Phương trình khuếch tán không cổ điển

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————– * ———————
NGUYỄN DƯƠNG TOÀN
PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN
KHÔNG CỔ ĐIỂN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————– * ———————
NGUYỄN DƯƠNG TOÀN
PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN
KHÔNG CỔ ĐIỂN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Cung Thế Anh
HÀ NỘI - 2015
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Những kết
quả viết chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của đồng tác giả
khi đưa vào luận án. Những kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung
thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình khoa học nào.
Nghiên cứu sinh
Nguyễn Dương Toàn
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình,
chu đáo của PGS. TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và

biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu
tuy khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học,
Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt
là PGS.TS. Trần Đình Kế và các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Giải tích
đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại họ c Hải Phòng, Khoa Toán,
nơi tác giả công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành
nhiệm vụ học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị
NCS chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân của Khoa Toán - Tin,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các bạn bè lời cảm ơn chân thành về tất cả
những giúp đỡ, động viên mà tác giả đã nhận được trong suốt thời gian qua.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn ở
bên chia sẻ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án.
Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mục lục 3
Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . 6
MỞ ĐẦU 7
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . 9
3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . . 13
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 18
1.1. TẬP HÚT ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 26
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG
MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG
VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV 28
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3
4
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . 30
2.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1. Sự tồn tại của tập

H
1
(R
N
), L
2
(R
N
)

-hút đều . . . . . 40
2.3.2. Sự tồn tại của tập (H
1
(R
N
), L

2N
N−2
(R
N
))-hút đều . . . . 44
2.3.3. Sự tồn tại của tập (H
1
(R
N
), H
1
(R
N
))-hút đều . . . . . 45
2.4. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 0 48
2.5. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU KHI
NGOẠI LỰC DAO ĐỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.2. Tính bị chặn của tập hút đều . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5.3. Sự hội tụ của tập hút đều . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG
MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG
VÀ TIÊU HAO KIỂU ĐA THỨC 61
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU . . . . . . . . . 63
3.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1. Sự tồn tại của tập

H
1

(R
N
) ∩L
p
(R
N
), L
2
(R
N
)

-hút đều 70
3.3.2. Sự tồn tại của tập

H
1
(R
N
) ∩L
p
(R
N
), L
p
(R
N
)

-hút đều 74

3.3.3. Sự tồn tại của tập (H
1
(R
N
)∩L
p
(R
N
), H
1
(R
N
)∩L
p
(R
N
))-
hút đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 0 81
Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG
MIỀN KHÔNG TRỤ VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG
VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV 85
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM BIẾN PHÂN . . . . . 87
4.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP D-HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . 99
5
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2. ĐỀ XUẤT MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . . 104
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG

LUẬN ÁN 106
TÀI LIỆU THAM KHẢO 107
MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN
R tập hợp các số thực
R
N
không gian vectơ Euclide N-chiều
Ω
r
tập mở bị chặn trong R
N
với mỗi r ∈ R
(·, ·), ∥ ·∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian L
2
(R
N
)
H
r
kí hiệu của không gian L
2
(Ω
r
) có tích vô hướng (., .)
r
và
chuẩn |.|
r
, ứng với mỗi r ∈ R
V

r
kí hiệu của không gian H
1
0
(Ω
r
) có tích vô hướng ((., .)) và
chuẩn ∥.∥
r
, ứng với mỗi r ∈ R
H
∗
r
đối ngẫu của H
r
∥ ·∥
L
p
(R
N
)
chuẩn trong không gian L
p
(R
N
), với 1 ≤ p ≤ ∞
∥ ·∥
H
1
(R

N
)
chuẩn trong không gian H
1
(R
N
)
⟨·, ·⟩ đối ngẫu giữa X và X
′
Id ánh xạ đồng nhất
⇀ hội tụ yếu
Y
X
bao đóng của Y trong X
B(X) họ các tập con bị chặn của X
dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B
P
m
phép chiếu lên không gian con sinh bởi m vectơ riêng đầu
tiên của toán tử A
6
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu vào giữa thế kỷ
XVIII và được phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỷ XIX cho đến nay. Nó được
coi là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Rất nhiều phương trình đạo
hàm riêng là mô hình toán của các bài toán thực tế. Đặc biệt là lớp phương
trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến, lớp phương trình này xuất hiện trong
nhiều quá trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn quá trình truyền
nhiệt, quá trình khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các

