GIÁO TRÌNH TOÁN RỜI RẠC

CH NG IVƯƠ
Đ TH EULER VÀ Đ TH HAMILTONỒ Ị Ồ Ị
4.1. Đ NG ĐI EULER VÀ Đ TH EULER.ƯỜ Ồ Ị
Có th coi năm 1736 là năm khai sinh lý thuy t đ th , v i vi c công b l i gi iể ế ồ ị ớ ệ ố ờ ả
“bài toán v các c u Konigsberg” c a nhà toán h c l i l c Euler (1707-1783). Thànhề ầ ở ủ ọ ỗ ạ
ph Konigsberg thu c Ph (nay g i là Kaliningrad thu c Nga) đ c chia thành b nố ộ ổ ọ ộ ượ ố
vùng b ng các nhánh sông Pregel, các vùng này g m hai vùng bên b sông, đ oằ ồ ờ ả
Kneiphof và m t mi n n m gi a hai nhánh c a sông Pregel. Vào th k 18, ng i taộ ề ằ ữ ủ ế ỷ ườ
xây b y chi c c u n i các vùng này v i nhau.ả ế ầ ố ớ
G
Dân thành ph t ng th c m c: “Có th nào đi d o qua t t c b y c u, m i c uố ừ ắ ắ ể ạ ấ ả ả ầ ỗ ầ
ch m t l n thôi không?”. N u ta coi m i khu v c A, B, C, D nh m t đ nh và m i c uỉ ộ ầ ế ỗ ự ư ộ ỉ ỗ ầ
qua l i hai khu v c là m t c nh n i hai đ nh thì ta có s đ c a Konigsberg là m t đaạ ự ộ ạ ố ỉ ơ ồ ủ ộ
đ th G nh hình trên.ồ ị ư
Bài toán tìm đ ng đi qua t t c các c u, m i c u ch qua m t l n có th đ cườ ấ ả ầ ỗ ầ ỉ ộ ầ ể ượ
phát bi u l i b ng mô hình này nh sau: Có t n t i chu trình đ n trong đa đ th Gể ạ ằ ư ồ ạ ơ ồ ị
ch a t t c các c nh?ứ ấ ả ạ
4.1.1. Đ nh nghĩa:ị Chu trình (t. . đ ng đi) đ n ch a t t c các c nh (ho c cung)ư ườ ơ ứ ấ ả ạ ặ
c a đ th (vô h ng ho c có h ng) G đ c g i là chu trình (t. . đ ng đi) Euler.ủ ồ ị ướ ặ ướ ượ ọ ư ườ
M t đ th liên thông (liên thông y u đ i v i đ th có h ng) có ch a m t chu trìnhộ ồ ị ế ố ớ ồ ị ướ ứ ộ
(t. . đ ng đi) Euler đ c g i là đ th Euler (t. . n a Euler).ư ườ ượ ọ ồ ị ư ử
Thí d 1:ụ
Đ th không n a Eulerồ ị ử
Đ th n a Eulerồ ị ử

54
AD
B
C
D
A

C
B
Đ th Eulerồ ị

Đ th Euler Đ th n a Eulerồ ị ồ ị ử
Đi u ki n c n và đ đ m t đ th là đ th Euler đ c Euler tìm ra vào nămề ệ ầ ủ ể ộ ồ ị ồ ị ượ
1736 khi ông gi i quy t bài toán hóc búa n i ti ng th i đó v b y cái c u Konigsbergả ế ổ ế ờ ề ả ầ ở
và đây là đ nh lý đ u tiên c a lý thuy t đ th .ị ầ ủ ế ồ ị
4.1.2. Đ nh lý:ị Đ th (vô h ng) liên thông G là đ th Euler khi và ch khi m i đ nhồ ị ướ ồ ị ỉ ọ ỉ
c a G đ u có b c ch n.ủ ề ậ ẵ
Ch ng minh:ứ
Đi u ki n c nề ệ ầ : Gi s G là đ th Euler, t c là t n t i chu trình Euler P trong G. Khiả ử ồ ị ứ ồ ạ
đó c m i l n chu trình P đi qua m t đ nh nào đó c a G thì b c c a đ nh đó tăng lên 2.ứ ỗ ầ ộ ỉ ủ ậ ủ ỉ
M t khác, m i c nh c a đ th xu t hi n trong P đúng m t l n. Do đó m i đ nh c aặ ỗ ạ ủ ồ ị ấ ệ ộ ầ ỗ ỉ ủ
đ th đ u có b c ch n.ồ ị ề ậ ẵ
4.1.3. B đ :ổ ề N u b c c a m i đ nh c a đ th G không nh h n 2 thì G ch a chuế ậ ủ ỗ ỉ ủ ồ ị ỏ ơ ứ
trình đ n.ơ
Ch ng minh:ứ N u G có c nh b i ho c có khuyên thì kh ng đ nh c a b đ là hi nế ạ ộ ặ ẳ ị ủ ổ ề ể
nhiên. Vì v y gi s G là m t đ n đ th . G i v là m t đ nh nào đó c a G. Ta s xâyậ ả ử ộ ơ ồ ị ọ ộ ỉ ủ ẽ
d ng theo quy n p đ ng điự ạ ườ

trong đó v
1
là đ nh k v i v, còn v i i ỉ ề ớ ớ ≥ 1, ch n vọ
i+1
là đ nh k v i vỉ ề ớ
i
và v
i+1
≠ v

