SKKN TOÁN 9 _ PHƯƠNG PHÁP DẠY GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HOÀNG MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP DẠY GIẢI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC



Môn: Toán học
\
Năm học 2014 – 2015
MỤC LỤC
Trang
Mục lục 1
Phần mở đầu: Những vấn đề chung 2
I. Lí do chọn đề tài 2
II. Mục đích của đề tài 2
III. Nhiệm vụ của đề tài 3
IV. Phương pháp nghiên cứu 3
V. Thực trạng 4
Phần nội dung: Nội dung đề tài 5
I. Cơ sở lí luận của đề tài 5
II. Cơ sở thực tiễn 5
III. Biện pháp giải quyết 5
1. Các giải pháp thực hiện 6
2. Các biện pháp tổ chức thực hiện 6
IV. Kết quả bước đầu 18
V. Bài học kinh nghiệm 18
Phần kết luận: Kết luận chung 20
Tài liệu tham khảo 21
2/21

PHẦN MỞ ĐẦU
NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Kho tàng tri thức nhân loại ngày càng phát triển cả về số lượng và chất
lượng, để theo kịp với xu thế phát triển chung đó thì việc đổi mới chương trình
dạy và học đã và đang được Bộ GD&ĐT triển khai một cách tích cực. Ngành
Giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông bao gồm:
Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chương trình sách giáo
khoa, đổi mới công tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới
cách kiểm tra đánh giá vv nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện.
Trong nhà trường THCS, dạy toán là hoạt động toán học. Đối với học
sinh, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Mặt
khác, mỗi bài toán ta có thể xem là một định lý, có những bài toán là tiền đề của
những kiến thức khác. Giải toán là một hình thức rất tốt để rèn những kỹ năng:
Kĩ năng tính toán, kĩ năng biến đổi, kĩ năng suy luận, kĩ năng toán học hóa. Giải
toán còn là một hình thức tốt nhất để kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu và
vận dụng kiến thức. Việc tìm kiếm kiến thức, lời giải cho một bài toán rèn luyện
phương pháp khoa học trong suy nghĩ, suy luận trong giải quyết các vấn đề và
qua đó rèn luyện trí thông minh sáng tạo, phát triển các năng lực trí tuệ. Hình
thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, nhân sinh quan cách mạng.
Các bài toán ở trường THCS là một phương tiện rất có hiệu quả và không
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát triển năng lực
tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập có vai trò quyết định đối
với chất lượng dạy học toán.
Trong quá trình dạy học giải toán, loại toán mà học sinh thường cảm thấy
khó là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.Tuy nhiên, đó mới là
những bài tập rèn luyện được tư duy, trí tuệ nhiều nhất, học sinh cảm thấy rất
hứng thú khi tìm ra được con đường đi nhanh nhất, thuận lợi nhất. Đặc biệt, đây
là những bài toán để phát hiện được những học sinh thông minh có óc tư duy

trừu tượng tốt nhất. Và trong đề tài này tôi sẽ đề cập đến vấn đề "Phương pháp
dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức".
II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Tìm các cách dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để từ đó áp
dụng vào bài giảng nhằm góp phần tạo sự hứng thú học tập đối với việc giải các
bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, qua đó rèn luyện trí thông minh
sáng tạo, phát triển các năng lực trí tuệ cho học sinh.
3/21
Qua việc dạy học sinh các phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trực tiếp trên lớp giúp bản thân tôi đúc kết được một số
kinh nghiệm, trau dồi được chuyên môn, nghiệp vụ, góp phần nâng cao chất
lượng và hiệu quả cho công tác giảng dạy bộ môn Toán ở trường trung học cơ
sở.
III. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
Nắm được mục đích cơ bản, đề tài cần phải giải quyết các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu lí luận làm cơ sở cho đề tài, tìm hiểu vai trò quan trọng của việc
dạy các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
- Tìm hiểu thực trạng về việc dạy và học các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trong trường THCS:
+ Giáo viên sử dụng các phương pháp nào để dạy học sinh giải bài toán tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
+ Học sinh tiếp thu như thế nào đối với các phương pháp dạy học giải bài
toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của giáo viên.
+ Hiệu quả đạt được khi áp dụng việc sử dụng các phương pháp khác cho
việc dạy giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. (Thái độ và chất
lượng tiếp thu kiến thức của học sinh).
- Đưa ra một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
- Rút kinh nghiệm và bài học cho bản thân và đề xuất ý kiến.
- Tiến hành thực nghiệm sử dụng các giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất tương ứng với từng khối lớp, áp dụng vào giảng dạy và đánh giá kết

