chuyên đề 7 Toạ độ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
Chuyên Đề 4: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC
TỌA ĐỘ VÉCTƠ TỌA ĐỘ ĐIỂM
1.Tọa độ véc tơ
u (x;y;z) u xi yj zk= Û = + +
r
r r
r r
2. Tính chất:
1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )± = ± ± ±
r
r
(k 0)
1 2 3
ka (ka ;ka ;ka )= ¹
r
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
1 1 2 2 3 3
a.b (a b a b a b )= + +
r
r
1 1 2 2 3 3
a b a.b a b a b a b 0^ Û = + + =
r r
r r
1 1 2 2 3 3

a b a b ;a b ;a b= Û = = =
r
r
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a b
cos a;b
a a a . b b b
+ +
=
+ + + +
r
r
3. Tích có hướng hai véc tơ
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
a b a;b ; ;
b b b b b b
ỉ ư
÷
ç
é ù
÷
ç
Ù = =
÷
ç

ê ú
ë û
÷
÷
ç
è ø
r r
r r
Chú ý:
a;b .a 0 hay a;b .b 0
é ù é ù
= =
ê ú ê ú
ë û ë û
r r r
r r r
( )
a;b a . b .sin a,b
é ù
=
ê ú
ë û
r r r
r r r
4. Hai véc tơ cùng phương
a;b 0
é ù
=
ê ú
ë û

r
r
r
hay
(b
1 2 3
1 2 3
a a a
0)
b b b
= = ¹
ur
r
5.Điều kiện 3 véc tơ đồng phẳng
a;b;c
r
r r
đồng phẳng
a;b .C 0
é ù
Û =
ê ú
ë û
r ur
r
1. Tọa độ vec điểm
M (x;y;z) OM xi yj zk= Û = + +
uuur r
r r
2. Tọa độ các điểm đặc biệt

M M(0;0;0)
M Ox M(x;0;0)
M Oy M(0;y;0)
M Oz M(0;0;z)
M Oxy M(x;y;0)
M Oxz M(x;0;z)
M Oyz M(0;y;z)
º Û
Ỵ Û
Ỵ Û
Ỵ Û
Ỵ Û
Ỵ Û
Ỵ Û
3.Tọa độ của vec tơ và khoảng cách giữa hai
điểm
B A B A B A
2 2 2
B A B A B A
AB (x x ;y y ;z z )
AB (x x ) (y y ) (z z )
= - - -
= - + - + -
uuur
4. Ứng dụng
a. Diện tích hình bình hành ABCD
S AB;AD
é ù
=
ê ú

ë û
uuur uuur
b.Diện tích tam giác ABC:
1
S AB;AC
2
é ù
=
ê ú
ë û
uuur uuur
c.Thể tích khối hộp ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
/
V AB;AD .AA
é ù
=
ê ú
ë û
uuuur
uuur uuur
d. Thể tích tứ diện ABCD
1
V AB;AC .AD

6
é ù
=
ê ú
ë û
uuur uuur uuur
hay
BCD
1
V S .AH
3
D
=
MẶT CẦU
Loại 1:
Biết tâm I (a;b;c) bán kính r, phương trình mặt cầu (S) có dạng (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=r
2
Loại 2: phương trình mặt cầu (S) có dạng: x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0 (đk:a

2
+b
2
+c
2
-d>0)
Khi đó xác đònh được tâm mặt cầu (S) là I(a;b;c) và bán kính r =
2 2 2
a b c d+ + -

Trang 1
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG
1.Phương trình tổng quát :
2.Các trường hợp đặc biệt:
• α // Ox → α: By + Cz + D = 0 ;
(D = 0 → α ⊃ Ox )
• α // Oy → α: Ax + Cz + D = 0 ;
(D = 0 → α ⊃ Oy )
• α // Oz → α: Ax + By + D = 0 ;
(D = 0 → α ⊃ Oz )
• Oxy : z = 0; • Oxz : y = 0; • Oyz : x = 0
3.Quan hệ giữa VTPT
Mặt phẳng (α) có hai vectơ
a;b
r
r
có giá song song
hoặc nằm trong (α) thì VTPT
n a;b

é ù
=
ê ú
ë û
r
r r
4.Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Mặt phẳng (α) cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại
A(a ; 0 ; 0) ; B(0 ; b ; 0) ; C(0 ; 0 ; c)
pt mp có dạng
1
=++
c
z
b
y
a
x
5.Vò trí tương đối của 2 mặt phẳng :
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ;
(α
/
) : A’x + B’y + C’z + D = 0(A’,B’,C’,D’
¹
0)
5. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt
phẳng
( )
0 0 0
0

2 2 2
Ax By Cz D
d M ,( )
A B C
+ + +
a =
+ +
Chú ý: khoảng cách giữa hai mp song
song, là khoảng cách từ 1 điểm thuộc
mp này đến mp kia.
6. Góc giữa hai mp:
/
/
n.n
cos
n . n
j =
r r
r r
1.Phương trình tham số
PTTS của
D
qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0

