Chuyên đề khảo sát hàm số tài liệu lý thuyết và bài tập ôn thi năm 2015

cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.

Thư viện tài liệu trc tuyn

Tài liệu lý thuyết + bài tập cơ bản
Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên)
CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH

Liên hệ bộ môn:

Cung cấp bởi cbook.vn

cbook.vn

1


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.

LỜI NĨI ĐẦU ..................................................................................................................................... 4
KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG .............................................................................. 5
VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ........................... 5
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC ....................... 9
VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ...................... 14
Dạng 1: Phương pháp giải bài tốn: ......................................................................................... 14
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D. ................................................................ 14
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác
định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước) .................................................................... 14
Dạng 3: Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa
mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y. ................................................................. 17
Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau: .................................................... 19

Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu khơng có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm
GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian..................................... 20
VẤN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ......................................................................................... 22
Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ..................................................................................... 22
Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ............................................................. 24
VẤN ĐỀ 5: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ................................................ 31
DẠNG 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHƠNG CHỨA THAM SỐ ............................... 31
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT ........................................................................................................... 31
B. MỘT SỐ VÍ DỤ ......................................................................................................................... 31
DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ .............................................. 33
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 33
B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 35
DẠNG 3: ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ XÉT PHƯƠNG TRÌNH ......... 38
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 38
B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 38
VẤN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC............................................................................. 44
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm .................................................... 44
A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 44
B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 45
Dạng 2: Điều kiện tồn tại tiếp tuyến............................................................................................ 46
A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 46
B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 46
Dạng 3: Hệ số góc của tiếp tuyến ................................................................................................ 49
A. Giới thiệu ................................................................................................................................... 49
Ta biết rằng f '  x0  là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hồnh độ x0 .
Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến. ............................ 49
B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 49
Dạng 4: Một số tính chất hình học của tiếp tuyến ....................................................................... 51
A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 51
B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 51

Dạng 5: Điều kiện tiếp xúc .......................................................................................................... 55
A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 55
B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 55
VẤN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG ............................... 58

Liên hệ bộ môn:

Cung cấp bởi cbook.vn

MỤC LỤC

2


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
VẤN ĐỀ 8: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH................................................................. 62
DẠNG ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ ....................................................................... 62
VẤN ĐỀ 9: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG ................................................................................. 84
DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG ....................................... 84
DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ (C) CĨ TÂM ĐỐI XỨNG ................................................ 85
DẠNG 3: Tìm tham số m để ( Cm ) : y=f(x;m) nhận điểm I( x0 ; y0 ) là tâm đối xứng . ................ 87
DẠNG 4: TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ ............................................. 88
DẠNG 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG
CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ........................................... 94
VẤN ĐỀ 11: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ................................................... 100
Dạng 1: Từ đồ thị (C) của hàm số y  f  x  , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của y  f  x  ...... 100

 
f  x  ...... 102

Dạng 2: . Từ đồ thị (C) của hàm số y  f  x  , suy ra cách vẽ đồ thị (H) của y  f x .... 101
Dạng 3. Từ đồ thị (C) của hàm số y  f  x  , suy ra cách vẽ đồ thị (K) của y 
Dạng 4. Từ đồ thị (C) của hàm số y 

u  x
u  x
, suy ra cách vẽ đồ thị (L) của y 
........ 102
v  x
v  x

Dạng 5. Từ đồ thị (C) của hàm số y 

u  x
u  x
, suy ra cách vẽ đồ thị (M) của y 
. ...... 103
v  x
v  x

Dạng 6. Từ đồ thị (C) của hàm số y 

u  x
u  x
, suy ra cách vẽ đồ thị (N) của y 
........ 104
v  x
v  x

Dạng 7. Từ đồ thị (C) của hàm số y 

Dạng 8. Từ đồ thị (C) của hàm số y 

u x 
u  x
, suy ra cách vẽ đồ thị (Q) của y 
. ...... 106
v  x
v x 
u x 
u  x
, suy ra cách vẽ đồ thị (R) của y 
...... 107
v x 
v  x

Cung cấp bởi cbook.vn

VẤN ĐỀ 12: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH (ÁP DỤNG TRONG THI TỐT NGHIỆP)............ 119
B. 200 BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ ĐÁP ÁN ................................................................. 120
KẾT LUẬN ...................................................................................................................................... 230

