trái phiếu Gs Vương Quân Hoàng

TRÁI PHIẾU
Vương Quân Hoàng
với đóng góp:
Trần Trí Dũng - Lương Minh Hà
DHVP RESEARCH | WWW.VIETNAMICA.NET
Ngày 1 tháng 7 năm 2011
ii
c
 DHVP Research | Vietnamica.net
Mục lục
Mục lục iii
Giới thiệu 1
1 Giá trị trong quan hệ arbitrage 2
2 Ý niệm lợi suất 4
3 Duration 6
4 Immunization 8
5 Tính lồi 10
6 Yield curve và SRC 15
7 Miễn nhiễm sốc và SRC 25
8 LS tức thời và kỳ hạn liên tục 32
9 Phân phối loga chuẩn và CLT 36
Phụ lục tra cứu 42
iii
iv
c
 DHVP Research | Vietnamica.net
Giới thiệu
Hiện nay, các vấn đề điều hành kinh tế vĩ mô đang đứng trước nhiều bài
toán nan giải, đặc biệt sau khi nền kinh tế Việt Nam đối mặt trở lại với
lạm phát tăng cao kể từ 2007.
Tài liệu này do đội ngũ DHVP Research biên soạn cho công việc

nghiên cứu ứng dụng và đóng góp chính sách liên quan tới một công cụ
nợ quan trọng trên thị trường vốn trung và dài hạn: Trái phiếu.
Đây là tài liệu sử dụng nội bộ DHVP Research, do đó không có tham
vọng chia sẻ rộng rãi, cho tới khi chúng tôi thực sự đem lại cho các vấn
đề ứng dụng ở Việt Nam một độ tin cậy đủ tốt. Tài liệu này phục vụ việc
xây dựng các nghiên cứu và báo cáo trong tương lai của DHVP và các
đối tác, sự đóng góp và hỗ trợ của Trần Trí Dũng (DHVP Research) và
Lương Minh Hà (Học Viện Ngân Hàng - Hà Nội).
DHVP Research | www.vietnamica.net
Vương Quân Hoàng
1
Chương 1
Giá trị trong quan hệ
arbitrage
Tóm lược một số ý niệm quan trọng:
1. Giá trị của trái phiếu là tổng dòng tiền (lợi ích tài chính trong
tương lai) đã chiết khấu.
2. Một trái phiếu có giá trị cao hơn giá trị danh nghĩa nếu lợi suất
coupon cao hơn lãi suất, và ngược lại.
3. Giá trị của một trái phiếu có năng lực thanh toán (không phá sản)
luôn giảm khi lãi suất thị trường tăng, và ngược lại.
4. Tác nhân cơ bản nhất gây thay đổi giá trái phiếu là chuyển động
của lãi suất. Một tác nhân quan trọng khác là thực tế kỳ hạn rút
ngắn đi khi thời gian trôi qua.
Những biểu thức hữu ích: Ta ký hiệu B là giá trị trái phiếu hiện
tại; T thời điểm đáo hạn; B
T
giá trị danh nghĩa, tức là giá trị sẽ trả lại
vào thời điểm đáo hạn (gọi là par hay face value); c là coupon; i
t

lãi suất
tức thời tương ứng với kỳ hạn t; i lãi suất chung thích ứng với mọi kỳ
hạn; c
t
dòng tiền (lợi ích thu từ trái phiếu) tại thời điểm t.
B(i
t
) =
T

t=1
c
t
(1 + i
t
)
−t
, (1.1)
2
Vương Quân Hoàng - T/L Trái Phiếu 3
với t + 1, . . . , T, i
t
tạo nên khái niệm cấu trúc kỳ hạn của các mức lãi suất
(term structure of interest rates).
B(i)/B(T ) =
c/B
T
i

