Đề cương giải tích ngẫu nhiên k23 cao học sư phạm toán hà nội

1
CHƯƠNG 1. CÁC KI
ẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
1. M
ột số khái niệm
Thí nghi
ệm (phép thử) ngẫu nhiên là thí nghiệm có nhiều kết quả mà ta không thể đoán trước
k
ết quả n
ào sẽ xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của thí nghiệm được gọi là không gian
m
ẫu
và đư
ợc kí hiệu là

. M
ỗi tập con
A  
đư
ợc gọi là một biến cố.
M
ột họ các biến cố
A đư
ợc gọi là

- đ
ại số
n
ếu:
(i) A chứa không gian mẫu, tức là,
 A

.
(ii) A kín đối với phép lấy phần bù, tức là
A A
thì
c
A  A
, ở đó
c
A \ A 
.
(iii) A kín đ
ối với phép lấy hợp đếm được, tức là nếu
n
A , n 1,2,  A
thì
n
n 1
A


 A
Chú ý. Cho
 
n
A
là dãy các t
ập con của

. Ký hi
ệu

n k n k
n n
n 1 k n n 1 k n
limsupA A , liminf A A
   
   
    
Khi

là không gian metric E, thì ta ký hi
ệu
B(E) là
 
đ
ại số sinh từ các tập mở, và gọi
B(E) là
 
đ
ại số Borel
c
ủa E.
Ta hiểu độ đo trên
 
đại số A là ánh xạ
: [0, )  A
sao cho tồn tại
A A
với
 
A  

và n
ếu
n
A n 1,2,,  A
là dãy các t
ập rời nhau từng cặp thì
 
n n
n 1
n 1
A A




 
  
 
 


Xác su
ất
P
là đ
ộ đo chuẩn hóa, tức là
 
P 1 
. Trong trư
ờng hợp đó, bộ ba

 
, ,P A
đư
ợc
g
ọi là
không gian xác su
ất
.
Xác suất có điều kiện được định nghĩa theo công thức
 
 
 
 
P A B
P A B ,P B 0
P B

 
Bi
ến ngẫu nhiên
là ánh x
ạ
X :  
sao cho
   
 
X x X x , x        A
Hàm phân ph
ối

xác su
ất
c
ủa biến ngẫu nhiên X được xác định theo công thức
   
F x P X x , x   
Hàm s
ố n
ày có các tính chất (cần và đủ) sau:
(i) không gi
ảm,
2
(ii) liên t
ục bên phải,
(iii)
   
x x
lim F x 0, lim F x 1
 
 
.
Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu tập tất cả các giá trị của nó là hữu hạn hay đếm
đư
ợc. Ký hiệu
 
1 2
x ,x ,
là t
ập các giá
tr

ị của x.
Ta đ
ặt
   
n n
p P X x , n 1,2,   
và g
ọi
 
n
p
là dãy phân ph
ối xác suất của X.
Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất của nó có đạo hàm. Trong
trư
ờng hợp này ta gọi
   
f x F x ,x

 
là hàm m
ật độ.
2. K
ỳ vọng và phương sai
 Trư
ờng hợp rời rạc
K
ỳ vọng của X l
à s
ố thực xác định theo công thức

 
n n n n
n n
EX x p x P X x  
 
n
ếu chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Kì v
ọng có điều kiện của X khi biến cố B đã cho là số thực xác định theo công thức
   
n n
n
E X B x P X x B 

Phương sai c
ủa X là số thực không âm xác định theo công thức
 
 
2
2
2
2 2
n n n n
n n
DX E X EX EX EX p x p x
 
     
 
 
 

Phương sai có đi
ều kiện của X khi biến cố B đ
ã cho là s
ố thực xác định theo công thức
   
 
 
 
 
2
2
2
D X B E X E X B B E X B E X B
 
   
 
 Trư
ờng hợp liên tục
K
ỳ vọng của X l
à s
ố thực xác định theo công thức
EX xf(x)dx




Phương sai c
ủa X là số thực không âm xác định theo công thức
 

 
2
2
2
2 2
DX E X EX EX EX x f (x)dx xf(x)dx
 
 
 
     
 
 
 
 Đ
ịnh nghĩa tổng quát của kì vọng có điều kiện đối với

- đ
ại số
Gi
ả sử
 
, ,P A
là không gian xác su
ất và
F là

- đ
ại số con của
A.
K

ỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên
X 0
đ
ối với
F là bi
ến ngẫu nhiên suy rộng không
âm
3
 
 
E X : 0,  F
sao cho
(i)
 
E X F
là F- đo đư
ợc,
(ii) v
ới mọi
AF
 
A A
XdP E X dP
 
F
Phương sai có đi
ều kiện được định nghĩa theo công thức
   
 
2

D X E X E X
 
 
 
 
F F F
 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện:
1. N
ếu X là
F- đo đư
ợc thì
 
E X XF
. Đ
ặc biệt, nếu C là hằng số thì
 
E C CF
.
2. N
ếu
X Y
thì
   
E X E YF F
. Đ
ặc biệt ta có bất đẳng thức
   
E X E XF F
3. N
ếu

a,b 
thì
 
     
E aX bY aE X bE Y  F F F
.
4.
 
E E X EX
 

 
F
.
5. N
ếu
 
X
và F đ
ộc lập thì
 
E X EXF
. Đ
ặc biệt nếu X, Y độc lập thì
 
E X Y EX
.
6. N
ếu
1 2

F F
thì
     
2 1 1 2 1
E E X E E X E X
   
 
   
F F F F F
.
7. N
ếu Y là
F- đo đư
ợc thì
   
E XY YE XF F
.
3. M
ột số phân phối quan trọng
a. Phân ph
ối nhị thức B(n, p)
   
n k
k k
n
X ~ B(n,p) p X k C .p 1 p , k 0, ,n

     
X là s
ố lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử chỉ có hai biến cố A,

c
A
xu
ất hiện.
b. Phân ph
ối Poisson
 
P 
X là số lần biến cố A xuất hiện trong 1 khoảng thời gian t cố định thì X có phân phối Poisson
tham s
ố

, t
ức
4
 
k
.e
P x k , k 0,1,
k!


   
   
k
n
.e
X ~ B n,p limP X k
k!




  
, v
ới
np 
.
 
X ~ P EX , DX     
.
c. Phân ph
ối mũ
 
Exp 
   
x
X
.e
X ~ Exp f x
0



  


2
1 1
EX , DX 
 

d. Phân ph
ối chuẩn
 
2
N a,
Nếu
 
2
X ~ N a,
thì:
+ Hàm m
ật độ:
 
 
2
2
x a
2
X
2
1
f x .e , x
2



 


.