mô hình quần thể trong sinh học . Vì vậy, nghiên cứu những lớp phương
trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ.
Vấn đề đầu tiên đặt ra khi nghiên cứu những lớp phương trình đạo hàm
riêng tiến hóa phi tuyến là xét tính đặt đúng của bài toán (bởi như V.P. Maslov
đã từng nhấn mạnh rằng, một phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa thực
tiễn thì chắc chắn sẽ có nghiệm, vấn đề là trong lớp nghiệm nào mà thôi), và
sau đó một vấn đề quan trọng đặt ra là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của
nghiệm khi thời gian ra vô cùng. Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái của các mô
hình thực tế. Do đó, khi biết dáng điệu nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thế
phát triển của hệ trong tương lai và từ đó đưa ra những đánh giá, điều chỉnh
thích hợp.
Một lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến quan trọng được
nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp phương trình khuếch tán
7
8
không cổ điển có dạng:
u
t
− ε∆u
t
− ∆u + f(u) = g, với ε ∈ (0, 1], (1)
ở đó f là hàm phi tuyến và g là hàm ngoại lực. Chú ý rằng khi ε = 0, phương
trình khuếch tán không cổ điển trở thành phương trình phản ứng-khuếch tán
cổ điển quen thuộc.
Lớp phương trình khuếch tán không cổ điển được giới thiệu trong [1] khi
E.C. Aifantis chỉ ra rằng phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển không mô
tả được hết các khía cạnh của bài toán phản ứng-khuếch tán. Nó bỏ qua tính
nhớt, sự đàn hồi, và áp suất của môi trường trong quá trình khuếch tán chất
rắn. Hơn nữa, E.C. Aifantis cũng chỉ ra rằng, năng lượng từ phương trình phát

ra trong quá trình khuếch tán chất rắn trong môi trường khác nhau sẽ có tính
chất khác nhau. Ví dụ, năng lượng phát ra từ phương trình khi môi trường
truyền dẫn có áp suất và có độ nhớt hay không có độ nhớt là khác nhau. Do
đó, ông đã xây dựng mô hình toán học qua một số ví dụ cụ thể, trong đó
có chứa tính dẻo, đàn hồi, với áp lực trung bình và đưa ra lớp phương trình
khuếch tán không cổ điển. Lớp phương trình này thường sử dụng để mô tả các
hiện tượng vật lí như dòng chảy không Newton, các hiện tượng trong cơ học
chất lỏng, cơ học chất rắn và sự tỏa nhiệt (xem [1, 22, 23, 29, 38, 39]). Gần
đây, E.C. Aifantis đã đưa thêm một mô hình mới về bài toán này, xin xem
trong [2].
Từ khi ra đời cho đến nay, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp
phương trình khuếch tán không cổ điển có dạng (1) đã được nghiên cứu trong
nhiều trường hợp khác nhau (xin xem chi tiết trong phần Tổng quan vấn đề
nghiên cứu dưới đây). Tuy nhiên, những kết quả trong trường hợp miền không
bị chặn hoặc miền không trụ, với ngoại lực phụ thuộc thời gian, vẫn còn ít do
tính phức tạp của vấn đề và những khó khăn lớn xuất hiện khi nghiên cứu.
Chúng tôi sẽ chọn vấn đề này làm đề tài luận án tiến sĩ của mình.
9
2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Như đã được đề cập đến trong mục trước, lớp phương trình khuếch tán
không cổ điển xuất hiện khi cần mô tả các quá trình khuếch tán trong môi
trường phức tạp. Chính bởi tầm quan trọng của chúng, lớp phương trình này
đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những
năm gần đây. Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, ta thường quan
tâm đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng vì khi biết
dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thế phát triển của
hệ trong tương lai và từ đó đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp.
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm
riêng tiến hóa phi tuyến, khi đó các hệ động lực tương ứng rất phức tạp vì nó
là vô hạn chiều, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút. Lí thuyết tập hút