quả thực nghiệm.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Về phương pháp nghiên cứu thì có nhiều phương pháp, trong đề tài này
tôi xin nêu ra một số phương pháp chủ yếu sau:
1. Chú trọng nghiên cứu cơ sở lí luận thông qua việc nghiên cứu nội dung sách
giáo khoa, sách hướng dẫn giảng dạy, các loại sách tham khảo có liên quan.
2. Dùng phương pháp kiểm nghiệm thông qua việc giảng dạy trực tiếp trên lớp,
dự giờ thăm lớp đồng nghiệp, thông qua các buổi sinh hoạt tổ nhóm chuyên
môn.
3. Phương pháp tổng hợp, khái quát hóa, thông qua việc rút ra bài học kinh
nghiệm của giáo viên.
4. Thông qua việc đúc kết các kinh nghiệm giảng dạy của bản thân.
V. THỰC TRẠNG
1. Thực trạng:
4/21
Chúng ta đã nhận thức rõ vai trò của việc học toán đặc biệt là việc giải toán
trong hoạt động toán học. Khi một học sinh tự tìm ra lời giải của một bài toán
khó, phương pháp giải mới, độc đáo của một bài toán gây nên sự hào hứng cho
học sinh đó. Điều này có ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp lòng say mê học toán
và ước mơ vươn tới vinh quang trong lĩnh vực nghiên cứu khám phá, phát minh
những vấn đề mới.
Tuy nhiên, trong quá trình dạy học bộ môn toán ở trường THCS trong
những năm học qua, tôi nhận thấy học sinh thường xem loại toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là loại toán khó.
Qua đó chúng ta thấy rằng việc định hướng cho học sinh về phương
pháp suy luận trong giải loại toán này là rất quan trọng.
2. Kết quả:
Thành công trong việc vận dụng các phương pháp suy luận để giải một bài
toán tuỳ thuộc vào năng lực, kinh nghiệm và kiến thức của mỗi người. Năng lực
và kinh nghiệm có thể hình thành qua việc rèn luyện và tích luỹ kiến thức. Như

vậy, thông qua giải toán mà rèn luyện năng lực và tích luỹ kinh nghiệm đồng
thời nhờ năng lực và kinh nghiệm mà khả năng giải toán được nâng cao.
Nhưng để học sinh không cảm thấy nhàm chán và xem việc giải bài tập
toán là một gánh nặng, tôi xin mạnh dạn đưa ra một vài kinh nghiệm khi dạy học
giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Để giải các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức thì
ngoài việc nắm vững kiến thức người giải toán còn phải có phương pháp suy
luận khoa học và kinh nghiệm. Phương pháp suy luận khoa học và kinh nghiệm
đó được hình thành qua quá trình học tập, rèn luyện và tích luỹ. Nó phụ thuộc
vào mỗi con người để đạt đến trình độ mà ta gọi là kĩ năng giải toán, chúng ta
cần học tập kinh nghiệm kết hợp với việc tự rèn luyện và vận dụng những điều
đó qua thực hành giải toán. Với mục đích đó đề tài của tôi sẽ đề cập đến nội
dung: “Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
5/21
PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về
bộ môn Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải toán.
- Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng thêm kiến thức của giáo viên cũng như học
sinh.
- Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng toán khó ở cấp THCS.
- Với nội dung của đề tài, học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
- Thực tế, chương trình bộ môn Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội
dung và phương pháp của một số dạng toán khó, thường chỉ mang tính chất giới
thiệu, chưa sâu.
- Nhiều học sinh muốn tìm hiểu nhưng còn lúng túng với việc chọn các tài liệu
nghiên cứu.
- Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng toán để xây dựng chuyên
đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn.

- Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của Ngành.
III. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT
1. Các giải pháp thực hiện:
* Giải pháp 1:
Đề tài “Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” sẽ
khám phá hứng thú học tập bộ môn Đại Số của học sinh khi đưa ra những bài
toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Đánh giá kết quả học tập,
tiếp thu kiến thức mới và khả năng vận dụng vào bài tập của học sinh.
Thông qua phương pháp giảng dạy này giúp học sinh định hình được trình
tự các bước giải một bài tập tìm cực trị.
Giúp học sinh phát huy khả năng độc lập tư duy sáng tạo, biết so sánh, phân
tích, tổng hợp.
Giúp giáo viên phân định được lực học của học sinh trong lớp mình dạy để
từ đó giúp giáo viên có phương pháp bồi dưỡng học sinh khá giỏi nhằm nâng
cao chất lượng mũi nhọn đồng thời bồi dưỡng học sinh yếu kém.
* Giải pháp 2:
Để giải những bài tập trong đề tài này yêu cầu học sinh cần nắm vững
những kiến thức sau:
a) Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:
6/21
+ Định nghĩa giá trị lớn nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói M
là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, ký hiệu M = maxf(x) nếu hai điều kiện sau
được thoả mãn:
- Với mọi x thuộc D thì f(x) ≤ M, với M là hằng số.
- Tồn tại x
0
thuộc D sao cho f(x
0
) = M.
+ Định nghĩa giá trị nhỏ nhất: Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói m

là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, ký hiệu m = minf(x) nếu hai điều kiện sau
được thoả mãn:
- Với mọi x thuộc D thì f(x
0
) ≥ m, với m là hằng số.
- Tồn tại x
0
thuộc D sao cho f(x
0
) = m.
Ta cũng định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y, )
giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y, ) bằng cách tương tự.
b) Sử dụng các tính chất:
+ Biểu thức A
n
(x)
³
0 với mọi x
Î
R (với n là số tự nhiên chẵn). Dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi A(x) = 0.
+ Biểu thức |A(x)|
³
0 với mọi x
Î
R. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A(x) = 0.
c) Thành thạo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Đặc biệt là hằng đẳng thức
(A ± B)
2
; A

