tham khao nhung cau noi nay

Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Đặt vấn đề
Trong thời đại hiện nay, máy tính điện tử chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong
đời sống cũng nh học tập, giảng dạy. Học sinh có hứng thú và quen dùng máy tính trong
tính toán, các em tỏ ra rất nhanh nhạy khi tiếp xúc, tiếp thu các kiến thức về máy tính
cầm tay, máy vi tính. Chỳng ta bit rng mỏy tớnh Casio l loi mỏy rt tin li cho hc
sinh t trung hc n i hc. Vỡ mỏy gii quyt hu ht cỏc bi toỏn trung hc v mt
phn i hc. giỳp hc sinh THCS cú th s dng c loi mỏy tớnh cm tay kiu
khoa hc núi chung, loi mỏy Casio fx-500MS, 570 MS núi riờng.
Trờn th trng hin nay cú rt nhiu loi mỏy khỏc nhau, song tụi ch yu s dng
v ging dy bng mỏy tớnh CASIO. Mỏy tớnh CASIO l loi mỏy rt tin li cho hc
sinh t trung hc n i hc. Vỡ nú gii quyt hu ht cỏc bi toỏn trung hc v mt
phn i hc. giỳp hc sinh c bit l hc sinh THCS cú th s dng c loi
mỏy tớnh cm tay kiu khoa hc núi chung, loi mỏy CASIO fx 500 MS, fx 570 MS núi
riờng.
Ngoi nhng ti liu hng dn s dng v gii toỏn ó cú, khi hc sinh mua mỏy .
Hc sinh c nhng ti liu ú thỡ ch cú th bit chc nng c bn cỏc phớm v tớnh
toỏn cỏc phộp toỏn c bn, m cha cú bi tp thc hnh nhiu v k nng gii Toỏn
bng mỏy tớnh cm tay. HS t mỡnh khỏm phỏ nhng kh nng tớnh toỏn phong phỳ,
khai thỏc cỏc chc nng ca mỏy gn lin vi vic hc trờn lp cng nh trong cỏc hot
ng ngoi khúa toỏn hc thụng qua thc hnh trờn mỏy.
Vỡ th trong quỏ trỡnh dy hc trờn lp (dy hc t chn, dy BDHSG,) . Chỳng
ta cn phi trang b cho hc sinh nm c mt s phng phỏp gii v quy trỡnh n
phớm. t ú, mi hc sinh t mỡnh gii c cỏc bi tp toỏn mt cỏch ch ng v
sỏng to.
ng trc thc trng trờn, vi tinh thn yờu thớch b mụn, mun c khỏm phỏ,
mun cho cỏc em hc sinh THCS cú nhng dng bi tp toỏn gii bng mỏy tớnh cm
tay. Tụi xin a ra mt s dng bi tp hc sinh t thc hnh, rốn luyn k nng gii
Toỏn bng mỏy tớnh cm tay.
Chuyờn 1:
BI TON A THC

Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -1-
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
TèM S D CA PHẫP CHIA A THC f(x) CHO NH THC g(x) =ax + b
Phng phỏp:
- Chia thụng thng
- p dng nh lớ Bezoul
- p dng S Hoocne
1) nh ngha phộp chia ht- Chia cú d ca 2 a thc f(x) v g(x);
f(x) : g(x) thỡ tn ti q(x) v r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x). Nu r(x) = 0 thỡ f(x) chia ht cho g(x).
2) nh lớ Bezoul:
a. Gi s a thc f(x) l a thc ca bin x v a

R trong biu thc ca f(x).
Khi thay x = a thỡ c mt s ký hiu l f(a). gi l giỏ tr ca f(x) ti a.
Nu f(a) = 0 thỡ f(x) cú nghim l x = a.
b. nh lớ Bezoul:
- D trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc g(x) = x a l hng s bng f(a).
VD1: Chia f(x) = x
3
+ 4x
2
- 5 cho g(x) = x 1.
Ta cú s d l f(1) = 1
3
+ 4.1
2
5 = 0
VD2: Chia f(x) = x
5
+2x

3
x + 4 cho g(x) = x + 1.
Ta cú s d l f(-1) = (-1)
5
+2.(-1)
3
(-1) + 4 = 2
- D trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc g(x) = ax + b l hng s bng f
b
a


ữ

.
VD3: Chia f(x) = 3x
3
+ 2x
2
+ 5x 7 cho g(x) = 2x + 1.
Ta cú s d l: f
3 2
1 1 1 1 75
3. 2. 5. 7
2 2 2 2 8


= + + =
ữ ữ ữ ữ

VD4: Chia f(x) = 3x
4
+ 5x
3
4x
2
+ 2x 7 cho g(x) = 4x -5.
Ta cú s d l f
4 3 2
5 5 5 5 5 87
3. 5. 4. 2. 7 6
4 4 4 4 4 256

= + + =
ữ ữ ữ ữ ữ

3) S Hoocne: Trong trng hp chia mt a thc P
n
(x) cho mt nh thc x m ta cú th s
dng thut toỏn Hoocne nh sau:
Gi s khi chia a thc P
n
(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1

+ a
n-2
x
n-2
+ + a
1
x + a
0
cho nh thc x m ta
c a thc Q
n
(x) = b
n-1
x
n-1
+ b
n-2
x
n-2
+ + b
1
x + b
0
thỡ gia cỏc h s a
n
, a
n-1
, a
n-2
, , a

1
,
a
0
v b
n-1
, b
n-2
, b
1
, b
0
cú mi quan h sau õy:
b
n-1
= a
n
b
n-2
= m. b
n-1
+ a
n-1
. . . . . .
b
0
= m.b
1
+ a
1

v s d r = m.b
0
+ a
0
a
n
a
n-1
a
n-2
a
1
a
0
m b
n-1
= a
n
b
n-2
= m.b
n-1
+a
n-1
b
n-3
= m.b
n-2
+a
n-2

b
0
=m.b
1
+a
1
r =m.b
0
+a
0
Vớ d 1: Tỡm thng v s d ca a thc
f(
4 2
) 2 3 4 5x x x x= +
chia cho
( ) 2g x x= +
Gii:
Ta ghi:
2 0 -3 4 -5
-2 2 -4 5 -6 7
Vy a thc thng Q
3 2
( ) 2 4 5 6x x x x= +
v s d r = 7
Vớ d 2: Tỡm thng v s d ca a thc
4 3 2
( ) 3 5 4 2 7f x x x x x= + +
chia cho
( ) 4 5g x x=
Gii:

Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -2-
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Ta ghi:
3 5 -4 2 -7
5
4
3
35
4
111
16
683
64
6
87
256
3
4
35
16
111
64
683
256
Vy a thc Q
3 2
3 35 111 683
( )
4 16 64 256
x x x x= + + +

v s d r = 6
87
256
.
BI TP:
1)Tỡm s d ca cỏc phộp chia sau:
a) (x
4
+ x
3
+2x
2
x +1) : (x -3) KQ: r = 124
b) (x
3
9x
2
35x + 7) : (x 12) KQ: r = 19
c) (2x
3
+ x
2
3x +5) : (x + 11) KQ: r = -2.503
d) (4x
5
+ 3x
3
4x + 5) : (2x +11) KQ: r = -20.603,5
e) (3x
4

+ 5x
3
-4x
2
+2x 7) : ( -3x +2) KQ: r =
145
27

f) (5x
4
4x
3
+ 2x
2
+ 7x + 8) : (3x 1) KQ: r =
848
81
Hng dn: p dng nh lớ Bezoul
2) Tỡm s d v a thc thng ca cỏc phộp chia f(x) cho g(x) sau:
a) f(x) = (x
4
+ x
3
+2x
2
x +1) v g(x) =(x -3)
b) f(x) = (x
3
9x
2

35x + 7) v g(x) = (x 12)
c) f(x) = (2x
3
+ x
2
3x +5) v g(x) = (x + 11)
d) f(x) = (4x
5
+ 3x
3
4x + 5) v g(x) = (2x +11)
e) f(x) = (3x
4
+ 5x
3
-4x
2
+2x 7) v g(x) = ( -3x +2)
f) f(x) = (5x
4
4x
3
+ 2x
2
+ 7x + 8) v g(x) = (3x 1) .
Hng dn: p dng S Hoocne.
KQ: a) r = 124
v Q(x) = x
3
+ 4x

2
+ 14x + 41
b) r = 19 v Q(x) =x
2
+ 3x + 1
c) r = -2.503 v Q(x) = 2x
2
21x + 228
d) r = -20.603,5 v Q(x) = 2x
4
11x
3
+ 62x
2
341x +
3.747
2
e) r =
145
27

v Q(x) = -x
3
-
7
3
x
2
-
2

9
x -
22
27
f) r =
848
81
v Q(x) =
5
3
x
3
-
7
9
x
2
+
11
27
x +
200
81
3) Tỡm a P(x) = x
4
+ 7x
3
+2x
2
+13x + a chia ht cho x + 6.

