Chuyên đề lượng giác và phương trình lượng giác 2015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.09 MB, 175 trang )
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
1
Thư viện tài liệu trực tuyến
cbook.vn
Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên)
CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
2
LỜI NÓI ĐẦU
Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và
Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảo
sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích
ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối
trường phổ thông.
Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những
vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học
tương đương.
Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối
với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương
pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình
làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn.
Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị
Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh.
Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng
dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà
giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng.
Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình
phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này.
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với
bộ tài liệu này.
Các tác giả
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
3
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 2
MỤC LỤC 3
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 5
CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 8
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 8
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.sinx + b.cosx = c (
22
0ab
) (1) 13
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX . 18
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX 22
VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HỖN HỢP CHỨA CÁC BIỂU THỨC
ĐỐI XỨNG. 28
VẤN ĐỀ 6: LOẠI NGHIỆM KHÔNG THÍCH HỢP CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC 30
Phương pháp 1: Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. 30
Phương pháp 2: Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác) 31
Phương pháp 3: Phương pháp đại số. 32
VẤN ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 33
Dạng 1: (1) 33
Dạng 2: (2) 33
Dạng 3: (3) 33
Dạng 4: (4) 33
CHƯƠNG III: HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC 35
Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương. 35
Phương pháp 2: Phương pháp biến đổi tương đương. 38
2.1- Phương pháp đặt ẩn phụ. 38
2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ. 40
Phương pháp 3: Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc. 46
Phương pháp 4: Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích. 51
2.4.1Phương pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích: 51
2.4.2- Phương pháp biến đổi tích thành tổng. 53
2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho 54
2.4.4- Phương pháp tách hệ số. 56
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
4
2.4.5- Phương pháp hằng số biến thiên. 57
2.4.6- Phương pháp nhân. 58
2.4.7- Sử dụng các phép biến đổi. 60
Phương pháp 5: Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm. 61
Phương pháp 6: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá. 65
2.6.1- Tính chất của hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác. 66
2.6.2Phương trình lượng giác dạng Pitago. 68
2.6.3Sử dụng bất đẳng thức Cosi: 69
Phương pháp 7: Dùng phương pháp khảo sát hàm số. 72
Phương pháp 8: Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số. 75
Bài tập tự luyện. 85
CHƯƠNG IV: TUYỂN TẬP 200 BÀI LƯỢNG GIÁC 88
KẾT LUẬN 175
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
5
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. CÔNG THỨC
I. 1. Công thức lượng giác cơ bản
2 2 2
2
2
2
1
sin os 1 1 tan , ( )
os 2
1
tan .cot 1, ( ) 1 cot ,
2 sin
a c a a a k k
ca
a a a k k a a k k
a
I. 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối:
àv
os os tan tan
sin sin cot cot
cc
b. Cung bù:
àv
sin sin tan tan
os os cot cotcc
c. Cung phụ:
à
2
v
sin os tan cot
22
os sin cot tan
22
c
c
d. Cung hơn kém
:àv
sin sin tan tan
os os cot cotcc
Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém
tan và cot
I. 3. Công thức cộng.
sin sin .cos cos .sin
sin sin .cos cos .sin
os cos .cos sin .sin
os cos .cos sin .sin
a b a b a b
a b a b a b
c a b a b a b
c a b a b a b
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
6
tan tan
tan
1 tan .tan
tan tan
tan
1 tan .tan
ab
ab
ab
ab
ab
ab
Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng
chia 1 trừ tích tan.