3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB(A + B).
d) Cực trị của đa thức bậc hai với điều kiện ràng buộc của biến:
Xét đa thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c với a ≠ 0.
Ta có: f(x) = a(x
2
+
b
a
x) + c = a(x
2
+
b
a
x +
2
2
b
4a
) + c –
2
2
b
4a

= a(x +
b
2a
)
2
–
Δ
4a
- Nếu a > 0 thì minf(x) = –
Δ
4a
khi và chỉ khi x = –
b
2a
.
- Nếu a < 0 thì maxf(x)= –
Δ
4a
khi và chỉ khi x = –
b
2a
.
Như vậy, khi biến x nhận mọi giá trị thuộc R thì đa thức f(x) đạt cực trị tại
x = –
b
2a
. Nhưng có những bài toán yêu cầu tìm cực trị tại những giá trị của biến
x không phải nhận giá trị –
b
2a

.
e) Bất đẳng thức Côsi:
Cho 2 số không âm a, b ta có: a + b ≥ 2. Dấu bằng xảy ra khi a = b.
2. Các biện pháp tổ chức thực hiện:
a) Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:
+ Nghiên cứu sách giáo khoa Đại số lớp 8 tập I, sách bài tập Toán 7.
+ Toán nâng cao và phát triển Toán 9 tập I, tập II.
+ Phương pháp dạy học toán.
7/21
b) Phương pháp tự nghiên cứu.
c) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Nghiên cứu hứng thú học tập, đánh giá
mức độ hiểu biết của học sinh, nắm kiến thức và vận dụng lý thuyết vào thực
tiễn.
Đánh giá thực tế chung học sinh qua các tiết luyện tập, ôn tập, sử dụng
các hình thức so sánh, phân tích, tổng hợp. Kiểm tra trắc nghiệm sau các tiết dạy
rồi sử dụng bảng thống kê để tổng hợp kết quả sau tiết dạy. Từ các hình thức
giảng dạy rồi đúc kết đưa ra hình thức giảng dạy tối ưu nhất, hiệu quả nhất, học
sinh hiểu bài nhất.
Sưu tầm các đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi học sinh giỏi hàng năm để
nắm bắt các dạng toán và rút ra kinh nghiệm chung khi giải toán cực trị.
Cụ thể tôi sẽ trình bày cách hướng dẫn HS giải bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
DẠNG 1: SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT BIỂU THỨC
A
n
(X) ≥ 0 VỚI MỌI X ∈ R, n LÀ SỐ TỰ NHIÊN CHẴN, |A(X)| ≥ 0 VỚI
MỌI X ∈ R ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a) (x – 3)
2

+ (y – 1)
2
+ 5
b) |x – 3| + x
2
+ y
2
+ 1
c) |x – 100| + (x – y)
2
+ 100
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau
a) 10 – (y
2
– 25)
4
b) –125 – (x – 4)
2
– (y – 5)
2
Đây là loại toán có mức độ dễ và thuộc trình độ học sinh lớp 7. Tuy nhiên
với học sinh chưa bao giờ gặp thì cũng có thể hầu hết đều chưa biết giải.
Giáo viên đưa ra tính chất: biểu thức A
n
(x)
³
0 với mọi x
Î
R với n là số
tự nhiên chẵn, dấu bằng xảy ra ⇔ A(x) = 0; |A(x)|

³
0 với mọi x
Î
R;
A(x)
³
0
với mọi x thỏa mãn A(x)
³
0.
(?) Các em có nhận xét gì về các số hạng trong mỗi biểu thức ở VD1?
(?) Hãy chỉ ra giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức đó? Dấu bằng ở mỗi biểu thức
xảy ra khi nào?
Lời giải ví dụ 1
a) Có (x – 3)
2
≥ 0 với mọi x
(y – 1)
2
≥ 0 với mọi y
⇒ (x – 3)
2
+ (y – 1)
2
≥ 0 với mọi x,y
⇒ (x – 3)
2
+ (y – 1)
2
+ 5 ≥ 0 với mọi x,y

Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 3)
2
= 0 và (y – 1)
2
= 0
8/21
⇔ x = 3 và y = 1
b) Không tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x – 3| + x
2
+ y
2
+ 1 vì không
có giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất (|x – 3| = 0 ⇔ x = 3 và x
2
=
0 ⇔ x = 0 ⇒ x ∈ ∅)
c) Lập luận tương tự câu a tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x – 100| + (x
– y)
2
+ 100 là 100 khi x = y = 100.
Lời giải ví dụ 2
a) Vì (y
2
– 25)
4

³
0 với mọi y
Î
R nên 10 – (y

2
– 25)
4
≤ 10.
Dấu “=” xảy ra ⇔ y
2

– 25 = 0 ⇔ y = 5 hoặc y = –5.
b) Tương tự câu a ta có:
–125 – (x – 4)
2
– (y –5)
2
= –125 – [(x – 4)
2
+ (y –5)
2
]

