Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert

1


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Giải tích hàm là một trong những ngành toán học đóng vai trò quan
trọng trong giải tích cũng như trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học.
Trong đó người ta đã giành một mảng để nghiên cứu không gian Hilbert.
Không gian Hilbert là một dạng tổng quát của không gian Euclid mà không bị
giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có tích vô hướng,
nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc. Các không gian
Hilbert cung cấp một khung để hệ thống hóa và khái quát hóa khái niệm chuỗi
Fourier theo một hệ bất kỳ của các hàm số trực giao và của phép biến đổi
Fourier, đó là những khái niệm trung tâm của giải tích hàm.
Trong chương trình học bộ môn Giải tích hàm sinh viên đã được tìm
hiểu các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach, đó
là một trong những vấn đề cơ bản của Giải tích hàm. Tương tự như trong
không gian Banach thì trong không gian Hilbert các toán tử tuyến tính bị chặn
cũng được nghiên cứu với các tính chất tương tự. Chẳng hạn như các tính chất
của toán tử tuyến tính liên hợp, toán tử compact, phổ của toán tử, hay nếu một
toán tử tuyến tính là bị chặn theo định lý đồ thị đóng trong lý thuyết về không
gian Banach thì toán tử đó có đồ thị đóng và được định nghĩa trên toàn bộ
không gian Hilbert
Các tính chất của các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
Hilbert này đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Chẳng hạn như tác giả Đậu
Thế Cấp, Nguyễn Xuân Liêm, Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Khuê, Hoàng Tụy,
Tuy nhiên có tác giả nghiên cứu về toán tử này, có tác giả lại nghiên cứu về
toán tử khác, hay mỗi tác giả nghiên cứu một vài tính chất khác nhau. Chưa ai
tổng hợp lại tất cả các tính chất của các toán tử ấy.
Để biết được các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert có

tính chất gì giống và khác so với tính chất của các toán tử tuyến tính bị chặn
trong không gian Banach, và để tìm hiểu, nghiên cứu, chứng minh rõ các tính
2


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
chất đó thì em xin lựa chọn đề tài nghiên cứu cho khóa luận: “ Toán tử tuyến
tính bị chặn trong không gian Hilbert ”. Với mục đích đó, dựa vào các tài
liệu tham khảo, em đã tìm hiểu các khái niệm và các tính chất cơ bản, chứng
minh chi tiết một số bổ đề, mệnh đề, định lí đã có trong tài liệu. Sau đó là làm
rõ các tính chất thông qua một số bài tập được đưa ra.
2. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: Nghiên cứu các tính chất của toán tử tuyến tính bị
chặn trong không gian Hilbert cùng với bài tập áp dụng.
Ý nghĩa thực tiễn: Cung cấp tài liệu cho sinh viên ngành toán, đặc biệt
là sinh viên ngành sư phạm toán.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Chứng minh rõ các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trong không
gian Hilbert. Minh họa qua các bài tập cụ thể.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu chứng minh các tính chất của toán tử tuyến tính trong
không gian Hilbert, xây dựng hệ thống bài tập áp dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình
có liên quan đến toán tử trong không gian Hilbert rồi phân hóa, hệ thống hóa
các kiến thức.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
Phương pháp lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn: Lấy ý kiến của giảng
viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung

và hình thức của khóa luận.
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Các tính chất của toán tử tuyến tính
Phạm vi: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert
3


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Chương 1. Không gian Hilbert
1.1. Khái niệm không gian Hilbert
1.1.1. Dạng Hermite
Định nghĩa 1.1. Cho E là một  – không gian vectơ. Một dạng Hermite trên
E là một hàm φ: E×E →  thỏa mãn:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
φ x x , y φ x , y φ x ,y
ii)
φ x, y y φ x, y φ x, y

iii) φ λx , y λφ x , y
iv) φ x, λy φ x, y
v)
i
φ x, y φ y,x
)
+ = +
+ = +
=
=
=
λ

với mọi x, x
1
, x
2
, y, y
1
, y
2
∈
E, λ
∈

.
Dễ dàng thấy rằng ii) và iv) là hệ quả của các điều kiện còn lại.
4

Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Nếu


=
ℝ
thì v) trở thành φ(x, y) = φ(y, x) do đó dạng Hermite trên
không gian vectơ thực chính là dạng song tuyến tính đối xứng đã biết.
Bổ đề 1.1.
Giả sử φ là một dạng Hermite trên E và
n
i i
i 1
x x ,
=
= α
∑
m
j j
j 1
y y
=
= β
∑

là các t
ổ
h
ợ
p tuy

ế
n tính các vect
ơ
thu
ộ
c E.

Khi
đ
ó:
n m
j
i i j
i 1 j 1
(x, y) (x , y ).
= =
ϕ = α β ϕ
∑∑

Ch
ứ
ng minh.
Theo i) và ii) ta có:
n m
i i j j
i 1 j 1
(x,y) ( x , y )
= =
ϕ = ϕ α β
∑∑

T
ừ

đ
ó theo iii) và iv)
n m
j
i i j
i 1 j 1
(x,y) (x ,y )
= =
ϕ = α β ϕ
∑∑
.
Bổ đề 1.2.
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t không gian vect
ơ
h
ữ
u h
ạ
n chi
ề

u và {a
1
, a
2
, …, a
n
}
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a E. Khi
đ
ó m
ỗ
i d
ạ
ng Hermite
φ
trên E hoàn toàn
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i các giá tr

ị

α
ij
=
φ
(a
i
, a
j
), trong
đ
ó
α
ij
=
ij
α
, i, j = 1, …, n.