+
 
X a
Z ~ N 0,1



+
2
EX a,DX  
Khi a = 0,
1 
thì X có phân ph
ối chuẩn tắc N(0, 1) với hàm mật độ
 
2
x
2
X
1
f x .e
2



4. M
ột số bất đẳng thức
c
ần nhớ
 B

ất đẳng thức Holder
N
ếu
r s
X L ,Y L 
, trong đó r, s là các s
ố sao cho
1 1
1 r , 1
r s
    
thì
 
   
1 r 1/s
r s
E XY E X . E Y
   

   
   
F F F
 B
ất đẳng thức Minkowski
N
ếu
r
X,Y L ,1 r 
thì
     

1 r 1 r
r r r
E X Y E X E Y  F F F
 B
ất đẳng thức Jensen
N
ếu
g :  
là hàm l
ồi, tức l
à
   
g ax by ag(x) bg y , 0 a,b 1, x, y     
khi
x 0
khi x < 0
5
thì
 
 
 
 
g E X E g XF F
.
CHƯƠNG 2. CÁC KHÁI NI
ỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN
Cho không gian xác suất
( , ,P) F
.
+

X :[0, )   
đư
ợc gọi là một
quá trình ng
ẫu
nhiên n
ếu
t 0
thì
t
X
là F- đo đư
ợc.
+ Dãy

- đại số con
 
n
F
của F được gọi là một lọc nếu
n m
, n m  F F
.
+
 
t
X
đư
ợc gọi
là tương thích v

ới lọc
t
F
n
ếu
t
X
là
t
F
- đo đư
ợc với mọi
t 0
.
+ C
ố định
w 
thì
 
 
 
t
X w : 0,T
t X w
 

đư
ợc gọi là
qu
ĩ đạo

c
ủa
thông tin.
+ X đư
ợc gọi là
quá trình ng
ẫu nhiên liên tục
n
ếu
 
t
P w : t X w liên tuc 1
 
 

.
+ X đư
ợc gọi là liên tục phải (trái) nếu với hầu chắc chắn (h.c.c) mọi
w 
thì
 
t
t X w
liên
t
ục phải (trái).
+ X đư
ợc gọi
là có gi
ới hạn phải (trái) nếu với h.c.c

m
ọi
w 
thì
   
 
0 0
t 0 t 0
t t t t
limX w , t 0 limX w , t 0
 
     
.
+ Với mọi
A 2


thì ta đặt
 
 
*
P (A): inf P B :B , B A  F
A đư
ợc gọi là
t
ập không
(null set) n
ếu
*
P (A) 0

+ L
ọc
t t 0
)(

F
đư
ợc gọi l
à
th
ỏa m
ãn điều kiện thông thường
n
ếu
(i)
t
F
liên t
ục phải:
s t
s t
F F
.
(ii)
t
F
ch
ứa tất cả các tập không với mọi t.
+ X, Y là hai quá trình ng
ẫu

nhiên.
X và Y đư
ợc gọi là
b
ất khả phân biệt
n
ếu
 
t t
P w : t :X (w) Y (w) 1  
.
X đư
ợc gọi là
b
ản sao
c
ủa Y nếu
 
t t
P w : X (w) Y (w) 1, t 0   
.
6
Nh
ận xét.
N
ếu X và Y là bất khả phân biệt thì X là bản sao của Y. Chiều ngược lại chưa chắc
đúng.
CHƯƠNG 3. Đ
Ề C
ƯƠNG

ÔN T
ẬP
Câu 1. Đ
ịnh nghĩa chuyển động Brown.
Ch
ứng minh một quá trình ngẫu nhiên là một quá trình
Brown.
Tr
ả lời
a. Đ
ịnh nghĩa
. Cho không gian xác su
ất
( , ,P) F
. Quá trình ng
ẫu nhiên
B:[0, )   
đư
ợc gọi là
chuy
ển động Br
own (quá trình Wiener) n
ếu
(i)
0
B 0
h.c.c,
(ii)
 
t s

t s:B B ~ N 0,t s   
(có s
ố gia dương)
(iii) V
ới mọi t thì
t
B
là
t
F
- đo đư
ợc,
(iv)
t s
t s:B B  
đ
ộc lập với
s
F
(có s
ố gia độc lập)
(v)
t
B
có qu
ĩ đạo li
ên tục h.c.c.
b. Ví dụ chứng minh một quá trình ngẫu nhiên là chuyển động Brown
Cho B là chuy
ển động Brown và

a 0
. Khi đó
2
t a
X a.B
c
ũng là chuyển động Brown.
Th
ật vậy,
(i)
0 0
X B 0 
.
(ii)
 
2 2
t s
t a s a
t s:X X a B B    
, nhưng do B là chuy
ển động Brown n
ên
 
2 2
2
t a s a
t s
B B ~ N 0,
a


 

 
 
Do đó
 
t s
X X ~ N 0,t s 
.
(iii) G
ọi
s
F
là l
ọc tự nhiên sinh bởi quá trình ngẫu nhiên B.
Đ
ặt
2
s
s a
G F
Khi đó
2 2
t t
t a t a
X a.B ~ F G
- đo đư
ợc.
(iv)
t s: 

 
2 2
t s
t a s a
X X a B B  
đ
ộc lập với
2
s
s a
F G
, t
ức là X có số gia độc lập.
7
(v) C
ố định
w 
thì
 
2
t
t a
t X w a.B
liên t
ục.
Câu 2. Đ
ịnh nghĩa Martingale liên tục. Chứng minh một quá trình cho trước là martingale.
Tr
ả lời
a. Đ

ịnh nghĩa.
Gi
ả sử
 
t
F
là m
ột lọc, không nhất thiết
ph
ải thỏa m
ãn
điều kiện thông thường.
Quá trình ng
ẫu nhiên
 
t
t 0
M

đư
ợc gọi là một martingale thời gian liên tục ứng với lọc
 
t
F
và
đ
ộ đo xác suất P nếu:
1.
t
E M   

 
v
ới mọi t;
2.
t
M
là
t
F
- đo đư
ợc với mọi t;
3.
t s s
E M M  
 
F
h.c.c với mọi
t s
.
N
ếu điều kiện thứ ba được thay bởi
t s s
E M M  
 
F
h.c.c v
ới mọi
t s
thì
 

t
M
đư
ợc gọi là
martingale dư
ới.
 
t
M
đư
ợc gọi là martingale trên nếu
 
t
M
là martingale dư
ới
(ho
ặc
thay b
ởi
t s s
E M M  
 
F
).
b. Các ví d
ụ về chứng minh một quá trình cho trước
là martingale
Ví d
ụ 1.