toàn cục cổ điển ra đời vào khoảng những năm 80 của thế kỉ XX. Cho đến nay,
sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục đã được nghiên cứu cho nhiều lớp
phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến ôtônôm và một số lớp phương
trình vi phân hàm (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [15, 31, 37]). Tuy
nhiên, khi phương trình là không ôtônôm, chẳng hạn khi ngoại lực phụ thuộc
vào thời gian, quỹ đạo nghiệm không còn là bất biến dương đối với phép tịnh
tiến và do đó lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp. Để nghiên
cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của những hệ động lực không ôtônôm, người
ta thường sử dụng lí thuyết tập hút đều [14] hoặc lí thuyết tập hút lùi [8],
là những mở rộng của lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển; xin xem các cuốn
chuyên khảo [10, 15] và bài báo tổng quan [13] về những kết quả gần đây về hai
loại tập hút này. Thảo luận về các khái niệm tập hút của hệ động lực không
ôtônôm và mối quan hệ giữa chúng, xin xem [11].
Về mặt toán học, sự khác biệt bản chất giữa phương trình khuếch tán
không cổ điển và phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển (nhận được khi
cho ε = 0 trong (1)) chính là ở số hạng −ε∆u
t
. Số hạng này làm phương trình
10
khuếch tán không cổ điển mất đi hiệu ứng trơn (smoothing effect) của lớp
phương trình parabolic, tức là nếu điều kiện ban đầu thuộc vào không gian
hàm nào thì nghiệm của phương trình tối đa cũng chỉ thuộc vào không gian
đó. Chính bởi tính chất giống như tính chất của phương trình hyperbolic này,
đã tạo nên những khó khăn và khác biệt cơ bản khi nghiên cứu sự tồn tại và
dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển so với
khi nghiên cứu phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển.
Từ khi ra đời cho đến nay, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp
phương trình khuếch tán không cổ điển có dạng (1) đã được nghiên cứu trong
nhiều trường hợp khác nhau. Dưới đây chúng tôi xin điểm qua những kết quả
chính đã đạt được:

• Phần lớn các kết quả đã biết đối với phương trình khuếch tán không cổ
điển là trong trường hợp hàm ngoại lực không phụ thuộc vào thời gian
(trường hợp ôtônôm) và miền xét phương trình là bị chặn; xin xem các
công trình của Y. Xiao [49], S. Wang, D. Li và C. Zhong [42], C. Sun,
S. Wang và C. Zhong [34], C. Sun và M. Yang [35], H. Wu và Z. Zhang
[48], Y.J. Zhang và Q.Z. Ma [51]. Các kết quả đạt được là sự tồn tại của
tập hút toàn cục và tập hút mũ dưới những điều kiện khác nhau của số
hạng phi tuyến.
• Trong trường hợp ngoại lực g phụ thuộc vào thời gian t (trường hợp
không ôtônôm) và miền xét phương trình là bị chặn, sự tồn tại nghiệm
và sự tồn tại tập hút lùi đã được nghiên cứu gần đây bởi C.T. Anh và
T.Q. Bao [3], Y. Wang [41]. Khi hằng số ε trong (1) được thay bằng một
hàm γ(t) phụ thuộc thời gian t, sự tồn tại tập hút phụ thuộc thời gian,
một khái niệm mới đề xuất bởi M. Conti, V. Pata và R. Temam trong
[18], đã được nghiên cứu rất gần đây bởi F. Rivero [30], F. Zhang và Y.
Liu [26].
11
• Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn, chẳng
hạn trong cả không gian R
N
, cũng bắt đầu được nghiên cứu trong một
vài công trình gần đây. Trong trường hợp ngoại lực không phụ thuộc
thời gian, sự tồn tại tập hút toàn cục được chứng minh bởi Q. Ma, Y.
Liu và F. Zhang trong [28]. Trong trường hợp ngoại lực phụ thuộc thời
gian, sự tồn tại tập hút lùi của lớp phương trình này được nghiên cứu
bởi C.T. Anh và T.Q. Bao [4], và sau đó bởi F. Zhang và Y. Liu [52],
dưới những điều kiện khác nhau của số hạng phi tuyến. Trong trường
hợp miền không bị chặn, một khó khăn mới xuất hiện khi nghiên cứu
phương trình là các định lí nhúng Sobolev không còn compact; điều này
dẫn đến các kĩ thuật thường dùng trong miền bị chặn không còn áp dụng

