Khảo sát hàm số cho học sinh TB và yếu

CHUYÊN ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
A. Hàm bậc ba :
I. Sơ đồ khảo sát hàm số
+ Tập xác định hàm số
+ Chiều biến thiên
• Tính đạo hàm
• Giải phương trình
' 0y =
• Tính giới hạn hàm số khi
x → ±∞
• Lập bảng biến thiên
• Kết luận các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số, cực trị của
hàm số
+ Vẽ đồ thị hàm số
• Tìm các điểm đặc biệt ( giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ ,
điểm uốn hoặc các điểm khác )
• Biểu diễn các điểm cực trị và các điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ
Oxy , dựa vào chiều mũi tên trong bảng biến thiên để vẽ đồ thị của
hàm số
CHÚ Ý : Hàm số bậc ba có hai cực trị hoặc không có cực trị
a > 0 a < 0
Pt y’ = 0 có
hai nghiệm
phân biệt.
2
-2
O
2
-2
Pt y’ = 0 có

nghiệm kép
2
2
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
4
2
II. Các dạng toán liên quan thường gặp
1. Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên R
• Miền xác định : D = R
• Tính đạo hàm
'y

• Hàm số đồng biến trên R

( )
( )
' 0, ' 0,
0 0
0
y x R y x R
a a
⇔ ≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
> <

⇔

∆ ≤




2. Hàm số có cực đại và cực tiểu
• Miền xác định : D = R
• Tính đạo hàm
'y

• Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt

0⇔ ∆ >
3. Hàm số đạt cực trị tại
0
x

• Miền xác định : D = R
• Tính đạo hàm
'y

• Hàm số đạt cực trị tại
0
x
khi :
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x

=


≠

4 . Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Các bước thực hiện :
Giả sử biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( ; ) 0f x m =
• Biến đổi phương trình đã cho thành :
( ) ( )g x h m=
(1)
• (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C)
( )y g x=
và
đường thẳng
: ( )d y h m=
. Do đó số giao điểm của chúng chính là
số nghiệm của phương trình (1)
• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận theo 5 trường hợp sau :
+
( )h m
< giá trị cực tiểu : phương trình có 1 nghiệm
+
( )h m
= giá trị cực tiểu : Phương trình có 2 nghiệm
+ Giá trị cực tiểu <
( )h m
< giá trị cực đại : Phương trình có 3
nghiệm

+
( )h m
= giá trị cực đại : Phương trình có 2 nghiệm
+
( )h m
> giá trị cực đại : Phương trình có 1 nghiệm
5. Số giao điểm của đồ thị hàm số
( ): ( )C y f x=
và đường thẳng d :
( )y g x=
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d :
( ) ( )f x g x=

(2)
• Biến đổi (2) thành dạng phương trình tích số , giả sử (2) có
nghiệm là
0
x
ta có

(2) ( ) ( ) 0f x g x⇔ − =

⇔
2
0
( )( ) 0x x ax bx c− + + =
0
2
( ) 0 (3)
x x

g x ax bx c
=

⇔

= + + =

Tùy theo yêu cầu của bài toán , ta lập luận liên quan đến số nghiệm
của (2) , dẫn đến điều kiện về nghiệm của (3)
6. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
( )y f x=
tại điểm
0 0
( ; ( ))M x f x
• Tính đạo hàm
' '( )y f x=
• Tính
0
'( )f x
• Áp dụng công thức :
( )
0 0 0
'( ) ( )y f x x x f x= − +
Chú ý : Nếu đề bài chỉ cho
0
x
ta phải tìm
0 0
( )y f x=

Nếu đề bài cho
0
y
, ta phải tìm
0
x
bằng cách giải phương
trình
0
( )f x y=
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
( )y f x=
khi biết hệ số góc
của tiếp tuyến bằng k
• Tính đạo hàm
' '( )y f x=
• Gọi
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
là tiếp điểm. Ta có :
0
'( )f x k=
• Giải phương trình trên tìm
0
x
, suy ra
0 0
( )y f x=
• Áp dụng công thức :
( )