Gi
ả sử X là một biến ngẫu nhiên khả tích,
 
t
F
là m
ột lọc. Đặt
t t
X E X  
 
F
. Khi đó
 
t
X
là m
ột martingale v
à được gọi là martingale chính quy.
Ví dụ 2. Giả sử
 
t
W
là chuyển động Brown. Khi đó các quá trình sau đều là martigale:
1.
t t
M W
.
2.
2
t t

M W t 
.
3.
2
t
a t
a.W
2
t
M e


.
4.
T
3
t t s
0
M W 3 W ds 

.
Gi
ải
2. V
ới t > s ta có
 
 
 
2
t s t s s s

E W E W W W  F F
 
 
 
 
 
2
2
t s s t s s s s s
E W W 2E W W .W E W    F F F
 
 
2
2
t s s t s s s
E W W 2W .E W W W
 
    
 
F
(do
t s
W W
đ
ộc lập với
s
F
)
 
2

s
t s 0 W   
(do
   
2
t s t s
W W ~ N 0,t s E W W t s
 
     
 
)
8
Do đó
   
2 2
t s s t s s
E W t s W E W t W s      F F
h.c.c
3. V
ới t > s
ta có
 
 
2 2
t
t
a t a t
a.W
aW
2 2

t s s s
E M E e e .E e
 
 
 
 
 
 
F F F
   
 
2 2
t s s t s s
2
s t s
a t a t
a(W W ) aW a(W W ) aW
2 2
s s
a t
aW a(W W )
2
s
e .E e e .E e .e
e .e .E e
 
  


 


F F
F
2
s t s
a t
aW a(W W )
2
e .e .Ee



(do
t s
W W
đ
ộc lập với
s
F
)
2 2 2
s
s
a t a (t s) a
aW .s
aW
2 2 2
s
e .e .e e M


 
  
.
4. V
ới t > s ta có
 
t s t
3 3 3 3
t s s t s u u s t s u s
0 0 s
E M M E W W 3 W du W du E W W 3 W du
   
       
   
   
  
F F F
 
 
t
3
3
t s s s s u s
s
E W W W W 3E W du
 
    
 
 


F F
 
 
 
 
 
 
 
t
3 2
2
t s s t s s s t s s s u s
s
E W W 3E W W .W 3E W W .W 3 E W du      

F F F F
     
t
3 2
2
t s s t s s t s s
s
E W W 3W .E W W 3W E W W 3 W .du      

   
2
s s s
0 3W . t s 3W .0 3W . t s 0      
,
ở đó

 
3
t s
E W W 0 
. Th
ật vậy, ta đặt
t s
X W W 
thì
 
X ~ N 0,t s
và
 
 
 
2
2
x
2 t s
3 3 3
X
1
EX x .f x .dx x . .e .dx 0
2 t s
 


 
  
 

 
(do hàm số d
ưới
d
ấu tích phân là hàm lẻ)
Do đó
   
t s s t s s
E M M 0 E M M   F F
Ví d
ụ 3.
Cho
 
t
W
là chuy
ển động Brown.
Ch
ứng minh rằng
t 2
t t
X e .cosW
là martingale.
Chú ý. Sử dụng công thức vi phân Itô và tính chất sau :
9
“Gi
ả sử
 
f t
là quá trình ng

ẫu nhiên tương thích với lọc
 
t
F
và
t
t s
0
M f(s).dB , 0 t T  

.
N
ếu
t
2
0
E f (s)ds
 
 
 
 

thì
 
t t
0 t T
M ,
 
F
là martingale.

N
ếu
t
2
0
P f (s)ds 1
 
  
 
 

thì
 
t t
0 t T
M ,
 
F
là martingale đ
ịa ph
ương
”.
Gi
ải
Ta có:
t t
dW 0.dt 1.dW a 0, b 1    
.
Xét hàm
 

t 2
F x,t e .cos x
thì
2
t 2 t 2 t 2
2
F 1 F F
e .cosx; e .sinx; e .cosx
t 2 x x
  
    
  
Khi đó
t 2 t 2 t 2 t 2
t t t t t t t
1 1
dX e .cos W e .cosW .dt e .sin W .dW e .sin W .dW
2 2
 
    
 
 
t
s 2
t s s
0
X 1 e .sin W .dW  

.
Ta có

 
t 1
2
s 2 s
s
0 0
E e .sin W .ds E e .ds e 1
   
    
   
   
 
t
s 2
s s
0
0 t 1
e .sin W .dW
 
 

 
 

là martingale.
G
ọi
 
s u
W , 0 u s   F

thì v
ới
t s 0 
:
 
t
u 2
t s u u s
0
E X E 1 e .sin W .dW
 
 
 
 

F F
t s
u 2 u 2
u u s u u s
0 0
1 E e .sin W .dW 1 e .sin W .dW X
 
    
 
 
 
F
.
V
ậy

 
t t
0 t 1
X ,
 
F
là martingale.
Câu 3. Phát biểu khai triển Doob – Meyer. Chứng minh tính duy nhất của khai triển.
Tr
ả lời
Trư
ớc tiên ta đề cập đến một số định nghĩa và mệnh đề sau.
Đ
ịnh nghĩa.
Quá trình ng
ẫu nhiên
 
t
t 0
A

đư
ợc gọi là
10
+ tăng n
ếu
0
A 0
và ánh x
ạ

t
t A
là liên t
ục
ph
ải v
à tăng h.c.c.
+ kh
ả tích
n
ếu
 
t
E A  
v
ới mọi
t 0
.
+ t
ự nhi
ên
n
ếu với mọi martingale bị chặn
 
t
t 0
m

, ta có
t t

s s s s
0 0
E m dA E m .dA , t 0

   
  
   
   
 
,
trong đó tích phân trong d
ấu k
ì vọng được hiểu th
eo ngh
ĩa Lebesgue
-Stieltjes và
s t
t s
m limm



.
M
ệnh đề.
Gi
ả sử
 
t
t 0

A

là quá trình t
ăng và khả tích. Khi đó
 
t
t 0
A

là t
ự nhiên nếu với mọi
martingale b
ị chặn
 
t
t 0
m

đ
ẳng thức
 
t
t t s s
0
E m A E m .dA

 

 
 


đư
ợc nghiệm đúng với mọi
t 0
.
(T
ức l
à cần phải chứng minh
 
t
t t s s
0
E m A E m dA
 

 
 