i
-
1
(có
th ch n nh v y vì deg(vể ọ ư ậ
i
) ≥ 2), v
0
= v. Do t p đ nh c a G là h u h n, nên sau m t sậ ỉ ủ ữ ạ ộ ố
h u h n b c ta ph i quay l i m t đ nh đã xu t hi n tr c đó. G i k là s nguyênữ ạ ướ ả ạ ộ ỉ ấ ệ ướ ọ ố
d ng đ u tiên đ vươ ầ ể
k
=v
i
(0≤ i<k). Khi đó, đ ng đi vườ
i
, v
i+1
, , v
k
-
1
, v
k
(= v
i
) là m t chuộ
trình đ n c n tìm.ơ ầ
Đi u ki n đ :ề ệ ủ Quy n p theo s c nh c a G. Do G liên thông và b c c a m i đ nh làạ ố ạ ủ ậ ủ ọ ỉ
ch n nên m i đ nh có b c không nh h n 2. T đó theo B đ 4.1.3, G ph i ch a m tẵ ỗ ỉ ậ ỏ ơ ừ ổ ề ả ứ ộ

chu trình đ n C. N u C đi qua t t c các c nh c a G thì nó chính là chu trình Euler. Giơ ế ấ ả ạ ủ ả
s C không đi qua t t c các c nh c a G. Khi đó lo i b kh i G các c nh thu c C, taử ấ ả ạ ủ ạ ỏ ỏ ạ ộ
thu đ c m t đ th m i H (không nh t thi t là liên thông). S c nh trong H nh h nượ ộ ồ ị ớ ấ ế ố ạ ỏ ơ
trong G và rõ ràng m i đ nh c a H v n có b c là ch n. Theo gi thi t quy n p, trongỗ ỉ ủ ẫ ậ ẵ ả ế ạ
m i thành ph n liên thông c a H đ u tìm đ c chu trình Euler. Do G liên thông nênỗ ầ ủ ề ượ
55
v
v
1
v
2
.
. .
m i thành ph n trong H có ít nh t m t đ nh chung v i chu trình C. Vì v y, ta có th xâyỗ ầ ấ ộ ỉ ớ ậ ể
d ng chu trình Euler trong G nh sau:ự ư
B t đ u t m t đ nh nào đó c a chu trình C, đi theo các c nh c a C ch ng nào ch aắ ầ ừ ộ ỉ ủ ạ ủ ừ ư
g p ph i đ nh không cô l p c a H. N u g p ph i đ nh nh v y thì ta đi theo chu trìnhặ ả ỉ ậ ủ ế ặ ả ỉ ư ậ
Euler c a thành ph n liên thông c a H ch a đ nh đó. Sau đó l i ti p t c đi theo c nhủ ầ ủ ứ ỉ ạ ế ụ ạ
c a C cho đ n khi g p ph i đ nh không cô l p c a H thì l i theo chu trình Euler c aủ ế ặ ả ỉ ậ ủ ạ ủ
thành ph n liên thông t ng ng trong H, Quá trình s k t thúc khi ta tr v đ nhầ ươ ứ ẽ ế ở ề ỉ
xu t phát, t c là thu đ c chu trình đi qua m i c nh c a đ th đúng m t l n.ấ ứ ượ ỗ ạ ủ ồ ị ộ ầ
4.1.4. H qu :ệ ả Đ th liên thông G là n a Euler (mà không là Euler) khi và ch khi cóồ ị ử ỉ
đúng hai đ nh b c l trong G.ỉ ậ ẻ
Ch ng minh:ứ N u G là n a Euler thì t n t i m t đ ng đi Euler trong G t đ nh u đ nế ử ồ ạ ộ ườ ừ ỉ ế
đ nh v. G i G’ là đ th thu đ c t G b ng cách thêm vào c nh (u,v). Khi đó G’ là đỉ ọ ồ ị ượ ừ ằ ạ ồ
th Euler nên m i đ nh trong G’ đ u có b c ch n (k c u và v). Vì v y u và v là haiị ọ ỉ ề ậ ẵ ể ả ậ
đ nh duy nh t trong G có b c l .ỉ ấ ậ ẻ
Đ o l i, n u có đúng hai đ nh b c l là u và v thì g i G’ là đ th thu đ c t Gả ạ ế ỉ ậ ẻ ọ ồ ị ượ ừ
b ng cách thêm vào c nh (u,v). Khi đó m i đ nh c a G’ đ u có b c ch n hay G’ là đằ ạ ọ ỉ ủ ề ậ ẵ ồ
th Euler. B c nh (u,v) đã thêm vào ra kh i chu trình Euler trong G’ ta có đ c đ ngị ỏ ạ ỏ ượ ườ