) và
VTCP
u (a;b;c) 0= ¹
r
r
là pt có dạng
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
ì
ï
= +
ï
ï
ï
ï
= +
í
ï
ï
ï
= +
ï
ï
ỵ
Chú ý: Nếu abc
¹

0 pt
D
viết dưới dạng
chình tắt:
0 0 0
x x y y z z
a b c
- - -
= =
2.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M
0
và có VTCP
u
(d
/

) qua M
0
/

và có VTCP
/
u
• d cắt d
/

/
/ /
0

[ , ] 0
[ , ]. 0
o
u u
u u M M
→
→
→
→

≠

⇔


=

r
uuuuuuur
• (d) // (d
/
)<=>
/
/
0 0
[u,u ] 0
u;M M 0
® ®
ì
ï

=
ï
ï
ï
í
é ù
ï
¹
ï
ê ú
ï
ë û
ï
ỵ
r
uuuuuur
r
r
• (d) ≡ (d
/

)
/ /
0 0
; ;u u M M
→
→
⇔
uuuuuuur
đôi một

cùng phương
• (d),(d
/
) chéo nhau
→
→
⇔ ≠
uuuuuuur
/ /
0 0
[ , ]. 0u u M M
3.Khoảng cách:
a.Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng
D
là
0
M M;u
d(M; )
u
é ù
ê ú
ë û
D =
uuuuur
r
r
Chú ý: khoảng cách giữa hai đt song
song, là khoảng cách từ điểm thuộc đt
này đến đt kia

b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau là
[ ]
[ ]
1 2 1 2
1 2
1 2
u ;u .M M
d(d ;d )
u .u
=
uuuuur
uur uur
uur uur
Trang 2
Ax + By + Cz + D = 0
(A
2
+ B
2
+ C
2
≠ 0)
VTPT:
)C;B;A(n =

α cắt

/
a
'C
C
;
'B
B
;
'A
A
⇔
có 1 cặp ≠ nhau.
α song song
/
a
'D
D
'C
C
'B
B
'A
A
≠==⇔
α trùng
/
a
'D
D
'C

C
'B
B
'A
A
===⇔
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
7. Giao của mặt cầu (S) tâm I; bán kính r
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0
Gọi h là khoảng cách từ tâm I đến (P)
• h > r <=> (P) không có điểm chung
mặt cầu (S)
• h=r <=>(P) tiếp xúc mặt cầu (S)
(mp(P) gọi là mp tiếp diện
• h < r <=> (P) cắt mặt cầu (S) theo
đường tròn tâm H và bán kính
r
/
=
2 2
r h-
• Phương trình đường tròn trong không
gian có dạng
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0
Ax By Cz D 0
ì
+ + - - - + =
ï
ï

ï
í
ï
+ + + =
ï
ï
ỵ
• Cách tìm tâm và bán kính đường
tròn
+ Lập pt dt d qua tâm I và vuông góc (P)
+ Tìm Tâm H là giao điểm d và (P)
+ Bán kính
2 2
r h-
8.Lập ph.trình mặt cầu đi qua điểm A có tâm I:
+ Xác đònh bán kính R = IA.
+ Thay tọa độ tâm I, b.kính vào pt dạng thu gọn.
 Lập ph.trình mặt cầu đường kính AB :
+ X.đònh tâm I là trung điểm của đoạn AB
+ Xác đònh bán kính R = IA
+ Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình
dạng thu gọn.
9.Lập ph.trình mặt cầu có tâm I và t.xúc với α :
- Xác đònh bán kinh R = d(I,α )
- Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình
dạng thu gọn.
10.Lập ph. trình mặt cầu qua 4 điểm A, B, C, D:
+ Giả sử ph.trình mặt cầu có dạng khai triển.
+ Thay tọa độ 4 điểm vào phương trình mặt cầu →
hệ 4 phương trình 4 ẩn A, B, C, D

+ Giải hệ phương trình này tìm A, B, C, D .
 Lập pt m.c (C
1
) đ/x với m.c (C
2
) qua mp ( α ) :
+ Xác đònh tâm I
1
và bán kính R
1
của (C
1
)
+ Xác đònh bán kính R
2
của (C
2
) : R
2
= R
1
+ Xác đònh tâm I
2
của (C
2
) :
+ Lập PTTS của đt d qua tâm của (C
2
) và ⊥(α).
+ Tìm giao điểm H của d và (α)

.+ H là trung điểm đoạn nối 2 tâm
⇒
I
2
4. Góc giữa hai đường thẳng:
/
/
u.u
cos
u . u
j =
r r
r r
5.Hai đường thẳng vuông góc
1 2 1 2
d d u .u 0^ Û =
uur uur
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
n.u
sin
n . u
j =
r r
r r
7.Giao mặt cầu (S) với đường thẳng
Gọi d là khoảng cách từ tâm I đến (
D
)
• d > r <=> (
D

) không có điểm
chung mặt cầu (S)
• d=r <=>(
D
) tiếp xúc mặt cầu
(S) hay (
D
) gọi là tiếp tuyến
của (S)
• d < r <=> (
D
) cắt mặt cầu (S)
tại hai điểm phân biệt
8. Tìm giao điểm đt
D
với (P)
+ Thế x;y;z từ PTTS
D
vào (P), tìm
được giá trò t
+ Thế t vào PTTS
D
tìm được x;y;z.
Suy ra tọa độ giao điểm
9. Nếu
D
là giao tuyến của hai mp
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
(α
/