1 −

1
(1 + i)
T

+
1
(1 + i)
T
, (1.2)
nếu như i
t
không đổi với mọi kỳ hạn t, tức là cấu trúc kỳ hạn phẳng (flat
rate structure).
Trong cấu trúc thời gian rời rạc, thì:
∆B
B(i)
= i −
c
B(i)
. (1.3)
Trong cấu trúc thời gian liên tục, thì:
i(t) =
c(t)
B(t)
+
1
B(t)
dB(t)
dt
, (1.4)

do đó suy ra rằng:
1
B(t)
dB(t)
dt
= i(t) −
c(t)
B(t)
. (1.5)
Chương 2
Ý niệm lợi suất
Tóm lược một số ý niệm quan trọng:
1. Lợi suất tới đáo hạn (yield to maturity; viết tắt thông dụng YTM)
là lãi suất khiến cho giá của trái phiếu bằng tổng các dòng tiền
chiết khấu qua một mức lãi suất duy nhất.
2. Lợi suất thời kỳ (horizon rate of return) là lãi suất giúp biến đổi
chi phí đầu tư hiện tại thành giá trị tương lai.
Những biểu thức hữu ích: i
∗
là YTM thỏa mãn:
B
0
=
T

t=1
c
t
(1 + i
∗

)
t
, (2.1)
trong đó B
0
là giá trị trái phiếu hiện tại và c
t
là các dòng tiền (lợi ích tài
chính) thu được từ việc sở hữu trái phiếu (trường hợp này là tính trên
từng năm).
Thực ra, biểu thức đầy đủ (nhưng dài dòng hơn) là:
B
0
=
c
(1 + i
∗
)
+
c
(1 + i
∗
)
2
+ ··· +
c + B
T
(1 + i
∗
)

T
(2.2)
Nếu ta gọi F
H
là giá trị tương lai của khoản đầu tư, r
H
là lợi suất thời
kỳ thỏa mãn biểu thức
B
0
(1 + r
H
)
H
= F
H
, (2.3)
4
Vương Quân Hoàng - T/L Trái Phiếu 5
như vậy suy ra rằng:
r
H
=

F
H
B
0

1/H

− 1. (2.4)
Chương 3
Duration
Tóm lược một số ý niệm quan trọng:
1. Duration của trái phiếu là đại lượng bình quân gia quyền của các
khoảng thời gian còn lại tới khi thanh toán của tất cả các dòng tiền
sinh ra từ trái phiếu đó. Trọng số là tỷ trọng của từng lượng lợi ích
tài chính trong giá trị hiện tại của trái phiếu (present value; PV).
2. Một tính chất quan trọng của duration là giúp phản ánh độ nhạy
của trái phiếu với rủi ro lãi suất. Duration là nhân tố trọng tâm
của nội dung quá trình immunization - một phương pháp giảm
thiểu tác động tiêu cực của biến đổi lãi suất lên giá trị danh mục
đầu tư trái phiếu.
Những biểu thức hữu ích: Một số biểu thức sau đây cho biết đặc
tính kỹ thuật và ý nghĩa kinh tế của duration. D là ký hiệu duration, X
là tỷ trọng giá trị trong danh mục đầu tư.
Trước tiên, về công thức định nghĩa của duration.
D =
n

t=1
tc
t
(1 + i)
−t
/B (3.1)
nghĩa là,
D = 1 +
1
i

+
T (i − c/B
T
) − (1 + i)
(c/B
T
)[(1 + i)
T
− 1] + i
. (3.2)
6
Vương Quân Hoàng - T/L Trái Phiếu 7
Duration là số đo mức độ nhạy cảm của giá trái phiếu theo thay đổi
của lãi suất (hoặc YTM):
D = −
1 + i
B
dB
di
. (3.3)
Công thức duration hiệu chỉnh D
m
:
D
m
=
D
1 + i
= −
1

B
dB
di
. (3.4)
Về quan hệ hữu cơ giữa duration và yield, có thể thấy ngay:
dD
di
= −(1 + i)S, (3.5)
trong đó S là phương sai của các khoảng thời gian tới điểm thanh toán.
Giới hạn của D khi T → ∞ là: (1 + 1/i).
D của một danh mục đầu tư trái phiếu (chỉ đúng khi các trái phiếu
có cùng YTM) là:
D
P
=

j=1
X
j
D
J
. (3.6)
Chương 4
Immunization
Ý niệm chính: Nếu một trái phiếu có duration D , và cấu trúc kỳ hạn
lãi suất ngang, thì trái chủ tránh được những thay đổi song song của cấu
trúc nếu tương lai H bằng với duration D.
Điều kiện bậc nhất: Ta biết từ trước rằng: r
H
=


