Phân tích dao động phi tuyến trong hệ chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o


DƯƠNG NGỌC HẢO


PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TRONG HỆ
CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN




LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT







Hà Nội - 2015

ii

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
o0o

DƯƠNG NGỌC HẢO


PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TRONG HỆ
CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN


LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01


Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh


Hà Nội - 2015
iii

LỜI CÁM ƠN

Tác giả chân thành cám ơn thầy hướng dẫn GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh đã
tận tâm hướng dẫn khoa học, luôn động viên và giúp đỡ tác giả cả về vật chất lẫn tinh
thần để tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả xin gửi lời cám ơn đến Khoa Đào tạo sau đại học và cán bộ Viện Cơ
học, bạn bè và đồng nghiệp tại trường đại học Công nghệ thông tin, ĐHQG Tp. HCM,
đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình làm luận
án. Nhân đây, tác giả cũng gửi lời cám ơn đến NCS. Nguyễn Như Hiếu, người đã lắng
nghe và chia sẻ rất nhiều với tác giả về chuyên môn, và đặc biệt là PGS.TS. Dương

Anh Đức, người đã tạo điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm thực hiện nghiên cứu của
mình.
Sau hết, tác giả chân thành cám ơn bố mẹ, vợ con, và gửi lời cám ơn đến người
thân đã rất kiên nhẫn động viên tác giả trong thời gian làm luận án.
Tác giả luận án,


Dương Ngọc Hảo

iv

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là
trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận án,


Dương Ngọc Hảo



v

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN iii
LỜI CAM ĐOAN iv
MỤC LỤC v

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ viii
DANH MỤC BẢNG x
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN xii
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN 5
1.1. Giới thiệu 5
1.2. Các phương pháp nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến 7
1.3. Hệ dao động chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên 13
1.4. Mục tiêu của luận án 15
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 16
2.1. Các khái niệm cơ bản trong giải tích ngẫu nhiên 16
2.1.1. Sơ lược về lý thuyết xác suất 16
2.1.1.1. Không gian xác suất 16
2.1.1.2. Biến ngẫu nhiên 17
2.1.2. Quá trình ngẫu nhiên 21
2.1.2.1. Định nghĩa 21
2.1.2.2. Một số quá trình ngẫu nhiên thường gặp 22
2.1.3. Tích phân ngẫu nhiên 26
2.1.3.1. Mở đầu 26
vi

2.1.3.2. Tích phân Ito – Tích phân Stratonovich 28
2.1.3.3. Tính chất của tích phân Ito 29
2.1.4. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 31
2.2. Cơ sở lý thuyết nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên 34
2.2.1. Phương pháp trung bình ngẫu nhiên theo biên độ và pha 34
2.2.2. Phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong hệ tọa độ Đề-các 36
2.2.3. Phương pháp hàm bổ trợ và lời giải phương trình Fokker-Planck (FP) 39
2.2.3.1. Phương pháp hàm bổ trợ 39
2.2.3.2. Nghiệm của phương trình FP với các hệ số dịch chuyển tuyến tính 40

2.2.3.3. Tuyến tính hóa tương đương- giải xấp xỉ phương trình FP 46
2.2.4. Phương pháp mô phỏng số 50
2.3. Kết luận chương 2 52
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TRONG HỆ PHI TUYẾN CHỊU KÍCH
ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 53
3.1. Hệ dao động Van der Pol 55
3.1.1. Tính toán lý thuyết 56
3.1.2. Kết quả và thảo luận 58
3.1.3. So sánh với phương pháp phi tuyến tương đương 65
3.2. Hệ dao động Duffing 67
3.2.1. Tính toán lý thuyết 67
3.2.2. Kết quả và thảo luận 69
3.3. Dao động Van der Pol – Duffing 74
3.3.1. Tính toán lý thuyết 74
3.3.2. Kết quả và thảo luận 75
3.4. Hệ dao động Mathieu-Duffing 79
vii

3.4.1. Tính toán lý thuyết 79
3.4.2. Kết quả và thảo luận 82
3.5. Kết luận chương 3 87
CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH BAN ĐẦU ĐÁP ỨNG THỨ ĐIỀU HÒA TRONG HỆ
DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 89
4.1. Giới thiệu 89
4.2. Kỹ thuật phân tích 90
4.3. Kết quả và thảo luận 97
4.4. Kết luận chương 4 100
KẾT LUẬN 102
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN 105

TÀI LIỆU THAM KHẢO 106
PHỤ LỤC 112
Phụ lục A 112
Phụ lục B 116
viii

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Hệ một bậc tự do. a) Kết cấu toà nhà 1 tầng. b). Mô hình tương đương. 8
Hình 2.1. Một quĩ đạo của chuyển động Brown (quá trình Wiener) 23
Hình 2.2. Quĩ đạo của phương trình vi phân thường 27
Hình 2.3. Quĩ đạo của một quá trình ngẫu nhiên 27
Hình 3.1.1. Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
theo tham số Q 61
Hình 3.1.2. Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
theo tham số
Q
so sánh với kết quả mô phỏng số 62
Hình 3.1.3. Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời
(
)
,
pxx
&
của hệ dao động Van
der Pol tại thời điểm
294
ts
=
63