Gii:
C
1
: P(x)
M
x + 6

P(-6) = 0

(-222) + a = 0

a = 222. Vy a = 222.
C
2
: P(x)
M
x + 6

P(-6) = 0
Ta nhp biu thc : X
4
+ 7X
3
+ 2X
2
+ 13X +A = 0
n: X ? nhp -6
n tip: mỏy hin: A = 222. Vy : a = 222.
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -3-
Solve

Shift
=
Solve
Shift
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
4, Cho phng trỡnh 2,5x
5
3,1x
4
+ 2,7x
3
+ 1,7x
2
(5m -1,7)x + 6,5m 2,8 cú mt nghim l x = - 0,6.
Tớnh giỏ tr ca m chớnh xỏc n 4 ch s thp phõn.
Hng dn: Gii nh bi 3. KQ: m = 0,4618
5, Tỡm m f(x) = 2x
4
+ 3x
2
5x + 2005 m chia ht cho x 12.
Hng dn: Gii nh bi 3. KQ: m = 43849.
6, Xỏc nh giỏ tr k a thc f(x) = x
4
9x
3
+21x
2
+ x + k chia ht cho a thc g(x) = x
2

x 2.
Gii:
C
1
: Ly f(x) chia cho g(x) tỡm s d v t s d bng 0 tỡm k.
Ta cú: f(x) = (x
2
x 2)(x
2
8x + 15) +k +30 = 0
Vy f(x)
M
g(x) thỡ k + 30 = 0. Suy ra k = -30
C
2
: Ta cú g(x) = x
2
x 2 = x
2
2x + x 2 = x(x 2) + (x 2) = (x 2)(x + 1)
Vy f(x) chia ht cho g(x) = x
2
x 2 thỡ cng chia ht cho (x 2)(x + 1)
p dng nh lớ Bezoul v nh ngha ca phộp chia ht ta thay x = -1 hoc x = 2 vo f(x), ta
c f(-1) = 0

k = - 30.
7, Cho a thc f(x) = 3x
4
x

3
+ 2x
2
x + m.
a) Xỏc dnh m f(x) chia ht cho x 2
b) Vi m tỡm c cõu a. Xỏc nh a thc thng v s d ca f(x) chia cho x + 3.
KQ: a) m = - 46.
b)Q(x) = 3x
3
10x
2
+ 32x 97 v r = 245.
8) Cho a thc P(x) = x
5
+ 2x
4
3x
3
+ 4x
2
5x + m.
a) Tỡm s d trong phộp chia P(x) cho x 2,5 khi m = 2003.
b) Tớnh giỏ tr ca m a thc P(x) chia ht cho x 2,5
c) Mun a thc P(x) cú nghim x = 2 thỡ m cú giỏ tr l bao nhiờu?
Gii:
a) Nhp : X
5
+ 2X
4
3X

3
+ 4X
2
5X + 2003
X? khai bỏo: 2,5
KQ: r =2144,406250
b) Gii nh bi 3. KQ: m = -141,40625
c) P(x) cú nghim x = 2

P(2) = 0

m = - 46
9)Cho hai a thc: P(x) = x
4
+ 5x
3
4x
2
+ 3x + m.
Q(x) = x
4
+ 4x
3
3x
2
+ 2x + n.
a) Tỡm giỏ tr ca m v n cỏc a thc P(x) v Q(x) chia ht cho x 2.
b)Xột a thc R(x) = P(x) Q(x), vi giỏ tr m, n va tỡm c. Hóy chng t rng a thc
R(x) ch cú mt nghim duy nht.
Gii:

a) Gii nh bi 3. KQ: m = -46, n = -40
b) Ta cú R(x) = P(x) Q(x) = x
3
x
2
+ x 6.
Vỡ P(x) v Q(x) cựng chia ht cho x 2 nờn R(x) = P(x) Q(x) cng chia ht cho x 2.
Do ú ta cú R(x) = P(x) Q(x) = x
3
x
2
+ x 6 = (x 2)(x
2
+ x + 3)
M x
2
+ x + 3 = x
2
+ 2.
1
2
x +
1
4
+
3
4
= (x +
1
2

)
2
+
3
4
> 0

x
( hay tam thc bc hai x
2
+ x + 3 cú
1 4 3
= =
nờn vụ nghim )
Suy ra R(x) ch cú duy nht mt nghim x = 2.
10)Cho a thc P(x) = 6x
3
7x
2
16x + m.
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -4-
CALC
=
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
a)Vi iu kin no ca m thỡ a thc P(x) chia ht cho 2x + 3.
b)Vi m tỡm c cõu a. Hóy tỡm s d r khi chia a thc P(x) cho 3x 2.
c)Vi m tỡm c cõu a. Hóy p.tớch a thc P(x) ra tớch ca cỏc tha s bc 1.
d)Tỡm m v n hai a thc P(x) = 6x
3
7x

2
16x + m v Q(x) = 2x
3
5x
2
13x + n cựng chia
ht cho x - 2
e)Vi n tỡm c cõu trờn, hóy phõn tớch ca cỏc tha s bc nht.
Gii:
a) P(x) chia ht cho 2x + 3 thỡ P(
3
2

) = 0

m = 12.
b) Chia a thc P(x) = 6x
3
7x
2
16x + 12 cho 3x 2
6 -7 -16 12
2
3
6 -3 -18 0
2 -1 -6
Ta c P(x) = (3x 2)(2x
2
x 6) v s d r = 0
c) P(x) = (3x 2)(2x + 3)(x 2).

d) hai a thc P(x) =6x
3
7x
2
16x + m v Q(x)=2x
3
5x
2
13x + n cựng chia ht
cho x 2 thỡ P(2) = 0 v Q(2) = 0
Suy ra m = 12, n = 30
e) a thc Q(x) = 2x
3
5x
2
13x + 30 chia cho x 2 nờn chia Q(x) cho x 2 ta c.
Q(x) =(x 2)(2x
2
x 15).
Vỡ 2x
2
x 15 = 2x
2
6x + 5x 15=(x 3)2x + 5(x 3)=(x 3)(2x + 5)
Vy Q(x) = (x 2)(x 3)(2x + 5)
11) Cho a thc P(x) = x
5
+ax
4
+bx

3
+cx
2
+dx+e. Bit P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.
a) Tớnh cỏc giỏ tr P(6), P(7), P(8), P(9)
b) Vit li a thc P(x) vi cỏc h s l s nguyờn.
Gii:
a) Ta cú P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.
Xột a thc Q(x) = P(x) x
2
.
D thy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 l nghim ca a thc Q(x).
Vỡ h s ca x
5
= 1 nờn suy ra Q(x) cú dng:
Q(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x - 5)
Nờn Q(6) = (6 1)(6 2)(6 3)(6 4)(6 - 5) = P(6) 6
2
.
Suy ra P(6) = 6
2
+ 5! = 156.
Tng t P(7) = 7
2
+ 6! = 769.
P(8) = 8
2
+
7!