Ch
ứ
ng minh.
Gi
ả
s
ử

φ
là m

ộ
t d
ạ
ng Hermite trên E.
Đặ
t
φ
(a
i
, a
j
) =
α
ij
, theo v)
ij ij
α = α
, v
ớ
i i, j = 1, …, n.

Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u có các s
ố

α
ij
th
ỏ
a mãn
ij ij
α = α
, v
ớ
i i, j = 1, …, n.
Gi
ả
s
ử
x và y
∈
E,
n n
i i j j
i 1 j 1
x a , y a
= =
= λ = µ
∑ ∑
.
Đặ
t
n
i j ij
i 1

(x,y) a
=
ϕ = λ µ
∑

D
ễ
dàng ki
ể
m tra
φ
là m
ộ
t d
ạ
ng Hermite trên E và
φ
(a
i
, a
j
) =
α
ij
v
ớ
i i, j = 1, …, n.

5

Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Định nghĩa 1.2. D
ạ
ng Hermite trên E
đượ
c g
ọ
i là d
ươ
ng n
ế
u
(
)
x, x 0
ϕ ≥
với
mọi x
∈
E.

Bổ đề 1.3.
(B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cauchy - Schwartz). N

ế
u
φ
là m
ộ
t d
ạ
ng Hermite
d
ươ
ng trên E thì
( ) ( ) ( )
2
φ x,y φ x, x φ y, y
≤
v
ớ
i m
ọ
i x, y
∈
E.
Ch
ứ
ng minh
.
V
ớ
i m
ọ

i
λ

∈

ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x y, x y x, x x, y x, y y, y 0,
ϕ + λ + λ = ϕ + λϕ + λ ϕ + λλϕ ≥

trong
đ
ó,
(
)
x,x
ϕ
và
(
)
y,y

ϕ
là các s
ố
th
ự
c không âm.
N
ế
u
(
)
0
y,y
ϕ
>
thì thay
(x,y)
(y,y)
ϕ
λ = −
ϕ

vào b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c trên ta có:
(

)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2
φ x,x φ y, y φ x, y φ x, y 0
φ x, y φ x,x φ y, y
− ≥
⇔ ≤


Tr
ườ
ng h
ợ
p
(
)
0
x,x
ϕ
>
hoàn toàn t
ươ
ng t
ự

.
N
ế
u
(
)
(
)
x,x y
0
y,
ϕ ϕ
= =
thì thay
(
)
φ
x, y
λ = −
vào b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c
đầ
u
tiên ta có:
( ) ( ) ( ) ( )

2 2
2
φ x, y 0 φ x, y 0 φ x, x φ y,y .
− ≥ ⇔ = =


Bổ đề 1.4.
(B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Minkowski). N
ế
u
φ
là d
ạ
ng Hermite d
ươ
ng thì
(
)
(
)
(
)
φ x y,x y φ x, x φ y, y
+ + ≤ +

v
ớ
i m
ọ
i x, y
∈
E.

Ch
ứ
ng minh.
Theo b
ổ

đề
3,
(
)
(
)
(
)
(
)
Re
φ x, y φ x, y φ x, x φ y, y
≤ ≤
.
T
ừ

đ
ó theo i) và ii) ta
đượ
c:
6


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
(x y,x y) (x, x) (x, y) (y, x) (y, y)
ϕ + + = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ


(x, x) 2Re (x, y) (y, y)
= ϕ + ϕ + ϕ


(x,x) 2 (x, x) (y, y) (y, y)
= ϕ + ϕ ϕ + ϕ


2
( (x,x) (y, y)) .
= ϕ + ϕ

1.1.2. Tích vô hướng và không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.
M
ộ
t d

ạ
ng Hermite
φ

đượ
c g
ọ
i là xác
đị
nh d
ươ
ng n
ế
u
(
)
x, x 0
ϕ >
v
ớ
i m
ọ
i
x E
∈
,
x 0
≠
. M
ộ

t d
ạ
ng Hermite xác
đị
nh d
ươ
ng còn
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t tích vô h
ướ
ng.
Bổ đề 1.5.
M
ộ
t d
ạ
ng Hermite d
ươ
ng
φ
trên E là m
ộ
t tích vô h
ướ
ng n
ế

u và ch
ỉ

n
ế
u
(
)
x, y 0
ϕ =
v
ớ
i m
ọ
i
y E
∈
thì
x 0
=
.
Ch
ứ
ng minh.
N
ế
u
φ
là m
ộ

t tích vô h
ướ
ng thì
(
)
x, x 0
ϕ >
v
ớ
i m
ọ
i
x 0
≠
. Vì v
ậ
y
n
ế
u
(
)
x, y 0
ϕ =
v
ớ
i m
ọ
i y thì
(

)
x, x 0
ϕ =
, do
đ
ó x = 0.
Ng
ượ
c l
ạ
i n
ế
u
đ
i
ề
u ki
ệ
n b
ổ

đề
th
ỏ
a mãn thì m
ọ
i
x 0
≠
t

ồ
n t
ạ
i y
để
(
)
x, y 0
ϕ
≠
. Theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cauchy – Schwartz ta có:
( ) ( ) ( )
2
φ
x,x
φ
y, y
φ
x, y 0
≥ >
.
Vì v
ậ
y