Hình 3.1.4. Đồ thị của hàm mật độ xác suất của dịch chuyển
x
theo các thời gian
khác nhau 64
Hình 3.1.5. Đồ thị của hàm mật độ xác suất của dịch chuyển
x
tại thời điểm
294
t
=
(s) 64
Hình 3.1.6. Đồ thị đường cong
(
)
2
Ex
của hệ Van der Pol theo
n
trong lân cận
w
. 65
Hình 3.2.1. Kết quả tính toán
(
)
Ext
éù
ëû
và
(
)

2
Ext
éù
ëû
bằng phương pháp giải tích
và so với kết quả mô phỏng số 71
Hình 3.2.2. Đồ thị bình phương biên độ của đáp ứng trung bình theo tham số Q 71
Hình 3.2.3. Đồ thị bình phương biên độ của đáp ứng trung bình theo tham số
2
s
72
ix

Hình 3.2.4. Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ex
theo tham số
2
s
72
Hình 3.2.5. Đồ thị đường cong cộng hưởng của hệ Duffing. 73
Hình 3.3.1. Đồ thị trung bình theo thời gian của
(
)
2
Ext
éù
ëû

theo tham số phi tuyến
g
78
Hình 3.3.2. Đồ thị trung bình theo thời gian của
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo biên độ lực kích
động tuần hoàn
Q
78
Hình 3.4.1. Kết quả giải tích
(
)
Ext
éù
ëû
được so sánh với các kết quả số 84
Hình 3.4.2. Kết quả giải tích
(
)
2
Ext
éù
ëû
được so sánh với các kết quả số 84
Hình 3.4.3. Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ Mathieu-Dufing tại thời

điểm
294
ts
=
85
Hình 3.4.4. Đồ thị hàm mật độ xác suất của
x
tại thời điểm
294
t
=
(s) 86
Hình 3.4.5. Đồ thị hàm mật độ xác suất của
x
tại vài thời điểm (s) 86
Hình 4.1. Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng thứ
điều hòa theo tham số
2
s
99
Hình 4.2. Ảnh hưởng của
2
s
và
0
Q
lên trung bình bình phương đáp ứng thứ điều
hòa 99
Hình 4.3. Ảnh hưởng
2

s
và
h
lên trung bình bình phương đáp ứng thứ điều hòa 100

x

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
e
58
Bảng 3.1.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
n

59
Bảng 3.1.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
Q
60
Bảng 3.1.4. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
2
s
61
Bảng 3.1.5. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext

éù
ëû
theo kỹ thuật của luận án
và phương pháp phi tuyến tương đương theo tham số 66
Bảng 3.2.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
g
69
Bảng 3.2.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
2
s
69
Bảng 3.2.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(

)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
2
s
với các
giá trị
e
khác nhau 70
Bảng 3.3.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
e
75
xi

Bảng 3.3.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2

Ext
éù
ëû
theo tham số
n
76
Bảng 3.3.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
g
76
Bảng 3.3.4. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
Q
77
Bảng 3.3.5. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng

(
)
2
Ext
éù
ëû
theo tham số
2
s
77
Bảng 3.4.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
(
)
2
Ext
theo tham số
2
s
82
Bảng 3.4.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
(
)
2
Ext

theo tham số
Q
83
Bảng 3.4.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
(
)
(
)
2
Ext
theo tham số
g
83
Bảng 4.1. Sai số giữa kết quả xấp xỉ và kết quả mô phỏng của trung bình theo thời
gian của trung bình bình phương đáp ứng
()
2
Ezt
éù
ëû
theo tham số
2
s
98

xii

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

»
Xấp xỉ

$
Tồn tại

"
Với mọi

[
]
0
,
tT
Khoảng đóng trên
¡


(
)
0
,
tT
Khoảng mở trên
¡


(
)
m

f
Đạo hàm cấp
m
của hàm
f

(
)
2
~,
XN
ms

X
có phân phối chuẩn với trung bình
m
và phương sai
2
s


(
)
P
×
Độ đo xác suất

(
)
.

p
Hàm mật độ xác xuất

(
)
EX
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
X


(
)
Wt
Quá trình Wiener

(
)
t
x
Ồn trắng

(
)
.
d
Hàm Dirac delta

ij
d
Ký hiệu hàm Kronecker delta

.
Trung bình theo thời gian

x
&
Đạo hàm theo thời gian của
x


.
mc
Kết quả trung bình theo thời gian được tính bằng mô phỏng số
Monte-Carlo

.
xx
Kết quả trung bình theo thời gian được tính theo kỹ thuật của luận
án

mn
M
´
Không gian các ma trận cỡ
mn
´


(
)

1
0,
LT
Không gian các quá trình ngẫu nhiên đo được dần
(
)
.
f
nhận giá
trị thực thoả mãn
0
T
Efdt
æö
<¥
ç÷
èø
ò

xiii


(
)
2
0,
LT
Không gian các quá trình ngẫu nhiên đo được dần
(
)

.
f
nhận giá
trị thực thoả mãn
2
0
T
Efdt
æö
<¥
ç÷
èø
ò

0.1 1/10
10,000 100
´
100
exp(x) e
x
, e là hằng số nepe
hc Hầu chắc chắn
cs Cộng sự
FP Fokker – Planck
tr. i Trang i
1

MỞ ĐẦU
Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất trong thiết kế các hệ kỹ thuật hoặc
kết cấu là phải đánh giá được độ an toàn. Thường thì nhiệm vụ này rất phức tạp vì có
rất nhiều yếu tố có thể có ảnh hưởng đáng kể đến hệ kỹ thuật hoặc kết cấu mà ta khó
định nghĩa nó rõ ràng. Chẳng hạn, trong việc thiết kế tòa nhà cao tầng, các yếu tố ảnh
hưởng đến độ an toàn là nền đất, vật liệu xây dựng, gió, và động đất (Yang, 1986;
Narayanan và Kumar, 2012). Các yếu tố này có thể gây ra các đáp ứng có tính chất
thay đổi bất thường làm cho công trình nhanh xuống cấp, hư hỏng, thậm chí bị phá
hủy đột ngột.
Có rất nhiều hệ kỹ thuật/kết cấu chịu các tác động ngẫu nhiên như vậy, chẳng
hạn như các kết cấu trên biển chịu tác động của gió và các đợt sóng ngẫu nhiên, các
phương tiện giao thông chịu tác động ngẫu nhiên gây ra bởi mặt đường không bằng
phẳng,… Trong thực tế không có hệ thống nào thực sự là hệ tuyến tính. Trong các hệ
kỹ thuật và kết cấu, tính phi tuyến tính có thể phát sinh từ tính phi tuyến hình học phát
sinh từ biến dạng lớn; tính chất đàn hồi phi tuyến của vật liệu kết cấu; tính phi tuyến
của cản, (Manohar, 1995; Roberts và Spanos, 1999). Vì các hệ phải được thiết kế để
chịu được, với xác suất nhất định, các mức độ khắc nghiệt có thể có của kích động mà
chúng có thể gặp trong suốt quá trình vận hành, nên ảnh hưởng của tính phi tuyến rất
được quan tâm, coi trọng.
Các hệ phi tuyến chịu tác động của tổ hợp các kích động tuần hoàn và ngẫu
nhiên có thể xảy ra các hiện tượng phức tạp như các hiện tượng nhảy, rẽ nhánh, và hỗn
độn. Do đó để hiểu rõ ứng xử của hệ phi tuyến và thiết kế các hệ phi tuyến, phân tích
đáp ứng của các hệ phi tuyến ngẫu nhiên, và các hệ chịu đồng thời cả lực tuần hoàn và
ngẫu nhiên rất quan trọng trong động học kết cấu. Đặc tính xác suất của đáp ứng của
các hệ phi tuyến ngẫu nhiên có thể được xác định qua hàm mật độ xác suất, hay các
mô men đồng thời, hoặc qua các bán bất biến (cumulant). Tuy nhiên, rất khó để xác
định chính xác hàm mật độ xác suất và sự tiến triển theo thời gian của một hàm mật độ
2

xác suất phụ thuộc vào thời gian của đáp ứng ngoại trừ lớp nhỏ các trường hợp hệ phi
tuyến (Socha, 2008; Narayanan và Kumar, 2012).
Các hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên và (hoặc) tuần hoàn đã nhận được
sự quan tâm rất nhiều từ các nhà nghiên cứu trong vài thập kỷ qua. Các phương pháp/
kỹ thuật phân tích hệ dạng này thường được kết hợp từ các phương pháp đã biết trong
phân tích hệ tất định và phân tích hệ dao động chịu tác động ngẫu nhiên.
Trong các nghiên cứu giải tích, các nghiên cứu dựa vào phương trình Fokker-
Planck (FP) thường gặp khó khăn do phương trình FP ứng với hệ dao động không có
lời giải giải tích, trừ một số trường hợp riêng. Do đó các phương pháp/ kỹ thuật phát
triển trong các nghiên cứu thường chỉ giải quyết được một lớp bài toán dao động cụ
thể. Luận án cũng tập trung vào điểm mấu chốt này để đề xuất kỹ thuật phân tích cho
lớp rộng hơn các hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn.
Trong luận án này, tác giả đề xuất một kỹ thuật mới kết hợp hai phương pháp
kinh điển là phương pháp trung bình và phương pháp tuyến tính hoá để nghiên cứu hệ
dao động phi tuyến yếu chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu. Ý tưởng chính
của phương pháp này là: thực hiện trung bình hóa phương trình dao động ban đầu
trong hệ tọa độ Đề-các, sau đó giải xấp xỉ phương trình FP có các hệ số dịch chuyển
phi tuyến ứng với các phương trình trung bình bằng cách sử dụng phương pháp tuyến
tính hoá tương đương (Kazakov, 1954) và phương pháp hàm bổ trợ (Nguyễn Đông
Anh, 1986).
Định hướng nghiên cứu:
Phát triển một kỹ thuật phân tích dao động của hệ phi tuyến bằng cách kết hợp
các phương pháp (hoặc kỹ thuật) đã biết, nhưng chủ yếu tập trung vào phương pháp
trung bình ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương, các phương pháp
giải phương trình FP.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Luận án nghiên cứu đặc trưng xác suất của đáp ứng của hệ dao động phi tuyến
yếu một bậc tự do chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu trong miền
cộng hưởng chính, được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai có dạng