Liên hệ bộ môn:

3


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.
LỜI NĨI ĐẦU
Chương trình mơn Tốn ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và
Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảo

sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích
ứng với sự thay đổi ở trường phổ thơng, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối
trường phổ thơng.
Tốn là mơn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những
vấn đề cơ bản trong chun ngành, đóng vai trị then chốt trong q trình tư duy các mơn học
tương đương.
Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối
với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương
pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình
làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn.
Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị
Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ơng Vũ Khắc Mạnh.
Viết tài liệu này, chúng tơi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng
dạy mơn Tốn nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà
giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng.

Cung cấp bởi cbook.vn

Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình
phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này.
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với
bộ tài liệu này.
Các tác giả

Liên hệ bộ môn:

4


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC
CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG
VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0  (a; b) nếu tồn tại giới hạn

f ( x)  f ( x0 )
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0.
0
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
lim
Ký hiệu: y'  xx
0
x  x0
lim
(Hữu hạn): x  x

2. Các quy tắc tính đạo hàm.
2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x))
 ( C )/ = 0 ( C là hằng số )
 (un)/ = nun – 1u/
/
 ( x )/ = 1
u/
1
     2 với u  0

 (xn)/ = nxn - 1 với (n  2 ; nN)
u
u
/

1
1
     2 với x  0
x
 x



 x

/



1
2 x



 u

với (x > 0)

/



1
u/
=
2 x
2 u
với (x > 0)

2.2. Các qui tắc tính đạo hàm :
 u  v   u /  v/
/

 u.v   u/ v  v/ u và  ku   ku /
/

/

  u   u'.v  v'.u
 
2
v

v

2.3. Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = f[u(x)]
 g /  x   f / u  u /  x  .
3. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số
* Định lý: Cho hàm số :

y  f (x) có đạo hàm trên K

Liên hệ bộ môn:

Cung cấp bởi cbook.vn

,

5


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.

x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
b) Nếu f ' ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
(Chú ý: f ' ( x) dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó; f ' ( x)
a) Nếu f ' ( x)  0 với mọi

âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.)
* Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm tập xác định.
- Tính đạo hàm y'  f ' ( x) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc khơng xác định.
- Sắp xếp các điểm x1 ; x2 ;......; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
4. Phương pháp tìm cực trị của hàm số.
* Định lý. Giả sử hàm số : y  f (x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có
đạo hàm trên K hoặc

K \ x0  , với h  0 .

a) Nếu f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h)
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x) .
b) Nếu

f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và

f ' ( x)  0 trên khoảng

( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) .
(Chú ý: Nếu gọi K  ( x0  h; x0  h) là một lân cận của điểm x0 thì ta phát biểu
định lý trên bằng lời như sau:
a. Nếu f ' ( x) đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm x0 thì x0 là một
điểm cực đại của hàm số

f (x) .

b. Nếu f ' ( x) đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm x0 thì x0 là một

f (x) .)

* Bảng biến thiên minh họa định lý
a)
x
x0-h
x0
x0+h
f’(x)
+
fCĐ

f(x)

b)
x
x0-h
f’(x)
f(x)

x0
+

fCT
* Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số
- Tìm tập xác định.
Liên hệ bộ môn:

x0+h

Cung cấp bởi cbook.vn

điểm cực tiểu của hàm số

6


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.
- Tính đạo hàm y'  f ' ( x) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không xác định.
- Sắp xếp các điểm x1 ; x2 ;......; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số.

5. Phương pháp tìm đường tiệm cận.
5.1 Đường tiệm cận ngang.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng: (a;),(; b),(;) )
Đường thẳng:

y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít

nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f (x)  y0 ;
lim f (x)  y0
x

x

5.2 Đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng: (a;),(; b),(;) )
Đường thẳng:

x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít

nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f ( x)   ; lim f ( x)   lim f ( x)   ; lim f ( x)   ;

xx0


xx0


xx0


xx0

6. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai.
6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a  0)
b
- Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0  x  
a
- Bảng xét dấu:
x
b



a
f(x)
Trái dấu a
0 Cùng dấu a

f ( x)  ax 2  bx  c

(a  0)

ax 2  bx  c  0 (*)

-

Giải phương trình:

+

Nếu phương trình (*) vơ nghiệm (  0) thì f(x) ln cùng dấu a

+

Nếu phương trình (*) có nghiệm kép (  0) x1  x2  

dấu a và f (

b
)  0.
2a

Liên hệ bộ mơn:

b
thì f(x) ln cùng
2a

Cung cấp bởi cbook.vn

6.2 Dấu của tam thức bậc hai:

7


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.

+ Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (  0) giả sử hai nghiệm đó là

x1 ; x2

và

x1  x2

thì ta có bảng xét dấu:

x 
f(x)

Cùng dấu a

x1
0



x2
Trái dấu a

0

Cùng dấu a

7. Sơ đồ khảo sát hàm số.
* Tìm tập xác định của hàm số.
* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

y'  f ' ( x) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó đạo hàm bằng
0 hoặc không xác định. Xét dấu đạo hàm y'  f ' ( x)
+) Tính đạo hàm

+) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số
-

Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của y ' )

Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vơ cực và tại các điểm khơng xác định của
hàm số; tìm đường tiệm cận nếu có)
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
* Đồ thị:
- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh
- Tính thêm một số điểm đặc biệt
- Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần hồn của hàm số.

Cung cấp bởi cbook.vn

-

Liên hệ bộ môn:

8

cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC
1. Khảo sát hàm đa thức bậc ba: ( Dạng y = ax3 +bx2 + cx +d (a  0) )
1.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax3 +bx2 + cx +d (a  0)
* Tập xác định: D  R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính y '
Giải phương trình:

y' 0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến thiên của hàm số.

-

Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y ' )

-

Tính các giới hạn:

lim y và

lim y

x

x

Chú ý

lim y  lim (ax3  bx2  cx  d )  

* Nếu a > 0 

x

x

lim y  lim (ax3  bx 2  cx  d )  

x

x

lim y  lim (ax 3  bx 2  cx  d )  

* Nếu a < 0 

x

lim y  lim (ax 3  bx 2  cx  d )  

x

-

x

x

Lập bảng biến thiên:

* Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hồnh: Cho y = 0 Giải phương trình

ax3  bx2  cx  d  0 Tìm x ( Nếu giải phương trình khó q ta khơng cần thực
hiện bước này).
tính y I  f ( xI ) điểm I ( xI ; y I ) là tâm đối xứng của đồ thị.
- Lấy thêm một vài điểm (nếu cần)
- Vẽ đồ thị.

Liên hệ bộ môn:

Cung cấp bởi cbook.vn

- Tìm tâm đối xứng của đồ thị: tính y’’ giải phương trình y’’ = 0 tìm nghiệm xI và

9


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
1.3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y = ax3 +bx2 + cx +d (a  0).
Nếu a>0
Nếu a<0
y

y

x

x

O

O

y

Phương
trình
y’ = 0
có
nghiệm
kép

y

x

x
O

O

y

Phương
trình
y’ = 0

vô
nghiệm

y

x
O

x
O

2. Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương(dạng: Hàm số y = ax4 +bx2+ c (a0))
2.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax4 +bx2+ c (a0))
* Tập xác định: D  R
* Sự biến thiên:
-

Chiều biến thiên: Tính y '

Giải phương trình: y' 0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến thiên của hàm số.
Liên hệ bộ mơn:

Cung cấp bởi cbook.vn

Phương
trình
y’ = 0
có hai
nghiệm
phân

biệt

10


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
-

Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y ' )

-

Tính các giới hạn:

lim y và

x

lim y

x

Chú ý

lim y  lim (ax 4  bx 2  c)  

* Nếu a > 0 

x

x

lim y  lim (ax 4  bx 2  c)  

* Nếu a < 0 

x

x

- Lập bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hồnh: Cho y = 0 Giải phương trình

ax4  bx2  c  0 Tìm x ( Nếu giải phương trình khó q ta khơng cần thực hiện
bước này).
2.2. Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’
* Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x 0 ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
-

x

+

x0

y’
Trái dấu a

0
Cùng dấu a
*Nếu phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2 ; x 3
(giả sử: x 1 < x 2 < x 3 ) ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
x