I. 4. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
2
2tan
sin2 2sin .cos os2 os sin 2cos 1 1 2sin tan2
1 tan
a
a a a c a c a a a a a
a
I. 5. Công thức hạ bậc
2 2 2
1 os2 1 os2 1 os2
sin os tan
2 2 1 os2
c a c a c a
a c a a
ca
I. 6. Công thức tính theo
tan
2
t
2
2 2 2
2 1 2
sin cos tan ,
1 1 1 2 2
t t t a
a a a k k
t t t
I. 7. Công thức nhân ba
3
33
2
3tan tan
sin3 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan3
1 3tan
aa
a a a c a a a a
a
I. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos os cos cos 2sin sin
2 2 2 2
sin sin 2sin os sin sin 2 os sin
2 2 2 2
sin sin
tan tan , , tan tan , ,
cos .cos 2 cos .cos 2
a b a b a b a b
a b c a b
a b a b a b a b
a b c a b c
a b a b
a b a b k k a b a b k k
a b a b
I. 9. Công thức biến đổi tích thành tổng
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
7
1
cos .cos os os
2
1
sin .sin os os
2
1
sin .cos sin sin
2
a b c a b c a b
a b c a b c a b
a b a b a b
I. 10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Cun
g
0
00
0
30
6
0
45
4
0
60
3
0
90
2
0
2
120
3
0
3
135
4
0
5
150
6
0
180
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
tan
0
1
3
1
3
║
3
1
1
3
0
cot
║
3
1
1
3
0
1
3
1
3
║
Chú ý:
sin
2
n
với
0 0 0 0 0
0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90
ứng với
n=0;1; 2; 3; 4
.
Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:
0
0
a
180
I. 11. Đường tròn lượng giác
7
π
4
5
π
4
3
π
4
π
4
2
π
3
π
2
π
2
0
π
-1
-1
1
1
O
sin
cos
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
8
CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Để giải 1 Phương trình lượng giác, nói chung ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để
căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức logarít có nghĩa. Ngoài ra trong các Phương trình
lượng giác có chứa các biểu thức chứa
tanx
va
cotgx
thì cần điều kiện để
tanx
và
cotgx
có nghĩa.
Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương
trình cơ bản .
Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không
thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại.
1.1-Phương trình lượng giác cơ bản
1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số
lượng giác .
1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản.
a) Giải và biện luận phương trình
sinxm
(1)
Do
sin 1;1x
nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau
Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử
khi đó phương trình
sẽ có dạng đặc biệt.
2
sin sin ,
2
xk
xk
xk
-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m=
sin
. Ta
có:
2
sin sin ,
2
xk
xk
xk
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
9
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như
; ; ; ; ;2
6 4 2 3
vì
sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt.
Ví dụ 1: Giải phương trình
1
sin
4
x
Giải:
Ta nhận thấy
1
4
không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt
1
4
=
sin
Khi đó ta có:
2
sin sin ,
2
xk
xk
xk
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình
3
sin(3 )
42
x
Giải:
Do
3
sin
32
nên
3
sin(3 ) sin(3 ) sin
4 2 4 3
2
3 2 3 2
4 3 4 3 24 3
52
3 2 3 2
4 3 3 4 24 3
xx
x k x k x k
k
x k x k x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
b) Giải và biện luận phương trình lượng giác
cos ( )x m b
Ta cũng đi biện luận (b) theo m
Bước 1: Nếu
1m
phương trình vô nghiệm .
Bước 2: Nếu
1m
ta xét 2 khả năng:
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
10
-Khả năng 1: Nếu
m
được biểu diễn qua
cos
của góc đặc biệt, giả sử góc
. Khi đó
phương trình có dạng
2
cos cos ,
2
xk
xk
xk
-Khả năng 2: Nếu
m
không biểu diễn được qua
cos
của góc đặc biệt khi đó
đặt
m
=
cos
.Ta có:
2
cos cos ,
2
xk
xk
xk
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
1
cos
2
x
Giải:
Do
21
cos( ) cos
3 3 2
nên
12
cos cos cos 2 ( )
2 3 3
x x x k k
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3cos(2 ) 1
6
x
Giải:
1
3cos(2 ) 1 cos(2 )
6 6 3
xx
Vì
1
1;1
3
và
1
3
không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc
0;
sao cho
1
cos
3
Ta có:
cos(2 ) cos 2 2
66
x x k
2 2 ( )
6 12 2
x k x k k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
11
c) Giải và biện luận phương trình lượng giác
tan ( )x m c
Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện
cos 0 ,
2
x x k k
Bước 2: Xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu
m
được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử
khi đó phương
trình có dạng
tan tan , x x k k
-Khả năng 2: Nếu
m
không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt
m
=
tan
ta được
tan tan , x x k k
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
tan 3x
Giải :
Do
3 tan
6
nên ta có:
tan 3 tan tan
66
x x x k
k
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
tan( ) 2
5
x
Giải:
Điều kiện:
cos( ) 0
5 5 2
x x k
Do
2
không thể biểu diễn được qua
tan
của góc đặc biệt nên ta đặt
tan 2
.
