giáo trình điện tử toán cao cấp A2 chương 3 3 2

3.2. ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP

3.2.1. Công thức đổi biến
Giả sử miền D’ của mặt phẳng Ouv được biến đổi vào miền D
của mặt phẳng Oxy nhờ công thức
( , )
( , )
x x u v
y y u v
=


=

thỏa mãn các điều kiện:
i) Các hàm
( , ), ( , )x x u v y y u v= =
liên tục và
có các đạo hàm riêng liên tục trên D’;
ii) Phép biến đổi xác định một song ánh từ D’ lên D;
iii) Định thức Jacobi
( , )
0
( , )
x x
D x y
u v
J
y y
D u v

u v
∂ ∂
∂ ∂
= = ≠
∂ ∂
∂ ∂
trên D’ (có thể trừ một số hữu hạn điểm)

[ ]
'
( , ) ( , ), ( , ) | |
D D
f x y dxdy f x u v y u v J dudv=
∫∫ ∫∫

Ví dụ: Tính
3 2
( ) ( )
D
I x y x y dxdy= + −
∫∫
Trong đó D được giới hạn bởi các đường
1,x y+ =
3,x y+ =
1,x y− = −
1x y− =
1
( )
2
1

( )
2
x u v
u x y
v x y
y u v

= +

= +


⇔
 
= −


= −



1 1
1
2 2
1 1
2
2 2
x x
u v
J

y y
u v
∂ ∂
∂ ∂
= = = −
∂ ∂
−
∂ ∂
3 1
3 2 4 3
1 1
'
1 1 1 1 20
.
2 2 4 3 3
D
I u v dudv u u
−
= = =
∫∫

3.2.2. Tích phân kép trong tọa độ cực
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=



=

os sin
( , )
sin cos
( , )
c r
D x y
J r
r
D r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
−
= = =
'
( , ) ( cos , sin )
D D
f x y dxdy f r r rdrd
ϕ ϕ ϕ
=
∫∫ ∫∫

2
1
( )
( )
( , ) ( cos , si n )

r
D r
f x y dxdy d f r r rdr
ϕ
β
α ϕ
ϕ ϕ ϕ
=
∫∫ ∫ ∫

( )
2
0 0
( , ) ( cos , sin )
r
D
f x y dxdy d f r r rdr
ϕ
π
ϕ ϕ ϕ
=
∫∫ ∫ ∫

Ví dụ: Tính
2 2
x y
D
I e dxdy
− −
=

∫∫
2 2
1x y+ ≤
, trong đó D là hình tròn
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

Đổi biến
{ }
' ( , ) | 0 2 , 0 1D r r
ϕ ϕ π
= ≤ ≤ ≤ ≤
2
2 1
0 0
r
I d e rdr
π
ϕ
−
=
∫ ∫

D’ tương ứng với D là:

Ví dụ: Tính
( )
D
I x y dxdy= −
∫∫
, trong đó D là miền giới hạn bởi
2 2
1, 0x y y+ ≤ ≥
' : 0 , 0 1D r
ϕ π
≤ ≤ ≤ ≤
1
0 0
( cos si n )I d r r rdr
π
ϕ ϕ ϕ
= −
∫ ∫

2 2
( )
D
I x y dxdy= +
∫∫
Ví dụ: Tính
, trong đó D là miền giới hạn bởi
2 2
( 2) 4x y− + ≤

cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

Đổi biến
Phương trình
2 2
( 2) 4x y− + =
trong hệ toạ độ cực:
4cosr
ϕ
=
, 0 4cos
2 2
r
π π
ϕ ϕ
− ≤ ≤ ≤ ≤
D’:

cos 2
sin
x r

y r
ϕ
ϕ
= +


=

Cách khác:
2 2
( 2) 4x y− + =
2 2
4X Y+ =
2X x
Y y
= −


=

cos
sin
X r
Y r
ϕ
ϕ
=


=


Đổi biến:
Định thức Jacobi:
| |J r=

2 2
1 4, 0, 0,x y x y y x≤ + ≤ ≥ ≥ ≤
Ví dụ: Tính
, trong đó D là miền giới hạn bởi
2
D
I x ydxdy=
∫∫

2 2
0, , 1y y x x y≥ ≤ + ≤
Ví dụ: Tính
, trong đó D là miền giới hạn bởi
2 2
ln(1 )
D
x y dxdy+ +
∫∫

2 2
2x y y+ ≤
Ví dụ: Tính
, trong đó D là miền
2 2
D

x y
dxdy
x y
+
+
∫∫

2 2
1,x y+ ≥
2 2
2 ,x y y+ ≤
0x ≥
Ví dụ: Tính
, trong đó D là miền
D
x
I dxdy
y
=
∫∫

trong đó D là miền giới hạn bởi ellipse
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
2 2
D

I x y dxdy=
∫∫
Ví dụ: Tính
cos
sin
x ar
y br
ϕ
ϕ
=


=

Đổi biến:
cos sin
sin cos
a ar
J abr
b br
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
= =