chuyên đề số phức ôn thi đại học

Số phức
Trang 1




1. Khái niệm số phức
 Tập hợp số phức: C
 Số phức (dạng đại số) :
z a bi
 

(a, b
R

, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vò ảo, i
2
= –1)
 z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
 Hai số phức bằng nhau:
'
’ ’ ( , , ', ' )
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b


    





2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)
R

được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay
bởi
( ; )
u a b


trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:









’ ’ ’ ’
a bi a b i a a b b i
       









’ ’ ’ ’
a bi a b i a a b b i
      
 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

u

biểu diễn z,
'
u

biểu diễn z' thì
'
u u

 
biểu diễn z + z’ và
'
u u

 
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :










' '  ’– ’ ’ ’
a bi a b i aa bb ab ba i
    

( ) ( )
k a bi ka kbi k R
   

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z a bi
 


1 1
2 2
; ' '; . ' . ';
z z
z z z z z z z z z z
z z
 
     

 
 
;
2 2
.
z z a b
 

 z là số thực 
z z

; z là số ảo 
z z
 


6. Môđun của số phức : z = a + bi

2 2
z a b zz OM
   



0, , 0 0
z z C z z
     


. ' . '

z z z z
 
'
'
z z
z
z
 
' ' '
z z z z z z
    

7. Chia hai số phức:

1
2
1
z z
z

 (z

0) 
1
2
' '. '.
'
.
z z z z z
z z

z z z
z

   
'
'
z
w z wz
z
  

I. SỐ PHỨC


CHƯƠNG
IV

SỐ PHỨC

Số phức
Trang 2
8. Căn bậc hai của số phức:



z x yi
 
là căn bậc hai của số phức
w a bi
 


2
z w


2 2
2
x y a
xy b

 




 w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
 w
0

có đúng hai căn bậc hai đối nhau
 Hai căn bậc hai của a > 0 là
a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là
.
a i
 

9. Phương trình bậc hai Az
2

+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
0

).

2
4
B AC
  


0
 
: (*) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
B
z
A
  
 , (

là 1 căn bậc hai của )

0
 
: (*) có 1 nghiệm kép:
1 2
2
B

z z
A
  
Chú ý: Nếu z
0


C là một nghiệm của (*) thì
0
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức:

(cos sin )
z r i
  
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z

0)

2 2
cos
sin
r a b
a
r
b
r



 


  



 





là một acgumen của z,
( , )
Ox OM
 


1 cos sin ( )
z z i R
    
  

11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho
(cos sin ) , ' '(cos ' sin ')
z r i z r i
      
:




. ' '. cos( ') sin( ')
z z rr i
       

 
cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r
     

12. Công thức Moa–vrơ:

 
(cos sin ) (cos sin )
n
n
r i r n i n
    
, (
*
n N

)

 

cos sin cos sin
n
i n i n
     

13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
 Số phức
(cos sin )
z r i
 
 
(r > 0) có hai căn bậc hai là:

cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
r i
và r i r i
 
 

 
 
 
     
   
       
     
 

     
 

 Mở rộng: Số phức
(cos sin )
z r i
 
 
(r > 0) có n căn bậc n là:

2 2
cos sin , 0,1, , 1
n
k k
r i k n
n n
 
 
  
 
 
   



Số phức
Trang 3
VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia
Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức.
Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
i i i
(4 – ) (2 3 ) –(5 )
  
b)
1
2 2
3
i i
 
  
 
 
c)
 
2 5
2 3
3 4
i i
 
  
 
 

d)
1 3 1
3 2
3 2 2

i i i
   
    
   
   
e)
3 1 5 3
4 5 4 5
i i
   
   
   
   
f)
i i
(2 3 )(3 )
 

g)
i
i
i
i 


 2
1
3
h)
i

2
1
3

i)
i
i


1
1

k)
mi
m
l)
aia
aia


m)
)1)(21(
3
ii
i



o)
1

2
i
i


p)
ai
bia 
q)
2 3
4 5
i
i



Bài 2. Thực hiện các phép toán sau:
a)
i i
2 2
(1 ) (1– )
  b)
i i
3 3
(2 ) (3 )
  
c)
i
2
(3 4 )


d)
3
1
3
2
i
 

 
 
e)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii


f)
i
6
(2 )


g)
3 3
( 1 ) (2 )
i i

   h)
100
(1 )
i
 i)
5
(3 3 )
i

Bài 3. Cho số phức
z x yi
 
. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
2
2 4
z z i
 
b)
z i
iz
1



Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c

R:
a)
2

1
a

b)
2
2 3
a

c)
4 2
4 9
a b

d)
2 2
3 5
a b


e)
4
16
a

f)
3
27
a

g)