Từ đó ta có
tan( ) 2 tan( ) tan ( )
5 5 5 5
x x x k x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
12
d) Giải và biện luận phương trình lượng giác
cot ( )x m d
Ta cũng đi biện luận theo
m
Bước1: Đặt điều kiện
sin 0x x k k
Bước 2: Xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu
m
được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử
khi đó phương
trình có dạng
cot cot ,x x k k
-Khả năng 2: Nếu
m
không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt
m
=
cot
ta được
cot cot ,x x k k
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1:
Giải phương trình sau:
1
cot( )
4
3
x
(1)
Giải:
Điều kiện
cos( ) 0
4
x
44
x k x k k
(*)
Ta có:
(1)
cot( ) cot
4 3 4 3 12
x x k x k k
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
cot(4 35 ) 1
o
x
Giải:
Ta nhận thấy
cot( 45 ) 1
o
nên ta có
cot(4 35 ) 1 cot(4 35 ) cot( 45 )
o o o
xx
4 35 45 180 4 80 180 20 45 ( )
o o o o o o o
x k x k x k k
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức.
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
13
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.sinx + b.cosx = c (
22
0ab
) (1)
a)Định nghĩa: Phương trình
sin cos (1)a x b x c
trong đó a, b, c
và
22
0ab
được gọi là phương trình bậc nhất đối với
sin ,cosxx
b) Cách giải.
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước
Bước 1:Kiểm tra
-Nếu
22
ab
<
2
c
phương trình vô nghiệm
-Nếu
2 2 2
a b c
khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2
Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho
22
ab
, ta được
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
xx
a b a b a b
Vì
22
2 2 2 2
( ) ( ) 1
ab
a b a b
nên tồn tại góc
sao cho
2 2 2 2
cos , sin
ab
a b a b
Khi đó phương trình (1) có
dạng
2 2 2 2
sin .cos sin .cos sin( )
cc
x x x
a b a b
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải
Cách 2: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Với
cos 0 2 ( )
2
x
x k k
thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm
hay không?
Bước 2: Với
cos 0 2 ( )
2
x
x k k Z
Đặt
tan
2
x
t
suy ra
2
22
21
sin , cos
11
tt
xx
tt
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
14
Khi đó phương trình (1) có dạng
2
2
22
21
( ) 2 0 (2)
11
tt
a b c c b t at c b
tt
Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:
.
sin cos 0 ( )
4
x x x k k
.
sin cos 0 ( )
4
x x x k k
.
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
2 2 2 2
sin cosa b a x b x a b
từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và
GTNN của các hàm số có dạng
sin cosy a x b x
,
sin cos
sin cos
a x b x
y
c x d x
và phương pháp
đánh giá cho một số phương trình lượng giác .