(
)
x, x 0
ϕ >
.
Định nghĩa 1.4.
Không gian vect
ơ
E cùng v
ớ
i m
ộ
t tích vô h
ướ
ng
,

trên nó
g
ọ
i là không gian ti
ề
n Hilbert.
Sau
đ
ây ta kí hi
ệ
u
(
)

x, y
ϕ
b
ở
i
x, y
và g
ọ
i là tích vô h
ướ
ng c
ủ
a hai
vect
ơ
x và y.
V
ớ
i m
ọ
i
x E
∈
ta
đặ
t
x x, y
=
. Ta ch
ứ

ng minh
đ
ây là m
ộ
t chu
ẩ
n trên E.
Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ
i cách
đặ
t nh
ư
trên thì b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cauchy – Schwartz có
d
ạ
ng:
x, y x y ,
≤

x, y E
∀ ∈
.
Còn b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Minkowski
đượ
c vi
ế
t là:
x y x y .
+ ≤ +

M
ặ
t khác, hi
ể
n nhiên
7


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
i)
x 0, x E
≥ ∀ ∈
và vì là tích vô h

ướ
ng, nên n
ế
u
x 0
=
thì
x 0
=
.
ii)
x x, x x,x x ,
λ = λ λ = λλ = λ

λ
∈
ℂ
,
x E
∀ ∈
.
Chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Một không gian
ti
ền Hilbert là một không gian định chuẩn (với chuẩn sinh bởi tích vô hướng).
Nếu không gian định chuẩn này là đầy thì E gọi là không gian Hilbert.
Định lí 1.1.
Nếu E là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục
trên
E E
×

.
Chứng minh. Cho
(
)
0 0
x , y
E E
∈ ×
tùy ý.
B
ất đẳng thức Cauchy – Schwartz cho ta:
0 0 0 0 0 0
x, y x , y x, y x , y x , y x , y
− = − + −


0 0
x x , y x, y y
= − + −


0 0 0
x x y x y y 0,
≤ − + − →

khi x
→ x
0
, y → y
0

.
Hai vectơ x và y được gọi là trực giao với nhau kí hiệu
x y
⊥
nếu
x, y 0
=
.
Do
y,x x, y
= nên nếu
x y
⊥
thì
y x
⊥
.
Định lí 1.2.
(Pythagore). Nếu
x y
⊥
trong không gian tiền Hilbert thì
2 2 2
x y x y
.
+ = +
M
ột cách tổng quát nếu x
1
, …, x

n

E
∈
với
i j
x x 0
⊥ =
với mọi i j thì
2
n n
2
i i
i 1 i 1
x x
= =
=
∑ ∑
.
Chứng minh.

Nếu x
1
⊥
x
2
thì:
8

Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
2
1 2 1 2 1 2
x x x x , x x
+ = + +

1 1 1 2 2 1 2 2
x ,x x ,x x ,x x ,x
= + + +


2 2
1 2
.
x x= +
Gi
ả sử đẳng thức được chứng minh tới
i j
n –1 2, x x , i j.
≥ ⊥ ≠

Cho x
1
, …, x
n

E
∈
với x
i

⊥
x
j
= 0 với mọi
i j.
≠

T
ừ
1 n 1 n 1 n n 1 n
x x x x , x x ,x 0,
− −
+…+ + = + …+ =

áp d
ụng giả thiết
quy n
ạp ta có:
( )
2
2
1 n 1 n 1 n
x x x x x
−
+…+ = +…+ +


2 2
1 n 1 n

x x x
−
= +…+ +

2 2 2
1 n 1 n
x
.
x x
−
= + …+ +
Bổ đề 1.6.
(Đẳng thức hình bình hành). Với mọi vectơ x và y thuộc không
gian ti
ền Hilbert đều có đẳng thức:
(
)
2 2 2 2
x y x y 2 x y .
+ + − = +

Chứng minh. Ta có

2 2
x y x y x y,x y x y,x y
+ + − = + + + − −


x, x x, y y, x y, y x,x
+ + +

=
+


(
)
2 2
x,y y,x y,y 2 x y .
− − + = +

Nhận xét:
i) Nếu xét hình bình hành có hai cạnh là hai vectơ x và y thì vế trái
c
ủa đẳng thức trên chính là tổng bình phương độ dài hai đường chéo của
hình bình hành còn v
ế phải chính là tổng bình phương các cạnh của hình
bình hành đó.
9


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
ii) Đẳng thức hình bình hành cũng là điều kiện đủ để không gian định
chu
ẩn E là không gian tiền Hilbert, có nghĩa là chuẩn của E sẽ được sinh bởi
tích vô h
ướng.
Ví dụ 1.1.
(Không gian Euclide n – chiều). Xét không gian vectơ
(
)

{
}
n
1 n 1 n
x x , , x : x , , x .
= = … … ∈
C C

Khi
đó dễ thấy công thức:
n
j 1 n 1 nj
j 1
x, y x y , x (x , ,x ), y (y , , y )
=
= = = ∈
∑
ℂ

xác
định một tích vô hướng trên
ℂ
. Bởi vì
ℂ
là đầy và do đó
n
C
là đầy với
m
ọi chuẩn, đặc biệt với chuẩn Euclide:

1
n
2
2
j
j 1
x x x,x
=
 
= =
 
 
∑
, nên
n
C

là
một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.2.
(Không gian
2
ℓ
). Xét không gian Banach các dãy số bình phương
khả tổng.