.
a. Đ
ịnh nghĩa.
Kí hi
ệu
T
S
là t
ập các thời điểm dừng bị chặn bởi
T 0
. Martingale dư
ới

 
t
t 0
X

đư
ợc gọi l
à thuộc lớp (DL) nếu họ các biến ngẫu nhiên
 
T
X : S


là kh
ả tích đều với mọi
T 0
.
b. Đ
ịnh lí (Khai triển Doob
- Meyer). Gi
ả sử
 
t
t 0
X

là martingale dư
ới thuộc lớp (DL). Khi
đó
 

t
X
có bi
ểu diễn duy nhất dạng
t t t
X M A , 
trong đó
 
t
t 0
A

là quá trình tăng, khả tích và tự nhiên và
 
t
t 0
M

là martingale.
Ch
ứng minh
Ta chỉ chứng minh tính duy nhất của khai triển.
Gi
ả sử
X
có hai khai tri
ển thỏa mãn điều kiện của định lí
t t t t t
X M A M A
 

   
V
ới mọi martingale bị chặn
 
t
t 0
m

, ta có:






t
t t t s s s
0
E m A A E m d A A

 
 
  
 
 

   
 
n 1
kt n (k 1)t n (k 1)t n kt n kt n

n
k 0
lim E m A A A A

 


 
   

11
   
 
n 1
kt n (k 1)t n (k 1)t n kt n kt n
n
k 0
lim E m M M M M

 


 
   

 
 
 
n 1
kt n (k 1)t n (k 1)t n kt n kt n kt n

n
k 0
lim E m E M M M M

 


 
   

F
Áp d
ụng tính chất martingale của M và
M

ta đư
ợc
 
 
(k 1)t n (k 1)t n kt n kt n kt n
E M M M M
 
 
  F
nên




t t t

E m A A 0

 
V
ới mỗi biến ngẫu nhiên bị chặn

b
ất kì,
 
t t
m E  F
là martingale b
ị chặn. Do đó:
 








t t t t t
0 E E F A A E A A
 
     
.
V
ậy nên với mỗi
t t

t 0, A A

 
h.c.c. Do A là liên t
ục phải nên
t t
A A


v
ới mọi
t 0
h.c.c và
t t
M M


v
ới mọi
t 0
h.c.c.
Câu 4. Đ
ịnh nghĩa martingale địa phương.
Ch
ứng minh rằng một martingale địa phương bị chặn
là m
ột martingale.
Tr
ả lời
a. Đ

ịnh nghĩa.
Quá trình ng
ẫu nhi
ên
 
t
t 0
M

đư
ợc gọi l
à một martingale địa phương nếu tồn tại
m
ột dãy các thời điểm dừng
 
n
n 0

tăng t
ới

h.c.c sao cho v
ới mọi
n 0
, quá trình ng
ẫu
nhiên
n
n
t t

M M


là martingale.
Martingale địa phương
 
t
t 0
M

được gọi là martingale bình phương khả tích địa phương nếu


2
n
t
E M  
v
ới mọi
n 1
, m
ọi
t 0
.
b. Ch
ứng minh: Một martingale địa phương bị chặn
là m
ột martingale.
Câu 5. Trình bày cách xây d
ựng tích

phân ng
ẫu nhiên đối với
quá trình ng
ẫu nhiên đơn giản.
Ch
ứng minh tính chất đẳng cự.
Tr
ả lời
a. Xây d
ựng vi phân ngẫu nhi
ên
. Kí hi
ệu
0
L
là t
ập tất cả các quá tr
ình ngẫu nhiên
đơn gi
ản
t
f
có d
ạng
     
j j 1
n 1
t j (t ,t ]
j 1
f w f w .1 t






,
12
trong đó
0 n
0 t t  
và
j
f
là bi
ến ngẫu nhiên
j
t
F
- đo đư
ợc.
Gi
ả sử ta cố định
m
ột quá tr
ình ng
ẫu nhiên
2,c
MM
. V
ới

0
f L
, ta xác đ
ịnh tích phân Itô
như sau
 
 
j 1 j
n 1
s s j t t
j 1
I f f dM f M M



  


b. Tính ch
ất đẳng cự
Đ
ịnh lí.
V
ới mọi
0
f L
, ta có:
s s
E f dM 0
 


 
 

và
   
2
2
s s s
s
E f dM E f d M
 

 
 
 
Ch
ứng minh
Đẳng thức thứ nhất suy ra từ
 
   
 
j 1 j j 1 j
n 1 n 1
s s j t t j t t
j 1 j 1
E f .dM E f M M E f M M
 
 
 

 
   
 
 
 

 


j 1 j j
n 1
j t t t
j 1
E f .E M M 0



  

F
Đ
ể chứng minh đẳng thức thứ hai ta chú ý rằng:
 
   
 
j 1 j j 1 j k 1 k
n 1
2
2
2

s s j t t j k t t t t
j 1 0 j k n 1
f .dM f M M 2 f f M M M M
  

    
    
 

1 2
I I 
.
Ta có:
 
   
j 1 j j 1 j
n 1 n 1
2 2
2 2
1 j t t j t t
j 1 j 1
E I E f M M E f M M
 
 
 
 
 
   
 
 

 
 
 
 
j 1 j j
n 1
2
2
j t t t
j 1
E f E M M



 
 
 
 
 
 
 

F
Ta thấy:
 
 
 
2
2 2
t s s t t s s s

E M M E M 2M .M M   F F
 
 
2 2
t s s t s s
E M 2M .E M M  F F
13
 
2 2 2
s s s s
t s
E M M M 2M M    F
 
s
t s
E M M  F
.
Do đó:
 




j 1 j
n 1
2
1 j s
t t s
j 1
E I E f M M E f .d M




  


M
ặt khác:
 
 
 
 
j 1 j k 1 k k
2 j k t t t t t
0 j k n 1
E I 2 E f f M M .E M M
 
   
   

F
T
ừ đó suy ra điều phải chứng minh.
Câu 6. Phát biểu công thức vi phân Itô cho semimartingale liên tục và chứng minh cho trường
h
ợp 1 chiều.
Tr
ả lời
Đ
ịnh nghĩa.