trực tiếp được nữa.
• Trong trường hợp miền xét phương trình là miền không trụ, theo hiểu
biết của chúng tôi, đối với phương trình khuếch tán không cổ điển mới
chỉ có một kết quả của C.T. Anh và N.D. Toan [5]. Ở đó đã chứng minh
sự tồn tại duy nhất nghiệm biến phân, sự tồn tại và tính nửa liên tục
trên của tập hút lùi khi số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng
trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, và ngoại lực có thể phụ thuộc vào thời
gian. Kết quả này phát triển các kết quả trước đó của P.E. Kloeden, P.
Marin-Rubio và J. Real [20], P.E. Kloeden, J. Real và C. Sun [21] đối với
phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển trong miền không trụ. Khi
xét phương trình khuếch tán không cổ điển trên miền không trụ, ngoài
khó khăn cơ bản do sự xuất hiện của số hạng −∆u
t
như đã nêu ở trên, ta
còn gặp khó khăn khác là không sử dụng được trực tiếp những phương
pháp nghiên cứu trong miền hình trụ.
Chúng ta biết rằng khi ngoại lực của phương trình phụ thuộc thời gian,
tương ứng u
τ
→ u(t), biến giá trị ban đầu u
τ
tại thời điểm τ thành giá trị u(t)
của nghiệm bài toán tại thời điểm t ≥ τ , sẽ sinh ra một quá trình hai tham số
12
U(t, τ) bằng cách đặt U(t, τ )u
τ
:= u(t). Khi đó cả thời điểm ban đầu τ và thời
điểm cuối t đều quan trọng, và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi
này được hiểu là nghiên cứu dáng điệu của nghiệm u(·) khi hiệu t −τ → +∞.
Do vậy xuất hiện hai vấn đề độc lập nhau:

• Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm cuối t → +∞: nghiên
cứu động lực học tiến (forward dynamics). Để nghiên cứu vấn đề này, ta
thường sử dụng lí thuyết tập hút đều.
• Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm ban đầu τ → −∞:
nghiên cứu động lực học lùi (pullback dynamics). Để nghiên cứu vấn đề
này, ta thường sử dụng lí thuyết tập hút lùi.
Đối với một quá trình tổng quát, hai giới hạn tiến và lùi này nói chung là
không liên quan với nhau và có thể sinh ra những tính chất định tính hoàn toàn
khác nhau. Tuy nhiên, nếu quá trình là ôtônôm, tức là U(t, τ) = S(t−τ), ở đó
S(t) là một nửa nhóm, thì dáng điệu của nghiệm khi t → +∞ hay τ → −∞
là như nhau, và để nghiên cứu vấn đề này ta có thể sử dụng lí thuyết tập hút
toàn cục cổ điển. Về quan hệ giữa các khái niệm tập hút lùi, tập hút đều và
tập hút toàn cục, xin xem cuốn chuyên khảo gần đây của A.N. Carvalho, J.A.
Langa và J.C. Robinson [8].
Từ những phân tích ở trên, chúng ta thấy rằng đối với lớp phương trình
khuếch tán không cổ điển, mặc dù đã có một số kết quả nghiên cứu về sự tồn
tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm, tuy nhiên vẫn còn nhiều vấn đề mở. Đặc
biệt khi ngoại lực phụ thuộc thời gian, tức là hệ động lực tương ứng là không
ôtônôm, vấn đề nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm cuối dần tới
+∞ (nghiên cứu động lực học tiến) vẫn gần như hoàn toàn mở; mới chỉ có
kết quả trong [35] khi miền xét phương trình là bị chặn, số hạng phi tuyến
tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev; các kết quả khác gần đây trong trường
hợp không ôtônôm đều nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm ban
đầu dần tới −∞ bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút lùi (xem [3, 4, 41, 52]).
13
Những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này (xin
xem phần Kết luận về những vấn đề mở khác) bao gồm:
• Nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua
sự tồn tại tập hút đều) của bài toán với phương trình khuếch tán không
cổ điển trên miền không bị chặn R

N
, ngoại lực g có thể phụ thuộc vào
biến thời gian t, hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu
hao kiểu Sobolev hoặc kiểu đa thức với bậc tùy ý. So sánh dáng điệu
tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển và phương
trình phản ứng-khuếch tán cổ điển.
• Nghiên cứu tính bị chặn và tính nửa liên tục trên của tập hút đều của
phương trình khuếch tán không cổ điển với ngoại lực dao động kì dị.
• Nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua
sự tồn tại tập hút lùi) của phương trình khuếch tán không cổ điển trên
miền không trụ khi ngoại lực g có thể phụ thuộc vào biến thời gian t,
hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.
Chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của luận
án tiến sĩ: "Phương trình khuếch tán không cổ điển".
3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
• Mục đích nghiên cứu của luận án nhằm góp phần hoàn thiện việc nghiên
cứu tính đặt đúng cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương
trình khuếch tán không cổ điển; so sánh dáng điệu tiệm cận nghiệm
của phương trình khuếch tán không cổ điển với phương trình phản ứng-
khuếch tán cổ điển. Các kết quả của luận án nhằm giải quyết một số vấn
đề mở liên quan đến phương trình khuếch tán không cổ điển mà nhiều
nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm.
14
• Đối tượng nghiên cứu của luận án là sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận
nghiệm của lớp phương trình khuếch tán không cổ điển dưới những điều
kiện khác nhau của số hạng phi tuyến và miền xét phương trình.
• Phạm vi nghiên cứu của Luận án:
◦ Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận của
nghiệm yếu (thông qua sự tồn tại của tập hút đều và tính nửa liên
tục trên của tập hút đều tại ε = 0) của phương trình khuếch tán