Ví dụ minh họa:
Ví Dụ 1: Giải phương trình:
sin2 3cos2 3xx
(1)
Giải :
Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho
22
1 3 10
ta được
1 3 3
sin2 cos2
10 10 10
xx
Đặt
31
sin , cos
10 10
. Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng
cos sin2 sin cos2 sin sin(2 ) sin
22
22
2
x x x x
xk
xk
xk
xk
k
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Cách 2:-Ta nhận thấy
cos 0x
là nghiệm của phương trình
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
15
-Với
cos 0 ,
2
x x k k
. Đặt
tantx
,lúc đó
2
22
21
sin2 , cos2
11
tt
xx
tt
Phương trình (1) sẽ có dạng
2
22
22
21
3 3 2 3(1 ) 3(1 ) 3
11
tt
t t t t
tt
Hay
tan 3 tan ,x x k k
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng
2
sin2 3(1 cos2 ) 2sin .cos 6cos
cos 0 tan 3 tan
(sin 3cos )cos 0
sin 3cos 0 cos 0
x x x x x
xx
x x x
x x x
,
2
xk
k
xk
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải
phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn
điều kiện. Ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 2: Giải phương trình
2 2(sin cos )cos 3 cos2 2x x x x
Giải:
Ta biến đổi phương trình (2)
Ta có:
2 2 2
22
2sin2 2(1 cos2 ) 3 cos2
2sin2 ( 2 1)cos2 3 2
2 ; 2 1; 3 2
2 ( 2 1) 5 2 2
(3 2) 11 6 2
x x x
xx
a b c
ab
c
Suy ra
22
ab
<
2
c
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
16
Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ
biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau
Ví Dụ 3: Giải phương trình
(1 3)sin (1 3)cos 2 (3)xx
Giải :
Cách 1:Thực hiện phép biến đổi
(3)
1 3 1 3 2 1
( )sin ( )cos
2 2 2 2 2 2 2
xx
Đặt
1 3 1 3
cos ; sin
2 2 2 2
xx
Phương trình (3) sẽ được viết thành
1
sin .cos sin .cos sin( ) sin
4
2
x x x
22
44
,
3
22
44
x k x k
k
x k x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng
(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2sin( ) 6cos( ) 2
44
1 3 1
sin( ) cos( )
2 4 2 4
2
1
sin( )cos cos( )sin
4 3 4 3
2
sin( ) sin
4 3 4
2
2
3
12 4
5
22
12 4 6
x x x x x x
xx
xx
x
xk
xk
k
x k x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
17
Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt
tan
2
x
t
và ta cũng thu được nghiệm chẵn
*Chú ý: Đối với phương trình dạng
sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (*)a P x b Q x c Q x d P x
trong đó a, b, c, d
thoả mãn
2 2 2 2
a b c d
>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các
hàm hằng số . Bằng phép chia cho
22
ab
ta có (*)
sin ( ) sin ( )P x Q x
hoặc
(*)
cos ( ) cos ( )P x Q x
trong đó
,
là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ
sau:
Ví Dụ 4: Giải phương trình:
cos7 sin5 3(cos5 sin7 ) (4)x x x x
Giải:
(4)
cos7 3sin7 3cos5 sin5x x x x
1 3 3 1
cos7 sin7 cos5 sin5
2 2 2 2
x x x x
cos cos7 sin sin7 cos cos5 sin sin5
3 3 6 6
x x x x
cos(7 ) cos(5 )
36
xx
7 5 2
36
7 (5 ) 2
36
x x k
x x k
22
6 12
3
12 2
86
2
x k x k
kZ
k
x
xk
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập: Giải các phương trình sau :
1.
3sin cos 3xx
2.
10cos 24sin2 13xx
3.
22
sin 6cos 3cos 2sinx x x x
4.
3
4cos 3sin3 1 3cosx x x
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
18
5.
44
sin cos 1 2 2sin .cosx x x x
6.
44
2( 3sin cos ) 7sin2 3(cos sin )x x x x x
7.
31
8sin
cos sin
x
xx
8.
2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x
9.
cos 2cos2 2 2 cos3x x x
10.
23
2cos( ) 6sin( ) 2sin( ) 2sin( )
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với
sin x
,
cosx
là phương trình.
22
sin sin .cos cosa x b x x c x d
(1) trong đó a, b, c, d
b) Cách giải :
Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử
22
sin ,cosxx
hoặc
sin .cosxx
. Chẳng hạn nếu chia cho
2
cos x
ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra:
cos 0 ,
2
x x k k
xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không?
Bước 2: Với
0cosx
chia cả hai vế cho
2
cos x
lúc đó phương trình (1) trở thành
22
2
tan tan (1 tan )
( )tan tan 0
a x b x c d x
a d x b x c d
Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
22
1 cos2 1 cos2 sin2
sin ; cos ; sin .cos
2 2 2
x x x
x x x x
đưa phương trình đã cho về phương trình
sin2 ( )cos2b x c a x d c a
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
19
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải
*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n
3) với dạng tổng quát
(sin ,cos ,sin cos ) 0
n n k h
A x x x x
trong đó
; , ,k h n k h n
Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :
Bước 1: Kiểm tra xem
cos 0x
có phải là nghiệm của phương trình hay không?