Quá trình ng
ẫu nhiên d
- chi
ều
 
t
t 0
X

đư
ợc gọi là semi
-martingale liên t
ục nếu
t 0 t
X X M A  
,
trong đó
1 d
M , ,M
là các martingale đ
ịa phương liên tục và
1 d
A , ,A
là các quá trình liên t
ục
có bi
ến phân hữu hạn.
a. Đ
ịnh lí (Công thức vi phân Itô)
. Gi

ả sử
X là semi-martingale liên t
ục d
- chi
ều và
 
2 d
F C 
. Khi đó
         
d d
d d d
i i 2 i j
t 0 i s s i s s ij s
s
i 1 i 1 i,j 1
0 0
1
F X F X F X dM F X dA F X d M ,M
2
  
      
  
 
(1)
b. Ch
ứng minh
Ta ch
ứng minh cho trường hợp
d 1

.
Đặt
 
 
0
n
t 0
t
t
0
if X n
i
nf t : M n or Var A n or M n if X n
 

 

   


v
ới
 
t
Var A
là bi
ến phân toàn phần của A trên đoạn
 
0,t
. Rõ ràng

n
  
h.c.c. Ta ch
ỉ cần
ch
ứng minh
(1) v
ới t được thay bởi
n
t  
, sau đó cho
n  
. Vì v
ậy, ta có thể giả sử rằng
 
0 t
t
X , M ,Var A
và
t
M
là các quá trình bị chặn bởi một hằng số K và
 
2 d
0
F C 
. Ở đây
 
2 d
0

C 
là t
ập các hàm khả vi đến cấp hai và có giá trị compact trong
d

.
Đ
ặt
i
t it n
v
ới
i 0,1, 
Khi đó áp d
ụng công thức
khai tri
ển Taylor,
14
   
   
 
i i 1
n
t 0 t t
i 1
F X F X F X F X


  


  
 
 
i 1 i i 1 i i 1
n n
t t t i t t
i 1 i 1
n n
1 2
1
F X X X F X X
2
I I
  
 
 
    
 
 
v
ới
i

n
ằm giữa
i 1
t
X

và

i
t
X
.
Khi
n  
:
     
   
i 1 i i 1 i 1 i i 1
t t
n n
n
1 t t t t t t s s s s
i 1 i 1
0 0
I F X M M F X A A F X dM F X dA
   
 
   
     
 
 
(2)
M
ặt khác
:
 
 
 

  
 
 
i i 1 i i 1 i i 1 i i 1
n n n
2 2
n
2 i t t i t t t t i t t
i 1 i 1 i 1
n n n
21 22 23
2I F M M 2 F M M A A F A A
I I I
   
  
  
         
  
  
Do
t
A
liên t
ục và có biến phân hữu hạn và M là liên tục nên:
 
 
 
 
j j 1 i i 1 j j 1
n

n
23 t t t t t t t 0
1 j n 1 j n
i 1
I F sup A A A A F sup A A . A A 0
  
 
   

   
 
      
   
   

 
j j 1
n
22 t t t 0
1 j n
I F sup M M A A 0


 
 

   
 
 
h.c.c

Đ
ặt
 
i i 1
k
2
n
k t t
i 1
V M M , k 1, ,n


  


Khi đó:
 


 
 
 
i i 1 j j 1 i i 1
n
2
4 2
2
n
n t t t t t t
i 1 1 i j n

E V E M M 2 E M M . M M
  
   
 
    
 
 
 
 
 
 
i i 1 j j 1 j 1 i i 1
n
2
4 2
t t t t t t t
i 1 1 i j n
E M M 2 E E M M . M M
   
   
 
 
    
 
 
 
 
 
F
 



 


i i 1 i i 1
j j 1
n
2 2
2
t t t t
t t
i 1 1 i j n
4K E M M 2 E M M . M M
 

   
    
 
 
 


i i 1
2
2 n
n t t
1 i n
4K .E V 2K. E M M


 
  

   
2 n
n
4K 2K .E V 
   


2
2 n
n
4K 2K . E V 
Do đó:
15
 


 
2 2
n 2
n
E V 4K 2K 
Đ
ặt
    
 
i 1 i i 1 i 1
i i 1

n n
2
2
n n
3 t t t 4 t
t t
i 1 i 1
I F X M M , I F X M M
  

 
 
   
 
Ta có:
 
 
 
 
 


i 1
2
2
2
n n n
3 21 i t n
1 i n
E I I E max F F X .E V 0


 
 
 
    
 
 
(3)
và
 
t
n
4 s
s
0
I F X d M



h.c.c (4)
M
ặt khác:


   
 
i 1 i i 1
i i 1
n
2

2
2
n n 2
3 4 t t t
t t
i 1
E I I E F X M M M M
 


 
 

    
 
 
 
 

 
 
i i 1
i i 1
n
2
4
t t
t t
i 1
F .E M M M M 0





 

    
 
 

Kết hợp khẳng định trên với (3) và (4) ta được:
 
t
n
21 s
s
0
I F X d M



L
ại kết hợp với (2) ta được điều phải chứng minh (1).
Chú ý. V
ới d = 1 và
t u t t
X X M A  
v
ới
A

là bi
ến phân bị chặn,
 
2,c
t loc
t 0
M

M
và
2
F C
. Khi đó:
         
t t t
t u s s s s s
s
u u u
1
F X F X F X dM F X dA F X d M
2
  
   
  
Câu 7. Gi
ả sử M là martingale bình phương khả tích. Chứng m
inh r
ằng biến phân bậc hai của M
trùng v
ới quá trình Meyer của nó.

Tr
ả lời
a. M
ột số định nghĩa:
+ V
ới các q
uá trình ng
ẫu nhi
ên
 
t
0 t T
X
 
. Bi
ến phân bậc hai
c
ủa X đ
ược xác định như sau
 
i i 1
n
t t
t
n
i 1
X lim X X




 

16
+ Gi
ả sử
 
t
t 0
M

là martingale bình ph
ương khả tích và có quĩ đạo liên tục phải. Khi đó tồn tại
duy nh
ất một quá trình tăng, tự nhiên,
t
A
sao cho
2
t t
M A
là martingale. Ta kí hi
ệu
t
t
A M
và g
ọi
M
là đ
ặc tr

ưng
hay quá trình Meyer c
ủa martingale
 
t
M
.
b. Ch
ứng minh biến phân bậc hai của M trùng với quá trình Meyer của nó.
Gi
ả sử
2,c
loc
MM
. Gi
ả sử
 
n
i
0 i n
t
 
là dãy th
ỏa m
ãn
n n n
0 1 n
0 t t t t    
và
 

n n
j j 1
1 j n
max t t 0

 
 
khi
n  
.
Khi đó


n n
j j 1
n
2
t
t t
n
j 1
lim M M M



 

.
Chứng minh
Đ

ặt
n
j 1
n
t t j
t
X M M , t t

  
.
Áp d
ụng công thức vi phân Itô
v
ới d = 1
cho
 
2
F x x
ta đư
ợc:




 
n n n
j 1
j 1 j 1 j 1
n n
j 1 j 1

t t
2
n
t s t s
s
t t t
t t
M M M M 2 M M dM d M

  
 
     
 


 
n
n
j 1
j 1
j 1
n
j 1
t
2
n
t s t s
t t
t
t

M M 2 M M dM M M




     

Do đó




n
j
n n
n n n
j j 1
j j 1 j 1
n
j 1
t
n n
2
s s
t t
t t t
j 1 j 1
t
M M 2 M M dM M M


 

 
 
 
    
 
 
 

n
j
n
j 1
n
j 1
t
t
n
s s s
t 0
t
j 1
0
t
2 M dM 2 M dM M M



   


 


n n n
j 1 j j 1
t
n
s s
t
t t t
j 1
0
2 M dM 2 M M M M
 

   


n
t
M


,
vì theo
định nghĩa tích phân ngẫu nhiên,


n n n

j 1 j j 1
t
n
s s
t t t
j 1
0
M M M M dM
 

 


.
V
ậy
 
t
t
M M
.
Câu 8. Phát bi
ểu và chứng minh công thức đặc trưng Levy cho chuyển động Brown.
Tr
ả lời
G
ọi
*

là chuy

ển vị của vectơ hay ma trận

và
jk (j k)
I

 
là kí hi
ệu delta
Kronecker.
17
Đ
ịnh lí (Đặc trưng Levy).
Gi
ả sử
 
*
1 d
t t t
X X , ,X 
th
ỏa mãn
j 2,c
loc 0
X ,X 0 M
và
j k
jk
t
X ,X t, j,k 1, ,d   

Khi đó
 
t
X
là chuy
ển động Brown d
- chi
ều.
Ch
ứng minh
Gi
ả sử
d

. Áp d
ụng công thức Itô cho hàm
 
*
i x
F e

 
ta có v
ới mọi
t s 0 
,
   
* *
t s
i X i X

t s
e e F X F X
 
  
     
t t t
u u u u u
u
s s s
1
F X .dM F X .dA F X d M
2
  
  
  
   
t t
u u u
u
s s
1
F X dX F X d X
2
 
 
 
* *
u u
t t
2

i X i X
*
u
s s
1
i e dX .e du
2
 
   
 
.
L
ấy kì vọng
đi
ều kiện
hai v
ế
v
ới
s
F
, ta đư
ợc:
 
* * * *
t s u u
t t
2
i X i X i X i X
*

s u s s
s s
1
E e e E i e dX E e
2
   
   
    
   
   
 
F F F
 
*
u
t
2
i X
s
s
1
E e du
2

  

F
Chia hai v
ế cho
*

s
i X
e

ta đư
ợc:
   
* *
t s u s
t
2
i (X X ) i (X X )
s s
s
1
E e 1 E e du
2
   
   

F F
Đặt
 
*
u s
i (X X )
u s
m E e
 
 F

với
u s
thì
s
m 1
và:
t
2
t u
s
1
m 1 m .du
2
  

2
1
.t
2 2
t t
2
t t
t
dm dm
1 1
.m .dt m c.e
dt 2 m 2
 
         
Do

s
m 1
nên
 
2
1
. t s
2
t
m e
  

, t
ức là
 
 
2
*
t s
1
. t s
i (X X )
2
s
E e e
  
 
F
Theo tính ch
ất của hàm đặc trưng thì

t s
X X
đ
ộc lập với
s
F
và
t s
X X
có phân ph
ối chuẩn
 
 
d
N 0, t s I
. V
ậy nên
t
X
là chuy
ển động Brown d
- chi
ều.
trong đó


1
là ma tr
ận nghịch đảo của


.
Đ
ặt
18
Câu 9. Phát bi
ểu và chứng minh công thức tính biểu diễn martingale địa phương bình phương
kh
ả tíc
h b
ởi tích phân ngẫu nhiên ứng với chuyển động Brown.
Tr
ả lời
Đ
ịnh nghĩa.
+ Martingale
 
t
t 0
M

đư
ợc gọi là
martingale bình ph
ương khả tích
, kí hi
ệu
2
MM
, n
ếu

 
2
t
E M , t 0   
N
ếu M liên tục, ta kí hiệu
2,c
MM
.
+ Gi
ả sử L là họ tất cả các ánh xạ đo được
 
 
 
 
X : , ,
 
  B F B   
,
sao cho v
ới mọi
t 0
,
t
X :  
là
t
F
- đo đư
ợc và với mỗi

w 
, ánh x
ạ
 
t
t X w
là liên
t
ục trái.
Đ
ặt
   
 
1
X B :B ,X L

   P B 
,
trong đó
     
 
1
t
X B t,w : X w B


   
.
Có th
ể hiểu

P là

- đ
ại số bé nhất trên
 
 
,
 
 B F 
sao cho v
ới mọi
X L
, ánh x
ạ
   
 
X : , ,

 P B  
là đo đư
ợc.
Quá trình ngẫu nhiên
 
 
t
X X w
là khả báo nếu ánh xạ
   
 
X : , ,


 P B  
là đo
đư
ợc.
a. Đ
ịnh lí.
Gi
ả sử
i 2,c
M , i 1, ,d M 
. Gi
ả sử
ij
: , i, j 1, d

     
là các quá trình
kh
ả báo thỏa mãn
   
t
d
i j
ik jk
t
k 1
0
M ,M s s ds


  


N
ếu
 
 
det s 0 
h.c.c v
ới mọi s thì tồn tại chuyển động Brown d
- chi
ều
 
t
B
sao cho
 
t
d
i k
t ik s
k 1
0
M s dB

 


Ch
ứng minh

V
ới mỗi N > 0 đặt
 
 
1
ij
1 i,j d
N
max (s) N
s 1

 
 
 
,
với điều kiện ban đầu

nếu
19
 
   
t
d
i,N 1 k
t N s
ik
k 1
0
B s . s .dM , i 1,2, ,d



   



.
Khi đó
i,N 2,c
B M
và
 
 
 
       
t
d d
i,N j,N 1 1
N km lm
t ik jl
k,l 1 m 1
0
B ,B s . s . s . s . s .ds
 
 
     
 

 
t
d

im jm N
m 1
0
s .ds

   


 
t
ij N
0
s .ds  

.
Áp d
ụng bất đẳng thức Doob, ta có:
   
T
2
N,N
i,N i,N
t t N N
0 t T
0
E sup B B 4E s s .ds 0





 
 
     
 
 

.
Suy ra
 
i,N
B
là dãy Cauchy nên
i,N
B
h
ội tụ trong
2,c
M
t
ới
i
B
nào đó, theo ngh
ĩa
2
i,N i
0 t T
E sup B B 0
 
 

 
 
 
khi
N 0
và
i j
ij
t
B ,B t 
.
Theo đ
ịnh lí đặc trưng Levy,
 
1 d
t t t
B B , ,B 
là chuy
ển động Brown d
- chi
ều.
Mà
   
t t
d
k,N i
ik s N s
k 1
0 0
s .dB s .dM


  

 
Cho
N  
thì
 
N
s 1 
nên
 
t
d
i k
t ik s
k 1
0
M s dB

 


.
Câu 10. Phát biểu và chứng minh định lí duy nhất nghiệm của phương trình vi phân.
Tr
ả lời
Đ
ịnh nghĩa
(Nghi

ệm mạnh)
. Quá trình ng
ẫu nhiên
 
t
t 0
X X


xác đ
ịnh trên không gian xác
su
ất
 
, ,P F
đư
ợc gọi l
à nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên
   
t t t t
dX a t,X dt t,X dW  
, (*)
20
1. X tương thích v
ới lọc
 
t
t 0
F
;

2.
 
0
P X 1  
;
3. v
ới mọi
1 i d, 1 j r   
, ta có:
   
 
t
2
s ij s
0
P a x,X s,X ds 1
 
    
 
 

4. biểu diễn dưới dạng tích phân của (*) là:
   
t t
t 0 s s s
0 0
X X a s,X ds s,X dW , 0 t      
 
ho
ặc tương đương là

   
   
 
t
r
i i j
t 0 i s ij s s
j 1
0
X X a s,X ds s,X dW , 0 t ,1 i d

        


,
nghi
ệm đúng hầu chắc chắn.
a. Đ
ịnh lí.
(Xét trư
ờng hợ
p d = r =1)
Gi
ả sử hai điều kiện sau đ
ược thỏa mãn
A1 (Đi
ều kiện đo được).
a và

là đo đư

ợc từ
 
0,T   
.
A2 (Đi
ều kiện Lipschitz). Tồn tại hằng số K > 0 sao cho
       
a t,x a t,y t,x t, y K x y      
, v
ới mọi
 
t 0,T , x, y 
thì ph
ương trình vi phân ngẫu nhiên
   
t t t t
dX a t,X dt t,X dW  
, (*)
v
ới điều kiện ban đầu

có tính duy nh
ất nghiệm
b. Ch
ứng minh
Gi
ả sử
 
 
t

t 0,T
X

là hai nghi
ệm của phương trình
(*) v
ới
qu
ĩ đạo liên tục hầu chắc
ch
ắn, tức l
à:
   
t t
t s s s
0 0
X a s,X .ds s,X .dW    
 


 

 
t t
t s s s
0 0
X a s,X .ds s,X .dW    
 
V
ới mỗi N > 0, xét

 
 
N
t
1
I w
0




Ta có
 
N
t
I
là
t
F
- đo đư
ợc và
     
N N N
t t s
I I I
v
ới mọi
t s 0 
. Đ
ặt

   

 
N N
t t t t
Z I X X 
, ta có
n
ếu
 

 
 
u u
X w X w N, u 0,t   
trong các trư
ờng hợp khác
21
Khi đó
   

 
 
 

 
 

 
t t

N N N
t t t t t s s s s s
0 0
Z I X X I a s,X a s,X .ds s,X s,X .dW
 
   
       
 
   
 
 
   
 

 
 
 

 
t t
N N N
t s s s s s s s
0 0
I I a s,X a s,X ds I s,X s,X .dW
 
   
     
 
   
 

 
Áp d
ụng điều kiện Lipschitz A2, ta có với mọi
 
s 0,t
thì
 
 

 
 
 

 
 

N N N
s s s s s s s s s
I a s,X a s,X I s,X s,X K.I X X 2KN
   
       
   
(**)
Do đó áp d
ụng tính chất đẳng cự của tích phân Itô ta được
 
 
 
 


 
 
 
 

 
 
2 2
t t
2
N N N
t s s s s s s s
0 0
E Z 2E I a s,X a s,X ds 2E I s,X s,X dW
   
   
     
   
   
 
 
 

 
 
 
 

 
 

2
t t
2
N N
s s s s s s
0 0
2T.E I a s,X a s,X .ds 2E I s,X s,X .ds
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 

 
 

 
t t
2 2
N N
2 2
s s s s s s
0 0
2T.E I K . X X .ds 2E I K X X .ds   
 

 
 

 
 
t
2
N
2
s s s
0
2K T 1 E I X X .ds  

 
 
 
t
2
N
2
s
0
2K T 1 E Z .ds 

Do đó
 
 
 
 
 

t
2 2
N N
t s
0
E Z L E Z ds, t 0,T  

,
v
ới
 
2
L 2 T 1 K 
. Áp d
ụng bất đẳng thức Gronwall ta được:
 
 
 

 
   

 
2
2
N N N N
t t t t t t t t
E Z E I X X 0 I X I X h.c.c, t 0,T , N
 
       

 
 
Do qu
ĩ đạo của X và

X
là liên t
ục nên nó bị chặn h.c.c, do đó xác suất:
 
 
 

N
t t
0 t T 0 t T
P I 1, t 0,T P sup X N P sup X N 0
   
   
       

   
   
khi
N  
,
t
ức là
 
N
t

I 1
h.c.c.
Do đó v
ới mỗi t cố định, ta có:

t t
X X
h.c.c, hay

 
t t
P X X 1 
. Suy ra:

 
 
t t
P X X , t 0,T 1    
22
Th
ật vậy
, đ
ặt

 
t t t
A w :X X  
thì

 

 
 
t t t
t 0,T
X X , t 0,T A
 
    

 
Ta có
 
 
 
 
 
t t
t 0,T t 0,T
t
t 0,T
P \ A P \ A
P \ A 0
   
 
   
  
   
   
   
  


 

 
 
 
t t
t 0,T
t 0,T
P \ A 0 P A 1
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 




.
Để kết thúc chứng minh ta sẽ chứng minh

 
 

 

 
t t t t
X X , t 0,T X X , t 0,T       
.
Thế thì:

 
 

 
 
t t t t
P X X , t 0,T P X X , t 0,T 1        
,
t
ức là

t t
X X
h.c.c v
ới mọi
 
t 0,T
.
Th
ật
v
ậy
, gi
ả sử


 
 
t t
A X X , t 0,T   
và

 
 
t t
B X X , t 0,T    
.
Rõ ràng
A B
.
M
ặt khác với mọi
w B
thì
 

 
 
t t
X w X w , t 0,T   
.
Xét
 
t 0,T
b

ất kì, tồn tại
 
 
n
n 1
t 0,T

 
sao cho
n
n
lim t t


.
Do

t t
X ,X
là các quá trình ng
ẫu nhiên liên tục và
 

 
n n
t t
X w X w
. Cho
n  
ta đư

ợc
 

 
t t
X w X w w A B A    
. V
ậy A = B. Định lí được chứng minh.
CHƯƠNG 4. M
ỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
Bài 1. Tính vi phân Itô c
ủa
a.
3
t t
X W
.
b.
t t
X t.W
.
c.
2
t
W t
t
X e


.

Gi
ải
23
Ta th
ấy trong cả ba trường hợp a, b, c thì
t t
dW 0.dt 1.dW a(t) 0, (t) 1     
.
a. Xét
3
F(t,x) x
thì
2
2
2
F F F
3x , 6x, 0
x x t
  
  
  
nên
3 2
t t t t
dW 3W dt 3W .dW 
b. Tương t
ự tr
ên v
ới hàm
F(t,x) t.x

ta đư
ợc:
 
t t t
d t.W W .dt t.dW 
c. Tương t
ự với h
àm
2
x t
F(t,x) e


ta đư
ợc:
 
2 2 2
t t t
W t W t W t
2
t t t
d e 2.W .e .dt 2W .e .dW
  
 
Bài 2.
a. Cho
t
X
thỏa m
ãn

t t t t
dX X .dt 2.X .dW 
Tính vi phân Itô c
ủa
 
t t
Y ln X
. T
ừ đó t
ìm
t
X
.
b. Câu h
ỏi tương tự phần a, với
t t t
dX X .dt dW 
và
t
t t
Y e .X


.
Gi
ải
a. Tương t
ự b
ài 1, ta đư
ợc:

t t
dY dt 2dW  
Do đó:
t t t
t 0 s s t
0 0 0
Y Y dY ds 2 dW t 2W       
  
t
2W t
t 0 t t 0
ln(X ) ln(X ) 2W t X X .e

     
.
b. Tương t
ự phần a, ta có:
t
t t
dY e .dW


t t
s
t 0 s s
0 0
Y Y dY e .dW

   
 

t t
t s t s
t 0 s t 0 s
0 0
e .X X e .dW X e X e .dW
  
 
     
 
 
 
Chú ý. Trư
ờng hợp d = 1:
t t
dX a(t).dt (t).dW  
 
t t
Y F t,X
v
ới
2
F C
2
2
t t t t t t
2
t t t
F F 1 F F
dY (t,X ) a(t). (t,X ) (t). (t,X ) .dt (t). (t,X ).dW
t X 2 X X

 
   
     
 
   
 
24
Bài 3. Gi
ải các
phương tr
ình vi phân sau:
a.
t t t t 0
dX 2X .dt t.X .dW , X 1   
.
b.
t t t 0
dX 3X .dt dW ,X 1  
.
Gi
ải
a. Nh
ận xét.
T
ừ
t
t t t t t
t
dX
dX 2X .dt t.X .dW 2dt t.dW

X
      
(d
ạng giống bài 2a) nên xét hàm
 
t t
Y ln X
. T
ừ đó tính được:
2
t t
t
dY 2 dt t.dW
2
 
   
 
 
Tương t
ự bà
i 2, suy ra
t
3
s
0
1
2t t s.dW
6
t
X e

 
  
 
 


b. Ch
ọn hàm
3t
t t
Y e .X


thì
3t
t t
dY e .dW

 
Do đó
t t
3t 3s 3t 3s
t 0 s t 0 s
0 0
e .X X e .dW X e X e .dW
  
 
     
 
 

 
Bài 4 (Bài thi đi
ều kiện môn GTNN
). Gi
ả sử
t
W
là chuy
ển động Brown một chiều. Sử dụng
công th
ức vi phân Itô tìm ngiệm của phương trình sau:
a.
t t t t 0
dY 2Y dY 3dW ,Y 1   
.
b.
t t t t 0
dX 2X dt 3X .dW ,X 2  
. Tính kì v
ọng v
à phương sai c
ủa
t
X
G
ợi ý
a. Xét hàm
2t
t t
Z e .Y

.
b. Xét hàm
 
t t
Y ln X
.
Đ
ể
tính kì v
ọng và phương sai của
t
X
ta s
ử dụng một số tính chất sau:
(i)
t
W
là chuy
ển động Bro
wn nên
 
t s
W W ~ N 0,t s 
.
(ii)
 
2
2
2 2
t

DX EX EX x f(x)dx xf (x)dx
 
 
 
   
 
 
 
.
Bài 5. Cho
s
t
0
X t.dW

25
Tính hàm đ
ặc trưng của X. Từ đó xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X.
Gi
ải
Đ
ể tính hàm đặc trưng của X, tức là tính
 
s
iuX
E e
ta s
ẽ tính
 
s

iuX
d e
.
T
ừ
s
t
0
X t.dW

suy ra
s s
dX s.dW a(s) 0, (s) s    
.
B
ằng cách xét
hàm
 
iux
F s,x e
, ta tính đư
ợc:
 
s s s
iuX iuX iuX
2 2
s
1
d e s u e .ds ius.e .dW
2

  
s t t
s s
iuX iuX iuX
2 2
t
0 0
1
e 1 t .u .e .dt iut.e .dW
2
    
 
(*)
Ta có:
t
1 1
2
2
iuX
2 2
0 0
u
E iut.e .dt E u .t .dt
3
   
   
   
   
 
Do đó

t
s
iuX
t
0
iut.e .dW
 
 
 

là martingale nên
t
s
iuX
t
0
E iut.e .dW 0
 

 
 

.
L
ấ
y kì v
ọng hai vế của (*) ta đ
ư
ợc:
   

s t t
s s
iuX iuX iuX
2 2 2 2
0 0
1 1
E e 1 E t .u .e .dt t .u .E e .dt
2 2
 
    
 
 
 
Đ
ặt
 
t
iuX
f(t) E e
thì
 
s
2 2
0
1
f(s) 1 t .u .f t .dt
2
  

 

2 2 2 2
df 1 df 1
s .u .f s s .u .ds
ds 2 f 2
     
   
t
2 2 3 2
0
1 1
lnf t ln f 0 s .u .ds .t .u
2 6
     

2 3
u t
6
f(t) e

 
.
Do đó:
 
 
 
2 3 2
t
u t u
iuX
iuX

6 6
E e e E e e X ~ N 0,3


   
.