Chuyên Đề Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng.DOC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (220.2 KB, 24 trang )
B
Chúng ta đã biết hai bất đẵng thức (BĐT) có nhiều ứng dụng đó là BĐT Cô
Sy và BĐT Bunyakovsky.Nội dung của hai BĐT này như sau:
Bất đẵng thức : cho n số thực không âm
!
"
!###!
#Khi đó:
1 2
1 2
+ + +
≥
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
$
"
$####$
#
Bất đẵng thức %&'(& : cho hai bộ số thực (
!
"
!###!
)và )*
!*
"
!###!*
+#
Khi đó : (
*
,
"
*
"
,###,
*
+
"
≤
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
( )( )
* * *+ + + + + +
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
1 2
1 2
* * *
= = =
( *
*
"
###*
≠
-+.
Ta hãy tìm hiểu thêm một BĐT cũng có nhiều ứng dụng trong giải toán đó là
BĐT (.
I- BẤT ĐẴNG THỨC SVAC-SƠ :
Trong chương trình toán phổ thông ta đã biết một số kết quả sau :
Với hai số dương .
!.
"
ta có :
1 2 1 2
1 1 4
. . . .
+ ≥
+
(1) Dấu bằng xãy ra khi và
chỉ khi .
$.
"
.
Với ba số dương .
!.
"
!.
/
ta có :
1 2 3 1 2 3
1 1 1 9
. . . . . .
+ + ≥
+ +
(2) Dấu bằng xãy
ra khi và chỉ khi .
$.
"
$.
/
.
Với số dương .
!.
"
!###!.
ta có :
2
1 2 1 2
1 1 1
. . . . . .
+ + + ≥
+ + +
(3) Dấu
bằng xãy ra khi và chỉ khi .
$.
"
$####.
.
Bất đẵng thức Svac-sơ:
Cho hai dãy số (
!
"
!###!
+ và (*
!*
"
!###!*
+, trong đó :
*
≥
-,
1,2, , ∀ =
. Khi đó :
2
2
1
1
1
( )
*
*
=
=
=
≥
∑
∑
∑
(4)
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2
* * *
= = =
.
%'0102343256758941:5(;<
1
B
BĐT (4) được viết dưới dạng tường minh như sau :
( )
2
2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
* * * * * *
+ + +
+ + + ≥
+ + +
2Áp dụng bất đẵng thức %&'(& cho hai bộ số :
1
*
=
và
{ }
1
*
=
ta có :
( )
2 2
2
1 1 1
. .
* *
* *
= = =
≤
÷ ÷
÷ ÷
∑ ∑ ∑
suy ra :
2
2
1 1 1
.
*
*
= = =
≤
÷
∑ ∑ ∑
⇒
2
2
1
1
1
( )
*
*
=
=
=
≥
∑
∑
∑
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
1 2
1 2
* * *
= = =
.
II-ỨNG DỤNG BẤT ĐẴNG THỨC SVAC-SƠ VÀO GIẢI TOÁN :
Xét một số bài toán điển hình sau :
%'= : Cho .!!> > 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
. >
1
. > >. > .
= + +
+ + +
%? : Áp dụng bất đẵng thức Svac-so cho hai dãy
{ }
; ;. >
và
{ }
2 2 2
2 ; 2 ; 2. > >. > .+ + +
Ta có :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
. >
1
. > >. > .
= + +
+ + +
( ) ( )
( )
2 2
2
2 2 2
1
2 2 2
. > . >
. > . > >.
. >
+ + + +
≥ = =
+ + + + +
+ +
Vậy Min P = 1.
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
2 2 2
.
2 2 2
. >
. >
. > >. > .
= = ⇔ = =
+ + +
Bài toán được giải ngắn gọn.Tuy nhiên trong thực hành bất đẵng thức
Svac-sơ không được áp dụng trực tiếp ,vì vậy học sinh có thể trình bày lời
giải như sau (dựa vào cách chứng minh bất đẵng thưc Svac-so ).
Áp dụng bất đẵng thức Bunyakovsky cho hai bộ số:
%'0102343256758941:5(;<
2
B
2 2 2
; ;
2 2 2
. >
. > >. > .
+ + +
và
{ }
2 2 2
2 ; 2 ; 2. > >. > .+ + +
Ta có :
2
2 2 2
2 2 2
. 2 . 2 . 2
2 2 2
. >
. > >. > .
. > >. > .
÷
+ + + + +
÷
+ + +
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
. 2 2 2
2 2 2
. >
. > >. > .
. > >. > .
≤ + + + + + + +
÷
+ + +
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2 2
1
2 2 2
. >
. >
. > >. > .
. >
+ +
⇔ + + ≥ =
+ + +
+ +
Vậy Min P = 1 .Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi .$$>#
Như vậy từ việc áp dụng bất đẵng thức Svac-sơ học sinh sẻ tìm ra được lời
giải hợp lý hơn cho bài toán .
