SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP T OÁN

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 1
H
H
À
À
M PH
M PH
Ứ
Ứ
C
C
V
V
À
À
PH
PH
É
É
P BI
P BI
Ế
Ế
N Đ
N Đ
Ổ
Ổ

I LAPLACE
I LAPLACE
Đ
Đ
Ạ
Ạ
I H
I H
Ọ
Ọ
C
C
PHÂN PH
PHÂN PH
Ố
Ố
I CHƯƠNG TRÌNH
I CHƯƠNG TRÌNH
S
S
ố
ố
ti
ti
ế
ế
t: 30
t: 30

Chương 1. Số phức

Chương 2. Hàm biến phức
Chương 3. Tích phân hàm phức
Chương 4. Chuỗi và Thặng dư
Chương 5. Phép biến đổi Laplace
Tài liệu tham khảo

1. Nguyễn Kim Đính – Hàm phức và ứng dụng
(ĐH Kỹ thuật TP.HCM – 1998)
2. Nguyễn Kim Đính – Phép biến đổi Laplace
(NXB Khoa học và Kỹ thuật – 1998)
3. Võ Đăng Thảo – Hàm phức và Toán tử Laplace
(ĐH Kỹ thuật TP.HCM – 2000
)
4. Phan Bá Ngọc – Hàm biến phức và phép biến đổi
Laplace (NXB Giáo dục – 1996)
5. Trương Văn Thương – Hàm số biến số phức
(NXB Giáo dục – 2007)
6. Đậu Thế Cấp – Hàm biến phức và phép tính
Toán tử


(NXB Đ
H
Quốc gia
–
2006)
Download Slide b
Download Slide b

à
à
i gi
i gi
ả
ả
ng
ng
H
H
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c v
c v
à
à
Ph
Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ

ổ
ổ
i Laplace Đ
i Laplace Đ
ạ
ạ
i h
i h
ọ
ọ
c
c
t
t
ạ
ạ
i
i
dvntailieu.wordpress.com
dvntailieu.wordpress.com
Biên so
Biên so
ạ
ạ
n:
n:
ThS.
ThS.
Đo
Đo

à
à
n Vương Nguyên
n Vương Nguyên
7. Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải – Hàm biến phức
(NXB Đại học Quốc gia Hà Nội – 2006
)

8. Theodore. W. Gamelin – Complex Analysis
(Department of Mathematics UCLA)

9. Trương Thuận – Tài liệu Hàm phức và
phép
biến đổi Laplace
(ĐH Công nghiệp TP.HCM)


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
§

1.
SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP T
OÁN

1.1. Các định nghĩa

• Số phức là số có dạng
z x iy
= +
, trong đó
,
x y
∈
ℝ
.
Số
i
thỏa
2
1
i
= −
được gọi là đơn vị ảo.

x
được gọi là
phần thực
của số phức
z
, ký hiệu

Re
z
.


y
được gọi là phần ảo của số phức
z
, ký hiệu
Im
z
.
Đặc biệt

0
z x i
= +
là số thực,
( 0)
z iy y
= ≠
là số thuần ảo.

§1. Số phức và các phép toán.

§2. Dạng lượng giác của số phức,
công thức Moivre, công thức Euler.


§3. Đường và miền trong mặt phẳng phức.

………………………………………………


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
• Hai số phức
1 1 1
z x iy
= +
và
2 2 2
z x iy
= +
được gọi là
bằng nhau nếu
1 2
x x
=
và
1 2

y y
=
.

VD 2.
2
2 3 4
3.
x
x i iy
y


= −


+ = − − ⇔


= −




• Số phức
z x iy
= −
được gọi là số phức liên hợp
của
số phức

z x iy
= +
, nghĩa là
x iy x iy
+ = −
.

VD 3.
2 3 2 3
i i
− − = − +
;
2 2
i i
= −
;
1 1
− = −
.

VD 1.
Re(2 3 ) 2
i
− =
;
Im(2 3 ) 3
i
− = −
.

3 3 0
i
− = − +
;
2 0 2
i i
= +
.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
•
Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là
ℂ
.
{
}
,z x iy x y= = + ∈
ℂ ℝ

.

Chú ý



⊂ ⊂ ⊂ ⊂
ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
.


Im 0
z z
∈ ⇔ =
ℝ
.


Khi
x
= ∞
hoặc
y
= ∞
, ta ký hiệu
z x iy
= + = ∞
.
Tập
{ }

= ∞
ℂ ℂ ∪
được gọi là tập số phức mở rộng.
1.2. Các phép toán trên số phức

Cho hai số phức
1 1 1
z x iy
= +
và
2 2 2
z x iy
= +
, ta định
nghĩa các phép toán như sau:
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 2


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph

ứ
ứ
c
c
a)
Phép cộng và trừ số phức

1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ).
x iy x iy x x i y y
x iy x iy x x i y y
+ + + = + + +
+ − + = − + −


Chú ý
.
Phép cộng số phức có tính giao hoán
và kết hợp
.

VD 4.

(2 ) ( 1 ) 1
i i
+ + − − =
;
3 ( 1 5 ) 1 8

i i i
− − − + = −
.

b)
Phép nhân số phức

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( )( ) ( ) ( ).
x iy x iy x x y y i x y x y
+ + = − + +



Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

VD 5.
2
2( 1 ) 2 2 2 2

i i i i i
− − + = − = +
;
2
(1 )( 2 3 ) 2 3 2 3 1 5
i i i i i i
− − + = − + + − = +
;
2
(1 2 )(1 2 ) 1 4 5
i i i
− + = − =
.

Chú ý
• Do
1 1 2 2
( )( )
x iy x iy
+ +
2
1 2 1 2 2 1 1 2
x x ix y ix y i y y
= + + +


1 2 1 2 1 2 2 1
( ) ( )
x x y y i x y x y
= − + +

,


nên ta nhân như hai đa thức và chú ý
2
1
i
= −
.
• Phép nhân số phức có
các tính chất như nhân số thực.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
c) Phép chia số phức

Giả sử
2
0

z
≠
, khi đó ta có:
1 1 2 1 1 2 2
1 2
2 2
2 2 2
2 2
( )( )
: .
z z z x iy x iy
z z
z z z
x y
+ −
= = =
+


VD 6.
1 (1 )(2 ) 1 3 1 3
2 (2 )(2 ) 5 5 5
i i i i
i
i i i
− − − −
= = = −
+ + −
;
3 2 (3 2 )( ) 2 3

2 3
( ) 1
i i i i
i
i i i
+ + − −
= = = −
−
.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
d) Lũy thừa bậc
n của số phức

. ( ).
n
z z z z n z
=

soá


VD 7.
2
1
i
= −
;
3
i i
= −
;
4 2 2
( ) 1
i i
= =
;
3 2 3
(1 ) 1 3 3 2 2
i i i i i
− = − + − = − −
.
e) Căn bậc
n của số phức

.
n
n
w z z w

= ⇔ =


VD 8. Tính
3 4
i
+
.

VD 9. Tính
3
1
.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

1.3. Định lý
Cho

z x iy
= +
,
1 1 1
z x iy
= +
,
2 2 2
z x iy
= +
, ta có:

1)
1 2 1 2 1 2 1 2
; ; . .
z z z z z z z z z z
= + = + =
.

2)
2 Re 2 ; 2 Im 2
z z z x z z i z iy
+ = = − = =
.

3)
2 2
. ( )( ) 0
z z x iy x iy x y
= + − = + ≥

.

4)
1 1
2
2 2
( 0)
z z
z
z z
 



= ≠





 
.

VD 10. Cho
0 1
( )
n
n n
P z a a z a z
= + + +

là đa thức bậc
n
theo
z
với hệ số
( 0, 1, , )
i
a i n
∈ =
ℝ
.

Giả sử
(2 3 ) 1
n
P i i
+ = −
, tính
(2 3 )
n
P i
−
.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố

ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
§2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
CÔNG THỨC MOIVRE, CÔNG THỨC EULER

a) Mặt phẳng phức
•
Về mặt hình học, số phức
z x iy
= +
được biểu diễn
bằng điểm
( ; )
M x y
trong mặt phẳng tọa độ Descartes
vuông góc
Oxy
.

Khi đó, mặt phẳng
Oxy
được gọi là mặt phẳng phức.

2
.1. Dạng lượng giác của số phức

•
Trong mặt phẳng phức, ta có:
Im 0
z z Ox
= ⇔ ∈
;
Re 0
z z Oy
= ⇔ ∈
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 3


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
O

x
y
M
z x iy
= +
•
x
y

Do đó:
 Trục hoành
Ox

được gọi là trục thực.
 Trục tung
Oy

được gọi là trục ảo.
O
x
y
M
•
x
y
r
b)
Modul và argument của số phức
• Trong mặt
phẳng phức,

khoảng cách
r
từ gốc tọa độ
O
đến điểm
M
được gọi là
modul của
z
, ký hiệu là
| |
z
.

Modul của
z
được xác định bởi:

2 2
| | .
z r OM x y
= = = +



Chương
Chương
1. S
1. S
ố

ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
•
Góc định hướng
(
)
,
Ox OM
ϕ =
 
có tia đầu
Ox
và tia
cuối
OM
, được gọi là argument của
z
.
•
Nếu
z
là số thực dương thì
arg 0
z
=

,



z
là số thực âm thì
arg .
z
π
=


0
z
=
thì argument của
z
không xác định.
O
x
y
M
•
ϕ
O
x
y
M
•
ϕ

•
Argument
ϕ
của
z
thỏa mãn


π ϕ π
− < ≤


được gọi là argument chính,

ký hiệu là
arg
z
.
• Ký hiệu t
ập hợp tất cả argument của
z
là Arg
z
.
Vậy
Arg
arg 2 , .
z z k k
π
= + ∈

ℤ



Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

Quy ước

Khi không nói rõ
ϕ
thuộc khoảng nào thì ta hiểu
ϕ
là
argument chính.
•
Cách xác định argument chính của z = x + iy

Bước 1. Xác định điểm
M

biểu diễn
z
trên mp
Oxy
.

Bước 2.
arg
z
ϕ
=
thỏa mãn
cos , sin
x y
r r
ϕ ϕ
= =
,


π ϕ π
− < ≤
và phụ thuộc vào vị trí của
M
.

VD 1. Xác định modul và argument của các số phức:
a)
z i
=

; b)
3
z i
= − −
.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

VD 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a)
4
z
= −
; b)
1 3
z i
= −
; c)

2 2
z i
= − +
.


Vậy dạng lượng giác của số phức
z
là:
(cos sin ).
z r i
ϕ ϕ
= +

c)
Dạng lượng giác của số phức
• Cho
số phức
z x iy
= +
có
| |
z r
=
và
arg
z
ϕ
=
.

Ta có:
(cos sin )
x y
z r i r i
r r
ϕ ϕ
 


= + = +





 
.

Nhận xét

Nếu
(cos sin )
z r i
ϕ ϕ
= +
thì:
(cos sin ) [cos( ) sin( )]
z r i r i
ϕ ϕ ϕ ϕ

= − = − + −
.

Nếu
z
∈
ℝ
,
0
z x i
= +
thì
2 2
| | 0 | |
z x x
= + =
.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c

c

VD 3. Tính a)
100
(1 )
i
−
; b)
3
8
.
2.2. Công thức Moivre
• Cho số phức
cos sin
z i
ϕ ϕ
= +
.
Khi đó:
cos sin ( , 1).
n
z n i n n n
ϕ ϕ
= + ∈ ≥
ℤ

• Tổng quát, cho số phức
(cos sin )
z r i
ϕ ϕ

= +
.
Khi đó:
(
)
1) (cos sin ), .
2 2
2) cos sin
, 2, 0, 1 .
n n
n n
k
z r n i n n
k k
z w r i
n n
n n k n
ϕ ϕ
ϕ π ϕ π
= + ∈
 
+ +


= = +






 
∈ ≥ = −
ℤ
ℤ



Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
2.3. Công thức Euler


Ta có:
4 4
( ) . (0 3)
n k r k r r
i i i i i r
+
= = = ≤ ≤
. Do đó:

•
1
n
i
=
nếu
0
r
=
, nghĩa là
4
n
⋮
;
•
n
i i
=
nếu
1
r
=
, nghĩa là
: 4
n
dư 1;
•
1
n
i

= −
nếu
2
r
=
, nghĩa là
: 4
n
dư 2;
•
n
i i
= −
nếu
3
r
=
, nghĩa là
: 4
n
dư 3.
Khai triển Maclaurin hàm
( )
i
e
ϕ
ϕ
∈
ℝ
, ta được:

0
( )
!
n
i
n
i
e
n
ϕ
ϕ
∞
=
=
∑
2 4 3
1
2! 4! 1! 3!
i
ϕ ϕ ϕ ϕ
   
 
 
 
= − + − + − +
 
 
 
 
 

   
cos sin .
i
ϕ ϕ
= +
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 4


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

VD 4. Viết các số phức sau dưới dạng mũ:
a)
3
z
= −

; b)
z i
= −
; c)
3
z i
= − +
.

Nhận xét
1) Nếu
i
z re
ϕ
=
thì
i
z re
ϕ
−
=
.
 Công thức Euler
cos sin .
i
e i
ϕ
ϕ ϕ
= +

• Dựa vào công thức Euler, số phức
z
có
| |
z r
=
và
arg
z
ϕ
=
có thể được viết dưới dạng mũ:
.
i
z re
ϕ
=



Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ

ứ
c
c
2) Với mọi
1 1 1 2 2 2
,
z x iy z x iy
= + = +
, ta gọi
2 2
1 2 1 2 1 2
| | ( ) ( )
z z x x y y
− = − + −


là khoảng cách giữa
1
z
và
2
z
.
Khi đó
| |
z a r
− =
hay
( [0; 2 ])
i

z a re
ϕ
ϕ π
= + ∈
là phương trình đường tròn tâm
a
, bán kính
r
.
Đặc biệt,
| | 1
z
=
hay
i
z e
ϕ
=
là phương trình c
ủa
đường tròn đơn vị.
• Công thức cần nhớ
Với
i
z re
ϕ
=
,
1
1 1 1 1 1

(cos sin )
i
z r e r i
ϕ
ϕ ϕ
= = +
,

2
2 2 2 2 2
(cos sin )
i
z r e r i
ϕ
ϕ ϕ
= = +
, ta có:


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c

c
…………………………………………………………
1)
1 2
( )
1 2 1 2
i
z z r r e
ϕ ϕ
+
=


1 2 1 2 1 2
[cos( ) sin( )]
r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +
.
2)
1 2
( )
1 1
2 2
i
z r
e
z r
ϕ ϕ
−

=


1
1 2 1 2
2
[cos( ) sin( )]
r
i
r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + −
.
3)
,
n n in
z r e n
ϕ
= ∈
ℤ
.
4)
(
)
2
. 2, 0, 1 .
k
i
n n
n

k
z w r e n k n
ϕ π
+
= = ≥ = −



Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

3.1. Đường trong mặt phẳng phức
a) Phương trình tham số

•
Giả sử
( ), ( )
x t y t
là các hàm thực, xác định và li
ên tục

trên
[ ; ]
a b
của đường thẳng thực. Khi đó phương trình:

( ) ( ) ( ), a b
z z t x t iy t t
= = + ≤ ≤


biểu diễn tham số một đường cong
L
trong mp phức.
•
Các điểm
( ), ( )
z a z b L
∈
lần lượt được gọi là điểm
đầu
và điểm cuối của đường cong
L
.
§3. ĐƯỜNG VÀ MIỀN
TRONG MẶT PHẲNG PHỨC


Chương
Chương
1. S

1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

VD 1. a)Đường tròn tâm
O
bán kính
r
có phương trình:

(cos sin ) cos . sin , [0; 2 ]
z r t i t r t i r t t
π
= + = + ∈
.

b) Đoạn thẳng nối điểm
O
và điểm
(1 )
i
+
có phương
trình là

, [0; 1].
z t it t
= + ∈


Giải. Từ
i
z t
t
= +
, ta suy ra
0
x t
= >
và
1
y
t
=
.
Khử
t
, ta được
1
( 0)
y x
x
= >
.

VD 2.
Xác định đường cong có phương trình:
(0 )
i
z t t
t
= + < < +∞
.
Vậy đường cong đã cho là nhánh hyperbol
1
y
x
=

nằm
ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng phức.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

b)
Phân loại đường cong
•
Đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng
nhau
được gọi là đường cong đóng (khép kín).
•
Đường cong không có điểm tự cắt
được gọi là đường
cong Jordan
. Đường cong Jordan đóng còn được gọi
là chu tuyến.
•
Đường cong
L
được gọi là trơn nếu các hàm số
( )
x t
và
( )
y t
có đạo hàm liên tục và khác 0 trên đoạn
[ ; ]
a b
, có
nghĩa là mọi điểm của
L
đều có tiếp tuyến.
•
Đường cong tạo bởi một số hữu hạn các đường cong

trơn được gọi là đường cong
trơn từng khúc
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 5


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

3.2. Miền trong mặt phẳng phức
a)
Lân cận và miền
•
Lân cận
0
ε

>
của
0
( )
z
≠ ∞
là hình tròn mở tâm tại
0
z
:

{
}
0 0
( ) | |
U z z z z
ε
ε
= ∈ − <ℂ
.
Lân cận
ε
của điểm
z
= ∞
là
| |
z
ε
>

.
•
Tập
D
⊂
ℂ
được gọi là một miền trong mặt phẳng
phức nếu thỏa hai điều kiện sau:
1) Với mọi
0
z D
∈
, tồn tại lân cận
0
( )
U z D
ε
⊂
.
2) Với mọi
,
a b D
∈
, tồn tại đường cong
L D
⊂
có
điểm đầu là
a
, điểm cuối là

b
.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c

VD 3. a) Tập
{
}
:| 2 | 1
D z z i
= ∈ − − <
ℂ
là 1 miền.

b) Tập
{
}
{

}
:| | 1 : Im( ) 0
D z z i z z= ∈ − < ∪ ∈ <ℂ ℂ
không là miền vì với
,
a b D
∈
, ta
có thể chỉ ra được
đường cong
L
có điểm đầu là
a
, điểm cuối là
b
, nhưng
L
không nằm trong
D
.
b)
Biên và chiều của biên
•
Điểm
0
z
được gọi là điểm biên của miền
D
nếu trong
lân cận bất kỳ của

0
z
đều có chứa điểm thuộc
D
và
điểm không thuộc
D
.
•
Tập hợp các điểm biên của miền
D
được gọi là biên
của
D
, ký hiệu là
D
∂
.


Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ

c
c
•
Nếu
D
là một miền thì
D D D
= ∪ ∂
được gọi là miền
đóng (hay miền kín).
• Q
uy ước chiều dương của biên
D
∂
là chiều mà
khi ta
đi dọc theo biên sẽ thấy miền
D
nằm về phía tay trái.
c)
Miền đơn liên, miền đa liên
•
Xét miền
D
giới hạn bởi chu
tuyến
γ
. Miền này được gọi là
miền đơn liên,
γ

chính là
D
∂
.
D
D
γ
≡ ∂
•
Nếu
D
được giới hạn bởi hai chu tuyến
1 2
,
γ γ
không
giao nhau, thì miền
D
được gọi là miền nhị liên
. Khi
đó,
1 2
D
γ γ
∂ =
∪
. Tương tự, ta có thể định nghĩ
a miền
tam liên, tứ liên,



Chương
Chương
1. S
1. S
ố
ố
ph
ph
ứ
ứ
c
c
D
γ
1
γ
2
γ
D
γ
1
γ
2
γ

Nhận xét
•
Nếu ta bổ sung vào miền
đa liên các đoạn thẳng

1 2
, ,
l l
thì miền sẽ thành
miền đơn liên. Mỗi đoạn
thẳng được tính hai lần
theo chiều ngược nhau.
1
l
2
l
1 2
D
γ γ γ
∂ =
∪ ∪
………………………………………………………


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph

n ph
ứ
ứ
c
c
………………………………………………………
§1. HÀM BIẾN PHỨC
(Complex variable function)

1.1. Hàm biến phức
a) Định nghĩa

• Quy tắc
f
cho tương ứng mỗi
z A
∈ ⊂
ℂ
với một hay
nhiều giá trị
( )
w f z
= ∈
ℂ
được gọi là một hàm biến
phức
z
.
• Tập
A

được gọi là miền xác định (MXĐ) của
f
.
Tập
{
}
( ),
B w w f z z A
= = ∈
tập giá trị của
f
.

§1. Hàm biến phức.

§2. Hàm giải tích.

§3. Quan hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa.

§4. Các hàm số sơ cấp.


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi

ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
• Nếu mỗi
z A
∈
ứng với một giá trị
( )
w f z
= ∈
ℂ
thì
f
được gọi là hàm đơn trị, nếu mỗi
z A
∈
ứng vớ
i nhiều
giá trị
( )
w f z
= ∈
ℂ
thì
f

được gọi là hàm đa trị.

VD 1.
1
( )f z
z
=
là hàm đơn trị có MXĐ
\ {0}
D
=
ℂ
.

VD 2. Cho
( ) 3 Im
f z z z
= −
. Tính:
(1), ( 2 ), (1 2 )
f f i f i
− −
.

VD 3. Cho
2
( ) 3
f z z z
= +
. Tính

( 1 3 )
f i
− +
.
Trong
\ {0}
D
=
ℂ
,
( )
w f z z
= =
là hàm hai trị.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 6


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế

ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c

VD 4. Xác định phần thực và ảo của
2
(1 )
w z i z
= + −
.


VD 5. Xác định phần thực và ảo của
1
( )f z z
z
= −
.
b) Phần thực và phần ảo của hàm biến phức

• Với mỗi
z A
∈
,
( )
w f z

= ∈
ℂ
nên ta có thể viết:

( ) ( , ) ( , ).
w f z u x y iv x y
= = +


Các hàm
( , ) Re
u x y w
=
và
( , ) Im
v x y w
=
lần lượt
được gọi là phần thực và phần ảo của hàm
( )
f z
.


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à

m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
c*) Phép biến hình thực hiện bởi hàm biến phức


Để biễu diễn hình học một hàm số thực biến số thực, ta
vẽ đồ thị của hàm số đó.
Để biễu diễn hình học một
hàm số phức, ta không thể dùng phương pháp đồ thị
được nữa. Ta thực hiện như sau:
• Cho hàm biến phức
( )
w f z
=
,
z A
∈
. Xét hai mặt
phẳng phức
Oxy
(mp
z

) và
O uv
′
(mp
w
).
Ứng với mỗi
điểm
0
z A
∈
, hàm
( )
w f z
=
xác định điểm
0 0
( )
w f z
=
trong mặt phẳng
w
.
Về mặt hình học, ta nói hàm
( )
w f z
=
xác định một
phép biến hình từ mp
z

vào mp
w
.

Điểm
0
w
được gọi là ảnh của điểm
0
z
và điểm
0
z
được
gọi là nghịch ảnh của điểm
0
w
.


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế

n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
• Đường cong
: ( ) ( ) ( )
L z t x t iy t
= +
có ảnh qua phép
biến hình
( ) ( , ) ( , )
w f z u x y iv x y
= = +
là tập hợp điểm
trong mp
w
với tọa độ:
( ( ), ( )); ( ( ), ( ))
u u x t y t v v x t y t
= =
.

VD 6. Cho hàm
2
( )
f z z
=
. Tìm ảnh của:

1) Điểm
0
3 2
z i
= +
; 2) Đường tròn
| | 2
z
=
;
3) Tia
arg
z
ϕ
=
,
0
2
π
ϕ
< <
;
4) Miền
{
}
0 Re 1
A z z
= ∈ < <
ℂ
.



Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
O
x
y
arg
z
ϕ
2
w z
=
O
′
u

v
arg
w
2
ϕ
2
w z
=
Hình câu 3)
Hình câu 4)

VD 7.
Tìm nghịch ảnh của đường tròn:
2 2
( 1) ( 1) 2
u v
− + + =
qua phép biến hình
1
w
z
=
.


Chương
Chương
2. H
2. H
à

à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
Từ đây về sau, ta chỉ xét trường hợp hàm f(z) đơn trị.

1.2. Tính liên tục của hàm biến phức

a)
Giới hạn hàm biến phức
 Định nghĩa
•
Cho hàm biến phức
( )
f z
xác định trong lân cận của
0
z
(có thể trừ điểm
0
z
). Số phức
a

≠ ∞
được gọi
là giới
hạn của
( )
f z
khi
0
z z
→
, ký hiệu
0
lim ( )
z z
f z a
→
=
, nếu:
0
0, 0 : | | ( )
z z f z a
ε δ δ ε
∀ > ∃ > − < ⇒ − <
.
•
Hàm phức
( )
f z
được gọi là có giới hạn
∞

khi
0
z z
→
,
ký hiệu
0
lim ( )
z z
f z
→
= ∞
, nếu:
0
0, 0 : | | ( )
M z z f z M
δ δ
∀ > ∃ > − < ⇒ >
.


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế

ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
• Các giới hạn
lim ( )
z
f z a
→∞
=
,
lim ( )
z
f z
→∞
= ∞
được định
nghĩa tương tự.
 Định lý

Nếu hàm phức
( ) ( , ) ( , )
f z u x y iv x y
= +
,
0 0 0
z x iy

= +
và
a i
α β
= +
thì:
0 0 0
0 0
lim ( ) lim ( , ) , lim ( , )
z z x x x x
y y y y
f z a u x y v x y
α β
→ → →
→ →
= ⇔ = =
.
b) Hàm số liên tục


Định nghĩa
•
Cho hàm
( )
f z
xác định trong miền chứa
0
z
. Hàm
( )

f z
được gọi là liên tục tại điểm
0
z
nếu
0
0
lim ( ) ( )
z z
f z f z
→
=
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 7


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế

n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
• Hàm
( )
f z
được gọi là liên tục trong miền
B
nếu
( )
f z
liên tục tại mọi điểm
z B
∈
.

Nhận xét

• Nếu
( ) ( , ) ( , )
f z u x y iv x y
= +
liên tục tại
0 0 0
z x iy
= +
thì

( , )
u x y
và
( , )
v x y
liên tục tại
0 0
( , )
x y
.
• Các tính chất và phép tính giới hạn tương tự
như hàm
thực hai biến.

VD 8. a)
2 2
1
lim ( ) (1 ) 3
z i
z i i i i
→ +
+ = + + =
.

b) Hàm phức
2 2 2 2
1 1
( )
x y
f z i

z x iy
x y x y
−
= = = +
+
+ +
liên tục trên
\ {0}
ℂ
.
………………………………………………………


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
§2. HÀM GIẢI TÍCH

2.1. Đạo hàm của hàm
biến phức
a) Định nghĩa


Cho hàm
( )
w f z
=
xác định trong miền
D
chứa điểm
z x iy
= +
. Cho
z
một số gia
z x i y
∆ = ∆ + ∆
. Gọi
( ) ( )
w f z z f z
∆ = + ∆ −
là số gia tương ứng của
( )
f z
.

Nếu tỉ số
w

z
∆
∆
dần tới một giới hạn xác định khi
0
z
∆ →
(theo mọi cách) thì giới hạn đó được gọi là
đạo hàm của
( )
w f z
=
tại điểm
z
. Ký hiệu
( )
f z
′
.
Ta có:
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
z z
w f z z f z
f z
z z
∆ → ∆ →
∆ + ∆ −
′

= =
∆ ∆
.


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c

VD 1. Xét hàm
2
( )
f z z
=
, ta có:

Chú ý


( )
f z
có đạo hàm tại điểm
z
thì khả vi tại điểm
z
.


( )
f z
có đạo hàm tại điểm
z
thì liên tục tại điểm
z
.


Đạo hàm của hàm biến phức có các tính chất và quy
tắc tính tương tự hàm biến số thực.
2
( ) ( ) ( ) 2 . ( )
f z f z z f z z z z
∆ = + ∆ − = ∆ + ∆
0 0
( )
lim lim(2 ) 2 ( ) 2
z z

f z
z z z f z z
z
∆ → ∆ →
∆
′
⇒ = + ∆ = ⇒ =
∆
.


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c

VD 2. Xét hàm
( )

f z z
=
, ta có:
( ) ( ) ( )
f z f z z f z z z z
∆ = + ∆ − = + ∆ −

z x i y x i y
= ∆ = ∆ + ∆ = ∆ − ∆
.
• Nếu
0
z
∆ →
theo trục thực thì
0,
y z x
∆ = ∆ = ∆

0 0
( )
lim lim 1
z z
f z x
z x
∆ → ∆ →
∆ ∆
⇒ = =
∆ ∆
.

• N
ế
u
0
z
∆ →
theo tr
ụ
c
ả
o thì
0,
x z i y
∆ = ∆ = ∆

0 0
( )
lim lim 1
z z
f z i y
z i y
∆ → ∆ →
∆ − ∆
⇒ = = −
∆ ∆
.
Vậy hàm
( )
f z z
=

không khả vi tại mọi điểm
z
∈
ℂ
.


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
b)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n kh

ả
vi Cauchy
– Riemann (C – R)
Định lý

• Nếu hàm
( ) ( , ) ( , )
f z u x y iv x y
= +
khả vi tại
z x iy
= +
thì các hàm hai biến thực
( , )
u x y
và
( , )
v x y
có các đạo
hàm riêng tại
( , )
x y
và thỏa điều kiện C – R:

.
x y y x
u v u v
′ ′ ′ ′
= = −

vaø

• Ngược lại, nếu các hàm hai biến thực
( , )
u x y
và
( , )
v x y
có các đạo hàm riêng liên tục tại
( , )
x y
và
thỏa điều
kiện C – R thì hàm
( ) ( , ) ( , )
f z u x y iv x y
= +
khả vi tại
z x iy
= +
và:
( ) .
x x
f z u iv
′ ′ ′
= +



Chương

Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c

Nhận xét

Do
,
2 2
z z z z
x y
i
+ −
= =
nên ta có:
1 1
. .
2 2

z x z y z x y
f f x f y f f
i
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= + = −


1
[( ) ( )]
2
x x y y
u iv i u iv
′ ′ ′ ′
= + + +



1
[( ) ( )]
2
x y y x
u v i u v
′ ′ ′ ′
= − + +
.
Vậy điều kiện C – R tương đương với:

0.
z
f

f
z
∂
′
= =
∂

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 8


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c

VD 3. Xét hàm
2
w z
=
, ta có:
2 2
, 2
u x y v xy
= − =
.
Do
2
2
x y
y x
u x v
u y v

′ ′

= =


′ ′

= − = −


nên

2
w z
=
khả vi trên
ℂ
.

VD 4. Xét hàm
( ) .Re
f z z z
=
, ta có:
2 2
( ) ,
f z x ixy u x v xy
= + ⇒ = =
.
Điều kiện C – R:
2 0
0 0
x y
y x
u v x x x
u v y y
  
′ ′
  
= = =
  
⇔ ⇔

  
′ ′
  
= − = − =
  
  
.

Vậy
( ) .Re
f z z z
=
khả vi tại
0
z
=
và
(0) (0,0) (0, 0) 0
x x
f u iv
′ ′ ′
= + =
.

VD
5
.

Xét tính khả vi của hàm
3 Re

w z z
= −
.



Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c

Định nghĩa
•
Hàm
( )
w f z
=
khả vi trong một lân cận của

z
được
gọi là giải tích (còn gọi là chỉnh hình) tại
z
.

c) Hàm giải tích

Điểm
z
mà tại đó hàm
( )
w f z
=
không giải tích được
gọi là điểm bất thường của
( )
f z
.
•
Hàm
( )
w f z
=
khả vi tại mọi điểm
z
thuộc miền
D
thì
được gọi là giải tích trong miền

D
.

Chú ý


 Hàm
( )
w f z
=
giải tích tại điểm
0
z
thì khả vi tại
0
z
,
ngược lại nói chung là không đúng.


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế

n ph
n ph
ứ
ứ
c
c

Chẳng hạn, hàm
( ) .
f z z z
=
khả vi tại
0
z
=
nhưng
không giải tích tại điểm đó.

Hàm
( )
w f z
=
giải tích trên miền mở
D

khi và chỉ
khi
( )
f z
khả vi trên

D
.

VD 6.
a)
Hàm
w z
=

không
giải tích t
ại
z
∀ ∈
ℂ
.

b) Hàm
n
w z
=
kh
ả
vi t
ạ
i
z
∀ ∈
ℂ
nên gi

ả
i tích trong
ℂ
.

c) Hàm
2
1
z
w
z
=
+
giải tích tại
\ { }
z i
∀ ∈ ±
ℂ
.
Hai điểm
z i
= ±
là điểm bất thường của hàm
w
.

………………………………………………


Chương

Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
§3. QUAN HỆ GIỮA HÀM GIẢI TÍCH
VÀ HÀM ĐIỀU HÒA
3.1. Hàm
đ
i
ề
u hòa


VD 1. a) Hàm
2 2
u x y
= −
là hàm điều hòa vì:
2 2

2 2 0
x y
u u
′′ ′′
+ = − =
.

b) Hàm
2 2
ln( )
u x y
= +
là hàm điều hòa trong
toàn mặt phẳng trừ gốc tọa độ.
• Định nghĩa
Hàm hai biến thực
( , )
u x y
được gọi
là hàm điều hòa
trong miền
D
nếu
( , )
u x y
thỏa phương trình Laplace:

2 2
0.
x y

u u u
′′ ′′
∆ ≡ + =



Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
•
Định lý
Nếu hàm
( ) ( , ) ( , )
f z u x y iy x y
= +
là hàm giải tích trong
miền

D
thì
( , )
u x y
và
( , )
y x y

là các hàm điều hòa trong
miền
D
.

VD 2. Hàm
(cos sin )
x
w e y i y
= +
giải tích trong
ℂ
.
T
a có:
cos , sin
x x
u e y v e y
= =

2 2
cos , cos

x x
x y
u e y u e y
′′ ′′
⇒ = = −
;
2 2
sin , sin
x x
x y
v e y v e y
′′ ′′
= = −


2 2 2 2
0; 0
x y x y
u u v v
′′ ′′ ′′ ′′
⇒ + = + =
.
V
ậ
y
cos , sin
x x
u e y v e y
= =
là các hàm

đ
i
ề
u hòa.


Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
3.2.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
để

hàm bi
ế
n ph
ứ
c gi
ả
i tích

•
Nếu
( , )
u x y
và
( , )
v x y
là hai hàm
điều hòa liên hợp
(nghĩa là thỏa điều kiện Cauchy – Riemann) trong
D
thì hàm
( ) ( , ) ( , )
f z u x y iv x y
= +
giải tích trong
D
.

Nhận xét

• Cho trước một hàm điều hòa, ta có thể tìm được hàm

điều hòa liên hợp với nó (sai khác 1 hằng số)
. Vì vậy,
khi cho trước phần thực hoặc phần ảo của một hàm
giải tích, ta có thể tìm được hàm giải tích đó (sai khác
1 hằng số).

VD 3. Tìm hàm giải tích
( )
f z
.
Cho biết phần thực
2 2
2
u x y x
= − +
và
(0) 0
f
=
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 9


Chương
Chương
2. H

2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
§4. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP
4.1. Hàm hữu tỉ


1
0 1
1
0 1

( ) .

n n
n
m m
m
a z a z a
f z

b z b z b
−
−
+ + +
=
+ + +

Các trường hợp riêng của hàm hữu tỉ


Hàm tuyến tính:
( )
f z az b
= +
,
D
=
ℂ
.

Hàm lũy thừa:
( ) ,
n
f z z n
= ∈
ℤ

,
D
=

ℂ
.

Hàm đa thức:
1
0 1
( )
n n
n
f z a z a z a
−
= + + +
,
D
=
ℂ
.


Hàm phân tuyến tính: ( )
az b
f z
cz d
+
=
+
, \
d
D
c

 
 
 
= −
 
 
 
 
ℂ .



Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
4.2.
Hàm mũ và Logarit

•
Tính chất
 Nếu
z x
=
thì
.
z x
e e
=


| | | | 0,
z x
e e z
= > ∀ ∈
ℂ
.

1 2 1 2
.
z z z z
e e e
+
=
.
 Hàm
z
w e
=

tuần hoàn với chu kỳ
2
i
π
.
 Hàm
z
w e
=
khả vi với mọi
z
∈
ℂ
và
( ) .
z z
e e
′
=

a) Hàm mũ
(cos sin ).
z x iy x
e e e y i y
+
= = +



Chương

Chương
2. H
2. H
à
à
m bi
m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
b)
Hàm logarit w = Lnz
•
Định nghĩa
Với
(cos sin ) .
i
z r i r e
ϕ
ϕ ϕ
= + =
, ta có:
ln ( 2 ), (0 2 )
lnz r i k
ϕ π ϕ π

= + + ≤ ≤
.
•
Tính chất

Hàm
Lnz
là hàm
đơ
n tr
ị
xác
đị
nh trên
\ {0}
ℂ
.

1 2 1 2
( . )
Ln z z Lnz Lnz
= +
.
 Hàm
w Lnz
=
khả vi
\ {0}
z
∀ ∈

ℂ
và
1
( )
Lnz
z
′
=
.
Chọn
0
k
=
và ký hiệu
Lnz
, ta được:
ln , (0 2 ).
Lnz r i
ϕ ϕ π
= + ≤ ≤



Chương
Chương
2. H
2. H
à
à
m bi

m bi
ế
ế
n ph
n ph
ứ
ứ
c
c
 Hàm cosin:
1
cos ( )
2
iz iz
z e e
−
= +
.
 Hàm sin:
1
sin ( )
2
iz iz
z e e
i
−
= −
.
 Hàm cosin hyperbolic:
cos( )

2
z z
e e
chz iz
−
+
= =
.
 Hàm sin hyperbolic:
sin( )
2
z z
e e
shz i iz
−
−
= = −
.

•

Tất cả c
ác
tính chất và
công thức lượng giác đã biết
cũng đúng với các hàm lượng giác phức.
Các hàm hyperbol xác định và liên tục trên
ℂ
.
…………………………………………………

4.3
. Các hàm lượng giác và hyperbol


Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
§1. Tích phân đường của hàm phức.
§2. Định lý Cauchy.
§3. Tích phân bất định. Công thức Newton – Leibnitz.

§4. Công thức tích phân Cauchy.
…………………………………………
§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM PHỨC
k
∆
•

•
•
•
O
x
y
0
z
1
k
z
−
k
z
n
z
C
1.1.
Định nghĩa
•
Cho đường cong định hướng
Jordan
C
, trơn từng khúc, có
phương trình:
( ) ( ) ( )
z t x t iy t
= +
,
:

t a b
→


và hàm phức
( )
f z
xác định
liên tục trên
C
. Chia
C
thành
n
điểm chia liên tiếp:
0 1
( ) , , , ( )
n
z a z z z z b
= =
.
k
t
•


Chương
Chương
3. T
3. T

í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c

Trên mỗi cung
1
k k
z z
−
ta chọn tùy ý điểm
k
t

( 1, )
k n
=
và lập tổng
1
1
( )( )
n

n k k k
k
S f t z z
−
=
= −
∑
.
•
Nếu khi
1
0
k k k
z z z
−
∆ = − →
, tổng
n
S
dần đến giới
hạn là
I
∈
ℂ
(không phụ thuộc vào cách chia và chọn
điểm
k
t
), thì
I

được gọi là tích phân của
( )
f z
dọc theo
C
hướng từ
0
z
đến
n
z
. Ký hiệu
( )
C
f z dz
∫
.
Vậy
(
)
(
)
1
1
max 0
1
( ) lim
k
k n
n

k k k
z
k
C
f z dz f t z z
≤ ≤
−
∆ →
=
= −
∑
∫
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 10


Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à

m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
• Nếu đường cong có điểm đầu và cuối lần lượt là
A
,
B

thì ta ký hiệu

( )
AB
f z dz
∫
.
• Nếu đường cong
C
có điểm đầu và cuối trùng nhau thì
ta ký hiệu
( )
C
f z dz
∫

với chiều của
C
là chiều dương.

1.2.
Tính chất
Tích phân đường hàm phức dọc theo
C
có
các tính chất
như tích phân đường loại 2:

[ ( ) ( )] ( ) ( )
C C C
af z bg z dz a f z dz b g z dz
+ = +
∫ ∫ ∫
.


Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ

c
c
 Nếu
1 2
C C C
=
∪
và
1 2
C C
∩ = ∅
thì:
1 2
( ) ( ) ( )
C C C
f z dz f z dz f z dz
= +
∫ ∫ ∫
.



( ) ( )
AB BA
f z dz f z dz
= −
∫ ∫
.
 Gọi
L

là độ dài của đường
C
và
max ( )
z
M f z
∈
=
ℂ
, ta
có công thức ước lượng tích phân:
( ) ( ) .
C C
f z dz f z dz ML
≤ ≤
∫ ∫



Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph

m ph
ứ
ứ
c
c
1.3.
Phương pháp tính

VD 1. Tính tích phân
2
( )
C
I z dz
=
∫
, trong đó
C
là đoạn thẳng nối từ gốc tọa độ
O
đến điểm
1
i
+
.
a)
Đưa về tích phân xác định
Nếu phương trình của
: ( ) ( ) ( ), :
C z t x t iy t t a b
= + →

thì:
( ) ( ( )). ( ) .
b
C a
f z dz f z t z t dt
′
=
∫ ∫


VD 2. Tính tích phân
2
( )
C
I z dz
=
∫
, trong đó
C
là nửa
dưới của đường tròn đơn vị nối từ
1
z
= −
đến
1
z

=
.



Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
b)
Biểu diễn tích phân theo phần thực và ảo của f(z)
Thay
( ) ( ) ( )
k k k
f u iv
ξ ξ ξ
= +
và

k k k
z x i y
∆ = ∆ + ∆
vào
tổng
n
S
, ta được:
1
( )
n
n k k
k
S f z
ξ
=
= ∆
∑
1
[ ( ) ( )]( )
n
k k k k
k
u iv x i y
ξ ξ
=
= + ∆ + ∆
∑

1 1

[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ].
n n
k k k k k k k k
k k
u x v y i v x u y
ξ ξ ξ ξ
= =
= ∆ − ∆ + ∆ + ∆
∑ ∑
Qua giới hạn, ta có:


( ) .
C C C
f z dz udx vdy i vdx udy
= − + +
∫ ∫ ∫



Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à

m ph
m ph
ứ
ứ
c
c

VD 3. Tính tích phân
C
I z dz
=
∫
, trong đó
C
là đoạn thẳng nối từ điểm
2
z i
= +
đến điểm
0
z
=
.


VD 4. Tính tích phân
(1 2 )
C
I i z dz
= + −

∫
, trong đó
C
là cung parapol
2
y x
=
nối
0
z
=
với
1
z i
= +
.

VD 5. Tính tích phân
C
dz
I
z a
=
−
∫

, trong đó
C
là đường tròn tâm
a

, bán kính
r
.


Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
2.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên


VD 1. Hàm
2
( )
4
z
f z

z
=
+
giải tích trong
: | | 1
D z
≤

và liên tục trên biên
D
∂
nên
2
| | 1
0
4
z
zdz
z
=
=
+
∫

.
a)
Định lý

Nếu hàm
( )

f z
giải tích trên miền đơn liên
D
và liên tục
trên biên
C D
≡ ∂
thì:
( ) 0.
C
f z dz
=
∫


§2. ĐỊNH LÝ CAUCHY
ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 11


Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h

ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
•
Nếu hàm
( )
f z
giải tích trong miền đơn liên
D
, thì
tích
phân
( )
C
f z dz
∫

với mọi đường cong
C
nằm trong
D
có cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau.

VD 2. Tính tích phân

2
C
I z dz
=
∫
, trong đó
C
là cung
3 2
3
y x x
= −
nối
0
z
=
với
1 2
z i
= −
.
b)
Hệ quả
•
Nếu hàm
( )
f z
giải tích trong miền đơn liên
D
và

C
là
đường cong kín nằm trong
D
thì
( ) 0
C
f z dz
=
∫

.

G
iải.

Đoạn thẳng
OA
nối
0
z
=
với
1 2
z i
= −
có
phương trình:
( ) 2 , : 0 1
z t t it t

= − →
.


Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
Do
( ) 2
f z z
=
giải tích trong
ℂ
nên:
1
0
2 2( 2 )(1 2 ) 3 4 .

OA
I z dz t it i dt i
= = − − = − −
∫ ∫


2.2. Định lý Cauchy cho miền đa liên
a)
Định lý 1

Cho miền
D n
−
liên (
1
n
>
) có biên
D
∂
gồm
1 2
, , ,
n
C C C
, trong đó
1
C
bao các chu tuyến khác và
các chu tuyến

2
, ,
n
C C
nằm ngồi nhau. Nếu
( )
f z
giải
tích trong
D
và liên tục trong
D D D
= ∂
∪
thì:
1 2
( ) ( ) ( ) .
n
C C C
f z dz f z dz f z dz
= + +
∫ ∫ ∫
  



Chương
Chương
3. T
3. T

í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
b
)
Định lý 2

Với giả thiết như trong định lý
1, ta có:
( ) 0.
D
f z dz
∂
=
∫


Hệ quả
(tính bất biến khi biến dạng chu tuyến)

Nếu chu tuyến

1
C
có thể biến dạng liên tục mà khơng
vượt qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của
( )
f z
để trở thành
chu tuyến
2
C
thì:
1 2
( ) ( ) .
C C
f z dz f z dz
=
∫ ∫
 



Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à

à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
r
O
x
y
C
a
•

VD 3. Khảo sát tích phân
( )
n
n
C
dz
I
z a
=
−
∫

, trong đó
C
là đường cong kín khơng đi qua điểm

a
và
n
∈
ℤ
.
•

Trường hợp 2
:
điểm
a
nằm trong
C
.
Ta
chọn
r
đủ bé để đường tròn
r
C
tâm
a
, bán kính
r
nằm
trong
C
.
Giải

•
Trường hợp 1: điểm
a
nằm ngồi
C
.
Do
hàm
1
( )
( )
n
f z
z a
=
−
giải tích trong miền đóng
D
có biên
C
nên
0
n
I
=
(định lý 2).


Chương
Chương

3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c

Phtrình tham số của
r
C
là:
( [0;2 ])
i
z a re
ϕ
ϕ π
= + ∈
.

Áp dụng hệ quả, ta được:
2 2
(1 )

1
0 0
( ) ( )
r
i
i n
n
n i n n
C
dz ire d i
I e d
z a re r
π π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
= = =
−
∫ ∫ ∫

.
 Với
1
n
=
thì

2
1
0
2
I i d i
π
ϕ π
= =
∫
.
 Với
1
n
≠
thì
2
(1 )
1
0
0
(1 )
i n
n
n
e
I
r n
π
ϕ
−

−
= =
−
.
Vậy
2 , 1
0, .
( )
n
C
i n a C
dz
z a
π


=

=


−


∫

và nằm trong
các trường hợp còn lại




Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
§3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
CƠNG THỨC NEWTON – LEIBNITZ

3.1. Tích phân bất định

• Hàm giải tích
( )
F z

được gọi là ngun hàm của hàm
giải tích
( )
f z

trong miền
D
nếu
( ) ( )
F z f z
′
=
.

Khi đó,
( )
F z C
+
(với
C
là hằng số phức) cũng
là
ngun hàm của
( )
f z
.

• Tập tất cả ngun hàm của
( )
f z
có dạng
( )
F z C
+
và

được gọi là tích phân bất định của
( )
f z
.
Ký h
iệu là
( )
f z dz
∫
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 12


Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ

ứ
c
c

Chú ý

• Tích phân hàm
( )
f z
dọc theo đường cong
C
chỉ được
áp dụng công thức Newton – Leibnitz nếu
C
nằm
trong miền đơn liên
D
và hàm
( )
f z
giải tích trong
D
.
•
Các
phương pháp

tính
tích phân đổi biến và từng phần
đã biết vẫn đúng cho tích phân phức.

3.2. Công thức Newton – Leibnitz
•
Nếu hàm
( )
f z
giải tích trong miền đơn liên
D
và
( )
F z
là một nguyên hàm của
( )
f z
trong
D
thì:

2
2
1
1
2 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ), , .
z
z
z
z
f z dz F z F z F z z z D
= = − ∀ ∈

∫



Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c

VD 1. Tính tích phân
2
3
C
I z dz
=
∫
, trong đó
C

là đường cong nối điểm
z i
=
và
2
z
=
.

VD 2. Tính tích phân
1
100
1
( 1)
i
I z z dz
+
= −
∫
.

VD 3. Tính tích phân
0
i
z
I ze dz
π
=
∫
.



Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c
§4.
CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY


VD 1. Tính tích phân
2
| | 1
1
z i
dz
I
z

− =
=
+
∫

.

4.1. Định lý (công thức tích phân Cauchy)


Giả sử hàm
( )
f z
giải tích trong miền giới nội
D
và liên
tục trong miền
D D D
= ∂
∪
. Khi đó, giá trị
0
( )
f z
tại
điểm bất kỳ
0
z D
∈

được biễu diễn qua giá trị trên biên
D
∂
theo công thức tích phân Cauchy:

0
0
1 ( )
( ) .
2
D
f z
f z dz
i z z
π
∂
=
−
∫




Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h

ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c

VD 2. Tính tích phân
2 2
4
iz
C
e dz
I
z
π
=
−
∫

, trong đó:
a)
: | 1 | 1
C z
− =
; b)
: | | 3

C z i
− =
.
•
•
•
O
x
y
C
2
π
2
π
−
1
C
2
C
i


Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h

à
à
m ph
m ph
ứ
ứ
c
c

VD 3. Tính tích phân
2 2
| 1| 1
sin
( 1)
z
z
I dz
z
π
− =
=
−
∫

.

Giả sử hàm
( )
f z
giải tích trong miền giới nội

D
và liên
tục trong miền
D D D
= ∂
∪
. Khi đó, hàm
( )
f z
có đạo
hàm mọi cấp tại điểm
0
z
bất kỳ trong miền
D
và
được
biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy:

( )
1
0
! ( )
( ) , 1, 2,
2
( )
n
n
D
n f z dz

f z n
i
z z
π
+
∂
= =
−
∫



4.2. Hệ quả 1
(công thức Cauchy cho đạo hàm của hàm giải tích)


Chương
Chương
3. T
3. T
í
í
ch phân h
ch phân h
à
à
m ph
m ph
ứ
ứ

c
c

VD 5. Chứng minh hàm
( ) sin
f z z
=
không bị chặn.

Giải. Do
(0) 0, 1
2
f f
π
 


= =





 
nên
( ) sin
f z z
=
không là
hàm hằng. Vậy hàm

( ) sin
f z z
=
không bị chặn.
……………………………………………………………

VD 4. Tính tích phân
4
3
| | 2
( )
z
z
I dz
z i
=
=
−
∫

.

4.3.
Hệ quả 2
(
Định lý Liouville
)

Nếu hàm
( )
f z
giải tích và bị chặn trên toàn mặt phẳng
phức
ℂ
thì
( )
f z
là hàm hằng.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 13


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ

ặ
ng dư
ng dư
§1. Chuỗi hàm phức.

§2. Thặng dư.

§3. Ứng dụng của thặng dư.

………………………………………
§1. CHUỖI HÀM PHỨC
1.1. Khái n
iệm chung
a) Các định nghĩa

• Cho dãy hàm
phức
1 2
( ), ( ), , ( ),
n
f z f z f z
cùng xác
định trên miền
D
⊂
ℂ
. Tổng hình thức:
1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )

n n
n
f z f z f z f z
∞
=
+ + + + =
∑
(1)

được gọi là chuỗi hàm phức.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
• Nếu tại
0

z z
=
, chuỗi số
0
1
( )
n
n
f z
∞
=
∑
hội tụ (phân kỳ) thì
0
z
được gọi là điểm hội tụ (phân kỳ) của chuỗi (1).
• Tập hợp các điểm hội tụ
0
z
của chuỗi (1) được
gọi là
miền hội tụ của chuỗi (1).
•
Tổng riêng thứ
n
của chuỗi (1), ký hiệu
( )
n
S z
, là:

1 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n
S z f z f z f z
= + + +
.
•
Trong miền hội tụ của chuỗi (1),
lim ( ) ( )
n
n
S z f z
→∞
∃ =
.



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th

ặ
ặ
ng dư
ng dư
• Chuỗi (1) được gọi là
hội tụ đều
trong miền
D
nếu:
0, ( ) : , | ( ) | .
n
N N n N z D R z
ε ε ε
∀ > ∃ = ∀ > ∀ ∈ ⇒ <

• Chuỗi (1) được gọi là
hội tụ
tuyệt đối
trong miền
D
nếu chuỗi
1
( )
n
n
f z
∞
=
∑
hội tụ.

Hàm
( )
f z
xác địn
h trong miền hội tụ của chuỗi (1)
được gọi là tổng của chuỗi (1), ta viết
1
( ) ( )
n
n
f z f z
∞
=
=
∑
.

Khi đó,
( ) ( ) ( )
n n
R z f z S z
= −
được gọi là phần dư
của
chuỗi (1). Tại mọi
z
thuộc miền hội tụ thì
lim 0
n

n
R
→∞
=
.



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
• Định lý 1 (
tiêu chuẩn Cauchy)
Chuỗi (1) hội tụ đều trong miền
D
khi và chỉ khi:
0, ( ) : , ,

N N n N z D p
ε ε
∀ > ∃ = ∀ > ∀ ∈ ∀ ∈
ℕ

1 2
( ) ( ) ( ) .
n n n p
f z f z f z
ε
+ + +
⇒ + + + <


b*) Tính chất của chuỗi hội tụ đều
• Định lý
2 (tiêu chuẩn Weierstrass)
Nếu
( ) , ,
n n n
f z a a z D
+
≤ ∈ ∀ ∈
ℝ
và chuỗi số
1
n
n
a
∞

=
∑


hộ
i tụ thì chuỗi (1) hội tụ đều trong miền
D
.
• Định lý
3
Nếu
tất cả các số hạng
( )
n
f z
của chuỗi (1) liên tục
trong miền
D
và chuỗi (1) hội tụ đều thì tổng
( )
f z
cũng là hàm liên tục trong
D
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu

ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
• Định lý
5

Nếu
tất cả các số hạng
( )
n
f z
của chuỗi (1)
giải tích
trong miền
D
và chuỗi (1) hội tụ đều thì tổng
( )
f z
giải
tích trong
D

và:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
k k k k
n
f z f z f z f z
= + + + +

• Định lý
4
Nếu
tất cả các số hạng
( )
n
f z
của chuỗi (1) liên tục
trong miền
D
và chuỗi (1) hội tụ đều thì
với mọi
đường cong
C
nằm trong
D
, ta có:

1
( ) ( ) ( )
n

C C C
f z dz f z dz f z dz
= + + +
∫ ∫ ∫



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
b)
Định lý Abel
 Nếu chuỗi (2) hội tụ tại điểm
0
z a
≠
thì chuỗi hội tụ

tuyệt đối tại mọi điểm thỏa
0
| | | |
z a z a
− < −
và
hội tụ đều trong
| |
z a r
− ≤
, với
0
0 | |
r z a
< < −
.
 Nếu chuỗi (2) phân kỳ tại điểm
1
z
thì chuỗi phân kỳ
mọi điểm thỏa
1
| | | |
z a z a
− > −
.
a) Định nghĩa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm phức có dạng:
0 1
0

( ) = ( ) ( ) + (2)
n n
n n
n
c z a c c z a c z a
∞
=
− + − + + −
∑

trong đó
a
và
n
c
là các số phức.
1.2
. Chuỗi lũy thừa
H Cụng nghip Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hm phc & Phộp bin i Laplace
i hc 14


Chng
Chng
4. Chu
4. Chu

i v
i v


Th
Th


ng d
ng d
c)
Bỏn kớnh hi t

Min hi t ca chui ly tha (2) luụn
l hỡnh trũn
| |
z a R
<
vi
0
R
+
.


S
thc
R
c gi l

bỏn kớnh hi t
ca chui
(
2
)
.


Ti im
z
tha
| |
z a R
=
, chui (2)
cú th hi t
hoc phõn k.

Cụng thc tớnh bỏn kớnh hi t


Ta s dng cỏc tiờu chun dAlembert hoc Cauchy
tỡm bỏn kớnh hi t ca chui vi
0,
n
c n N
>
.

Trong trng hp

, 0
n
n N c
> =
thỡ ta s dng trc
tip tiờu chun hi t dAlembert hoc Cauchy.


Chng
Chng
4. Chu
4. Chu


i v
i v


Th
Th


ng d
ng d

Nhc li
Tiờu chun hi t
i vi chui
1
n

n
u

=

(*).
Tiờu chun hi t dAlembert:

Nu
1
lim
n
n
n
u
D
u
+

=
thỡ
1 (*)
1 (*)
D
D


<

>


hoọi tuù,
phaõn kyứ.


Tiờu chun
hi t
Cauchy:


Nu
lim
n
n
n
u C

=
thỡ
1 (*)
1 (*)
C
C


<

>


hoọi tuù,
phaõn kyứ.



Chng
Chng
4. Chu
4. Chu


i v
i v


Th
Th


ng d
ng d

VD
1.
Tỡm bỏn kớnh hi t v hỡnh trũn hi t ca:

a)
1
1
( 1)
2
n
n
n
n
z

=

+

; b)
2
1
1
1 ( )
n
n
n
z i
n

=

+







.
Tiờu chun dAlembert:
1
lim .
n
n
n
c
R
c

+
=

Tiờu chun Cauchy:
1
lim .
n
n
n
R
c

=


VD
2
.
Tỡm min hi t ca:
a)
2
1
!
( 2 )
3
n
n
n
n
z i

=


; b)
2
2
0
( )
( 1) .4
n

n
n
z i
n

=
+
+

.


Chng
Chng
4. Chu
4. Chu


i v
i v


Th
Th


ng d
ng d
Chui
0

( )
n
n
n
c z a

=


vi
n
c
xỏc nh theo (*) c gi
l chui khai trin Taylor ca
( )
f z
quanh im
a
.
a) nh lý
Nu hm
( )
f z
gii tớch trong hỡnh trũn
| |
z a R
<
thỡ
vi mi
z

trong hỡnh trũn ú,
( )
f z
c khai
trin thnh
chui ly tha
0
( ) ( )
n
n
n
f z c z a

=
=

. Trong ú:
( )
1
( ) 1 ( )
, 0 (*).
! 2
( )
n
n
n
z a r
f a f z dz
c r R
n i

z a

+
=
= = < <




1.3. Chui Taylor



Chng
Chng
4. Chu
4. Chu


i v
i v


Th
Th


ng d
ng d
1)

2
0
1
1 , | | 1
1
n n
n
z z z z z
z

=
= = + + + + + <


.


2)

2
0
1
! 1! 2! !
n n
z
n
z z z z
e
n n

=
= = + + + + +



3)

2 1 3 5 7
0
sin ( 1)
(2 1)! 3! 5! 7 !
n
n
n
z z z z
z z
n
+

=
= = + +
+



4)

2 2 4 6
0
cos ( 1) 1

(2 )! 2! 4! 6!
n
n
n
z z z z
z
n

=
= = + +


Khai trin Taylor ca cỏc hm c bn quanh z = 0


Chng
Chng
4. Chu
4. Chu


i v
i v


Th
Th


ng d

ng d

Chỳ ý
Hm
( )
f z
gii tớch ti im
a
nu
( )
f z
cú th khai trin
thnh chui ly tha
0
( )
n
n
n
c z a

=


quanh im
a
.
Hm
( )
f z
xỏc nh trong lõn cn vụ cựng

| |
z R
>
c gi l gii tớch ti

nu
( )
f z
cú th k
hai trin
thnh chui dng
1 2
0
2
0

n
n
n
c c c
c
z
z z

=
= + + +


b) Phng phỏp khai trin Taylor

p dng cụng thc (*) tỡm h s
n
c
.
Da vo tớnh cht ca
( )
f z
thc hin cỏc phộp
bin i ng nht v ỏp dng cỏc khai trin ó bit.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 15


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ

ng dư
ng dư

VD 3. Khai triển Taylor của hàm
1
( )
2
f z
z
=
−
quanh:
a) điểm
a i
=
; b) điểm
a
= ∞
.
Giải

a) Đặt
t z i
= −
, ta có:

1 1 1
( ) .
2 2
1

2
f z
i t i t
i
= =
− − −
−
−


0
1
2 2
n
n
t
i i
∞
=
 


=





− −
 

∑
, với
1
2
t
i
<
−
.
Vậy
1
0
1
( ) ( )
(2 )
n
n
n
f z z i
i
∞
+
=
= −
−
∑
, với
| | 5
z i− <
.



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
b) Đặt
1
t
z
=
, ta có:
0
1
( ) . (2 )
2 1 1 2
n
n

t
f z t t t
t t
∞
=
= = − = −
− −
∑
, với
| 2 | 1
t
<
.

Vậy
1
0
2
( )
n
n
n
f z
z
∞
+
=
= −
∑
, với

| | 2
z
>
.

VD 4. Khai triển Taylor của
2
2
( )
z z
f z e
−
=
quanh
1
z
=
.

Giải. Đặt
1
t z
= −
, ta có:
2
2 2
1
0 0
1 ( ) 1 ( 1)
( )

! !
n n
t
n n
t z
f z e
e n e n
∞ ∞
−
= =
−
= = =
∑ ∑
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ

ng dư
ng dư

VD 5. Khai triển Taylor
2
3
( )
3
f z
z z
=
−
quanh
1
z
=
.

Giải. Ta có:
3 1 1
( )
(3 ) 3
f z
z z z z
= = +
− −
.
•
0
1 1

[ ( 1)]
1 [ ( 1)]
n
n
z
z z
∞
=
= = − −
− − −
∑
, với
| 1 | 1
z
− <
.
•
0
1 1 1 1 1
.
3 2 1 2 2
1
2
n
n
z
z z
∞
=
 

−


= =





− −
 
−
∑
,
| 1 | 2
z
− <
.
Vậy
1
0
1
( ) ( 1) ( 1)
2
n n
n
n
f z z
∞
+

=
 
 
= − + −
 
 
∑
,
| 1 | 1
z
− <
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

VD 6. Khai triển Taylor
2
1
( )
( 3)
f z
z
=
−
quanh
1
z
=
.


Giải. Ta có:
1
0
1 1 1 ( 1)
.
3 2 1
2
1
2
n
n
n
z

z z
∞
+
=
−
= − = −
− −
−
∑
,
| 1 | 2
z
− <
.