đi Euler t u đ n v trong G hay G là n a Euler.ừ ế ử
4.1.5. Chú ý: Ta có th v ch đ c m t chu trình Euler trong đ th liên thông G cóể ạ ượ ộ ồ ị
b c c a m i đ nh là ch n theo thu t toán Fleury sau đây.ậ ủ ọ ỉ ẵ ậ
Xu t phát t m t đ nh b t kỳ c a G và tuân theo hai quy t c sau:ấ ừ ộ ỉ ấ ủ ắ
1. M i khi đi qua m t c nh nào thì xoá nó đi; sau đó xoá đ nh cô l p (n u có);ỗ ộ ạ ỉ ậ ế
2. Không bao gi đi qua m t c u, tr phi không còn cách đi nào khác.ờ ộ ầ ừ
56
u
s
v
w
t
x
y
z
Xu t phát t u, ta có th đi theo c nh (u,v) ho c (u,x), gi s là (u,v) (xoá (u,v)).ấ ừ ể ạ ặ ả ử
T v có th đi qua m t trong các c nh (v,w), (v,x), (v,t), gi s (v,w) (xoá (v,w)). Ti pừ ể ộ ạ ả ử ế
t c, có th đi theo m t trong các c nh (w,s), (w,y), (w,z), gi s (w,s) (xoá (w,s)). Điụ ể ộ ạ ả ử
theo c nh (s,y) (xoá (s,y) và s). Vì (y,x) là c u nên có th đi theo m t trong hai c nhạ ầ ể ộ ạ
(y,w), (y,z), gi s (y,w) (xoá (y,w)). Đi theo (w,z) (xoá (w,z) và w) và theo (z,y) (xoáả ử
(z,y) và z). Ti p t c đi theo c nh (y,x) (xoá (y,x) và y). Vì (x,u) là c u nên đi theo c nhế ụ ạ ầ ạ
(x,v) ho c (x,t), gi s (x,v) (xoá (x,v)). Ti p t c đi theo c nh (v,t) (xoá (v,t) và v), theoặ ả ử ế ụ ạ
c nh (t,x) (xoá c nh (t,x) và t), cu i cung đi theo c nh (x,u) (xoá (x,u), x và u).ạ ạ ố ạ
4.1.6. Bài toán ng i phát th Trung Hoa:ườ ư
M t nhân viên đi t S B u Đi n, qua m t s đ ng ph đ phát th , r i quayộ ừ ở ư ệ ộ ố ườ ố ể ư ồ
v S . Ng i y ph i đi qua các đ ng theo trình t nào đ đ ng đi là ng n nh t?ề ở ườ ấ ả ườ ự ể ườ ắ ấ
Bài toán đ c nhà toán h c Trung Hoa Guan nêu lên đ u tiên (1960), vì v yượ ọ ầ ậ
th ng đ c g i là “bài toán ng i phát th Trung Hoa”. Ta xét bài toán m t d ngườ ượ ọ ườ ư ở ộ ạ
đ n gi n nh sau.ơ ả ư
Cho đ th liên thông G. M t chu trình qua m i c nh c a G g i là m t hành trìnhồ ị ộ ọ ạ ủ ọ ộ

trong G. Trong các hành trình đó, hãy tìm hành trình ng n nh t, t c là qua ít c nh nh t.ắ ấ ứ ạ ấ
Rõ ràng r ng n u G là đ th Euler (m i đ nh đ u có b c ch n) thì chu trìnhằ ế ồ ị ọ ỉ ề ậ ẵ
Euler trong G (qua m i c nh c a G đúng m t l n) là hành trình ng n nh t c n tìm.ỗ ạ ủ ộ ầ ắ ấ ầ
Ch còn ph i xét tr ng h p G có m t s đ nh b c l (s đ nh b c l là m t sỉ ả ườ ợ ộ ố ỉ ậ ẻ ố ỉ ậ ẻ ộ ố
ch n). Khi đó, m i hành trình trong G ph i đi qua ít nh t hai l n m t s c nh nào đó.ẵ ọ ả ấ ầ ộ ố ạ
D th y r ng m t hành trình qua m t c nh (u,v) nào đó quá hai l n thì khôngễ ấ ằ ộ ộ ạ ầ
ph i là hành trình ng n nh t trong G. Vì v y, ta ch c n xét nh ng hành trình T đi quaả ắ ấ ậ ỉ ầ ữ
hai l n m t s c nh nào đó c a G.ầ ộ ố ạ ủ
Ta quy c xem m i hành trình T trong G là m t hành trình trong đ th Eulerướ ỗ ộ ồ ị
G
T
, có đ c t G b ng cách v thêm m t c nh song song đ i v i nh ng c nh mà T điượ ừ ằ ẽ ộ ạ ố ớ ữ ạ
qua hai l n. Bài toán đ t ra đ c đ a v bài toán sau:ầ ặ ượ ư ề
Trong các đ th Euler Gồ ị
T
, tìm đ th có s c nh ít nh t (khi đó chu trình Eulerồ ị ố ạ ấ
trong đ th này là hành trình ng n nh t).ồ ị ắ ấ
Đ nh lý (Gooodman và Hedetniemi, 1973)ị . N u G là m t đ th liên thông có qế ộ ồ ị
c nh thì hành trình ng n nh t trong G có chi u dàiạ ắ ấ ề
q + m(G),
trong đó m(G) là s c nh mà hành trình đi qua hai l n và đ c xác đ nh nh sau:ố ạ ầ ượ ị ư
G i Vọ
0
(G) là t p h p các đ nh b c l (2k đ nh) c a G. Ta phân 2k ph n t c a Gậ ợ ỉ ậ ẻ ỉ ủ ầ ử ủ
thành k c p, m i t p h p k c p g i là m t phân ho ch c p c a Vặ ỗ ậ ợ ặ ọ ộ ạ ặ ủ
0
(G).
Ta g i đ dài đ ng đi ng n nh t t u đ n v là kho ng cách d(u,v). Đ i v iọ ộ ườ ắ ấ ừ ế ả ố ớ
m i phân ho ch c p Pọ ạ ặ
i