Bước 2: Nếu
cos 0x
.Chia cả hai vế của phương trình trên cho
cos
n
x
ta sẽ được phương
trình bậc n theo
tan
. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình :
2
2 3cos 6sin .cos 3 3x x x
(1)
Giải:
Cách 1: Phương trình (1)
3(1 cos2 ) 3sin2 3 3 cos2 3sin2 3x x x x
1 3 3 3
cos2 sin2 cos(2 )
2 2 2 3 2
x x x
22
2
36
4
22
3 6 12
xk
xk
k
x k x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: +) Thử với
cos 0 2
2
x x k k
vào phương trình (1) ta có
0 3 3
vô lí.
Vậy
2
2
x k k
không là nghiệm của phươngtrình.
+)Với
cos 0x
Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos x
ta được
22
2 3 6tan (3 3)(1 tan ) (3 3)tan 6tan 3 3 0x x x x
tan 1
4
33
tan tan
33
x
xk
k
x
xk
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
20
* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện
một số phép biến đổi thích hợp
Ví Dụ 2: Giải phương trình:
3
sin ( ) 2sin
4
xx
(2)
Giải :
Ta nhận thấy
sin( )
4
x
có thể biểu diễn được qua
sin cosxx
. Luỹ thừa bậc ba biểu
thức
sin cosxx
ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải
Phương trình (2)
3
3
2 2sin ( ) 4sin 2sin( ) 4sin
44
x x x x
3
(sin cos ) 4sinx x x
+) Xét với
cos 0 2
2
x x k k
. Khi đó phương trình có dạng
3
sin ( ) 4sin( )
22
kk
mâu thuẫn
Vậy phương trình không nhận
2
2
xk
làm nghiệm
+) Với
cos 0x
. Chia cả hai vế của phương trình (2) cho
3
cos x
ta được :
3 2 3 2
(tan 1) 4(1 tan )tan 3tan 3tan tan 1 0x x x x x x
.
Đặt
tantx
phương trình có được đưa về dạng:
3 2 2
3 3 1 0 ( 1)(3 1) 0
1
4
t t t t t
t x k k
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình .
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm
*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương
trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách
giải nhanh nhất ,khoa học nhất.
Ví Dụ 3: Giải phương trình:
1 tan
1 sin2
1 tan
x
x
x
(3)
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
21
Giải :
Điều kiện
cos 0
2
tan 1
4
xk
x
k
x
xk
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng :
2
3
cos sin
cos sin
cos sin
cos sin cos sin
xx
xx
xx
x x x x
Chia cả hai vế của phương trình (3) cho
3
cos 0x
ta được :
3
22
3 2 2
1 tan 1 tan tan 1 tan
tan tan 2tan 0 tan tan 2 tan 0 (*)
x x x x
x x x x x x
(do
2
tan tan 2 0xx
vô nghiệm) nên:
Phương trình (*)
tan 0x x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng
2
2
2
cos sin
cos sin
cos sin
cos
2
4
2sin cot( )
44
1 cot ( )
sin
4
4
xx
xx
xx
x
xx
x
x
Đặt
cot( )
4
tx
ta được :
32
2
2
2 0 1 2 0 1
1
cot( ) 1 ( )
4 4 4
t t t t t t t
t
hay x x k x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm
Bài tập :
Giải các phương trình sau :
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
22
1)
2
3sin 4sin .cos cos 0x x x x
2)
3 3 2
2cos sin 11sin 3cos 0x x x x
3)
1
4sin 6cos
cos
xx
x
4)
3
sin3 2sinxx
5)
3 2 2 3
sin 5sin cos 7sin cos 2cos 0x x x x x x
6)
3
sin2 sin sin3 6cosx x x x
7)
31
8cos
sin cos
x
xx
8)
2 2 4
(sin 4cos )(sin 2sin .cos ) 2x x x x x cos x
9)
33
cos sin sin cosx x x x
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với