không cổ điển trong miền không bị chặn R
N
, ngoại lực phụ thuộc
thời gian và hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu
hao kiểu Sobolev hoặc kiểu đa thức.
◦ Nghiên cứu tính bị chặn đều và tính nửa liên tục trên của tập hút
đều của phương trình khuếch tán không cổ điển với ngoại lực dao
động kì dị:





u
t
− ∆u
t
− ∆u + f(x, u) + λu = g
0
(x, t) + ε
−γ
g
1
(x, t/ε), t > τ,
u|
t=τ
= u
τ
, x ∈ R
N

.
◦ Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận của
nghiệm biến phân (thông qua sự tồn tại của tập hút lùi) của phương
trình khuếch tán không cổ điển trong trường hợp không ôtônôm,
trong miền không trụ và hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng
trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các
phương pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp
xỉ Galerkin và phương pháp compact, bổ đề compact, các bổ đề xử lí số
hạng phi tuyến [25]; phương pháp nghiên cứu phương trình trong miền
không trụ, nói riêng là phương pháp penalty [7, 20, 25].
15
• Để nghiên cứu sự tồn tại tập hút, chúng tôi sử dụng các phương pháp của
lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều (phương pháp đánh giá tiên nghiệm
tiệm cận, phương pháp đánh giá phần đuôi của nghiệm) [8, 10, 15, 37, 40].
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Chứng minh được sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) trong
trường hợp miền không bị chặn R
N
, hàm phi tuyến f thỏa mãn điều kiện
tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev, hoặc kiểu đa thức.
Chứng minh được sự tồn tại tập hút đều và tính nửa liên tục trên của
tập hút đều tại ε = 0 ứng với hai trường hợp này của hàm phi tuyến.
Chứng minh được tính bị chặn đều và tính nửa liên tục trên của tập hút
đều của phương trình khuếch tán không cổ điển với ngoại lực dao động
kì dị.
Đây là nội dung của Chương 2 và Chương 3.
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm biến phân cũng như sự

tồn tại của tập hút lùi đối với bài toán (1) trong trường hợp miền không
trụ, ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, hàm phi tuyến thỏa mãn điều
kiện về độ tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Đây là nội dung của
Chương 4.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần vào việc
hoàn thiện việc nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp
phương trình khuếch tán không cổ điển; giải quyết một số vấn đề mở mà nhiều
nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm. Phương pháp nghiên cứu của
luận án có thể sử dụng để nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của
nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến khác
có dạng tương tự trong vật lí, cơ học, hóa học và sinh học.
16
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 04 bài báo trên các
tạp chí khoa học chuyên ngành quốc tế và đã được báo cáo tại:
• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội;
• Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;
• Xêmina của Khoa Toán, Trường Đại học Hải Phòng;
• Hội thảo khoa học cán bộ trẻ Viện Toán học Việt Nam - Trường Đại học
Hải Phòng, Hải Phòng, 2013;
• Đại hội toán học Việt Nam lần thứ VIII, Nha Trang, 2013.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và
danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:
• Chương 1. Một số kiến thức cơ sở. Chương này trình bày các khái niệm
và một số kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong Luận án.
• Chương 2. Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị
chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Chương
này chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm yếu; sự tồn tại của tập

hút đều, tính nửa liên tục trên của tập hút đều tại ε = 0 đối với phương
trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn R
N
, ứng với
số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Tính nửa liên
tục trên của tập hút đều của phương trình khuếch tán không cổ điển khi
ngoại lực dao động kì dị được trình bày ở cuối chương.
• Chương 3. Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị
chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức. Chương
17
này chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm yếu; sự tồn tại của tập
hút đều cũng như tính nửa liên tục trên của tập hút đều đối với phương
trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn R
N
, ứng với
số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức.
• Chương 4. Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không trụ
với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Chương này
chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm biến phân; sự tồn tại của
tập hút lùi đối với phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền
không trụ ứng với trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng
trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các kết quả tổng quát về sự tồn tại
tập hút đều và tập hút lùi sẽ được sử dụng trong luận án. Chúng tôi cũng nhắc
lại các không gian hàm, các bất đẳng thức, cũng như một số kết quả bổ trợ
(các bổ đề compact, định lí hội tụ bị chặn Lebesgue và dạng yếu của nó) cần
dùng để nghiên cứu phương trình khuếch tán không cổ điển trong các chương
sau.