%'=" : Cho .@>A- thoả mãn điều kiện :
1. . > > >. >.+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
6 6 6
3 3 3 3 3 3
. >
1
. > > .
= + +
+ + +
%? : Áp dụng bất đẵng thức Svac-sơ ta có :
( )
( )
2
3 3 3
6 6 6 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2
2
. >
. > . >
1
. > > .
. >
+ +
+ +
= + + ≥ =
+ + +
+ +
Mặt khác ,theo bất đẵng thức CôSy thì :
3 3
2. . .+ ≥
;
3 3
2 > > >+ ≥
;
3 3
2> . >. >.+ ≥
Suy ra :
3 3 3
1. > . . > > >. >.+ + ≥ + + =
.
Vậy
3 3 3
1
2 2
. >
1
+ +
≥ ≥
Min
1
2
1 =
.Dấu bằng xãy ra :
3
1
1
3
. >
. >
. . > > >. >.
= =
⇔ ⇔ = = =
+ + =
%'=/ : Cho .@@>A- thoả nãm điều kiện .,,>$ .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 4 9
. >
= + +
.
%'0102343256758941:5(;<
3
B
%? : Áp dụng bất đẵng thức Svac-sơ ta có :
( )
2
1 2 3
1 4 9 36
36
1
. > . >
+ +
= + + ≥ = =
+ +
Vậy Min S = 36. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
1
6
1 2 3
1
3
1
1
2
.
. >
. >
>
=
= =
⇔ =
+ + =
=
Trong các bài toán chứng minh BĐT,tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất đôi khi cần
phải biến đổi khéo léo để có thể áp dụng trực tiếp BĐT Svac-sơ.
%'=B : Cho @*@A- thoả mãn điều kiện *$ .
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2
1
* * *
= + + ≥
+ + +
(Đề dự bị IMO năm 1995 ).
%? : Ta có :
( )
2 2
3
1 1
1
1 1
*
*
* *
= =
+
+
+
.
Biến đổi tương tự ta được :
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
*
1
* *
= + +
+ + +
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
2
3
1 1 1
1 1 1
3 3
1 1 1
2 2
2
2
*
*
1
*
*
+ +
+ +
÷
≥ = =
+ +
÷
≥
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : $*$$ .
%'=C : Cho .@@>A- thoả mãn điều kiện .>$ .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
%'0102343256758941:5(;<
4
B
( ) ( ) ( )
2 2 2
.
2 2 2
. > . > > .
1
> > > > . . . .
+ + +
= + +
+ + +
( Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007)
%? : Áp dụng BĐT Côsy ta có :
2 > >+ ≥
;
2> . >.+ ≥
;
2. .+ ≥
.
( )
2 2
2 2
2 . 2 > > . > . . .
. >
+ ≥ = ⇒ + ≥ =
Hoàn toàn tương tự :
( )
2
2 . > + ≥
và
( )
2
2> . > >+ ≥
.
Suy ra :
2
2 2
.
2 2 2
. . > >
1
> > > > . . . .
≥ + +
+ + +
Đặt
. .=
;
* =
;
> >=
. Suy ra !*!A- và *$
Khi đó :
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 * 1 *
* * * * * *
≥ + + ⇔ ≥ + +
+ + + + + +
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
( )
( )
( )
2
3
1 2.
2 3 3
* * *
1
1
* * * *
+ + + +
≥ ≥ = ⇒ ≥
+ + + +
Vậy Min P = 2 .
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
1
1
1 1
1
.
* . >
* .>
>
=
= = = =
⇔ ⇔ =
= =
=
.
%'=D : Cho x ; y ; z là các số thực dưong thoả mãn
1 1 1
4
. >
+ + =
Chứng minh rằng :
1 1 1
1
2 2 2. > . > . >
+ + ≤
+ + + + + +
(Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2005 )
%?: Nếu nhìn vào cấu tạo của BĐT thì ta không thể áp dụng BĐT
Svac-sơ một cách trực tiếp được .Ta hãy sử dụng phương pháp đổi biến số :
Đặt :
1 1 1
, , *
. >
= = =
khi đó ta có : ,*,$Bvà!*!A- .
Suy ra :
.
2 1 1 1 1 1 1 16
2
2
E
. >
* * *
+ + = + + = + + +
+ +
≥
n
1 2
2 16
*
. >
+ +
⇔ ≤
+ +
(1)
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có :
%'0102343256758941:5(;<
5
B
1 2
2 16
*
. >
+ +
≤
+ +
(2) và
1 2
2 16
*
. >
+ +
≤
+ +
(3)
Cộng các BĐT (1) (2) và (3) lại với nhau ta được :
1 1 1 2 2 2
2 2 2 16 16 16
* * *
. > . > . >
+ + + + + +
+ + ≤ + +
+ + + + + +
( )
4
4.4
1
16 16
* + +
= = =
.
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
4
4 3
1 1 1
3 4
*
* . >
*
+ + =
⇔ = = = ⇔ = = =
= =
.