sin x
và
cosx
là phương trình dạng
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c
trong đó
,,abc
(1)
b) Cách giải:
Cách 1: Do
2
(sin ) 1 sin cosa x cosx x x
nên ta đặt
sin cos 2sin( ) 2cos( )
44
t x x x x
. Điều kiện
| | 2t
Suy ra
2
1
sin cos
2
t
xx
và phương trình (1) được viết lại:
2
2 ( 2 ) 0bt at b c
Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải
Cách 2: Đặt
4
tx
thì
sin cos 2cos( ) 2cos
4
x x x t
2
1 1 1 1
sin cos sin2 cos( 2 ) cos2 cos
2 2 2 2 2
x x x x t t
nên phương trình (1) trở thành
2
cos 2cos 0
2
b
b x x c
. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
23
*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c
bằng cách đặt
sin cost x x
và lúc đó
2
1
sin cos
2
t
xx
Ví Dụ Minh Hoạ :
Ví Dụ 1: Giải phương trình
sin cos 2sin cos 1 0 (1)x x x x
Giải:
Cách 1: Đặt
sin cosx x t
điều kiện
| | 2t
. Lúc đó
2
1
sin cos
2
t
xx
Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng
2
1
2( ) 1 0
2
t
t
2
1
2 0 (*)
2
t
tt
t
Với
2t
không thoả mãn điều kiện nên
(*)
1t
sin cos 1xx
2
1
2sin( ) 1 sin( )
2
44
2
2
xk
x x k
xk
Cách 2: Đặt
4
zx
. Khi đó phương trình có dạng
2cos( ) sin2 1 0
4
xx
2cos sin2( ) 1 0
4
zz
2cos sin( ) 1 0
2
zz
2cos cos2 2 0zz
2
2cos (2cos 1) 1 0zz
2
2cos 2cos 1 0zz
cos 2
2
cos
2
z
z
(*’)
Ta thấy
cos 2z
không thoả mãn
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
24
Do đó (*’)
3
2
2
4
cos
3
2
2
4
zk
z
zk
3
2
44
3
2
44
xk
xk
2
2
2
xk
k
xk
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở
trên
Bài toán 1: Giải phương trình
22
tan cot ( sin cos ) (1) 0 a x b x c a x b x ab
Cách giải: Phương trình (1) có thể viết
2 2 2 2
sin cos
( sin cos )
sin .cos
a x b x
c a x b x
xx
( sin cos )( sin cos ) ( sin cos )a x b x a x b x c a x b x
( sin cos ) ( sin cos ) sin .cos 0a x b x a x b x c x x
sin cos 0
sin cos sin .cos 0
a x b x
a x b x c x x
*Quy ước: Khi có nhiều dấu
trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng
trên hoặc cùng lấy dòng dưới
Ví Dụ 2: Giải phương trình
tan 3cot 4(sin 3cos ) (2)x x x x
Giải:
Điều kiện:
sin .cos 0
2
k
x x x k
Ta có (2)
22
1
(sin 3cos ) 4(sin 3cos )
sin .cos
x x x x
xx
(sin 3cos )(sin 3cos ) 4(sin 3cos )sin .cosx x x x x x x x
(sin 3cos ). (sin 3cos )sin2 0x x x x x
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
25
sin 3cos 0 (4)
sin 3cos sin2 0 (3)
xx
x x x
Ta có (3)
tan 3 (5)
3
x x k
(4)
13
sin cos sin2
22
x x x
cos sin sin cos sin2
33
x x x
22
3
sin( ) sin2
3
22
3
x x l
xx
x x l
2
3
4
2
3
xl
l
xl
(6)
Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình:
(tan sin ) (cot cos ) ( ) 0 a x x b x x a b
với
, , , a b c d
(1)
Cách giải:
Ta có:
(tan sin 1) (cot cos 1) 0
(sin sin .cos cos ) (sin sin .cos cos ) 0
cos sin
( )(sin sin .cos cos ) 0
cos sin
a x x b x x
ab
x x x x x x x x
xx
ab
x x x x
xx
0 tan
cos sin
sin sin cos cos 0 sin sin cos cos 0
a b b
x
x x a
x x x x x x x x
Đến đây chúng ta đã biết cách giải
Tương tự cho phương trình
(tan sin ) (cot cos ) 0a x x b x x a b
Ví Dụ 3: Giải phương trình
tan 3cot sin 3cos 1 3 0x x x x
(3)
Giải:
