) ( )
1
; ; ; ;d d d M M
α α
∆ ∆ = ∆ = ∀ ∈∆
* Cách 2: Dùng công thức
( )
1 1
; .
; ; ;
;
a b MN
d M N
a b
 
 
∆ ∆ = ∈∆ ∈∆
 
 
uur uur uuuuur
uur uur
VD6: Cho
( ) ( )
2; 3;1 ; 1;2; 3A B− − − −
và mp
α
có
pt:
2 4 5 0x y z+ − − =
.

a. Tính: d( A;
α
); d( B;
α
) , d( O;
α
); d( A;
(Oxy)); d( B; (Oxy));
d( A; (Oxz)); d( A; (Oyz));…
b. Tìm M: độ dài MA ngắn nhất
VD7: cho 2 mp có pt
: 2 4 0x y z
α
+ − =
; mp
: 2 4 8 7 0x y z
β
+ − + =
; đt
∆

1 2
2 3
x t
y t
z t
= −


= +



=

. Tính d(
α
;
β
); d(
∆
;
α
).
VD8: cho điểm
( ) ( )
1;2; 4 ; 0; 2;1A B− −
và đt
∆
có
pt:
1 2
2 3
x t
y t
z t
= −


= +



=

. Tính d(A;
∆
),d(B;
∆
),d(O;
∆
).
VD9: cho 2 đt
∆

1 2
2 3
x t
y t
z t
= −


= +


=

; đt
1
∆

1 2
2 3
2
x t
y t
z t
= +


= − +


= −

.
Tính các khoảng cách sau: d(
∆
;
1
∆
), d(
∆
;Ox),
d(
∆
;Oz), d(Oy;
1
∆
).