3doc tài liệu hóa học vô cơ

3.phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên 2 chiều
3.1.Trường hợp rời rạc
- cho biến ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều (X,Y) và hàm (x,y). Lập bảng phân phối xác suất
của Z=(x,y).
Ta tiến hành:
-tìm tập của Z tương ứng với các giá trị của X,Y;
-tìm các xác suất:
Ví dụ: cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X,Y. Lập bảng phân phối của Z=2X-
3Y+1
GIẢI: tính các giá trị của Z
Y
X
0 1 2
1 0,1 0,2 0.05
2 0,15 0,25 0,25
Z Y
X
0 1 2
1 3 0 -3
2 5 2 -1
*P=P=0,05
*P=P=0,25
*P=P=0,2
*P=P=0,25
*P
*P
Ta có:
Z -3 -1 0 2 3 5
P 0,05 0,25 0,2 0,25 0,1 0,15
Ví dụ 2: cho XP(),YP(), X,Y độc lập. Tìm phân phối xác suất của Z=X+Y
GIẢI: Z(Ω)=

P (tính độc lập)
= =
= . Vậy z
3.2. Trường hợp liên tục
-Giả sử (X,Y) là biến ngẫu nhiên 2 chiều có hàm mật độ xác suất f(x,y) các hàm U =
u(x,y); T = t(x,y) liên tục cùng với các hàm ngược x = x(u,t) của chúng; các đạo hàm
riêng
; tồn tại. Liên tục và jacôbi J =
Khi đó hàm mật độ của biến ngẫu nhiên 2 chiều (u,t) được xác định:
g(u,t) = f(x(u,t), y(u,t)) |J|. (1.1)
ví dụ 3: cho biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có hàm mật độ xác suất f(x,y). Chứng tỏ
rằng hàm mật độ của T = X+Y là:
hay (1.2)
Nếu X,y độc lập thì:
hoặc (1.3)
GIẢI: Xét u=x; t = x+y suy ra x=u, y = t-u
Jacobi: J = = 1
Từ công thức (1.1) ta có hàm mật độ đồng thời của (u,t):
g(u, t) = f(u, t-u).
từ đó hàm mật độ của T:
Tương tự ta cũng có:
Nếu X, Y độc lập thì: f(u, t-u) = :

Tương tự:
Ví dụ 4: cho X N(), Y ), độc lập. Chứng minh T = X+Y có phân phối chuẩn N(
GIẢI: Trước tiên ta chưng minh cho X N(0,
Ta có :
- = - .(1.4)
Đặt v =
=

Từ ví dụ 3: .
= =
= .
Chứng tỏ là hàm mật độ phân phối chuẩn N(0, 1+).
Với X ); Y = N(
(1.6)
Từ mệnh đề ta có:

Theo chứng minh phần trên:

Do đó từ (1.6):
Từ ví dụ 4 ta có kết quả:
Định lý 1: nếu
Định lý 2: X
aX+bY+b) với ab