): A’x + B’y + C’z + D = 0
+ Xác đònh
D
có VTCP
/
u n;n
é ù
=
ê ú
ë û
r r r
+ Điểm M
0
(0;y;z) thuộc
D
10.Lập phương trình tiếp diện ( α ) của mặt cầu:
• Dạng 1: Biết tiếp điểm M:
+ Xác đònh VTPT của (α) :
MIn =
( I là tâm
mặt cầu).
+ (α): A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
• Dạng 2: Biết tiếp diện (α)// mp(P) :
+ Từ đk (α) // mp(P)

⇒
(α): Ax +By + Cz +D = 0 (D
/
≠
D )
+ Tìm hệ số D
/
bằng điều kiện tiếp xúc.
Trang 3
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
Dạng 1: Mp (
α
) qua M
0
(x
0
; y
0
) và VTPT
n
=(A; B; C )
(
α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z

0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2
≠
0)
Dạng 2 : Mp(
α
) qua M
0
và //(
/
α
)
⇒
(
α
)có VTPT
/
n n=
uur
r
(
α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y

0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2
≠
0)
Cách khác
+ (
α
)//(
/
α
)
⇒
(
α
)có dạng Ax + By+ Cz +D
/
= 0 (D
/
≠
D)
+ Thế tọa độ M
0
vào (

α
) Tìm được D
/
suy ra ptmp (
α
)
Dạng 3: (
α
)Qua 3 điểm A,B,C

⇒
(
α
)có VTPT
n
ur
=
,AB AC
 
 
uuur uuuur
và M
0

≡
A
(
α
) có dạng A(x – x
0

)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2
≠
0)
Dạng 4: Mp(
α
) qua M
0
; M
/
0
và
⊥
(
α
1
)
⇒
(
α
)có VTPT
 

=
 
uuuuuuur
r ur
/
0 0 1
,n M M n
(
α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2
≠
0)
Dạng 5: Mp(
α
) qua M
0
và
⊥
(

α
1
) và (
α
2
)
⇒
(
α
)có VTPT
1 2
,n n n
 
=
 
r uuruur
(
α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2

≠
0)
Dạng 5:Mp(
α
)chứa d và
⊥
(
/
α
)

⇒
(
α
)có VTPT
n
ur
=
/
,u n
 
 
 
uur
r
và M
0
∈
d
(

α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2
≠
0)
Dạng 6: Mp(
α
)chứa d
1
và // d
2
( Đk: d
1
không song song d
2
)

⇒
(
α

)có VTPT
n
ur
=
1 2
,u u
 
 
uur uur
và M
0
≡
M
1
1
d∈
(
α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2

≠
0)
Dạng 7: Mp(
α
)chứa d
1
và
⊥
d
2

⇒
(
α
)có VTPT
n
ur
=
1 2
,u u
 
 
uur uur
và M
0
≡
M
1
1
d∈

(
α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2
≠
0)
Dạng 8: Mp(
α
) qua M
0
và chứa d
1

⇒
(
α
)có VTPT
n
ur
=

0 1 1
,M M u
 
 
uuuuuuur uur
(
α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2
≠
0)
Dạng 9: Mp(
α
) qua M
0
và vuông góc d
⇒
(
α
)có VTPT

n
ur
=VTCP
r
u
(
α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2
≠
0)
Dạng 10: Mp(
α
) chứa d
1
và d
2
⇒
(
α

)có VTPT
n
ur
=
1 2
,u u
 
 
uur uur
và M
0
=d
1
∩
d
2
(
α
) có dạng A(x – x
0
)+ B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0 (A
2
+B
2
+C
2

≠
0)
Dạng 11: Mp(
α
) và (
α
/
)song song đồng thời chứa d
1
; d
2
Trang 4
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
+ Viết pt (
α
) chứa d
1
và // d
2
+ Viết pt (
α
/
) chứa d
2
và // d
1
+ (
α
) // (
α

/
) <=>
/
nn phươngcùng
tìm được hai pt mp
Dạng 12: Mp(
α
) chứa d và (
α
/
) tạo một góc
ϕ
+ Xác đònh VTPT của hai mp
+ p dụng công thức
β
→
α
→
β
→
α
→
=ϕ
n.n
n.n
cos
Tìm được A; B hoặc C suy ra pt mp (
α
)
Dạng 13: Mp(

α
) chứa d
1
và hợp d
2
một góc
ϕ

+ Xác đònh VTPT của mp và VTCP của đường thẳng d
2
+ p dụng công thức
.
sin
.
u n
u n
ϕ
=
r ur
r ur
Tìm được A;B hoặc C suy ra ptmp (
α
)
Dạng 14: Mp(
α
) chứa d và khoảng cách từ M
1
đến mp(
α
) bằng một số L cho trước

+ Xác đònh M
0
và VTCP của d
+ áp dụng công thức
0 1
1
,
( , )
M M u
d M d
u
 
 
=
uuuuuuurr
r
+ Tìm được A; B hoặc C suy ra ptmp (
α
)
Dạng 15: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp (
α
)
+ Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc (
α
)
+ Tìm tọa độ giao điểm H = d
∩
(
α
).

Dạng 16: Tìm điểm M
/
đối xứng với M qua mp (
α
)
+ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (
α
)
+ M và M
/
đối xứng qua (
α
)
=>H trung điểm MM
/
. tìm được tọa độ điểm M
/
Dạng 17: Tìm điểm M trên mp (
α
) sao cho MA +MB nhỏ nhất ( A; B cho trước)
Loại 1: A và B nằm khác phía đối với (
α
)
+ lập pt AB
+ Gọi N = AB
∩
(
α
). Tìm tọa độ điểm N
+ Khi đó M

∈
(
α
) <=> MA+MB
≥
AB = NA+NB
+ vậy MA+MA nhỏ nhất <=> M
≡
N
Loại 2: A và B nằm cùng phía đối với (
α
)
+ Gọi A
1
đối xứng A qua (
α
), tìm tọa độ điểm A
1
+ Gọi N = A
1
B
∩
(
α
). Tìm tọa độ điểm N
+ Khi đó M
∈
(
α
) <=> MA+MB

≥
A
1
B = NA+NB
+ vậy MA+MA nhỏ nhất <=> M
≡
N
A. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
Trang 5
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
Dạng 1 : (d)Qua M
0
và
⊥
(
α
)

⇒
(d) có VTCP
u
r
=
n
ur
suy ra PTTS
Dạng 2 : (d)Qua M
0
và //(d
/

)

⇒
(d) có VTCP
u
r
=
/
u
r
, suy ra PTTS
Dạng 3: (d)Qua 2 điểm A,B

⇒
(d) có VTCP
u
r
=
AB
uuur
và M
0

≡
A, suy ra PTTS
Dạng 4: (d) là hình chiếu của d
1
trên (
α

)
Cách 1: + (d) là giao tuy ến của (
α
) và (
α
/
) chứa d

và
⊥
(
α
)
+ Tìm hai điểm chung A;B thuộc d
+ lập PTTS qua A và B
Cách 2: + Chọn điểm A thuộc d
1
+ Lập phương trình
D
qua A và vuông góc với (
α
)
+ Tìm H giao điểm H của
D
với (
α
)
+ Tìm B là giao điểm d và (
α
)

+ Lập pt d
1
qua B và H
Dạng 5: (d) qua A song song (P) đồng thời cắt d
1
+ lập pt (Q) qua A và song song (P)
+ tìm B là giao điểm của d
1
và (Q)
+ Lập pt đt (d) qua A và B
Dạng 6: (d) qua A vuông góc và cắt d
1
+ lập pt (P) qua A và vuông góc d
1
+ tìm B là giao điểm của d
1
và (P)
+ Lập pt đt (d) qua A và B
Dạng 7: (d) Qua M
0

⊥
d
1
và // (
α
)

⇒
(d) có VTCP

u
r
=
1
,u n
 
 
uur ur
, suy ra PTTS
Dạng 8: (d) Qua M
0
và
⊥
d
1
;d
2

⇒
(d) có VTCP
u
r
=
1 2
,u u
 
 
uur uur
, suy ra PTTS
Dạng 9: (d) //

∆
và cắt d
1
; d
2
+ lập (
α
) chứa d
1
và song song
∆
+ Gọi A = (
α
)
∩
d
2
suy ra tọa độ điểm A
+ Viết PT đường thẳng d qua A và song song
∆
( dạng PTTS)
Dạng 10: (d) chứa trong (
α
) và cắt d
1
; d
2

⇒
(d) có VTCP

u
r
=
3 4
M M
uuuuuuur
và M
0
≡
M
3
, suy ra PTTS hoặc PTCT
( với M
3
=(
α
)
∩
d
1
; M
4
=(
α
)
∩
d
2
)
Dạng 11: (d) Qua M

0
và cắt d
1
;d
2
+ lập (
α
) Qua M
0
chứa d
1

+ Gọi A = (
α
)
∩
d
2
suy ra tọa độ điểm A
+ Viết PT đường thẳng d qua 2 điểm M
0
và A ( dạng PTTS)
+ kiểm chứng d không song song d
1
Dạng 12 : (d) qua M
0
, cắt d
1
và
⊥

d
2

Trang 6
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
+ Gọi (P) là mp qua A và vuông góc d
2
+ Gọi B = (P)
∩
d
1
, suy ra tọa độ điểm B
+ Viết PT đường thẳng qua 2 điểm A và B ( dạng PTTS)
Dạng 13: Viết phương trình (d) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
và d
2
Cách 1: + Gọi A; B là chân đường vuông góc chung d
1
, d
2
+ A
∈
d
1
suy ra tọa độ A; B
∈
d
2
suy ra tọa độ B

+ Do AB là đường vuông góc chung





⇔
=
=
0
2
.
0
1
.
uAB
uAB
Tìm được A; B
+ Viết phương trình đường thẳng A,B
Cách 2: + Ta có (d) là giao tuyến
Của (
α
) chứa d
1
và d

và(
α
/
) chứa d

2
và d
+ Tìm hai điểm chung A;B thuộc d
+ lập PTTS qua A và B
Cách 3 + lập (
α
) chứa d
1
và d ( với d có VTCP
1 2
,u u u
 
=
 
r uur uur
)
+ Gọi A =(
α
)
∩
d
2
suy ra tọa độ điểm B
+ Lập PT qua A và VTCP
1 2
,u u u
 
=
 
r uur uur

, suy ra PTTS hay PTCT
Dạng 14: Tìm hình chiếu
⊥
của M trên đt d
+ xác đònh vtcp cúa d
+ lập pt (
α
)qua M và
⊥
d
+ Gọi H hình chiếu
⊥
của M trên đt d
⇒
H=d
∩
(
α
)
Dạng 15: Tìm điểm M
/
đối xứng với M qua d
+ Lập pt (
α
)qua M và
⊥
d
+ Gọi H=d
∩
(

α
)
+ M
/
đối xứng với M qua d
⇒
H trung điểm MM
/

từ đó tìm toạ độ điểm M
/
Dạng 16: Lập pt d đối xứng với d
1
qua mp (P)
Cách 1:+ Trường hợp d
1
// (P)
+ Chọn A
∈
d
1
. tìm tọa độ A
1
đối xứng A qua (P)
+ Viết pt d qua A
1
và VTCP
u
1

Cách 2:+ Trường hợp d
1
cắt (P)
+ Gọi I = (P)
∩
d
1
. tìm tọa độ A
+ Chọn A
∈
d
1
. tìm tọa độ A
1
đối xứng A qua (P)
+ Viết pt d qua I và A
1

Dạng 17: Lập pt d đối xứng với d
1
qua
∆
Cách 1:+ Trường hợp d
1
//
∆
+ Chọn A
∈
d
1

. tìm tọa độ A
1
đối xứng A qua
∆
+ Viết pt d qua A
1
và // d
1

Cách 2:+ Trường hợp d
1
cắt
∆
+ Chọn A; B
∈
d
1
. tìm tọa độ A
1
; B
1
đối xứng A ; B qua
∆
+ Viết pt d qua A
1
và B
1
B. NỘI DUNG BÀI TẬP:
Trang 7
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn

 CÁC BÀI TẬP CHỌN LỌC
Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt cầu (S):
1. Có tâm I(3;-2;4) và đi qua điểm M(7;2;1).
2. Có đường kính AB với A(-2;2;1) và B(0;2;3).
3. Có tâm A(2;-1;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P): x+y+x-3=0
4. Có tâm N(-3; 2; 1) và bán kính bằng 2
Bài 2: Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
+3x+4y-5z+6=0 và
(P): 2x-3y+4z-5=0.
1. Tìm tâm và bán kính mặt cầu (S).
2. Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn(C). Tìm tâm và bán
kính đường tròn.
Bài 3: Trong khơng gian Oxyz cho A(3;-2;-2); B(3;2;0); C(0;2;1); D(-1;1;2).
1. Viết phương trình mp(BCD)
2. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mp(BCD)
Bài 4: Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) trong
các trường hợp:
1)
Đi qua điểm M(-1;2;3) và nhận véctơ
= −
r r ur
2a i j

làm véc tơ pháp tuyến
2)

Qua điểm A(1;3;-2) và vng góc với trục Oy
3)
Qua điểm A(-1;2;3); B(2;-4;3);C(4;5;6)
4)
Qua điểm B(1;3;-2) và song song với mp(Q): 2x-y+3z+4=0
5)
(P) là mặt phẳng trung trực của AB, biết A(1 ;-2 ;4) và B(3 ;6 ;2)
6)
Qua OA với A(0 ;2 ;0) và vng góc mp(Q) :2x+3y-4z-2=0
Bài 5 : Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(1 ;4 ;2) và
mp(P) :x+y+z-1=0
1) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm M trên mp(P).
2) Tìm tọa độ điểm M
/
đối xứng với điểm M qua mp(P)
Bài 6 : 4 : Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz cho mp 3x+5y-z-2=0 và đường
thẳng d :
1) Chứng minh rằng đường thẳng d cắt mp tại M. Tìm tọa độ điểm M
2) Viết phương trình mp(P) chứa điểm M và vng góc với đường thẳng d
Bài 7 : Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz cho mp x+2y+3z+4=0 và

1) Chứng minh rằng mp cắt nhau.
2) Tìm góc giữa hai mp
Bài 8: Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz cho mp x+y+z+5=0 và
Trang 8
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn

1) Chứng minh rằng mp song song.
2) Tìm khoảng cách giữa hai mp
Bài 9: Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz cho A(1;3;-3) và mặt phẳng

: 2x+y-3z+2=0
1) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mp
2) Viết phương trình mp(P) sao cho (P) song song với và khoảng cách giữa (P) và
bằng khoảng cách từ điểm A đến
Bài 10 : Trong không gian Oxyz lập phương trình đường thẳng trong các
trường hợp sau:
1) Qua điểm M(5 ;4 ;1) và có véctơ chỉ phương
a
=
r
(2;-3;1)
2) Qua điểm A(2 ;-1 ;3) và vng góc với mp(P) x+y-z+5=0
3) Qua điểm N(2 ;0 ;-3) và song song với đường thẳng d
4) Qua hai điểm A(1 ;2 ;3) và B(5 ;4 ;4)
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;1) và d:
1) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên d.
2) Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với A qua d
Bài 12:Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
d và d
/

1)
Chứng minh hai đường thẵng d và d
/
chéo nhau. Tính góc giữa d và d
/
2)
Tính khoảng cách giữa d và d

/
Bài 13 : Trong hệ tọa độ Oxyz cho mp(P)3x-2y-z+5=0 và đường thẳng
1) Chứng minh rằng mp (P) song song với đường thẳng ( )
Trang 9
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
2) Tính khoảng cách giữa mp (P) và đường thẳng (d)
Bài 14 : Trong hệ tọa độ Oxyz cho mp(P) 4x+8y+2z-7=0 và đường thẳng d
1) Chứng minh rằng mp (P) vng góc với đường thẳng (d)
2) Lập phương trình đường thẳng d
/
qua gốc tọa độ và song song với d
Bài 15 : Trong không gian Oxyz lập phương trình đường thẳng trong các
trường hợp sau:
1) chứa mặt phẳng (P) y+2z=0 và cắt hai đường thẳng d và d
/

2) Qua điểm A(-4 ;-2 ;-4) vng góc và cắt đường thẳng d
3) là đường vng góc chung của hai đường thẳng d và
d
/

Bài 16: Trên không gian tọa độ Oxy cho mặt phẳng (P) với phương trình :
2x +y –z -6 =0.
1) viết pt tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mp (P).
2) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P).
Bài 17:Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(1;0;-1),
D(5;0;-1).
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 3 điểm A, B, C.
2) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Bài 18: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;4;0), B(0;2;1), C(1;0;-4)

1) Viết phương trình đường thẳng AB.
Trang 10
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
2) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (
α
) đi qua điểm C và vuông góc với
đường thẳng AB. Xác đònh tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng
(
α
).
Bài 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;3;5) và mặt phẳng
(P) có phương trình 4x – 3y – 6z +96 = 0
1) Viết PTTS của đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P)
2) Tìm điểm A
/
đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
 CÁC BÀI TẬP TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI TN. THPT
Bài 1: ( 2,0 điểm) (TN. THPT 2005-2006)
Câu 1: ( Không phân ban)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;-1); B(1;2;1); C(0;2;0). Gọi G
là trọng tâm tam giác ABC.
1)Viết phương trình đường thẳng OG
2) Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O,A,B,C.
3)viết pt mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Câu 2: (BT.THPT) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2);
B(3;0;0); C(0;3;0); D(0;0;3).
1)Viết phương trình đường thẳng qua A và G là trọng tâm tam giác ABC
2) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mp (BCD)
Câu 3: (Ban KHTN – NC)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;0); B(0;3;0); C(0;0;6).

1) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A; B; C. Tính diện tích tam giác ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG
Câu 4: (Ban KHXH-NV- CB)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1;1;2); B(0;1;1); C(1;0;4).
Trang 11
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
1) Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số AB.
2) Gọi M là điểm sao cho
MCMB 2−=
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và
vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 2: ( 2,0 điểm) (TN. THPT 2006-2007 lần 1)
Câu 1: ( Không phân ban)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình
x 2 y 1 x 1
1 2 3
- + -
= =
và (P) x-y+3z+2=0
1. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P)
Câu 2: ( BT.THPT)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0;2;1); B(1;-1;3) và mp (P):2x+y+3z=0
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
2. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng AB với (P)
Câu 3: (Ban TN – NC)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) và (P) x+y-2z-4=0
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và song song với (P)
2. Viết phương trình tham số của d đi qua M và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao
điểm H của d và (P)

Câu 4: ( Ban XHNV-CB)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(1;2;3) và (P) X+2Y-2Z+6=0
1. Viết phương trình mặt cầu tâm trùng gốc tọa độ và tiếp xúc với (P)
2. Viết phương trình tham số của d đi qua E và vuông góc với (P).
Bài 4 ( 2 điểm ) (TN năm 2006-2007 lần 2)
Câu 1: (Không phân ban)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình
x 1 y 2 x 1
1 2 1
- + -
= =
và (d
/
)
x 1 t
y 1 2t
z 1 3t
ì
ï
= - +
ï
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
ï
= - +

ï
ï
ỵ
1. Chứng minh rằng d và d
/
vuông góc
2. Viết phương trình mặt phẳng qua K(1;-2;1) và vuông góc với (d)
Câu 2: (BT.THPT)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm E(1;0;2); M(3;4;1); N(2;3;4).
1) Viết phương trình chính tắc của MN.
2) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với MN
Câu 3: (Ban TN – NC)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm E(1;-4;5); F(3;2;7).
1) Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F có tâm E.
Trang 12
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
2) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn EF
Câu 4: ( Ban XHNV-CB)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M(1;0;2), N(3;5;1) và đường thẳng d
có phương trình
x 1 2t
y 3 t
z 6 t
ì
ï
= +
ï
ï
ï
ï

