Chuyên đề dao động tắt dần

dao động tắt dần


C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u



1
1
1
:
:
:



Một vật khối l- ợng

gm 100
gắn với một lò xo mà cứ
kéo một lực

NF 1

thì dãn thêm

cml 1
.
Đầu còn lại của lò
xo gắn vào điểm cố định sao cho vật dao động dọc theo trục Ox song
song với mặt phẳng ngang (x
em hình bên
). Kéo vật khỏi vị trí cân
bằng để lò xo dãn một đoạn

cm10
rồi buông nhẹ cho hệ dao động.
Chọn gốc toạ độ O là vị trí cân bằng, chiều d- ơng của trục ng- ợc với
chiều kéo ra nói trên. Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động.
Lấy gia tốc trọng tr- ờng

10,/10
22


smg
.

1. Nếu không có ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang thì vật sẽ dao động thế nào? Viết ph- ơng trình dao động của nó.
2. Khi hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là
= 0,1
thì vật sẽ dao động thế nào?
a) Tìm tổng chiều dài quãng đ- ờng s mà vật đi đ- ợc cho tới lúc dừng lại.
b) Tìm thời gian từ lúc buông tay cho đến lúc

m
dừng lại.
Đáp số: 1)

10cos 10x t cm


;
2) a)

mS 5
max

; b)

st
cd
5

C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u

2
2
2
:
:
:



Một con lắc lò xo gồm lò xo có hệ số đàn hồi

mNk /60
và quả cầu có khối l- ợng

gm 60
, dao
động trong một chất lỏng với biên độ ban đầu

cmA 12
. Trong quá trình dao động con lắc luôn chịu tác dụng của
một lực cản có độ lớn không đổi
C
F
. Xác định độ lớn của lực cản đó. Biết khoảng thời gian từ lúc dao động cho đến
khi dừng hẳn là

s120

. Cho

10
2


.
Đáp số:

NF
C
003,0

C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u



3
3
3
:
:
:

(ĐH Giao thông vận tải HN - 2001) Vật có khối l- ợng

gm 250
đ- ợc mắc với 2 lò xo có khối l- ợng không đáng kể có độ cứng
lần l- ợt là:

mNkmNk /40,/60
21

nh-
hình vẽ
. Tại vị trí cân bằng
tổng độ dãn của hai lò xo là
5 (cm).
Chọn trục Ox nh-
hình vẽ
, O là vị trí cân
bằng. Bỏ qua mọi sức cản, các dây nối không co dãn, khối l- ợng của ròng rọc
và các dây nối bỏ qua. Ban đầu giữ cho lò xo k
1
có chiều dài tự nhiên rồi
truyền cho nó vận tốc ban đầu

scmv /40
0

theo chiều d- ơng. Lấy

2
/10 smg
.

a) Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt bàn. Chứng minh hệ dao động điều hoà. Viết
ph- ơng trình dao động.
b) Nếu thay đổi độ lớn của
0
v
thì nó cần thoả mãn điều kiện gì để vật dao động điều hoà.
c) Khi hệ số ma sát giữa vật và mặt bàn là
1,0

. Tìm tổng chiều dài quãng đ- ờng S mà vật đi đ- ợc cho tới lúc dừng
lại.
Đáp số: a)

cmtx







2
20sin22

; b)

scmv /45
0

; c)

cmS 16
max


C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u



4
4
4
:
:
:

Một vật khối l- ợng

gm 200
nối với một lò xo có độ cứng

mNk /80
. Đầu còn lại của lò xo gắn cố
định, sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn

cm10
rồi
buông tay không vận tốc ban đầu. Chọn trục toạ độ Ox trùng với ph- ơng chuyển động, gốc toạ độ O là vị trí cân bằng,
và chiều d- ơng của trục ng- ợc với chiều kéo ra nói trên. Chọn gốc thời gian là lúc buông tay. Lấy gia tốc trọng tr- ờng

2
/10 smg
.
1. Nếu bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang. Viết ph- ơng trình dao động.
2. Khi hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nằm ngang là
1,0

thì dao động sẽ tắt dần.
a) Tìm tổng chiều dài quãng đ- ờng
max
S
mà vật đi đ- ợc cho tới lúc dừng lại.
b) Tính độ giảm biên độ dao động sau một chu kì. Tìm thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc dừng lại.
dao động tắt dần

ĐS:1)

cmtx







2
20sin10

; 2) a)

mS 2
max

; b)

stcmA

;1

C
C
C
õ
õ
õ

u
u
u



5
5
5
:
:
:



Một vật khối l- ợng

kgm 1
nối với một lò xo có độ cứng

mNk /100
. Đầu còn lại của lò xo gắn cố
định, sao cho vật có thể dao động dọc theo trục Ox trên mặt phẳng nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc
0
60

. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là
01,0

. Từ vị trí cân bằng truyền cho vật vận tốc ban đầu

scmv /50
0

thì vật dao động tắt dần. Xác định khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn.
ĐS:

st

5

C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u



6
6
6
:
:
:

Một lò xo có độ cứng k=40N/m, khối l- ợng 0,2kg dao động trên mặt phẳng ngang có ma sát. Lúc đầu, vật
có biên độ
0
4.A cm
Hỏi sau một chu kỳ dao động, biên độ dao động của vật còn bao nhiêu và sau bao nhiêu chu kỳ
thì con lắc dừng lại? Coi rằng trong quá trình dao động, lực ma sát không đổi và hệ số ma sát
0,1.



