Tài liệu hình 9 ôn thi vào trường chuyên

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm thay đổi
trên BC không chứa A. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên MB và
MC.
a) Chứng minh rằng KH luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
b) Gọi P, Q là điểm đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh rằng PQ
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2:
a) Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) cắt (O). Từ một điểm A thay đổi
trên đường thẳng (d) nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là hai
tiếp điểm). Chứng minh rằng khi A thay đổi thì BC luôn đi qua một điểm cố
định.
b) Giải bài toán trong trường hợp (d) không cắt (O).
c) Cho đường tròn (O) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Một cát
tuyến thay đổi qua A cắt đường tròn tại B và C. Tiếp tuyến của B và C cắt
nhau tại điểm P. Chứng minh rằng P luôn thuộc một đường cố định.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhai tại A và B. Một cát tuyến
thay đổi qua A cắt (O) tại C và (O’) tại D. Tiếp tuyến tại C của (O) và tiếp
tuyến tại D của (O’) cắt nhau tại P.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD đi qua một điểm
cố định.
b) Gọi H, K là hình chiếu của B lên PC và PD. Chứng minh KH luôn tiếp
xúc với một đường tròn cố định.
c) Gọi M là trung điểm của PD. Chứng minh M thuộc một đường tròn cố
định.
d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD. Chứng minh I thuộc
một đường tròn cố định. Suy ra đường trung trực của PB luôn tiếp xúc với
một đường tròn cố định.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm
thay đổi trên cạnh BC. Đường tròn tâm I qua M tiếp xúc với AB tại B và
đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với AC tại C cắt nhau tại P.
a) Chứng minh P thuộc một đường cố định.

b) Chứng minh trung điểm của IJ luôn đi động trên một đường cố định.
Bài 5: Cho đường tròn (O) và điểm I cố định nằm trong đường tròn. Hai dây
cung AB và CD thay đổi qua nhưng luôn vuông góc nhau tại I. Gọi M, N là
trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. D và E là hai điểm thay đổi trên AB và
BC sao cho độ dài hình chiếu của DE trên BC bằng nửa độ dài cạnh BC.
Chứng minh rằng đường thẳng qua E vuông góc với DE luôn đi qua một
điểm cố định.
Bài 7: Cho đường tròn (O) cố định và dây AB không qua tâm cố định của
đường tròn (O). C là một điểm chuyển động trên cung nhỏ AB. Gọi M là
trung điểm của đoạn thẳng BC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với đường
thẳng AC tại H.
a) Chứng minh rằng đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng M luôn thuộc một đường cố định khi C di chuyển trên
cung nhỏ AB.
Bài 8: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. T là một điểm cố định trên
đoạn OB và một đường thẳng (d) qua T vuông góc với AB. M là một điểm
di chuyển trên (O) sao cho MA < MB. MA và MB lần lượt cắt đường thẳng
(d) tại P và Q. BP cắt (O) tại N. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố
định.