2!
= 2584.
P(9) = 9
2
+
8!
3!
= 6801.
b)P(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x - 5) + x
2
.
P(x) = x
5
15x
4
+ 85x
3
284x
2
+ 274x 120.
12)Cho a thc Q(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q v cho bit Q(1) = 5; Q(2) = 7;
Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tớnh cỏc giỏ tr Q(10); Q(11); Q(12); Q(13).
Gii:
Nhn xột: Q(1) = 5 = 2.1 + 3 ; Q(2) = 7 = 2.2 + 3 ; Q(3) = 9 =2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3

Xột a thc P(x) = Q(x) (2x + 3).
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -5-
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Ta cú P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0. iu ny chng t 1; 2; 3; 4 l nghim ca a thc P(x).
Suy ra: P(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) = Q(x) (2x + 3).
Nờn P(10) = 9.8.7.6 = Q(10) ( 2.10 + 3).
Hay Q(10) = 2.10 + 3 + 9.8.7.6
= 2.10 + 3 +
9!
5!
= 3047.
Tng t: Q(11) = 2.11 + 3 +
10!
6!
= 5065.
Q(12) = 2.12 + 3 +
11!
7!
= 7947.
Q(13) = 2.13 + 3 +
12!
8!
= 11909.
13) Cho a thc P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx

2
+dx + e. Bit P(1) = 3,
P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tớnh cỏc giỏ tr P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
Gii:
t Q(x) = 2x
2
+ 1 . Khi ú Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, Q(5) = 51.
iu ny chng t a thc (bc 5) R(x) = P(x) Q(x) cú 5 nghim 1; 2; 3; 4; 5.
Vy : P(x) = Q(x) + (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5).
Do ú: P(6) = 2.6
2
+ 1 + 5! = 193
P(7) = 2.7
2
+ 1 + 6! = 819
P(8) = 2.8
2
+ 1 +
7!
2!
= 2649
P(9) = 2.9
2
+ 1 +
8!
3!
= 6883
P(10) = 2.10
2
+ 1 +

9!
4!
= 15321
P(11) = 2.11
2
+ 1 +
10!
5!
= 30483
14) Cho a thc P(x) bc 4 cú h s bc cao nht l 1 v tha món P(1) = 3; P(3) = 11; P(5) = 27; P(5)
= 27; P(7) = 51.
Tớnh giỏ tr ca P(-2) + 7 P(6).
Gii:
Nhn xột:
P(1) = 3 = 1
2
+ 2; P(3) = 11= 3
2
+ 2; P(5) = 27 = 5
2
+ 2; P(7) =51 =7
2
+ 2.
Xột a thc Q(x) = P(x) ( x
2
+ 2)
Ta cú Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = 0.
iu ny chng t 1; 3; 5; 7 l nghim ca Q(x).
Suy ra Q(x) = (x 1)(x 3)(x 5)(x 7)
Nờn P(x) = Q(x) + x

2
+ 2 = (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) + x
2
+ 2
Do ú P(-2) = 951 v P(6) = 23.
Vy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112.
Chuyờn 2:
Tỡm c v bi ca 1 s - Tỡm UCLN, BCNN ca cỏc s.
I. TèM C V BI CA MT S:
1. Tỡm cỏc c ca mt s a :
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -6-
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Phng phỏp:
Gỏn: A = 0 ri nhp biu thc A = A + 1 : a
ữ
A
n nhiu ln phớm
QTAP Quy trỡnh n phớm:
Gỏn:
Nhp: a
n nhiu ln du
Vớ d: Tỡm ( cỏc c ) tp hp cỏc c ca 120
Ta gỏn: A = 0
Nhp: A = A + 1 : 120
ữ
A
n nhiu ln phớm
Ta cú A = {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;30;40;60;120}
2. Tỡm cỏc bi ca b:
Gỏn: A = -1 ri nhp biu thc A = A + 1 : b x A

n nhiu ln phớm
Vớ d : Tỡm tp hp cỏc bi ca 7 nh hn 100.
Ta gỏn: A = -1
Nhp: A = A + 1 : 7 x A
n nhiu ln phớm
Ta cú: B = {0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91;98}
BI TP:
1) Tỡm cỏc c ca cỏc s sau: 24; 48; 176.
2) Tỡm tt c cỏc bi ca 14 nh hn 150
3.Kim tra s nguyờn t: kim tra mt s l s nguyờn t ta lm nh sau:
kt lun s a l s nguyờn t ( a > 1) , ch cn chng t rng nú khụng chia ht cho mi s
nguyờn t m bỡnh phng khụng vt quỏ a.
Vỡ nu mt s a l hp s thỡ nú phi cú c nh hn
a
Vớ d: S 647 cú phi l s nguyờn t khụng ?
Gii Ta cú
647
= 25,43
Gỏn: A = 0
Nhp: A = A + 1 : 647
ữ
A
n 25 ln phớm m trờn mn hỡnh kt qu thng l s thp phõn thỡ kt lun 647 l s nguyờn t

BI TP:
1)Cỏc s sau õy s no l s nguyờn t:
197; 247; 567; 899; 917; 929
2) Tỡm mt c ca 3809783 cú ch s tn cựng l 9 KQ: 19339
3) Tỡm mt s t nhiờn x bit lp phng ca nú cú tn cựng l ba ch s 1.
HD: Gỏn : A = 10

Nhp: A = A + 1 : A
3
KQ: x = 471
4)Tỡm cỏc s a, b, c, d ta cú
5a
x
7850bcd =
.
Gii:
S
5a
l c ca 7850. Bng cỏch th trờn mỏy khi cho a = 0; 1; 2; ; 9
Ta thy rng a ch cú th bng 2.
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -7-
0
=
Shift
STO
T
Alpha
A
A
1
=
ữ
Alpha
Alpha
A
Alpha
:

+
Alpha
=
=
=
=
=
A
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Khi a = 2 thỡ
7850bcd =
: 25 = 314
Vy a = 2; b = 3; c = 1; d = 4.
II. TèM CLN, BCNN CA HAI S :
Vỡ mỏy ó ci sn chng trỡnh n gin phõn s thnh phõn s ti gin.

A a
B b
=
( ti gin )
thỡ CLN (A, B) = A
ữ
a BCNN (A, B) = A x b
Vớ d 1: Tỡm a) CLN( 209865; 283935 )
b) BCNN(209865; 283935 )
Ghi vo mn hỡnh 209865 289335 v n
Mn hỡnh hin: 1723
a) a con tr lờn dũng biu thc sa thnh 209865 17
KQ: CLN( 209865; 283935 ) = 12345
b) a con tr lờn dũng biu thc sa thnh 209865 23

KQ: BCNN(209865; 283935 ) = 4826895
Vớ d 2: Tỡm CLN( 2419580247; 3802197531)
BCNN( 2419580247; 3802197531)
Ghi vo mn hỡnh 2419580247 3802197531v n
Mn hỡnh hin: 711
a) a con tr lờn dũng biu thc sa thnh 2419580247 7
KQ: CLN( 2419580247; 3802197531) = 345654321
b) a con tr lờn dũng biu thc sa thnh 2419580247 11
Mn hỡnh hin 2661538272 x 10
10
õy li gp tỡnh trng trn mn hỡnh. Mun ghi y s ỳng, ta a con tr lờn dũng biu
thc xoỏ ch s 2 (u tiờn ca s A) ch cũn
419580247 11 v n
Mn hỡnh hin46115382717
Ta c kt qu BCNN( 2419580247; 3802197531) = 26615382717
Vớ d 3: Tỡm cỏc c nguyờn t ca A = 1751
3
+ 1957
3
+ 2369
3

Gii:
Ghi vo mn hỡnh 17511957 v n Mỏy hin: 17 19
Chnh li mn hỡnh 1751
ữ
17 v n =
Kt qu CLN(1751, 1957) = 103 ( s nguyờn t )
Th li: 2369 cng cú c nguyờn t 103

A = 103
3
(17
3
+ 19
3
+ 23
3
) Tớnh tip 17
3
+ 19
3
+ 23
3
= 23939
Chia 23939 cho cỏc s nguyờn t: Ta c 23939 = 37.647 ( 647 l s nguyờn t )
Vy A cú cỏc c nguyờn t 37, 103, 647
Bi tp:
1) Tỡm BCNN v CLN ca a = 24614205, b = 10719433
KQ: BCNN(a,b) = 12380945115 ; CLN(a,b) = 21311
2) Tỡm BCNN v CLN ca hai s 168599421 v 2654176.
KQ: BCNN(a,b) = 37766270304 ; CLN(a,b) = 11849.
3) Tỡm cỏc c nguyờn t nh nht v ln nht ca s 215
2
+ 314
2
Gii:
Tớnh 215
2