1
n
2
2

2 n n 1 n
2
n 1
x {x } : x x .
≥
≥
 
 
 
= = = < +∞
 
 
 
 
 
∑
ℓ

Vì
2 2
n n n n
n 1 n 1 n 1
x y x y
∞ ∞ ∞
= = =
≤ +
∑ ∑ ∑

nên dễ thấy, công thức:
n 2

n
n 1
x, y x y , x, y
∞
=
= ∈
∑
ℓ

xác định một tích vô hướng trên
2
ℓ
.
M
ặt khác, do
2
x x, x , x
= ∈
2
ℓ
nên
2
ℓ
là đầy với chuẩn này và do
đó
2
ℓ
là một không gian Hilbert.
10

Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Ví dụ 1.3.
(Không gian L
2
(X,
Σ
,
µ
)). Giả sử (X,
Σ
,

µ
) là không gian đo với độ
đo
µ
. Xét không gian Banach L
2
(X,
Σ
,

µ
). Cũng dễ kiểm lại rằng công thức
X
f , g f(x)g(x)d (x), f, g
= µ ∈
∫
L

2
(X,
Σ
,

µ
).
xác định một tích vô hướng trên L
2
(X,
Σ
,

µ
).
Vì L
2
(X,
Σ
,

µ
) là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô hướng:
( )
1
2
2
2
X
f f d f ,f , f

= µ = ∈
∫

L
2
(X,
Σ
,

µ
).
11


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Nên L
2
(X,
Σ
,

µ
) là một không gian Hilbert.
1.2. Hệ trực giao
1.2.1. Vectơ trực giao
Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng ta có thể định nghĩa khái
ni
ệm trực giao giống như trong không gian
3
ℝ

thông thường.
Ta nói hai vectơ x, y của một không gian Hilbert E trực giao với nhau,
kí hi
ệu x
⊥
y, nếu
x, y 0
=
.
Từ định nghĩa này ta có thể suy ra các tính chất đơn giản sau đây:
i) N
ếu x
⊥
y thì y
⊥
x. Ta có x
⊥
x khi và chỉ khi
x 0
=
.
Vect
ơ 0 trực giao với mọi vectơ x.
ii) N
ếu
1 2 n
x y , y , , y
⊥ …
thì
1 1 2 2 n n

x
α y α y α y
.
⊥ + + … +

Thật vậy,
1 1 2 2 n n 1 1 1 1 n n
x,
α
y
α
y
α
y
α
x , y
α
x , y 0
+ +…+ = +…+ =
.
iii) N
ế
u x
⊥
y
n
, y
n

→

y (
n
→ ∞
) thì x
⊥
y.
12


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Th
ậ
t v
ậ
y,
n
n
x, y lim x, y 0
→∞
= =
(tính ch
ấ
t liên t
ụ
c c
ủ
a tích vô h
ướ
ng).
Ta nói m

ộ
t vect
ơ
x tr
ự
c giao v
ớ
i m
ộ
t t
ậ
p M
⊂
E n
ế
u x tr
ự
c giao v
ớ
i
m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a M. T
ừ

các tính ch
ấ
t ii) iii) ta suy ra: T
ậ
p t
ấ
t c
ả
các vect
ơ

tr
ự
c giao v
ớ
i m
ộ
t t
ậ
p M
⊂
E cho tr
ướ
c làm thành m
ộ
t không gian con
đ
óng
c
ủ

a E. Không gian con này th
ườ
ng
đượ
c kí hi
ệ
u
M
⊥
và g
ọ
i là ph
ầ
n bù tr
ự
c
giao c
ủ
a M.
iv) N
ế
u t
ậ
p M trù m
ậ
t trong E thì
M
⊥
g
ồm một phần tử duy nhất là 0,

ngh
ĩa là: x
⊥
M x = 0.
Th
ật vậy, vì M trù mật trong E nên mọi
x E
∈
đều là giới hạn của một
dãy
n
x M
∈
:
n
n
x lim x
→ ∞
=
.
V
ậy x
⊥
M kéo theo x
⊥
x
n
với mọi n, và do đó x
⊥
x theo tính chất iii)

r
ồi x = 0 theo tính chất i).
13


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
v) Nếu x
⊥
y thì
2 2 2
x y x y
+ = +
(định lí Pythagore).
T
ổng quát hơn nếu có các vectơ x
1
, x
2
, …, x
n
từng đôi một trực giao nhau và
n
i
i 1
x x
=
=
∑

thì

n
2 2
i
i 1
x x
=
=
∑
.
vi) N
ếu
{
}
n
x
là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ x
n
trực giao từng
đôi một) thì chuỗi
n
n 1
x x
∞
=
=
∑

hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số
2
n

n 1
x x
∞
=
=
∑
< + .
Th
ậy vậy, cho
n n
2
n k n k
k 1 k 1
s x , x
= =
= σ =
∑ ∑
. Với n > m ta có, theo định lí
Pythagore:
2 2 2 2
n m m 1 n m 1 n n m
s s x x x x
σ σ .
+ +
− = + …+ = + = −

Do
đó
n m
s s 0

− →
khi và chỉ khi
n m
σ
0
σ
−
→

Nhưng không gian Hilbert là không gian đủ, cho nên điều này cũng có
nghĩa là
n
s
có giới hạn khi và chỉ khi
n
σ
có giới hạn.
1.2.2. Hệ trực giao
Định nghĩa 1.5.
Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert E là một tập
con A các vectơ khác 0 của E sao cho hai vectơ khác nhau bất kì của A đều
trực giao với nhau.
Bổ đề 1.7.
Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert là độc lập tuyến
tính.
Chứng minh.
Giả sử A là một hệ trực giao và
n
i i
i 1

a 0
=
α =
∑
là một tổ hợp tuyến tính bất
kì của A.
Với mỗi j = 1, …, n ta có:
14


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
2
i i j i i j j j
Σα a , a Σ0
α a ,a a
= = α=
.
Vì
j
a
> 0 nên α
j
= 0 với j = 1, …, n. Từ đó A độc lập tuyến tính.
Định lí 1.3
.
Giả sử là một dãy vectơ độc lập tuyến tính trong không
gian Hilbert E. Khi đó tồn tại các số
i
n
α

,
n i 1
> ≥
sao cho các vectơ
i
n 1
n n i n
i 1
y x x
−
=
= α +
∑
là trực giao
và thỏa mãn điều kiện: Không gian con sinh
bởi x
1
, …, x
n
trùng với không gian con sinh bởi y
1
, …, y
n
.

Chứng minh.
Với
n 1
=

ta có
1 1
y x
=
. Giả sử đã tìm được các vectơ y
1
, …, y
n-1

(
)
n 2
≥
. Ta sẽ tìm vectơ dưới dạng:
i
n 1
n n i n
i 1
y y x
−
=
= λ +
∑
.
Để có y
n
⊥
y
j
(j = 1, …, n – 1) ta phải có:

i j
n 1
2
n j n i n j n j n j
i 1
0 y , y y x , y y x ,y ,
−
=
= = λ + = λ +
∑

tức là
j
j
n
2
n
j
x , y
λ .
y
= −
Với vectơ y
n
như vậy y
n
⊥
y
j
với j = 1, …, n – 1.

Theo giả thiết quy nạp không gian sinh bởi x
1
, …, x
n-1
, do đó tồn tại các
số
để
i
n 1
n n i n
i 1
y x x .
−
=
= α +
∑

Cuối cùng, hiển nhiên không gian con sinh bởi y
1
, …, y
n
trùng với
không gian con sinh bởi x
1
, …, x
n
.
15

Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
1.3. Hệ trực chuẩn
1.3.1. Hệ trực chuẩn
Định nghĩa 1.6.
Một hệ trực giao A được gọi là hệ trực chuẩn nếu
x 1
=
với
mọi
x A.
∈

Nếu A là hệ trực giao thì B =
1
x : x A
x
 
 
∈
 
 
 
là h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n. H
ệ

B g
ọ
i
là tr
ự
c chu
ẩ
n hóa c
ủ
a h
ệ
A. N
ế
u h
ệ
A toàn v
ẹ
n thì h
ệ
B toàn v
ẹ
n.
M
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ

n toàn v
ẹ
n c
ủ
a không gian Hilbert E
đượ
c g
ọ
i là h
ệ

tr
ự
c chu
ẩ
n
đầ
y
đủ
hay là m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n c

ủ
a E.

Nhận xét:

i) M
ọ
i h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n trong E là
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
ii) M
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n A trong E
đầ

y
đủ
n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
x,a 0
=
v
ớ
i
m
ọ
i
x A
∈

kéo theo
x 0
=
.
Định lí 1.4.
N
ế
u E là không gian Hilbert h
ữ
u h

ạ
n n – chi
ề
u trên tr
ườ
ng

thì
m
ọ
i h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n
đầ
y
đủ
c
ủ
a E là m
ộ
t c
ơ
s
ở
(Hamen) c
ủ

a E và E
đẳ
ng c
ấ
u
Hilbert v
ớ
i không gian Euclide n – chi
ề
u

n
.

Chứng minh.
N
ế
u A là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n
đầ
y
đủ
thì A

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên có
không quá n vect
ơ
. Không gian con sinh b
ở
i A là
đ
óng và trù m
ậ
t trong E nên
nó chính là E. V
ậ
y A là c
ơ
s
ở
Hamen c
ủ
a E.
16


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Gi
ả

s
ử
e
1
, …, e
n
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n c
ủ
a E.
V
ớ
i
(
)
1 n
a a , , a
=
∈



n
,
đặ
t
n
i i
i 1
(a) a e
=
ϕ =
∑
ta
đượ
c m
ộ
t song ánh
tuy
ế
n tính
n
φ
: E.
→
K

M
ặ
t khác v
ớ
i m

ọ
i
(
)
1 n
a a , , a
=
và
(
)
1 n
b , b ., b
=
∈


n
ta có:
n n n
i i j j i j
i 1 j 1 i 1
(a), (b) a e , b e a b a,b
= = =
ϕ ϕ = = =
∑ ∑ ∑