1.1. TẬP HÚT ĐỀU
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút đều sẽ được
sử dụng trong luận án.
Cho Σ là một tập tham số, X, Y là hai không gian Banach. Họ {U
σ
(t, τ), t ≥
τ, τ ∈ R}, σ ∈ Σ, được gọi là một họ các quá trình từ X vào Y nếu với mỗi
σ ∈ Σ, {U
σ
(t, τ)} là một quá trình, tức là họ các ánh xạ phụ thuộc hai tham
số {U
σ
(t, τ)} từ X vào Y thỏa mãn
U
σ
(t, s)U
σ
(s, τ) = U
σ
(t, τ), ∀t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R,
U
σ
(τ, τ) = Id, ∀τ ∈ R, ở đó Id là toán tử đồng nhất.
Ở đây Σ gọi là không gian biểu trưng, σ ∈ Σ gọi là tham số.
Kí hiệu B(X) là họ tất cả các tập con bị chặn của X.
Định nghĩa 1.1. Một tập B
0
∈ B(Y ) được gọi là một tập (X, Y )-hấp thụ
đều (đối với σ ∈ Σ) của họ quá trình {U
σ

(t, τ)}
σ∈Σ
, nếu với bất kì τ ∈ R và
B ∈ B (X), tồn tại T
0
≥ τ sao cho

σ∈Σ
U
σ
(t, τ)B ⊂ B
0
với mọi t ≥ T
0
.
18
19
Định nghĩa 1.2. Họ quá trình {U
σ
(t, τ)}
σ∈Σ
được gọi là (X, Y )-compact
tiệm cận đều (đối với σ ∈ Σ) nếu với bất kì τ ∈ R, bất kì B ∈ B(X),
ta có {U
σ
n
(t
n
, τ)x
n

} compact tương đối trong Y , với {x
n
} ⊂ B, {t
n
} ⊂
[τ, +∞), t
n
→ +∞ và {σ
n
} ⊂ Σ là tùy ý.
Định nghĩa 1.3. Một tập con A
Σ
⊂ Y được gọi là một tập (X, Y )-hút đều
đối với họ quá trình {U
σ
(t, τ)}
σ∈Σ
nếu
(1) A
Σ
là compact trong Y ;
(2) với bất kì τ ∈ R và B ∈ B(X) ta có
lim
t→∞
(sup
σ∈Σ
(dist
Y
(U
σ

(t, τ)B, A
Σ
)) = 0,
với dist
E
(·, ·) là kí hiệu của nửa khoảng cách Hausdorff trong không gian
Banach E,
dist
E
(A, B) = sup
x∈A
inf
y∈B
∥x − y∥
E
;
(3) nếu A
′
Σ
là tập con đóng của Y thỏa mãn (2), khi đó A
Σ
⊂ A
′
Σ
.
Định nghĩa 1.4. Nhân K của quá trình {U (t, τ )} tác động lên X gồm tất cả
các quỹ đạo đủ bị chặn của quá trình đó:
K = {u(·)|U(t, τ)u(τ) = u(t), dist(u(t), u(0)) ≤ C
u
, ∀t ≥ τ, τ ∈ R}.