+ 314
2
= 144821 ;
144821
= 380,553
Gỏn: A = 0
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -8-
=
ữ
x =
=
=
ữ
x
=
=
x
=
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Nhp: A = A + 1: 144821
ữ
A
n liờn tc thy 144821 = 97.1493
Tip tc kim tra 1493 cú phi l s nguyờn t khụng. Ta cú
1493
= 38,639
Gỏn: A = 0
Nhp: A = A + 1: 1493
ữ
A

n liờn tc cho ti A = 40 m khụng thy kt qu thng l s nguyờn thỡ 1493 l s
nguyờn t. Vy 215
2
+ 314
2
= 144821 = 97.1493 cú c s nguyờn t nh nht l 97, cú
c s nguyờn t ln nht l 1493.
Chuyờn 3:
BI TON ồNG D
1. S d ca s A chia cho s B: ( i vi s b chia ti a 10 ch s )
Cỏch n: A B mn hỡnh hin kt qu l s thp phõn.
a con tr lờn biu thc sa li A B phn nguyờn ca A chia cho B v n
Vớ d: Tỡm s d ca phộp chia 9124565217 cho 123456 .
n: 9124565217 123456
Mỏy hin thng s l: 73909,45128
a cụn tr lờn dũng biu thc sa li l:
9124565217 123456 73909 v n =
Kt qu: S d: r = 55713.
BI TP: Tỡm s d trong cỏc phộp chia sau:
a) 143946 chia cho 32147 KQ: r = 15358
b) 37592004 chia cho 4502005 KQ: r = 1575964
c) 11031972 chia cho 101972 KQ: r = 18996
d) 412327 chia cho 95215 KQ: r = 31467
e) 18901969 chia cho 1512005 KQ: r = 757909
2. Khi s b chia A ln hn 10 ch s:
Nu nh s b chia A l s bỡnh thng nhiu hn 10 ch s. Ta ngt ra thnh nhúm u 9 ch s
( k t bờn trỏi ). Ta tỡm s d nh phn a). Ri vit tip sau s d cũn li l ti a 9 ch s ri tỡm s
d ln hai. Nu cũn na thỡ tớnh liờn tip nh vy.
Vớ d: Tỡm s d ca phộp chia 2345678901234 cho 4567.
Ta tỡm s d ca phộp chia 234567890 cho 4567 c kt qu l 2203. Tỡm tip s d ca

22031234 cho 4567. Kt qu cui cựng l 26. Vy r = 26.
BI TP:
a) Tỡm s d r khi chia s 24728303034986074 cho 2003. KQ: r = 401
b) Tỡm s d r khi chia s 2212194522121975 cho 2005. KQ: r = 1095
3. Tỡm s d ca s b chia c cho bng dng ly tha quỏ ln thỡ ta dựng phộp ng d
thc theo cụng thc sau:
. . (mod )
(mod )
(mod )
(mod )
c c
a b m n p
a m p
b n p
a m p










Vớ d 1: Tỡm s d ca phộp chia 2004
376
cho 1975
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -9-
=

=
S d ca
A
A B
B
=
x phn nguyờn ca (A chia cho B )
ữ
=
- x
-
=
ữ
x
=
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Gii:
Ta cú 2004
2


841 (mod 1975) =>2004
4


841
2
(mod 1975)

2004

12


231
3


416 (mod 1975)

2004
48


416
4


536 (mod 1975)

2004
48
.2004
12


536. 416 (mod 1975)
2004
60

1776 (mod 1975)


2004
62


1776. 841 (mod 1975)
2004
62


516 (mod 1975)

2004
62x3


516
3


1171(mod 1975)


2004
62x3x2


1171

2
(mod 1975)
2004
62x6


591 (mod 1975)


2004
62x6+4


591.231 (mod 1975)

2004
376


246 (mod 1975)
Vy 2004
376
chia cho 1975 cú s d l 246.
Vớ d 2: Tỡm s d ca phộp chia 176594
27
cho 293
Gii:
Ta cú 176594

208 (mod 293)

176594
3


208
3


3 (mod 293)
176594
27


3
9
(mod 293)
176594
27


52 (mod 293)
Vy 176594
27
chia cho 293 cú s d l 52
Bi tp:
1)Tỡm s d ca phộp chia 23
2005
cho 100.
Gii:
Ta cú: 23

1


23 (mod 100)
23
2


29 (mod 100)
23
4


29
2


41 (mod 100)
(23
4
)
5

41
5
(mod 100)
23
20

1 (mod 100)


(23
20
)
100

1
100


1 (mod 100)
23
2000


1 (mod 100)

23
2005
=23
2000
.23
4
.23
1

1.41.23 (mod 100)
23

2005


43 (mod 100)
Vy 23
2005
chia cho 100 cú s d l 43
2) Tỡm hai ch s cui cựng ca 23
2005
Gii:
Ta gii nh bi 1.
Tr li: Hai ch s cui cựng ca 23
2005
l 43
3) Tỡm ch s hng chc ca 23
2005
Gii:
Ta cng gii nh bi 1.
Tr li: Ch s hng chc ca 23
2005
l 4.
4) Tỡm s d ca phộp chia 7
2005
chia cho 10
( Tỡm ch s hng n v ca 7
2005
)
Gii:
Ta cú 7
1

7 (mod 10)
7
2


49 (mod 10)
7
4


1 (mod 10)


7
2004
= (7
4
)
501

1
501

1(mod 10)
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -10-
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9

7
2005
= 7
2004
.7
1

1.7

7(mod 10)
Vy: + 7
2005
chia cho 10 l 7.
+ Ch s hng n v ca 7
2005
l 7.
5) Tỡm ch s hng n v ca 17
2002
.
Gii:
Ta cú 17
1


7 (mod 10)
17
2


9 (mod 10)

17
4


1 (mod 10)


(17
4
)
500

1
500

1(mod 10)


17
2000


1(mod 10)


17
2002

17
2000
. 17
2


1.9

9(mod 10)
Vy: Ch s hng n v ca 17
2002
l 9.
6) Tỡm hai ch s cui cựng ca tng
A = 2
2000
+ 2
2001
+ 2
2002
Gii:
Ta cú A = 2
2000
( 1+ 2
1
+ 2
2
) = 7. 2
2000
M ta li cú 2
10

24 (mod 100)

(2
10
)
5

24
5


24 (mod 100)


2
250

24
5


24 (mod 100)

2
1250

24
5

24 (mod 100)

2
2000
= 2
1250
.2
250.
2
250.
2
250

24.24.24.24

76 (mod 100)

A = 7. 2
2000


7.76

32 (mod 100)
Vy : Hai ch s cui cựng ca tng A l 32
7) Tỡm hai ch s cui cựng ca tng
B = 2
2000
+ 2

2001
+ 2
2002
+ 2
2003
+ 2
2004
+ 2
2005
+ 2
2006

Gii:
Ta cú B = 2
2000
( 1+ 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ 2
6
) = 127. 2
2000

B = 127. 2
2000


127.76

52 (mod 100)
Vy : Hai ch s cui cựng ca tng B l 52
8) Tỡm s d ca phộp chia 1997
1997
cho 13
Gii:
Ta cú 1997
1


8 (mod 13)
1997
2


12 (mod 13)
1997
3


12.8

5(mod 13)
1997

4


1 (mod 13)


(1997
4
)
499

1
499


1(mod 13)
1997
1997
= 1997
1996
. 1997
1

1.8 (mod 13)
Hay 1997
1997


8 (mod 13)
Vy s d ca phộp chia 1997

1997
cho 13 l 8
9) Tỡm d trong phộp chia 2
1000
cho 25
Gii:
Ta cú 2
10


24 (mod 25)

2
20


1 (mod 25)

2
1000


1
500


1 (mod 25)
Vy s d trong phộp chia 2
1000
cho 25 l 1

10) Tỡm d trong phộp chia 2
1997
cho 49
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -11-
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Gii:
Ta cú 2
2


4 (mod 49)

2
10


44 (mod 49)

2
20


44
2


25 (mod 49)

2
21

25.2

1 (mod 49)

(2
21
)
95

1
95


1 (mod 49)

2
1995


1 (mod 49)

2
1997
= 2
1995
.2
2

1.4

4 (mod 49)
V y d trong phộp chia 2
1997
cho 49 l 4.
11) Tỡm d trong phộp chia 2
1999
cho 35
Gii:

Ta cú 2
1


2 (mod 35)

2
10


9 (mod 35)

2
20


44
2

25 (mod 35)

2
30


9.25

29 (mod 35)
2
16


16 (mod 35)

2
48


1 (mod 35)

2
1999
= (2
48
)
41
.2
31

1.29.2

23 (mod 35)
V y d trong phộp chia 2
1999
cho 35 l 23.
12) Tỡm d khi chia
a) 4362
4362
cho 11
b) 3012
93
cho 13
c) 1999
1999
cho 99
d) 109
345
cho 14 ( r = 1 )
e) 3
1000
cho 49
f) 6
1991
cho 28 ( r = 20)
g) 35
150
cho 425

h) 22
2002
cho 1001
i) 2001
2010
cho 2003
13) a) CMR: 1890
1930
+ 1945
1975
+ 1
M
7
b) CMR: 2222
5555
+ 5555
2222

M
7
Bi tp ngh(NH): ( Mi c gi t sỏng to thờm mt s bi cho phong phỳ)





Chuyờn 4: DY Số
1/ Dóy s Lucas: Dóy s Lucas l dóy s tng quỏt ca dóy Fibonaci: Cỏc s hng ca nú tuõn theo
quy lut u
1

= a; u
2
= b; u
n+1
= u
n
+u
n-1
vi mi n

2. trong ú a, b l hai s tựy ý.
Vi a = b = 1 thỡ dóy Lucas tr thnh dóy Fibonaci.
Dng 1: u
1
= a; u
2
= b ( a, b tựy ý ).Tớnh: u
n+1
= u
n
+u
n-1
vi mi n

2
Phng phỏp:
- C
1
: + n: b a

u
3
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -12-
STO
Shift
A +
STO
Shift
M
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
+ Lp: a

u
4
, u
6
, . . .


u
5
, u
7
, . . .
- C
2
: + Gỏn: D = 2 ( bin m )
A = a ( S hng u
1
) B = b ( S hng u

2
)
+ Ghi vo mn hỡnh:
D = D + 1: A = B + A : D = D + 1 : B = A + B
+ n: ta c u
3
, u
4
, u
5
, , u
n

Vớ d 1: Vi u
1
= 1; u
2
= 3. Tớnh: u
n+1
= u
n
+u
n-1
vi mi n

2
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843,
Vớ d 2: Vi u
1
= -3; u

2
= 4. Tớnh: u
n+1
= u
n
+u
n-1
vi mi n

2
-3, 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118,
Vớ d 3: Vi u
1
= -1; u
2
= -5. Tớnh: u
n+1
= u
n
+u
n-1
vi mi n

2
-1, -5, -6, -11, -17, -28, -45,
Vớ d 4: Vi u
1
= 1; u
2
= -5. Tớnh: u

n+1
= u
n
+u
n-1
vi mi n

2
1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149, .
BI TP:
1)Cho dóy s u
1
= 144; u
2
= 233; .; u
n+1
= u
n
+u
n-1
vi mi n

2. Tớnh u
12
, u
37
, u
38
, u
39

.
KQ: u
12
= 28657; u
37
= 4807526976; u
38
= 7778742049;
u
39
= 12586269025 ( tớnh bng tay )
1)Cho u
1
= 2002, u
2
= 2003 v u
n+1
= u
n
+u
n-1
vi mi n

2.
Xỏc nh u
5
, u
10
?
KQ: u

5
= 10013, u
10
= 110144.
2/ Dóy s Fibonaci ( Dóy Lucas ) suy rng tuyn tớnh cú dng:
Dng 2: u
1
= a; u
2
= b ( a, b tựy ý ) v u
n+1
= m.u
n
+ n.u
n-1
vi mi n

2.
Phng phỏp:
- C
1
: + n: b m n a

u
3
+ Lp : m n

u
4
, u

6
, . . .
m n

u
5
, u
7
, . . .
- C
2
: + Gỏn: D = 2 ( bin m )
A = a ( S hng u
1
) B = b ( S hng u
2
)
+ Ghi vo mn hỡnh:
D = D + 1: A = m.B + n.A : D = D + 1 : B = m.A + n.B
+ n: ta c u
3
, u
4
, u
5
, , u
n


BI TP:

1) Cho u
1
= 2; u
2
= 3 v u
n+1
= 4.u
n
+ 5.u
n-1
vi mi n

2. Xỏc nh u
7
, u
8
?
KQ: u
7
=13022, u
8
= 65103.
2)Cho u
1
= 2; u
2
= 9 v u
n+1
= 19.u
n

+ 45.u
n-1
vi mi n

2. Xỏc nh u
5
, u
10
?
3)KQ: u
5
= 113.661, u
7
= 50.732.586,
u
8
= 1071961389, u
9
= 22650232761 ( tớnh bng tay)
u
10
= 19u
9
+ 45.u
8
= 478592684964. ( tớnh bng tay)
3) Cho u
1
= 30; u
2

= 4 v u
n+1
= 19.u
n
+ 75.u
n-1
vi mi n

2. Xỏc nh u
5
, u
7
?
KQ: u
5
= 1.019.836, u
7
= 508.052.446,
4) Cho u
1
= 3; u
2
= 2 v u
n
= 2.u
n-1
+ 3.u
n-2
vi mi n

3. Xỏc nh u
21
?
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -13-
+
ALPHA
A +
STO
Shift
A
+
ALPHA
M
STO
Shift
M
=
STO
Shift
A x
STO
Shift
B
+
ALPHA
A
x
STO
Shift
A

+
ALPHA
B
STO
Shift
B
=
+
x
x
x
x
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
KQ: u
21
= 4358480503.
5) Cho dóy s sp xp theo th t vi u
1
= 2; u
2
= 20 v u
3
c tớnh theo cụng thc u
n+1
= 2.u
n
+
u
n-1
vi mi n

2.
a) Vit quy tỡnh bm phớm liờn tc tớnh giỏ tr ca u
n
vi u
1
= 2; u
2
= 20.
b) Xỏc nh u
22
, u
23
, u
24
, u
25
?
Gii:
a) + Gỏn: D = 2 ( bin m )
A = 2 ( S hng u
1
) B = 20 ( S hng u
2
)
Ghi vo mn hỡnh:
D + 1: A = 2.B + A : D = D + 1 : B = 2.A + B
+ n: ta c u
3
, u

4
, u
5
, , u
n

b) u
22
= 804.268.156, u
23
= 1.941.675.090
u
24
= 4.687.618.336, u
25
= 11.316.911.762
Chỳ ý: u
25
= 2.u
24
+ u
23
( Tớnh tay ).
6)Cho a
1
= 2000; a
2
= 2001 v a
n+2
= 2.a

n+1
-a
n
+ 3 vi mi n

1. Xỏc nh a
100
?
Gii:
+ Gỏn: D = 2 ( bin m )
A = 2000 ( S hng u
1
) B = 2001 ( S hng u
2
)
+ Ghi vo mn hỡnh: D
= D + 1: A = 2B A + 3 : D = D + 1 : B = 2A B +3
+ n: ta c u
3
, u
4
, u
5
, , u
n

KQ: a
100
= 16.652
3/ Dóy Fibonacoci ( dóy Lucus ) suy rng bc hai dng:

Dng 3: u
1
= a; u
2
= b ( a, b tựy ý ) v u
n+1
= u
2
n
+ u
2
1n
vi mi n

2
Phng phỏp:
- C
1
: + n: b a

u
3
+ Lp:

u
4
, u
6
, . . .

u
5
, u
7
, . . .
- C
2
: + Gỏn: D = 2 ( bin m )
A = a ( S hng u
1
) B = b ( S hng u
2
)
+ Ghi vo mn hỡnh:
D = D + 1: A = B
2
+ A
2
: D = D + 1 : B = A
2
+ B
2