F
H
B
0

1/H
− 1. Tức
là, việc tối thiểu hóa r
H
cũng tương đương với tối thiểu hóa F
H
. Do đó:
dF
H
di
=
d
di
[B(i)(1 + i)
H
] = 0
(4.1)
= B

(i)(1 + i)
H
+ HB(i)(1 + i)
H−1
từ đây suy ra nếu nhân với (1 + i)

1−H
:
B

(i)(1 + i) + HB(i) = 0 . (4.2)
Ta muốn có kết cục dF
H
/di = 0 tại điểm i = i
0
, vì thế cần thỏa mãn
điều kiện: B

(i
0
)(1 + i
0
) + HB(i
0
) = 0. Kết quả là:
H = −
(1 + i
0
)
B(i
0
)
B

(i
0

). (4.3)
Điều kiện bậc hai: Ở trên đã thiết lập điều kiện bậc nhất cho r
H
đi
qua điểm cực tiểu. Bây giờ ta cần đảm bảo điều kiện bậc hai thỏa mãn
cho cực tiểu toàn cục tại i = i
0
.
8
Vương Quân Hoàng - T/L Trái Phiếu 9
Ta có: ln F
H
= ln B(i) + H ln(1 + i), do đó:
d ln F
H
di
=
d ln B(i)
di
+
H
1 + i
=
1
dB(i)
dB(i)
di
+
H
1 + i

(4.4)
=
−D
1 + i
+
H
1 + i
=
1
1 + i
(H − D).
Biểu thức này bằng 0 khi D = H.
Đạo hàm bậc hai của ln F
H
là:
d
2
ln F
H
di
2
=
1
(1 + i)
2

−
dD
di
(1 + i) + D − H


. (4.5)
Do D = H, suy ra rằng:
d
2
ln F
H
di
2
= −
1
1 + i
dD
di
. (4.6)
Ta đã biết rằng
dD
di
= −S/(1 + i), với S là phương sai của trái phiếu,
do đó kết cục ta thu được:
d
2
ln F
H
di
2
=
S
(1 + i)
2

. (4.7)
Biểu thức hữu ích: Một số biểu thức tóm gọn lại dưới đây.
Giá trị tương lai của trái phiếu với cấu trúc lãi suất phẳng: F
H
=
B(i)(1 + i)
H
.
Lợi suất tại horizon H là r
H
:
r
H
=

F
H
B
0

1/H
− 1 =

B(i)
B
0

1/H
(1 + i) − 1 (4.8)
Điều kiện bậc nhất dr

H
/di = 0 dẫn đến:
H = −
1 + i
0
B(i
0
)
B

(i
0
) = D(i
0
). (4.9)
Điều kiện bậc hai d
2
r
H
/di
2
> 0 để cực tiểu hóa r
H
dẫn đến:
S
(1 + i)
2
> 0. (4.10)
Chương 5
Tính lồi

Ý niệm về tính lồi trái phiếu: Tính lồi (convexity) được định nghĩa
cho trái phiếu như sau:
conv. =
1
B(i)
d
di

dB
di

≡
1
B
d
2
B
di
2
. (5.1)
Khi trước ta đã nhắc đến đạo hàm dB/di có dạng:
dB
di
=
T

t=1
(−t)c
t
(1 + i)

−t−1
. (5.2)
Đạo hàm bậc hai của B theo i rồi chia cho B có dạng như sau:
conv. =
1
B
d
2
B
di
2
=
1
B(1 + i)
2
T

t=1
t(t + 1)c
t
(1 + i
−1
) (5.3)
Ta rút ra tại đây 2 tính chất cơ bản: 1) Tính lồi của trái phiếu luôn
dương; 2) Đơn nguyên của tính lồi trái phiếu là thời gian-bình-phương
do thành phần t
2
trong công thức convex. ở trên.
Đây là hình minh họa:
10

Vương Quân Hoàng - T/L Trái Phiếu 11
Trong hình cho thấy ảnh hưởng của tính lồi TP A lớn hơn B khiến đầu
tư vào A hiệu quả hơn vào B khi lãi suất giảm (do giá trị A tăng).
Phản ánh rủi ro lãi suất: Sử dụng xấp xỉ bậc hai qua chuỗi Taylor,
thu được:
∆B
B

1
B

dB
di
di +
1
2
d
2
B
di
2
(di)
2

(5.4)
Ta lại có minh họa:
12
c
 DHVP Research | Vietnamica.net
với trục hoành là lãi suất (%/năm) và trục tung là giá trị trái phiếu. Sơ

đồ này nói trái phiếu phát hành với coupon rate 9% và giá trị par 1000.
Hình này cho thấy xấp xỉ tuyến tính và toàn phương của giá trị trái
phiếu khi lãi suất thay đổi.
Xấp xỉ tuyến tính cho bởi biểu thức gần đúng sau:
∆B
B
=
1
B
0
dB
di
di = −D
m
di (5.5)
Còn xấp xỉ toàn phương thì tương tự (
5.4), nhưng thay dấu xấp xỉ
bằng đẳng thức:
∆B
B
=
1
B

dB
di
di +
1
2
d

2
B
di
2
(di)
2

= −D
m
di +
1
2
conv.(di)
2
(5.6)
Một đẳng thức xấp xỉ nữa được rút ra khá quan trọng là:
B(i) = B
0

conv
2
i
2
− (D
m
+ conv.i
0
)i + 1 + D
m
i

0
+
conv
2
i
2
0

(5.7)
Điểm cực tiểu của parabola này có hoành độ trùng với duration hiệu
chỉnh chia cho độ lồiD
m
/conv.
Vương Quân Hoàng - T/L Trái Phiếu 13
Hầu hết các tính toán của các hãng tài chính cung cấp giá trị độ lồi
trái phiếu chia giá trị của
1
B
d
2
B
di
2
cho 200 (với ví dụ của ta giá trị độ lồi
sẽ là 0.28 năm bình phương). Một số tính toán khác thì chia cho 100.
Lý do là thương số này có thể cộng khá chính xác vào với duration hiệu
chỉnh.
Độ lồi portfolio trái phiếu: Ý niệm tính lồi trên được áp dụng trực
tiếp cho một danh mục đầu tư trái phiếu:
conv.P (i) = C

P
≡
1
P (i)
d
2
P
i
di
2
(5.8)
Thực tế, nếu danh mục có n trái phiếu, thì độ lồi là:
1
C
P
=
n

j=1
X
j
C
j
. (5.9)
Vì sao lồi? Dưới đây là công thức đáng lưu ý. Trước tiên:
D = −
1 + i
B(i)
B


(i), (5.10)
do đó:
dD
di
= −
B − (1 + i)B

B
2
B

(i) −
1 + i
B
B

. (5.11)
Ta đã biết dD/di = −(1 + i)
−1
S, vì thế:
1
B
(1 + D)B

(i) +
1 + i
B
B

=

S
1 + i
(5.12)
Viết gọn lại B

/B = −D/(1 + i) và C = B

/B, rồi nhân hai vế với
(1 + i), thu được:
− D(D + 1) + (1 + i)
2
C = S (5.13)
nên suy ra rằng:
− D(D + 1) + (1 + i)
2
C =
1
(1 + i)
2
[S + D(D + 1)]. (5.14)
1
Từ đây viết gọn lại C ≡ conv.
14
c
 DHVP Research | Vietnamica.net
Trong đó S định nghĩa bởi:
S =
T

t=1

(t − D)
2
c
t
(1 + i)
−t
/B (5.15)
Kết quả này hữu ích vì cho biết độ lồi phụ thuộc vào cả độ phân tán
lẫn duration. Một danh mục có tính lồi cao với một duration cho trước,
khi mà phương sai khoảng thời gian tới lúc thanh toán có trị số lớn.
Chương 6
Yield curve và SRC
Lãi suất tức thời: Là YTM của trái phiếu zero-coupon có thời gian
đáo hạn t: B
t
= B
0
(1 + i
0,t
)
t
. (B
0
là giá trị hiện tại, B
t
là par value)
Người ta cũng có thể nói i
0,t
là lợi suất ngang
1

của trái phiếu zero-
coupon mua ở hiện tại, với giá B
0
, và có giá trị chắc chắn thu hồi về B
t
tại thời điểm t.
Yield curve và đường cong lãi suất tức thời: Yield curve (ở đây
viết tắt là “YC” cho gọn được một số người ở VN gọi là đường cong lợi
suất, nhưng tên gọi này cũng dễ nhầm lẫn) là đường con biểu diễn quan
hệ giữa thời gian tới đáo hạn của trái phiếu coupon an toàn (không phá
sản) và mức YTM của trái phiếu đó.
YC thể hiện mặt hình học các mức lợi suất YTM khác nhau tương ứng
với các khoảng thời gian tới đáo hạn của các trái phiếu coupon. Có thể
xây dựng YC không khó khăn lắm, nên YC cũng được các hãng thông tấn
và tư vấn tài chính công bố phổ biến. Nó có tác dụng khi người ta xem
xét lợi ích từ một nhóm các trái phiếu coupon hay tính nhanh YTM.
Khác biệt TSIR và YC: Rõ ràng, YC khác rất khác so với cấu trúc kỳ
hạn của các lãi suất (term structure of interest rates - TSIR). TSIR bản
chất là đường cong lãi suất tức thời (spot rate curve - SRC). TSIR rất
quan trọng vì giúp giới phân tích hình thành kỳ vọng (qua suy luận) về
xu hướng thị trường của các mức lãi suất trong tương lai.
1
horizon rate of return
15
16
c
 DHVP Research | Vietnamica.net
Vì thế, YC ít thông tin hơn TSIR và giới nghiên cứu phân tích phải
tốn nhiều công hơn cho công tác xây dựng đường cong SRC từ các mức
giá của các trái phiếu có thời gian đáo hạn khác nhau.

SCR: Một ví dụ xây dựng SCR. Xét lãi suất tức thời 1-năm, i
0,1
. Trái
phiếu (TP) có coupon là 10 USD, par 100 USD và giá trái phiếu hiện là
99 USD, đáo hạn 1 năm nữa kể từ hiện tại. Lãi suất tức thời i
0,1
thỏa
mãn đ/k: 99(1 + i
0,1
) = 100 + 10 . Do đó i
0,1
tính được là 11.1%.
Xét tiếp TP coupon 2-năm ký hiệu B
0,2
. Công thức:
B
0,2
=
10
1 + i
0,1
+
110
(1 + i
0,2
)
2
. (6.1)
Ở đây, i
0,1

đã biết (11.1%), nhưng i
0,2
là ẩn số. Nếu giá B
0,2
là 97.5 USD,
thì i
0,2
là 11.5%.
Giả sử lại có TP nữa, coupon, 3-năm và coupon hàng năm vẫn là 10
USD, giá B
0,3
là 96.
2
Ta lại tính tương tự lãi suất tức thời i
0,3
qua biểu
thức giá:
B
0,3
= 96 =
10
1 + i
0,1
+
10
(1 + i
0,2
)
2
+

110
(1 + i
0,3
)
3
, (6.2)
trong đó i
0,1
là 11.1%, i
0,2
15% và i
0,3
là ẩn số. Tính ra ngay được i
0,3
có
độ lớn 11.7%.
Nếu có thông số giá các trái phiếu an toàn với các kỳ hạn khác nhau,
sẽ tính được rất nhiều mức lãi suất tức thời khác nữa. Tổng quát ta có
biểu thức:
B
0,n
=
c
(1 + i
0,1
)
+ . . .
c
(1 + i
0,n−1

)
n−1
+
c + B
n,0
(1 + i
0,n
)
n
. (6.3)
Nếu cứ thuận lợi như trên, phương pháp này trông có vẻ dễ áp dụng.
Vấn đề thực tế phức tạp hơn nhiều. Nhiều TP coupon đáo hạn cùng
ngày gây ra khó khăn tính toán. Thực tế khắc phục sẽ trình bày sau.
2
Trên thực tế coupon sẽ khác khi thời gian đáo hạn khác nhau. Ở đây ta giả sử cho
dễ tính toán.
Vương Quân Hoàng - T/L Trái Phiếu 17
Tính lãi suất forward ẩn từ SRC: Nhu cầu tự nhiên của thị trường
đặt ra câu hỏi: có thể lợi dụng gì từ TSIR (SRC) để tính lãi suất forward
ẩn, rồi rút ra lãi suất tức thời tại một thời điểm trong tương lai?
Lô-gic như sau: Nếu tồn tại TSIR thì có thể suy ra sự tồn tại của một
cấu trúc forward. Ví dụ dưới đây sẽ làm rõ.
Ông A đứng trước 2 hợp đồng tín dụng có hạn 1-năm và 2-năm, ngụ
ý 2 lãi suất tức thời tương ứng i
0,1
, i
0,2
. Có thể xây cấu trúc forward ngay
tại lúc này một hợp đồng forward kỳ hạn 1-năm, nhưng một năm nữa
mới bắt đầu có hiệu lực!

3
Ông A làm như sau.
Trước tiên, gã vay 1 USD hôm nay trong 2 năm, và hai năm nữa trả
khoản tiền (1 + i
0,2
)
2
.
Kế đến
, gã cho vay đi 1 USD hôm nay trong 1 năm, rồi đòi về
(1 +
i
0,1
)
sau 1 năm nữa.
Hai sự kiện này đảm bảo rằng, gã A sẽ phải trả một lãi suất forward
ẩn, bắt đầu có hiệu lực sau 1-năm nữa, và có khoảng thời gian hiệu lực
là 1-năm sau thời điểm bắt đầu đó, ta viết là f
1,1
.
Lô-gic ở chỗ: Lãi suất forward ẩn này giúp biến đổi khoản tiền
(1 + i
0,1
) tại đầu năm 1 (hiện tại là năm 0 nhé) thành món tiền (1+ i
0,2
)
2
khi năm 1 kết thúc.
Biểu diễn của lãi suất forward ẩn:
(1 + i

0,1
)(1 + f
1,1
) = (1 + i
0,2
)
2
(6.4)
f
1,1
=
(1 + i
0,2
)
2
1 + i
0,1
− 1
Từ lô-gic này đi đến biểu diễn tổng quát có dạng:
f
t,n
=
(1 + i
0,t+n
)
(t+n)/n
(1 + i
0,t
)
t/n

− 1 . (6.5)
(*) Dễ thấy: i
0,t+n
là lãi suất tức thời trong dài hạn, có liên quan tới
lãi suất tức thời ngắn hạn hơn i
0,t
, cũng như lãi suất forward ẩn f
t,n
,
thông qua quan hệ trung bình hình học có quyền số thời gian của tốc độ
vốn hóa (capitalization rate).
4
3
Ý nghĩa của hành vi này: Nếu ông A muốn vay một khoản tiền ấn định trước, nhưng
bắt đầu vay kể từ sau đây 1 năm nữa, ông ta có thể “khóa chặt” cam kết ấy ngay lúc này
với một mức lãi suất biết trước sẽ phổ biến sau một năm nữa.
4
Capitalization rate là 1 cộng với mức lãi suất nào đó, cho thấy sự chuyển hóa một
lượng tiền qua 1 năm thành một lượng tiền lớn hơn tới mức nào.
18
c
 DHVP Research | Vietnamica.net
1 + i
0,t+n
= (1 + i
0,t
)
1/(t+n)
(1 + f
t,n

)
n/(t+n)
. (6.6)
Công thức này thấy ngay là trung bình hình học của capitalization rate
1 + i
0,t
và IFCR (implicit forward capitalization rate), với trọng số tương
ứng lần lượt là t/(t + n) và n/(t + n) trong toàn quãng thời gian đang
xét t + n.
Ta lại hình sau minh họa quan hệ lãi suất forward ẩn rút ra được từ
cấu trúc lãi suất tức thời cho trước dạng tăng lên (sau một lúc thì tốc
độ tăng chậm lại, để phân biệt với dạng khum - ban đầu tăng, sau đó
giảm):
Hình vừa rồi là biểu diễn đồ họa của data trình bày dưới đây:
Vương Quân Hoàng - T/L Trái Phiếu 19
Từ một cấu trúc lãi suất tức thời đã biết, ta tính ra các cấu trúc lãi suất
forward ẩn (IFR). Ví dụ, ta có tất cả các lãi suất forward có hiệu lực sau
1 năm nữa, cho các khoản vay có maturity từ 1 tới 9 năm; tức là tương
ứng dòng thứ 2 trong bảng. Tiếp theo, IFR cho khoản vay có hiệu lực
sau 2 năm nữa, với maturity từ 1-8 năm; dòng thứ 3. Cuối cùng, ta có
IFR hiệu lực sau 9 năm nữa, và kết thúc 1 năm sau đó; tức là dòng cuối
và số cuối cùng của bảng data.
Hình IFR phía trên có dạng tăng đại diện cho 6 dòng đầu tiên của
bảng. Trong khi hình IFR dạng “khum” dưới đại diện cho 6 dòng ở bảng
data tiếp theo.
20
c
 DHVP Research | Vietnamica.net
Theo cách nhìn khác, nếu ta xét tất cả các forward rate với maturity
1-năm, bắt đầu tại các mốc thời gian tương lai khác nhau (các điểm hiệu

lực của lãi suất trong 1 năm sau đó), sẽ thấy rằng đây là các lãi suất nằm
trên đường chéo chính của bảng dữ liệu. Tất cả các FR xuất phát từ các
mốc t/gian khác nhau, tương ứng các kỳ hạn (maturities) t năm nằm
trên đường chéo, cách t − 1 khoảng về phía trái của đường chéo chính.
Ví như, tất cả các FR với maturity 4-năm nằm cả trên đường chéo cách
đường chéo chính 3 khoảng về phía tay phải.
Dạng khum như sau, và mang ý nghĩa khác biệt về mặt tính toán ứng
dụng.
Vương Quân Hoàng - T/L Trái Phiếu 21
Tiếp cận cá nhân risk-neutral - lý thuyết pure expectations:
Xét 2-giai đoạn. Thử tìm hiểu thị trường kỳ vọng gì lãi suất tức thời sau
1 năm nữa, cho kỳ hạn 1-năm i
1,1
, căn cứ trên thông tin lợi suất tức thời
ở hiện tại mà ta gọi là short rate i
0,1
và long rate i
0,2
. Giả sử rằng người
đi vay cố vay rẻ nhất, người cho vay cố thu lãi cao nhất.
Người vay và cho vay, mỗi bên có 2 khả năng. Bên cho vay có thể
đầu tư vào thị trường 2-năm hoặc thực hiện 2 hành động đầu tư kỳ hạn
1-năm vào bây giờ, và tiếp tục sau 1 năm nữa. Người đi vay tương tự.
Lãi suất kỳ vọng 1-năm cho năm 1 E(i
1,1
) liên hệ với short rate và
long rate qua quan hệ:
(1 + i
0,2
)

2
= (1 + i
0,1
)[1 + E(i
1,1
)] (6.7)
E(i
1,1
) phải là IFR f
1,1
đã định nghĩa lúc trước. Tương tự, capi-
talization rate 2-năm 1 + i
0,2
là trung bình hình học giữa 1 + i
0,1
và
capitalization rate kỳ vọng 1 + E(i
1,1
).
Xét ví dụ minh họa. Giả sử quan hệ trên không đúng và lãi suất kỳ
vọng E(i
1,1
khiến cho đầu tư vào bond 2-năm kém lãi hơn 2 lần đầu tư
1-năm. Giả thiết này suy ra người vay sẽ có lợi khi vay khoản vay 2-năm
thay vì 2 lần vay 1-năm trên thị trường ngắn hạn. Giả sử có data sau bổ
sung: a) Spot rate 1-năm i
0,1
= 6%; và b) E(i
1,1
= 7%.