Đạo hàm từng số hạng của chuỗi, ta được:

1
1
0
1 ( 1)
( )
3
2
n
n
n
n z
f z
z

−
∞
+
=
′
 
−


= − =





−
 
∑
,
| 1 | 2
z
− <
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ

ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
1.4.
C
huỗi Laurent

a) Định lý
• Nếu hàm phức
( )
f z
giải tích trong hình vành kh
ăn
: 0 | |
G r z a R
≤ < − < ≤ ∞
thì với mọi
z
thuộc
G
,
ta có khai triển

( )
f z
thành chuỗi Laurent:

( ) ( ) .
n
n
n
f z c z a
+∞
=−∞
= −
∑

Trong đó:
1
1 ( )
( , ).
2
( )
n
n
z a q
f z dz
c r q R n
i
z a
π
+
− =

= < < ∈
−
∫
ℤ




Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
•
Chuỗi Laurent
( )
n
n
n

c z a
+∞
=−∞
−
∑
được chia thành 2 phần:

 Phần đều:
2
1 0 1 2
0
( )= ( ) = + ( )+ ( ) +
n
n
n
f z c z a c c z a c z a
+∞
=
− − −
∑

hội tụ trong miền
| |
z a R
− <
.
 Phần chính:
1 2
2
2

1
( ) ( )
( )
n
n
n
c c
f z c z a
z a
z a
−∞
− −
=−
= − = + +
−
−
∑

hội tụ trong miền
| |
z a r
− >
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 16



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
O
x
y
a
G
•
r
R
• Khai triển Laurent của
( )
f z

trong hình vành khăn cho
trước là duy nhất. Tuy nhiên

trong các hình vành khăn
khác nhau thì khai triển
Laurent có thể khác nhau.
Chú ý
• Chuỗi Taylor là trường hợp
riêng của chuỗi Laurent, trong
đó phần chính
bị
triệt tiêu.



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
•
Cách 2

.
Đưa về khai triển Taylor để áp dụng các khai
triển của các hàm sơ cấp đã biết.

Giả sử hàm
( )
f z
giải tích trong
| |
r z a R
< − <
và
1 2
( ) ( ) ( )
f z f z f z
= +
hoặc
1 2
( ) ( ). ( )
f z f z f z
=
. Trong đó,
1
( )
f z
và
2
( )
f z
lần lượt giải tích trong

| |
z a R
− <
và
| |
z a r
− >
thì ta khai triển:

1
( )
f z
thành chuỗi lũy thừa của
( )
z a
−
;

2
( )
f z
thành chuỗi lũy thừa của
1
z a
−
.
b) Phương pháp khai tri
ển chuỗi Laurent
• Cách 1.
Tìm hệ số

n
c
từ công thức trong định lý trên.
Tuy nhiên, cách này dẫn đến tính toán phức tạp.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

VD 7. Khai triển
1
( )
( 1)( 2)
f z
z z
=

− −
trong các miền:
a)
| | 1
z
<
; b)
1 | | 2
z
< <
; c)
| | 2
z
>
.

Giải.
Ta có:
1 1
( )
2 1
f z
z z
= −
− −
.
a) Trong miền
| | 1
z
<

, hàm
( )
f z
giải tích.
Do
| | 1 1
2
z
z
< ⇒ <
nên ta có khai triển Taylor:
0 0
1 1 1 1
( ) .
2 1 2
2
1
2
n
n
n
n n
z
f z z
z z
∞ ∞
= =
= − + = − +
−
−

∑ ∑
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
Vậy
1
1 1
0 0
1 2 1
( ) 1
2 2
n
n n
n n

n n
f z z z
+
∞ ∞
+ +
= =
 
−


= − =





 
∑ ∑
,
| | 1
z
<
.

b) Hàm
1
1
( )
2
f z

z
=
−
giải tích trong
| | 2
z
<
nên:
1
1
0
1 1
( ) .
2
2
1
2
n
n
n
z
f z
z
+∞
+
=
= − = −
−
∑
,

1
2
z
<
.
Hàm
2
1
( )
1
f z
z
= −
−
giải tích trong
| | 1
z
>
nên:

2
0
1 1 1 1
( ) .
1
1
n
n
f z
z z

z
z
+∞
=
= − = −
−
∑
1
n
n
z
−∞
=−
= −
∑
,
1
1
z
<
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v

i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
Vậy
1
1 0
( )
2
n
n
n
n n
z
f z z
−∞ +∞
+
=− =
= − −
∑ ∑
,
1 | | 2
z
< <
.

c)
Trong miền
| | 2
z
>
, ta có
2
1
z
<
và
1
1
z
<
nên:
1
1
0
1 1 1 2
( ) .
2 2
1
n
n
n
f z
z z
z
z

+∞
+
=
= = =
−
−
∑
.
2
1
0
1 1 1 1
( ) .
1 1
1
n
n
f z
z z
z
z
+∞
+
=
= − = − = −
−
−
∑
.
Vậy

1 1
0 1
2 1 1
( ) 1
2
n
n
n n
n n
f z z
z
+∞ −∞
+ +
= =−
 
−


= = −





 
∑ ∑
,
| | 2
z
>

.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
VD 8. Khai triển
2
2 1
( )
2
z
f z
z z
−
=
− −

trong các miền:
a)
0 | 2 | 3
z
< − <
; b)
| 2 | 3
z
− >
.
VD 9. Khai triển
1
( )
z
f z e
=
trong miền
0 | |
z
< < +∞
.

Nhận xét
Từ khai triển trên, ta có:
1
1
1
1
1!
c

c
z z
−
−
= ⇒ =
.
Mặt khác,
1
1
1
(0 )
2
z
z q
c e dz q
iπ
−
=
= < < +∞
∫

.
Vậy
1
2
z
C
e dz i
π
=

∫

, với mọi
C
bao quanh gốc
O
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 17


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

§2. THẶNG DƯ
2.1. Điểm bất thường cô lập của hàm giải tích


2.1.1. Định nghĩa

Điểm
z a
= ≠ ∞
được gọi là điểm bất thường cô lập
của hàm
( )
f z
nếu tồn tại một lân cận của
a
trong đó
chỉ
có
z a
=
là điểm bất thường.

VD 1
•
Hàm
2
1
( )f z
z
=

có
0
z
=
là điểm bất thường cô lập.
•
Hàm
2
1
( )
1
f z
z
=
+
có hai điểm bất thường cô lập
là
z i
= ±
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v

à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

2.1.2. Phân loại các điểm bất thường cô lập

Giả sử
z a
= ≠ ∞
là điểm bất thường cô lập của
( )
f z
.
Khi đó, hàm
( )
f z
có khai triển Laurent trong
hình vành
khăn
0 | |
z a R
< − <
là
( ) ( )
n

n
n
f z c z a
+∞
=−∞
= −
∑
(*).

Nếu trong khai triển (*) không chứa lũy thừa âm nào
của
( )
z a
−
, nghĩa là:
2
0 1 2
( ) ( ) ( )
f z c c z a c z a
= + − + − +

thì
z a
=
được gọi là điểm bất thường bỏ được.
 Nếu trong khai triển (*) có chứa hữu hạn
các lũy
thừa âm của
( )
z a

−
, nghĩa là:


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
1
0 1
1
( ) + + + + ( )+
( ) ( )
m
m
m m
c
c

f z c c z a
z a z a
− +
−
−
= −
− −
thì
z a
=
được gọi là cực điểm của
( )
f z
.
Nếu
( )
m
z a
−
−
,
*
m
∈
ℕ
,
là lũy thừa âm cao nhất của
(*) thì
z a
=

được gọi là cực điểm cấp m của
( )
f z
.

Nếu trong khai triển (*) có chứa
vô số
lũy thừa âm
của
( )
z a
−
thì
z a
=
được gọi là
điểm bất thường
cốt yếu của
( )
f z
.

Chú ý

•
Điểm bất thường bỏ được còn được gọi là
cực điểm
cấp 0 hay không điểm.
• Cực điểm cấp 1 (
1

m
=
) còn được gọi là
cực điểm đơn.



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

VD 2. Hàm
sin
( )
z
f z
z

=
có khai triển Laurent:
3 5 2 4
1
( ) 1
3! 5! 3! 5!
z z z z
f z z
z
 



= − + − = − + −





 

Vậy
0
z
=
là không điểm của
( )
f z
.

VD 3. Hàm
2
( )
z
e
f z
z
=
có khai triển Laurent:
2
2 2
1 1 1 1
( ) 1
2! 2! 3!
z z
f z z
z
z z
 



= + + + = + + + +





 

Vậy
0
z
=
là
cực
điểm cấp 2.



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

VD 4. Hàm
1
( )

z
f z e
=
có khai triển Laurent:
2 3
0
1 1 1 1 1
( ) 1
!
2! 3!
n
n
f z
n z z
z z
+∞
=
 


= = + + + +





 
∑

Vậy

0
z
=
là điểm bất thường cốt yếu.


2.1.3. Cách tìm cực điểm cấp m

Cho
z a
= ≠ ∞
là điểm bất thường cô lập của
( )
f z
.

 Nếu
lim ( )
z a
f z L
→
= ≠ ∞
thì
z a
=
là cực điểm cấp 0.

 Nếu
lim ( )
lim[( ) ( )] \ {0}

z a
m
z a
f z
z a f z L
→
→


= ∞




− = ∈



ℂ

thì
z a
=
là cực điểm cấp
m
.


Chương
Chương

4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
 Nếu
lim ( )
z a
f z
→
không tồn tại thì
z a
=
là điểm
bất
thường cốt yếu.

VD
5.
Tìm và phân loại điểm bất thường cô lập của:
2

2 3
sin
( )
( 1)
z
f z
z z
=
−
.

VD
6.
Xác định điểm bất thường cô lập của:
1
( ) cosf z
z i
=
−
.

2.1.4. Điểm bất thường cô lập tại vô cùng
•
Giả sử hàm
( )
f z
giải tích trong miền
| |
r z
< < +∞

với
0
r
>
và không giải tích tại
z
= ∞
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 18


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư

ng dư
•
Trong khai triển Laurent của
( )
g t
, tùy theo
0
t
=
là
cực
điểm bỏ được, cực điểm cấp
m
hay điểm bất thường
cốt yếu ta có
z
= ∞
là cực điểm tương ứng của
( )
f z
.

Đặt
1
t
z
=
thì
1
( ) ( )

f z f g t
t
 


= =





 
.

Khi đó
( )
g t
giải tích trong miền
1
0 | |z
r
< <
nên có
khai triển Laurent.

VD
7
.
Xác định điểm bất thường cô lập
z

= ∞
của:
a)
1
( ) cos
f z
z
=
; b)
( )
z
g z e
=
;
c)
1
0 1 0
( ) , 0
m m
m m
P z a z a z a a
−
= + + + ≠
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu

ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
2.2.
THẶNG DƯ

2.2.1. Định nghĩa
•
Hệ số
1
c
−
của
1
z a
−
trong khai triển Laurent hàm
( )
f z
quanh điểm bất thường cô lập
z a

= ≠ ∞
được gọi là
thặng dư của
( )
f z
tại điểm
z a
=
.

Ký hiệu là
[ ( ), ]
Res f z a
.

Vậy ta có:

1
[ ( ), ] ( ) .
2
C
Res f z a f z dz
i
π
=
∫



Trong đó,

: | |
C z a r
− =
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
• Nế
u hàm
( )
f z
giải tích trong miền
| |
z r
>

và
z
= ∞
là điểm bất thường cô lập thì thặng dư
tại vô cùng
được định nghĩa là:
1
[ ( ), ] ( ) .
2
C
Res f z f z dz
i
π
∞ = −
∫


Trong đó,
C
là đường tròn
| |
z R r
= >
.

2.2.2. Phương pháp tính thặng dư



Cách 1.

Dùng định nghĩa
, ta có:


1
[ ( ), ]
Res f z a c
−
=
(hệ số của
1
z a
−
trong khai triển
( )
f z
quanh điểm
z a
=
).


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v

à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư


Cách 2
.
Dùng
cực điểm
.


1
[ ( ), ]
Res f z c
−
∞ = −
(hệ số của
1
z
trong khai triển
( )
f z
quanh điểm
z

= ∞
).
 Nếu
a
≠ ∞
là cực điểm đơn thì:
[ ( ), ] lim[( ) ( )].
z a
Res f z a z a f z
→
= −

 Nếu
a
≠ ∞
là cực điểm cấp
m

( 2)
m
≥
thì:
( 1)
1
[ ( ), ] lim[( ) ( )] .
( 1)!
m m
z a
Res f z a z a f z
m

−
→
= −
−



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

Chú ý
1)
Nếu
a
≠ ∞
là cực điểm đơn và

( )
( )
( )
h z
f z
g z
=
với
( ) 0
g a
=
,
( ) 0
h a
≠
,
( ) 0
g a
′
≠
thì:
( )
[ ( ), ] .
( )
h a
Res f z a
g a
=
′

2)
Khi tính giới hạn có dạng
0
0
, ta có thể dùng quy tắc
L’Hospital.

VD 8. Tính
[ ( ), 2]
Res f z
của
2
2 3
( )
2
z z
f z
z
− +
=
−
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ

i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

VD 9. Tính
[ ( ), 1]
Res f z
của
2
1
( )
( 1)
f z
z z
=
−
.

VD 10. Tính
[ ( ), ]
Res f z
∞
của các hàm:

a)
2
( )
z
f z e
=
; b)
15
8
3
( )
1
z
g z
z
=
+
.