3
8
a

h)
4 2
1
a a
 

Bài 5. Tìm căn bậc hai của số phức:
a)
1 4 3
i
 
b)
4 6 5
i

c)
1 2 6
i
 
d)
5 12
i
 

e)
4 5

3 2
i
 
f)
7 24
i

g)
40 42
i
 
h)
i
11 4 3.


i)
1 2
4 2
i
 k)
5 12
i
 
l)
8 6
i

m)
33 56

i



VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức
Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình.

Bài 1. Giải các phương trình sau (ẩn z):
a) 0
2
 zz b) 0
2
2
 zz
c)
izz 422 
d)
0
2
 zz

e)
2 1 8
z z i
   
f)
i z i
(4 5 ) 2
  

Số phức
Trang 4
g) 1
4









iz
iz
h)
i
i
z
i
i






2
31
1

2

i)
2 3 1 12
z z i
   k)
i z i i
2
(3 2 ) ( ) 3
  

l)
 
i z i iz
i
1
(2 ) 3 0
2
 
    
 
 
m)
1 1
3 3
2 2
z i i
 
  
 

 

o)
3 5
2 4
i
i
z

 
p) z i z z
2
( 3 )( 2 5) 0
   

q) z z z
2 2
( 9)( 1) 0
   
r)
3 2
2 3 5 3 3 0
z z z i
    

Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x):
a) 01.3
2
 xx b) 02.32.23
2

 xx
c)
x i x i
2
(3 ) 4 3 0
    
d)
2
3 . 2 4 0
i x x i
   

e)
2
3 2 0
x x
  
f)
2
. 2 . 4 0
  
i x i x
g)
3
3 24 0
x
 
h)
4
2 16 0

x
 

i)
5
( 2) 1 0
x
  
k)
2
7 0
x
 

l)
x i x i
2
2(1 ) 4 2 0
    
m)
x i x i
2
2(2 ) 18 4 0
    

o)
2
4 4 0
ix x i
   

p) x i x
2
(2 3 ) 0
  

Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:
a)
2 3 1 3
i và i
  
b)
2 4 4
i và i
 

Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận  làm nghiệm:
a)
3 4
i
 

b)
7 3
i
  
c)
2 5
i
 


d)
2 3
i
   
e)
3 2
i
  
f)
i
 


g)
(2 )(3 )
i i
  

h)
51 80 45 38
2 3 4
i i i i
   

i)
5
2
i
i






Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z
1
, z
2
thoả mãn điều
kiện đã chỉ ra:
a)
2 2 2
1 2 1 2
1 0, : 1
z mz m đk z z z z
      
b)
2 3 3
1 2
3 5 0, : 18
z mz i đk z z
    

c)
2 2 2
1 2
3 0, : 8
x mx i đk z z
    

Bài 6. Cho
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình


i z i z i
2
1 2 (3 2 ) 1 0
     
. Tính giá
trò của các biểu thức sau:
a)
2 2
1 2
A z z
 
b)
2 2
1 2 1 2
B z z z z
  c)
1 2
2 1
z z
C
z z
 

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)





izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
b)





izz
izz
.25
.55.
2
2
2

1
21
c)
3 5
1 2
2 4
1 2
0
.( ) 1
z z
z z

 






d)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
. . 1
z z z
z z z
z z z


  

  




e)
12 5
8 3
4
1
8
z
z i
z
z














f)
1
1
3
1
z
z i
z i
z i














Số phức
Trang 5
g)
2 2
1 2
1 2
5 2

4
z z i
z z i


  

  


h)
2
1
z i z
z i z

 


  


i)
2 2
1 2 1 2
1 2
4 0
2
z z z z
z z i



  

 



Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 1 2
3
x y i
x y i

  

  

b)
2 2
5
8 8
x y i
x y i

  

  


c)
4
7 4
x y
xy i

 

 


d)
2 2
1 1 1 1
2 2
1 2
i
x y
x y i

  



  

e)
2 2
6
1 1 2

5
x y
x y

  


 


f)
3 2
1 1 17 1
26 26
x y i
i
x y

  


  



g)
2 2
5
1 2
x y i

x y i

  

  

h)
3 3
1
2 3
x y
x y i

 

   




VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm
hệ thức giữa x và y.