V
ậ
y
φ

là
đẳ
ng c
ấ
u

n

lên E.
1.3.2. Khai triển trực chuẩn
Bổ đề 1.8.
Gi
ả
s
ử

{
}
i
e
là m
ộ
t dãy tr
ự
c chu
ẩ
n trong không gian Hilbert E. Khi
đ
ó:
a)

n
2
2
i
i 1
x,e x
=
≤
∑
v
ớ
i m
ọ
i
x E
∈
(b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Bessel).
b)

V
ớ
i m
ọ

i
(
)
i 2
λ ∈
ℓ
chu
ỗ
i
i i
i 1
e
∞
=
λ
∑
h
ộ
i t
ụ
trong E.
Chứng minh.
a)
Đặ
t
i i
x,e
.
c
=

V
ớ
i m
ọ
i
n N
∈
ta có:
17


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
2
n n n
i i i i j j
i 1 i 1 j 1
0 x c e x c e ,x c e
= = =
≤ − = − −
∑ ∑ ∑


n n n
i i j j i j
i 1 j 1 i 1
x, x c x,e c x,e c c
= = =
= − − +
∑ ∑ ∑

n
2 2
i
i 1
x c .
=
= −
∑

Vì v
ậ
y
n
2
2
i
i 1
x,e x .
=
≤
∑

Do n tùy ý nên ta có b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Bessel.

b) Vì không gian E
đầ
y
đủ
nên ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh dãy các t
ổ
ng
riêng
n i i
i 1
s e
∞
=
= λ
∑

th
ỏ
a mãn tiêu chu
ẩ
n Cauchy.
Vì chu
ỗ
i

n
2
i
i 1=
λ
∑
h
ộ
i t
ụ
nên m
ọ
i
0
ε >
t
ồ
n t
ạ
i n
0
sao cho m
ọ
i
0
n n ,
≥

p N,
∈

n p
2
i
i n 1
+
= +
λ < ε
∑
.
Theo
đị
nh lí Pythagore:
2
n p n p
2
2
n p n i i i
i n 1 i n 1
s s e
+ +
+
= + = +
− = λ = λ < ε
∑ ∑
.
Định lí 1.5.
Gi
ả
s

ử
có m
ộ
t c
ơ
s
ở

đế
m
đượ
c. Khi
đ
ó:

a)

i i
i 1
x x,e e
∞
=
=
∑
v
ớ
i m
ọ
i
x E

∈
(chu
ỗ
i Fourier).
b)

i i
i 1
x, y x,e y,e
∞
=
=
∑
v
ớ
i m
ọ
i
x, y E
∈
(
đẳ
ng th
ứ
c Parsenal).
Chứng minh.
a) Theo b
ổ

đề

1.8a) chu
ỗ
i
2
i
i 1
x,e
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
. Do
đ
ó 1.8b) cho ta:

i i
i 1
y x,e e E.
∞
=
= ∈
∑

Ta s
ẽ
ch
ứ

ng minh
x y
=
. Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ
i m
ọ
i j ta có:
18


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
j i i j j j
i 1
x y,e x x,e e ,e x,e x,e 0
∞
=
− = − = − =
∑
.
Do h
ệ

{
}
j

e

đầ
y
đủ
nên
x y 0
− =
hay
x y
=
.
b) Vì tích vô h
ướ
ng lien t
ụ
c nên theo a)
i i j j
i 1 j 1
x, y x,e e , x,e e
∞ ∞
= =
=
∑ ∑


n n
i i j j
n
i 1 j 1

lim x,e e , x,e e
→∞
= =
=
∑ ∑


n
i i i i
n
i 1 i 1
lim x,e y,e x,e y,e .
∞
→∞
= =
= =
∑ ∑


Định lí 1.6. N
ế
u
{
}
n
e
là m
ộ
t dãy tr
ự

c chu
ẩ
n trong không gian Hilbert E thì
các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đ
ây t
ươ
ng
đươ
ng:
a) Dãy
{
}
n
e

đầ
y
đủ

b)

i i
i 1

x x,e e ,
∞
=
=
∑

v
ớ
i m
ọ
i
x E
∈

c)

i i
i 1
x, y x,e y,e ,
∞
=
=
∑
v
ớ
i m
ọ
i
x, y E
∈

d)

2
2
i
i 1
x x,e
∞
=
=
∑
, v
ớ
i m
ọ
i
x E
∈

Chứng minh.
Theo
đị
nh lí 1.5 ta có a) ⇒ b), a) ⇒ c).
Đặ
t x = y trong c) ta có c) ⇒ d).
19


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ

Ta còn ph
ả
i ch
ứ
ng minh b) ⇒ a) và d) ⇒ a). T
ừ
b) ho
ặ
c d) ta
đề
u suy ra
i
x,e 0
=
v
ớ
i m
ọ
i i thì x = 0, do
đ
ó ta có b) ⇒ a) và d) ⇒ a).
Định lí 1.7. Trong m
ộ
t không gian Hilbert E vô h
ạ
n chi
ề
u các
đ
i

ề
u ki
ệ
n sau
đ
ây là t
ươ
ng
đươ
ng:
a) E kh
ả
li
b) E có m
ộ
t dãy toàn v
ẹ
n
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
c)
E có m
ộ
t c
ơ
s

ở
tr
ự
c chu
ẩ
n
đế
m
đượ
c
d)
E
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i
2
ℓ

Chứng minh.