Đáp số:
1
3 ; 2A cm n

C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u



7
7

7
:
:
:



(2010_485_28) Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối l- ợng 0,02kg và lò xo có độ cứng 1N/m. Vật nhỏ đ- ợc
đặt trên già đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát tr- ợt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ ở
vị trí lò xo bị nén 10cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy
2
10 / .g m s
Tốc độ lớn nhất của vật nhỏ đạt
đ- ợc trong quá trình dao động là:
A.
10 30
cm/s. B.
20 6
cm/s. C.
40 2
cm/s. D.
40 3
cm/s.
C
C
C
õ
õ
õ
u

u
u



8
8
8
:
:
:



Một con lắc đơn có chiều dài

ml 5,0
, quả cầu nhỏ có khối l- ợng

gm 100
. Cho nó dao động tại nơi
có gia tốc trọng tr- ờng

2
/8,9 smg
với biên độ góc

rad14,0
0

. Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu
tác dụng của lực ma sát nhỏ có độ lớn không đổi

NF
C
002,0
thì nó sẽ dao động tắt dần. Dao động tắt dần có cùng
chu kì nh- khi không có lực cản. Hãy chứng tỏ sau mỗi chu kì biên độ giảm một l- ợng nhất định. Tính khoảng thời
gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn. Lấy
1416,3

.
ĐS:

s24,24


C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u

9
9
9
:
:
:



Một con lắc đơn có chiều dài

ml 248,0
, quả cầu nhỏ có khối l- ợng

gm 100
. Cho nó dao động tại
nơi có gia tốc trọng tr- ờng

2
/8,9 smg
với biên độ góc

rad07,0
0


trong môi tr- ờng d- ới tác dụng của lực
cản (có độ lớn không đổi) thì nó sẽ dao động tắt dần có cùng chu kì nh- khi không có lực cản. Lấy
1416,3

. Xác
định độ lớn của lực cản. Biết con lắc đơn chỉ dao động đ- ợc

s100

thì ngừng hẳn.
ĐS: 1)

N
3
10.1715,0


C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u



1
1
1
0
0

0
:
:
:



Một con lắc đơn có chiều dài

ml 992,0
, quả cầu nhỏ có khối l- ợng

gm 25
. Cho nó dao động tại nơi
có gia tốc trọng tr- ờng

2
/8,9 smg
với biên độ góc
0
0
4

trong môi tr- ờng có lực cản tác dụng. Biết con lắc đơn
chỉ dao động đ- ợc

s50

thì ngừng hẳn. Lấy
1416,3

.
1) Xác định độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì.
2) Để duy trì dao động, ng- ời ta dùng một bộ phận bổ sung năng l- ợng, cung cấp cho con lắc sau mỗi chu kì. Bộ phận
này hoạt động nhờ một pin tạo hiệu điện thế

VU 3
, có hiệu suất
%25
. Pin dự trữ một điện l- ợng

CQ
3
10
.
Tính thời gian hoạt động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin.
ĐS: 1)

J
N
E
5
0
10.4,2


; 2)

st
5

10.625

C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u



1
1
1
1
1
1
:
:
:



Một con lắc đơn có dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng tr- ờng

2
/8,9 smg

với chu kì

sT 2
. Quả
cầu nhỏ của con lắc có khối l- ợng

gm 50
. Cho nó dao động với biên độ góc

rad15,0
0


trong môi tr- ờng có
lực cản tác dụng thì nó chỉ dao động đ- ợc

s200

thì ngừng hẳn. Lấy
1416,3

.
1) Tính số dao động thực hiện đ- ợc, cơ năng ban đầu và độ giảm cơ năng trung bình sau mỗi chu kì.
2) Ng- ời ta có thể duy trì dao động bằng cách dùng một hệ thống lên giây cót đồng hồ sao cho nó chạy đ- ợc trong một
tuần lễ với biên độ góc
0
0
4

. Tính công cần thiết để lên giây cót. Biết

%80
năng l- ợng đ- ợc dùng để thắng lực ma
sát do hệ thống các bánh răng c- a.
dao động tắt dần


ĐS: 1)

JE
4
10.55,0


; 2)

J16,83

C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u



1

1
1
2
2
2
:
:
:



Một con lắc đồng hồ đ- ợc coi nh- một con lắc đơn có chu kì dao động

sT 2
; vật nặng có khối l- ợng

kgm 1
. Biên độ góc dao động lúc đầu là
0
0
5

. Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi

NF
C
011,0
nên
nó chỉ dao động đ- ợc một thời gian

s

rồi dừng lại.
1) Xác định


2) Ng- ời ta dùng một pin có suất điện động

V3
điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng l- ợng cho con lắc với
hiệu suất 25%. Pin có điện l- ợng ban đầu