0 0 0
'( ) ( )y f x x x f x= − +
Chú ý : Đôi lúc đề bài không cho trực tiếp giá trị k mà gián tiếp cho
nó thông qua quan hệ giữa hai đường thẳng là song song nhau hoặc
vuông góc nhau. Khi đó ta phải đi tìm k bằng các điều kiện sau :
Giả sử có hai đường thẳng
:d y kx m= +
và
': 'd y k x n= +

/ / ' '
' . ' 1
d d k k
d d k k
⇒ =
⊥ ⇔ = −
Bài tập rèn luyện :
Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số:
1.
3
3 2y x x= − +
tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2
2.
4 2
y x x= −
tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8
3.
2 3
2 1
x

y
x
+
=
−
tại giao điểm của (C) với trục tung
Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
1.
3 2
3 2y x x= − +
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9
2.
4 2
2y x x= −
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
24y x=
3.
2 3
2 1
x
y
x
+
=
−
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2
y x=
Bài 3 : Tìm m để hàm số:

1.
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
có cực đại và cực tiểu
2.
2 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại và cực tiểu
3.
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
đạt cực đại tại
2x
=
Bài 4 : Tìm m để hàm số :
1.
3 2
( 2) ( 2) 2y x m x m x= − + + + +
đồng biến trên R
2.
3 2
1
2(5 8) 1
3
y x mx m x= − + − − +
nghịch biến trên R
Bài 5 : Chứng minh rằng hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu :
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
Bài 6 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của các hàm số :

1.
3 2
3 9 1y x x x= − − +
2.
3 2
3 3 5y x x x= + + +
3.
3 2
3 2y x x= − + −
4.
2
( 1) (4 )y x x= − −
5.
3
2
1
3 3
x
y x= − +
6.
3 2
3 4 2y x x x= − − − +
Bài 7 : Cho hàm số
3 2
3 1y x x= − + −
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình :
3 2
3 0x x k− + =

3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
0
x
, biết
0
''( ) 0y x =
Bài 8 : Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24
Bài 9 : Cho hàm số
3 2
1 3
5
4 2
y x x= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
3 2
6 0x x m− + =
có ba
nghiệm phân biệt
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
2x
=
Bài 10 : Cho hàm số
3 2

2 3 1y x x= − −
, có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm tọa độ giao điểm của (C) với đường thẳng d:
1y x= −
3. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình :
3 2
2 3 0x x m− − =
Bài 11 : Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − + −
, có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = -2
3. Tìm m để đường thẳng d :
2y mx= −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 12 : Cho hàm số
3 2 2
2 3( 1) 6 2y x m x mx m= − + + −
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
2. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
1x =
B. Hàm số trùng phương
I. Sơ đồ khảo sát hàm số
+ Tập xác định hàm số
+ Chiều biến thiên
• Tính đạo hàm
• Giải phương trình
' 0y =

• Tính giới hạn hàm số khi
x → ±∞
• Lập bảng biến thiên
• Kết luận các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số, cực trị của
hàm số
+ Vẽ đồ thị hàm số
• Tìm các điểm đặc biệt ( giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ , các
điểm khác )
• Biểu diễn các điểm cực trị và các điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ
Oxy , dựa vào chiều mũi tên trong bảng biến thiên để vẽ đồ thị của
hàm số

CHÚ Ý : Hàm số trùng phương :
4 2
( 0)y ax bx c a= + + ≠
có 1 cực trị khi a và b
cùng dấu hoặc b = 0, có 3 cực trị khi a và b trái dấu
Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
)0≠
a > 0 a < 0
Pt y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt
-2
2
Pt y’ = 0 có

một nghiệm
2
-2
II. Các dạng toán thường gặp giống như hàm số bậc ba
III. Bài tập rèn luyện :
Bài 1 : Cho hàm số
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của đồ thị hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
2x
=
3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
6 1 0x x m− + + =
Bài 2 : Cho hàm số :
2 2
(1 ) 6y x= − −
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
2 0m x x− + =
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc
bằng 24
Bài 3 : Cho hàm số