VD 11. Tìm thặng dư của
2
( )
1
z
e
f z
z
=
+
tại các điểm

bất thường cô lập hữu hạn.

VD 12. Tìm thặng dư của
4
sin 1
( )
z
f z
z
+
=
tại các điểm
bất thường cô lập hữu hạn.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 19


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à

Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
§3. ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ
3.
1. Tính tích phân dọc theo đường cong kín
 Định lý 1
Nếu
hàm
( )
f z
giải tích trong miền đóng
D
giới hạn bởi
đường cong Jordan kín
C
trừ một số hữu hạn điểm

1
a
,
2
a
, …,
n
a
bất thường cô lập nằm trong

D
thì:
1
( ) 2 . [ ( ), ].
n
k
k
C
f z dz i Res f z a
π
=
=
∑
∫



VD 1. Tính tích phân
2
| | 2
1
z
z
e
I dz
z
=
=
+
∫


.

VD 2. Tính tích phân
2
| 1| 1
2
( 1) ( 1)
z
z
I dz
z z
− =
+
=
− +
∫

.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à

à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

VD 3. Tính tích phân
4
| | 2
1
z
dz
I
z
=
=
+
∫

.
 Định lý 2
Nếu
( )
f z
giải tích trong toàn mặt phẳng phức trừ một
số hữu hạn điểm
1 2
, , ,

n
a a a
bất thường cô lập thì:
1
[ ( ), ] [ ( ), ] 0.
n
k
k
Res f z a Res f z
=
+ ∞ =
∑


VD 4. Tính tích phân
4
5
| | 1
2 1
z
z
I dz
z
=
=
−
∫

.



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
3.2. Tính tích phân hàm lượng giác

 Phương pháp giải
•
Đặt
it
z e
=
, ta có:
it
dz
dz ie dt dt
iz

= ⇒ =
,
2 2
( ) 1 1
cos
2 2
2
it it it
it
e e e z
t
z
e
−
+ + +
= = =
,
2 2
( ) 1 1
sin
2 2
2
it it it
it
e e e z
t
i iz
ie
−
− − −

= = =
.
 Dạng tích phân:
2
0
(cos , sin ) (cos , sin ) .
I R t t dt I R t t dt
π π
π
−
= =
∫ ∫
hoaëc

Trong đó,
(cos , sin )
R t t
là hàm hữu tỉ theo sin và cosin.



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à

à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
• Khi
t
biến thiên từ 0 đến
2
π
(hoặc từ
π
−
đến
π
) thì
z
biến thiên trên đường tròn đơn vị
| | | | 1
it
z e
= =
.

Trong đó
(
)
1,

k
a k n
=
là các điểm bất thường cô lập
nằm trong hình tròn
| | 1
z
<
.
Suy ra, các tích phân trên có dạng:

1
| | 1
( ) 2 [ ( ), ].
n
k
k
z
I f z dz i Res f z a
π
=
=
= =
∑
∫



VD 5. Tính tích phân
2

0
2 sin
dt
I
t
π
=
+
∫
.

VD 6. Tính tích phân
0
3 cos
dt
I
t
π
=
−
∫
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ

i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
3.3. Tính tích phân suy rộng

b) Ứng
dụng

Tính tích phân
( )
I f x dx
+∞
−∞
=
∫
với
( )
f z
giải tích trong
nửa mặt phẳng trên
(trừ một số hữu hạn điểm bất
thường cô lập
1 2

, , ,
n
a a a
) và thỏa bổ đề 1.
3.3.1. D
ạ
ng suy r
ộ
ng
( )
f x dx
+∞
−∞
∫

a)
Bổ đề Jordan 1

Giả sử hàm
( )
f z
liên tục trong lân cận của điểm
∞
và
thỏa mãn
lim ( ) 0
z
zf z
→∞
=

. Khi đó
( )
lim ( ) 0
R
C R
f z dz
→∞
=
∫
,
với
( )
C R
là nửa trên của đường tròn
| |
z R
=
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à

Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
•
Ta vẽ nửa trên của đường tròn
( ) : | |
C R z R
=
với
R
đủ lớn
sao cho các điểm
1 2
, , ,
n
a a a

thuộc miền
D
giới hạn bởi
( )
C R
với đoạn
[ ; ]
R R
−
.

O
R
R
−
D
y
x
1
.
a
2
.
a
.
n
a
•
Áp dụng thặng dư, ta có:
1
( )
( ) ( ) 2 [ ( ), ]
R
n
k
k
R C R
f x dx f z dz i Res f z a
π
=
−

+ =
∑
∫ ∫
.

Cho
R
→ +∞
và áp dụng bổ đề 1, ta được:
1
( ) 2 [ ( ), ].
n
k
k
f x dx i Res f z a
π
+∞
=
−∞
=
∑
∫

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 20



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư

Nhận xét

Nếu
( )
( )
( )
P x
f x
Q x
=
, với bậc
( )
P x

≤
(bậc
( ) 2
Q x
+
)
thì
tích phân
( )
f x dx
+∞
−∞
∫
được tính theo phương pháp trên.

VD 7. Tính tích phân
4
1
dx
I
x
+∞
−∞
=
+
∫
.

VD 8. Tính tích phân
2 2

( 1)
dx
I
x
+∞
−∞
=
+
∫
.


Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v
i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
a) Bổ đề Jordan 2

Giả sử hàm
( )
f z
liên tục trong lân cận của điểm
∞
và
thỏa mãn
lim ( ) 0
z
f z
→∞
=
. Khi đó với mọi
0
α
>
, ta có:
( )
lim ( ) 0
i z
R
C R
f z e dz
α
→∞
=
∫
.

V
ới
( )
C R
là nửa trên của đường tròn
| |
z R
=
.
3.3.2
. Dạng suy rộng:

1 2
( )cos , ( )sin .
I f x x dx I f x x dx
α α
+∞ +∞
−∞ −∞
= =
∫ ∫



Chương
Chương
4. Chu
4. Chu
ỗ
ỗ
i v

i v
à
à
Th
Th
ặ
ặ
ng dư
ng dư
b) Ứng
dụng

Trong đó,
k
a
là các điểm bất thường nằm trong nửa m
ặt
phẳng trên.
•
Cân bằng phần thực và phần ảo, ta có
1
I
và
2
I
.
•
Giả sử
0
α

>
và hàm
( )
f z
thỏa bổ đề 2, ta có:
1 2
1
( ) 2 [ ( ) , ]
n
i x i z
k
k
I iI f x e dx i Res f z e a
α α
π
+∞
=
−∞
+ = =
∑
∫
.

VD
9.
Tính các tích phân sau:
1 2
2 2
cos sin
,

2 10 2 10
x x x x
I dx I dx
x x x x
+∞ +∞
−∞ −∞
= =
− + − +
∫ ∫
.
……………………………………………………


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

§1. Định nghĩa phép biến đổi Laplace.

§2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace.

§3. Phép biến đổi Laplace ngược.

§4. Các ứng dụng của phép biến đổi Laplace.
………………………………………………
§1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.1.
Định nghĩa hàm gốc
•
Hàm gốc là hàm phức đơn trị
( )
f t
với biến số thực
t
,
thỏa mãn 3 điều kiện:

1)
( )
f t
và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục từng
khúc (nghĩa là hàm liên tục trừ một số điểm gián
đoạn hữu hạn mà tại đó hàm có giới hạn trái và giới
hạn phải hữu hạn).


Chương

Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

2)
( ) 0
f t
=
khi
0
t
<
.

3)
0
0, 0
M

α
∃ > ∃ ≥
sao cho
0
.
0 : | ( ) |
t
t f t Me
α
∀ ≥ ≤
.


Khi đó,
0
α
được gọi là số mũ tăng của
( )
f t
.
•
Nhận xét
 Điều kiện 2) được đặt ra vì trong ứng dụng, biến số
t
thường là thời gian, hàm
( )
f t
biểu diễn một quá trình
nào đó mà ta chỉ cần khảo sát lúc
0

t
>
.
 Hàm gốc
( )
f t
khi
t
→ +∞
hoặc là hữu hạn hoặc tăng
ra
∞
, nhưng không nhanh hơn hàm mũ
0
.
t
e
α
.


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế

ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 1. Hàm bậc thang đơn vị (hàm Heaviside)
( )
u t
là
hàm số được định nghĩa bởi:

0, 0
( )
1, 0
t
u t
t


<

=


≥



.

Hàm Heaviside
( )
u t
(còn được
gọi
là hàm nấc đơn vị hay hàm

bước nhảy đơn vị) là hàm gốc.

VD 2. Hàm trễ
T
đơn vị thời gian:

0,
( )
1,
t T
u t T
t T


<

− = ⋅

 ≥



Hàm
( )
u t T
−
là hàm gốc.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 21


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 3. Hàm lọc đơn vị là hàm có dạng:

1 2
( ) ( ) ( )
h t u t t u t t
= − − −


1
1 2
2
0,
1, .
0,
t t
t t t
t t


<



= ≤ <



≥






Hàm lọc đơn vị là hàm gốc.

VD 4. Hàm xung là hàm gốc có dạng:
1
1 2
2
0,
( ) ( ),
0,
t t
f t t t t t
t t
ϕ


<



= ≤ <



≥




.


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace
Trong đó,

( )
t
ϕ
là hàm số sơ cấp. Hàm xung
có thể biểu
diễn qua hàm lọc đơn vị:
1 2
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ).
f t u t t u t t t h t t

ϕ ϕ
= − − − =


VD 5. Hàm
( ) ( 1,1) ( 3,2)
V t u t u t
= − − −
là mô hình
toán học của bài toán khảo sát mạch điện khi đóng
mạch tại thời điểm
1,1
t
=
giây (s)
và ngắt mạch tại
thời điểm
3,2
t s
=
.

Khi đó mạch điện sẽ có
hiệu điện thế 1 volt trong
khoảng:
3,2 1,1 2,1
s s s
− =
.



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 6.
Một nguồn điện 12 volt được đóng mạch tại thời
điểm
4
t s
=
. Biểu diễn hàm
( )
V t
theo hàm Heaviside ?

VD 7. Biểu diễn hàm xung sau theo hàm lọc đơn vị:
0, 0
2, 0 1
( )
3, 1 2
0, 2
t
t t
f t
t
t


<



+ ≤ <


=


≤ <



≥




.
•
Quy ước
 Để đơn giản, thay vì viết
( ). ( )
u t f t
, ta viết
( )
f t
.
 Giới hạn phải của
( )
f t
khi
0
t
+
→
được viết là
(0)
f
.



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph

é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace
a) Định nghĩa

•
Hàm ảnh của hàm gốc
( )
f t
là hàm phức
( )
F s
biến số
phức
s i
α β
= +
xác định bởi tích phân Laplace:
0

( ) ( ) .
st
F s e f t dt
+∞
−
=
∫


•
Phép biến đổi từ hàm gốc
( )
f t
sang hàm ảnh
( )
F s
xác
định bởi công thức trên
được gọi là phép biến đổi
Laplace. Ký hiệu là
( ) { ( )}.
F s L f t
=



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph

é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

b*) Định lý tồn tại ảnh
•
Định lý 1

Nếu
( )
f t
là hàm gốc với số mũ tăng
0
α
thì hàm ảnh
( )
F s
hội tụ trong nửa mặt phẳng
0
Re( )
s

α
>
và là hàm
giải tích trong miền đó.
•
Định lý 2

Nếu hàm
( )
F s
là hàm ảnh của hàm gốc
( )
f t
với số mũ
tăng
0
α
thì
Re( )
lim ( ) 0
s
F s
→∞
=
.


Chương
Chương
5. Ph

5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

1.3. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
a)
Hàm bậc thang đơn vị u(t)
Ta có:


0 0
( ) ( ) lim
b
st st
b
F s e u t dt e dt
+∞
− −
→+∞
= =

∫ ∫


1 1 1
lim
sb
b
e
s s s
−
→+∞
 


= − =





 
, với
Re( ) 0
s
>
.

Vậy:
1
{ ( )} (1) , Re( ) 0.

L u t L s
s
= = >

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 22


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

b) Hàm

f
(
t
)
= e
at
,

f
(
t
)
= e

–
a
t
(
a
là hằng số phức
)

Ta có:
( )
0 0
( ) lim
b
st at s a t
b
F s e e dt e dt

+∞
− − −
→+∞
= =
∫ ∫


1
s a
=
−
, với
Re( ) Re( )
s a
>
.