+ n: ta c u
3
, u
4
, u
5

, , u
n

BI TP:
1) Cho u
1
= u
2
= 1 v u
n+1
= u
2
n
+ u
2
1n
vi mi n

2.
Thc hin trờn mỏy theo qui trỡnh trờn ta c dóy: 1, 1, 2, 5, 29, 866, 750797, 5636968851
11
.
2)Cho u
1
= u
2
= 1 v u
n+1
= u
2

n
- u
2
1n
vi mi n

2. Xỏc inh u
100
?
KQ: u
100
= -1
4/ Dóy Lucas bc ba cú dng:
Dng 4: u
1
= a , u
2
= b , u
3
= c ( a, b, c tựy ý )
u
n+1
= u
n
+ u
n-1

+ u
n-2
vi mi n

3
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -14-
=
=
STO
Shift
A +
STO
Shift
B
+
ALPHA
A +
STO
Shift
A
+
ALPHA
B
STO
Shift
B
=
2
x
2
x
2
x

2
x
2
x
+
2
x
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Phng phỏp:
- C
1
: + n: b ( a u
2
vo ụ nh )
c ( a u
2
vo ụ nh )
a

u
4
+ Lp:

u
5
, u
8
, . . .

u
6
, u
9
, . . .


u
7
, u
10
, . . .
- C
2
:
+ Gỏn: D = 3 ( bin m ) A = a ( S hng u
1
) B = b ( S hng u
2
) C = c ( S hng u
3
)
+ Ghi vo mn hỡnh:D = D + 1: A = C + B + A : D = D + 1 : B = A + C + B : D = D + 1 : C = B+A+C
+ n: ta c u
4
, u
5
, u
6
,, u

n

Vớ d: Dóy Fibonaci bc ba: u
1
= u
2
= u
3
= 1, u
n+1
= u
n
+ u
n-1

+ u
n-2
vi mi n

3.
Thc hin qui trỡnh trờn ta c dóy: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653,
BI TP:
1) Cho u
1
= 4, u
2
= 7, u
3
= 5 v u
n

= u
n -1
+ u
n -2

+ u
n -3
vi mi n

4. Xỏc nh u
30
?
2) Cho u
1
= 3, u
2
= 2, u
3
= 1930 v u
n
= u
n -1
+ u
n -2

- u
n -3
vi mi n

4. Xỏc nh u

78
?
3) Cho u
1
= 7, u
2
= 5, u
3
= 1954 v u
n
= u
n -1
- u
n -2

+ u
n -3
vi mi n

4. Xỏc nh u
54
?
4) Cho u
1
= 30, u
2
= 4, u
3
= 1975 v u
n

= u
n -1
+ u
n -2

- u
n -3
vi mi n

4. Xỏc nh u
33
?
5) Cho u
1
= 20, u
2
= 11, u
3
= 1982 v u
n
= u
n -1
+ u
n -2

+ u
n -3
vi mi n

4. Xỏc nh u

26
?
5/ Dóy Lucas bc ba suy rng cú dng:
Dng 5: u
1
= a , u
2
= b , u
3
= c ( a, b, c tựy ý )
u
n+1
= m.u
n
+ n.u
n-1

+ p.u
n-2
vi mi n

3
Phng phỏp:
- C
1
: + n: b ( a u
2
vo ụ nh )
c ( a u
2

vo ụ nh )
m n a p

u
4
+ Lp:
m n p

u
5
, u
8
, . . .
m n p

u
6
, u
9
, . . .
m n p

u
7
, u
10
, . . .
- C
2
: + Gỏn:

D = 3 ( bin m ) A = a ( S hng
u
1
) B = b ( S hng u
2
)
C = c ( S hng u
3
) +
Ghi vo mn hỡnh: D = D + 1: A = mC + nB +
pA : D = D + 1 : B = mA + nC + pB : D = D + 1 : C = mB + nA + pC
+ n: ta c u
4
, u
5
, u
6
,, u
n

Vớ d: u
1
= 1 , u
2
= 2 , u
3
= 3 v u
n+1
= 2u
n

+ 3u
n-1

+ 4u
n-2
vi mi n

3.
Thc hin quy trỡnh trờn ta c dóy: 1, 2, 3, 16, 49, 158, 527,
BI TP:
1) Cho u
1
= 4, u
2
= 7, u
3
= 5 v u
n
= 2u
n -1
- u
n -2

+ u
n -3
vi mi n

4. Xỏc nh u
30
?

KQ: u
30
= 20929015
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -15-
STO
Shift
A
+
ALPHA
B +
STO
Shift
A
=
STO
Shift
B
A
B
ALPHA
B
+
ALPHA
A +
STO
Shift
C
ALPHA
A
+

ALPHA
C +
STO
Shift
B
ALPHA
B
+
ALPHA
C +
STO
Shift
B
ALPHA
B
STO
Shift
A
+
ALPHA
B +
STO
Shift
A
=
STO
Shift
B
A
B

ALPHA
B
+
ALPHA
A +
STO
Shift
C
ALPHA
A
x
x
x
x
x
x
+
ALPHA
C +
STO
Shift
B
ALPHA
B
x
x
x
+
ALPHA
A +

STO
Shift
C
ALPHA
C
x
x
x
Tµi liƯu båi dìng HS giái m«n gi¶i to¸n trªn MTCT líp 8,9
2) Cho u
1
= 3, u
2
= 2, u
3
=1945 và u
n
= 3u
n -1
- 2u
n -2

+ 2008u
n -3
với mọi n
≥
4. Xác định u
10
?
3.Cho dãy số :

3 5 3 5
2 2
n n
n
u
   
+ −
= +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
. Tính u
6
, u
18
?
KQ: u
6
= 322, u
18
= 33385282
7.3. Một số dạng toán thường gặp:
1. Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát:
Cho dãy số
( ) ( )
+ ± −
=
n n
n
a b a b

u
k b
. Lập công thức truy hồi để tính
+
n 2
u
theo
n 1
u
+
,
n
u
.
Phương pháp :
Giả sử u
n+2
= x.u
n+1
+ y.u
n
+ z (*).
Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được u
0
= c
0
; u
1
= c
1

; u
2
= c
2
; u
3
= c
3
; u
4
= c
4
Thay vào (*) ta được hệ phương trình :

+ + =

+ + =


+ + =

1 0 2
2 1 3
3 2 4
c .x c .y z c
c .x c .y z c
c .x c .y z c
=>

=


=


=

x ?
y ??
z ???
Tìm được x, y, z thay vào (*) ta được công thức truy hồi.
Ví dụ 1: Cho dãy số
( ) ( )
+ − −
=
n n
n
3 2 3 2
u
2 2
. Lập công thức truy hồi để tính
+n 2
u
theo
n 1
u
+
,
n
u
.

Giải
Giả sử
n 2 n 1 n
u au bu c
+ +
= + +
(*).
Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được
0 1 2 3 4
u 0;u 1;u 6;u 29;u 132= = = = =
.
Thay vào (*) ta được hệ phương trình :
a c 6
6a b c 29
29a 6b c 132
+ =


+ + =


+ + =

=>
a 6
b 7
c 0
=



= −


=

Vậy
n 2 n 1 n
u 6u 7u
+ +
= −
Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử
n 2 n 1 n
u au bu
+ +
= +
thì bài toán sẽ giải nhanh hơn.
2. Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:
Cho dãy số
+ +
= = = +
0 1 n 2 n 1 n
u p;u qvà u a.u b.u
(**). Tìm CT tổng quát u
n
của dãy?
Phương pháp :
Giải phương trình đặc trưng của phương trình (*) là:
= + ⇔ − − =
2 2
x ax b x ax b 0

thông thường có hai nghiệm x
1
; x
2
.
Khi đó CTTQ có dạng
= +
n n
n 1 1 2 2
u C .x C .x
Người viết + su tÇm: §Ỉng §øc HiƯp – -16-
Tµi liƯu båi dìng HS giái m«n gi¶i to¸n trªn MTCT líp 8,9
Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau:

+ =


+ =


1 2
1 1 2 2
C C p
x .C x .C q
=>

=



=


1
2
C ?
C ??
Thay c
1
và c
2
vào ta được CTTQ :
= +
n n
n 1 1 2 2
u C .x C .x
.
Ví dụ 2: Cho dãy số
0 1 n 1 n n 1
u 2;u 10và u 10u u
+ −
= = = −
(*). Tìm công thức tổng quát u
n
của dãy?
Giải
Phương trình đặc trưng của phương trình (*) là:
2
10 1 0λ − λ + =
có hai nghiệm