CQ
4
0
10
. Hỏi đồng hồ chạy đ- ợc thời gian bao lâu thì lại phải thay pin?
ĐS: 1)

s40

; 2)

Ngày92

C
C
C
õ
õ

õ
u
u
u



1
1
1
3
3
3
:
:
:



Một hành khách dùng dây cao su treo một chiếc ba lô lên trần toa tầu, ngay phía trên một trục bánh xe của
toa tầu. Khối l- ợng của ba lô là

kgm 16
, hệ số cứng của dây cao su là

m/Nk 900
, chiều dài mỗi thanh ray là

m,S 512
, ở chỗ nối hai thanh ray có một khe nhỏ. Hỏi tầu chạy với vận tốc bao nhiêu thì ba lô dao động mạnh

nhất?
ĐS:

s/mv 15

C
C
C
õ
õ
õ
u
u
u



1
1
1
4
4
4
:
:
:



Một ng- ời đi bộ với vận tốc

s/mv 3
. Mỗi b- ớc đi dài

m,S 60
.
1) Xác định chu kì và tần số của hiện t- ợng tuần hoàn của ng- ời đi bộ.
2) Nếu ng- ời đó xách một xô n- ớc mà n- ớc trong xô dao động với tần số

Hzf
r
2
. Ng- ời đó đi với vận tốc bao
nhiêu thì n- ớc trong xô bắn toé ra ngoài mạnh nhất?
ĐS: 1)

s,T
th
20
;

Hzf
th
5
; 2)

s/m,v 21

C
C

C
õ
õ
õ
u
u
u



1
1
1
5
5
5
:
:
:



Một ng- ời đèo hai thùng n- ớc ở phía sau xe đạp và xe đạp trên con đ- ờng bê tông. Cứ cách

mS 3
, trên
đ- ờng lại có một rãnh nhỏ. Đối với ng- ời đó vận tốc nào là không có lợi? Vì sao? Cho biết chu kì dao động riêng của
n- ớc trong thùng là

s,T

r
90
.
ĐS:

s/mv
3
10






Phần h- ớng dẫn
Các khái nịêm cơ bản
+ Khi hệ dao động trong môi tr- ờng có lực ma sát

ms
F
thì hệ sẽ dao động tắt dần.
+ Lực ma sát luôn luôn h- ớng ng- ợc chiều chuyển động nên sinh công âm làm cho
cơ năng con lắc giảm dần, chuyển hoá thành nhiệt năng.
+ Lực ma sát lớn dao động sẽ tắt nhanh còn lực ma sát nhỏ dao động tắt chậm.
+ Ta chỉ xét tr- ờng hợp lực ma sát nhỏ nên dao động lâu tắt, tức là độ giảm biên độ
sau một chu kì nhỏ

nhỏ:' AAA

+ Nếu vật có khối l- ợng

m
tr- ợt trên mặt phẳng với hệ số ma sát

thì độ lớn của
lực ma sát là

cosmgNF
ms

(

là góc hợp bởi ph- ơng chuyển động so với
ph- ơng ngang).
Dạng 1: Dao động tắt dần của con lắc lò xo
+ Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát cản trở trong chu kì
đó:

AFAA
k
AFAAAA
k
AF
kAkA
msmsms
4 2
2
4.''
2
4.
2

'
2
22


dao động tắt dần


k
mg
k
F
A
ms

cos4
4


+ Số dao động thực hiện đ- ợc:
A
A
N



+ Thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn:
k
m
NNTN

2.
2
.

+ Gọi
max
S
là quãng đ- ờng đi đ- ợc kể từ lúc chuyển động cho đến khi dừng hẳn. Cơ năng ban đầu bằng tổng công của
lực ma sát trên toàn bộ quãng đ- ờng đó, tức là:

cos22
.
2
1
22
maxmax
2
mg
kA
F
kA
SSFkA
ms
ms

1. Bài toán mẫu
Bài 1: Một vật khối l- ợng

gm 100
gắn với một lò xo mà cứ kéo một lực

NF 1
thì dãn thêm

cml 1
.
Đầu còn lại của lò xo gắn vào điểm cố
định sao cho vật dao động dọc theo trục Ox song song với mặt phẳng ngang
(x
em hình bên
). Kéo vật khỏi vị trí cân bằng để lò xo dãn một đoạn

cm10
rồi
buông nhẹ cho hệ dao động. Chọn gốc toạ độ O là vị trí cân bằng, chiều d- ơng
của trục ng- ợc với chiều kéo ra nói trên. Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy gia tốc trọng tr- ờng

10,/10
22


smg
.

1. Nếu không có ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang thì vật sẽ dao động thế nào? Viết ph- ơng trình dao động của nó.