Bài 1. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:
a)
3 4
z z
  

b)
1 2
z z i
   
c) 2 2
z z i z i
   

d)
2 . 1 2 3
  
i z z e)
2 2 2 1
i z z
  
f)
3 1
z
 

g)
2 3
z i z i
   
h)
3
1
z i
z i




i)
1 2
z i
  

k) 2
z i z
  
l)
1 1
z
 
m)
1 2
z i
  

Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:
a)
2
z i

là số thực b)
2
z i
 
là số thuần ảo c)

. 9
z z




VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức
Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.

Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a) i.322  b) 4 – 4i c)
1 3.
i


d)
4
sin.
4
cos


i e)
8
cos.
8
sin


i f) )1)(3.1( ii 

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)




3 cos20 sin20 cos25 sin25
o o o o
i i  b)
5 cos .sin .3 cos .sin
6 6 4 4
i i
   
   
 
   
   

c)




3 cos120 sin120 cos 45 sin 45
 
o o o o
i i d) 5 cos sin 3 cos sin
6 6 4 4
   
 

 
 
 
 
   
i i
Số phức
Trang 6
e)




2 cos18 sin18 cos 72 sin 72
 
o o o o
i i f)
cos85 sin85
cos40 sin 40
i
i


 
 

g)
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00

00
i
i


h)
2(cos 45 sin 45 )
3(cos15 sin15 )
i
i


 
 

i)
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2



i
i


k)
2 2
2 cos sin
3 3
2 cos sin
2 2
 

 
 
 

 
 
 
 
i
i

Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a) 31 i b)
1
i

c) )1)(31( ii  d) )3.(.2 ii 
e)

i
i


1
31
f)
i
2
2
1

g)


cos.sin i

h)
2 2
i


i)
1 3
i
 k)
3
i

l)

3 0
i

m)
5
tan
8
i



Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau:
a)
cos 45 sin 45
o o
i b) 2 cos sin
6 6
 

 
 
 
i c)


3 cos120 sin120

o o
i
d)

6
(2 )
i

e)
3
(1 )(1 2 )
i
i i

 
f)
1
i

g)
1
2 1
i
i


h)
 
60
1 3
i  i)
40
7
1 3

(2 2 ) .
1
i
i
i
 


 

 

k)
1 3 3
cos sin
4 4
2
i
 

 
 
 
l)
100
1
cos sin
1 4 4
i
i

i
   


 
 
  
 
 
m)
 
17
1
3
i


Bài 5. Tính:
a)
 
5
cos12 sin12
o o
i b)
 
16
1
i
 c)
6

)3( i
d)
 
7
0 0
2 cos30 sin30i
 

 
e)
5
(cos15 sin15 )
o o
i f)
2008 2008
(1 ) (1 )i i  
g)
21
321
335











i
i
h)
12
2
3
2
1








 i i)
2008
1







i
i

k)

5 7
(cos sin ) .(1 3 )
3 3
i i i
 
  l)
2008
2008
1 1
, 1
z biết z
z
z
  

Bài 6. Chứng minh:
a)
5 3
sin5 16sin 20sin 5sin
t t t t
  
b)
5 3
cos5 16cos 20cos 5cos
t t t t
  

c)
2 3
sin3 3cos sin

t t t
 
d)
3
cos3 4cos 3cos
t t t
 







Số phức
Trang 7


Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(2 )( 3 2 )(5 4 )
i i i
   
b)
6 6
1 3 1 7
2 2
i i
   
  


   
   

c)
16 8
1 1
1 1
i i
i i
   
 

   
 
   
d)
3 7 5 8
2 3 2 3
i i
i i
 

 

e)
(2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )
i i i i
     
f)

2 3 2009
1
i i i i
    

g)
2000 1999 201 82 47
i i i i i
   
h)
2
1 , ( 1)
n
i i i n
    

i)
2 3 2000
. . i i i i
k)
5 7 13 100 94
( ) ( ) ( )
i i i i i
  
     
Bài 2. Cho các số phức
1 2 3
1 2 , 2 3 , 1
z i z i z i
      

. Tính:
a)
1 2 3
z z z
 
b)
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
  c)
1 2 3
z z z

d)
2 2 2
1 2 3
z z z
  e)
1 2 3
2 3 1
z z z
z z z
 
f)
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z z




Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4 3 2
(1 2 ) 3 1 3 , 2 3
A z iz i z z i với z i
        

b)
 