1,2
5 2 6λ = ±
Vậy
( ) ( )
n n
n n
n 1 1 2 2 1 2
u C C C 5 2 6 C 5 2 6= λ + λ = + + −
Với n = 0; 1 ta có hệ phương trình sau:
( ) ( )
1 2
1 2
C C 2
5 2 6 C 5 2 6 C 10
+ =



+ + + =


=>
1
2
C 1
C 1
=


=


Vậy số hạng tổng quát
( ) ( )
n n
n
u 5 2 6 5 2 6= + + −
.
Ví dụ 3: Cho dãy số
0 1 n 1 n n 1
u 2;u 10và u 10u u
+ −
= = = −
. Tính số hạng thứ u
100
?
Giải
 Cách 1:
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
2 SHIFT STO A

10 SHIFT STO B
Lặp lại các phím:
ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A−10


ALPHA A ALPHA B SHIFT STO B−10

Bây giờ muốn tính u
100

ta ấn 2 phím
∆
=
96 lần.
 Cách 2:
Tìm công thức tổng quát
( ) ( )
n n
n
u 5 2 6 5 2 6= + + −
.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
( 5 2 6 ) 100 ( 5 2 6 ) 100+ + − =
$ $
Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian
để tìm ra công thức tổng quát. Do đó nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽ
dùng cách 2.
Chun đề 5:
Một số đề thi HS giỏi MTCT các cấp
Trêng T.H.C.S
Qu¶ng Minh
Thi gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio cÊp trêng
N¨m häc 2006-2007
Hä tªn HS :
Häc sinh líp:
Thêi gian lµm bµi : 150 phót - Tõ 14h00' ®Õn 16h30'. Ngµy thi : 15/1/07.
Chó ý : HS lµm trùc tiÕp vµo ®Ị thi nµy .
Quy ®Þnh:
- NÕu kh«ng nãi g× thªm th× kÕt qu¶ tÝnh chÝnh x¸c ®Õn 9 ch÷ sè thËp ph©n.
Người viết + su tÇm: §Ỉng §øc HiƯp – -17-

Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
- Thí sinh chỉ đợc dùng các loại máy tính : CASIO FX220, FX 500A, FX 500MS, FX 570MS.
Bài I : Tính giá trị gần đúng các biểu thức sau rồi điền kết quả vào ô vuông bên cạnh .
Câu 1 : Tính giá tri của M .
M =
3
2 2
3
1 1
8 3 12 12
2 12 ( 11)
+
+
+ +
Câu 2 : Tính giá tri biểu thức A :
A =
2 0 3 0 4 0
5
.cos 23 sin 22 .cos 23 11'
7
(1 2).

+
+
Câu 3 : Tính giá tri B khi x nhận các giá tri :
B = -
5
3
x
3

+ 1,25x
2
-
285,1
15
1
2,7
5
2
3
1
21,3
+


x
Tại x = 2 + 3
12
1
Câu 4 : Tìm ƯCLN và BCNN của 1238 và 32256
Tóm tắt cách giải Đáp số
Bài II :
Cho x
8
+ y
8
= 1,983 và x
16
+ y
16

= 2,006
Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức C = x
48
+ y
48

Tóm tắt cách giải Đáp số
Bài III : Tìm tất cả các số có dạng 22xyz chia hết cho 180.
Tóm tắt cách giải Đáp số
Bài IV : Cho đa thức Q(x) = x
6
- mx
5
+ 12x
4
- nx
3
- 2x
2
+ 11x + k chia hết cho đa thức P(x) = x
2
+ x - 2
và nhận x = 3 là nghiệm. Hãy tính giá trị của m, n và k rồi tìm tất cả các nghiệm còn lại của Q(x).
Tóm tắt cách giải Đáp số
Bài V : Dãy số {U
n
} đợc cho nh sau :
U
0
= 0; U

1
= 1; U
n+2
=
1
1
2
n n
n
U U
U
+

+
+
với n = 0,1,2,3,4
a, Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính U
n
với n >= 2.
( Nêu rõ dùng loại máy nào )
b, Tính các giá trị U
2
, U
3
, U
7
, U
8

Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -18-

M =

A =


B =

Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Quy trình ấn phím :
U
2
= U
3
= U
4
=
U
5
= U
6
= U
7
=
U
2
= U
9
= U
10
=

Bài VI : a. Tìm chữ số hàng trăm của số sau 8
26
b. Tìm số d trong phép chia 8
26
: 2006
và điền kết quả vào ô dới đây
a. Chữ số hàng trăm là : b. Số d là
Bài VII : Một hình chữ nhật cắt đờng tròn nh hình vẽ, biết AB = 4 cm, BC = 5cm, DE = 3 cm.
Tính độ dài EF, rồi điền kết quả vào ô vuông dới đây :
EF = Hình vẽ :
Bài VIII : Xét số thập phân vô hạn tuần hoàn :
M = 2,006(1983) ; N = 20,06(1983) ; P = 200,6(1983) ( chu kì là 1983).
Hãy tính giá trị biểu thức Q = ( P - M.N ) : N.
Tóm tắt cách giải Đáp số
Bài IX : Cho đa thức P(x) = ax
4
- 2x
3
+ 3x
2
- bx - c. Biết rằng P(2) = 2 ; P(3) = 4 ; P(4) = 8, hãy tính giá
trị gần đúng của biểu thức Q = P(19,80) + P(1,983).
Tóm tắt cách giải Đáp số
Kỳ thi chọn học sinh giỏi
giải toán bằng máy tính cầm tay
cấp huyện năm học 2009 - 2010
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Tờ giấy thi

Số báo danh Kỳ thi: Chọn học sinh giỏi giải toán bằng máy tính
cầm tay cấp huyện năm học 2009-2010.
Khóa ngày: 29 tháng 11 năm 2009
Ban coi thi: Huyện Hải Hà
GT 1
GT 2
Họ và tên thí sinh:
Sinh ngày: tháng năm 199
Nơi sinh:
Học sinh trờng:
Số phách
Số điểm
Bằng số:
Bằng chữ:
Chữ ký giám khảo
1
2
Số phách
Chú ý: Thí sinh làm bài trực tiếp lên đề thi; thí sinh không đợc ký tên hay viết bất kỳ một dấu
hiệu gì vào tờ giấy thi; trái với điều này thì bài thi sẽ bị loại.
Quy định: Nếu trong bài thi không nói gì thêm thì kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập
phân, góc thì làm tròn đến giây.
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -19-
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Bài thi:
Bài 1. (5 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau và ghi kết quả dới dạng số thập phân:
a,
20092009
2008200820072007 +

b,
17
2
2.
4
1
3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
5,2
1
64,0
25,1.
5
4
:8,0

+







Kết quả: a) ; b)
Bài 2. (5 điểm)
Viết quy trình bấm phím để tìm ƯCLN và BCNN của hai số 209865 và 283935
Bài 3. (5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức và ghi kết quả vào ô hình chữ nhật bên cạnh.
a) A =
1 1
1 1
9 1
1 1
7 3
1 1
5 5
1 1
3 7

1 1
1 9
11 11
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +

b) B =
3
4
8
9
10
2 3 4 8 9 10+ + + + + +
Bài 4. (5 điểm)
Giải hệ phơng trình sau: 2x+ 8y + z = 21
x =
32
zy
=
Bài 5. (5 điểm)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho 4 điểm A(-2;0), B(3; 0), C(1;4) và D(-3;2).
a) Tính số đo góc ABC.
b) Tính diện tích tứ giác ABCD. (Đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm)
Bài 6. (5 điểm)
a) Dân số nớc ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu ngời. Hỏi đến năm 2010 dân số nớc ta là bao nhiêu nếu
tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%?

b) Đến năm 2020 để cho dân số nớc ta đạt 100 triệu ngời thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao
nhiêu?
Bài 7. (5 điểm)
Cho hình thang cân ABCD có đáy AB = 19 cm, đáy CD = 26 cm, cạnh AD = 12 cm. Tính gần đúng độ
dài đờng cao AH, đờng chéo AC của hình thang ABCD.(lấy k.quả chính xác đến 4 chữ số thập phân)
Bài 8. (5 điểm)
Cho dãy số : u
1
= 2 ; u
n+1
=
n
n
u
u
2
1
2

. Viết quy trình bấm phím tính u
8
; u
9
; u
10
Bài 9. (5 điểm)
a) Tỡm hai ch s cui cựng ca tng:
A = 2
2000
+ 2

2001
+ 2
2002
+ 2
2003
+ 2
2004
+ 2
2005
+ 2
2006

b) Tìm tất cả các số có dạng 2x2yz chia hết cho 80.
Bài 10. (5 điểm)
Đa thức f(x) khi chia cho x - 2 thì d là 5, khi chia cho x - 3 thì d là 7, còn khi chia cho ( x- 2)(x - 3) thì
đợc thơng là 1 - x
2
và còn d.
a) Tìm đa thức f(x).
b) Với đa thức f(x) tìm đợc ở câu a. Hãy tìm số d trong phép chia f(x) cho x - 4.
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -20-
a)
b)
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
c) Với đa thức f(x) ở câu a. Tìm m để g(x) = f(x) + m chia hết cho x -5.
Phòng Giáo dục và Đào tạo Hải Hà
Hớng dẫn chấm thi chọn HSG giải toán
bằng máy tính cầm tay cấp huyện Năm học 2009-2010

Bài Tóm tắt đáp án

Biểu
điểm
Bài 1
(5 đ)
a) 1,99776
b) . 3,58333
2,5
2,5
Bài 2
(5 đ)
Quy trình ấn phím trên máy fx - 500MS:
ấn 209865 a
b/c
283935 = (đợc kết quả
23
17
)
ấn tiếp 209865 ữ 17 (đợc 12345)
Vậy ƯCLN (209865 ; 283935 ) = 12345
ấn tiếp 209865 x 23 = (đợc 4826895)
Vậy BCNN (209865 ; 283935 ) = 4826895
1,0
1,5
1,5
Bài 3
(5 đ)
a) A . 0,87101
b) B . 1,91164
2,5
2,5

Bài 4
(5 đ)
2x+ 8y + z = 21
x =
32
zy
=
2x+ 8y + z = 21
2x = y
3y = 2z
2x + 8y + z = 21
2x - y + 0z = 0
0x + 3y - 2z = 0
KQ: x = 1, y= 2, z = 3
2,0
3,0
Bài 5
(5 đ)
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10
-5
5
10 15
D

C
N
P
B
A
M
a) Từ C hạ đờng vuông góc xuống điểm (1;0) trên Ox.
Ta có : Tan ABC = 4/2 =2 => góc ABC .63
0
266
b) Dựng hình chữ nhật MBNP với M(-3;0), B(3;0),N(3;4), P(-3;4)
S
ABCD
= S
MBNP
- S
MAD
- S
BNC
- S
CDP
= 24 - 1 - 4 - 4 = 15 (cm
2
)
0,5
2,0
2,5
Bài 6
(5 đ)
Gọi dân số gốc là a và tỉ lệ tăng dân số hàng năm là m%

Sau 1 năm dân số nớc ta là a + a.m% = a (1+m%)
Sau 2 năm dân số nớc ta là a (1+m%) + a (1+m%).m%
= a (1+m%)
2

Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -21-
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Sau n năm dân số nớc ta là a (1 + m%)
n
a) Dân số nớc ta năm 2010 là :
76,3 (1+ 1,2%)
9


84,947216 (triệu ngời)
b)Ta có 76,3 (1+ m%)
19
= 100
014338521,01
3,76
100
%
19
= m

01434,0% m
Vậy tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là xấp xỉ 1,434%
2,0
1,5
1,5

Bài 7
(5 đ)
AH 11,4782
AC 25,2587
2,5
2,5
Bài 8
(5 đ)
Quy trình ấn phím trên máy fx - 500MS:
2 shift sto A
( alpha A x
2
- 1 ) ữ ( 2 alpha A ) shift sto A
= = = = = = (đợc u
8

796974974,2
) => u
8

79698,2
ấn tiếp = đợc u
9

219722927,1
=> u
9

21972,1
ấn tiếp = đợc u

10

199932299,0
=> u
10

19993,0
2,0
1,5
1,5
Bài 9
(5 đ)
a) A = 2
2000
(1+ 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ 2
6
) =2
2000
.127
2

2000
.127 /127.76 /52 ( mod 100).
Vậy hai chữ số cuối cùng của A là 52.
b) Gọi S = 2x2yz. Có S chia hết cho 80 => S chia hết cho các số
2,4,5,8
S chia hết cho 2 và 5 => z = 0
S chia hết cho 8 => y có thể là các số 0; 4; 8.
+ Cho y = 0, ta thử các số x = 1-> 9 nhập số A : 80
đợc các số thỏa mãn là :
21200; 23200;25200;27200;29200
+ Cho y = 4, ta thử các số x = 1-> 9 nhập số A : 80
đợc các số thỏa mãn là :
20240; 22240;24240;26240;28240
+ Cho y = 8, ta thử các số x = 1-> 9 nhập số A : 80
đợc các số thỏa mãn là :
21280; 23280;25280;27280;29280.
2,5
2,5
Bài 10
(5 đ)
a) F(x) =-x
4
+5x
3
- 5x
2
-3x+7.
b) r = -21.
c) m =133.
2,0

1,5
1,5
Hết
PHềNG GD&T K THI GII TON TRấN MY TNH CM TAY
BèNH SN CP HUYN - NM HC 2009 2010
Lp 9
Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao thi)
Khoỏ thi: Ngy 23 thỏng 11 nm 2009
Yờu cu:- Trỡnh by li gii, vit quy trỡnh n phớm v ghi kt qa cỏc bi 1; 2; 3; 4; 5. Cỏc bi cũn
li ch trỡnh by li v ghi kt qu.
- Kt qu lm trũn n ch s thp phõn th 5 (nu khụng chỳ thớch gỡ thờm)
Bi 1: (5 im) Tớnh giỏ tr ca biu thc:
0 0
2
'
'' ''
-
15 42 51 + 132 27
A =
1
1 0,15 + 1
2

ữ

.
Bi 2: (5 im) Tỡm s d trong cỏc phộp chia sau:
a) 11223344 : 2009 b) 1234567892009 : 2009
Bi 3: (5 im) Cho a thc

3 2
1
f(x) = 2x - 3x + x - 1 - 2 a
3
v g(x) = x + 3
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -22-
CHNH THC
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Tỡm h s a
f(x) g(x)M
Bi 4: (5 im) Cho
cotg3 = 1,05
vi
0 0
0 < < 90
.
Tớnh
cos + sin2
M =
tg4 + 0,17
.
Bi 5: (5 im) Tớnh:
a)
1
A = 1 +
1
2 +
1
3 +
1

4 +
5
v
1
B = 1 -
3
2 -
5
4 -
7
6 -
8
b) C =
( )
2
75%A - B
0,1(27)
.
Bi 6: (5 im) Tớnh giỏ tr ca biu thc:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
M = 1+ + 1+ + 1+ +
2 3 3 4 2008 2009
+ ++
.
Bi 7: (5 im) a) Tỡm cỏc s a, b, c, d cú:
a5 ì bcd = 7850

.

b) Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n sao cho n
2
l mt s cú 12 ch s v cú dng
2
2525******89n
=
. Cỏc du * v trớ khỏc nhau ch s cú th khỏc nhau.
Bi 8: (5 im) Gii phng trỡnh
[ ]
2
2003 2002 0x x + =

Trong ú
[ ]
x
l ký hiu phn nguyờn ca
x
.
Bi 9: (5 im) Cho
ABC
vuụng ti A ng cao AH, tia phõn giỏc gúc B ct AC ti D. Bit DA
= 2cm; DC = 3cm.
a) Tớnh s o gúc C v gúc B ca
ABC
.
b) Tớnh di cỏc on thng AH; HB; HC.
Bi 10: (5 im) Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l AB = 3,06955cm; BC = 7,96305cm; CA =
5,50936cm. Gi I v K theo th t l chõn ng vuụng gúc h t A n cỏc ng phõn giỏc ca cỏc
gúc B v gúc C. Tớnh IK.
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -23-

Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -24-
Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9
Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp -25-