2. Khi hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là
= 0,1
thì vật sẽ dao động thế nào?
a) Tìm tổng chiều dài quãng đ- ờng s mà vật đi đ- ợc cho tới lúc dừng lại.
b) Tìm thời gian từ lúc buông tay cho đến lúc
m
dừng lại.
Giải:
+ Độ cứng của lò xo:



mN
m
N
F
k /100
10
1
2





.
1) Khi không có ma sát giữa m và thanh ngang thì vật dao động điều hoà.
+ Tần số góc:
)/(10
1,0

100
srad
m
k


, chu kì dao động:

sT 2,0
10
22





.
+ Ph- ơng trình li độ và ph- ơng trình vận tốc:









tAv
tAx
10cos10

10sin

+ Thay
t = 0 (s)






















2
10
0cos10
10sin

0
10




cmA
A
A
v
x

+ Vậy ph- ơng trình dao động là:

cmtx







2
10sin10


.
2) Khi hệ số ma sát
= 0,1
thì dao động sẽ tắt dần.

a) Gọi
max
S
là tổng chiều dài quãng đ- ờng mà vật đi đ- ợc cho tới lúc dừng lại, thì cơ năng ban đầu của vật phải bằng
công của lực ma sát:


m
mg
kA
SmgSkASFE
ms
5
10.1,0.1,0.2
1,0.100
22
1
.
2
2
maxmax
2
max



.
b) Gọi A và A là biên độ dao động tr- ớc và sau một chu kì. Độ giảm cơ năng phải bằng công của lực ma sát thực hiện
trong một chu kì:
dao động tắt dần

Amg)'AA)('AA(kAmg'kAkA









(với
'AAA
, xem

AA'

nên
AAA 2'
)

)(4,0004,0
100
10.1,0.1,0.44
cmm
k
mg
A

+ Số chu kì thực hiện đ- ợc từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:






,A
A
N
.
+ Do đó thời gian từ lúc buông tay cho đến lúc dừng lại:

sTNt
cd
55,2.2,0.
.
ĐS: 1)

cmtx







2
10sin10

;
2) a)

mS 5
max

; b)

st
cd
5

Bà
i 2: Một con lắc lò xo gồm lò xo có hệ số đàn hồi

mNk /60
và quả cầu có khối l- ợng

gm 60
, dao động
trong một chất lỏng với biên độ ban đầu

cmA 12
. Trong quá trình dao động con lắc luôn chịu tác dụng của một lực
cản có độ lớn không đổi
C
F
. Xác định độ lớn của lực cản đó. Biết khoảng thời gian từ lúc dao động cho đến khi dừng

hẳn là

s120

. Cho
10
2


.
Giải:
+ Chu kì dao động của con lắc:

s
k
m
T 2,0
60
06,0
22


+ Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát cản trở trong chu kì đó:

AFAA
k
AFAAAA
k
AF
kAkA

CCC
4 2
2
4.''
2
4.
2
'
2
22


+ Suy ra độ giảm biên độ sau một chu kì:
k
F
A
C
4


+ Số dao động thực hiện đ- ợc:
C
F
kA
A
A
N
4

+ Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:
C
F
kAT
TN
4
.


+ Suy ra, độ lớn lực cản:

N
kAT
F
C
003,0
120.4
2,0.12,0.60
4



ĐS:

NF
C
003,0

Bà
i 3: (ĐH Giao thông vận tải HN - 2001) Vật có khối l- ợng

gm 250

đ- ợc mắc với 2 lò xo có khối l- ợng không đáng kể có độ cứng lần l- ợt là:

mNkmNk /40,/60
21

nh-
hình vẽ
. Tại vị trí cân bằng tổng độ dãn
của hai lò xo là
5 (cm).
Chọn trục Ox nh-
hình vẽ
, O là vị trí cân bằng. Bỏ
qua mọi sức cản, các dây nối không co dãn, khối l- ợng của ròng rọc và các
dây nối bỏ qua. Ban đầu giữ cho lò xo k
1
có chiều dài tự nhiên rồi truyền cho
nó vận tốc ban đầu

scmv /40
0

theo chiều d- ơng. Lấy

2

/10 smg
.
a) Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt bàn. Chứng minh hệ dao động điều hoà. Viết
ph- ơng trình dao động.
b) Nếu thay đổi độ lớn của
0
v
thì nó cần thoả mãn điều kiện gì để vật dao
động điều hoà.
c) Khi hệ số ma sát giữa vật và mặt bàn là
1,0

. Tìm tổng chiều dài quãng đ- ờng S mà vật đi đ- ợc cho tới lúc dừng
lại.
Giải:
a) Các lực tác dụng lên vật m: trọng lực
gm

, phản lực của mặt phẳng ngang
N

, các lực đàn hồi
1
F

,
T
(T = lực đàn hồi
lò xo k
2

bằng
22
k
). Trong đó, trọng lực
gm

và phản lực của mặt phẳng ngang
N

luôn luôn cân bằng nhau nên chỉ
còn hai lực

F

,
T

là có tác dụng làm cho vật dao động.
dao động tắt dần


+ Hợp lực tác dụng:

kkTkF
hl
(với

,
là độ dãn của các lò xo
k

1
và
k
2
).
+ Tại vị trí cân bằng, hợp lực tác dụng bằng không, (lò xo
k
1
bị dãn một đoạn