Bằng phương pháp tương tự ta có thể chứng minh được bất đẵng thức sau :
%'=F : Chứng minh rằng nếu !*! là các số thực dương thoả mãn điều
kiện : *$*,*,
thì :
1 1 1 3
2 3 2 3 3 2 16 * * *
+ + ≤
+ + + + + +
96GHI : Vì a,b,c là các số thực dương nên từ giả thiết :
1 1 1
1* * *
* *
= + + ⇔ + + =
.
Đặt :
1 1 1
, ,. >
*
= = =
Suy ra : .!!>A- và .,,>$ #
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
2
2 2 2
1 2 3
1 2 3 1 2 3 36
2 3
2 3 2 3 2 3
*
. > . > . > . >
+ +
+ + = + + = + + ≥ =
+ + + +
1 2 3
2 3 36
. >
*
+ +
⇒ ≤
+ +
(1)
Chứng minh hoàn toàn tương tụ ta có :
1 2 3
2 3 36
. >
*
+ +
≤
+ +
(2) và
1 3 2
3 2 36
. >
*
+ +
≤
+ +
(3)
Cộng các BĐT (1),(2),(3) ta được :
( )
6
1 1 1 1 3
2 3 2 3 3 2 36 6 16
. >
* * *
+ +
+ + ≤ = <
+ + + + + +
(JK2+#
Vận dụng bài toán 4 ta có thể giải bài toán sau đây:
%'=L : Cho các số thực dương .!!>! thoả mãn điều kiện .>$ .
Chứng minh rằng :
%'0102343256758941:5(;<
6
B
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
1 1 1 1 4
3. > > .> > . > . . . > >.
+ + + ≥
+ + + + + + + +
%'=M : Cho !*! là các số thực dương .
Chứng minh rằng :
1 1 1 1 1 1
3 3 3 2 2 2 * * * * *
+ + ≥ + +
+ + + + + + + + +
%? : Ta có :
( )
1 1 4 2
3 2 2 2 2 * * * *
+ ≥ =
+ + + + + + +
(1)
Tương tự ta có :
( )
1 1 4 2
3 2 2 2 2* * * *
+ ≥ =
+ + + + + + +
(2)
( )
1 1 4 2
3 2 2 2 2 * * * *
+ ≥ =
+ + + + + + +
(3)
Cộng các BĐT (1),(2),(3) lại với nhau ta được :
1 1 1 1 1 1
3 3 3 2 2 2 * * * * *
+ + ≥ + +
+ + + + + + + + +
(đpcm).
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : $*$ .
%'= - : Chứng minh rằng :
6 4 6 4 6 4 4 4 4
2 2 2 1 1 1. >
. > > . . >
+ + ≤ + +
+ + +
Với .!!> là những số thực dương .
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
2
2
4 4 6 4 6 4 6 4
1
1 1 1 4
.
. .
. . . .
+
+ = + ≥ ≥
+ +
(1).
Tương tự :
2
4 4 6 4 6 4
1 1 1 4
> > >
+ = + ≥
+
(2).
2
4 4 6 4 6 4
1 1 1 4> >
> . > . > .
+ = + ≥
+
(3).
Cộng các BĐT (1),(2),(3) lại với nhau ta được :
4 4 4 6 2 6 4 6 4
1 1 1 4 4 4
2
. >
. > . > > .
+ + ≥ + +
÷ ÷
+ + +
hay
6 4 6 4 6 4 4 4 4
2 2 2 1 1 1. >
. > > . . >
+ + ≤ + +
+ + +
(đpcm).
%'= : Chứng minh rằng với mọi a,b,c,d > 0 ta luôn có :
%'0102343256758941:5(;<
7
B
2
2 3 2 3 2 3 2 3 3
* H
1
* H H H * *
= + + + ≥
+ + + + + + + +
.
(Đề dự bị IMO năm 1990).
%? : Ta có :
2 3 2 3 2 3 2 3
* H
1
* H H H * *
= + + +
+ + + + + + + +
2 2 2 2
2 3 2 3 2 3 2 3
* H
* H * *H * H * H *H H
= + + +
+ + + + + + + +
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta được :
( )
( )
2
4
* H
1
* H * *H H
+ + +
≥
+ + + + +
,
Mặt khác:
( )
2
0 *− ≥
;
( )
2
0 − ≥
;
( )
2
0 H− ≥
;
( )
2
0* − ≥
;
( )
2
0* H− ≥
;
( )
2
0 H− ≥
.
Suy ra :
( )
( )
2 2 2 2
3 2 * H * H * *H H+ + + ≥ + + + + +
( )
2 2 2 2
2
3
* H * H * *H H⇔ + + + ≥ + + + + +
.
Mặt khác :
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 * H * H * * * *H H+ + + ≥ + + + + + + + + +
.
Do đó :
( )
( )
2
2
2
3
4 3
* H * *H H
1
* H * *H H
+ + + + + +
÷
≥ =
+ + + + +
.
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $*$$H.
%'= " : Cho !*!!HA- và *,*,H,H$ .Chứng minh rằng :
3 3 3 3
* H
1
* H H H * *
= + + +
+ + + + + + + +
(Đề dự bị IMO năm 1991)
%?: Ta có :
3 3 3 3
* H
1
* H H H * *
= + + +
+ + + + + + + +
4 4 4 4
* H
* H * *H * H * H *H H
= + + +
+ + + + + + + +
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta được :
( )
( )
2
2 2 2 2
2
* H
1
* H * *H H
+ + +
≥
+ + + + +
Mặt khác :
( )
2 2 2 2
2
3
* H * H * *H H+ + + ≥ + + + + +
. (1)
%'0102343256758941:5(;<
8
B
Theo gt : *,*,H,H$ ,và
( )
( )
2
2
2 2 2 2
* * H H * H+ + + ≤ + + +
.
Nên :
( )
2 2 2 2
1 * H+ + + ≥
(2).
Từ (1) và (2) ta có :
( )
( )
2
2 2 2 2
2
3
* H * H * *H H+ + + ≥ + + + + +
.
Vậy
( )
( )
2
1
3
2 3
* H * *H H
1
* H * *H H
+ + + + +
≥ =
+ + + + +
hay
1
3
1 ≥
.
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
1
2
* H= = = =
.
%'= / : (Áp dụng BĐT Svac-sơ để chứng minh BĐT Nasơbit).
Cho !*!A- .Chứng minh rằng :
3
2
*
* *
+ + ≥
+ + +
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
2 2 2
* *
* * * * * *
+ + = + +
+ + + + + +
( )
( )
( )
( )
2
3
3
2 2 2
* * *
* * * *
+ + + +
≥ ≥ =
+ + + +
.( Do
( ) ( )
2
3 * * * + + ≥ + +
).
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : $*$#
%'= B : Cho
!
"
!###!
A Đặt
1
=
=
∑
. Chứng minh rằng :
a)
2
1
=
−
≥ −
∑
; b)
( )
2
1
1
1
=
≥
− −
∑
;
c)
1
1
=
≥
− −
∑
; c)
2
1
1
=
≥
− −
∑
;
%? : a) Ta có :
2 2 2
1 1
1
(
= =
− −
≥ − ⇔ + ≥ − + =
÷
∑ ∑
.
Hay BĐT cần chứng minh tương đương với :
2
1
=
≥
∑
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta được :
( )
2
2
2
1
1
1 1 1
1
. .
=
=
+ +
≥ = =
∑
∑
.BĐT được chứng minh xong.
b) Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
%'0102343256758941:5(;<
9
B
( )
( )
2
2 2
1
1
1 1 1
1
1
=
=
+ + +
≥ = =
− − −
−
∑
∑
(đpcm).
c) Ta có :
1 1
1
1 1
= =
≥ ⇔ + ≥ +
÷
− − − −
∑ ∑
2 2
1 1
1
.
1 1
= =
⇔ ≥ ⇔ ≥
− − − −
∑ ∑
.
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
2
2 2
1
1
1 1 1
1
. . .
1
=
=
+ + +
≥ = =
− − −
−
∑
∑
(đpcm).
d) Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
2
2
2
1
1
1
1
=
=
=
÷
≥ = =
− − −
−
∑
∑
∑
(đpcm).
%'= C : Cho .!!> là ba số thực dương thay đổi.Hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
1 1 1 1
2 2
.
1 . >
> >. > .
= + + + + +
÷ ÷
÷
(Đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ năm 2007).
%? Biểu thức đã cho tương đương với :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
. > . >
1
.> .> .>
= + + + + +
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
2
2 2 2
2 2 2 6
. >
. >
+ +
+ + ≥
(1).
Và
( )
2
2 2 2
3
. >
. >
.> .> .> .>
+ +
+ + ≥
(2).
Từ (1) và (2) suy ra :
( ) ( )
2 2
6 3
. > . >
1
.>
+ + + +
≥ +
Vì
( )
3
27. > .>+ + ≥
(BĐT CôSy)
( )
2
9
3
. >
.> . >
+ +
⇒ ≥
+ +
Do đó
( )
( ) ( )
2
9 9
6 2 2
. >
1
. > . >
+ +
≥ + +
+ + + +
%'0102343256758941:5(;<
10
B
( )
( ) ( )
2
3
3
9 9 81 9
3. . . 3
6 2 2 24 2
'
. >
. > . >
+ +
= =
+ + + +
≥
Vậy Min
9
2
1 =
.
Đạt được khi và chỉ khi : .$$>= 1#
%'= D : Cho .!!> là các số thực dương .Chứng minh rằng :
( )
4 4 4
3 3 3
1
2
. >
. >
> > . .
+ + ≥ + +
+ + +
(Đề thi tuyển sinh CĐ trường ĐH Bách Khoa Hà Nội năm 2006).
%? : BĐT cần chứng minh tương đương với :
( ) ( ) ( )
( )
6 6 6
3 3 3
2 2 2
1
2
. >
. >
. > > . > .
