đồ án kỹ thuật điện điện tử Ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định giá trị của luật hợp thành trong điều khiển mờ.

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1 3
CHUẨN HỢP NHẤT 3
1.1. Tập mờ, Logic mờ 3
1.1.1. Khái niệm tập mờ 3
1.1.2. Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ 6
1.1.3. Hàm chuyển 18
1.2. Chuẩn hợp nhất 19
1.2.1. Chuẩn hợp nhất 19
1.2.2. Tính chất của toán tử hợp chuẩn nhất: 20
1.2.3 Chuẩn hợp nhất Umax , Umin 22
1.2.4. Chuẩn hợp nhất lũy đẳng 25
1.2.4. Chuẩn hợp nhất biểu diễn 31
CHƯƠNG 2 35
PHÉP KÉO THEO 35
2.1 Phép kéo theo 35
2.1.1. Định nghĩa phép kéo theo 35
2.1.2. Các dạng hàm kéo theo định nghĩa bằng các hàm t-chuẩn, t-đối chuẩn
và phủ định : 35
2.2 Phép kéo theo (U,N) 36
2.3 Phép kéo theo RU 38
2.4 Phép kéo theo QL 44
2.5 Phép kéo theo D 50
CHƯƠNG 3 53
ỨNG DỤNG CỦA CHUẨN HỢP NHẤT 53
TRONG ĐIỀU KHIỂN MỜ 53
3.1. Chuẩn hợp nhất lũy đẳng 53
3.2. Quá trình điều khiển với yếu tố mờ, không chắc chắn 54
3.3. Biến ngôn ngữ 56
3.4. Cấu trúc cơ bản 57

3.5. Cơ sở luật 58
3.6. Khâu mờ hóa 58
3.7. Mô tơ suy diễn 60
3.8. Khâu giải mờ 62
Vậy với mực nước là 2m thì van điều chỉnh mở ở mức 5 63
KẾT LUẬN 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65
MỞ ĐẦU

Từ nhiều năm trở lại đây, lí thuyết tập mờ và logic mờ phát triển rất nhanh và
đa dạng. Công nghệ mờ và công nghệ mạng nơ-ron đã cung cấp nhiều công nghệ
mới cho các ngành công nghiệp làm ra nhiều sản phẩm thông minh, đáp ứng nhu
cầu thị trường cần có bộ điều khiển linh hoạt hơn, những thiết bị biết làm việc với
những bài toán khó, phải xử lí nhiều loại thông tin mập mờ, chưa đầy đủ và thiếu
chính xác. Logic mờ đã đóng góp rất cơ bản cho lập luận xấp xỉ trong những tình
huống mới phức tạp như là tình huống thông tin thiếu chính xác, chưa đầy đủ.
Trong lôgic mờ khái niệm t-chuẩn và t-đối chuẩn đóng vai trò quan trọng
trong việc tổng quát hóa các toán tử kết hợp and và or. Các toán tử này được xác
định trong đoạn [0,1] nhưng khác nhau ở phần tử trung hòa của chúng. Đối với t-
chuẩn phần tử đơn vị là 1 còn đối với t- đối chuẩn phần tử đơn vị l bằng 0. Hợp
nhất và tổng quát hóa các toán tử này bằng cách gán phần tử đơn vị là một số nằm
trong một khoảng đơn vị. Ta gọi cách tổng quát hóa lớp các toán tử này là toán tử
chuẩn hợp nhất.
Nội dung chính của luật văn là tôi tìm hiểu toán tử chuẩn hợp nhất, ứng dụng
của nó trong việc xây dựng phép kéo theo và phần tiếp theo tôi mạnh dạn đề xuất
« mang tính chất định hướng » : ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định
giá trị của luật hợp thành trong điều khiển mờ.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1, Toán tử Chuẩn hợp nhất. Trong luận văn này, tôi chỉ đề cấp
đến các lớp chuẩn hợp nhất phổ biến sau đây và các tính chất của nó:

+ Lớp chuẩn hợp nhất dạng U
min
, U
max
+ Lớp chuẩn hợp nhất lũy đẳng.
+ Lớp chuẩn hợp nhất biểu diễn và Lớp chuẩn hợp nhất liên tục.
Chương 2, Phép kéo theo . Nội chính là ứng dụng của toán tử chuẩn hợp
nhất trong việc xậy các phép kéo theo sau :
+ Phép kéo theo (U,N)
1
+ Phép keo theo RU
+ Phép kéo theo QL
+ Phép kéo theo
Chương 3, Ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong Điều khiển mờ : Nội
dung chính là : ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định giá trị của luật hợp
thành trong điều khiển mờ.
Do thời gian có hạn và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô giáo để
hoàn thiện hơn bản luận văn của mình.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin
học đã hướng dẫn chúng em trong thời gian học tập tại trường. Em xin cảm ơn
PGS.TSKH Bùi Công Cường đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành bài luận văn này.
2
CHƯƠNG 1
CHUẨN HỢP NHẤT
1.1. Tập mờ, Logic mờ
1.1.1. Khái niệm tập mờ
a. Định nghĩa tập mờ
* Định nghĩa 1.1.1:
Tập mờ A trên tập kinh điển X là tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp

(x,μ
A
(x)), với
x X∈
và μ
A
là một ánh xạ:
: [0,1]
A
X
µ
→
.
X gọi là tập nền (không gian nền)
A
µ
gọi là hàm thuộc (membership function).