a) ⇒ b): Do E là không gian
đị
nh chu
ẩ
n nên ta có E kh
ả
li thì trong E

t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t dãy (h
ữ
u h
ạ
n ho
ặ
c vô h
ạ
n) toàn v
ẹ
n
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
b) ⇒ c): Theo
đị
nh lí 1.3,

Để
ch
ứ

ng minh các ph
ầ
n còn l
ạ
i ta kí hi
ệ
u = (0, …, 0, 1, 0, … 0) (1
ở

v
ị
trí th
ứ
n), ta
đượ
c c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n
{
}
n
e
c
ủ

a
2
ℓ
.
20


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Khi
đ
ó
2
ℓ
kh
ả
li và do
đ
ó d) ⇒ a).
c) ⇒ d): Gi
ả
s
ử
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự

c chu
ẩ
n c
ủ
a E.
V
ớ
i m
ỗ
i a = (a
n
)
∈
2
ℓ
theo b
ổ

đề
8b)
i i
i 1
a e E
∞
=
∈
∑
. Vì th
ế

đặ
t
i i
i 1
(a) a e
∞
=
ϕ =
∑
ta
đượ
c m
ộ
t ánh x
ạ
tuy
ế
n tính
: E
ϕ →
ℓ
.
Vì t
ổ
ng
i i
i 1
a e 0
∞
=

=
∑
kéo theo a
i
= 0 v
ớ
i m
ọ
i i, do
đ
ó là
đơ
n ánh.
V
ớ
i m
ọ
i x
∈
E theo
đị
nh lí 1.5a):
( )
i i 2
i 1
x x,e , z x,e .
∞
=
= = ∈
∑

ℓ

Hi
ể
n nhiên,
φ
(z) = x nên
φ
là song ánh. V
ậ
y
φ

đẳ
ng c
ấ
u
đạ
i s
ố

2
ℓ

lên E.

1.4. Tổng Hilbert của các không gian Hilbert

1.4.1. Tổng Hilbert của các không gian Hilbert
Gi

ả
s
ử
{E
n
} là m
ộ
t dãy các không gian Hilbert,
n n
x , y
là tích vô
h
ướ
ng trong E
n
. Gi
ả
s
ử
E là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các dãy x = (x
1
, x
2
, …) trong

đ
ó x
n
∈
E
n

sao cho chu
ỗ
i
2
n 1
x
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
.
Dễ dàng thấy rằng nếu x
∈

E thì
(
)
1 2 n
λ
x ,

λ
x , E
… ∈
với mọi λ
∈

.

21


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
N
ế
u y = (y
1
, y
2
, …) là m
ộ
t dãy n
ữ
a thu
ộ
c E thì theo
đẳ
ng th
ứ
c hình
bình hành ta có:

2 2 2 2
x y x y 2( x y ).
+ + − = +

Do
đ
ó chu
ỗ
i
2
n 1
x y
∞
=
+
∑
h
ộ
i t
ụ
.

Đặ
t
(
)
1 1 2 2
x y x y , x y , ,
+ = + + …
ta có

x y
+
thu
ộ
c E. D
ễ
dàng ki
ể
m
tra E là không gian vect
ơ
v
ớ
i phép c
ộ
ng và phép nhân v
ớ
i vô h
ướ
ng nói trên.
Theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cauchy – Schwartz:
(
)
2 2

n n n n n n
1
x ,y x y x y .
2
≤ ≤ +

Do
đ
ó n
ế
u
n n
x x , y y E
= = ∈
thì chu
ỗ
i
n n
n 1
x ,y
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
tuy
ệ
t

đố
i.
Đặ
t
x, y
=
n n
n 1
x ,y
∞
=
∑
. D
ễ
dàng ki
ể
m tra r
ằ
ng
(
)
x, y x, y
→
là m
ộ
t
d
ạ
ng Hermite trên E.
B

ở
i vì
2
n 1
x,x x
∞
=
=
∑
n
ế
u
x 0
≠
thì t
ồ
n t
ạ
i n
để

x 0
≠
do
đ
ó
x, x 0
>
.
V

ậ
y
x, y
là tích vô h
ướ
ng.
Không gian ti
ề
n Hilbert E v
ớ
i tích vô h
ướ
ng
đ
ã ch
ỉ
ra g
ọ
i là t
ổ
ng
Hilbert c
ủ
a các không gian Hilbert E
n
.
Định lí 1.8. T
ổ
ng Hilbert c
ủ

a các không gian Hilbert là m
ộ
t không gian
Hilbert.

Chứng minh.
22


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Ta còn ph
ả
i ch
ỉ
ra E
đầ
y
đủ
. Gi
ả
s
ử

(m) (m)
n
x x
=
và
{
}

(m)
m
x
là m
ộ
t dãy
Cauchy trong E, ngh
ĩ
a là m
ọ
i ε > 0 t
ồ
n t
ạ
i m
0
sao cho m
ọ
i
0
m m ,
≥
p = 0, 1,
2, …, ta có:
2
(m) (m p)
n n
n 1
x x .
∞

+
=
− ≤ ε
∑

Hiển nhiên với n cố định thì:

2
(m) (m p)
n n
x x .
+
− ≤ ε

V
ớ
i m
ọ
i
0
m m , p 0, 1, 2, ,
> = …

do đó
( )
{
}
m
n
m

x
là m
ộ
t dãy Cauchy
trong E
n
. G
ọ
i gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy
( )
{
}
m
n
m
x
trong E
n
là y
n
.
C
ũ
ng theo b

ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c trên v
ớ
i m
ọ
i N:
N
2
(m) (m p)
n n
n 1
x x .
+
=
− ≤ ε
∑

Vì vậy cho
p
→ ∞

ta
đượ
c
N
2

(m)
n n
n 1
x y
=
− ≤ ε
∑
do hàm chuẩn liên tục.
Vì điều trên đúng với mọi N nên:
2
(m)
n n
n 1
x y .
∞
=
− ≤ ε
∑

Đ
i
ề
u này ch
ứ
ng t
ỏ

2
(m)
x y

− ≤ ε
khi
0
m m .
≥

T
ừ

đ
ó y
∈
E và x
(m)

→
y trong E.
Nhận xét:
23


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
a) N
ế
u
đặ
t E
n
=


v
ớ
i m
ọ
i n thì theo
đị
nh ngh
ĩ
a, t
ổ
ng Hilbert trong
tr
ườ
ng h
ợ
p này chính là
2
ℓ
. Nh
ờ

đị
nh ngh
ĩ
a trên ta c
ũ
ng k
ế
t lu
ậ

n
đượ
c
2
ℓ
là
không gian Hilbert.
b) V
ớ
i m
ỗ
i x
n
∈
E
n

đặ
t
(
)
(
)
n n n
J x 0, , 0, x , 0, , 0
= … …
ta
đượ
c ánh x
ạ

J
n
: E
n

→
E. D
ễ
dàng th
ấ
y r
ằ
ng J
n
là
đẳ
ng c
ấ
u (Hilbert) E
n
lên m
ộ
t không gian
con
đ
óng E’
n
c
ủ

a E.
Từ định nghĩa tích vô hướng trên E ta cũng thấy rằng nếu
m n
≠
thì
E’
m
⊥
E’
n
. Với mọi
(
)
n
x x E
= ∈
chu
ỗ
i
n n
n 1
J (x )
∞
=
∑
h
ộ
i t
ụ
và

n n
n 1
J (x ) x.
∞
=
=
∑

Do đó tổng trực tiếp đại số của các không gian E’
n
trù mật trong E.

1.4.2. Tổng Hilbert của các không gian con đóng
M
ỗ
i không gian Hilbert có th
ể
xem là t
ổ
ng Hilbert c
ủ
a các không gian
con
đ
óng c
ủ
a nó.
Định lí 1.9.
Gi
ả

s
ử
F là m
ộ
t không gian Hilbert và {F
n
} là m
ộ
t dãy các không
gian con
đ
óng c
ủ
a nó sao cho
a)

F
m
⊥
F
n
v
ớ
i m
ọ
i
m n
≠

b)

T
ổ
ng
đạ
i s
ố
các F
n
trù m
ậ
t trong F.
24


Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
N
ế
u E là t
ổ
ng Hilbert c
ủ
a các không gian F
n
thì t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ

t m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u không gian F lên không gian E sao cho, trên m
ỗ
i F
n

đẳ
ng c
ấ
u này
trùng v
ớ
i phép nhúng t
ự
nhiên J
n
c
ủ
a không gian con F
n
vào E.
Chứng minh.
Kí hi
ệ
u G là t

ổ
ng
đạ
i s
ố
c
ủ
a các F
n
trong F.

V
ớ
i m
ọ
i x
∈
G ta có x = x
1
+ … + x
k
trong
đ
ó x
i

∈
F
i
. Do

đ
ó b
ằ
ng cách
đặ
t
φ
(x) = J
1
(x) + … + J
k
(x) ta
đượ
c m
ộ
t ánh x
ạ

φ
: G
→
E.
D
ễ
dàng ki
ể
m tra
φ
là
đẳ

ng c
ấ
u Hilbert không gian ti
ề
n Hilbert G lên
không gian con
φ
(G) c
ủ
a E và
n
F n
| J .
ϕ =
Ta có
φ
(G) trù m
ậ
t trong E.

Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t ánh x
ạ

Φ
: F
→
E m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a
φ
. Do tính liên
t
ụ
c c
ủ
a tích vô h
ướ
ng nên
Φ
là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u Hilbert không gian F lên không
gian Hilbert con
Φ

(F) c
ủ
a E. V
ậ
y
Φ
là
đẳ
ng c
ấ
u mu
ố
n tìm. Do
φ
là ánh x
ạ

duy nh
ấ
t có tính ch
ấ
t
đ
ã nêu trên nên
Φ
là duy nh
ấ
t.

25

Nguyễn Thanh Huyền - Phú Thọ
Tiểu kết chương 1
Ch
ươ
ng 1
đ
ã trình bày nh
ữ
ng ki
ế
n th
ứ
c c
ơ
s
ở
c
ủ
a không gian Hilbert,
bên c
ạ
nh
đ
ó là m
ộ
t s
ố
tính ch

ấ
t
đượ
c th
ừ
a nh
ậ
n và m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t
đượ
c
ch
ứ
ng minh. Nh
ữ
ng ki
ế
n th
ứ
c
đượ
c trình bày trong ch
ươ
ng này s
ẽ

b
ổ
tr
ợ
cho
vi
ệ
c hoàn thi
ệ
n các ki
ế
n th
ứ
c
ở
ch
ươ
ng ti
ế
p theo.