Vậy:
1
( ) , Re( ) Re( ).
at
L e s a
s a
= >
−



Thay
a

bởi
a
−
, ta được:
1
( ) , Re( ) Re( ).
at
L e s a
s a
−
= > −
+



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace

i Laplace

c) Hàm

f
(
t
)
= t


Ta có:
0 0
( ) lim
b
st st
b
F s e tdt e tdt
+∞
− −
→+∞
= =
∫ ∫


2 2
1
lim .
sb sb
b

be e
s
s s
− −
→+∞
 



= − +





 


Vậy:
2
1
( ) , Re( ) 0.
L t s
s
= >


Tổng quát:
1
!

( ) , , Re( ) 0.
n
n
n
L t n s
s
+
+
= ∈ >
ℤ



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace
d

) Hàm lượng giác f(t) = cosat, f(t) = sinat

Ta có:
0 0
1
( ) cos ( )
2
st st iat iat
F s e at dt e e e dt
+∞ +∞
− − −
= = +
∫ ∫



1 1 1
2
s ia s ia
 


= +





− +
 

, với
Re( ) 0
s
>
.
……………………………………………

Vậy:
2 2
(cos ) , Re( ) 0.
s
L at s
s a
= >
+

T
ương tự:
2 2
(sin ) , Re( ) 0.
a
L at s
s a
= >
+



Chương
Chương

5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace
§2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE


2.1. Tính chất tuyến tính

VD 1.
4 4
(3 2 ) (3 ) ( 2 )
L t t L t L t
− = + −



4
3. ( ) 2. ( )
L t L t

= −


3
5 2 5
4! 2 72 2
3.
s
s s s
−
= − =
.
 Định lý 1
Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
và
{ ( )} ( )
L g t G s
=
thì:

{ . ( ) . ( )} ( ) ( ).
L a f t b g t aF s bG s
+ = +


Trong đó,
a

và
b
là các hằng số phức.


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

2.2. Tính chất dời (dịch chuyển ảnh)

(biến đổi của hàm
( )
at
e f t
−
)

VD 2. Do
1
!
( ) ( )
n
n
n
L t F s
s
+
= =
nên:

1
!
( ) ( )
( )
n at
n
n
L t e F s a
s a
−
+
= + =
+
.
 Định lý 2
Nếu

{ ( )} ( )
L f t F s
=
, với
a
là hằng số phức, thì:

{ ( )} ( ).
at
L e f t F s a
−
= +


VD 3. Tìm biến đổi Laplace của các hàm:

a)
2
( ) cos 3
t
g t e t
−
=
; b)
3
( ) sin2
t
g t e t
=
.



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

2.3. Tính chất trễ (dời theo t)

(biến đổi của hàm
( ). ( )
u t T f t T
− −
)
 Định lý 3

Nếu
{ ( )} ( )

L f t F s
=
thì với mọi
0
T
>
, ta có:

{ ( ). ( )} ( ).
sT
L u t T f t T e F s
−
− − =

Trong đó
0,
( )
1,
t T
u t T
t T


<

− =


≥



.
 Nhận xét

1) Nếu hàm gốc
( )
f t
có đồ thị là
( )
C
thì đồ thị của hàm
( ). ( )
u t T f t T
− −
là
( )
C
′
được suy ra từ
( )
C
bằng
cách tịnh tiến theo trục hoành sang phải một đoạn
bằng
T
(trễ một khoảng thời gian
T
).
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 23


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

2) Công thức tịnh tiến gốc thường dùng để
tìm ảnh khi
hàm gốc cho bởi nhiều công thức trên những khoảng
khác nhau.
 Chú ý

1)
{ ( )}

sT
st
T
e
L u t T e dt
s
+∞
−
−
− = =
∫
.

2) Cần tránh nhầm lẫn giữa hàm
( ). ( )
u t T f t T
− −
và
( )
f t T
−
(hàm
( )
f t T
−
thực chất là
( ). ( )
u t f t T
−
).



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 4. Tìm biến đổi Laplace của các hàm:
a)
sin( 2), 2
( )
0, 2
t t
f t
t


− ≥


=


<


.
b)
2
( ) ( 3).
t
g t u t e
= −
.

VD 5. Tìm biến đổi Laplace của hàm:
0, 1
( ) 1, 1 3
0, 3
t
f t t
t


<



= ≤ <




≥



.


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 6. Tìm biến đổi Laplace của hàm:
0, 0
( ) 1, 0 1

3, 1
t
f t t t
t


<



= + ≤ <



≥



.

VD 7. Tìm biến đổi Laplace của hàm:
0, 0
, 0 1
( )
2 , 1 2
0, 2
t
t t
f t
t t

t


<



≤ <


=


− ≤ <



≥



.


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é

p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace
2.4. Tính chất đồng dạng (đổi thang đo)


VD 8. Cho biết
1
1
{ ( )} ( )
s
L f t e F s
s
−
= =
, ta có:


3
1 1 3
{ (3 )}
3 3 3
s

s e
L f t F
s
−
 


= =





 
.
Vậy
3
1
1 1
{ (3 )}
3 3 1
s
t
s e
L e f t F
s
−
+
−
 

+


= =





+
 
.
 Định lý 4

Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
thì:
1
{ ( )} . , Re( ) 0.
s
L f at F a
a a
 


= >






 



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

2.5. Biến đổi Laplace của đạo hàm f
(
n
)
(t)
 Định lý 5

Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
và hàm gốc
( )
f t
có đạo hàm đến
cấp
n
và các đạo hàm cũng là hàm gốc thì:
( ) 1 2
( 2) ( 1)
{ ( )} ( ) (0) (0)
(0) (0).
n n n n
n n
L f t s F s s f s f
sf f
− −
− −
′
= − −
− − −

Trong đó,
( ) ( )
0
(0) lim ( ), 0, 1, , 1

k k
t
f f t k n
+
→
= = −
.

Các trường hợp riêng:
2
3 2
{ ( )} ( ) (0),
{ ( )} ( ) (0) (0),
{ ( )} ( ) (0) (0) (0).
L f t sF s f
L f t s F s sf f
L f t s F s s f sf f
′
= −
′′ ′
= − −
′′′ ′ ′′
= − − −



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph

é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace
2.6. Biến đổi
Laplace của hàm t
n
f(t)
 Định lý 6

Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
thì:
( )
{ ( )} ( 1) ( ).
n n n
L t f t F s
= −

VD 9. Tìm biến đổi Laplace của hàm:
( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) 2
g t y t y t y t
′′ ′
= − + −
,
với điều kiện đầu
(0) 1, (0) 2
y y
′
= − =
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 24


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ

n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

b) Biết
1
( )
at
L e
s a
=
−
, ta suy ra:

1
1 !
( ) ( 1)
( )
n
n at n
n n
d n
L t e
s a
ds s a
+
 



= − =





−
−
 
.

VD 11. Tìm biến đổi Laplace của các hàm:
a)
( ) sin 3
g t t t
=
; b)
2
( ) cos 4
g t t t
=
.

VD 10. a) Biết
1
(1)L
s
=
, ta suy ra:

( )
1
1 !
( ) ( 1)
n
n n
n
n
L t
s
s
+
 


= − =





 
.


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é

é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 12. Tìm biến đổi Laplace của các hàm:
a)
0
( ) sin 2
t
g t x x dx
=
∫
; b)
2
0
( ) cos 2
t
g t x dx
=
∫
.

2.7. Biến đổi Laplace của tích phân
0
( )
t
f x dx
∫

 Định lý 7
Nếu
{ ( )} ( )
L f t F s
=
thì:
0
( )
( ) .
t
F s
L f x dx
s
 




=






 
∫



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

2.8. Biến đổi Laplace của hàm
( )
f t
t

 Định lý 8
Nếu

{ ( )} ( )
L f t F s
=
và
0
( )
lim
t
f t
t
+
→
∃
thì:
( )
( ) .
s
f t
L F u du
t
+∞
 


=






 
∫

 Hệ quả
Cho
0
s
→
, ta được:
0 0
( )
( ) .
f t
F u du dt
t
+∞ +∞
=
∫ ∫



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế

ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 13. Tìm biến đổi Laplace của:
a) hàm gốc
2
( )
t t
e e
g t
t
−
=
.
b) hàm tích phân sin:
0
sin
Si( )
t
x
t dx
x
=
∫
.

VD 14. Tính tích phân suy rộng
0
sin
x
I dx
x
+∞
=
∫
.


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

2.9. Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn

VD 15.
Tìm biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn với
chu kỳ
4
T
=
như sau:
2, 0 3
( )
0, 3 4
t
f t
t


< <

=


< <


.
 Định lý 9
Nếu
( )
f t

là hàm tuần hoàn với chu kỳ
0
T
>
thì:

0
1
{ ( )} ( ) .
1
T
st
sT
L f t e f t dt
e
−
−
=
−
∫



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi

p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 17.
Tìm biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn chu kỳ
2 0
T a
= >
được mô tả bằng đồ thị sau:

VD 16.
Tìm biến đổi Laplace của đường sin chỉnh lưu
bán sóng chu kỳ
2
T
π
=
sau:

sin , 0
( )
0, 2
t t

f t
t
π
π π


< <

=


< <


.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Saturday, October 23, 2010
Hàm phức & Phép biến đổi Laplace
Đại học 25


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi

ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace
§3.
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC


VD 1. Ta có:
3 1 3
4 4
3! 6
( )
L t L t
s s
−
 


= ⇒ =





 

.

Chú ý

• Phép biến đổi Laplace ngược có các tính chất tương tự
phép biến đổi Laplace.

3.1. Định nghĩa
•
Phép biến đổi Laplace ngược của hàm
( )
F s
là hàm
( )
f t
liên tục trên
[0; )
+∞
và thỏa
{ ( )} ( )
L f t F s
=
.

Ký hiệu là:
1
( ) { ( )}.
f t L F s
−
=



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

3.2. Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược
3.2.1.
Sử dụng các tính chất

VD 2. Cho
2
3 6
( )
2
9

s
F s
s
s
= −
+
+
. Ta có:
1 1 1
2
1
{ ( )} 3 6
2
9
s
L F s L L
s
s
− − −
   
 
 
= −
 
 
 
 
 
+
+

   
.
Vậy

1 2
( ) { ( )} 3 6 cos 3
t
f t L F s e t
− −
= = −
.
a) Tính chất tuyến tính

1 1 1
1 2 1 2
{ ( ) ( )} { ( )} { ( )}.
L aF s bF s aL F s bL F s
− − −
+ = +



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi

ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 3. Tìm biến đổi
1
4
2
( 1)
L
s
−
 
 
 
 
 
−
 
 
.
b) Tính chất dời
theo s
1 1
{ ( )} { ( )}.

at
L F s a e L F s
− − −
+ =


VD 4. Tìm biến đổi
1
2
3 6
4 13
s
L
s s
−
 
+







+ +
 
.
c) Tính chất dời theo
t
1

{ ( )} ( ). ( ).
sT
L e F s u t T f t T
− −
= − −


VD 5. Tìm bi
ế
n
đổ
i
1
2
4
s
e
L
s
π−
−
 









+
 
.


Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 6. Tìm bi
ế
n
đổ
i
1 2
1 3
2 1

s
L e
s s
− −
 
 
 
 


−

 




 
− +
 
 
 
.

VD 7. Tìm bi
ế
n
đổ
i
1

2 2
( 4)
s
L
s
−
 
 
 
 
 
+
 
 
.

VD 8. Tìm bi
ế
n
đổ
i
1
1
ln
1
s
L
s
−
 

+







−
 
.

d) Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm
1 ( ) 1
1 ( )
1
{ ( )} ( 1) { ( )},
{ ( )}
{ ( )} .
( 1)
n n n
n
n n
L F s t L F s
L F s
L F s
t
− −
−
−

= −
=
−



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i Laplace
i Laplace

VD 9. Tìm biến đổi
1
2 2
1
( 2 2)
s
L

s s
−
 
 
+
 
 
 
+ +
 
 
.
3.2.2.
Phân tích ảnh thành tổng

các phân thức tối giản

Phân thức tối giản loại I có dạng:
1
,
( )
n
s a
+
với
a
là số thực.
e
) Biến đổi Laplace ngược của tích phân
1 1

{ ( )} . ( ) .
s
L F s t L F x dx
+∞
− −
 
 
 
=
 
 
 
 
∫



Chương
Chương
5. Ph
5. Ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ

ổ
i Laplace
i Laplace

Phân th
ứ
c t
ố
i gi
ả
n lo
ạ
i II có d
ạ
ng:

2 2
[( ) ]
n
Ms N
s a k
+
+ +
v
ớ
i
, , ,
M N a k
là các s
ố

th
ự
c.

VD 10. Tìm bi
ế
n
đổ
i
1
2
2 5
2
s
L
s s
−
 
+







− −
 
.

VD 11. Tìm bi
ế
n
đổ
i
1
2
2 1
6 13
s
L
s s
−
 
−







− +
 
.

VD 12. Tìm bi
ế
n
đổ

i
1
2 2
1
( 9)
L
s s
−
 
 
 
 
 
+
 
 
.