£
–125 với mọi x, y.
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức là –125 khi x = 4 và y = 5.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
A=
2
1
x - 6x + 17
Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận xét tử và mẫu của A là biểu thức luôn
dương nên A > 0, do đó A lớn nhất ⇔
1

A
nhỏ nhất.
Lời giải ví dụ 3
Nhận xét: x
2
– 6x + 17 = (x – 3)
2
+ 8
³
8 nên tử và mẫu của A là các số
dương ⇒ A > 0. Do đó A lớn nhất ⇔
1
A
nhỏ nhất ⇔ x
2
– 6x + 17 nhỏ nhất.
Ta có min(x
2
– 6x + 17) = 8 ⇔ x = 3.
Vậy maxA =
1
8
⇔ x = 3.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B =
2 2
x + y
biết x + y = 4.
Học sinh thường mắc một số sai lầm khi lập luận như sau:
Ta có: A=

2 2
x + y
³
2xy.
Do đó A nhỏ nhất ⇔
2 2
x + y
= 2xy ⇔ x = y = 2.
Khi đó min A = 2
2
+ 2
2
= 8.
Tuy đáp số không sai nhưng lập luận mắc sai lầm ở chỗ ta mới chứng minh
được f(x,y)
³
g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y)
³
m với m là hằng số.
Lời giải: Ta có: x + y = 4 ⇒
2 2
x + 2xy + y
= 16.(1)
Ta lại có:
( )
x - y 0 x - 2xy + y 0³ Û ³
2
2 2
(2)
9/21

Từ (1) và (2) suy ra
2 x +y 16 x + y 8
2 2
2 2
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
³ Û ³
.
minA = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực không âm thay đổi thoả mãn x + y = 1. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=
3 3
x + y
Nhận xét: Khi x = y =
1
2
thì A =
1
4
, khi xy = 0 thì A = 1. Từ đó dự đoán A sẽ đạt
giá trị nhỏ nhất khi x = y =
1
2
.

Lời giải:
Cách 1: Vì:
( )
2
x - y 0³
nên
( )
2
x + y ³
4xy
Û
xy
1
4
£
.
Do đó A = x
3
+ y
3
= (x + y)
3
–3xy(x + y) = 1 – 3xy
³
1 –
3
4
=
1
4

A =
1
4
Û
x = y =
1
2
Vậy minA =
1
4
.
Cách 2: Với k là một số thực không âm bất kỳ, ta có
( )
2
1
x x k 0
2
 
− + ≥
 ÷
 
⇔
( )
2
1
x x x k 0
4
 
− + + ≥

 ÷
 
⇔
( )
3 2
1 1
x k 1 x k x 0
4 4k
 
+ − + − + ≥
 ÷
 

Chọn k = 1 ta suy ra:
3
3 1
x x
4 4
≥ −

Tương tự ta có:
3
3 1
y y
4 4
≥ −
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được A = x
3
+ y
3

≥
3
4
(x + y) – =
* Nhận xét 1: Từ bài toán trên ta có thể mở rộng theo một số hướng sau đây.
Bài toán 5.1: Cho trước a là một số thực dương, x và y là các số thực không âm
thay đổi thoả mãn x + y = a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x
3
+ y
3
.
Lời giải: Tương tự cách giải 1 của bài toán trên ta chứng minh được:
2
a
xy
4
£
; B
3
a
4
³
Từ đó ta có B
min
=
3
a
4
tại x = y =
a

2
10/21
Bài toán 5.2 : Cho số tự nhiên n > 1; x
1
; x
2
; , x
n
là các số thực không âm thay
đổi thoả mãn x
1
+ x
2
+ x
3
+ + x
n
= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C = x
1
3
+ x
2
3
+. + x
3
n.
Lời giải: Với k, x là các số thực không âm bất kỳ, ta có:
( )
2

1
x x k 0
n
 
− + ≥
 ÷
 
⇔
( )
2
2
2 1
x x x k 0
n n
 
− + + ≥
 ÷
 
⇔
3 2
2 2
2 1 2k k
x k x x 0
n n n n
   
+ − + − + ≥
 ÷  ÷
   
Chọn k =
2

n
ta suy ra
3
2 3
3 2
x x
n n
≥ −

Do đó
3
1 1
2 3
3 2
x x
n n
≥ −
Viết các đẳng thức tương cho x
2
, x
3
, x
4, ,
x
n
và cộng theo vế của n bất đẳng thức
ta được:
C ≥
( )
1 2 n

2 2 2
3 2 1
x x x
n n n
+ + + − =

C =
2
1
n
⇔
1 2 n
1
x x x
n
= = = =
Vậy C
min
=
2
1
n
* Nhận xét 2: Bằng cách giải tương tự bài toán 1.2 ta có thể giải bài toán sau:
Bài toán 5.3: Cho trước a là một số thực dương; n là một số tự nhiên, n > 1; x
1
,
x
2
, x
3

