Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp thành phố.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ LÀO CAI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP 9
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 ( 4 điểm )
a. Chứng minh rằng nếu n ∈ N thì phân số
1
2 3
n
n
+
+
tối giản .
b. Cho x =
3 3
125 125
3 9 3 9
27 27
+ + − − + +
Chứng minh rằng x ∈ Z.
Câu 2 ( 5 điểm )
2.1. Cho biểu thức
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
A
x x x x
− − +

= − −
+ − − +
a. Rút gọn A
b. Tìm điều kiện để A =
2.2. Chứng minh rằng một đường thẳng không đi qua gốc tọa độ, cắt trục hoành
tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng
có dạng
1
x y
a b
+ =
Câu 3 ( 5 điểm )
a. Cho
1
A x
x
= +
là một số nguyên ( với x ∈ Z ).
Chứng minh rằng A = x + cũng là số nguyên với mọi n ∈ Z
b. Giải phương trình :

3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + − + + − − =
Câu 4 ( 4 điểm ) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm di động trên tia đối của
tia CD ( M ≠ C ). Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt BC tại N, E là trung
điểm của MN.
a. Chứng minh rằng luôn có đường tròn đi qua bốn điểm A , C , M , N.
b. Chứng minh rằng B , D , E thẳng hàng.
c. Cho tam giác AMN là tam giác vuông cân, xác định vị trí của M để tam giác
EAC là tam giác đều.
Câu 5 ( 2 điểm )

Cho hình vẽ bên, biết M là trung điểm của AC,
các đường thẳng AD , BM , CE đồng quy tại K.
Hai tam giác AKE và BKE có diện tích lần lượt là
10 và 20. Tình diện tích tam giác ABC.
Hết