B z z z z z với z i
2 3 2
1
( 2 )(2 ), 3
2
      

Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho:
a)
(1 2 ) (1 2 ) 1
i x y i i
    
b)
3 3
3 3
x y
i
i i
 

 
 

c)
2 2 2 2
1
(4 3 ) (3 2 ) 4 (3 2 )
2
i x i xy y x xy y i
      
Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a)
8 6
i

b)
3 4
i

c)
1
i

d)
7 24
i


e)
2

1
1
i
i
 

 

 
f)
2
1 3
3
i
i
 

 
 

 
g)
1 2
2 2
i
 h) i, –i
i)
3
1 3
i

i


k)
1 1
2 2
i

l)


2 1 3
i  m)
1 1
1 1
i i

 

Bài 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:
a)
i

b) –27 c)
2 2
i

d)
18 6
i



Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:
a)
2 12
i
b)
3
i

c)
2
i

d)
7 24
i
 

Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
3
125 0
z
 
b)
4
16 0
z
 

c)
3
64 0
z i
 
d)
3
27 0
z i
 

e)
7 4 3
2 2 0
z iz iz
   
f)
6 3
1 0
z iz i
   
g)
10 5
( 2 ) 2 0
z i z i
    

Bài 9. Gọi
1 2
;

u u
là hai căn bậc hai của
1
3 4
z i
 
và
1 2
;
v v
là hai căn bậc hai của
2
3 4
z i
 
. Tính
1 2
u u

1 2
v v
 
?
II. ÔN TẬP SỐ PHỨC


Số phức
Trang 8
Bài 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)

2
5 0
z
 
b)
2
2 2 0
z z
  
c)
2
4 10 0
z z
  

d)
2
5 9 0
z z
  
e)
2
2 3 1 0
z z
   
f)
2
3 2 3 0
z z
  

g)
( )( ) 0
z z z z
  
h)
2
2 0
z z
  
i)
2
2
z z
 

k)
2 3 2 3
z z i
  
l)
   
2
2 +2 2 3 0
z i z i
   
m)
3
z z


n)
2
2
4 8 8
z z
 
o)
2
(1 2 ) 1 0
iz i z
   
p)
2
(1 ) 2 11 0
i z i
   

Bài 11. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
4 4
5 6 0
z i z i
z i z i
 
 
  
 
 

 
b)
  


2
5 3 3 0
z i z z z
    

c)




2 2
2 6 2 16 0
z z z z
    
d)
   
3 2
1 3 3 0
z i z i z i
     

e)
 



2
 2 2 0
z i z z
   
f)
2
2 2 1 0
z iz i
   

g) z i z i
2
(5 14 ) 2(12 5 ) 0
    
h)
2
80 4099 100 0
z z i
   

i) z i z i
2
( 3 ) 6( 3 ) 13 0
      
k) z i z i
2
(cos sin ) cos sin 0
       

Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x i x i
2
(3 4 ) 5 1 0
    
b)
x i x i
2
(1 ) 2 0
    
c)
2
3 2 0
x x
  

d)
2
1 0
x x
  
e)
3
1 0
x
 

Bài 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a)
3 2
2 2 0

z iz iz
   
b)
z i z i z i
3 2
( 3) (4 4 ) 4 4 0
      

Bài 14. Tìm m để phương trình sau:
 


2 2
2 2 0
z i z mz m m
    

a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c) Có ba nghiệm phức
Bài 15. Tìm m để phương trình sau:
3 2
(3 ) 3 ( ) 0
z i z z m i
     
có ít nhất một nghiệm
thực
Bài 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho
( 2)( )
z z i
 

là số thực.
Bài 17. Giải các phương trình trùng phương:
a) z i z i
4 2
8(1 ) 63 16 0
    
b)
z i z i
4 2
24(1 ) 308 144 0
    

c)
4 2
6(1 ) 5 6 0
z i z i
    

Bài 18. Cho
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình:


z i z i
2
1 2 2 3 0
    
. Tính giá trò

của các biểu thức sau:
a)
2 2
1 2
z z

b)
2 2
1 2 1 2
z z z z
 c)
3 3
1 2
z z


d)
1 2
2 1 1 2
1 2 1 2
z z
z z z z
   
  
   