, , x
n
là các số thực không âm thay đổi thoả mãn: x
1
+ x
2
+ x
3
+ + x
n
= a.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = x
1
3
+ x
2
3
+. + x
3
n
* Nhận xét 3: Từ các bài toán trên, ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát: Cho trước a là một số thực dương; m, n, t là các số tự nhiên;
m, n, t > 0; x
1
, x
2
, x
3
, , x
n

là các số thực không âm thay đổi thoả mãn:
x
1
t
+ x
2
t
+. + x
t
n
= a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x
1
m
+ x
2
m
+. + x
m
n
.
DẠNG 2: CỰC TRỊ CỦA ĐA THỨC BẬC HAI VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG
BUỘC CỦA BIẾN
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = (2x – 3)
2
– 7 với x ≤ –1 hoặc x ≥ 3
Lời giải:
+ Với x ≥ 3 thì 2x – 3 ≥ 2.3 – 3 = 3 ⇒ (2x – 3)
2

≥ 9 ⇒ A = (2x – 3)
2
– 7 ≥ 2.
+ Với x ≤ –1 thì 2x – 3
£
2.( –1) – 3 = –5 ⇒ (2x – 3)
2
≥ 25
11/21
⇒ A = (2x – 3)
2
– 7 ≥ 18.
So sánh hai trường hợp trên, ta thấy minA = 2 khi và chỉ khi x = 3.
* Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)
2
– 7 ≥ –7, xảy ra dẳng thức khi và chỉ khi x =
3
2
,
nhưng giá trị này không thoả mãn x ≥ 3; x ≤ –1. Do đó không thể kết luận được
giá trị nhỏ nhất của A bằng –7.
DẠNG 3: ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI, BẤT ĐẲNG THỨC
BUNHIA CHO BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC
* Ví dụ 7 (trích sách ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán năm học 2015 – 2016):
Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng:
≥
1 1 4
+
a b a + b

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a và b ta có:
a b 2 ab
+ ≥
;
1 1 2
a b
ab
+ ≥
⇒
( )
1 1
a b 4
a b
 
+ + ≥
 ÷
 
.
Mà a + b > 0 ⇒
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
* Nhận xét: Vận dụng kết quả của bài toán trên để giải các bài toán sau:
Bài toán 7.1: Cho a > 0, b > 0; a + b = 1. Tìm min M =
2 2
1 1
a b ab

+
+
.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
với x, y > 0 ta có
( )
2
2 2
1 1 4
a b 2ab
a b
+ ≥
+
+
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a và b ta có:
a b 2 ab
+ ≥
⇒ 1 ≥ 4ab
Mà 2ab > 0 ⇒
1
2
2ab
≥
nên M ≥ 4 + 2 = 6. Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b =
1

2
.
Vậy min M = 6 khi a = b =
1
2
.
Bài toán 7.2: Cho x, y, z > 0;
1 1 1
1
x y z
+ + =
.
Tìm max M =
1 1 1
2x y z 2y z x 2z x y
+ +
+ + + + + +
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
với a, b > 0 ta có
12/21
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
;
y z

1 1 4
y z
+ ≥
+
;
z x
1 1 4
z x
+ ≥
+
Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được:
1 1 1 1 1 1
2 4
x y z x y y z z x
   
 ÷  ÷
   
+ + ≥ + +
+ + +
⇒
1
2
1 1 1
x y y z z x
≤+ +
+ + +
Tương tự ta có:
1 1 4
x y y z x 2y z
+ ≥

+ + + +


1 1 4
y z z x x y 2z
+ ≥
+ + + +

1 1 4
z x x y 2x y z
+ ≥
+ + + +
Do đó:
2 4
1 1 1 1 1 1
x y y z z x 2x y z 2y z x 2z x y
   
≥
 ÷  ÷
   
+ + + +
+ + + + + + + + +
⇒ 4M ≤
2
1 1 1
x y y z z x
 
 ÷
 
+ +

+ + +
≤ 1
⇒ M ≤
1
4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z;
1 1 1
1
x y z
+ + =
⇒ x = y = z =
1
3
.
Vậy max M =
1
4
khi x = y = z =
1
3
.
Ví dụ 8 (trích sách ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán năm học 2015 – 2016):
Cho x ≥ -1; y ≥ -1; x + y = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của M =
x + 1 + y+ 1
Lời giải
+ Chứng minh bất đẳng thức Bunhia:
Với a, b, x, y ta có: (a
2
+ b

2
)(x
2
+ y
2
) – (ax + by)
2
= (ay – bx)
2
≥ 0
⇒ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) ≥ (ax + by)
2
hay (ax + by)
2
≤ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2

) (*)
Dấu “=” xảy ra ay = bx.
+ Với x ≥ -1; y ≥ -1 ⇒ M ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia (*) ta có:
M
2
= (
x +1+ y +1
)
2
≤ (1
2
+ 1
2
)(x + 1 + y + 1) = 2.8 = 16
Suy ra M ≤ 4. Dấu “=” xảy ra khi
x +1 y+1=
và x + y = 6 ⇔ x = y = 3
Vậy max M = 4 khi x = y = 3.
Trên đây là một số các ví dụ điển hình và tổng quát mà chúng ta thường gặp.
Các bài toán về cực trị thường được sử dụng trong các để thi học sinh giỏi và
đặc biệt là đề thi vào lớp 10 THPT các năm gần đây.
13/21
Sau đây tôi xin trích một số bài toán về cực trị có trong các đề thi để giúp học
sinh đang ôn thi lớp 9 và chuẩn bị bước vào kỳ thi vào lớp 10 THPT tham khảo.
* VD1 (Đề thi HSG lớp 7 – Quận Hoàng Mai năm học 2006 - 2007):
Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
2
+ xy + y
2
.