Tập K(s) = {u(s)|u(·) ∈ K} được gọi là phần nhân tại thời điểm t = s với
s ∈ R.
Chúng ta sẽ sử dụng kết quả sau để chứng minh sự tồn tại và xác định cấu
trúc của tập hút đều.
Định lí 1.1. [12] Giả sử họ quá trình {U
σ
(t, τ)}
σ∈Σ
thỏa mãn những điều kiện
sau:
(1) Σ là compact yếu và {U
σ
(t, τ)}
σ∈Σ
là (X ×Σ, Y )-liên tục yếu, tức là, với
bất kì t ≥ τ cố định, ánh xạ (u, σ) → U
σ
(t, τ)u là liên tục yếu trong Y .
Hơn nữa, nửa nhóm liên tục yếu {T (h)}
h≥0
tác động lên Σ thỏa mãn
T (h)Σ = Σ, U
σ
(t + h, τ + h) = U
T (h)σ
(t, τ), ∀σ ∈ Σ, t ≥ τ, h ≥ 0;
20
(2) {U
σ
(t, τ)}

σ∈Σ
có một tập (X, Y )-hấp thụ đều (đối với σ ∈ Σ) B
0
;
(3) {U
σ
(t, τ)}
σ∈Σ
là (X, Y )-compact tiệm cận đều (đối với σ ∈ Σ).
Khi đó, họ quá trình {U
σ
(t, τ)}
σ∈Σ
có một tập (X, Y )-hút đều A
Σ
, và
A
Σ
=

σ∈Σ
K
σ
(s), ∀s ∈ R,
với K
σ
(s) là phần nhân tại thời điểm s của quá trình U
σ
(t, τ).
Định nghĩa 1.5. Cho E là một không gian Banach phản xạ. Một hàm φ ∈

L
2
loc
(R; E) được gọi là bị chặn tịnh tiến nếu
∥φ∥
2
b
= ∥φ∥
2
L
2
b
(R;E)
= sup
t∈R

t+1
t
∥φ∥
2
E
ds < ∞.
Với g ∈ L
2
b

R; L
2
(R
N

)

, ta kí hiệu H
w
(g) là bao đóng của tập {g(·+h)|h ∈
R} trong không gian L
2
b
(R; L
2
(R
N
)) với tôpô yếu. Ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.1. [15, Chương 5, Hệ quả 4.2] Ta có:
(1) Với mọi σ ∈ H
w
(g), ∥σ∥
2
b
≤ ∥g∥
2
b
;
(2) Nhóm tịnh tiến {T (h)} là liên tục yếu trên H
w
(g);
(3) T (h)H
w
(g) = H
w

(g) với h ≥ 0;
(4) H
w
(g) là compact yếu.
1.2. TẬP HÚT LÙI
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả liên quan
đến lí thuyết tập D-hút lùi được sử dụng trong [20]; nó là một sửa đổi nhỏ của
lí thuyết tập hút lùi trong [8].
Một quá trình U(·, ·) trên một họ các không gian metric {(X
t
, d
t
) : t ∈ R}
là một họ {U(t, τ); −∞ < τ ≤ t < +∞} các ánh xạ U(t, τ) : X
τ
→ X
t
có tính
chất U (t, τ )x = x với mọi x ∈ X
τ
và
U(t, τ) = U(t, r)U(r, τ) ∀τ ≤ r ≤ t.
21
Giả sử D là một lớp khác rỗng các tập được tham số hóa
ˆ
D = {D(t) :
D(t) ⊂ X
t
, D(t) ̸= ∅, t ∈ R}.
Định nghĩa 1.6. [20] Quá trình U(·, ·) được gọi là D-compact tiệm cận lùi

nếu dãy {U(t, τ
n
)x
n
} là compact tương đối trong không gian X
t
với bất kì
t ∈ R, bất kì dãy {τ
n
} và {x
n
} với τ
n
→ −∞ và x
n
∈ D(τ
n
).
Định nghĩa 1.7. [20] Họ
ˆ
B ∈ D được gọi là D-hấp thụ lùi đối với quá trình
U(·, ·) nếu với bất kì t ∈ R và bất kì
ˆ
D ⊂ D, tồn tại τ
0
(t,
ˆ
D) ≤ t sao cho
U(t, τ)D(τ) ⊂ B(t), với mọi τ ≤ τ
0

(t,
ˆ
D).
Nhận xét 1.1. Nếu
ˆ
B ∈ D là tập D-hấp thụ lùi đối với quá trình U(·, ·) và
B(t) là một tập con compact của X
t
với bất kì t ∈ R, khi đó, quá trình U (·, ·)
là D-compact tiệm cận lùi.
Với mỗi t ∈ R, giả sử dist
t
(D
1
, D
2
) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa các
tập con khác rỗng D
1
và D
1
của X
t
, được định nghĩa như sau
dist
t
(D
1
, D
2