+ + ≥ + +
+ + +
.
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
3 3 3
6 6 6
2 2 2 2 2 2
. >
. >
. > > . > . . > > . > .
+ +
+ + ≥
+ + + + + + + +
( )
( ) ( ) ( )
2
3 3 3
. >
. . > > >. > .
+ +
=
+ + + + +
.
Mặt khác :
( )
( )
( )
3 3 2 2
. . . . . . + = + − + ≥ +
Tương tự :
( )
( )
( )
3 3 2 2
> > > > > >+ = + − + ≥ +
( )
( )
( )
3 3 2 2
> . > . > >. . >. > .+ = + − + ≥ +
Suy ra :
( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 . > . . > > >. > .+ + ≥ + + + + +
Do đó :
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
3 3 3
6 6 6 3 3 3
2 2 2
3 3 3
2
2
. >
. > . >
. > > . > .
. >
+ +
+ +
+ + ≥ =
+ + +
+ +
BĐT được chứng minh . Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : .$$> .
%'= F : Cho a,b,c > 0 thoả mãn điều kiện : *,*,$ .
Tìm Min P với :
%'0102343256758941:5(;<
11
B
( ) ( ) ( )
8 8 8
2 2 2
2 2 2 2 2 2
*
1
* *
= + +
+ + +
.
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
( ) ( )
2
4 4 4
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2
*
1
* * *
+ +
≥
+ + + + +
.
Vì
2 2 2 2 2 2 4 4 4
* * * + + ≤ + +
.
Do đó :
4 4 4
4
*
1
+ +
≥
.
Mặt khác :
2 2 2 2 2 2
1* * * * + + ≤ + + ⇒ + + ≥
Và
( ) ( )
2
2 2 2 4 4 4
3 * * + + ≤ + +
(BĐT %&'(&).
Nên
( )
4 4 4
1
3
* + + ≥
.
Suy ra :
4 4 4
1 1
4 4.3 12
*
1
+ +
≥ ≥ =
.
Vậy
1
12
1 =
.
Đạt được khi và chỉ khi
1
3
* = = =
.
%'= L : Cho số thực
!
"
!###!
A-thoả mãn :
1
1
=
=
∑
.
Chứng minh rằng :
1
2 2 1
=
≥
− −
∑
.
%? : BĐT cần chứng minh tương đương với :
2
1 1
2
1
2 2 1 2 2 1 2 1
= =
≥ ⇔ + ≥ + =
÷
− − − − −
∑ ∑
Hay
2
1
2 2
2 2 1
=
≥
− −
∑
.(*)
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta đựoc :
( )
2
2
1
1
2 1 1 1
1 2
2.
2 2 1
2
=
=
+ + +
≥ =
− −
−
∑
∑
BĐT (*) đúng nên BĐT cần chứng minh cũng đúng ta có đpcm.
%'= M : Cho n số thực dưong )
!
"
!###!
+ và
( )
1 2
; ; ;
là một
hoán vị của )
!
"
!###!
+#Chứng minh rằng :
%'0102343256758941:5(;<
12
B
1 2
2
2 2
1 2
1 2
+ + +
+ + + ≥
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
2 2
2
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
+ + + + + +
+ + + ≥ =
+ + +
+ + +
1 2
= + + +
. (1).
Mặt khác :
( )
( )
2
1 2 1 2
+ + + ≤ + + +
(BĐT Bunyakovsky).
Suy ra
1 2
1 2
+ + +
+ + + ≥
(2).
Từ (1),(2) ta được :
1 2
2
2 2
1 2
1 2
1 2
+ + +
+ + + ≥ + + + ≥
BĐT được chứng minh .Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
1 2
= = =
.
%'="- : Cho !*!!2!A-.
Chứng minh rằng :
3 *
2* 2 2 * 2
+ + ≥
+ + + +
.
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
2 2 2
* *
2* 2 2 * 2* 2* * 2 *
+ + = + +
+ + + + + +
( )
( ) ( )
2
*
2 * *
+ +
≥
+ + +
(1).
Mặt khác :
( ) ( )
( )
2
2
3 3
*
* * *
* *
+ +
+ + ≥ + + ⇔ ≥
+ +
(2).
Từ (1) và (2) ta suy ra :
3 *
2* 2 2 * 2
+ + ≥
+ + + +
(đpcm).
%'" : Cho
, , 0
1
*
*
>
+ + =
.Chứng minh rằng :
1
1 1 1
*
* *
+ + ≥
+ − + − + −
.
%'0102343256758941:5(;<
13
B
%? : Ta có :
2 2 2
2 2 2
1 1 1
* *
* * * * * *
+ + = + +
+ − + − + − + − + − + −
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta được :
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
1 1 1
*
*
* *
* * * *
+ +
+ + ≥
+ − + − + −
+ + + + + − + +
Vì
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
0 * * * * * * + + ≥ + + ⇔ + + − + + ≤
( ) ( )
( )
2 2 2
* * * * * ⇔ + + + + + − + + ≤ + +
.