, ta tính kho ng cách gi a hai đ nh trong t ng c p, r i tính t ngả ữ ỉ ừ ặ ồ ổ
d(P
i
). S m(G) b ng c c ti u c a các d(Pố ằ ự ể ủ
i
):
57
m(G)=min d(P
i
).
Thí d 2:ụ Gi i bài toán ng i phát th Trung Hoa cho trong đ th sau:ả ườ ư ồ ị
G G
T
T p h p các đ nh b c l Vậ ợ ỉ ậ ẻ
O
(G)={B, G, H, K} và t p h p các phân ho ch c p làậ ợ ạ ặ
P={P
1
, P
2
, P
3
}, trong đó
P
1
= {(B, G), (H, K)} → d(P
1
) = d(B, G)+d(H, K) = 4+1 = 5,
P
2

= {(B, H), (G, K)} → d(P
2
) = d(B, H)+d(G, K) = 2+1 = 3,
P
3
= {(B, K), (G, H)} → d(P
3
) = d(B, K)+d(G, H) = 3+2 = 5.
m(G) = min(d(P
1
), d(P
2
), d(P
3
)) = 3.
Do đó G
T
có đ c t G b ng cách thêm vào 3 c nh: (B, I), (I, H), (G, K) và Gượ ừ ằ ạ
T
là
đ th Euler. V y hành trình ng n nh t c n tìm là đi theo chu trình Euler trong Gồ ị ậ ắ ấ ầ
T
:
A, B, C, D, E, F, K, G, K, E, C, J, K, H, J, I, H, I, B, I, A.
4.1.7. Đ nh lý:ị Đ th có h ng liên thông y u G là đ th Euler khi và ch khi m iồ ị ướ ế ồ ị ỉ ọ
đ nh c a G đ u có b c vào b ng b c ra.ỉ ủ ề ậ ằ ậ
Ch ng minh:ứ Ch ng minh t ng t nh ch ng minh c a Đ nh lý 4.1.2 và đi u ki nứ ươ ự ư ứ ủ ị ề ệ
đ cũng c n có b đ d i đây t ng t nh B đ 4.1.3.ủ ầ ổ ề ướ ươ ự ư ở ổ ề
4.1.8. B đ :ổ ề N u b c vào và b c ra c a m i đ nh c a đ th có h ng G không nhế ậ ậ ủ ỗ ỉ ủ ồ ị ướ ỏ
h n 1 thì G ch a chu trình đ n.ơ ứ ơ

4.1.9. H qu :ệ ả Đ th có h ng liên thông y u G là n a Euler (mà không là Euler) khiồ ị ướ ế ử
và ch khi t n t i hai đ nh x và y sao cho:ỉ ồ ạ ỉ
deg
o
(x) = deg
t
(x)+1, deg
t
(y) = deg
o
(y)+1, deg
t
(v) = deg
o
(v), ∀v∈V, v ≠ x, v ≠ y.
Ch ng minh:ứ Ch ng minh t ng t nh H qu 4.1.4.ứ ươ ự ư ở ệ ả
4.2. Đ NG ĐI HAMILTON VÀ Đ TH HAMILTON.ƯỜ Ồ Ị
Năm 1857, nhà toán h c ng i Ailen là Hamilton(1805-1865) đ a ra trò ch i “điọ ườ ư ơ
vòng quanh th gi i” nh sau.ế ớ ư
Cho m t hình th p nh di n đ u (đa di n đ u có 12 m t, 20 đ nh và 30 c nh),ộ ậ ị ệ ề ệ ề ặ ỉ ạ
m i đ nh c a hình mang tên m t thành ph n i ti ng, m i c nh c a hình (n i hai đ nh)ỗ ỉ ủ ộ ố ổ ế ỗ ạ ủ ố ỉ
là đ ng đi l i gi a hai thành ph t ng ng. Xu t phát t m t thành ph , hãy tìmườ ạ ữ ố ươ ứ ấ ừ ộ ố
58
D
C
E
F
B
K
J

A
I
H
G
đ ng đi thăm t t c các thành ph khác, m i thành ph ch m t l n, r i tr v chườ ấ ả ố ỗ ố ỉ ộ ầ ồ ở ề ỗ
cũ.
Tr c Hamilton, có th là t th i Euler, ng i ta đã bi t đ n m t câu đ hócướ ể ừ ờ ườ ế ế ộ ố
búa v “đ ng đi c a con mã trên bàn c ”. Trên bàn c , con mã ch có th đi theoề ườ ủ ờ ờ ỉ ể
đ ng chéo c a hình ch nh t 2 x 3 ho c 3 x 2 ô vuông. Gi s bàn c có 8 x 8 ôườ ủ ữ ậ ặ ả ử ờ
vuông. Hãy tìm đ ng đi c a con mã qua đ c t t c các ô c a bàn c , m i ô ch m tườ ủ ượ ấ ả ủ ờ ỗ ỉ ộ
l n r i tr l i ô xu t phát.ầ ồ ở ạ ấ
Bài toán này đ c nhi u nhà toán h c chú ý, đ c bi t là Euler, De Moivre,ượ ề ọ ặ ệ
Vandermonde,
Hi n nay đã có nhi u l i gi i và ph ng pháp gi i cũng có r t nhi u, trong đóệ ề ờ ả ươ ả ấ ề
có quy t c: m i l n b trí con mã ta ch n v trí mà t i v trí này s ô ch a dùng t i doắ ỗ ầ ố ọ ị ạ ị ố ư ớ
nó kh ng ch là ít nh t.ố ế ấ
M t ph ng pháp khác d a trên tính đ i x ng c a hai n a bàn c . Ta tìm hànhộ ươ ự ố ứ ủ ử ờ
trình c a con mã trên m t n a bàn c , r i l y đ i x ng cho n a bàn c còn l i, sau đóủ ộ ử ờ ồ ấ ố ứ ử ờ ạ
n i hành trình c a hai n a đã tìm l i v i nhau.ố ủ ử ạ ớ
Trò ch i và câu đ trên d n t i vi c kh o sát m t l p đ th đ c bi t, đó là đơ ố ẫ ớ ệ ả ộ ớ ồ ị ặ ệ ồ
th Hamilton.ị
4.2.1. Đ nh nghĩa:ị Chu trình (t. . đ ng đi) s c p ch a t t c các đ nh c a đ thư ườ ơ ấ ứ ấ ả ỉ ủ ồ ị
(vô h ng ho c có h ng) G đ c g i là chu trình (t. . đ ng đi) Hamilton. M t đướ ặ ướ ượ ọ ư ườ ộ ồ
th có ch a m t chu trình (t. . đ ng đi) Hamilton đ c g i là đ th Hamilton (t. .ị ứ ộ ư ườ ượ ọ ồ ị ư
n a Hamilton).ử
Thí d 3:ụ 1)
Đ th Hamilton (hình th p nh di n đ u bi u di n trong m t ph ng) v i chuồ ị ậ ị ệ ề ể ẽ ặ ẳ ớ
trình Hamilton A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, A (đ ng tôườ
đ m).ậ
59

C
B
D
A
E
J
L
H
T
K
I
O
P
F
M
G
S
R
N
Q
2) Trong m t đ t thi đ u bóng bàn có n (n ộ ợ ấ ≥ 2) đ u th tham gia. M i đ u th g pấ ủ ỗ ấ ủ ặ
t ng đ u th khác đúng m t l n. Trong thi đ u bóng bàn ch có kh năng th ng ho cừ ấ ủ ộ ầ ấ ỉ ả ắ ặ
thua. Ch ng minh r ng sau đ t thi đ u có th x p t t c các đ u th đ ng thành m tứ ằ ợ ấ ể ế ấ ả ấ ủ ứ ộ
hàng d c, đ ng i đ ng sau th ng ng i đ ng ngay tr c anh (ch ) ta.ọ ể ườ ứ ắ ườ ứ ướ ị
Xét đ th có h ng G g m n đ nh sao cho m i đ nh ng v i m t đ u th và cóồ ị ướ ồ ỉ ỗ ỉ ứ ớ ộ ấ ủ
m t cung n i t đ nh u đ n đ nh v n u đ u th ng v i u th ng đ u th ng v i v.ộ ố ừ ỉ ế ỉ ế ấ ủ ứ ớ ắ ấ ủ ứ ớ
Nh v y, đ th G có tính ch t là v i hai đ nh phân bi t b t kỳ u và v, có m t và chư ậ ồ ị ấ ớ ỉ ệ ấ ộ ỉ
m t trong hai cung (u,v) ho c (v,u), đ th nh th đ c g i là đ th có h ng đ yộ ặ ồ ị ư ế ượ ọ ồ ị ướ ầ
đ . T M nh đ 4.2.2 d i đây, G là m t đ th n a Hamilton. Khi đó đ ng điủ ừ ệ ề ướ ộ ồ ị ử ườ
Hamilton trong G cho ta s s p x p c n tìm.ự ắ ế ầ

3) M t l i gi i v hành trình c a con mã trên bàn c 8 x 8:ộ ờ ả ề ủ ờ
Đ ng đi Hamilton t ng t đ ng đi Euler trong cách phát bi u: Đ ng điườ ươ ự ườ ể ườ
Euler qua m i c nh (cung) c a đ th đúng m t l n, đ ng đi Hamilton qua m i đ nhọ ạ ủ ồ ị ộ ầ ườ ọ ỉ
c a đ th đúng m t l n. Tuy nhiên, n u nh bài toán tìm đ ng đi Euler trong m t đủ ồ ị ộ ầ ế ư ườ ộ ồ
th đã đ c gi i quy t tr n v n, d u hi u nh n bi t m t đ th Euler là khá đ n gi nị ượ ả ế ọ ẹ ấ ệ ậ ế ộ ồ ị ơ ả
và d s d ng, thì các bài toán v tìm đ ng đi Hamilton và xác đ nh đ th Hamiltonễ ử ụ ề ườ ị ồ ị
l i khó h n r t nhi u. Đ ng đi Hamilton và đ th Hamilton có nhi u ý nghĩa th cạ ơ ấ ề ườ ồ ị ề ự
ti n và đã đ c nghiên c u nhi u, nh ng v n còn nh ng khó khăn l n ch a ai v tễ ượ ứ ề ư ẫ ữ ớ ư ượ
qua đ c.ượ
Ng i ta ch m i tìm đ c m t vài đi u ki n đ đ nh n bi t m t l p r t nhườ ỉ ớ ượ ộ ề ệ ủ ể ậ ế ộ ớ ấ ỏ
các đ th Hamilton và đ th n a Hamilton. Sau đây là m t vài k t qu .ồ ị ồ ị ử ộ ế ả
60
D
T
4.2.2. Đ nh lý (Rédei):ị N u G là m t đ th có h ng đ y đ thì G là đ th n aế ộ ồ ị ướ ầ ủ ồ ị ử
Hamilton.
Ch ng minh:ứ Gi s G=(V,E) là đ th có h ng đ y đ và ả ử ồ ị ướ ầ ủ α=(v
1
,v
2
, , v
k-1
, v
k
) là
đ ng đi s c p b t kỳ trong đ th G.ườ ơ ấ ấ ồ ị
N u ế α đã đi qua t t c các đ nh c a G thì nó là m t đ ng đi Hamilton c a G.ấ ả ỉ ủ ộ ườ ủ
N u trong G còn có đ nh n m ngoài ế ỉ ằ α, thì ta có th b sung d n các đ nh này vào ể ổ ầ ỉ α
và cu i cùng nh n đ c đ ng đi Hamilton.ố ậ ượ ườ
Th t v y, gi s v là đ nh tuỳ ý không n m trên ậ ậ ả ử ỉ ằ α.

a) N u có cung n i v v i vế ố ớ
1
thì b sung v vào đ u c a đ ng đi ổ ầ ủ ườ α đ đ c ể ượ α
1
=(v, v
1
,
v
2
, , v
k-1
, v
k
).
b) N u t n t i ch s i (1 ế ồ ạ ỉ ố ≤ i ≤ k-1) mà t vừ
i
có cung n i t i v và t v có cung n i t iố ớ ừ ố ớ
v
i+1
thì ta chen v vào gi a vữ
i
và v
i+1
đ đ c đ ng đi s c p ể ượ ườ ơ ấ α
2
=(v
1
, v
2
, , v

i
, v, v
i+1
, ,
v
k
).
c) N u c hai kh năng trên đ u không x y ra nghĩa là v i m i i (1 ế ả ả ề ả ớ ọ ≤ i ≤ k) v
i
đ u cóề
cung đi t i v. Khi đó b sung v vào cu i c a đ ng đi ớ ổ ố ủ ườ α và đ c đ ng đi ượ ườ α
3
=(v
1
,
v
2
, , v
k-1
, v
k
, v).
N u đ th G có n đ nh thì sau n-k b sung ta s nh n đ c đ ng đi Hamilton.ế ồ ị ỉ ổ ẽ ậ ượ ườ
4.2.3. Đ nh lý (Dirac, 1952):ị N u G là m t đ n đ th có n đ nh và m i đ nh c a Gế ộ ơ ồ ị ỉ ọ ỉ ủ
đ u có b c không nh h n ề ậ ỏ ơ
2
n
thì G là m t đ th Hamilton.ộ ồ ị
Ch ng minh:ứ Đ nh lý đ c ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi s G không có chuị ượ ứ ằ ả ứ ả ử
trình Hamilton. Ta thêm vào G m t s đ nh m i và n i m i đ nh m i này v i m i đ nhộ ố ỉ ớ ố ỗ ỉ ớ ớ ọ ỉ

c a G, ta đ c đ th G’. Gi s k (>0) là s t i thi u các đ nh c n thi t đ G’ ch aủ ượ ồ ị ả ử ố ố ể ỉ ầ ế ể ứ
m t chu trình Hamilton. Nh v y, G’ có n+k đ nh.ộ ư ậ ỉ
G i P là chu trình Hamilton ayb a trong G’, trong đó a và b là các đ nh c a G,ọ ỉ ủ
còn y là m t trong các đ nh m i. Khi đó b không k v i a, vì n u trái l i thì ta có th bộ ỉ ớ ề ớ ế ạ ể ỏ
đ nh y và đ c chu trình ab a, mâu thu n v i gi thi t v tính ch t nh nh t c a k.ỉ ượ ẩ ớ ả ế ề ấ ỏ ấ ủ
Ngoài ra, n u a’ là m t đ nh k nào đó c a a (khác v i y) và b’ là đ nh n i ti pế ộ ỉ ề ủ ớ ỉ ố ế
ngay a’ trong chu trình P thì b’ không th là đ nh k v i b, vì n u trái l i thì ta có thể ỉ ề ớ ế ạ ể
61
a
b’
a'
b
y
thay P b i chu trình aa’ bb’ a, trong đó không có y, mâu thu n v i gi thi t v tínhở ẩ ớ ả ế ề
ch t nh nh t c a k.ấ ỏ ấ ủ
Nh v y, v i m i đ nh k v i a, ta có m t đ nh không k v i b, t c là s đ như ậ ớ ỗ ỉ ề ớ ộ ỉ ề ớ ứ ố ỉ
không k v i b không th ít h n s đ nh k v i a (s đ nh k v i a không nh h n ề ớ ể ơ ố ỉ ề ớ ố ỉ ề ớ ỏ ơ
2
n
+k). M t khác, theo gi thi t s đ nh k v i b cũng không nh h n ặ ả ế ố ỉ ề ớ ỏ ơ
2
n
+k. Vì không có
đ nh nào v a k v i b l i v a không k v i b, nên s đ nh c a G’ không ít h n 2(ỉ ừ ề ớ ạ ừ ề ớ ố ỉ ủ ơ
2
n
+k)=n+2k, mâu thu n v i gi thi t là s đ nh c a G’ b ng n+k (k>0). Đ nh lý đ cẩ ớ ả ế ố ỉ ủ ằ ị ượ
ch ng minh.ứ
4.2.4. H qu :ệ ả N u G là đ n đ th có n đ nh và m i đ nh c a G đ u có b c khôngế ơ ồ ị ỉ ọ ỉ ủ ề ậ
nh h n ỏ ơ

2
1−n
thì G là đ th n a Hamilton.ồ ị ử
Ch ng minh:ứ Thêm vào G m t đ nh x và n i x v i m i đ nh c a G thì ta nh n đ cộ ỉ ố ớ ọ ỉ ủ ậ ượ
đ n đ th G’ có n+1 đ nh và m i đ nh có b c không nh h n ơ ồ ị ỉ ỗ ỉ ậ ỏ ơ
2
1+n
. Do đó theo Đ nh lýị
4.2.3, trong G’ có m t chu trình Hamilton. B x ra kh i chu trình này, ta nh n đ cộ ỏ ỏ ậ ượ
đ ng đi Hamilton trong G.ườ
4.2.5. Đ nh lý (Ore, 1960):ị N u G là m t đ n đ th có n đ nh và b t kỳ hai đ nh nàoế ộ ơ ồ ị ỉ ấ ỉ
không k nhau cũng có t ng s b c không nh h n n thì G là m t đ th Hamilton.ề ổ ố ậ ỏ ơ ộ ồ ị
4.2.6. Đ nh lý:ị N u G là đ th phân đôi v i hai t p đ nh là Vế ồ ị ớ ậ ỉ
1
, V
2
có s đ nh cùngố ỉ
b ng n (n ằ ≥ 2) và b c c a m i đ nh l n h n ậ ủ ỗ ỉ ớ ơ
2
n
thì G là m t đ th Hamilton.ộ ồ ị
Thí d 4:ụ
Đ th G này có 8 đ nh, đ nh nào cũng Đ th G’ này có 5 đ nh b c 4 và 2 đ nh ồ ị ỉ ỉ ồ ị ỉ ậ ỉ
có b c 4, nên theo Đ nh lý 4.2.3, G là b c 2 k nhau nên t ng s b c c a haiậ ị ậ ề ổ ố ậ ủ
đ nhỉ
đ th Hamilton. không k nhau b t kỳ b ng 7 ho c 8, nênồ ị ề ấ ằ ặ
theo Đ nh lý 4.2.5, G’ là đ th Hamilton.ị ồ ị
62
e
f

g
h
b
a
c
d
a
e
f
g
b
c
d
a
4.2.7. Bài toán s p x p ch ng i:ắ ế ỗ ồ
Có n đ i bi u t n n c đ n d h i ngh qu c t . M i ngày h p m t l n ng iạ ể ừ ướ ế ự ộ ị ố ế ỗ ọ ộ ầ ồ
quanh m t bàn tròn. H i ph i b trí bao nhiêu ngày và b trí nh th nào sao cho trongộ ỏ ả ố ố ư ế
m i ngày, m i ng i có hai ng i k bên là b n m i. L u ý r ng n ng i đ u mu nỗ ỗ ườ ườ ế ạ ớ ư ằ ườ ề ố
làm quen v i nhau.ớ
Xét đ th g m n đ nh, m i đ nh ng v i m i ng i d h i ngh , hai đ nh kồ ị ồ ỉ ỗ ỉ ứ ớ ỗ ườ ự ộ ị ỉ ề
nhau khi hai đ i bi u t ng ng mu n làm quen v i nhau. Nh v y, ta có đ th đ yạ ể ươ ứ ố ớ ư ậ ồ ị ầ
đ Kủ
n
. Đ th này là Hamilton và rõ ràng m i chu trình Hamilton là m t cách s p x pồ ị ỗ ộ ắ ế
nh yêu c u c a bài toán. Bái toán tr thành tìm các chu trình Hamilton phân bi t c aư ầ ủ ở ệ ủ
đ th đ y đ Kồ ị ầ ủ
n
(hai chu trình Hamilton g i là phân bi t n u chúng không có c nhọ ệ ế ạ
chung).
Đ nh lý:ị Đ th đ y đ Kồ ị ầ ủ

n
v i n l và n ớ ẻ ≥ 3 có đúng
2
1−n
chu trình Hamilton phân
bi t.ệ
Ch ng minh:ứ K
n
có
2
)1( −nn
c nh và m i chu trình Hamilton có n c nh, nên s chuạ ỗ ạ ố
trình Hamilton phân bi t nhi u nh t là ệ ề ấ
2
1−n
.
Gi s các đ nh c a Kả ử ỉ ủ
n
là 1, 2, , n. Đ t đ nh 1 t i tâm c a m t đ ng tròn và cácặ ỉ ạ ủ ộ ườ
đ nh 2, , n đ t cách đ u nhau trên đ ng tròn (m i cung là 360ỉ ặ ề ườ ỗ
0
/(n-1) sao cho đ nh lỉ ẻ
n m n a đ ng tròn trên và đ nh ch n n m n a đ ng tròn d i. Ta có ngay chuằ ở ử ườ ỉ ẵ ằ ở ử ườ ướ
trình Hamilton đ u tiên là 1,2, , n,1. Các đ nh đ c gi c đ nh, xoay khung theoầ ỉ ượ ữ ố ị
chi u kim đ ng h v i các góc quay:ề ồ ồ ớ
1
360
0
−n
, 2.

1
360
0
−n
, 3.
1
360
0
−n
, ,
2
3−n
.
1
360
0
−n
,
63
a
b
b
d
e
f
Đ th phân đôi này có b c c a m i đ nh b ng 2ồ ị ậ ủ ỗ ỉ ằ
ho c 3 (> 3/2), nên theo Đ nh lý 4.2.6, nó là đ thặ ị ồ ị
Hamilton.
1
2

3
4
5
n
ta nh n đ c ậ ượ
2
3−n
khung phân bi t v i khung đ u tiên. Do đó ta có ệ ớ ầ
2
1−n
chu trình
Hamilton phân bi t.ệ
Thí d 5: ụ Gi i bài toán s p x p ch ng i v i n=11.ả ắ ế ỗ ồ ớ
Có (11−1)/2=5 cách s p x p ch ng i phân bi t nh sau:ắ ế ỗ ồ ệ ư
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
1 3 5 2 7 4 9 6 11 8 10 1
1 5 7 3 9 2 11 4 10 6 8 1
1 7 9 5 11 3 10 2 8 4 6 1
1 9 11 7 10 5 8 3 6 2 4 1
BÀI T P CH NG IV:Ậ ƯƠ
1. V i giá tr nào c a n các đ th sau đây có chu trình Euler ?ớ ị ủ ồ ị
a) K
n
, b) C
n
, c) W
n
, d) Q
n
.

2. V i giá tr nào c a m và n các đ th phân đôi đ y đ ớ ị ủ ồ ị ầ ủ K
m,n
có:
a) chu trình Euler ? b) đ ng đi Euler ?ườ
3. V i giá tr nào c a m và n các đ th phân đôi đ y đ ớ ị ủ ồ ị ầ ủ Km
,n
có chu trình Hamilton ?
4. Ch ng minh r ng đ th l p ph ng ứ ằ ồ ị ậ ươ Q
n
là m t đ th Hamilton. V cây li t kê t tộ ồ ị ẽ ệ ấ
c các chu trình Hamilton c a đ th l p ph ng ả ủ ồ ị ậ ươ Q
3
.
5. Trong m t cu c h p có 15 ng i m i ngày ng i v i nhau quanh m t bàn tròn m tộ ộ ọ ườ ỗ ồ ớ ộ ộ
l n. H i có bao nhiêu cách s p x p sao cho m i l n ng i h p, m i ng i có hai ng iầ ỏ ắ ế ỗ ầ ồ ọ ỗ ườ ườ
bên c nh là b n m i, và s p x p nh th nào ?ạ ạ ớ ắ ế ư ế
64
1
2
3
7
5
1
9
8
6
4
1
1
2

3
5
7
9
1
4
6
8
1
1
2
3
5
7
9
1
4
6
1
8
2
1
3
1
9
7
5
4
6
8

1
1
1
2
3
5
7
9
4
6
8
1
6. Hi u tr ng m i 2n (n ệ ưở ờ ≥ 2) sinh viên gi i đ n d ti c. M i sinh viên gi i quen ítỏ ế ự ệ ỗ ỏ
nh t n sinh viên gi i khác đ n d ti c. Ch ng minh r ng luôn luôn có th x p t t cấ ỏ ế ự ệ ứ ằ ể ế ấ ả
các sinh viên gi i ng i xung quanh m t bàn tròn, đ m i ng i ng i gi a hai ng i màỏ ồ ộ ể ỗ ườ ồ ữ ườ
sinh viên đó quen.
7. M t ông vua đã xây d ng m t lâu đài đ c t báu v t. Ng i ta tìm th y s đ c aộ ự ộ ể ấ ậ ườ ấ ơ ồ ủ
lâu đài (hình sau) v i l i d n: mu n tìm báu v t, ch c n t m t trong các phòng bênớ ờ ặ ố ậ ỉ ầ ừ ộ
ngoài cùng (s 1, 2, 6, 10, ), đi qua t t c các c a phòng, m i c a ch m t l n; báuố ấ ả ử ỗ ử ỉ ộ ầ
v t đ c gi u sau c a cu i cùng. ậ ượ ấ ử ố
Hãy tìm n i gi u báu v tơ ấ ậ
8. Đ th cho trong hình sau g i là đ th Peterson P.ồ ị ọ ồ ị
9. Gi i bài toán ng i phát th Trung Hoa v i đ th cho trong hình sau:ả ườ ư ớ ồ ị
65
21
3
4 5
6
7
8

9
10
11 12
13
14
15
16 17 18
19
20
21
a
e
k
i
b
g
f
h
d
c
a) Tìm m t đ ng đi Hamilton trong P.ộ ườ
b) Ch ng minh r ng P \ {v}, v i v là m t đ nhứ ằ ớ ộ ỉ
b t kỳ c a P, là m t đ th Hamilton.ấ ủ ộ ồ ị
10. Ch ng minh r ng đ th G cho trong ứ ằ ồ ị
hình sau có đ ng đi Hamilton (t s đ n r)ườ ừ ế
nh ng không có chu trình Hamilton.ư
11. Cho thí d v :ụ ề
1) Đ th có m t chu trình v a là chu trình Euler v a là chu trình Hamilton;ồ ị ộ ừ ừ
2) Đ th có m t chu trình Euler và m t chu trình Hamilton, nh ng hai chu trình đóồ ị ộ ộ ư
không trùng nhau;

3) Đ th có 6 đ nh, là đ th Hamilton, nh ng không ph i là đ th Euler;ồ ị ỉ ồ ị ư ả ồ ị
4) Đ th có 6 đ nh, là đ th Euler, nh ng không ph i là đ th Hamilton.ồ ị ỉ ồ ị ư ả ồ ị
12. Ch ng minh r ng con mã không th đi qua t t c các ô c a m t bàn c có 4 x 4ứ ằ ể ấ ả ủ ộ ờ
ho c 5 x 5 ô vuông, m i ô ch m t l n, r i tr v ch cũ.ặ ỗ ỉ ộ ầ ồ ở ề ỗ
66
a
c
b
s
r
f
e
d
g
h