( )
A
x
µ
là độ thuộc của x vào tập mờ A.
Tập A được gọi là tập rỗng nếu nó không có phần tử nào. Kí hiệu là:
A
φ
=

* Các ví dụ:
+ Ví dụ 1.1.1:

Cho không gian nền X = [0, 200] là tập chỉ các tốc độ của xe ôtô (đơn vị là
km/h).
Xét tập mờ A = ”Những tốc độ được coi là nhanh ” xác định bởi hàm thuộc
A
µ
như đồ thị sau:

3
1
0.85
0.5
10040 60 80
X
A
µ
120
+ Ví dụ 1.1.2 : Vết vân tay của tội phạm trên hiện trường là một ví dụ về tập mờ
được cho trong hình sau:

Hình 1: Để cho gọn, ta kí hiệu độ thuộc là A(x) thay cho
( )
A
x
µ
.
Ta cũng kí hiệu A={(
( )
A
x
µ

/x):x
∈
X}
+ Ví dụ 1.1.3:
A
0
= một vài (quả cam) ={ (0/0),(0/1),(0.6/2),(1/3),(1/4),(0.8/5),(0.2/6)}
Ta sẽ kí hiệu: F(X) = {A tập mờ trên X}
b. Các phép toán đại số trên tập mờ :
* Định nghĩa 1.1.2: Cho A , B là hai tập mờ trên không gian nền X, có các
hàm thuộc là
,
A B
µ µ
. Khi đó phép hợp
A B∪
, phép giao
A B∩
và phần bù
C
A

là các tập mờ trên X với các hàm thuộc cho bởi:

( ) ax{ ( ), ( )}, x X
( ) in{ ( ), ( )}, x X
( ) 1 ( ), x X
C
A B A B
A B A B

A
A
x m x x
x m x x
x x
µ µ µ
µ µ µ
µ µ
∪
∩
= ∈
= ∈
= − ∈
* Định nghĩa 1.3: Cho
, ( )A B F X∈
. Ta nói:

A B⊆
nếu
( ) ( )
A B
x x
µ µ
≤
với mọi
x X∈

A B⊇
nếu
( ) ( )

A B
x x
µ µ
≥
với mọi
x X∈
Do đó:

A B=
nếu
( ) ( )
A B
x x
µ µ
=
với mọi
x X∈
Với các tập mờ thì nhiều tính chất của tập rõ vẫn còn đúng. Mệnh đề sau sẽ
minh họa điều đó.
4

1
( ) 1
A
x
µ
=


2

( ) 0.7
A
x
µ
=

* Mệnh đề 1.1.1: Cho
, , ( )A B C F X∈
. Ta có các tính chất sau:
a) Giao hoán:
;A B B A A B B A∪ = ∪ ∩ = ∩
b) Kết hợp:
( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
c) Lũy đẳng:
;A A A A A A∪ = ∩ =
d) Phân phối:
( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
e)
A
φ φ
∩ =
và
A X X∪ =
f) Đồng nhất:
A A
φ

∪ =
và
A X A∩ =
g) Hấp thu:
( )A A B A∪ ∩ =
và
( )A A B A∩ ∪ =
h) Luật De Morgan:
( )
C C C
A B A B∪ = ∩
và
( )
C C C
A B A B∩ = ∪
i) Cuộn:
( )
C C
A A=
j) Dạng tương đương:
( ) ( ) ( ) ( )
C C C C
A B A B A B A B∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
k) Hiệu đối xứng:
( ) ( ) ( ) ( )
C C C C
A B A B A B A B∩ ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
Chứng minh:(Ở đây ta chứng minh một vài đẳng thức để minh họa)
+ Chứng minh đẳng thức của tính chất phân phối:

( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

Đặt:
1 2
( ), ( )D A B C D A B C= ∪ ∪ = ∪ ∪
Lấy x tùy ý, cố định.Ta sẽ chỉ rõ rằng:
1 2
( ) ( )
D D
x x
µ µ
=
Kí hiệu
( ), ( ), ( )
A B C
a x b x c x
µ µ µ
= = =
Do x cố định, như vậy ứng với véc tơ (a, b, c) ta chỉ cần xét 6 trường hợp và được
cho trong bảng sau:
( )( )B C x∪
1
( )D x
( )( )A C x∪
2
( )D x
a b c
≤ ≤
c c c c
a c b≤ ≤

b b c b
b c a
≤ ≤
c a a a
b a c≤ ≤
c c c c
c a b
≤ ≤
b b a b
5
c b a
≤ ≤
b a a a
1.1.2. Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ.
Trong những suy luận đời thường cũng như trong các suy luận khoa học chặt
chẽ, logic toán học đã đóng vai trò rất quan trọng .
Nhưng đáng tiếc, chiếc áo logic toán học cổ điển đã quá chật hẹp đối với
những ai mong muốn tìm kiếm những cơ sở vững chắc cho những suy luận phù hợp
hơn với những bài toán nảy sinh từ nghiên cứu và thiết kế những hệ thống phức tạp,
đặc biệt là những cố gắng đưa những suy luận giống như cách con người vẫn thường
sử dụng vào các lĩnh vực trí tuệ nhân tạo (chẳng hạn trong các hệ chuyên gia, các hệ hỗ
trợ quyết định, các bộ phần mềm lớn,…) hay vào trong công việc thiết kế và điều
khiển, vận hành các hệ thống lớn, phức tạp sao cho kịp thời và hiệu quả.
Trong sự phát triển đa dạng của các hệ mờ, dựa trên cách tiếp cận mới của lí
thuyết tập mờ, logic mờ giữ một vai trò cơ bản.Trong chương này, ta sẽ hiểu logic
mờ theo nghĩa đủ “hẹp” – đó là phần trực tiếp suy rộng logic mệnh đề cổ điển thông
qua việc trình bày một số công cụ củ chốt của logic mờ: các liên kết logic cơ bản.
1.1.2.1. Logic mệnh đề cổ điển:
Ta kí hiệu P là tập hợp các mệnh đề và P, P
1

, Q, Q
1
…là những mệnh đề.
Với mỗi mệnh đề P
∈
P , ta gán một giá trị v(P) là giá trị chân lí của mệnh đề.
Logic cổ điển đề nghị v(P) =1 nếu P là đúng, v(P) = 0 nếu P là sai.
Trên P chúng ta xác định trước tiên 3 phép toán cơ bản và rất trực quan:
- Phép tuyển: P OR Q, kí hiệu là
P Q∨
, đó là mệnh đề “hoặc P hoặc Q”
- Phép hội: P AND Q, kí hiệu là
P Q∧
, đó là mệnh đề “vừa P vừa Q”
- Phép phủ định: NOT P , kí hiệu là
P¬
, đó là mệnh đề “không P”.
Dựa vào 3 phép toán logic cơ bản này, người ta đã định nghĩa nhiều phép toán
khác, nhưng quan trọng nhất là phép kéo theo (implication), kí hiệu là
P Q⇒
.
* Định nghĩa 1.1.4:
Khi sử dụng các liên kết logic: phép tuyển, phép hội, phép phủ định, phép
kéo theo và phép tương đương (
⇔
), giá trị chân lí của mệnh đề hệ quả được
xác định phụ thuộc vào giá trị chân lí của các mệnh đề gốc P, Q cho trong
6
bảng sau:
P Q

P¬
P Q∨
P Q∧
P Q⇒
P
⇔
Q
1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 1

Sử dụng những định nghĩa trên, trong logic cổ điển, các luật suy diễn quan
trọng sau đây giữ vai trò rất quyết định trong các lập luận truyền thống. Đó là các
luật sau:
- Modus ponens:
( ( ))P P Q Q∧ ⇒ ⇒
- Modus tollens:
(( ) )P Q Q P⇒ ∧¬ ⇒ ¬
- Syllogism:
(( ) ( )) ( )P Q Q R P R⇒ ∧ ⇒ ⇒ ⇒
- Contraposition:
( ) ( )P Q Q P⇒ ⇒ ¬ ⇒ ¬
* Mệnh đề 1.1.2: Luật modus ponens luôn đúng trong logic cổ điển.
Chứng minh:
Ta chỉ cần tính giá trị chân lí của
( ( ))P P Q Q∧ ⇒ ⇒
.
Thật vậy
P Q

P Q⇒
( )P P Q∧ ⇒
( ( ))P P Q Q∧ ⇒ ⇒
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
Từ bảng chân lí trên ta có điều phải chứng minh.
* Mệnh đề 1.1.3: Luật Modus tollens:
(( ) )P Q Q P⇒ ∧¬ ⇒ ¬
luôn đúng trong
logic cổ điển.
Chứng minh: Ta chỉ cần tính giá trị chân lí của
(( ) )P Q Q P⇒ ∧ ¬ ⇒ ¬
.
Thật vậy:
P Q
P¬
Q¬
P Q⇒
( )P Q Q⇒ ∧¬
(( ) )P Q Q P⇒ ∧ ¬ ⇒ ¬
1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1
7

Từ bảng chân lí trên ta có điều phải chứng minh.
Ta có thể lí giải luật modus ponens làm ví dụ. Luật này có thể giải thích như sau:

Nếu mệnh đề P là đúng và định lí “ P kéo theo Q “ đúng thì mệnh đề Q cũng đúng.
Tương tự ta có thể lí giải cho các luật khác.
1.1.2.2. Một số phép toán cơ bản của logic mờ
Năm 1973, L.Zadeh đã chính thức định nghĩa và làm việc với các liên kết logic
mờ cơ bản, đồng thời với việc đưa ra khái niệm biến ngôn ngữ đã bước đầu ứng
dụng vào suy diễn mờ. Đây là bước khởi đầu rất quan trọng tính toán các suy diễn
dùng logic mờ trong các hệ mờ.
Thật tự nhiên để có thể tiến hành mô hình hóa các hệ thống có nhiều thông tin
bất định và nhiều tri thức còn mập mờ và tìm cách biểu diễn các quy luật vận hành
trong các hệ thống này, chúng ta cần suy rộng các phép liên kết logic cơ bản với
các mệnh đề có giá trị chân lí v(P) nhận trong đoạn [0,1],( thay cho quy định v(P)
chỉ nhận giá trị 1 hoặc 0 như trước đây).
Ta đưa vào các phép toán cơ bản của logic mờ qua con đường tiên đề hóa. Cho
các mệnh đề P, P
1
, Q …, giá trị chân lí v(P),v(P
1
),v(Q) … sẽ nhận trong đoạn [0, 1].
Sau đây là bốn phép liên kết cơ bản nhất:
a. Phép phủ định
* Định nghĩa 1.1.5: Hàm n: [0, 1]
→
[0,1] không tăng thỏa mãn các điều kiện:
n(0) = 1, n(1) = 0
gọi là hàm phủ định (negation-hay là phép phủ định).
* Định nghĩa 1.1.6:
a) Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt.
b) Hàm phủ định n là mạnh nếu nó là chặt và thỏa mãn n(n(x)) = x,
[0,1]x∀ ∈
* Ví dụ 1.1.4:

- Hàm phủ định thường dùng n(x) = 1-x. Đây là hàm phủ định mạnh
- Hàm n(x) = 1-x
2
. Đây là một phủ định chặt nhưng không mạnh.
- Họ phủ định(Sugeno)
1
( ) , 1
1
x
N x
x
λ
λ
λ
−
= > −
+
. Với họ Sugeno này ta có mệnh
8
đề sau:
* Mệnh đề 1.1.4: Với mỗi
1
λ
> −
,
( )N x
λ
là một phủ định mạnh.
Chứng minh:
Thật vậy, do

1 0
λ
+ >
với
1 2 1 1 2 2
,x x x x x x
λ λ
< + < +
.
Điều này tương đương với
1 2
( ) ( )N x N x
λ λ
>
.
Hơn nữa,
(1 ) (1 )
( ( ))
(1 ) (1 )
x x
N N x x
x x
λ λ
λ
λ λ
+ − −
= =
+ + −
với mỗi
0 1x

≤ ≤
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho
Ω
là không gian nền, một tập mờ A
trên
Ω
tương ứng với hàm thuộc A:
[0,1]Ω →
.
* Định nghĩa 1.1.7: Cho n là hàm phủ định , phần bù
C
A
của tập mờ A là một
tập mờ với hàm thuộc cho bởi
( ) ( ( ))
C
A a n A a=
, với mỗi
a ∈Ω
.
Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1.1 là trường hợp riêng khi n(x)
là hàm phủ định thường dùng.
b. Phép hội
Phép hội( conjunction) là một trong mấy phép toán logic cơ bản nhất. Thông
thường ta xét mấy tiên đề sau:
TĐ 1: v(P
1
AND P

2
) chỉ phụ thuộc vào v(P
1
), v(P
2
)
TĐ 2: Nếu v(P
1
) = 1 thì v(P
1
AND P
2
) = v(P
2
), với mọi mệnh đề P
2
.
TĐ 3: Giao hoán: v(P
1
AND P
2
) = v(P
2
AND P
1
)
TĐ 4: Nếu
1 2
( ) ( )v P v P≤
thì v(P

1
AND P
3
)
≤
v(P
2
AND P
3
), với mọi mệnh đề P
3
TĐ5: Kết hợp: v(P
1
AND (P
2
AND P
3
)) = v((P
1
AND P
2
)AND P
3
)
* Định nghĩa 1.1.8: Hàm T: [0, 1]
2

→
[0, 1] là một t-chuẩn (t-norm) nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:

a) T(1, x) = x , với mọi
0 1x
≤ ≤
b) T có tính chất giao hoán, tức là T(x, y) = T(y, x), với mọi
0 , 1x y≤ ≤
c) T không giảm theo nghĩa
( , ) ( , )T x y T u v≤
, với mọi
,x u y v≤ ≤
d) T có tính kết hợp: T(x,T(y, z)) = T(T(x, y), z), với mọi
0 , , 1x y z≤ ≤
Từ những tiên đề trên ta suy ra ngay T(0,x). Hơn nữa, tiên đề d) đảm bảo tính
9
thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến.
Ví dụ 1.5:
1) Min(Zadeh): T
1
(x, y) = min(x, y)
2)
2
( , )
xy
T x y
x y xy
=
+ −
3) t-chuẩn dạng tích: T
3
(x, y) = xy
4)

4
( , )
2 ( )
xy
T x y
x y xy
=
− + −
5) t-chuẩn Lukasiewicz: T
L
(x, y) = max{x+y-1,0}
6) t-chuẩn yếu nhất:
min( , ) ax(x, y) =1
( , )
0 khi ax(x, y) <1
x y khi m
Z x y
m

=


* Tính chất của t-chuẩn:
+ Mệnh đề 1.1.5: Với mỗi t- chuẩn T thì:

1
( , ) ( , ) ( , ) min( , )Z x y T x y T x y x y≤ ≤ =
với mọi
0 , 1x y≤ ≤
.

Chứng minh:
Thật vậy,
- Nếu max(x,y) = 1
Khi x = 1, T(1, y) = y = min(x, y) hay Z(x,y) = T(x, y) =T
1
(x, y).
Tương tự nếu y = 1.
- Nếu max(x, y) < 1, Z(x, y) = 0 < T(x, y).
Giả sử y = min(x, y), khi đó T(x, y) < T(1, y) = y = T
1
(x, y).
Tương tự nếu x = min(x, y).
* Định nghĩa 1.1.9:
a) Một t-chuẩn T gọi là liên tục nếu T là hàm liên tục trên [0, 1]
2
.
b) Hàm T gọi là Archimed nếu T(x, x)< x với mọi
0 1x< <
c) Hàm T gọi là chặt nếu T tăng chặt trên (0,1)
2
* Ví dụ 1.1.6:
1)
4
( , )
2 ( )
xy
T x y
x y xy
=
− + −

là Archimed vì
2
4
2
( , )
2 (2 )
a
T a a
a a
=
− −
và do:
2 2
2 2
2
2 2 ( 1) 1 1
2 (2 ) 1
a a
a a a a
a a
− + = − + > ⇒ < <
− −
10
Vậy T
4
(a,a) < a với mọi
(0,1)a ∈
.
2) T
3

(x,y) = xy là chặt vì
1 2 1 2
0 , 0x x y y≤ < ≤ <
, ta có
1 1 2 2
x y x y<
.
3) T
1
(x,y) = min(x,y) là một hàm liên tục trên [0,1]
2
, nên t-chuẩn T là liên tục.
Hơn thế nữa, ta luôn có T
1
(x,x) = min(x,x) = x.
* Đồ thị của một số hàm t-chuẩn:
Hàm T
3
(x, y) = xy:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

0
0.5
1
y
x
z
Hàm T
L
(x, y) = max{x+y-1,0}:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.5
1
y
x
z
c. Phép tuyển
Cũng như phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR (disjunction) thông
thường thỏa mãn các tiên đề sau:
* Định nghĩa 1.1.10: Hàm S: [0, 1]

2

→
[0, 1] gọi là một phép tuyển (OR suy
rộng) hay là t-đối chuẩn (t-cornorm) nếu thỏa mãn các tiên đề sau:
11
a) S(0, x) = x , với mọi
0 1x
≤ ≤
b) S có tính chất giao hoán, tức là S(x, y) = S(y, x), với mọi
0 , 1x y≤ ≤
c) S không giảm theo nghĩa
( , ) ( , )S x y S u v≤
, với mọi
0 1, 0 1x u y v≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
d) S có tính kết hợp: S(x,S(y, z)) = S(S(x, y), z), với mọi
0 , , 1x y z≤ ≤
Từ định nghĩa ta thấy:
(0,1) ( ,1) 1 ( ,1) 1 ( ,1) 1S S x S x S x≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ =
* Ví dụ 1.1.7:
1) S
0
(x, y) = max(x, y)
2)
1
( , )S x y x y xy= + −
3) S
2
(x, y) = min{x+y,1}
4)

3 1
ax( , ) =1
( , ) ax (x,y)=
1 khi 1
m x y khi x y
S x y m
x y
+

=

+ ≠

5)
4
ax( , ) min( , ) 0
( , )
1 khi min( , ) 0
m x y khi x y
S x y
x y
=

=

≠

Các hàm này đều là các t-đối chuẩn.
* Đồ thị của một số hàm t-đối chuẩn:
S

0
(x,y)=max(x,y)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.5
1
y
x
z
12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4

0.6
0.8
1
0
0.5
1
y
x
z

* Tính chất của t-đối chuẩn:
+ Định lí 1.1.1: Với S là một t-đối chuẩn bất kì thì bất đẳng thức sau luôn
đúng với mọi
, [0,1]x y ∈
:

0 4
) ( , ) ( , ) ( , )a S x y S x y S x y≤ ≤

0 1 2 4
)b S S S S≤ ≤ ≤
Chứng minh:
a) Khi x = 1, ta có: S(1,y) = 1, S
0
(1,y) = max(1,y) =1 = S
4
(x,y).
Khi y = 1, tương tự: S
0
(x,1) = S(x,1) = S

4
(x,y).
Khi x = 0, tương tự ta cũng có: S
0
(0,y) = S(0,y) = S
4
(0,y).
Khi y = 0 ta có: S
0
(x,0) = S(x,0) = S
4
(x,0).
- Xét 0 <x, y <1: ta có
4
min( , ) 0 ( , ) 1x y S x y≠ ⇒ =
Nếu x > y, suy ra S
0
(x,y) = x < S
4
(x,y) =1. Thấy
(0, ) ( , )x S x S y x= ≤
(theo
tính không giảm). Vì vậy
0 4
( , ) ( , ) ( , )S x y S x y S x y< <
Nếu x < y, suy ra S
0
(x,y) = y < S
4
(x,y) = 1. Thấy

(0, ) ( , )y S y S y x= <
.
Do đó
0 4
( , ) ( , ) ( , )S x y S x y S x y< <
Vậy,
, [0,1]x y∀ ∈
thì
0 4
( , ) ( , ) ( , )S x y S x y S x y≤ ≤
.
b) Phần a) ta đã chứng minh được rằng
0 4
( , ) ( , ) ( , )S x y S x y S x y≤ ≤
Bây giờ ta phải chứng minh:
0 1 2 4
S S S S≤ ≤ ≤
và
0 2 3 4
S S S S≤ ≤ ≤
13
1
( , )S x y x y xy
= + −
- Chứng minh
0 1
S S≤
:
+Xét
x y≥

suy ra
S
0
(x,y)=max(x,y) = x và S
1
(x,y) = x+y-xy = x+(1-x)y
Thấy
0 , 1x y≤ ≤

1 0 (1 ) 0 (1 )x x y x x y x⇒ − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ + − ≥
.
Vậy
0 1
( , ) ( , )S x y S x y≤
.
+ Tương tự, với
y x≥
ta có:
0 1
( , ) ( , )S x y S x y≤
Vậy
, [0,1]x y∀ ∈
luôn có
0 1
( , ) ( , )S x y S x y≤
.
- Chứng minh
1 2
S S≤
:

+ Xét
1x y+ ≤
. Khi đó S
2
(x,y) = x+y.Thấy
0 , 1x y≤ ≤
suy ra

1 1 (1 ) (1 )x x y y x x y x y− ≤ ⇒ − ≤ ⇒ + − ≤ +
Vậy,
1 2
( , ) ( , )S x y S x y
≤
+ Xét
1x y+ >
, khi đó S2(x,y) = 1.
Do
, [0,1] (1-x)(1-y) 0 x+y-1 xy 1x y x y xy∈ ⇒ ≥ ⇔ ≤ ⇔ + − ≤
Vậy,
1 2
( , ) ( , )S x y S x y≤
Do đó
, [0,1]x y∀ ∈
luôn có
1 2
( , ) ( , )S x y S x y≤
.
- Chứng minh
2 4
S S≤

:
+ Xét x = 0
1x y⇒ + ≤
, do đó S
3
(x,y) = max(x,y).
Lại do x = 0 suy ra min(x,y) = 0
4 3
( , ) ax(x,y)=S ( , )S x y m x y⇒ =
+ Tương tự xét y = 0 ta cũng có kết quả trên.
+ Xét tiếp với
0, 0x y≠ ≠
. Khi đó S
4
(x,y) = 1.
Khi x+y <1
3 4
( , ) ax(x,y) 1=S ( , )S x y m x y⇒ = ≤
.
Khi x+y >1
3 4
( , ) 1=S ( , )S x y x y⇒ =
.
Vậy,
, [0,1]x y∀ ∈
luôn có
2 4
( , ) ( , )S x y S x y≤
.
Từ các kết quả trên ta được:

0 1 2 4
( , ) ( , ) ( , ) ( , )S x y S x y S x y S x y≤ ≤ ≤
* Định nghĩa 1.1.11: Cho S là t-đối chuẩn. Khi ấy:
a) S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [0, 1]
2
.
b) Hàm S gọi là Archimed nếu S(x,x) > x với mọi 0< x< 1.
c) S gọi là chặt nếu S tăng chặt trên (0,1)
2
.
14
* Ví dụ 1.1.8: S
1
(x,y) = x+y-xy là chặt vì:
Giả sử x
1
< x
2
, ta có: S
1
(x
1
,y) = x
1
+y-x
1
y < x
2
+y-x
2

y = S
1
(x
2
,y),
(0,1)y∀ ∈
.
Mặt khác do S có tính chất giao hoán nên ta có:
S
1
(x
1
,y
1
) < S
1
(x
2
,y
2
),
1 2
0 1x x∀ < < <
và
1 2
0 1y y∀ < < <
S
0
= max(x,y) là một hàm liên tục trên [0,1]
2

, nên t-đối chuẩn S là liên tục. Hơn
thế nữa, ta luôn có S
0
= max(x,y) = x
S
2
(x,y) = min{1,x+y} là Archimed vì S
2
(x,x) = min{1,x+x} = min{1,2x} > x.
* Một số toán tử có liên quan: Phép toán giao, hợp của hai tập mờ suy rộng.
Bộ ba De Morgan:
+ Phép giao của hai tập mờ:
Định nghĩa 1.1.12: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền X với hàm
thuộc tương ứng là A(x), B(x). Cho T là một t-chuẩn.
Ứng với t-chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A và B là một tập mờ
T
A B∩
trên X
với hàm thuộc cho bởi:
( )( ) ( ( ), ( )),
T
A B x T A x B x x X
∩ = ∀ ∈
Việc lựa chọn phép giao, tương ứng với t_chuẩn T nào tùy thuộc bài toán ta quan tâm.
* Ví dụ 1.1.9: Cho U là không gian nền, U=[0,120] là thời gian sống.
A={Những người ở tuổi trung niên}; B={Những người ở tuổi thang niên} ;
Khi đó hợp của hai tập A, B với T(x,y)=min(x,y) và T(x,y)=xy. Chúng ta biểu
diễn trên hình vẽ như sau:

15 20 25 30 35

40 45 50 55
1
U
Dạng T(x,y)=min(x,y)
15 20 25 30 35
40 45 50 55
1
U
Dạng tích T(x,y)=xy
15
+ Phép hợp của hai tập mờ:
Định nghĩa 1.1.13: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền X với hàm
thuộc tương ứng là A(x), B(x). Cho S là một t-đối chuẩn.
Ứng với t-đối chuẩn S, phép hợp của hai tập mờ A và B là một tập mờ
S
A B∪

trên X với hàm thuộc cho bởi:
( )( ) ( ( ), ( )),
S
A B x S A x B x x X
∪ = ∀ ∈
Việc lựa chọn phép hợp, tương ứng với t_đối chuẩn S nào tùy thuộc bài toán ta
quan tâm.
* Ví dụ 1.1.10:Cho U là không gian nền, U=[0,120] là thời gian sống.
A={Những người ở tuổi trung niên}; B={Những người ở tuổi thang niên} ;
Khi đó hợp của hai tập A,B với S(x,y)=max(x,y) và S(x,y)=min(1,x+y). Chúng
ta biểu diễn trên hình vẽ như sau:
+ Bộ ba De Morgan:
- Luật De Morgan trong lí thuyết tập mờ: Cho A, B là hai tập con của X, khi đó:

( )
( )
C C C
C C C
A B A B
A B A B
∪ = ∩
∩ = ∪
- Trong lí thuyết tập hợp, luật De Morgan nói trên đã được sử dụng nhiều nơi. Có
nhiều dạng suy rộng hai đẳng thức này. Sau đây là một dạng suy rộng cho logic mờ:
- Định nghĩa 1.1.14: Cho T là một t-chuẩn, S là một t-đối chuẩn, n là một phép
phủ định mạnh. Ta nói bộ ba (T, S, n) là một bộ ba De Morgan nếu thỏa mãn một
trong hai đẳng thức sau:
S(x,y) = n(T(n(x),n(y))
15 20 25 30 35
40 45 50 55
1
U
Dạng Max S(x,y)=max(x,y)
15 20 25 30 35
40 45 50 55
1
U
Dạng S(x,y)=min(1,x+y)
16
Hay T(x,y) = n(S(n(x),n(y))
Khi ấy ta nói T và S đối ngẫu với nhau.
- Định lí 1.1.2. (Quan hệ đối ngẫu giữa t-chuẩn và t-đối chuẩn) :
Cho n là một phép phủ định mạnh. Khi đó :

a) S(x,y) là một t-đối chuẩn và T(x,y) cho bởi : T(x,y) = n(S(n(x),n(y)) với mọi
x,y
∈
[0,1]. Khi đó T(x,y) là một t-chuẩn.
b) Đối ngẫu, cho T(x,y) là một t-chuẩn và S(x,y) cho bởi : S(x,y)=
n(T(n(x),n(y)) với mọi x,y
∈
[0,1]. Khi đó S(x,y) là một t-đối chuẩn.
Chứng minh :Ta chứng minh trường hợp a).
Để chứng minh T(x,y) là một t-chuẩn ta dùng định nghĩa :
+)Trước hết ta chứng minh T(1,x) = x.
Thật vậy, ta có : T(1,x) = n(S(n(1),n(x))) = n(S(0,n(x))) = n(n(x) = x(do n là phủ
định mạnh).
+) CM : T(x,y) = T(y,x).
Ta có : T(x,y) = n(S(n(x),n(y)) = n(S(n(y),n(x)) = T(y,x).
+) CM :T(x,y)
≤
T(u,v) với
;x u y v≤ ≤
.
Thật vậy, vì
;x u y v≤ ≤
nên ta có
( ) ( ); ( ) ( )n x n u n y n v≥ ≥
.
Do đó theo định nghĩa của t-đối chuẩn thì ta sẽ có : S(n(u),n(v))
≤
S(n(x),n(y)
Từ đó suy ra n(S(n(x),n(y) )
≤

n(S(n(u),n(v)
Hay T(x,y)
≤
T(u,v) với
;x u y v≤ ≤
.
+) CM T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z).
Thật vậy T(x,T(y,z)) = n(S(n(x),n(T(y,z))) = n(S(n(x),S(n(y),n(z))))
= n(S(S(n(x),n(y)),n(z))))
= n(S(n(T(x,y)),n(z))) = T(T(x,y),z)
Vậy, T(x,y) là một t-chuẩn.

17
- Ví dụ 1.1.11 về một số cặp đối ngẫu cụ thể :
Chọn n =1- x ta có một số cặp đối ngẫu sau :
T(x,y) S(x,y)
min(x,y) max(x,y)
xy x + y – xy
Max{x+y-1,0} min{x+y,1}
0
min( , ) ê 1
min ( , )
0 ê 1
x y n u x y
x y
n u x y
+ >

=


+ ≤

0
max( , ) ê 1
max ( , )
1 ê 1
x y n u x y
x y
n u x y
+ <

=

+ ≥

min( , ) ê ax( , ) 1
( , )
0 ê ax( , ) 1
x y n u m x y
z x y
n u m x y
=

=

≠

max( , ) ê min( , ) 1
'( , )
1 ê min( , ) 1

x y n u x y
Z x y
n u x y
=

=

≠

1.1.3. Hàm chuyển
Bổ đề 1.1.1: Giả sử ánh xạ
ba ]1,0[],[: →
ψ
là một đẳng cấu tăng; F: [0,1]
2

→
[0,1] là toán tử hai ngôi. Toán tử F
ψ
: [a,b]
2

→
[a,b] được xác định bởi công
thức: F
ψ
(x,y)=
ψ
-1
(F(

ψ
(x),
ψ
(y))). Ta có: F có các tính : giao hoán, tăng theo
từng biến, kết hợp khi và chỉ khi F
ψ
cũng có các tính giao hoán, tăng theo từng
biến, kết hợp.
Hàm
ψ
như vậy được gọi là hàm chuyển của hàm F.
Bổ đề 1.1.2: Với
:[0,1] [0,1]
ϕ
→
là một đẳng cấu tăng . Nếu toán tử
:[0,1] [0,1]N →
là hàm phủ định mạnh thì toán tử
:[0,1] [0,1]N
ϕ
→
được xác định
bởi công thức sau: N
ϕ
(x)=
ϕ
-1
(N(
ϕ
(x))) cũng là hàm phủ định mạnh.