) = sup
x∈D
1
inf
y∈D
2
d
X
t
(x, y) với D
1
, D
2
⊂ X
t
.
Định nghĩa 1.8. [20] Một họ
ˆ
A = {A(t) : ∅ ̸= A(t) ⊂ X
t
, t ∈ R} được gọi là
D-hút lùi đối với quá trình U(·, ·) nếu
(1) A(t) là tập compact của X
t
với mọi t ∈ R;
(2)
ˆ
A có tính chất D-hút lùi, tức là,
lim
τ→−∞

dist
t
(U(t, τ)D(τ), A(t)) = 0, ∀
ˆ
D ∈ D, ∀t ∈ R;
(3)
ˆ
A là bất biến, tức là,
U(t, τ)A(τ) = A(t) với −∞ < τ ≤ t < +∞.
Định lí 1.2. [20] Giả sử quá trình U(·, ·) là D-compact tiệm cận lùi và
ˆ
B ∈ D
là một tập D-hấp thụ lùi. Khi đó, họ các tập
ˆ
A = {A(t) : t ∈ R} được định
nghĩa bởi A(t) := Λ(
ˆ
B, t), t ∈ R, với mỗi
ˆ
D ∈ D và t ∈ R,
Λ(
ˆ
D, t) :=

s≤t

τ≤s
U(t, τ)D(τ)
X
t

(bao đóng trong X
t
),
22
là tập D-hút lùi đối với U(·, ·), thỏa mãn
A(t) =

ˆ
D∈D
Λ(
ˆ
D, t)
X
t
.
Hơn nữa,
ˆ
A là tập nhỏ nhất theo nghĩa, nếu
ˆ
C = {C(t) : t ∈ R} là một họ các
tập khác rỗng với C(t) là tập con đóng trong X
t
và
lim
τ→−∞
dist
t
(U(t, τ)B(τ ), C(t)) = 0, với bất kì t ∈ R,
thì A(t) ⊂ C(t), ∀t ∈ R.
1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG

1.3.1. Các không gian hàm
Trong luận án, chúng tôi sử dụng một số không gian hàm sau:
Giả sử Ω là miền tùy ý trong R
N
.
Không gian L
p
• L
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả
tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn
∥u∥
L
p
(Ω)
:=


Ω
|u(x)|
p
dx

1/p
.
Chú ý rằng:
◦ Không gian L
p
(Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < ∞.
◦ Trong trường hợp p = 2, không gian L

2
(Ω) là không gian Hilbert
với tích vô hướng
⟨u, v⟩ := (u, v)
L
2
(Ω)
=

Ω
u(x)v(x)dx.
• L
∞
(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn
hầu khắp trên Ω với chuẩn
∥u∥
L
∞
(Ω)
:= ess sup
x∈Ω
|u|.
23
Không gian H
1
• H
1
(Ω) là không gian bao gồm các hàm u ∈ L
2
(Ω) sao cho tồn tại các

đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L
2
(Ω).
• H
1
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
((u, v))
H
1
(Ω)
=

Ω
(uv + ∇u ·∇v)dx.
• H
1
0
(Ω) là bao đóng của không gian C
∞
0
(Ω) với chuẩn trong không gian
H
1
(Ω). Chuẩn trong H
1
0
(Ω) cho bởi
∥u∥ =



Ω
|∇u|
2
dx

1
2
.
Không gian hàm phụ thuộc thời gian
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || · ||.
Định nghĩa 1.9. Không gian L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞, gồm tất cả các hàm
đo được φ : [0, T ] → X với chuẩn
i)∥φ∥
L
p
(0,T ;X)
:=


T
0
∥φ(s)∥
p
ds

1/p
< +∞ với 1 ≤ p < ∞,
ii)∥φ∥

L
∞
(0,T ;X)
:= ess sup
0≤t≤T
||φ(t)|| < +∞.
Khi đó L
p
(0, T ; X) là một không gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p <
+∞. Không gian liên hợp của L
p
(0, T ; X) là L
q
(0, T ; X
′
) với 1/p + 1/q = 1.
Định nghĩa 1.10. Không gian C([0, T ]; X) gồm tất cả các hàm liên tục
φ : [0, T ] → X với chuẩn
∥φ∥
C([0,T ];X)
:= max
0≤t≤T
||φ(t)|| < ∞.
Khi đó C([0, T ]; X) là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.11. L
2
loc
(R; X) là không gian các hàm φ(s), s ∈ R với giá trị
trong X, mà bình phương khả tích (theo nghĩa Bochner), tức là,


t
2
t
1
∥φ(s)∥
2
ds < +∞, với mọi khoảng compact [t
1
, t
2
] ⊂ R.