3




(
)
(
)
2
,,,
xxfxxtt
wenesx
+=+
&&&
(0.1)
với
w
và
n
là các hằng số có quan hệ
22
wne
-=D
, D là tham số lệch tần,
s
là tham
số dương,
e
là tham số bé,

f
là hàm phi tuyến, được giả thiết là hàm tuần hoàn theo
thời gian
t
và là một đa thức theo
x
và
x
&
, và hàm
(
)
t
x
là quá trình ồn trắng Gauss
có cường độ đơn vị.
Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp giải tích của lý thuyết dao động phi tuyến, trong đó tập trung
vào các phương pháp: Phương pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp
tuyến tính hóa tương đương, phương pháp phương trình Fokker-Planck.
- Phương pháp giải phương trình Fokker-Planck bằng hàm bổ trợ.
- Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo.
Cấu trúc luận án:
Chương 1. Tổng quan
Trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu về phân tích hệ dao động phi tuyến
chịu kích động bởi lực ngẫu nhiên và lực tuần hoàn.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết
Trình bày sơ lược về giải tích ngẫu nhiên liên quan đến luận án và các phương
pháp và kỹ thuật chính trong lý thuyết dao động phi tuyến được sử dụng để phát triển
kỹ thuật nghiên cứu dao động của hệ phi tuyến chịu đồng thời kích động tuần hoàn và

ngẫu nhiên.
Chương này cũng trình bày hai kết quả mới của luận án, đó là dựa vào phương
pháp hàm bổ trợ để đưa ra cách giải cho phương trình FP với các hệ số dịch chuyển là
các hàm tuyến tính và hệ số khuếch tán hằng số viết cho hàm mật độ xác suất dừng
ứng với hệ hai phương trình tuyến tính chịu kích động ồn trắng, từ đó đề xuất giải xấp
xỉ phương trình FP với các hệ số dịch chuyển là các hàm phi tuyến và hệ số khuếch tán
hằng số bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương.
4



Chương 3. Phân tích dao động trong hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu
nhiên và tuần hoàn
Đề xuất kỹ thuật phân tích dao động trong hệ phi tuyến một bậc tự do và áp
dụng cho các hệ dao động phi tuyến kinh điển chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên
như:
- Hệ Van der Pol: đại diện cho các hệ dao động có hệ số cản phi tuyến,
- Hệ Duffing: đại diện cho các hệ dao động có độ cứng phi tuyến,
- Hệ Van der Pol – Duffing: đại diện cho các hệ dao động có hệ số cản phi
tuyến và độ cứng phi tuyến,
- Hệ Mathieu – Duffing: đại diện cho các hệ dao động phi tuyến chịu kích
động thông số.
Kết quả phân tích cho thấy ta có thể tìm được trung bình theo xác suất đáp ứng
của hệ, cùng với phân phối xác suất của nó tại một thời điểm nào đó, và ta cũng có thể
tính được các đặc trưng xác suất khác của đáp ứng như giá trị bình phương trung bình,
hàm mật độ xác suất đồng thời theo các biến trạng thái.
Chương 4. Phân tích ban đầu đáp ứng thứ điều hòa trong hệ dao động phi
tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn
Áp dụng kỹ thuật đề xuất trong chương 3 để phân tích đáp ứng thứ điều hòa bậc
1/3 của hệ dao động Duffing chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên. Dù kết quả phân

tích trong chương này chưa thật sâu sắc nhưng là kết quả mới, cho thấy tiềm năng áp
dụng của kỹ thuật được phát triển trong luận án trong phân tích hệ dao động phi tuyến.
* Các công trình đã công bố liên quan đến luận án:
Bài báo đăng trên tạp chí quốc tế ISI: 01
Bài báo đăng trên tạp chí trong nước: 02
Bài báo báo cáo tại hội nghị khoa học chuyên ngành: 02

5



CHƯƠNG 1.
TỔNG QUAN

1.1. Giới thiệu
Các phương pháp dự đoán đáp ứng dao động của các hệ kỹ thuật và hệ kết cấu
chịu tác dụng của ngoại lực đã phát triển nhanh chóng về tầm quan trọng và về thiết kế
kỹ thuật trong hơn một thế kỷ qua. Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, thường người ta
không mong muốn các dao động với biên độ cao, do các yếu tố như tiếng ồn cao, kèm
theo tăng sự ăn mòn các khớp, và quan trọng nhất là khả năng hư hại thành phần dẫn
đến toàn bộ hệ thống bị hỏng. Một hệ thống bị hỏng như vậy có thể xảy ra khi nó vượt
quá giới hạn làm việc an toàn hoặc là kết quả của việc tích lũy thiệt hại qua quá trình
mỏi kim loại (Roberts và Spanos, 1999).
Trong nhiều năm, các kỹ sư thường tập trung tìm hiểu các hệ dao động có tính
tuần hoàn. Loại hệ dao động này thường phát sinh do mất cân bằng trong chuyển động
xoay tròn hoặc chuyển động qua lại, và có thể được truyền qua kết cấu cơ sở đến các
hệ thống lân cận. Sau công trình tiên phong của Rayleigh (1877), lý thuyết dao động
cổ điển đã ngày càng được hoàn thiện để phân tích các dạng dao động này (chẳng hạn
như xem Daniel, 2008).
Tuy nhiên, vào giữa những năm 1950, một dạng bài toán dao động mới nảy

sinh trong ngành công nghiệp hàng không mà không thể giải quyết được bằng các
phương pháp cổ điển. Đó là, các kỹ sư đã phát hiện ra rằng các tấm ở phần thân máy
bay gần động cơ dao động ở mức cao do kích động âm thanh từ khí thải máy bay phản
lực, khiến các vết nứt do mỏi kim loại có thể phát triển và lây lan nhanh chóng. Các
nghiên cứu cho thấy rằng đáp ứng dao động của những tấm này vô cùng phức tạp,
phản ánh bản chất rất phức tạp của sự biến đổi theo không gian và thời gian của áp lực
trên bề mặt của tấm (Clarkson và Mead, 1973). Dạng kích động và đáp ứng này không
chỉ là không tuần hoàn, không theo qui luật, mà nó còn không có tính lặp lại, như hai
thí nghiệm kế tiếp thực hiện theo các điều kiện giống hệt nhau nhưng lại cho hai kết
quả hoàn toàn khác nhau, mặc dù về “trung bình” thì chúng có thể trùng nhau. Rõ ràng
6



không thể giải quyết một vấn đề như vậy trên cơ sở lý thuyết tất định truyền thống. Do
vậy, phương pháp xác suất đã được đề cập đến, trong đó kích thích và đáp ứng được
mô tả theo các thông số thống kê, chẳng hạn như trung bình bình phương của biên độ
dao động. Thực tế đã chứng tỏ việc tiếp cận theo hướng xác suất là hiệu quả hơn nhiều
so với lý thuyết tất định (Roberts và Spanos, 1999).
Trong các ứng dụng kỹ thuật, việc sử dụng một mô hình tuyến tính cho hệ
thống đang xét cho ta các kết quả khá đơn giản, và thường rất hữu ích. Nếu quá trình
kích động có phân phối Gauss thì theo lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên
tuyến tính, quá trình đáp ứng cũng là quá trình Gauss. Điều này cho phép ta tính toán
các thống kê của đáp ứng liên quan đến độ tin cậy thông qua các thông số thống kê.
Trong thực tế, hầu hết các hệ động lực được mô hình hóa bởi một hoặc nhiều
phương trình phi tuyến mà đa số là không thể giải chính xác bằng phương pháp giải
tích. Do đó, các phương pháp gần đúng đã được phát triển, tuy nhiên, chúng cũng chỉ
phù hợp cho lớp các bài toán phi tuyến nào đó. Phần lớn, các phương pháp gần đúng
dựa trên tính chất Markov của đáp ứng hoặc sự gần đúng của hàm mật độ xác suất của
đáp ứng đối với phân phối Gauss. Nhiều phương pháp là sự mở rộng tinh tế các

phương pháp phân tích phi tuyến tất định sang các bài toán ngẫu nhiên.
Ở trong nước, tác giả Nguyễn Tiến Khiêm (1991) đã nghiên cứu các hệ dao
động ngẫu nhiên theo các biên độ và pha và đã tìm được nghiệm tổng quát của phương
trình FP theo các biến này. Các ứng dụng phương pháp phân tích phổ trong phân tích
hệ dao động ngẫu nhiên cũng đã được tiến hành trong các nghiên cứu của Nguyễn
Tiến Khiêm (1990), Nguyễn Cao Mệnh (1993). Trong Nguyễn Cao Mệnh (1993),
bằng phương pháp phổ, tác giả đã xác định được mật độ phổ của đáp ứng của hệ ngẫu
nhiên nhiều bậc tự do, từ đó tính được các đặc trưng xác suất của đáp ứng. Nguyễn
Đông Anh và Ninh Quang Hải (2000) đã tìm được các đặc trưng xác suất của đáp ứng
bằng cách biểu diễn đáp ứng của hệ đang xét qua một hàm đa thức của quá trình Gauss
kết hợp với sử dụng các phương trình mô men. Nguyễn Đông Anh và cs. (2012) đã
phát triển ý tưởng đối ngẫu để tổng quát hóa tiêu chuẩn bình phương bé nhất trong
phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ ngẫu nhiên. Với hệ chịu kích động
ngẫu nhiên và tuần hoàn, Nguyễn Đông Anh và Nguyễn Như Hiếu (2012) đã nghiên
7



cứu hệ Duffing chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên bằng phương pháp trung bình,
thực hiện trực tiếp trên phương trình dao động, và phương pháp tuyến tính hóa tương
đương.
Ở nước ngoài, có thể kể đến các công trình nghiên cứu giải tích liên quan đến
hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn như Dimentberg (1976, 1982),
Mitropolski và cs. (1992), Robert và Spanos (1986), Nguyễn Đông Anh (1986),
Nayfeh và Serhan (1990), Manohar và Iyengar (1991), Haiwu và cs. (2001). Chẳng
hạn, trong nghiên cứu của mình, Dimentberg (1982) đã sử dụng phương pháp trung
bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các để phân tích một lớp hệ dao động phi tuyến chịu
kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên. Manohar và Iyengar (1991) đề xuất dùng phương
pháp trung bình ngẫu nhiên trong tọa độ Đề-các và phương pháp phi tuyến tương
đương để nghiên cứu ứng xử của hệ Van Der Pol chịu kích động cả tuần hoàn và ngẫu

nhiên. Bên cạnh đó, các phương pháp số cũng được phát triển cho hệ dạng này như
trong các nghiên cứu của Yu và Lin (2004), Xie và cs. (2006) và Narayanan và Kumar
(2012). Narayanan và Kumar (2012) đã phát triển phương pháp tích phân đường cho
hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn.
1.2. Các phương pháp nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến
Cũng giống như trong lý thuyết dao động tất định, phương trình vi phân ngẫu
nhiên phi tuyến tính khó giải hơn nhiều so với phương trình tuyến tính. Trong mục
này, tác giả điểm qua một số phương pháp đã được phát triển trong thời gian vừa qua,
gần với hướng tiếp cận của luận án, cho hệ dao động một bậc tự do chịu kích động ồn
trắng Gauss có dạng như sau

(
)
(
)
2
,,
xxfxxtt
wenesx
+=+
&&&
(1.1)
với
w
là tần số tự nhiên,
f
là hàm bất kỳ,
s
là hằng số,
(

)
t
x
là ồn trắng Gauss có
cường độ đơn vị và hàm tương quan
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
REtt
x
txxtdt
=+=
, trong đó
(
)
dt

là hàm Dirac delta, và ký hiệu
(
)
.
E
là toán tử kỳ vọng toán học.

Đây là phương tr
ình dao
cứu, và có nhiều ứng dụ
ng trong th
của gió như trong Hình 1.1a. Vớ
i các gi
đó mô hình một bậc tự
do tương đương v
1.1b. Sử dụng định luậ
t Newton cho mô hình
chuyển động như sau:

mxcxkxQt
trong đó
m
(kg) là khối lượng
mái
()
Qt
(N) là lực (gió) kích độ
ng ngoài.
được phương trình

xxxqt
++=
&&&
với
k
m

w
=
,
2
c
km
z
=
,
()
Qt
qt
=
Phương trình (1.3) đượ
c xem là d
(Roberts và Spanos, 1999;
Lutes và Sarkani, 2004
a)

Hình 1.1. Hệ một bậc tự
do. a) K
Phương pháp quá trình
Markov
Phương pháp này dự
a trên lý thuy
quá trình khuếch tán. Từ
khi phát hi
nhiều trường hợp, đáp ứng củ
a các h
8

ình dao
động được nhiều nhà khoa học trên thế giớ
i nghiên
ng trong th
ực tiễn. Chẳng hạn, xét toà nhà 1 tầng chị
u tác đ
i các gi
ả thiết để việc xây dựng mô hình
đơn gi
do tương đương v
ới toà nhà 1 tầng sẽ được xác đị
nh như
t Newton cho mô hình
ở Hình 1.1b ta đượ
c phương tr
()
mxcxkxQt
++=
&&&

mái
,
c
(Ns/m) là hệ số cản, k (N/m) là độ cứ
ng lò xo,
ng ngoài.
Nếu ta chia phương trình trên cho
m

thì ta thu

()
2
2
xxxqt
zww
++=
&&&


()
Qt
qt
m
=
.
c xem là d
ạng chuẩn của các hệ dao động một b
ậ
Lutes và Sarkani, 2004
, p. 259).

b)
do. a) K
ết cấu toà nhà 1 tầng. b). Mô hình t
ương đương.
Markov

a trên lý thuy
ết quá trình Markov liên tục, còn đư
ợ

khi phát hi
ện ra chuyển động Brown, người ta biết rằ
ng trong
a các h
ệ động học dưới kích động ngẫu nhiên dả
i r
i nghiên
u tác đ
ộng
đơn gi
ản, khi
nh như
Hình
c phương tr
ình của

(1.2)
ng lò xo,
m
thì ta thu

(1.3)
ậ
c tự do

ương đương.

ợ
c gọi là
ng trong

i r
ộng có
9



thể được mô hình chính xác theo các thành phần của các quá trình Markov nhiều
chiều. Hàm xác suất chuyển trạng thái cho một quá trình như vậy được cho bởi một
phương trình vi phân đạo hàm riêng, được gọi là phương trình Fokker -Planck (FP),
hoặc phương trình khuếch tán tiến (Arnold, 1974). Ngoài hạn chế của mô hình, chủ
yếu liên quan đến xấp xỉ các quá trình kích động thực tế như ồn trắng, về nguyên tắc,
lý thuyết quá trình Markov cho ta phương pháp trực tiếp để thu được lời giải chính xác
của các bài toán ngẫu nhiên phi tuyến.
Để có phương trình FP tương ứng với phương trình (1.1), trước hết ta viết
phương trình (1.1) dưới dạng hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito như sau:

( ) ()
2
,,
dxxdt
dxxfxxtdtdWt
wenes
=
éù
=-++
ëû
&
&&
(1.4)
với

(
)
Wt
là quá trình Wiener đơn vị. Khi đó hàm mật độ xác suất
(
)
,,
ppxxt
=
&
của
phương trình (1.4) thỏa mãn phương trình FP sau:

( ) ( )
( )
2
22
2
1
,,
2
pp
xpxfxxtp
txxx
wenes
¶¶¶¶
éù
= ++
ëû
¶¶¶¶

&&
&&
(1.5)
Có thể thấy là phương trình (1.5) là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2
rất khó giải. Mặc dù gần đây đã có một số phát triển về mặt lý thuyết, nhưng ta chỉ có
thể tìm được chính xác hàm mật độ xác suất dừng cho một lớp nhỏ các bài toán dao
động ngẫu nhiên phi tuyến (xem Dimentberg, 1982; Nguyễn Đông Anh, 1986; Lutes
và Sarkani, 2004; Socha, 2008). Các phương pháp tìm nghiệm dạng giải tích cho
phương trình FP với hàm mật độ xác suất dừng ở đây được gọi là các phương pháp thế
năng (the potential method) (Socha, 2008, tr. 50). Ta cũng có thể giải số phương trình
FP. Nhiều tác giả đã phát triển các phương pháp số để giải các phương trình FP khi
chúng không có lời giải giải tích, chẳng hạn như sử dụng phương pháp tích phân
đường (Xie và cs., 2006; Narayanan và Kumar, 2012), phương pháp Galerkin toàn cục
(Muscolino và cs., 1997), phương pháp phần tử hữu hạn (Kumar và Narayanan, 2006),
phương pháp sai phân hữu hạn (Kumar và Narayanan, 2010), và phương pháp phần tử
hữu hạn nhiều tọa độ (Masud và Bergman, 2005), nhưng thường sẽ gặp khối lượng
tính toán lớn và những thách thức như được chỉ ra trong Narayanan và Kumar (2012).
10



Phương pháp trung bình ngẫu nhiên
Phương pháp trung bình ngẫu nhiên lần đầu tiên được đề xuất bởi Stratonovich
(1967), được phát triển từ phương pháp trung bình cho hệ tất định do các nhà khoa học
người Nga Krylov và Bogoliubov (1937) phát minh. Phương pháp này được sử dụng
rộng rãi để phân tích gần đúng các hệ dao động có cản yếu chịu kích động ngẫu nhiên
dải rộng (Roberts và Spanos, 1986). Phương pháp này cho phép thay thế các quá trình
Markov hai chiều cơ bản cho đáp ứng bằng một quá trình Markov một chiều cho quá
trình biên độ
(

)
at
của đáp ứng. Phương trình FP tương ứng cho
(
)
at
có thể được giải
giải tích dễ dàng cho ta biểu thức đơn giản của phân bố xác suất dừng của quá trình
biên độ. Bằng cách xem xét quá trình pha tương ứng, ta có thể có được biểu thức giải
tích gần đúng cho phân phối đồng thời của dịch chuyển và vận tốc của đáp ứng, từ đó
có thể tính được các số liệu thống kê liên quan.
Trong phương pháp này, đáp ứng của hệ có cản yếu chịu kích động dải rộng
được xấp xỉ bởi một quá trình khuếch tán. Các hệ số của phương trình FP tương ứng
được tính toán dựa trên một phép lấy trung bình thích hợp các phương trình chuyển
động. Điểm mạnh của phương pháp này nằm ở chỗ nó thường làm giảm số chiều của
bài toán và làm đơn giản các tính toán tìm nghiệm. Với các ưu điểm này, phương pháp
trung bình cũng được áp dụng cho các hệ trong đó các đáp ứng đã là Markov. Phương
pháp trung bình được sử dụng rộng rãi trong các vấn đề dự đoán đáp ứng, phân tích ổn
định… (Roberts và Spanos, 1986; Roberts, 1986; Zhu, 1988).
Kết hợp phương pháp trung bình ngẫu nhiên với các phương pháp khác
Phương pháp ngẫu nhiên trung bình cũng đã được sử dụng kết hợp với các
phương pháp khác trong phân tích dao động ngẫu nhiên. Việc kết hợp các phương
pháp được thực hiện theo nhiều cách khác nhau. Iwan và Spanos (1978) đề xuất kết
hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương và phương pháp trung bình ngẫu nhiên
để phân tích hệ với độ cứng phi tuyến. Đối với dao động Duffing chịu kích động ồn
trắng, phương pháp cải thiện kết quả thu được bằng cách sử dụng trung bình của biên
độ đáp ứng nhưng không dẫn đến lời giải chính xác (Manohar, 1995). Stratonovich
(1967) đã sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để giải phương trình được
11

đơn giản bằng phương pháp trung bình ngẫu nhiên. Bruckner và Lin (1987b) đã tận
dụng dạng phức của phương pháp trung bình ngẫu nhiên giúp dễ dàng sử dụng kỹ
thuật khép kín không Gauss cho phương trình được đơn giản hóa và đặc biệt hữu ích
trong việc phân tích hệ phi tuyến nhiều bậc tự do. Trong nghiên cứu các hệ phi tuyến
chịu kích động bởi lực tuần hoàn và kích thích ngẫu nhiên hoặc khi tính trung bình
một bậc cao trong tọa độ Đề-các, các phương trình đơn giản hóa thu được không được
tách cặp, và, nói chung là không giải được nếu chỉ sử dụng lý thuyết quá trình Markov.
Trong tình huống như vậy Manohar và Iyengar (1991) đã đề xuất kết hợp phương pháp
trung bình và phương pháp phi tuyến tương đương. Kỹ thuật kết hợp này cho kết quả
khá tốt đối với trường hợp hệ dao động Van der Pol chịu các kích động tuần hoàn và
ồn trắng.
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương
Nhìn chung, phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên là cách tiếp
cận rất phổ biến đối với bài toán dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Phương pháp này là
sự mở rộng phương pháp tuyến tính hóa điều hòa nổi tiếng sang các bài toán ngẫu
nhiên và được áp dụng cho các hệ một bậc tự do và hệ nhiều bậc tự do chịu kích động
đầu vào dừng hoặc không dừng. Ý tưởng cơ bản của phương pháp này là xấp xỉ thành
phần phi tuyến trong hệ ban đầu bằng các mô hình tuyến tính sao cho hệ tuyến tính
tương đương giải được. Để đánh giá các thông số trong hệ tương đương, người ta giả
thiết thêm là các đáp ứng phải là các quá trình Gauss và sử dụng một tiêu chuẩn tối ưu
nào đó, chẳng hạn như tiêu chuẩn bình phương sai số bé nhất. Phương pháp này được
phát triển trong năm 1950 cho các bài toán dao động ngẫu nhiên (xem Kazakov, 1954;
Caughey, 1963 và các tham khảo trước đó) và tiếp tục được phát triển cho đến những
năm gần đây (Roberts và Spanos, 1999; Socha, 2008; Nguyễn Đông Anh và cs., 2012).
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương không nhất thiết cho nghiệm duy
nhất vì nó phụ thuộc vào tiêu chuẩn tương đương mà ta sử dụng. Bên cạnh tiêu chuẩn
bình phương sai số bé nhất thường được sử dụng, các tiêu chuẩn khác cũng được phát
triển (Casciati và cs., 1993; Nguyễn Đông Anh và cs., 2012). Tuy nhiên, trong các bài

toán dao động ngẫu nhiên, các thống kê liên quan đến đáp ứng dừng là duy nhất, vì
nghiệm dừng của phương trình FP tương ứng là duy nhất (Fuller, 1969). Phương pháp
12



này sau đó đã được mở rộng cho các hệ dao động ngẫu nhiên nhiều bậc tự do, chẳng
hạn, xem các nghiên cứu của Atalik và Utku (1976).
Phương pháp phi tuyến hóa tương đương
Phương pháp này dựa trên ý tưởng tương tự như phương pháp tuyến tính hóa
tương đương và có thể được xem như một phương pháp cho ước lượng các đáp ứng
không là quá trình Gauss. Phương pháp này được đề xuất bởi Caughey (1986). Ý
tưởng chính của phương pháp này là thay thế hệ phi tuyến đang xét bởi một hệ phi
tuyến tương đương thuộc các lớp bài toán có thể giải được chính xác. Phương pháp
này liên quan đến lớp các phương trình FP có thể giải được chính xác và do đó chỉ áp
dụng được cho các hệ với đầu vào là ồn trắng. Tiêu chuẩn của việc thay thế vẫn là
phương pháp bình phương sai số bé nhất. Phương pháp cho phép ta tính hàm mật độ
xác suất của đáp ứng dừng không phải là quá trình Gauss và dự báo một cách chính
xác đáp ứng ngẫu nhiên của hệ mà trong trường hợp này phương pháp tuyến tính hóa
tương đương không thực hiện được (Manohar, 1995). Cai và Lin (1988) đã phát triển
một kỹ thuật tương tự và đã áp dụng cho hệ với kích động tham số. Ở đây, dao động
thay thế thuộc về các lớp các hệ có thế năng dừng và được lựa chọn trên cơ sở năng
lượng tiêu tán trung bình không thay đổi. Đối với một hệ cụ thể, nghiệm thu được
bằng phương pháp này được chứng minh là tốt hơn nghiệm thu được bằng phương
pháp trung bình ngẫu nhiên. Phương pháp phi tuyến hóa tương đương cũng được áp
dụng để nghiên cứu đặc tính dao động của hệ Van der Pol chịu kích động cả tuần hoàn
và ngẫu nhiên (Manohar và Iyengar, 1991).
Phương pháp nhiễu
Phương pháp này được mở rộng trực tiếp phương pháp được sử dụng trong bài
toán tất định. Phương pháp này được áp dụng khi các phương trình chuyển động chứa

tham số nhỏ đặc trưng cho tính phi tuyến trong hệ. Nghiệm được khai triển thành
chuỗi lũy thừa theo tham số bé dẫn đến một tập các phương trình vi phân tuyến tính có
thể được giải tuần tự. Phương pháp này được áp dụng cho cả hệ một bậc tự do và
nhiều bậc tự do dưới mọi dạng kích động đầu vào ngẫu nhiên dừng hoặc không dừng.
Phương pháp nhiễu được sử dụng lần đầu tiên bởi Crandall (1963) để đánh giá mô