= - +
í
ï
ï
ï
= -
ï
ï
ỵ
1.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua m và vuông góc với d
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm MN
Bài 4 ( 2 điểm ) (TN năm 2007-2008 lần 1)
Câu 1: ( Không phân ban)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) và (P) 2x-3y+6z+35=0
1. Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với (P)
2. Tính khỏang cách từ M đến (P). Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox sao cho độ dài
đoạn NM bằng khoảng cách từ m đến (P).
Câu 2: (BT.THPT)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1;2;3) và (P) x-2y+2z+5=0
1. Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với (P)
2. Viết phương trình mp (Q) đi qua M và song song với (P). Tính khoảng cách giữa hai
mp (P) và (Q).
Câu 3: (Ban TN- NC)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3;-2;-2) và (P) 2x-2y+z-1=0
1. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P)
2. Tính khoảng cách từ A đến mp (P). Viết phương trình mp(Q) sao cho (Q) song song
với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P)
Câu 4: (Ban NVXH- CB)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1); B(2;4;3);
C(2;2;-1)

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC
2. Tìm tọa độ đỉnh D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 5 ( 2 điểm ) (TN năm 2008-2009)
Câu 1: (HỆ GDTX)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;0); B(0;3;0); C(0;0;2)
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(8;5;-1) và vng góc với
mp(ABC). Từ đó suy ra hình chiếu vng góc của điểm M trên mp(ABC).
Câu 2: (Hệ GDPT- Ban cơ bản)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (T) (x-1)
2
+(y-2)
2
+(z-2)
2
=36 và mặt
phẳng (P): x+2y+2z+18=0.
1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu (T). Tính khoảng cách từ T đến (P)
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua T và vng góc với (P). Tìm Toạ độ giao
điểm của d và (P)
Trang 13
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
Câu 3: (Hệ GDPT- Ban nâng cao)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;-2;3) và đường thẳng d có phương
trình
1 2 3
2 1 1
x y z+ − +
= =
−

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vng góc với d.
2. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A và
tiếp xúc với d
Bài 6 ( 2 điểm ) (TN năm 2009-2010)
Câu 1: (Hệ GDTX)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 2; 3), N(−3; 4; 1) và mặt phẳng
(P) có phương trình x + 2y − z + 4 = 0.
1) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.
2) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (P).
Câu 2: (Hệ GDPT- Ban cơ bản)
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3).
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với đường thẳng BC.
2) Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu 3: (Hệ GDPT- Ban nâng cao)
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình
1 1
2 2 1
x y z+ −
= =
−
1) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ.
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng Δ.
 CÁC BÀI TẬP TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
Năm 2002
Bài 1 : ( 1,0 điểm – khối A)
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
1
1 1
1
x 2t

: y 2 3t
z 4t
ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
D = - +
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
ỵ
và
2
2 2
2
x 1 t
: y 2 t
z 1 2t
ì
ï
= +
ï
ï

ï
ï
D = +
í
ï
ï
ï
= +
ï
ï
ỵ
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
1
∆
và song song với đường thẳng
2
∆
b) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng
2
∆
sao cho đoạn thẳng MH có
độ dài nhỏ nhất.
Năm 2003
Bài 1 : ( 1,0 điểm – khối B)
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho A(2;0;0); B(0;0;8) và điểm C sao
cho
AC
=(0;6;0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Năm 2004
Bài 1 : ( 1,0 điểm – khối B)

Trang 14
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho A(-4;-2;4) và đường thẳng d:





+−=
−=
+−=
tz
ty
tx
41
1
23
Viết phương trình đường thẳng
∆
qua a cắt và vuông góc với d.
Bài 3 : ( 2,0 điểm – khối D)
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho A(2;0;1); B(1;0;0); C(1;1;1) và mặt
phẳng (P) x+y+z–2= 0. Viết phương trình mặt cầu qua 3 điểm A; B; C và có tâm thuộc mặt
phẳng (P).
Năm 2005
Bài 1 : ( 2,0 điểm – khối A)
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng d:
1
3
2

3
1
1 −
=
+
=
−
− zyx
và mặt phẳng (P) 2x + y – 2z + 9 = 0.
a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số
của đường thẳng
∆
nằm trong (P), biết
∆
đi qua A và vuông góc với d.
Bài 2 : ( 2,0 điểm – khối D)
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: d
1
:
2
1
1
2
3
1 +
=
−
+
=

− zyx
và d
2
:
x 3t
y 4 t
z 2 2t
ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
ï
= +
ï
ï
ỵ
a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
song song. Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường
thẳng d
1

và d
2
.
b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt tại A; B. Tính diện tích tam
giác OAB ( O là gốc tọa độ )
Năm 2006
Bài 1 : ( 2,0 điểm – khối B)
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho điểm A(0;1;2) và hai đường
thẳng: d
1
:
1
1
1
1
2 −
+
=
−
=
zyx
; d
2
:






+=
−−=
+=
tz
ty
tx
2
21
1
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song d
1
và d
2.
b) Tìm tọa độ các điểm m thuộc d
1
; N thuộc d
2
sao cho ba điểm A; M; N thẳng hàng
Bài 2 : ( 1,0 điểm – khối D)
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho điểm A(1;2;3) và hai đường
thẳng: d
1
:
1
3
1
2

2
2 −
=
−
+
=
− zyx
; d
2
:
1
1
2
1
1
1 +
=
−
=
−
− zyx
a) Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
b) Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A, vuông góc với d
1
và cắt d

2
.
Năm 2007
Bài 1 : ( 2,0 điểm – khối A)
Trang 15
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:
d
1
:
x y 1 z 2
2 1 1
- +
= =
-
; d
2
:
x 1 2t
y 1 t
z 3
ì
ï
= - +
ï
ï
ï
ï
= +
í

ï
ï
ï
=
ï
ï
ỵ
1.Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau
2.Viết phương trình đường thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng d
1
; d
2
Bài 2 : ( 2,0 điểm – khối B)
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho mắt cầu (S)
X
2
+y
2
+z
2
-2x+4y+2z-3=0 và mp(P): 2x-y+2z-14=0
1.Viết phương trình mp(Q) chứa Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính bằng 3
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất.
Bài 3 : ( 2,0 điểm – khối D)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;4;2) , B(-1;2;4) và đường
thẳngd :

1 2
1 1 2
x y z− +
= =
−
.
1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông
góc với mặt phẳng (OAB).
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
Năm 2008
Bài 1 : ( 2,0 điểm – khối A)
Trong không gian với hê tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d :
1 2
2 1 2
x y z− −
= =
.
1) Tìm tọa độ hình chiều vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2) Viết phương trình mặt phẳng (
α
) lớn nhất.
Bài 2 : ( 2,0 điểm – khối B)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1)
1).Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2).Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho
MA = MB = MC

Bài 3 : ( 2,0 điểm – khối D)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3),
D(3;3;3)
1) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
2) Tìm tọa độ tâm đường trón ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 4 : ( 2,0 điểm – Cao Đẳng khối A-B-D)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình
1
1 1 2
x y z −
= =
−
1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vng góc với d
2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại O
Trang 16
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
Năm 2009
Bài 1: ( Khối A-NC)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) 2 2 1 0P x y z− + − =
và hai đờng
thẳng:
1
1 9
:
1 1 6
x y z
d
+ +
= =

,
2
1 3 1
:
2 1 2
x y z
d
− − +
= =
−
. Xác đònh toạ độ điểm M thuộc
đường thẳng D
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D
2
và khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Bài 2: ( Khối A-CB)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) : 2 2 4 0P x y z− − − =
và mặt
cầu
2 2 2
( ) : 2 4 6 11 0S x y z x y z+ + − − − − =
. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn. Xác đònh toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó.
Bài 3; (Khối B-NC)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai
điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy
viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Bài 4: ( Khối B-CB)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1),
B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)
Bài 5: (Khối D-NC)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x 2 y 2 z
d :
1 1 1
+ −
= =
−
và mặt
phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho
d cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Bài 6: ( Khối D-CB)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và
mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác đònh tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao
cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Bài 7: ( CĐKhối A-B-D – Cơ Bản)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P
1
):x+2y+3z+4=0 và (P
2
)
3x+2y-z+1=0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;1)vng góc với hai
mặt phẳng (P
1
),(P
2

) .
Bài 8: ( CĐKhối A-B-D –Nâng cao)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác có A(1;1;0) ; B(0;2;1)và trọng
tâm G(0;2;-1) Viết phương trình đường thẳng.Δ đi qua điểm C và vng góc với
mặt phẳng (ABC).
Năm 2010
Bài 1: ( Khối A-NC)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng
2 2 3
:
2 3 2
x y z+ − +
∆ = =
. Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm
A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Bài 2: ( Khối A-CB)
Trang 17
CHUYÊN ĐỀ: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (LTĐH 2011) GV: Trương Thiện – Phan Tuấn
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z− +
∆ = =
−
và mặt phẳng (P) :
x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng
cách từ M đến (P), biết MC =
6
.

Bài 3; (Khối B-NC)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
1
2 1 2
x y z−
= =
. Xác đònh tọa độ
điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM.
Bài 4: ( Khối B-CB)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó b, c
dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác đònh b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với
mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng
1
3
.
Bài 5: (Khối D-NC)
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆
1
:
3x t
y t
z t
= +


=


=


và ∆
2
:
2 1
2 1 2
x y z
− −
= =
. Xác đònh toạ độ điểm M thuộc ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến ∆
2

bằng 1.
Bài 6: ( Khối D-CB)
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và
(Q): x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao
cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
Bài 7: ( CĐKhối A-B-D- Cơ bản)
Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng
6
AB
, có tâm thuộc đường thẳng AB và
(S) tiếp xúc với (P).
Bài 8: ( CĐKhối A-B-D –Nâng cao)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
2 1 1
x y z−
= =

−
và mặt
phẳng (P): 2x – y + 2z – 2 = 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vng góc với (P).
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).
Hết
Trang 18