-

y’ Trái dấu a

x1

x2
Cùng dấu a

0

0

+

x3
Trái dấu a

Cùng dấu a

0

2.4. Các dạng của đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax4 +bx2+ c (a0)
a>0

a<0

y

x
O

Liên hệ bộ môn:

x
O

Cung cấp bởi cbook.vn

Phương
trình
y’ = 0
có ba
nghiệm
phân biệt

y

11


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.
y

Phương
trình
y’ = 0
có một
nghiệm

y

x

x

O

O

3. Khảo sát hàm phân thức dạng: y 

ax  b
c  0, ad  bc  0
cx  d

3.1. Sơ đồ khảo sát hàm số dạng: y 

ax  b
cx  d



a b

 c  0, E 
 ad  bc  0 


c d



d
* Tập xác định: D  R \  
 
 c

* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' 

E
(cx  d ) 2

+) Nếu E > 0  y' 0 x  D  Hàm số luôn đồng biến trên D
+) Nếu E < 0  y' 0 x  D  Hàm số luôn nghịch biến trên D
- Hàm số khơng có cực trị.




d
d
- Giới hạn và tiệm cận: ( tính các giới hạn khi x   và x   ; x   )
c

c

lim y  lim
x

a
ax  b a
  Tiệm cận ngang: y 
c
cx  d c

Tính giới hạn lim y và lim y ( dựa vào bảng biến thiên).


d
c

Tiệm cận đứng: x  

x

d
c

d
c

- Bảng biến thiên:

a) Nếu E >0

Liên hệ bộ môn:

b) Nếu E < 0

Cung cấp bởi cbook.vn

x

12


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.
x



-

y’

d
c

+

+
a
c

y



-

y’

+
+

x

d
c

-

+
-

+

a
c

y
a
-
-

c
* Đồ thị:
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh: cho y =0 Giải phương trình:

ax  b
0
cx  d

x

a
c

b
a

- Vẽ một nhánh của đồ thị nhánh còn lại lấy đối xứng qua tâm I( 

d a
; ) là giao của
c c

hai đường tiệm cận.
3.3. Các dạng của hàm số phân thức dạng: y 

E  ad  bc  0

ax  b
cx  d



a b
 c  0, E 
 ad  bc  0 


c d



E  ad  bc  0
y

y

I

I

x

x

O

Cung cấp bởi cbook.vn

O

Liên hệ bộ môn:

13


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Phương pháp giải bài tốn:
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D.
Phương pháp chung
-

Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết
luận.

Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau:
-

Tính đạo hàm y’.

-

Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x1, x2 ...

-

Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) ....

-

KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b].

Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá trị
nào.
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập
xác định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước)
Bước 1. Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x.
Bước 2. Chuyển ĐK của biến số x sang ĐK của biến số t. Giả sử tìm được t  K.
Bước 3. Chuyển bài tốn ban đầu thành bài toán mới đơn giản hơn. Cụ thể là: Tìm
GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên tập số K.
sin x  1
sin x  sin x  1
2

Giải


Sai lầm thường gặp

t 1
.
t  t 1
t  0
t 2  2t
Ta có: f ' (t )  2
, f ’(t) = 0  
; lim f ( x)  0 .
2

(t  t  1)
t  2 x

Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t: f (t ) 

Liên hệ bộ mơn:

2

Cung cấp bởi cbook.vn

Ví dụ 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y 

14


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Bảng biến thiên của hàm số f(t) như sau:

t
f (t)



’

-

-2
0

+

0



0
0
1

-

f(t)


1
3

0

1
Từ BBT suy ra: M inf( t )  f (2)   ; Maxf(t )  f (0)  1.
3
1
Từ đó có GTNN, GTLN của hàm số ban đầu lần lượt là  và 1.
3
 Phân tích sai lầm
1
Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là  khi: sinx = -2, điều này không

3

xảy ra.
Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí nhưng chưa tìm điều kiện cho nó dẫn
t 1
đến bài tốn tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới f (t )  2
khơng tương
t  t 1
thích với bài tốn ban đầu (ngồi ví dụ đang xét thì trong các ví dụ sau đều phải lưu ý điều
này).