Do đó :
( )
2
1
1 1 1
*
*
*
* * *
+ +
+ + ≥ = + + =
+ − + − + − + +
.
Bất đẵng thức được chứng minh. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
$*$$ 1.
%'="" : Cho
, , 0
1
. >
. >
>
+ + =
.
Chứng minh rằng :
1 1 1 18
2. > .>
+ + >
+
.
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
1 1 1 9
9
. > . >
+ + ≥ =
+ +
.(*)
Ta sẻ chứng minh :
18
9
2.>
>
+
( ** ). Thật vậy :
( ** )
9 18 18 9 0.> .>⇔ + > ⇔ >
BĐt cuối đúng nên (**) Đúng .
Từ (*) và (**) ta có :
1 1 1 18
2. > .>
+ + >
+
(đpcm).
%'="": Cho ABC.Điểm M nằm trong
ABC.Kẻ
1
N %⊥
,
1
% N⊥
,
1
N%⊥
Tìm vị trí của điểm M để biểu thức :
1 1 1
% N N%
N %
+ +
có giá trị nhỏ nhất .
%? : Ta có :
N
#%$"
%
!
%
#
N%$"
N%
!
#N$"
N
#
Do đó :
%'0102343256758941:5(;<
14
B
#N,%
#
N%,
#N$
$"
%
,"
N%
,"
N
$"#
N%
#
Mặt khác :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
. . .
% N N% % N N%
N % N % % N N%
+ + = + +
.
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có:
( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1 1
. . . 2
N%
% N N% % N N%
% N N%
'(
N % N % % N N%
∆
+ + + +
+ + ≥ = =
+ +
Suy ra :
1 1 1
% N N%
N %
+ +
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
( )
2
2
N%
% N N%
∆
+ +
khi và chỉ khi :
1 1 1
N % = = ⇔
M là tâm đường tròn nội tiếp
N%.
%'="/ : Cho
N% với ba cạnh có đọ dài là !*! thoả mãn điều kiện :
/-*,B*, MFC$"- -#*.
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
2005 34 1979
O
K K * K
= + +
− − −
với
2
*
K
+ +
=
.
%? : Ta có :
1 1 1 1 1 1
30 4 1975O
K K * K * K K K
= + + + + +
÷ ÷ ÷
− − − − − −
.
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
1 1 4 30
30 30. 4.
2K K * K *
+ ≥ =
÷
− − − −
. (1).
1 1 4 4
4 4. 4.
2K * K K *
+ ≥ =
÷
− − − −
. (2).
1 1 4 1975
1975 1975. 4.
2K K K *
+ ≥ =
÷
− − − −
(3).
Từ (1),(2),(3) ta có :
30 4 1975 30 4 1975 2010
4 4. 4. 8040
* * *
O
* * *
+ +
≥ + + = = =
÷
Vậy Min Q = 8040.Đạt được khi và chỉ khi :
2009
2010
* = = =
.
Tổng quát hoá bài toán trên ta được bài toán sau:
%'="B : Cho ABC với ba cạnh có đọ dài là !*! thoả mãn điều kiện:
.*,*,>$*với .!!>!A- là những số thực cho trước.
%'0102343256758941:5(;<
15
B
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
. . > >
O
K K * K
+ + +
= + +
− − −
với
2
*
K
+ +
=
.
Lập luận hoàn toàn tương tự như bài toán trên ta được :
Min Q = 4.. Đạt được khi và chỉ khi :
. >
*
+ +
= = =
.
%'="C : Cho !*!A- thoả mãn điều kiện :
"
*
"
,*
"
"
,
"
"
P
"
*
"
"
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2
3
2
* *
N
* * *
= + + ≥
+ + +
.
%? Điều kiện của bài toán tương đương với :
2 2 2
1 1 1
1
*
+ + ≥
.
Đặt
1 1 1
; ; *
. >
= = =
.Khi đó :
2 2 2
1; . >⇔ + + ≥
.
( ) ( ) ( )
3 3 3 4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
. > . >
N
> > . .
. > > . > .
= + + = + +
+ + +
+ + +
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
. >
N
. > > . > .
+ +
≥
+ + + + +
.
Đặt
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
% . > > . > . = + + + + +
.
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2 2
% . > > . > . ⇒ = + + + + +
(
)
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. . > > > . > . > . . = + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
> > . > . . > > .≤ + + + + + + + + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 > > . . >= + + + +
. ( BĐT %&'(& )
Vì
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 . > > . . >+ + ≤ + +
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
3
. > > . . >⇔ + + ≤ + +
.
( ) ( )
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2
3
3
% . > % . > . >⇒ ≤ + + ⇔ ≤ + + + +
Suy ra :
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
.
2
2 2
3
. >
N . >
. > . >
+ +
≥ = + + ≥
+ + + +
(Do
2 2 2
1. >+ + ≥
).
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
%'0102343256758941:5(;<
16
B
1
3
3
. > * = = = ⇔ = = =
.
%'="D : Cho hai số thực dương thay đổi .! thoả mãn điều kiện :
-Q.,Q,* ( Với !* là hai số cho trước ).
Chứng minh rằng :
( )
( ) ( )
2
2 2
.
.
. * . *
−
+ ≥
+ + − + +
.
Đẵng thức xãy ra khi nào?
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
. . .
.
. * . . * . *
− + −
+ ≥ =
+ + − + + + + − − +
.
BĐT được chứng minh.
Dấu bằng xãy ra khi bà chỉ khi :
.
*
=
.
%'="F : Với mọi !*! chứng minh rằng :
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 3 6 2 3 6
* *
+ + ≤ + +
÷
Dấu bằng xãy ra khi nào ?
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
2 2
2
2 2 2
1 1
1
1 1 1
9 36
4
1 1 1
2 3 6
2 3 6
*
* + + = + +
2
1 1 1
2 3 6
1 1 1
2 3 6
*
+ +
÷
≥
+ +
⇔
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 3 6 2 3 6
* *
+ + ≤ + +
÷
.
Bất đẵng thức được chứng minh. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi :
$*$
%'="L : Cho !*!!HA Chứng minh rằng :
2
* H
1
* H H *
= + + + ≥
+ + + +
.
%?: Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
2 2 2 2
* H * H
1
* H H * * * *H H H H*
= + + + = + + +
+ + + + + + + +
%'0102343256758941:5(;<
17
B
( )
2
2 2
* H
* H * *H H
+ + +
≥
+ + + + +
.
Ta cần chứng minh :
( )
2
2
2 2
* H
* H * *H H
+ + +
≥
+ + + + +
(*).
Thật vậy :
(*)
( ) ( ) ( )
2
2 4 * H * * H H *H⇔ + + + ≥ + + + + +
(**).
Mặt khác :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 * H * H * * H H *H+ + + = + + + + + + + + +
Suy ra (**)
2 2 2 2
2( ) * H *H⇔ + + + ≥ +
( ) ( )
2 2
0 * H⇔ − + − ≥
.
BĐT cuối đúng nên BĐT (*) đúng ,suy ra BĐT đã cho đúng (đpcm).
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : $*$$H#
%'="M : Cho !*!!HA Chứng minh rằng:
8
3
* * H H
1
* H H H * *
+ + + +
= + + + ≥
+ + + + + + + +
Đẵng thức xãy ra khi nào?
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
* *
1
* H * H *
+ +
= + +
+ + + + + +
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
H H
H * H * H
+ +
+ +
+ + + + + +
( ) ( )
2 2
4 * * H H * H
+ + + + + + + + + +
≥ =
.
Với
( ) ( ) ( ) ( )
* * H * H = + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
H H * H * + + + + + + + +
.
Ta cần chứng minh:
( )
( )
2
2
4
8
3 2
3
* H
* H
+ + +
≥ ⇔ + + + ≥
(*).
Ta có :
( ) ( )
2
2 2 2 2
3 3 2 * H * H * * H
+ + + = + + + + + + + +
( )
2 *H
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
2. 2. * * H * H
= + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
H H * H *
+ + + + + + + +
.
%'0102343256758941:5(;<
18
B
( )
2 3 3 3 3 4 4* * H H *H= + + + + +
Thay vào (*) va thu gọn ta được :
( ) ( )
2 2
0 * H− + − ≥
BĐT cuối cùng đúng nên BĐT đã cho đúng (đpcm).
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi : $*$$H.
%'=/- : Cho !*!A- thoả mãn điều kiện :
,*,$1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2 2
1 1 1 1
1
* * *
= + + +
+ +
%? : Biến đổi biểu thức P ta được :
2 2 2
1 1 1 1
1
* * *
= + + +
+ +
2 2 2
1 9 9 9
9 9 9 * * *
= + + +
+ +
.
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta đựơc :
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
1 3 3 3
100
9 9 9
7
1
* * *
* * *
+ + +
≥ =
+ + + + +
+ + + + +
Vì
( ) ( )
2
3 * * * + + ≥ + +
nên
( )
( )
2
3
*
* *
+ +
+ + ≤
.
Suy ra :
( ) ( ) ( )
2 2 2
100 100
30
7 10
3 3
1
* * *
≥ = =
+ + + + + + +
( do ,*,$ 1).
Vậy Min P = 30 .Đạt được khi và chỉ khi :
1
3
* = = =
.
%'=/ : Cho ABC, có độ dài các cạnh là !*!! bán kính đường tròn
ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp 5 .đọ dài đường cao hạ từ các đỉnh
là
!
*
!
.Chứng minh rằng :
2 2 2`
2
2
9
*
5
1
* * R
= + + ≥
.
%? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
2
2 2 2`
*
*
1
* * * *
+ +
= + + ≥
+ +
Mặt khác :
%'0102343256758941:5(;<
19
B
1 1 1
. . .