, lò xo
k
2
bị dãn một đoạn


) sao
cho:

cm
cm
cm
kkF
hl





+ Tại vị trí li độ x (lò xo k
1
dãn
(


+ x)
còn lò xo k
2
dãn
(

- x)
), hợp lực tác dụng:

xkkxkxkF
hl

.
+ Ph- ơng trình chuyển động:

m
xkk
"x



, đặt

m
kk




thì ph- ơng trình đ- ợc viết lại:
x"x


. Ph- ơng trình
này có nghiệm là:

tsinAx
: chứng tỏ vật dao động điều hoà.
+ Tần số góc của dao động:

srad
m
kk
/20
25,0
4060
21






.
+ Ph- ơng trình dao động:


tAx 20sin
, vận tốc:


tAv 20cos20
. Tại vị trí cân bằng lò xo 1 dãn 1 đoạn 2
(cm) nên khi vật ở vị trí mà lò xo đó không biến dạng thì toạ độ của vật là - 2 (cm).
+ Biên độ dao động xác định từ công thức:

cm
v
xA 22
20
40
2
2
2
2
0
2
0

















+ Thay

4
/40cos
)(2sin
/40
)(2
0
0

















scmA
cmA
scm

cmx
st
20
v
0

+ Vậy ph- ơng trình dao động là:

cmtx







2
20sin22

.
b) Độ lớn lực căng sợi dây bằng lực đàn hồi lò xo 2 :


tAkxkkT sin
20220222


+ Để hệ dao động điều hoà thì sợi dây luôn căng ở mọi thời điểm, tức là:
00min0
20

AlTtT


scmxv
v
x /455202320.0
222
0
2
200
2
0
2
020










.
c) Gọi s là tổng chiều dài quãng đ- ờng mà vật đi đ- ợc cho tới lúc dừng lại, thì cơ năng ban đầu của vật phải bằng
công của lực ma sát cản trở trên tổng quãng đ- ờng đó:

cmm
mg
Akk
mg
kA
F
kA
SSFkA
ms
ms
1616,0
10.25,0.1,0.2
202,0.100
2222
1
2
2
21
22
maxmax
2




ĐS: a)

cmtx

2
20sin22

; b)

scmv /45
0

; c)

cmS 16
max


2. Bài toán tự luyện
Bài 4: Một vật khối l- ợng

gm 200
nối với một lò xo có độ cứng

mNk /80
. Đầu còn lại của lò xo gắn cố
định, sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn

cm10

rồi
buông tay không vận tốc ban đầu. Chọn trục toạ độ Ox trùng với ph- ơng chuyển động, gốc toạ độ O là vị trí cân bằng,
và chiều d- ơng của trục ng- ợc với chiều kéo ra nói trên. Chọn gốc thời gian là lúc buông tay. Lấy gia tốc trọng tr- ờng

2
/10 smg
.
1. Nếu bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang. Viết ph- ơng trình dao động.
2. Khi hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nằm ngang là
1,0

thì dao động sẽ tắt dần.
a) Tìm tổng chiều dài quãng đ- ờng
max
S
mà vật đi đ- ợc cho tới lúc dừng lại.
b) Tính độ giảm biên độ dao động sau một chu kì. Tìm thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc dừng lại.
dao động tắt dần


ĐS:1)

cmtx

2
20sin10

; 2) a)

mS 2
max

; b)

stcmA

;1

Bà
i 5: Một vật khối l- ợng

kgm 1
nối với một lò xo có độ cứng

mNk /100
. Đầu còn lại của lò xo gắn cố định,
sao cho vật có thể dao động dọc theo trục Ox trên mặt phẳng nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc
0
60

.
Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là
01,0

. Từ vị trí cân bằng truyền cho vật vận tốc ban đầu

scmv /50
0

thì vật dao động tắt dần. Xác định khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn.
ĐS:

st

5

Bà
i 6: Một lò xo có độ cứng k=40N/m, khối l- ợng 0,2kg dao động trên mặt phẳng ngang có ma sát. Lúc đầu, vật có
biên độ
0
4.A cm
Hỏi sau một chu kỳ dao động, biên độ dao động của vật còn bao nhiêu và sau bao nhiêu chu kỳ thì
con lắc dừng lại? Coi rằng trong quá trình dao động, lực ma sát không đổi và hệ số ma sát
0,1.