   
   
e)
3 3
2 1 1 2

z z z z
 f)
1 2
2 1
z z
z z


Bài 19. Cho
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0
x x
  
. Tính giá trò của các biểu
thức sau:
a)
2000 2000
1 2
x x b)
1999 1999
1 2
x x c)
1 2
,
n n
x x n N

 

Bài 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ
thức sau:
Số phức
Trang 9
a)
3
z
z i


b)
2 2
1
z z
 
c)
1
z
z


Bài 21. Hãy tính tổng
2 3 1
1
n
S z z z z

    

biết rằng
2 2
cos sinz i
n n
 
  .
Bài 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a)
4 3 2
1
i i i i
   
b)
(1 )(2 )
i i
 
c)
2
1
i
i



d) 1 sin cos , 0
2
i
   

  

e) 3 cos sin
6 6
i
 
 
 
 
 
f) cot ,
2
i
  

  

g) sin (1 cos ), 0
2
i
   

  

Bài 23. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a)
 
 
8
6
6 8
2 3 2 (1 )

(1 )
2 3 2
i i
i
i
 



b)
   
4
10 4
( 1 ) 1
3 2 3 2
i
i i
 

 
c)
   
1 3 1 3
n n
i i  
d)
sin cos
8 8
i 
 

e)
cos sin
4 4
i
 
f)
2 2 3
i
 

g) 1 sin cos , 0
2
i
   

  
h)
1 cos sin
, 0
1 cos sin 2
i
i
 
 
 
  

 
i)
4 3

i


Bài 24. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a)
 
 
8
6
6 8
2 3 2 (1 )
(1 )
2 3 2
i i
i
i
 



b)
   
4
10 4
( 1 ) 1
3 2 3 2
i
i i
 


 
c)
   
1 3 1 3
n n
i i  
Bài 25. Chứng minh các biểu thức sau có giá trò thực:
a)
   
7 7
2 5 2 5
i i   b)
19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
i i
   
 

   
 
   

c)
6 6
1 3 1 3
2 2
i i
   

   

   
   
d)
5 5
1 3 1 3
2 2
i i
   
   

   
   

e)
6 6
3 3
2 2
i i
   
 

   
   

Bài 26. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện
3
2 3
2

z i
  
. Tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất.
Bài 27. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau:

4 2 6
; (1 )(1 2 );
1 3
i i
i i
i i

 
 

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Bài 28. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a)
3 2
(2 2 ) (5 4 ) 10 0
z i z i z i
     
b)
3 2
(1 ) ( 1) 0
z i z i z i
     

c)
3 2
(4 5 ) (8 20 ) 40 0
z i z i z i
     

Bài 29. Cho đa thức
3 2
( ) (3 6) (10 18 ) 30
P z z i z i z i
      .
Số phức
Trang 10
a) Tính
( 3 )
P i

b) Giải phương trình
( ) 0
P z

.
Bài 30. Giải phương trình
2
1
2
7
z
z
z

 

 
 

 
, biết
3 4
z i
 
là một nghiệm của phương trình.
Bài 31. Giải các phương trình sau:
a)
4 3 2
2 2 1 0
z z z z
    
b)
4 3 2
2 2 1 0
z z z z
    

c)







4 3 2
1 2 2 2 1 2 1 0
z z z z
       
d)
4 3 2
4 6 4 15 0
z z z z
    

e)
6 5 4 3 2
13 14 13 1 0
z z z z z z
      

Bài 32. Giải các phương trình sau:
a)
2 2 2 2
( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0
z z z z z z
      
b)
3
8
z i
z i
 



 

 

c)
2 4 2 2 2 4
( 1) 6 ( 1) 5 0
z z z z z z
      
d)
3 2
1 0
z i z i z i
z i z i z i
     
  
   
     
  
     

Bài 33. Chứng minh rằng: nếu
1
z

thì
2
1
2
z i

iz



.
Bài 34. Cho các số phức
1 2 3
, ,
z z z
. Chứng minh:
a)
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3
z z z z z z z z z z z z
          
b)




2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1z z z z z z     
c)




2 2 2 2
1 2 1 2 1 2

1 1 1z z z z z z     
d) Nếu
1 1
z z c
 
thì
2 2
2
1 2 1 2
4
z z z z c
    .





Chuyên

đề: SỐ

PHỨC
Lờigiải: