MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

Do tình hình khách quan, có một số khó khăn trong điều kiện học tập không đều giữa
những học sinh có năng lực học toán với những học sinh học yếu toán do mất căn bản
hoặc chưa có phương pháp học cho phù hợp… , cuốn tài liệu này một phần nhằm giúp
học sinh tự tìm lại các kiến thức đã quên ; Một phần giúp học sinh hệ thống được chuỗi
kiến thức toán THCS và tự rèn luyện nâng dần mức độ về kiến thức, tư duy ,đặc biệt là
giúp HS xây dựng cho mình phương pháp tự học tốt hơn:
I/ Về thiết kế ôn tập theo định hướng đổi mới PPDH:
- Đã xác định rõ mục tiêu giúp HS đạt được : về kiến thức; kĩ năng; tư duy; chú ý xây dựng
cho HS phương pháp học tập và hệ thống được chuỗi kiến thức toán THCS.
- Xác định điều kiện học tập:
* Nội dung cơ bản, trọng tâm phù hợp với thời gian ,trình độ và có nâng dần mức độ cho các
em .
* Cần nắm được trình độ xuất phát, đặc điểm tâm lí học tập của HS . Từ đó có phương pháp
và hình thức tổ chức dạy học thích hợp (độc lập hoặc nhóm nhỏ), sao cho “Học sinh phải :
nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, hợp tác thảo luận, trình bày ý kiến của mình nhiều hơn”.Tăng
tỉ lệ các câu hỏi yêu cầu tư duy, bám theo các hoạt động dự kiến nhằm cho HS tích cực, độc
lập,sáng tạo trong học tập. chú trọng nhận xét sửa chữa các câu trả lời của HS ( câu hỏi được
chọn lọc, phục vụ đổi mới phương pháp, chẳng hạn: Câu hỏi tạo tình huống có vấn đề ; câu
hỏi giúp HS phát hiện kiến thức mới, giúp HS củng cố và đào sâu suy nghĩ, khai thác kiến
thức hoặc vận dụng kiến thức vào thực tiễn…Có câu hỏi khó một chút so với trình độ hiện tại
của HS, nhằm kích thích HS suy nghĩ, tìm tòi).
- Xác định tiến trình ôn tập : Có nhiều tình huống, có nhiều hoạt động (có phân bậc hoạt
động phù hợp với các đối tượng HS)
II/ Về thiết kế đề kiểm tra (đề thi) theo định hướng đổi mới PPDH:
-Khai thác triệt để chuẩn chương trình toán THCS về chuẩn kiến thức, chuẩn kĩ năng
cũng như mức độ và dạng toán.
-Bài tập trắc nghiệm và tự luận được chọn lọc, giúp HS củng cố, đào sâu suy nghĩ, khai
thác kiến thức hoặc vận dụng kiến thức đã học,rèn luyện kĩ năng có hiệu quả hơn, có bài hơi

khó so với trình độ hiện tại của HS để kích thích HS suy nghĩ tìm tòi .
-Đề kiểm tra nhằm điều tra, đánh giá mức độ tiếp thu và vận dụng của HS. Qua đó HS tự
điều chỉnh phương pháp học của mình, làm căn cứ để GV tiến hành nghiên cứu khai thác
SGK, và điều chỉnh phương pháp dạy cho phù hợp với đối tượng HS mà mình đang tác động
tốt hơn.
Sau đây là một số vấn đề cần lưu ý ôn tập-THCS. Xem đây là tài liệu tham khảo cho
HS lớp 9.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

A/ CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT
A
1
/ PHẦN ĐẠI SỐ
1/ Viết tập hợp N, N
*
, Z bằng cách liệt kê? Tập hợpQ có dạng như thế nào? Tập hợp R?
Dùng kí hiệu
⊂∩∪ ,,
để thể hiện mối quan hệ của các tập hợp N,Z,Q,I,R?
 N = {0;1;2;3;…} ; N
*
= {1;2;3;…} ; Z = {…-3;-2;-1;0;1;2;3;…}
Tập hợp Q có dạng :
( )
0,, ≠∈∈ bZbZa
b
a
Tập hợp R gồm tập hợp I và tập hợp Q.
RQIQIRIRQZN =∪∅=∩⊂⊂⊂⊂ ;;;

2/ Tìm số đối của các số sau: 3,-5,0,
3
4
−
? Tìm số nghịch đảo của các số: 3,-5,
3
4
−
?
 Số đối của 3 là -3; Số nghịch đảo của 3 là
3
1
;…
3/ Nêu định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số? Tính:
5−
,
5
,
0

3
4
−
?
 Gợi ý:
)0();0( <∀−=≥∀= aaaaaa
4/ Nêu quy tắc cộng, trừ,nhân, chia số nguyên? Thực hiện tính:
(-5)+(-20) ; (-5).(-20) ; (-5)+20 ; (-5).20 ; (-20)+5 ; (-20).5 ; 5-20 ; (-5)-20
 Gợi ý:
+ Cộng 2 số (hay nhiều số) :

- Cùng dấu : cộng trị số tuyệt đối, rồi lấy dấu chung.
- Khác dấu : Trừ trị số tuyệt đối , rồi lấy dấu của số có trị số tuyệt đối lớn.
+ Trừ 2 số nguyên: a – b = a + (-b) (a cộng số đối của b)
+ Nhân (chia) 2 số cùng dấu, kết quả là số dương
+ Nhân (chia) 2 số khác dấu, kết quả là số âm.
5/ - Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên?
- Viết dạng tổng quát và lấy ví dụ cụ thể:
+ Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số.
+ Chia hai luỹ thừa cùng cơ số.
+ Luỹ thừa của luỹ thừa.
+ Luỹ thừa của một tích.
+ Luỹ thừa của một thương.
 Gợi ý:
+
aaaaa
n
=
(n thừa số a)
+
mnmn
aaa
+
=.
+
mn
m
n
a
a
a

−
=
+
( )
mn
m
n
aa
.
=
+
( )
nn
n
baba =
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

+
n
n
n
b
a
b
a
=







6/ Phát biểu quy tắc bỏ dấu ngoặc có dấu”+” đằng trước? Phát biểu quy tắc bỏ dấu ngoặc
có dấu”-” đằng trước? Quy tắc chuyển vế?
 Gợi ý: (a + b) - (c - d) = a + b – c + d ; a + b = c
bca
−=⇒
Ví dụ: 3 + (2 - a) = 3 + 2 – a = 5 - a
3 - (2 - a) = 3 - 2 + a = 1 + a
15665 =⇒−=⇒=+ aaa
7/ Tính chất tỉ lệ thức: *Từ tỉ lệ thức
⇔=
d
c
b
a
+ ad = bc
+
d
b
c
a
=

*
⇒=
d
c
b

a
d
dc
b
ba ±
=
±
*
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
+±
+±
===
8/ Thế nào là đơn thức đồng dạng?
 Gợi ý: hai đơn thức đồng dạng là 2 đơn thức có hệ số khác 0 ,có phần biến giống nhau.
Nêu quy tắc cộng, trừ đơn thức đồng dạng? Thực hiện tính:
-5xy
2
-20xy
2
; -5xy
2
+20xy
2

; 5xy
2
+(-20xy
2
) ;
4x
2
y + 5x
2
– 7y
2
- 15-12x
2
y – 7x
2
+ 21y
2
+ 5
 Gợi ý: Cộng (trừ) phần hệ số với nhau, giữ nguyên phần biến.
VD: 2xy-5xy = -3xy ; 7xy+2x-7xy+4x-2-3x+3=3x+1
9/ Nêu quy tắc nhân, chia hai đơn thức? Thực hiện tính:
2325423
4:2;4.3 yxzyxyxyx
;(-5xy
2
).(-20xy
2
);(-5xy
2
).20xy

2
; 5xy
2
.(-20xy
2
);(-20xy
2
):5xy
 Gợi ý:
zx
z
x
x
yxzyxyxyyxxyxyx
2
3
5
232555423423
2
1
1

4
2
4:2;12 4.34.3 ====
10/ Nêu quy tắc : Cộng,trừ hai đa thức? Nhân đơn thức với đa thức? Nhân đa thức với đa
thức? Chia đa thức cho đơn thức? Chia đa thức cho đa thức? Thực hiện tính:
a/ (4x
2
y + 5x

2
– 7y
2
– 15)+(-12x
2
y – 7x
2
+ 21y
2
+ 5)
b/ (4x
2
y + 5x
2
– 7y
2
– 15) -(12x
2
y – 7x
2
+ 21y
2
+ 5)
c/ 2x
2
y(5xy
2
-3x
3
y +7) ; (-2x

2
y
2
)(15x
2
y
2
-3x
3
y +7)
d/ (2x - 5y)(4x
2
+ 20xy + 25y
2
)
e/ (x + 5y)(x
2
- 5xy + 25y
2
)
f/ (5a
4
b
3
c -25a
5
b
2
c
5

+ 45a
2
bc
3
): 5a
2
b ; g/ (8x
3
+ 50y
3
):( 2x+5y)
 Gợi ý: (A + B ) + (C - D)= A +B +C –D; (A+B)-(C-D) = A + B –C + D
A(B + C) = AB +A ; (B + C).A = AB +AC
(A + B) .(C-D) = AC –AD + BC –BD; (A+B-C):D=A:D+B:D-C:D
11/ Hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A
±
B)
2
= A
2

±
2AB +B
2
; (A + B)
3
= A
3
+3A

2
B + 3AB
2
+ B
3
(A - B)(A + B) = A
2
- B
2
; (A + B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

A
3
+ B
3
= (A +B)(A
2
– AB + B
2

) ; A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
(A + B +C + D)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ D
2
+2AB +2AC +2AD +2BC+2BD +2CD
12/ Nêu tính chất cơ bản của phân thức đại số. cho ví dụ cụ thể.
 Gợi ý:
)(
.
.
OC
CB
CA
B
A

≠=
;
)0(
:
:
≠= C
CB
CA
B
A
;
13/ Nêu hai bước rút gọn một phân thức đại số.
 Gợi ý: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
Áp dụng : Rút gọn các phân thức sau:
a/
( )( )

2
) (
4
63
2
2
=
+
+
=
−
+
x

x
x
xx
b/
( )
( )


2
22
22
2
=
+
+
=
+
+
yx
x
yx
xyx

14/ Nêu quy tắc cộng hai phân thức đại số ( Trường hợp cùng mẫu thức và Trường hợp khác
mẫu thức).
 Gợi ý:
BD
CBAD
D
C

B
A
B
CA
B
C
B
A +
=+
+
=+ ;
Áp dụng: Thực hiện phép tính
a/
1
2
1
12
2
+
+
+
+
−
x
x
x
x
b/
1
1

1
1
−
−
+ xx
15/ Thế nào là nghiệm của đa thức f(x)? Tìm nghiệm của đa thức:2x-1 ; x(x+5).
 Gợi ý: x=a là nghiệm f(x) thì f(a) = 0
16/ Nêu định nghĩa hai phương trình tương đương.
 Gợi ý: 2 phương trình có cùng tập hợp nghiệm là 2 phương trình tương đương.
Áp dụng: Hai phương trình 2x-6=0 và x
2
=9 có tương đương không? Vì sao?
17/ a/ Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 :
+ Quy đồng mẫu (nếu có) rồi bỏ mẫu.
+ Chuyển vế, đưa về dạng ax = c
+ Ví dụ:
( )
2
7
7261421
6
14
3
−=⇒=−⇒=+−⇒=
+
− xxxx
xx
b/ Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
+ Đặt ĐK cho ẩn; Quy đồng, khử mẫu; Giải PT và kết luận.
+Ví dụ:

1
6
1
2
+
=
− xx
(*)
ĐK: x
1±≠

( ) ( ) ( )
TXĐxxx ∈=⇒−=+⇔ 21612*
Vậy x=2 là nghiệm của PT
c/ Cách giải phương trình tích:




=
=
⇒=
0
0
0.
B
A
BA
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

Ví dụ: x
2
-1 =0
( )( )



=⇒=−
−=⇒=+
⇒=−+⇔
101
101
011
xx
xx
xx
18/ + Giải BPT tương tự như giải PT
+ Bình phương mọi số đều không âm:
Raa ∈∀≥ .0
2
+ Nếu a
2
=b
2

ba ±=⇔
hoặc
ba =
Nếu a > 0, b > 0 và a = b

22
ba =⇔
19/ Định nghĩa căn bậc hai số học của một số a
≥
0 ( Lưu ý căn bậc hai khác với căn bậc
hai số học)? Điều kiện để
A
có nghĩa?
?
2
=a
 Gợi ý:
0,/
2
≥== xaxxa
;Điều kiện để
A
có nghĩa là:
0≥A
;
aa =
2
Áp dụng:
a/ Tìm điều kiện để các căn thức sau:
35;24;53 +−− xxx
xác định
b/ Tính:
( )
2
2

7;7;16,0;
25
9
;01,0;49 −
;
20/ Phát biểu quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn thức bậc hai.
 Gợi ý:
baba =
Áp dụng: Tính
a/
36.9.25
; b/
36,0.25.5
; c/
;5.20
d/
5,0.2
21/ Phát biểu quy tắc khai phương một thương, quy tắc chia các căn thức bậc hai.
 Gợi ý:
b
a
b
a
=
Áp dụng: Tính
a/
25
36
; b/
25,0

36,0
; c/
;
5
80
d/
3
27
22/ Hoàn thành công thức sau :
BABA =
2
( với
0 ≥
)
BABA
2
=
(với ……….)
BABA
2
−=
(với …………)

1
BB
A
=
( Với
)0,0 ≠≥ BAB

BA
B
A
=
( với A,B là biểu thức ,B>0)
( )
2

BA
C
BA
C
−
=
±
( với các biểu thức A, B, C mà
2
,0 BAA ≠≥
)
( )
BA
C
BA
C
−
=
±

( với các biểu thức A, B, C mà
BAA ≠≥ ,0

)
Áp dụng:
a/ Rút gọn:
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

281878523 ++− xxx
;
324;324;526 −+−
b/ Khử mẫu biểu thức lấy căn
xy
2
;
600
1
;
5
4
với x.y>0
c/ Trục căn ở mẫu:
yx −−−
+
+
+ 1
;
56
2
;
32
32