2 2 2
*
* = = =
1 1 1
2
*
*
+ +
⇒ + + =
1 1 1 2 1
2
*
K
K5 5
⇔ + + = =
Ta lại có :
( )
1 1 1
9
*
*
+ + + + ≥
÷
(theo BĐT CoSy)
Suy ra :
( ) ( )
2
2
9 81
* *
5 5+ + ≥ ⇔ + + ≥
.
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
4 sin sin sin* * * R N % + + ≤ + + = + +
Do :
( )
2 2 2
9
sin sin sin
4
N % + + ≤
,
Nên :
( )
2
9* * R+ + ≤
.
Vậy :
( )
2
2 2 2`
2 2
2 2
81 9
9
*
*
5 5
1
* * * * R R
+ +
= + + ≥ ≥ =
+ +
(đpcm).
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi : ABC là tam giác đều.
%'=/" : Giải phương trình :
2 2
2 2
2 2
1 1 25
sin cos
sin cos 2
. .
. .
+ + + =
÷ ÷
.
96SHI Điều kiện :
sin 0
sin 2 0 2
cos 0
2
.
. . & . &
.
π
π
≠
⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
≠
& T∈
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
2 2
2 2
2 2
1 1
sin cos
sin cos
. .
. .
+ + + ≥
÷ ÷
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1
sin cos 1
sin cos sin .cos
2 2
. .
. . . .
+ + + +
÷
≥ =
( )
2
2
2
4
1
1 4
25
sin 2
2 2 2
.
+
÷
+
= ≥ =
(H'(
"
".U ).
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi :
2
2 2
2 2
sin 2 1
cos2 0
1 1
sin 2 1
sin cos
sin cos
.
.
.
. .
. .
=
=
⇔
= ±
+ = +
%'0102343256758941:5(;<
20
B
2
2 4 2
. & . &
π π π
π
⇔ = + ⇔ = +
,
& T∈
.
Đối chiếu với điều kiện ta suy ra nghiệm của phương trình là :
4 2
. &
π π
= +
,
& T∈
III-MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN TÂP :
Vận dụng BĐT Svac-sơ ta có thể giải được lớp bài toán sau đây :
1) Chứng minh rằng : với mọi !*!A- ta có :
2 2 2 9
* * *
+ + ≥
+ + + + +
.
2) Chứng minh rằng : với mọi !*!A- thoả mãn ,*,$ .Ta có :
1 1 1 9
2* *
+ + ≥
+ + +
.
3) Chứng minh rằng : với mọi !*!A- thoả mãn
1 *
+ + ≤
.Ta có :
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2 * * *
+ + ≥
+ + +
.
4) Chứng minh rằng : với mọi !*!A- ta có :
3 3 3 2 2 2
2
* *
* *
+ +
+ + ≥
+ + +
.
5) Cho !*! là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng :
3
*
* * *
+ + ≥
+ − + − + −
.
6) Cho !*! là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
1
2 2 2 2 2 2
*
* * *
+ + ≥
+ − + − + −
.
96SHI : Ta có :
2 2 2 2 2 2
*
1
* * *
= + +
+ − + − + −
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
*
* * * * *
= + +
+ − + − + −
.
Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :
( )
( )
( )
2
2 2 2
4
*
1
* * *
+ +
≥
+ + − + +
.
Mặt khác :
( ) ( )
2
3 * * * + + ≥ + +
và
2 2 2
* * * + + ≥ + +
.
Do đó
( )
( )
( )
2 2 2
4 3* * * * * + + − + + ≤ + +
.
Suy ra :
( )
( )
3
1
3
* *
1
* *
+ +
≥ =
+ +
(đpcm).
%'0102343256758941:5(;<
21
B
Đẵng thức xãy ra khi và chỉ khi : $*$ hay ABC là tam giác đều.
7) Cho !*!A- thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
9
*
* *
+ + ≥
.
8) Cho !*!A- .Chứng minh rằng :
2 2 2
2
* *
* *
+ +
+ + ≥
+ + +
.
96SHI :
Đây là bài toán có khá nhiều cách giải.Tuy nhiên nếu vận dụng
BĐT Svac-sơ thì ta có một lời giải “đẹp” hơn cả .
Ta có :
( )
( )
2
2 2 2
2 2
*
* *
* * *
+ +
+ +
+ + ≥ =
+ + + + +
(đpcm).
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : $*$#
9) Cho .@@>A- thoả mãn điều kiện
1 2 3
6
. >
+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1$.,,>#
10) Cho @*@A- .Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
4
* *
*
*
+ + +
+ + ≥ + +
.
11) Cho @*@ là độ dài ba cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng :
( )
2 2 2
*
*
* * *
+ + ≥ + +
+ − + − + −
.
12) Cho @*@ là các số thực dương .Chứng minh rằng :
2 2 2
*
*
*
+ + ≥ + +
.
%'0102343256758941:5(;<
22
B
%'0102343256758941:5(;<
23
B
%'0102343256758941:5(;<
24