Ví dụ 1.2.12: N(x)=1-x với mọi x
∈
[0,1] là hàm phủ định mạnh vậy N
ϕ
(x)=
ϕ
-
1
(1-
ϕ
(x))(2) với mọi x
∈
[0,1] cũng là hàm phủ định mạnh.
18
1.2. Chuẩn hợp nhất
1.2.1. Chuẩn hợp nhất
Như ta đa biết với t_chuẩn và t_đối chuẩn ta có:
+ Một t-chuẩn T là một ánh xạ T: [0,1]x[0,1]
→
[0,1] có các tính chất sau:

(1) ( , ) ( , )T x y T y x
=
(Tính chất giao hoán)

(2) ( , ) ( ', ') '; 'T x y T x y khi x x y y
≥ ≥ ≥
(Tính đơn điệu)

(3) ( , ( , )) ( ( , ), )T x T y z T T x y z

=
(Tính kết hợp)

(4) ( ,1)T x x
=
+ Một t-đối chuẩn là một ánh xạ S: [0,1]x[0,1]
→
[0,1] có các tính chất sau:

(1) ( , ) ( , )S x y S y x
=
(Tính chất giao hoán)

(2) ( , ) ( ', ') '; 'S x y S x y khi x x y y
≥ ≥ ≥
(Tính đơn điệu)

(3) ( , ( , )) ( ( , ), )S x S y z S S x y z
=
(Tính kết hợp)

(4) ( ,0)S x x
=
* Nhận xét:
-Hai toán tử t_chuẩn và t_đối chuẩn đều xác định có 3 tính chất chung :
+Tính giao hoán
+ Tính tăng theo từng biến
+ Tính kết hợp
- Hai toán tử này chỉ khác nhau tính chất thứ 4 :
+ t_ chuẩn có tính chất : T( x,1)=x (có phần tử trung hòa là 1)

+ t_đối chuẩn có tính chất : S(x,0)=x (có phần tử trung hòa là 0)
- Vậy chúng ta có thể gộp 2 toán tử hai ngôi này để xây dựng toán toán tử hai
ngôi kết hợp. Toán tử hai ngôi kết hợp mới này gọi là chuẩn hợp nhất có 3 tính chất
đầu giống như 3 tính của t_chuẩn và t_đối chuẩn và có phần tử trung hòa là e
∈
[0,1] .
Định nghĩa 1.2.1: Một chuẩn hợp nhất là một ánh xạ U: [0,1]x[0,1]
→
[0,1] có
các tính chất sau: với mọi x,y,z
∈
[0,1]
(1) U(x,y)=U(y,x) (Tính chất giao hoán)
19
(2) Nếu x
1
≤ x
2
, y
1
≤ y
2
thì U(x
1
,y
1
) ≤ U(x
2
,y
2

) (Tính đơn điệu theo từng biến)
(3) U(x,U(y,z))=U(U(x,y),z) (Tính kết hợp)
(4) Tồn tại e
∈
[0,1] sao cho: U(x,e)=x, e được gọi là phần tử trung hòa.
Ví dụ 1.2.1: Với e
∈
[0,1]
+
min( , ) ê 2
( , )
ax( , ) ê 2
x y n u x y e
U x y
m x y n u x y e
+ ≤

=

+ >

là chuẩn hợp nhất có phần tử trung hòa là e.
+
max( , ) êu 2
( , ) min( , ) ê 2
ax( , ) ê 2
x y n x y e
U x y x y n u x y e
m x y n u x y e
+ =



= + <


+ >

là chuẩn hợp nhất có phần tử trung hòa là e.
1.2.2. Tính chất của toán tử hợp chuẩn nhất:
+ Tính chất 1.2.1: Khi e = 1 thì U là t_chuẩn, e=0 thì U là t_đối chuẩn.

+ Tính chất 1.2.2: Tồn tại một luật Morgan đối ngẫu cho toán tử chuẩn hợp nhất .
Tức là:
Giả sử U là một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e. Khi đó toán tử U’
được xác định:
'( , ) 1 ( , )U x y U x y
= −
trong đó
( ) 1x N x x
= = −
cũng là một chuẩn
hợp nhất với phần tử trung hòa là
1e e
= −
.
Chứng minh
- Tính giao hoán: Điều này suy trực tiếp từ tính giao hoán của U.
- Tính đơn điệu theo từng biến:
+ Giả sử
'x x

≤
khi đó vì
'x x
≥
nên

( ', ) ( , ) 1 ( , ) 1 ( ', )U x y R x y R x y R x y
≥ ⇒ − ≥ −
do đó
'( , ) '( ', )U x y U x y
≤
+ Giả sử y≤y’ Khi đó
'y y
≥
nên
( , ') ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ')U x y R x y R x y R x y
≥ ⇒ − ≥ −
do đó
'( , ) '( , ')U x y U x y
≤
- Tính kết hợp:

'( , '( , )) '( ,1 ( , )) 1 ( , ( , ))
1 ( ( , ), ) 1 (1 '( , ), ) '( '( , ), )
U x U y z U x U y z U x R y z
U U x y z U U x y z I U x y z
= − = −
= − = − − =
20
- Phần tử trung hòa: Vì

'( , ) 1 ( , ) 1U x e U x e x x
= − = − =
. Do đó
e
là phần
tử trung hòa.
+ Tính chất 1.2.3:
Giả sử U là một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e. Khi đó:
1.Với x bất kì và mọi y> e ta có :
( , )U x y x
≥
2. Với bất kì và mọi y < e ta có :
( , )U x y x
≤
Chứng minh :
Từ tính chất của phần tử trung hòa ta nhận được : U(x,e) = y. Xét U(x,y) :
- Nếu y > e thì từ tính chất đơn điệu ta có:
( , ) ( , )U x y U x e x
≥ =
-Tương tự nếu y<e thì lại từ tính chất đơn điệu ta có:
( , ) ( , )U x y U x e x
≤ =
(ĐPCM)
+ Tính chất 1.2.4: Giả sử U là một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e.
Khi đó:
1. U(x,0) = 0 với
x e
∀ ≤
2. U(x,1) = 1 với
x e

∀ ≥
Chứng minh:
1.Với
x e
≤
,
( ,0) ( ,0) 0U x U e
≤ =
2.Với
a e
≥
,
( ,1) ( ,1) 1U x U e
≥ =
+ Tính chất 1.2.5:Với toán tử chuẩn hợp nhất U bấy kỳ ta có: U(0,1),U(1,0)
∈

{0,1}
Chứng minh
Thật vậy: Giả sử U(0,1)=x.
+ Nếu x≤e thì: U(0,1)=U(U(0,0),1)=U(0,U(0,1))=U(0,x)=0 suy ra :
U(0,1)=0
+ Nếu x>e thì U(0,1)=U(0,U(1,1))=U(U(0,1),1)=U(x,1)=1 suy ra U(0,1)=1.
Định nghĩa 1.2.2: Cho hợp chuẩn nhất U: [0,1]
2
→[0,1]
+ U(0,1)=1 thì U được gọi là chuẩn hợp nhất dạng hội.
+ U(0,1)=0 thì U được gọi là chuẩn hợp nhất dạng tuyển.
21
1.2.3 Chuẩn hợp nhất Umax , Umin

Định lý 1.2.1: Cho hai đẳng cấu tăng
φ
e
: [0,e]
→
[0,1],
ϕ
e
: [e,1]
→
[0,1] và Toán
tử hai ngôi U. U là chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e
∈
(0,1) nếu và chỉ nếu
tồn tại một t-chuẩn T và t-đối chuẩn S sao cho U được cho bởi:
( )
( )
* 1 2
* 1 2
( , ) ( ( ), ( ) ) ( , ) [0,e]
( , ) ( , ) (S ( ); ( ) ) ( , ) [e,1]
*( , ) khác di
e e e
e e e
T x y T x y khi x y
U x y S x y x y khi x y
U x y
φ φ φ
ϕ ϕ ϕ
−

−

= ∈


= = ∈




(1.1)
Với U* là hợp chuẩn nhất thỏa mãn điều kiện: min(x,y)≤U*(x,y)≤max(x,y)
với mọi (x,y)ϵ[0,e)x(e,1]
∪
(e,1]x[0,e).
Chứng minh
Gia sử chuẩn hợp nhất U với phần tử trung hòa e
∈
[0,1] :
- Xét trên miền [0,e]
2
: ánh xạ
φ
e
: [0,e]
→
[0,1] là đẳng cấu tăng. Đặt
( , ) ( , )
e
U

T x y U x y
ϕ
=
suy ra: U có các tính : giao hoán, tăng theo từng biến, kết hợp
khi và chỉ khi T
U
cũng có các tính giao hoán, tăng theo từng biến, kết hợp và
φ
e
(0)=0,
φ
e
(e)=1 suy ra U(x,e)=x khi và chỉ khi T
U
(x,1)=x. Vậy U là chuẩn hợp nhất
khi và chỉ khi T
U
là một t_chuẩn.
- Xét trên miền [e,1]
2
: ánh xạ
ϕ
e
: [e,1]
→
[0,1] là đẳng cấu tăng. Đặt
( , ) ( , )
e
U
S x y U x y

φ
=
suy ra: U có các tính : giao hoán, tăng theo từng biến, kết hợp
khi và chỉ khi S
U
cũng có các tính giao hoán, tăng theo từng biến, kết hợp và
ϕ
e
(e)=0,
ϕ
e
(1)=1 suy ra U(x,e)=x khi và chỉ khi S
U
(x,0)=x. Vậy U là chuẩn hợp nhất
khi và chỉ khi S
U
là một t_đối chuẩn.
- Xét trên hai miền [0,e]x[e,1] và [e,1]x[0,e]:
+ Với mọi điểm (x,y) ϵ[0,e]x[e,1] : U(x,y)≥U(x,e)=x, U(x,y)≤U(e,y)=y.
+ Với mọi điểm (x,y) ϵ[e,1]x[0,e] : U(x,y)≥U(e,y)=y, U(x,y)≤U(x,e)=x.
Vậy với toán tử chuẩn hợp nhất U bấy kỳ có phần tử trung hòa e thì :
+ Với (x,y)
∈
[0,e]
2
tính chất của U giống như tính chất của t_chuẩn.
+ Với (x,y)
∈
[e,1]
2

tính chất của U giống như tính chất của t_đối chuẩn.
+ Các trường hợp còn lại thì: min(x,y) ≤ U(x,y) ≤ max(x,y)
22
Ngược lại U là toán tử hai ngôi thỏa mãn công thức (1.1) rõ ràng U là hợp chuẩn
nhất có phần tử trung hòa là e.
Cho hai đẳng cấu tăng sau:
+
φ
e
: [0,e]
→
[0,1] với
e
x
x
e
=)(
φ
:
φ
e
(0)=0,
φ
e
(e)=1.
e
eyexU
yxUyxT
e
U

),(
),(),( ==
φ

là t_chuẩn và
*
( , ) ( , ) ,
U
x y
U x y T x y eT
e e
 
= =
 ÷
 
+
ϕ
e
: [e,1]
→
[0,1] với
e
ex
x
e
−
−
=
1
)(

ϕ
.
ϕ
e
(e)=0,
ϕ
e
(1)=1
e
eyeexeeU
yxUyxS
e
U
−
−−+−+
==
1
))1(,)1((
),(),(
ϕ

và
*
x-e y-e
U(x,y)=S (x,y)=e+(1-e)S ;
1-e 1-e
U
 
 ÷
 

Hệ quả 1.2.1: Một toán tử nhị phân U là chuẩn hợp nhất bất kỳ với phần tử
trung hòa e
∈
(0,1) nếu và chỉ nếu tồn tại một t-chuẩn T và t-đối chuẩn S sao cho U
được cho bởi:

* 2
* 2
*
( , ) , ( , ) [0,e]
x-e y-e
( , ) ( , ) e+(1-e)S ; ( , ) [e,1]
1-e 1-e
( , ) khác di
x y
T x y eT khi x y
e e
U x y S x y khi x y
U x y

 
= ∈
 ÷

 


 
= = ∈


 ÷
 




(1.2)
Với U* là hợp chuẩn nhất thỏa mãn điều kiện: min(x,y)≤U*(x,y)≤max(x,y)
với mọi (x,y)
∈
[0,e)x(e,1]
∪
(e,1]x[0,e).
Ta ký hiệu Hợp chuẩn nhất có công thức (1.2) là U=(T,S,e)
23
e
1
e
1
T
*
U*
S
*
U*
0