;
13
3
;
25
222
;
203
1
;
10
5
với
yxyx ≠≥≥ ,0,0
23/ Phát biểu định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất.
 Gợi ý: +y phụ thuộc vào x (thay đổi), sao cho mỗi giá trị x luôn xác định một giá trị y
được gọi là hàm số của x và x gọi là biến. Hàm số có thể cho bằng công thức hoặc bằng
bảng.
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y = ax +b: a,b là các số cho trước,
(a
)0≠
+ Hàm số y = ax + b có tính chất sau:
- a > 0, Hàm số y = ax + b nghịch biến trên R
- a < 0 , Hàm số y = ax + b đồng biến trên R
Áp dụng: Cho hai hàm số bậc nhất
y = 2x-5 (1) và y = 2- 3x (2)
Hỏi rằng, hàm số nào là hàm số đồng biến? hàm số nào là hàm số nghịch biến? Vì sao?
24/ +Đồ thị y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ.
+ Đồ thị y = ax + b là đường thẳng không đi qua gốc toạ độ
( )

0≠b
và song song với
đường thẳng y = ax.
+Ví dụ: Vẽ đồ thị sau
y = 2x : Lấy A(1;2)
y = 2x +4 : Lấy A’(0;4); B’(-2;0)



25/ Cho hai đường thẳng (d) và (d’)
có phương trình tương ứng là
y = ax +b và y = a’x +b’
Hỏi rằng, khi nào thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau? Song song với nhau?trùng nhau?
 Gợi ý:
(d) cắt (d’)
⇔
a
≠
a’
y = 2x+4
y = 2x
A’
A
B’
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

(d) // (d’)
⇔
a = a’ và b

≠
b’
(d)
≡
(d’)
⇔
a = a’ và b = b’
Áp dụng : Cho hai đường thẳng
y = kx + (m-2) (d)
y = (5-k)x + (4-m) (d’)
Với điều kiện nào của k và m thì (d) và (d’)
a/ cắt nhau b/ Song song với nhau c/ trùng nhau
26/ Thế nào là phương trình bậc nhất 2 ẩn. Lấy ví dụ ?phương trình bậc nhất 2 ẩn. Có thể có
bao nhiêu nghiệm?
 Gợi ý: +Có dạng ax + by = c trong đó a,b,clà số đã biết(a
0
≠
hoặc b
0
≠
)
+ Có vô số nghiệm.Mỗi nghiệm là 1 cặp số (x;y) thoả mãn phương trình.
27/ Cho hệ phương trình ax + by = c (d)
a’x + b’y = c’ (d’)
Có bao nhiêu nghiệm số?
 Gợi ý: + Có một nghiệm duy nhất nếu (d) cắt (d’):
'' b
b
a
a

=
+ Có vô số nghiệm nếu (d)
≡
(d’) :
''' c
c
b
b
a
a
==
+ Có vô nghiệm nếu (d) // (d’) :
''' c
c
b
b
a
a
≠=
Áp dụng: a/ 2x +5y =2 b/ 0,2x + 0,1y = 0,3 c/
2
1
2
3
=− yx

1
5
2
=+ yx

3x + y = 5 3x – 2y = 1
+Dựa vào hệ số, nhận xét số nghiệm
+ Giải phương trình bằng phương pháp cộng hoặc thế.
+ Minh hoạ hình học kết quả tìm được.
28/ Hàm số
( )
0
2
≠= aaxy
Có tính chất gì?
Áp dụng: a/ Đưa ra kết luận về hàm số y = 2x
2
và y = -3x
2
b/ Vẽ đồ thị hàm số y = 3x +2 và y = 2x
2
trên cùng mặt phẳng toạ độ?
 Gợi ý:
+ Nếu a > 0 thì y>0
0
≠∀
x
. y = 0 khi x = 0. GTNN của hàm số là y = 0
(Đồng biến khi x> 0, nghịch biến khi x<0)
+ Nếu a < 0 thì y < 0
0
≠∀
x
. Y = 0 khi x = 0. GTLN của hàm số là y = 0
(Đồng biến khi x< 0, nghịch biến khi x>0)

29/ Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và viết công thức nghiệm của PT bậc hai
đó?
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

 Gợi ý:
+ Phương trình bậc 2 một ẩn có dạng:
( )
0.0
2
≠=++ acbxax
+ CT nghiệm :
CT đầy đủ CT thu gọn: b’= b:2

acb 4
2
−=∆
-Nếu
0
>∆
thì PT có 2 nghiệm
phân biệt:
a
b
x
2
2,1
∆±−
=
-Nếu

0
=∆
thì PT có 1 nghiệm
kép :
a
b
x
2
2,1
−
=
-Nếu
0
<∆
thì PT vô nghiệm

acb −=∆
2
''
-Nếu
0'
>∆
thì PT có 2 nghiệm
phân biệt:
a
b
x
''
2,1
∆±−

=
-Nếu
0'
=∆
thì PT có 1 nghiệm
kép :
a
b
x
'
2,1
−
=
-Nếu
0'
<∆
thì PT vô nghiệm
Áp dụng: Tìm nghiệm của phương trình: a/ x
2
- 5x +32 = 0
b/ 3x
2
+ 2x -5 = 0
c/ x
2
– 5x - 6 = 0
d/ 9x
2
+ 12x + 4 = 0
30/ Phát biểu và viết công thức của hệ thức Viet.

 Gợi ý: Nếu
21
, xx
là hai nghiệm của phương trình
( )
0.0
2
≠=++ acbxax
thì:

a
b
xx −=+
21

a
c
xx =
21
.
Áp dụng: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a/ x
2
– 7x + 10 = 0; (2;5) b/ 2x
2
+3x-5=0; (1;-
2
5
) c/ 3x
2

+ 8x + 5 = 0 (-1;
3
5
)
A
2
/ PHẦN HÌNH HỌC
1/ Phát biểu định lý thuận và đảo pytago?
Áp dụng:
a/ Cho
ABC
∆
vuông tại A .có AB = 3cm, BC = 5cm.Tính AC =?
b/ Cho
ABC
∆
có AB = 6cm, BC = 8cm, BC =10cm.Hỏi
ABC
∆
là tam giác gì?
 Gợi ý:
ABC
∆
vuông tại A
222
ACABBC +=⇔
2/ Phát biểu định nghĩa hình bình hành.
Nêu các tính chất của hình bình hành.
Hãy nêu dấu hiệu nhận biết hình bình hành (có 5 dấu hiệu).
Áp dụng:

a/ Chohình bình hành ABCD có Â =47
0
. Tính các góc
∧∧∧
DCB ,,
.
b/ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD và AB<CD). Bên trong hình thang ABCD dựng
một tam giác cân BCE đỉnh B sao cho E ∈ CD. Hỏi rằng tứ giác ABCD có phải là hình bình
hành không?Vì sao?
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

 Gợi ý:
+ Tứ giác có 2 cạnh đối // và bằng nhau.
+ Tứ giác có 2 cặp cạnh đối // với nhau.
+ Tứ giác có 2 cặp cạnh đối bằng nhau.
+ Tứ giác có 2 góc đối bằng nhau.
+Tứ giác có tổng 2 góc kề một cạnh bằng 180
0
3/ Phát biểu các định lí về ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác ABC và A’B’C’?
Áp dụng: Cho tam giác cân ABC (AB=AC).Từ A kẻ đường cao AH sao cho H ∈ BC. Hỏi
rằng hai tam giác ABH và ACH có bằng nhau không?vì sao?
 Gợi ý: (c.c.c) ; (c.g.c) ; (g.c.g)
4/ Phát biểu các định lí về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác ABC và A’B’C’.
Áp dụng: Cho tamgiác nhọn ABC (AB<AC). Từ B kẻ tia BD sao cho D ∈ AC và
∧
ABD
=
∧
C

. Hỏi rằng hai tam giác ABD và ABC có đồng dạng với nhau không?vì sao?
 Gợi ý: (c.c.c) ; (c.g.c) ; (g.g)
5/ + Viết các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông?
+ Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn?
+ Nêu một số tính chất của các tỉ số lượng giác?
+ Nêu các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông?
Áp dụng: Cho
ABC∆
vuông tại A: AB=5cm;AC=7cm.Từ A kẻ đường cao AH sao cho H ∈
BC.
a/ Tìm BC,BH,CH,AH?
b/ Tìm tỉ số lượng giác góc B và góc C?
 Gợi ý:
+ Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông :
'.;'.
22
cacbab ==

222
cba +=
; Định lí đảo pytago
''.
2
cbh =
a.h = b.c
222
111
cbh
+=
+ Tỉ số lượng giác của góc nhọn:

ABC∆
vuông tại A :
α
=
Λ
B
AC
AB
g
AB
AC
tg
BC
AB
BC
AC
====
αααα
cot;;cos;sin
( Để nhớ lâu: sin đi học ; cos không hư ; tang đoàn kết ; cotg kết đoàn )
+ Một số tính chất của các tỉ số lượng giác:
- Cho
βα
;
là hai góc phụ nhau. Khi đó:
βαβαβαβα
tgggtg ==== cot;cot;sincos;cossin
+ Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:
gBtgCcBaCac
gCtgBbCaBab

cot;cos.sin.
cot;cos.sin.
====
====
6/ Nêu vị trí tương đối của 2 đường tròn?
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

 Gợi ý:
Vị trí tương đối của 2
đường tròn
Số điểm chung Hệ thức giữa d,R,r
(O;R) đựng (O;r) 0 d < R-r
Ở ngoài nhau 0 d > R+r
Tiếp xúc ngoài 1 d = R+r
Tiếp xúc trong 1 d = R-r
Cắt nhau 2 R-r < d < R+r

7/ Chứng minh định lí:
“Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều
hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến”.
8/ Góc nội tiếp của một đường tròn bằng nửa số đo của cung bị chắn
9/ Chứng minh định lí:
“Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo
của cung bị chắn”
10/ Chứng minh định lí:
“Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn giữa
hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy”
11/ Chứng minh định lí:

“Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có số đo bằng một nửa hiệu của số đo hai cung bị
chắn giữa hai cạnh của góc đó”
12/ a/Chứng minh định lí:
“Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 180
0
”
b/ Phát biểu định lí đảo của định lí trên.
13/ Hãy chỉ ra cách làm để điền được số thích hợp vào ô ? trong bảng sau (có làm tròn
số) :
a/
Bán kính
đường tròn
( R )
Độ dài đường
tròn ( C )
Diện tích
hình tròn
( S )
Số đo của
cung tròn
(n
0
)
Diện tích
hình quạt
cung n
0
? 2,1 cm 13,2cm ? 13,8 cm
2
47,5

0
? 1,83 cm
2
2,5 cm ? 15,7 cm ? 19,6 cm
2
? 229,6
0
12,5 cm
2
? 3,5 cm ? 22 cm 37,8 cm
2
? 101
0
10,6 cm
2
b/
Hình Bán
kính
đáy
(cm)
Đường
kính
đáy
(cm)
Chiều
cao
(cm)
Chu vi
đáy
(cm)

Diện
tích
đáy
(cm
2
)
Diện tích
xung
quanh
(cm
2
)
thể
tích
(cm
3
)
1 ? 2 10 ? 2
π
?
π
? 20
π
? 10
π
? 3 6 100 ? 18,85 ? 28,27 ? 1885 ? 2827
5 ?10 4 ? 10
π
? 25
π

? 40
π
? 100
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

π
c/
Hình Bán
kính
đáy
( r )
Đường
kính
đáy (d )
Chiều
cao (h)
Độ dài
đường
sinh
( l )
Diện
tích
xung
quanh
Diện
tích
toàn
phần
thể

tích
5 cm ? 12 cm ? ? ? ?
16 cm 15 cm ? ? ? ?
7 cm ? ? 25 cm ? ? ?
d/ Các dụng cụ thể thao sau đều có dạng hình cầu:
Loại bóng Quả
bóng gôn
Quả
khúc côn
cầu
Quả
Ten-nít
Quả
bóng
bàn
Quả
bi-a
Đường kính 42,7 mm ? 7,32
cm
6,5 cm 40 mm 61 mm
Độ dài đường
tròn lớn
? 134,08
mm
23 cm ? 20,41
cm
? ?
Diện tích ? 5725
mm
2

? 168,25
cm
2
? 132,67
cm
2
? ?
thể tích ? ? ? ? ?
 Gợi ý:
+ Công thức tính độ dài (chu vi) đường tròn (O;R) :
14,3;.2 ≈==
πππ
dRC
+ CT tính độ dài cung tròn n
0
:
180
360
.2
0
RnnR
l
ππ
==
+ Diện tích hình tròn(O;R):
2
.RS
π
=
+ DT hình quạt tròn bán kính R, cung n

0
:
2
.
360
2
RlnR
S ==
π
+ DT xung quanh, toàn phần của hình trụ:
đxqTpxq
SSrrhSrhS +=+==
2
22;2
πππ
+ Thể tích hình trụ :
hrhSV
đ
2
.
π
==
+ DT xung quanh, DT toàn phần của hình nón:
lrS
xq

π
=
: r là bán kính;l là độ dài đường sinh.
2

rlrSSS
đxqTp
ππ
+=+=
+ Thể tích hình nón:
hrVV
Trunon
2
.
3
1
.
3
1
π
==
+ DT xung quanh và thể tích hình nón cụt:
)(.
3
1
;)(
21
2
2
2
121
rrrrhVlrrS
xq
++=+=
ππ

+ DT mặt cầu :
22
.4 dRS
ππ
==
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

+ Thể tích hình cầu:
6
.
8

3
4

3
4
33
3
dd
RV
π
ππ
===
B/ BÀI TẬP
B
1
/ PHẦN ĐẠI SỐ
B1.1 / CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CƠ

BẢN
1/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng
thức.
a/ 12x
2
y – 18xy
2
+ 30y
3
b/ 16x
2
(x-y)- 10y(y-x)
c/ x
3
+ 9x
2
+27x +27
d/ 8x
3
+ 36x
2
y +54xy
2
+27y
3
e/ (x-y)
2
– 4
g/ 8x
3

– y
3

2/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử
a/ 5x
2
– 5xy – 10x + 10y
b/ 2x
2
+2y
2
– x
2
z + z – y
2
z -2
c/ x
3
+ x
2
y – x
2
z – xyz
d/ 12xy – 12xz + 3x
2
y - 3x
2
z
3/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
a/ 12x

5
y + 24x
4
y
2
+ 12x
3
y
3
b/ x
2
– 2xy +y
2
-4
c/ x
2
-7xy + 10y
2
d/ x
2
– 5x -14
e/ x
2
+2x -15
4/ Phân tích đa thức thành nhân tử
a/
15531 +++
b/
21151410 +++
c/

6151435 −−+
d
*
/
83183 +++
5/ Thực hiện phép tính:
a/
877).714228( ++−
b/
)4,032)(10238( −+−
c/
10:)450320055015( −+
6/ Thực hiện phép tính:
a/
6
1
).
3
216
28
632
( −
−
−
b/
57
1
:)
31
515

21
714
(
−−
−
+
−
−
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

c
*
/
1027
1528625
+
−++

7/ Rút gọn các biểu thức sau:
a/
baab
abba
−
+ 1
:
. Với a>0,b>0 và a
≠
b
b/

)
1
1)(
1
1(
−
−
−
+
+
+
a
aa
a
aa
.Với a>0 và a
≠
1
8/ Giải các phương trình tích sau :
a/ (x-7)(2x+8) = 0
b/ (x+8)(x-7)(x+6) = 0
c/ (3x-3)(x
2
+3)(3x+21)
d/ (x
2
-9)(x+5)(x
2
+1) = 0
e

*
/ (x+2)(x-5)(x
2
+2x+2) =0
9/ Giải phương trình :
a/ 4x + 6 = 3x - 5
b/
x
xx
2
3
)12(2
5
3
23
+
+
=+
−

c/
4
3
6
52
1
xx −
=
−
−

d/
2
3
3
2
1
−
−
=+
− x
x
x
e/
7
1
8
7
8
−
=−
−
−
xx
x
f/
502
25
102
5
5

5
222
−
+
=
+
−
−
−
+
y
y
yy
y
yy
y
10/ Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối( )
a/
xx −=− 125
; b/
xx −=− 125
c/
2512
2
=+− xx
d/
14496
22
+−=++ xxxx
e/

5
1
=
+
x
x
g
*
/
1011 =−++ xx
11/ Giải bất phương trình bậc nhất
a/ 5(x-2) + 3 > 1 – 2(x-1) c/ 2x +
51 +>− xx
b/ 5 + 3x(x+3) < (3x-1)(x+2) d
*
/
511 >−++ xx

e/
12
21
4
25 xx −
>
−
g/
15
25
10
311 +

<
− xx
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

h/
4
1
3
8
)1(3
2
−
−<
+
+
xx
12/ Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của biểu thức sau cũng là số nguyên
a/
1
2
23
−
++
x
xx
b/
2
42
23

−
+−
x
xx
13/ Tìm giá trị của x để
a/ x
2
-2x+5 có giá trị nhỏ nhất?
b/
62
1
22
++ xx
có gía trị lớn nhất?
c/
12
52
2
2
+
+
x
x
có giá trị lớn nhất?
d
*
/
54
12
2

2
++
+−
xx
xx
có giá trị nhỏ nhất?
14/ Giải các hệ phương trình sau:
a/ 4x+y=2 c/
1
11
=−
yx
8x+3y=5
5
43
=+
yx
b/
1
1
3
2
2
=
−
−
− yx
d
*
/

3
11
=
−
−
+ yxyx


1
1
1
2
1
=
−
−
− yx

1
32
=
−
−
+ yxyx
15/ Giải phương trình bậc hai (Tính nhẩm nhanh nếu có thể)
a/
03011
2
=+− xx
b/

02110
2
=+− xx
c/
02712
2
=+− xx
d/
012175
2
=+− xx
e/
022193
2
=−− xx
g/
02)21(
2
=++− xx
16/ Giải các phương trình bậc hai sau:
a/ 3x
2
– 2x
033 =−
; b/
02)21(
2
=++− xx
c/
032)13(2

2
=−−− xx
;
06/
2*
=−− xxd
17/ Tìm k để phương trình
04010
2
=++ kxx
a/ Có hai nghiệm phân biệt
b/ Có nghiệm kép
c/ Vô nghiệm
18/ Giải phương trình sau (bằng cách quy về bậc hai)
a/
0472
24
=−− xx
b/
0169
24
=++ xx
c/
0158
24
=++ xx
c/
03613
24
=+− xx

19/ Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đồ thị
a/
02
3
=−
=+
yx
yx
b/
02
022
2
=−
=+−
xy
yx
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

c/
02
0
2
=+−
=−
yx
yx
B1.2/ CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG TÍNH TOÁN
20/ Cho biểu thức
3223

3223
yxyxx
yxyyxx
A
y
−−+
+−−
=

a/ Rút gon biểu thức A
b/ Tính giá trị của A khi
2;3 == yx
c/ Với giá trị nào của xvà y thì A=1.
21/ Cho biểu thức
x
xx
x
x
B
−
+
−+
−
+
+
=
2
1
6
5

3
2
2
a/ Rút gọn B
b/ Tính giá trị B, biết
32
2
+
=x
c/ Tìm giá trị của x để B có giá trị nguyên
22/ Cho biểu thức
49
)1)(12(14
2
2
−
−++−
=
x
xxx
E
a/ Rút gọn biểu thức E
b/ Tìm x để E>0
c/ Tìm x để 3.E= 1
23/ Cho biểu thức
11
1
1
1
3

−
−
+
+−
+
−−
=
x
xx
xxxx
H
a/ Rút gọn biểu thức H
b/ Tính giá trị của biểu thức H khi
729
53
−
=x
c/ Tìm giá trị của x để H=16
24/ Cho biểu thức
)
1
1
1
1
1
2
(:1
−
+
−

++
+
+
−
+
=
x
x
xx
x
xx
x
T
a/ Rút gọn biểu thức T
b/ Chứng minh T > 3 .
1;0 ≠>∀ xx
25/ Cho phương trình bậc hai
053
2
=−− xx
và gọi hai nghiệm của phương trình là
21
vàxx
.
Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:
a/
21
11
xx
+

; b/
2
2
2
1
xx +
;
c/
2
2
2
1
11
xx
+
; c/
3
2
3
1
xx +
;
26/ Cho phương trình bậc hai
04)1(2
2
=−++− mxmx
(1)
a/ Giải phương trình (1) khi m=1.
b/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt .
m

∀
.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

c/ Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phương trình (1) đã cho.
Chứng minh rằng biểu thức
)1()1(
1221
xxxxA −+−=
Không phụ thuộc vào giá trị của m.
B1.3/ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
1/ Một ôtô đi từ A đến B. Cùng một lúc ôtô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng
3
2
vận
tốc của ôtô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ôtô đi cả quảng đường AB mất bao
lâu?
2/ Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10km. Để đi từ A đến
B, ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, ôtô dii hết 2 giờ. Vận tốc của ôtô hơn vận tốc canô 17
h
km
.
Tính vận tốc của canô.
3/ Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một
người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốccủa mỗi xe, biết rằng vận
tỗcemáy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.

4/ Một người đi xe máy dự định đi từ tỉnh A đến B với vận tốc trung bình
h
km
30
. Khi đến
B, người đó nghĩ 20 phút rồi quay trở vềA với vận tốc trung bình
h
km
25
. Tính quãng đường
AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
5/ Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong một công việc đã định. Họ
làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt
phần việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành
công việc?
.6/ Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai,
tổI sản xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất
được 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu
chi tiết máy?
7/ Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số
công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc
sẽ giảm đi 7 ngày.
.8/ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau
5
4
4
giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng nước của vòi I
chảy được bằng
2
1

1
lượng nước chảy được của vòi Ii. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao
lâu đầy bể?
.9/ Hai canô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85km và đi ngược chiều nhau.
Sau 1 giờ 40 phút thì hai canô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi canô, biết rằng vận tốc
của canô đi xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc của canô đi ngược dòng là
hkm9
và vận tốc dòng
nước là
h
km
3
.
.10/ Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3
giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công
việcđó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

.11/ Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất
chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy
15
2
bể. hỏi nếu mỗi vòi chảy một
mình thì phải bao lâu mới đầy bể?
.12/ Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc
từcùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây lại gặp nhau. Nếu
chúng chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
.13/ Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axít ; Loại I chứa 30% axít, loại II chứa 5%
axít. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 10% axít thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch

của mỗi loại?
14/ Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 20 phút, một canô chạy từ
bến A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô
chạy nhanh hơn thuyền
h
km
1
12
?
15/ Người ta hoà lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn
nó 200
3
m
kg
để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là
3
700
m
kg
. Tìm khối lượng riêng của
mỗi chất lỏng.
16/ Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6
lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số
đã cho.
17/ Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính
vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4
h
km
.
18/ Một vật là hợp kim đồng và kẽm có khối lượng là 124g và có thể tích 15cm

3
. Tính xem
trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích
là 10cm
3
và 7g kẽm thì có thể tích là 1cm
3
.
19/ Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vân tốc
20
h
km
, canô II chạy với vận tốc
h
km
24
. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp
tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB,biết rằng hai canô đến bến B
cùng một lúc.
20/ Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh
vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong
vườn để trồng trọt là 4256m
2
.
 : 0976762220
B
2
/ PHẦN HÌNH HỌC
1/ Cho tam giác ABC vuông ở A, AB=3cm,AC=4cm.
a/ Tính BC,

ΛΛ
CB,
?
b/ Phân giác của góc A cắt BC tại E.Tính BE,CE.
c/ Từ E kẻ EM và EN lần lượt vuông góc với AB và AC.Hỏi tứ giác AMEN là hình gì?
Tình chu vi và diện tích của tứ giác AMEN.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

2/ Cho tam giác ABC có AB=6cm;AC=4,5cm;BC=7,5cm.
a/ Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b/ Tính
ΛΛ
CB,
và đường cao AH.
c/ Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi hình chiếu của M trên AB, AC lần lượt là P và Q. Chứng
minh PQ = AM. Hỏi M ở vị trí nào thì pQ có độ dài nhỏ nhất?
3/ Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’)
với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’)
ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a/ Chứng minh OM=OP và tam giác NMP cân.
b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI=R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c/ Chứng minh AM.BN=R
2
.
d/ Tìm vị trí của M để dện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất.Vẽ hình minh hoạ.
4/ Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC, với
B
∈
(O) và

)'(OC ∈
. Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại M.
a/ Chứng minh MB=MC và Tam giác ABC là tam giác vuông.
b/ MO cắt AB ở E, MO’ cắt AC ở F.Chứng minh tứ giác MEAF là hình chữ nhật.
c/ Chứng minh hệ thức ME.MO=MF.MO’.
d/ Gọi S là trung điểm của OO’. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (S) đường
kính OO’.
5/ Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB cố định . Qua A và B vẽ các tiếp tuyến với nửa
đường tròn (O).
Từ một điểm M tuỳ ý trên nửa đường tròn ( M khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ ba với nữa
đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự tương ứng là H và K.
a/ Chứng minh tứ giác AHMO là tứ giác nội tiếp.
b/ Chứng minh AH + BK = HK.
c/ Chứng minh
HAO
∆
đồng dạng
AMB∆
và HO.MB = 2R
2
.
d/ Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn sao cho tứ giác AHKB có chu vi nhỏ
nhất.
6/ Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Các đường cao AG,BE,CF gặp nhau tại H.
a/ Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn nội tiếp tứ giác đó.
b/ Chứng minh GE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
c/ Chứng minh AH.BE = AF.BC.
d/ Cho bán kính đường tròn I là r và
α
=

∧
BAC
. Hãy tính độ dài đường cao BE của tam giác
ABE.
.7/ Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
, d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và tại C cắt d
theo thứ tự ở D và E.
a/ Tính
∧
DOE
.
b/ Chứng minh: DE = BD + CE.
c/ Chứng minh BD.CE = R
2
(R là bán kính (O))
d/ Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.
8/ Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H.Gọi O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

a/ Chứng minh: ED =
BC.
2
1

b/ Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của(O).
c/ Tính độ dài DE , Biết rằng DH = 2(cm0; HA = 6(cm).

9/ Cho nửa (O) với đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm
M thuộc nửa đường tròn đã cho, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C
và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh rằng:
a/ CD = AC + BD
b/ MN//AC
c/ CD.MN = CM.DB
d/ Hỏi rằng, M ở vị trí nào trên nửa đường tròn đã cho thì tổng AC+BD có giá trị nhỏ
nhất?
10/ Cho tam giác cân ABC (AB=AC). I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng
tiếp góc A, O là trung điểm của IK.
a/ Chứng minh rằng 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc đường tròn (O).
b/ Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).
c/ Tính bán kính đường tròn (O), biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.
11/ cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với
DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
a/ Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp.
b/ Tính góc CHK.
c/ Chứng minh KC.KD = KH.KB.
d/ Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào?
12/ Cho (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy
một điểm M(khác O). Đường thẳng CM cắt (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc
với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác OMNP nội tiếp.
b/ Tứ gíac CMPO là hình bình hành.
c/ Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí của điểm M.
d
*
/ Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
13/ Cho tam giác ABC vuông ở A ( với AB>AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm A,vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường

kính HC cắt AC tại F.
a/ Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b/ Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
c/ Chứng minh: AE.AB = AF.AC
d
*
/ Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.
14/ Cho nửa (O) với đường kính AB và một điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho (M khác
A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, người ta kẻ tia tiếp tuyến Ax .Tia
BM cắt tia Ax tại I;tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E,cắt tia BM tại F; tia
BE cắt Ax tại H , cắt AM tại K.
a/ Chứng minh:
IBIMIA .
2
=
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

b/ Chứng minh BÀ là tam giác cân.
c/ Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi.
d/ Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được đường tròn.
15/ Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính
BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F,G.
Chứng minh:
a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
b/ Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được
c/ AC//FG
d
*
/ Các đường thẳng AC,DE, và BF đồng quy.

16/ Cho hai đường tròn (O;3cm) và (O’;1cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài
BC (B
∈
(O), C
∈
(O’))
a/ Chứng minh rằng
0
60' =
∧
OBO
b/ Tính độ dài BC
c/ Tính diện tích hình giới hạn bởi tiếp tuyến BC và các cung AB,AC của hai đường tròn.
C/ HƯỚNG DẪN-GỢI Ý-ĐÁP SỐ
: 0976762220
C
1
/ PHẦN ĐẠI SỐ
C1.1 / CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CƠ
BẢN
1/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng
thức.
a/ 12x
2
y – 18xy
2
+ 30y
3
= 6y(…- … - … )
b/ 16x

2
(x-y)- 10y(y-x) = 2(x – y)(…+…)
c/ x
3
+ 9x
2
+27x +27 = (…+3)
3
d/ 8x
3
+ 36x
2
y +54xy
2
+27y
3
= (…+…)
3
e/ (x-y)
2
– 4 =…-2
2
= (x-y+2)(…-…-…)
g/ 8x
3
– y
3
= (2x…y)(…….)
2/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử
a/ 5x

2
– 5xy – 10x + 10y = ….= (5x-10)(x-y) = …5(….)(…)
b/ 2x
2
+2y
2
– x
2
z + z – y
2
z -2 = (2x
2
+x
2
z) + (2y
2
- y
2
z)+ (z + ) =….=(2-z)(…+…-…)
c/ x
3
+ x
2
y – x
2
z – xyz = (x
3
-x
2
z)+(x

2
y-xyz) = … =…= x(x+y)(x-…)
d/ 12xy – 12xz + 3x
2
y - 3x
2
z = … =…=3x(4+x)(y-z)
3/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
a/ 12x
5
y + 24x
4
y
2
+ 12x
3
y
3
=….=12x
3
y(x+y)
2
b/ x
2
– 2xy +y
2
-4 = …-2
2
=(x-y+2)(…)
c/ x

2
-7xy + 10y
2
= …= (x-5y)(x-2y)
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

d/ x
2
– 5x -14 = x
2
+2x-7x-14=… =(x-7)(x+2)
e/ x
2
+2x -15 = (x
2
+ 2x +1) -16 =…=(x+5)(x-3)
4/ Phân tích đa thức thành nhân tử
a/
15531 +++
=
5.3531 +++
= …=
( )( )
5131 ++
b/
21151410 +++
=….=
( )( )
7532 ++

c/
6151435 −−+
=….=
( )( )
3725 −+
d
*
/
83183 +++
=
( )
2
21233 +++
= …=
( )
214 +
5/ Thực hiện phép tính:
a/
877).714228( ++−
=…=21
b/
)4,032)(10238( −+−
=…=
8
5
516
−
(chú ý :
5
2

4,0 =
)
c/
10:)450320055015( −+
=…=
516
6/ Thực hiện phép tính:
a/
6
1
).
3
216
28
632
( −
−
−
=
( )
( )
6
1
.
3
66
122
126









−
−
−
=…=… =
2
3
−
b/
57
1
:)
31
515
21
714
(
−−
−
+
−
−
=
( ) ( )
( )

57
31
135
21
127
−−








−
−
+
−
−
=…. =-(7-5) =-2
c
*
/
1027
1528625
+
−++
=…=1 .
(Biến đổi các tổng trong căn thành dạng bình phương của một tổng và rút gọn )
7/ Rút gọn các biểu thức sau:

a/
baab
abba
−
+ 1
:
=
( )
( )
ba
ab
baba
−
+
.
= a-b .
b/
)
1
1)(
1
1(
−
−
−
+
+
+
a
aa

a
aa
= …=1-a.
8/ Giải các phương trình tích sau :
a/ (x-7)(2x+8) = 0



−=
=
⇔



=+
=−
⇔
4
7
082
07
x
x
x
x
b/ (x+8)(x-7)(x+6) = 0






−=
=
−=
⇔⇔
8
7
5

3
2
1
x
x
x
c/ (3x-3)(x
2
+3)(3x+21)



−=
=
⇔⇔
7
1

2
2
x

x
d/ (x
2
-9)(x+5)(x
2
+1) = 0
( )
( )
059
2
=+−⇔ xx
( Vì x
2
+1
o≠
)





−=
=
−=
⇔⇔
5
3
3

x

x
x
e
*
/ Vì x
2
+2x+2=(x+1)
2
+1>0 với mọi x, nên ta có:
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

(x+2)(x-5)(x
2
+2x+2) =0
( )( )



=
−=
⇔=−+⇔
5
2
052
x
x
xx
9/ Giải phương trình :
a/ 4x + 6 = 3x - 5

116534
−=⇔−−=−⇔
xxx
b/
x
xx
2
3
)12(2
5
3
23
+
+
=+
−
7
11
210133
3
624
3
1523
=⇔+=+⇔
++
=
+−
⇔ xxx
xxx

c/
133910412
4
3
6
52
1 =⇔−=+−⇔
−
=
−
− xxx
xx
d/
2
3
3
2
1
−
−
=+
− x
x
x
( )
22353
2
3
2
53

=⇔≠∀−=−⇔
−
−
=
−
−
⇔ xxxx
x
x
x
x
(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm
e/
7
1
8
7
8
−
=−
−
−
xx
x
. giải được x=7 (loại)
f/ MC: 2(y+5)(y-5)y
Đ/K:
5;0 ±≠≠ yy
Quy đồng mẫu, khử mẫu và rút gọn được: y=-5(loại)

Vậy phương trình vô nghiệm
10/ Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối( )
a/
xx −=− 125
( )



=
=
⇔⇔



−−=−
−=−
⇔
2
4

125
125
x
x
xx
xx
Phương trình có hai nghiệm:
2;4
21
== xx

b/
xx −=− 125

+ Với 1-x > 0 thì phương trình vô nghiệm, vì nếu tồn tại x thì vế trái không âm.
+ Với 1-x
10
≤⇔≥
x
, ta có :



=
=
⇔



−=−
−=−
⇔−=−
2
4
125
125
125
x
x
xx
xx

xx
điều kiện
1
≤
x
không được thoả mãn, vậy phương trình trên vô nghiệm.
c/
2512
2
=+− xx
( )



−=
=
⇔



−=−
=−
⇔=−⇔=−
24
26
251
251
251251
2
x

x
x
x
xx
Vậy phương trình có hai nghiệm:
24;26
21
−== xx
d/
14496
22
+−=++ xxxx
123 −=+⇔ xx
. Giải tương tự như câu a, tìm được
3
2
;4
21
−== xx
e/
5
1
=
+
x
x
( )
051 ≠∀=+⇔ xxx
Với x<0: phương trình vô nghiệm
Với x>0, ta có:







−=
=
⇔



−=+
=+
⇔=+
)(
6
1
4
1
51
51
51
loaix
x
xx
xx
xx
Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm là x=
4

1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

g
*
/
1011 =−++ xx
(1)
+TH1/ Khi
1
1
1
01
01
≥⇒



≥
−≥
⇔



≥−
≥+
x
x
x

x
x
, thì phương trình
(1)
( ) ( )
)/(51011 mtxxx =⇔=−++⇔
+TH2/ Khi
,11
1
1
01
01
<≤−⇔



<
−≥
⇔



<−
≥+
x
x
x
x
x
thì

( ) ( )
020111011 =⇔=−−+⇔=−++ xxxx
Phương trình vô nghiệm.
+TH3/ Khi



≥
−<
⇔



≥−
<+
1
1
01
01
x
x
x
x
, điều này không thể xảy ra.
+TH4/ khi
.1
1
1
01
01

−<⇒



<
−<
⇔



<−
<+
x
x
x
x
x
thì
(1)
( ) ( )
51021011 −=⇔=−⇔=−−+−⇔ xxxx
(thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình có hai nghiệm:
5;5
21
−== xx
11/ Giải bất phương trình bậc nhất
a/ 5(x-2) + 3 > 1 – 2(x-1)
7
10

1071025 >⇔>⇔>+⇔ xxxx
b/ 5 + 3x(x+3) < (3x-1)(x+2)
4
7
74253935
22
−<⇔−<⇔−+<++⇔ xxxxxx
c/ 2x +
51 +>− xx
( )
( )
.3
1
3
1
51
1
62
01
512
01
512
>⇒



≥
>
⇔











<
+>+



≥
>
⇔










<−
+>−−




≥−
+>−+
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxx
x
xxx

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm: x>3.
d
*
/
511 >−++ xx
(Áp dụng hệ thức
( )
( )



<∀−
≥∀
=

0
0
AA
AA
A
. Giải 4 hệ BPT, được:
x >
2
5
hoặc x <
2
5
−
)
e/
12
21
4
25 xx −
>
−
( )
17
7
71702161521253 >⇔>⇔>+−−⇔−>−⇔ xxxxxx
g/
15
25
10
311 +

<
− xx
( ) ( )
19
29
29194109332523113 >⇔−<−⇔+<−⇔+<−⇔ xxxxxx
h/
4
1
3
8
)1(3
2
−
−<
+
+
xx
Ta có:
( )
4
112
8
3316
4
1
3
8
13
2

+−
<
++
⇔
−
−<
+
+
xxxx
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

( )
5
7
75132193
4
13
8
193
<⇔<⇔−<+⇔
−
<
+
⇔ xxxx
xx
12/ Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của biểu thức sau cũng là số nguyên
a/
1
2

23
−
++
x
xx
b/
2
42
23
−
+−
x
xx
13/ Tìm giá trị của x để
a/ x
2
-2x+5 =…=
( )
441
2
≥+−x
Biểu thức lấy giá trị nhỏ nhất là 4, khi đó: (x-1)
2
= 0
101 =⇒=−⇒ xx
b/
62
1
22
++ xx

( )
0
51
1
2
>
++
=
x
Vì tử là một số dương không đổi, mà mẫu: (x+1)
2
+5
5≥
, nên :
Phân thức nhận giá trị lớn nhất khi: (x+1)
2
+5 nhỏ nhất bằng 5
( )
101
2
−=⇒=+⇔ xx
c/
12
4
1
12
52
22
2

+
+==
+
+
xx
x
lớn nhất khi
12
4
2
+x
lớn nhất. Muốn vậy thì 2x
2
+1 nhỏ nhất bằng
1, khi đó x=0.
Vậy phân thức có giá trị lớn nhất là 5 khi x=0
d
*
/
( )
( )
( )
x
x
x
xx
xx
∀≥
++
−

=
++
+−
0
12
1
54
12
2
2
2
2
.
Do đó phân thức có giá trị nhỏ nhất bằng 0, khi đó x-1=0
1=⇒ x
14/ Giải các hệ phương trình sau:
a/





=
=
⇔⇔



=+
=+

1
4
1

538
24
y
x
yx
yx


b/ Điều kiện;
0;0 ≠≠ yx

Đặt ẩn phụ
y
Y
x
X
1
,
1
==
, được hệ:



=+
=−

543
1
YX
YX
.
Giải được
2
7
;
9
7
7
2
;
7
9
==⇒== yxYX
(thoả mãn đ/k)
c/ TXĐ:
1;2 ≠≠ yx
Đặt ẩn phụ:
1
1
;
2
1
−
=
−
=

y
Y
x
X
.Ta giải hệ:



=−
=+
132
1
YX
YX
Giải được:
5
1
;
5
4
== YX
Với
6
5
1
1
1
;
4
13

5
4
2
1
=⇒⇒=
−
==⇒⇒=
−
= y
y
Yx
x
X
(TMĐK)
d/ ĐK các mẫu khác 0 là:
yx ±≠
e/ Đặt
yx
Y
yx
X
−
=
+
=
1
;
1
Giải hệ




=
=
⇔⇔



=−
=+
1
2

132
3
Y
X
YX
YX
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI ÔN TẬP MÔN TOÁN THCS.

Giải hệ pt








−=
=
⇔





=−
=+
⇒







=
−
=
+
4
1
4
3
1
2
1

1
1
2
1
y
x
yx
yx
yx
yx

15/ Giải phương trình bậc hai (Tính nhẩm nhanh nếu có thể)
a/
6;5
21
== xx
b/
7;3
21
== xx
c/
9;3
21
== xx
d/
5
12
;1
21
== xx

e/
3
22
;1
21
=−= xx
g/
2;1
21
== xx
16/ Giải các phương trình bậc hai sau:
a/
3
3
;3
21
−
== xx
; b/
2;1
21
== xx
c/
33;13
21
−=+= xx
;

)2(
0

06
);1(
0
06
06/
22
2*



≤
=−+



≥
=−−
⇔=−−
x
xx
x
xx
xxd
(1) có 2 nghiệm: x
1
=3, x
2
=-2 (loại). Vậy (1) có 1 nghiêm:x
1
=3

(2) có 2 nghiệm là: x
2
=2 (loại) ; x
3
=-3. Vậy pt (2) có 1 nghiệm: x
4
=-3
Vậy pt đã cho có hai nghệm:x
1
=3, x
4
=-3
17/ Tìm k để phương trình
04010
2
=++ kxx
a/ Có hai nghiệm phân biệt:
40 0'
<⇔⇔≥∆
k
b/ Có nghiệm kép:
40 0'
=⇔⇔=∆
k
c/ Vô nghiệm:
40 0'
>⇔⇔<∆
k
18/ Giải phương trình sau (bằng cách quy về bậc hai)
a/

0472
24
=−− xx
(1).Đặt X=x
2
, ĐK:
0≥X
,ta có (1)
0472
2
=−−⇔ XX

Giải được:
2
1
;4
21
−== XX
(loại)
Với x
2
=X=4
2
±=⇒
x
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm:
2,2
21
−== xx
b/ PT vô nghiệm

c/ PT vô nghiệm
d : PT có 4 nghiệm :
3;2
4,32,1
±=±= xx
19/ Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đồ thị
a/



+=
+−=
⇔



=−
=+
12
3
02
3
xy
xy
yx
yx
Vẽ đồ thị của hai hàm số trên trong cùng mặt phẳng tạo độ
xOy. Tìm tạo độ giao điểm M của hai đồ thị được M (
3
7

;
3
2
).
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho:
3
7
;
3
2
== yx