Lời giải
Có x + y = 2 ⇒ x = 2 – y. Thay vào biểu thức A ta có:
A = (2 – y)
2
+ (2 – y)y + y
2

= 4 – 4y + y
2
+ 2y – y
2
+ y
2

= (y – 1)
2
+ 3 ≥ 3 với mọi y
Dấu “=” xảy ra khi y = 1 và x + y = 2 ⇔ x = y = 1
Vậy min A = 3 khi x = y = 1
* VD2 (Đề thi HSG lớp 7 – Quận Hoàng Mai năm học 2007 - 2008):
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất A =
7
x -2

Lời giải:
Xét |x| > 2 thì A > 0
Xét |x| < 2 thì do x ∈ Z nên |x| = 0 hoặc |x| = 1
Với |x| = 0 thì A =
7
2

−

Với |x| = 1 thì A = –7
Vậy min A = 6 khi x = ± 1
* VD3 (Đề thi HSG lớp 7 – Quận Hoàng Mai năm học 2009 - 2010):
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
2010
x-1 + x-4

Lời giải:
Có |x – 1| + |x – 4| = |x – 1| + |4 – x| ≥ |x – 1 + 4 – x| = |3| = 3
⇒
2010 2010
670
x 1 4 x 3
≤ =
− + −
hay A =
2010
670
x 1 x 4
≤
− + −
Dấu “=” xảy ra khi (x – 1)(x – 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 hoặc x ≥ 4
Vậy max A = 670 khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 4
* VD4 (Đề thi vào lớp 10 chuyên – Toán – Lam Sơn – Thanh Hoá năm học
2005 - 2006):
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =
2 2
x +x +1 + x -x +1

Lời giải:
Ta có: x + x + 1 = (x + ) + > 0 và x – x + 1 = (x – ) + > 0 với mọi x.
Vậy tập xác định của hàm số là R.
Nhận thấy y > 0 nên y ⇔ y
14/21
Mà y = 2x
2
+ 2 + 2
( ) ( )
x x 1 x x 1+ + − +
2 2
= 2x + 2 + 2
x x 1+ +
4 2
≥ 4
⇒ y ≥ 2. Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 0.
Suy ra y= 2 ⇔ x = 0.
* VD5 (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Hà Tây năm học 2008 – 2009):
a) Cho hai số x, y ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức
≥
x+ y
xy
2
(1)
b) Áp dụng bất đẳng thức (1), chứng minh:
Với các số a, b, c dương sao cho a ≥ c; b ≥ c, ta có:
( )
( )
≤c a-c + c b -c ab
Lời giải:

a) Chứng minh bất đẳng thức Côsi.
b)
( )
( )
c a c c b c
c a -c + c b-c ab . . 1
b a a b
≤
− −
⇔ + ≤
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
c a c 1 c a c 1 c c
. 1
b a 2 b a 2 b a
   
 ÷  ÷
   
− −
≤ + = + −
c b c 1 c b c 1 c c
. 1
a b 2 a b 2 a b
 
 
 ÷
 ÷
 
 
− −
≤ + = + −

Cộng từng vế với vế ta có:
c a c c b c
. . 1
b a a b
− −
+ ≤
⇔
( )
( )
c a -c + c b-c ab≤
Dấu “=” xảy ra khi
c a c
b a
=
−
và
c b c
a b
=
−
⇔
ab
c
a b
=
+
.
* VD6 (Đề thi vào lớp 10 THPT TP Hà Nội năm học 2008 – 2009):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết:
A = (x – 1)

4
+ (x – 3)
2
+ 6(x – 1)
2
(x – 3)
2
Lời giải:
Đặt a = x – 2 ⇒ x – 1 = a + 1; x – 3 = a – 1
A = (a + 1)
4
+ (a – 1)
4
+ 6(a + 1)
2
(a – 1)
2
= (a
4
+ 4a
3
+ 6a
2
+ 4a + 1) + (a
4
– 4a
3
+ 6a
2
– 4a + 1) + 6(a

2
– 1)
2
= 8a
4
+ 8 ≥ 8
Dấu “=” xảy ra khi a = 0 ⇔ x = 2
Vậy min A = 8 khi x = 2.
* VD7 (Đề thi vào lớp 10 THPT TP Hà Nội năm học 2011 – 2012):
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
2
1
4x -3x + + 2011
4x

Lời giải:
Cách 1: M =
2
1
4x -3x + + 2011
4x
= (4x
2
– 4x + 1) + (x –1 +
1
4x
) + 2011
15/21
= (2x – 1)
2

+
2
1
x
2 x
 
 ÷
 
−
+ 2011 ≥ 2011.
Dấu “=” xảy ra khi 2x – 1 = 0 và
1
x
2 x
−
= 0 ⇔ x =
1
2
.
Vậy min M = 2011 ⇔ x =
1
2
Cách 2: M =
2
1
4x -3x + + 2011
4x
= (4x
2
– 4x + 1) + (x +

1
4x
) + 2010
= (2x – 1)
2
+ (x +
1
4x
) + 2010
Có (2x – 1)
2
≥ 0 với mọi x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi có x +
1
4x
≥ 2
1
x.
4x
= 1.
Suy ra (2x – 1)
2
+ (x +
1
4x
) + 2010 ≥ 2011.
Dấu “=” xảy ra khi 2x – 1 = 0 và x =
1
4x
⇔ x =

1
2
Vậy min M = 2011 ⇔ x =
1
2
* VD8 (Đề thi vào lớp 10 THPT TP Hà Nội năm học 2012 – 2013):
Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M =
2 2
x +y
xy
.
Lời giải:
M =
2 2
x + y
xy
=
x y
y x
+
=
3x x y
4y 4y x
 
 ÷
 
+ +

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

x y
4y x
+
≥
x y
2 .
4y x
= 1
Mặt khác: x ≥ 2y ⇒
3x 3
4y 2
≥
Do đó M ≥
5
2
. Khi x = 2y thì M =
5
2
Vậy min M =
5
2
.
* VD9 (Đề thi vào lớp 10 THPT TP Hà Nội năm học 2014 – 2015):
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức Q =
2a +bc + 2b+ca + 2c +ab
Lời giải:
16/21
Có
( ) ( )

( )
2a bc a a b c bc a b a c+ = + + + = + +

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương
a b+
và
a c+
ta có:
( )
( )
2a b c
a b a c
2
+ +
+ + ≤
Lập luận tương tự ta có:
( ) ( )
2b c a
b c b a
2
+ +
+ + ≤
( )
( )
2c b a
c a c b
2
+ +
+ + ≤
Suy ra Q ≤

2a b c 2b c a 2c a b
2 2 2
+ + + + + +
+ +

⇒ Q ≤ 2(a + b + c) = 4
Dấu “=” xảy ra khi a + b = b + c = c + a và a + b + c = 2 ⇔ a = b = c =
2
3
Vậy max Q = 4 khi a = b = c =
2
3
.
* VD10 (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên TP Hà Nội năm học 2014 – 2015):
Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức Q =
x y z
+ +
x + x + yz y + y + zx z + z + xy
.
Lời giải:
Có
( )
2
x x yz x x x y x yz x x xy xz yz
+ + = + + + + = + + + +

Áp dụng bất đẳng thức Côsi có:
( )
( )

2
2
x x yz xy xz x xy 2x yz xz x xy xz x xy xz+ + + + ≥ + + + = + + = + +
=
( )
x x y z+ +

⇒
x x
x x yz x y z
≤
+ + + +
(1). Dấu “=” xảy ra khi x
2
= yz và x + y + z = 1.
Tương tự ta có:
y
y
y y zx x y z
≤
+ + + +
(2)

z z
z z xy x y z
≤
+ + + +
(3)
Cộng (1), (2), (3) từng vế được Q ≤ 1. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =
1

3
.
Vậy max Q = 1 khi x = y = z =
1
3
.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1) Tìm giá trị của x để A = x
2
– 2x + 5 đạt giá trị nhỏ nhất.
17/21
2) a. Cho biểu thức: B =
( )
2
x
x 2014+
với x > 0. Tìm MinB
-1
.
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C =
( )
2
x
x 2015+
với x > 0.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D =
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1999 x 2000 x 2001− + − + −

4) Cho biểu thức: E =
2
2
3x 5
x 1
+
+
. Tìm giá trị lớn nhất của E.
5) Cho 0 < x < 1
a. Chứng minh rằng x(1 – x)
£
1
4
.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: G =
( )
2
2
4x 1
x 1 x
+
−
.
6) Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức H =
2 2
1 1
1 1
x y

 
 
 ÷
 ÷
 
 
− −
.
7) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức I =
1 4
x y
+

8) Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
1 1 1
+ + = 3
a b c
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức K =
2 2 2 2 2 2
1 1 1
+ +
a -ab +b b -bc+c c -ca +a

(Đề thi HSG lớp 9 - TP Hà Nội năm học 2014 – 2015):
18/21
IV. KẾT QUẢ BƯỚC ĐẦU:
Trong năm học vừa qua, tôi đã thử nghiệm các bài toán này trên đối tượng học
sinh lớp 7 và học sinh lớp 9 trường THCS.

Kết quả thử nghiệm trên 2 lớp như sau :
Lớp Số hs
Giỏi Khá Trung bình Yếu
Trước Sau Trước Sau Trước Sau Trước Sau
7B 36 5 7 13 15 13 10 5 4
9D 33 5 8 15 16 11 9 2 0
Nhận xét : Qua bảng số liệu khảo sát qua việc thực hành giải các bài tập tìm
cực trị là dạng bài tập khó, tuy nhiên đối với học sinh giỏi đã dần có khả năng tự
tìm cho mình một cách làm riêng, còn học sinh trung bình, yếu cũng sẽ biết làm
những bài tập tương tự. Qua việc dạy các bài tập này chúng ta có thể phát hiện
được đối tượng học sinh khá giỏi. Đặc biệt học sinh rất ham thích tìm tòi, khám
phá những cách làm mới và trở nên yêu thích học môn Đại số.
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
1) Đối với giáo viên:
- Khi dạy "Phương pháp dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức", người thầy chính là người gợi mở để gây sự hứng thú đối với mỗi bài
toán cho học sinh, làm cho học sinh có niềm đam mê đối với dạng toán này.
- Đối với mỗi bài toán, người thầy cần để học sinh tìm tòi và định hướng được
phương pháp giải, xác định được những kiến thức cần vận dụng cho bài toán đó.
- Khi thực hành giải toán, có những học sinh mắc những lời giải sai, người thầy
cần lường trước được những khả năng học sinh có thể bị nhầm lẫn, từ đó chỉ ra
đồng thời nhấn mạnh những lỗi sai, đưa ra hướng giải quyết một cách chặt chẽ
để hướng dẫn học sinh.
- Lấy học sinh làm trung tâm, coi học sinh là chủ thể trong hoạt động nhận thức.
Trong khi dạy toán nói chung, thầy giáo luôn tận dụng hết kinh nghiệm có sẵn
của các em, khai thác hết kinh nghiệm đó, tối đa hoá sự tham gia của người học,
tối thiểu hoá sự áp đặt can thiệp của người dạy.
- Tận dụng tất cả thời gian trong một tiết dạy bằng các phương tiện dạy học như
bảng phụ, máy chiếu vv…để học sinh có cơ hội đi sâu nghiên cứu bài học.
2) Đối với học sinh:

- Nắm vững các tính chất, các phương pháp giải quyết dạng bài toán tìm giá trị
lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, từ đó biết cách vận dụng các kiến
thức một cách linh hoạt vào việc giải các bài toán.
- Học phải đi đôi với hành, việc phải làm bài tập vận dụng không chỉ là mục
đích của học toán mà thông qua bài tập học sinh sẽ hiểu sâu sắc về định lý.
19/21
- Tập trung suy nghĩ, phát biểu, ghi chép, tích cực thực hiện việc học theo sự
hướng dẫn của giáo viên.
20/21
PHẦN KẾT LUẬN
Chủ đề về giải toán cực trị đã được sử dụng phổ biến trong các đề thi, đặc
biệt là đề thi học sinh giỏi và đề thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, mỗi một bài
toán lại được khai thác theo nhiều hướng khác nhau, và phụ thuộc vào năng lực
sư phạm tài tính, khéo léo của mỗi giáo viên để có cách giải quyết bài toán một
cách hợp lý.
Đề tài "Phương pháp dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức" sử dụng chương trình sách giáo khoa, đặc biệt những bài toán
trong các đề thi được triển khai khi dạy học đã rất gây được hứng thú tìm tòi
sáng tạo cho học sinh. Đặc biệt, sau khi giải bài toán cụ thể học sinh có thể áp
dụng ngay cho bài toán tương tự và hơn nữa có những học sinh còn tìm ra được
những cách làm khác với ý đồ của tôi, khiến tôi vô cùng ngạc nhiên và sửng sốt
với mức độ tiếp thu và sáng tạo của học sinh. Từ cảm hứng đó, tôi viết ra một
vài ý tưởng của mình để đóng góp một vài kinh nghiệm nhỏ cùng đồng nghiệp.
Chương trình sách giáo khoa Toán đang được triển khai thực hiện đã đổi
mới cả nội dung lẫn phương pháp, giúp người dạy và người học dễ tiếp cận. Tuy
nhiên các dạng bài tập đều đòi hỏi trí thông minh sáng tạo và phương pháp
giảng dạy phải được ứng dụng phù hợp cho từng dạng bài tập. Trong quá trình
giảng dạy, tôi rất trăn trở về những bài tập đòi hỏi tư duy. Học sinh không chỉ
được ôn lại mà còn mở rộng và khắc sâu nhiều kiến thức, phát triển được trí
thông minh, sáng tạo của học sinh.

Là một giáo viên dạy toán với thời gian chưa lâu, kinh nghiệm trong giảng
dạy chưa nhiều nhưng tôi cũng mạnh dạn đưa ra một vài dạng bài tập về tìm cực
trị để đồng nghiệp tham khảo. Vì thời gian nghiên cứu có hạn và kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học chưa nhiều nên quá trình nghiên cứu còn nhiều hạn chế, rất
mong được sự đóng góp ý kiến, động viên của đồng nghiệp và ban giám hiệu.
Tôi xin chân thành cảm ơn và lĩnh hội ý kiến đóng góp để đề tài này thiết thực
cho việc giảng dạy.
Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của của BGH cùng
các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn thành bản SKKN này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

21/21
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 7, 8, 9.
2. Hoạt động dạy học ở trường trung học cơ sở - NXB Giáo dục.
3. Phương pháp dạy học môn Toán học - NXB Giáo dục.
5. Tài liệu tham khảo dùng cho giáo viên THCS môn Toán.
6. Sách ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán năm học 2015 – 2016 – NXB Giáo dục
22/21