Lời giải đúng

Đặt t = sinx, điều kiện 1  t  1.
t 1
trên đoạn 1;1 .
t  t 1
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn 1;1 như sau:

t
f (t)
’

-1
+

2

0

0

1



1

f(t)
0

2
3

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN, GTLN của hàm số f(t) trên đoạn 1;1 lần lượt là 0
(khi và chỉ khi t = -1) và 1 (khi và chỉ khi t = 0).
Liên hệ bộ mơn:

Cung cấp bởi cbook.vn

Bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số f (t ) 

15


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.

Từ đó có: Maxy = 1 đạt được khi và chỉ khi: x  k , Miny = 0 khi và chỉ khi:




 k 2 .
2
Nhận xét

Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa
chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức tốn học cho phép biểu diễn chúng qua nhau
thì ta có thể đưa bài tốn đó về bài tốn đơn giản hơn bằng phương pháp đổi biến số.
Mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức xác định hàm số ở ví dụ trên là rõ
ràng dễ thấy, điều này giúp ta phát hiện cách đổi biến số khơng mấy khó khăn, tuy nhiên có
những trường hợp mối liên hệ giữa các nhóm số hạng được ẩn kín bên trong, địi hỏi nhiều
phép biến đổi và có cách nhìn tinh mới phát hiện ra được.
Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx
Nhận xét và hướng dẫn giải
Xét mối liên hệ giữa hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx,
Chúng có mối liên hệ với nhau bởi hệ thức dễ thấy sau
(sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = 1 + 2sinx cosx,

Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ u  sin x  cos x  2 sin  x   , với điều

4


kiện của biến số mới là  2  u  2.

Khi đó sin x cos x 

u2 1
và bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số

2

u2 1
trên đoạn   2; 2  .


2
Trên đoạn   2; 2  dễ dàng tìm được GTNN, GTLN của hàm số f(u) lần lượt là -1


1
(khi và chỉ khi u = -1) và 2  (khi và chỉ khi u = 2 ).
2
f (u )  u 

Từ đó có GTNN, LN của hàm số ban đầu.

1
1
Ta có: sin4x + cos4x = 1  sin 2 2x và sin x cos x  sin 2 x.
2
2
Từ phân tích trên ta thấy nếu đặt t = sin2x (điều kiện 1  t  1) ta có hàm số theo
1
1
biến số t sau: h(t )   t 2  t  2 .
2
2

Cung cấp bởi cbook.vn

Ví dụ 3: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = sin4x +cos4x +sinx.cosx +1

Liên hệ bộ môn:

16

Nhận xét và hướng dẫn giải


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.
Và bài tốn trở thành tìm GTNN, GTNN của hàm số h(t) trên đoạn [-1; 1].
17

5

Đáp số: Maxy =
 x   k hoặc x 
 k ; Miny = 2  x   k (k  Z ).
12
12
4
8
Ví dụ 4: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y  x  1  3  x  ( x  1)(3  x)
Nhận xét và hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là D  1;3 .
Để ý rằng:



x 1  3  x



2

 4  2 ( x  1)(3  x) ,

Vì thế nếu đặt t  x  1  3  x thì
sau: g (t ) 

( x  1)(3  x) 

4  t2
và ta có hàm số theo biến t
2

t2
t 2.
2

Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý rằng t 2  4  2 ( x  1)(3  x)  4, x  1;3 , từ
đó suy ra 2  t  2. (hoặc lập BBT của hàm số t ( x)  x 1  3  x trên D  1;3 để suy ra
2  t  2. )
t2
Bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số g (t )   t  2 trên đoạn 2;2 .
2

Đáp số: Maxy = 2  x = 3; Miny = 

7
5
 x  1
.
2
2

Dạng 3: Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y
thỏa mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y.
Cách giải:
x  y  S
(ĐK S 2  4P ),
 xy  P

1. Đặt 

2. Biểu diễn giả thiết M theo S và P (1)

hoặc P.
4. Tìm ĐK cho S hoặc P (M theo biến nào thì tìm ĐK cho biến đó) bằng cách kết hợp (1)
và điều kiện S 2  4P .
5. Tìm GTLN, NN của biểu thức M với điều kiện tìm được của biến số tìm được ở bước 4.
Lưu ý: Cách tìm ĐK ở bước 4 chỉ áp dụng khi cho x, y bất kỳ. Ví dụ nếu giả thiết cho thêm
x > 0, y > 0 thì phải lưu ý S > 0 và P > 0 để tìm ĐK cho chính xác.
Liên hệ bộ môn:

Cung cấp bởi cbook.vn

3. Biểu diễn biểu thức M theo S và P rồi kết hợp với (1) để biểu diễn M theo 1 biến S

17


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.
Ví dụ 1: Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN của M = (x3 + 1)(y3 + 1).
Nhận xét và hướng dẫn giải
Đặt S = x + y = 1, P = xy
Ta có: M = (xy)3 – 3xy (x + y) + (x + y)3 + 1 = (xy)3 – 3xy + 2 = P3 – 3P + 2.
1
Lại có 1 = S2  4P suy ra: P  .
4
1
Vậy bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số M(P) = P3 – 3P + 2 với P  .
4
1

Ta lập được bảng biến thiên của M(P) trên khoảng  ;  như sau:
4

1
P
-1

4
’
M (P)
+
0
4
’

M (P)



81
64

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN khơng tồn tại cịn GTLN của Q bằng 4, đạt được khi
 1  5 1  5   1  5 1  5  
x  y  1


và chỉ khi 
, giải hệ ta được  x; y   
 2 ; 2  ,  2 ; 2 .
 

 xy  1

 



Ví dụ 2: Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2, Tìm GTLN, NN của M = 2 (x3 + y3) – 3xy.
Ta có: M = 2(x + y)(x2 + y2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a),
Ngồi ra biến đổi giả thiết của bài tốn ta có: x2 + y2 = 2  (x + y)2 – 2xy = 2 (6b)
Qua các phân tích trên thấy rằng nếu đặt t = x + y sẽ biểu diễn được xy theo biến t, từ
đó biểu diễn được biểu thức M theo t.
( x  y)2  2 t 2  2


, kết hợp với (6a) ta biểu diễn được biểu
2
2
3
thức ban đầu theo t là: M (t )  t 3  t 2  6t  3 .
2
Để x, y tồn tại ta phải có: (x + y)2  4xy nên t2  2(t2 – 2) từ đó có 2  t  2 .

Thật vậy, từ (6b) có: xy 

Liên hệ bộ mơn:

Cung cấp bởi cbook.vn

Nhận xét và hướng dẫn giải

18


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.
Từ đó có GTNN, GTLN của M (t ) trên [-2; 2] là: Max(M) =

13
, Min(M) = -7.
2

Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:
Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x2 + y2 + z2.
Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị của một trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx
hoặc x2 + y2 + z2.

Cách giải:
1. Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lượng nêu trên, khi đó có thể đặt một trong
hai đại lượng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho và kết hợp
hằng đẳng thức (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng cịn lại
theo t.
2. Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong ba BĐT sau:
x2 + y2 + z2  xy + yz + zx hoặc (x + y + z)2  3(xy + yz + zx) hoặc 3(x2 + y2 + z2)  (x + y
+ z)2
3. Quy về bài tốn đơn giản.
Ví dụ: Cho x, y , z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1. Tìm GTLN, NN của R = x3 + y3 + z3 – 3xyz.
Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có: R = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx)
Viết lại giả thiết của bài toán thành: (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = 1
Đặt t = x + y + z thì từ (7b) ta có xy + yz + zx =
được biểu thức ban đầu theo t là: R(t) =

(7a),
(7b).

t 2 1
, kết hợp với (7a) ta biểu diễn
2

1
(3t – t3).
2

t 2 1
 1 suy ra  3  t  3.
Dễ dàng CM: x + y + z  xy + yz + zx, từ đó suy ra

2
Tìm GTLN, NN của R(t) trên đoạn  3; 3  , được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1.


2

2

Liên hệ bộ môn:

Cung cấp bởi cbook.vn

2

19


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu khơng có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm
GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian.
Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN của biểu thức M khơng có dấu hiệu đổi biến số nhưng đánh
giá được M  N thì thay vì tìm GTLN, NN của M ta đi thực hiện bài tốn: tìm GTLN, NN
của biểu thức trung gian N.
1 1 1
3
Ví dụ 1: Cho x, y , z > 0 và x + y + z  . Tìm GTNN của M = x + y + z    .
x y z
2

Nhận xét và hướng dẫn giải

Rõ ràng khơng có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài
tốn theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thơng qua việc tìm
GTNN của một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau:
+ Trước hết theo BĐT Cơ si ta có
1 1 1
3
M = x + y + z     3 3 xyz 
, đẳng thức xảy ra  x = y = z (8a)
3 xyz
x y z
+ Để tìm GTNN của biểu thức M ta đi tìm GTNN của biểu thức
3
T  3 3 xyz 
.
3 xyz
Đặt u  3 3 xyz thì việc tìm GTNN của biểu thức T được quy về việc tìm GTNN của
3
 3
3
 0; 2  (vì 0  u  3 xyz  x  y  z  2 ).


 3  15
 3
Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến trên khoảng  0;  , nên MinT (u )  T    .
3
(0; ]
2 2
 2
2

9
trên khoảng
u

Suy ra GTNN của biểu thức trung gian T là
Tức là T  3 3 xyz 

3

15
(đạt được  x = y = z)
2

3
15
 , đẳng thức xảy ra  x = y = z (8b).
xyz 2

+ Từ các kết quả (8a) và (8b) suy ra GTNN của biểu thức M ban đầu là

15
đạt được khi và
2

chỉ khi x = y = z.
Ví dụ 2: Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1).
Tìm GTNN của biểu thức N = x2 + y2 + z2.
Nhận xét và hướng dẫn giải
Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1)  xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z),
Do đó có: N = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx)

Liên hệ bộ môn:

Cung cấp bởi cbook.vn

hàm số T (u)  u 

20


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
= 2 - 2(x + y + z) + (x + y + z)2 – 4xyz

(9a)

x yz
Áp dụng BĐT Cauchy ta được xyz  
 , từ đây và (9a) suy ra:
3


3

x yz
N  2  2( x  y  z)  ( x  y  z)  4
 , đẳng thức có  x = y = z. (9b)
3


4t 3
 f (t ) .

Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) thì từ (9b) ta có: N  2  2t  t 2 
27
Đến đây, bằng cách khảo sát hàm số ta được GTNN của hàm số f(t) trên khoảng (0 ;
3
3
3
3) là , đạt được khi và chỉ khi t  . Từ đó có: Min(N) = , đạt được khi và chỉ khi
4
2
4
1
xyz .
2
3

2

Ví dụ 3: Cho các số thực dương thoả mãn: x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
x
y
P

.
1 x
1 y

Cung cấp bởi cbook.vn

Nhận xét và hướng dẫn giải
Vì P > 0 với mọi x, y > 0 nên P đạt GTNN khi và chỉ khi P2 đạt GTNN.

Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có:
x2
y2
2 xy
x2 y 2
2 xy
( x  y)( x  y)3  3xy
P2 


  

 2 xy
1 x 1 y
y
x
xy
(1  x)(1  y)
1  x  y  xy
1
1

 2 xy  3   2 t  3  f (t ) (t  xy).
xy
t
1
Từ giả thiết và BĐT đúng ( x  y)2  4xy  0  0  t  xy  .
4
 1
Chứng minh được hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn  0;  , suy ra GTNN của hàm số

 4
1
này (chính là GTNN của P2) là f ( )  2 , từ đó có kết quả bài tốn.
4

Liên hệ bộ môn:

21


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
VẤN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính f '( x) . Tìm các điểm tại đó f '( x) bằng 0 hoặc f '( x) không xác định.
- Lập bảng biến thiên
- Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính f '( x) . Giải phương trình f '(x)  0 và ký hiệu xi i  1, 2,3,....... là các nghiệm của
nó.
- Tính

f   x  và f   xi 

- Dựa vào đấu của

f   xi  suy ra tính chất cực trị của điểm xi .

Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
b)

c)

f  x   x  sin 2x  2

f  x   2sin 2x  3

d)

a) f  x   x  x  2

f  x   3  2cos x  cos 2x

Giải
a) TXĐ: D=R

 x  x  2  ..voi..x  0

f  x  
 x  x  2  ..voi..x  0

 Với x  0 : f   x   2 x  2 , f   x   0  x  1
Bảng biến thiên:
x

y



+

-1
0

Liên hệ bộ môn:

x  0 , f   x  0



0
-

+

Cung cấp bởi cbook.vn

 Với x  0 : f   x   2x  2  0 (vì x  0 )

22


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
1

y
Kết luận:

0

o Hàm số đạt cực đại tại x  1 , fCD  f  1  1

o Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 , fCT  f  0  0
b) TXĐ: D=R

f   x   4cos 2x , f   x   0  cos 2x  0  2x 

k


2

 k  x 


4

k


2

,

f   x   8sin 2x





 8..voi..k  2n
 k   8sin   k   
, n
2
4
2
 8..voi..k  2n  1

Tính: f  
Kết luận:

 HS đạt cực đại tại x 



 HS đạt cực tiểu tại x 

4


 n , fCD  f   n   1







4



  2n  1 ,
4
2

 3

fCD  2sin   2n   3  2  3  5
 2

c) TXĐ: D = R

f   x   1  2cos 2x , f   x   0  cos 2x   cos
1
2

k


3

x


6

 k ,

f   x   4sin 2x






 k   4sin   k 2   2 3  0  x   k là điểm cực tiểu
6
6

3



 

 

f     k   4sin    k 2   2 3  0  x    k là điểm cực đại
6
 6

 3

Kết luận:
+ Hàm số đạt cực đại tại x  
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x 



6



 k , fCD  f     k      k  3  2


 6



6

2

 k , fCT  f    k     k  3  2
6
 6
2
6



d) TXĐ: D=R
Liên hệ bộ mơn:

Cung cấp bởi cbook.vn

Tính: f  

23


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.

f   x   2sin x  2sin 2x  2sin x  4sin x cos x  2sin x 1  2cos x 

 x  k
 x  k
sin x  0

f  x  0  


cos x   1  cos 2
 x   2  k 2
1  2cos x  0
2
3
3



f   x   2cos x  4cos 2x
Xét:

+ f   k   2cos k  4cos k 2  2cos k  4  0
 HS đat cực tiểu tại các điểm

x  k ,

fCT  f  k   3  2cos k  cos k 2  2  2cos k
2
4
 2

 1  1
 k 2   2cos
 4cos
 2     4     3  0
+ f   
3
3
 3

 2  2

2
 k 2
3
2
4 9
 2

 f 
 k 2   3  2cos
 cos

3
3 2

 3


 HS đat cực đại tại các điểm x  

fCD

 Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ
1) Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: f  x   ax3  bx2  cx  d ta làm như sau:

f  x
x  
 Ax  B 
f   x
f  x
Gọi

xi

 f  x    Ax  B  f   x    x  

(*)

là nghiệm của pt f   x   0 ( xi là các điểm cực trị)

f  xi    Ax  B  f   xi    xi  

Trong đó

 x   là phần dư của phép chia

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

f  x
f  x

y x  

( Vì toạ độ của điểm cực trị M  x; y  thoả pt f   x   0 , nên từ (*) ta suy ra

y x   )
Liên hệ bộ môn:

Cung cấp bởi cbook.vn

 f  xi    xi  

0

24


cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ơn thi năm 2015.
2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:

y

u  x  v  x   u  x  v  x 
ax2  bx  c u  x 


, y 
2
ax  b
v  x
v  x  



y  0  u  x  v  x   u  x  v  x   0 (1)
Gọi

xi

là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:

u  xi  v  xi   u  xi  v  xi   0 

u  xi  u  xi 

v  xi  v  xi 

Các giá trị cực trị là:

y  xi  

u  xi  u  xi  2axi  b


v  xi  v  xi 
a

Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

y

3
Ví dụ 1: Cho hàm số: y   m  2 x  mx  2

2ax  b
a

Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số khơng có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
GIẢI
TXĐ: D =
Đạo hàm: y  3  m  2 x  m
2

Để hàm số khơng có cực trị thì phương trình y  0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép

   0  0  4.3m  m  2  0  0  m  2
1
3





3
2
2

Ví dụ 2: Cho hàm số: y  x  mx  m  m  1 x  1

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x 1
GIẢI

2
2
Đạo hàm: y  x  2mx  m  m  1

y  2x  2m
 y 1  0


Hàm số đạt cực tiểu tại x  1
 y 1  0


Liên hệ bộ môn:



m2  3m  2  0

2  2m  0

Cung cấp bởi cbook.vn

TXĐ: D =

25