Bài giảI
Giả sử, kể từ khi bắt đầu dao động thí sau một nửa chu kỳ biên độ dao động của vật là
1
,A
sau một nửa chu kỳ là
2
A

Theo định luật bảo toàn cơ năng thì độ giảm cơ năng bằng công của ngoại lực thực hiện:
n
WT

Nh- ng vì chỉ xét ở biên độ nên động năng bằng 0 và thế năng cực đại, do đó:
tn
WT

áp dụng cho nửa đầu của chu kỳ thứ nhất:



2
2
0 1 0 1
00
1
0 1 0 1 1
2
0,03 3 .
2 2 2
k A A A A
kA kA mg
kA
mg A A mg A A A m cm
k

áp dụng cho nửa sau chu kỳ thứ nhất:



22
1 2 1 2
1 2 1
1 2 2 1 2
2
0,02 2 .
2 2 2
k A A A A
kA kA kA mg
mg A A mg A A A m cm
k






Cũng vậy ta suy ra đ- ợc
2
3
2
0,01 1 .
kA mg

A m cm
k





4
0A

Vậy
0
2
02
4
n
kA
An
mg



Thực ra vật không thể thực hiện 2 chu kỳ dao động đ- ợc mà chỉ đ- ợc 1,5 chu kỳ.
Bài 7:(2010
_485_28) Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối l- ợng 0,02kg và lò xo có độ cứng 1N/m. Vật nhỏ đ- ợc đặt
trên già đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát tr- ợt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ ở vị trí
lò xo bị nén 10cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy
2
10 / .g m s
Tốc độ lớn nhất của vật nhỏ đạt đ- ợc

trong quá trình dao động là:
A.
10 30
cm/s. B.
20 6
cm/s. C.
40 2
cm/s. D.
40 3
cm/s.
Giải
Lúc đầu lực hồi phục là KA sau đó nó giảm dần đồng thời tốc độ vật tăng dần. Đến khi lực hồi phục cân bằng với lực
ma sát thì tốc độ của vật nhỏ đạt giá trị cực đại, tiếp đó tốc độ giảm dần vì lực hồi phục nhỏ hơn lực ma sát.
khi lực hồi phục bằng lực ma sát:
0,02
hp ms
F F kx mg x m


.
Tại vị trí này cơ năng còn lại :

2 2 2 2 2 2 2
1.0,02 0,02 . 1.0,1
0,1.0,02.10 0,1 002 0,4 2 / .
2 2 2 2 2 2
kx mv kA v
mg A x v m s

Dạng 2: Dao động tắt dần của con lắc đơn
+ Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát cản trở trong chu kì đó:
dao động tắt dần




00
2
00000
2
0
2
0
22
0
2
.4 2
2
.4.''
2
4.
2
'
2
SFSS
m
SFSSSS
m

SF
SmSm
ms
msms






+ Suy ra, độ giảm biên độ dài sau một chu kì:
2
4

m
F
S
ms


+ Số dao động thực hiện đ- ợc:
S
S
N


0

+ Thời gian kể từ lúc chuyển động cho đến khi dừng hẳn:
g

l
NTN

2

+ Gọi
max
S
là quãng đ- ờng đi đ- ợc kể từ lúc chuyển động cho đến khi dừng hẳn. Cơ năng ban đầu bằng tổng công của
lực ma sát trên toàn bộ quãng đ- ờng đó, tức là:
?.
2
1
maxmax
2
0
2
SSFSm
ms


+ Chú ý: Cơ năng dao động:
2
0
2
0
2
2
1
2

mgl
Sm
E

1. Bài toán mẫu
Bài 1: Một con lắc đơn có chiều dài

ml 5,0
, quả cầu nhỏ có khối l- ợng

gm 100
. Cho nó dao động tại nơi có
gia tốc trọng tr- ờng

2
/8,9 smg
với biên độ góc

rad14,0
0


. Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác
dụng của lực ma sát nhỏ có độ lớn không đổi

NF
C
002,0

thì nó sẽ dao động tắt dần. Dao động tắt dần có cùng chu
kì nh- khi không có lực cản. Hãy chứng tỏ sau mỗi chu kì biên độ giảm một l- ợng nhất định. Tính khoảng thời gian từ
lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn. Lấy
1416,3

.
Giải:
+ Chu kì dao động của con lắc đơn:

s
g
l
T 42,1
8,9
5,0
.1416,3.22


+ Độ giảm năng l- ợng dao động sau 1 chu kì bằng độ lớn công của lực cản thực hiện trên quãng đ- ờng đi trong thời
gian đó (= 4 lần biên độ dài =
0
4


). Giả sử trong 1 chu kì biên độ góc giảm từ
0

đến
0
'

, ta có:

000000
2
0
2
0
.8''4.'
2
1
2
1

cc
FmgFmgmg

00
2 8

mgF
c
mg
F
C
4



+ Vậy sau mỗi chu kì biên độ góc giảm một l- ợng không đổi:

rad
mg
F
C
0082,0
8,9.1,0
002,0.4
4



+ Số dao động thực hiện đ- ợc:




0
N

+ Khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn là:

sTTN 24,2442,1.
0082,0
14,0

0

ĐS:

s24,24


Bài 2: Một con lắc đơn có chiều dài

ml 248,0
, quả cầu nhỏ có khối l- ợng

gm 100
. Cho nó dao động tại nơi có
gia tốc trọng tr- ờng

2
/8,9 smg
với biên độ góc

rad07,0
0


trong môi tr- ờng d- ới tác dụng của lực cản (có
độ lớn không đổi) thì nó sẽ dao động tắt dần có cùng chu kì nh- khi không có lực cản. Lấy
1416,3

. Xác định độ
lớn của lực cản. Biết con lắc đơn chỉ dao động đ- ợc

s100

thì ngừng hẳn.
dao động tắt dần


Giải:
+ Chu kì dao động của con lắc đơn:

s
g
l
T 1
8,9
248,0
.1416,3.22



+ Độ giảm năng l- ợng dao động sau 1 chu kì bằng độ lớn công của lực cản thực hiện trên quãng đ- ờng đi trong thời
gian đó (
0
4
). Giả sử trong chu kì biên độ góc giảm từ
0
đến
1

ta có:

00010100
2
1
2
0
2 8.84.
2
1
2
1

mgFFmgFmgmg
ccc

mg
F
C
4



+ Số dao động thực hiện đ- ợc:
C
F
mg
N
4
00

+ Mặt khác, số dao động thực hiện đ- ợc từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn theo bài ra:


100
1
100

s
s
T
N

.
+ Suy ra, độ lớn của lực cản:

N
N
mg
F
C
3
0
10.1715,007,0.

100.4
8,9.1,0
4




ĐS: 1)

N
3
10.1715,0


Bà
i 3: Một con lắc đơn có chiều dài

ml 992,0
, quả cầu nhỏ có khối l- ợng

gm 25
. Cho nó dao động tại nơi có
gia tốc trọng tr- ờng

2
/8,9 smg
với biên độ góc
0
0
4

trong môi tr- ờng có lực cản tác dụng. Biết con lắc đơn
chỉ dao động đ- ợc

s50

thì ngừng hẳn. Lấy
1416,3

.
1) Xác định độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì.
2) Để duy trì dao động, ng- ời ta dùng một bộ phận bổ sung năng l- ợng, cung cấp cho con lắc sau mỗi chu kì. Bộ phận
này hoạt động nhờ một pin tạo hiệu điện thế

VU 3
, có hiệu suất
%25
. Pin dự trữ một điện l- ợng

CQ
3
10
.
Tính thời gian hoạt động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin.
Giải:
1) Chu kì dao động của con lắc đơn:

s
g
l

T 2
8,9
992,0
.1416,3.22


+ Số dao động thực hiện đ- ợc:
25
2
50

T
N


+ Năng l- ợng dao động ban đầu của con lắc đơn dao động nhỏ tính theo công thức:

JmgE
3
2
2
00
10.6,0
180
4
.992,0.8,9.025,0
2
1
2
1

.
+ Độ hao hụt cơ năng trung bình sau một chu kì:

J
N
E
E
5
3
0
10.4,2
25
10.6,0




2) Gọi t là thời gian hoạt động của đồng hồ sau mỗi lần thay pin thì năng l- ợng điện toàn phần tạo ra trong thời gian đó

là:
QUtIUA

+ Năng l- ợng có ích cung cấp cho đồng hồ sau một lần thay pin:
QU 25,0

+ Năng l- ợng có ích cung cấp cho đồng hồ sau một chu kì dao động:
T.
t
Q.U.,250
. Năng l- ợng đó bằng độ hao hụt của
năng l- ợng sau mỗi chu kì dao động do lực cản:

E
, tức là:
ET
t
QU
.
25,0

+ Suy ra:

s
E
TQU
t
5
5
3

10.625
10.4,2
2.10.3.25,0 25,0





dao động tắt dần


ĐS: 1)

J
N
E
5
0
10.4,2


; 2)

st
5
10.625

Bà
i 4: Một con lắc đơn có dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng tr- ờng

2
/8,9 smg
với chu kì

sT 2
. Quả cầu
nhỏ của con lắc có khối l- ợng

gm 50
. Cho nó dao động với biên độ góc

rad15,0
0


trong môi tr- ờng có lực
cản tác dụng thì nó chỉ dao động đ- ợc

s200

thì ngừng hẳn. Lấy
1416,3

.
1) Tính số dao động thực hiện đ- ợc, cơ năng ban đầu và độ giảm cơ năng trung bình sau mỗi chu kì.
2) Ng- ời ta có thể duy trì dao động bằng cách dùng một hệ thống lên giây cót đồng hồ sao cho nó chạy đ- ợc trong một
tuần lễ với biên độ góc
0
0
4

. Tính công cần thiết để lên giây cót. Biết
%80
năng l- ợng đ- ợc dùng để thắng lực ma
sát do hệ thống các bánh răng c- a.
Giải:
1) Số dao động thực hiện đ- ợc:
100
2
200

T
N


+ Chiều dài của con lắc đơn suy ra từ công thức tính chu kì:

m
gT
l
g
l
T 993,0
1416,3.4
8,9.2
4
2
2
2
2

2




+ Cơ năng ban đầu của con lắc đơn dao động nhỏ tính theo công thức:

JmgE
222
00
10.55,015,0.993,0.8,9.05,0
2
1
2
1




.
+ Độ hao hụt năng l- ợng sau mỗi chu kì dao động:

J
N
E
E
4
2
0
10.55,0

100
10.55,0



.
2) Năng l- ợng hao hụt sau một đơn vị thời gian:



sJ
s
J
T
E
e /10.275,0
2
10.55,0
4
4





.
+ Năng l- ợng cần bổ sung trong một đơn vị thời gian chính bằng

sJ /10.275,0
4

+ Năng l- ợng cần bổ sung trong một tuần lễ sẽ là:

JsJs 632,16/10.275,0.86400.7
4



+ Vì 80% năng l- ợng đ- ợc dùng để thắng lực ma sát do hệ thống các bánh răng c- a nên chỉ có 20% năng l- ợng có ích,
nên công toàn phần cần thiết để lên giây cót đồng hồ là:

J16,83
2,0
832,16

.
ĐS: 1)

JE
4
10.55,0


; 2)

J16,83

2. Bài toán tự luyện
Bài 5: Một con lắc đồng hồ đ- ợc coi nh- một con lắc đơn có chu kì dao động

sT 2
; vật nặng có khối l- ợng

kgm 1
. Biên độ góc dao động lúc đầu là
0
0
5

. Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi

NF
C
011,0
nên
nó chỉ dao động đ- ợc một thời gian

s

rồi dừng lại.
1) Xác định


2) Ng- ời ta dùng một pin có suất điện động

V3
điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng l- ợng cho con lắc với
hiệu suất 25%. Pin có điện l- ợng ban đầu

CQ

4
0
10
. Hỏi đồng hồ chạy đ- ợc thời gian bao lâu thì lại phải thay pin?
ĐS: 1)

s40

; 2)

Ngày92

Dạng 3: Hiện t- ợng cộng h- ởng
+ Chu kì dao động riêng:









g
l
T
k
m
T
r

r
2
2

dao động tắt dần


+ Chu kì chuyển động tuần hoàn:
v
S
T
th



+ Hệ dao động mạnh nhất khi xẩy ra hiện t- ợng cộng h- ởng. Lúc đó:
thr
TT

1. Bài toán mẫu
Bài 1: Một hành khách dùng dây cao su treo một chiếc ba lô lên trần toa tầu, ngay phía trên một trục bánh xe của toa
tầu. Khối l- ợng của ba lô là

kgm 16
, hệ số cứng của dây cao su là

m/Nk 900
, chiều dài mỗi thanh ray là

m,S 512

, ở chỗ nối hai thanh ray có một khe nhỏ. Hỏi tầu chạy với vận tốc bao nhiêu thì ba lô dao động mạnh
nhất?
Giải:
+ Chu kì dao động riêng của ba lô:
k
m
T
r
2

+ Chu kì chuyển động tuần hoàn của tầu:
v
S
T
th



+ Để ba lô dao động mạnh nhất thì xẩy ra hiện t- ợng cộng h- ởng. Lúc đó:
thr
TT


s/m
,
m
kS
v 15
16
900

2
512
2







ĐS:

s/mv 15

Bài 2: Một ng- ời đi bộ với vận tốc

s/mv 3
. Mỗi b- ớc đi dài

m,S 60
.
1) Xác định chu kì và tần số của hiện t- ợng tuần hoàn của ng- ời đi bộ.
2) Nếu ng- ời đó xách một xô n- ớc mà n- ớc trong xô dao động với tần số

Hzf
r
2
. Ng- ời đó đi với vận tốc bao
nhiêu thì n- ớc trong xô bắn toé ra ngoài mạnh nhất?
Giải:

1) Chu kì của hiện t- ợng tuần hoàn của ng- ời đi bộ là thời gian để b- ớc đi một b- ớc:

s,
,
v
S
T
th
20
3
60



. Tần số của hiện t- ợng này là:

Hz
T
f
th
th
5
1


2) Để n- ớc trong xô bắn toé ra ngoài mạnh nhất thì chu kì dao động của b- ớc đi phải bằng chu kì dao động của n- ớc
trong xô (hiện t- ợng cộng h- ởng), tức là:
r
r
rth

f.Sv
fv
S
TT


1

+ Suy ra, vận tốc của ng- ời đi bộ:

s/m,v 21

ĐS: 1)

s,T
th
20
;

Hzf
th
5
; 2)

s/m,v 21

2. Bài toán tự luyện
Bài 3: Một ng- ời đèo hai thùng n- ớc ở phía sau xe đạp và đạp xe trên con đ- ờng lát bê tông. Cứ cách

mS 3

, trên
đ- ờng lại có một rãnh nhỏ. Đối với ng- ời đó vận tốc nào là không có lợi? Vì sao? Cho biết chu kì dao động riêng của
n- ớc trong thùng là

s,T
r
90
.
ĐS:

s/mv
3
10