4 2
2 3y x x= − + +
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Dựa vào đồ thị (C), xác định m để phương trình :
4 2
2 0x x m− + =
có
4 nghiệm phân biệt
Bài 4 : Cho hàm số
4
2
2( 1)
4
x
y x= − −
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với oy
Bài 5 : Cho hàm số
4 2
6y x x= − − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
1
1
6
y x= −
Bài 6 : Cho hàm số
4 2

6 5y x x= − +
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị (C) của hàm số
2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt :
4 2
2
6 log 0x x m− − =
Bài 7 : Cho hàm số
4 2
(3 2) 3y x m x m= − + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị của hàm số (1) tại 4 điểm
phân biệt
C. HÀM NHẤT BIẾN
I. Sơ đồ khảo sát hàm số
+ Tập xác định hàm số
+ Chiều biến thiên
• Tính đạo hàm
• Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
• Lập bảng biến thiên
• Kết luận các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số
+ Vẽ đồ thị hàm số
• Tìm các điểm đặc biệt ( giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ , các
điểm khác )
• Biểu diễn các điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ Oxy , dựa vào chiều
mũi tên trong bảng biến thiên để vẽ đồ thị của hàm số
CHÚ Ý : Hàm số nhất biến không có cực trị , đồ thị luôn có đường tiệm cận
đứng và tiệm cận ngang và nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối
xứng

Hàm số y =
)0,0( ≠−≠
+
+
bcadc
dcx
bax
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
4
2
4
2
-2
Bài 1. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ

1
2
y = −
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
3k = −
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt .
Bài 2. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y =

.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song
song với đường
thẳng
( )
1
9
: 2011
2
d y x= − +
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng
( )
2
1
: 1
8
d y x= −
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
3
1
: 2
3
d y mx m= + +
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm
phân biệt có hoành độ âm .
Bài 3. Cho hàm số

1
1
x
y
x
−
=
+
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục
hoành .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục
tung .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng
( )
1
8 1
:
9 3
d y x= − +
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
2
1
: 2
3
d y mx m= − +

cắt đồ thị (C) tại 2 điểm
phân biệt có hoành độ dương .
Bài 4. Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song
song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .
3. Tìm m để đường thẳng
( )
1
: 2 7d y mx m= − −
cắt đồ thị (C) tại hai
điểm A, B phân biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng
( )
2
: 2 0d x y+ − =
.
5. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ
đều là số nguyên .
Bài 5. Cho hàm số

2
2
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông
góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai .
3. Viết phương trình đường thẳng qua điểm
( )
3;4M
và tiếp xúc với đồ
thị (C) .
4. Tìm m để đường thẳng
( )
1
: 3d y mx m= + −
đồ thị (C) tại hai điểm A,
B phân biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
5. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ
đều là số nguyên .
Bài 6. Cho hàm số
3
2 1
x
y

x
−
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song
song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai .
3. Viết phương trình đường thẳng qua điểm
6
3;
5
M
 
−
 ÷
 
và tiếp xúc với
đồ thị (C) .
4. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ
đều là số nguyên .
5. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C)
đến hai đường tiệm cận của (C) là một hằng số .
Bài 7. Cho hàm số
4
1
x
y
x
+

=
+
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để đường thẳng
( )
: 0d x y m− + =
cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A, B
3. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C)
đến hai đường tiệm cận của (C) là một hằng số .
Bài 8. Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
−
=
+
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và
đường thẳng
( )
1
:d y x= −
.
.
Bài 9. Cho hàm số

2
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành
gấp đôi khoảng cách từ đó đến trục tung .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu
2 .