Vành và môđun phân bậc định lý Artin - Rees

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





LÊ XUÂN TUẤN





VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC
ĐỊNH LÝ ARTIN - REES







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




LÊ XUÂN TUẤN





VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC
ĐỊNH LÝ ARTIN - REES



Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SÔ
Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường









THÁI NGUYÊN – 2014
Mục lục
Lời mở đầu 1
1 Vành và môđun Noether, Artin 3
1.1 Vành và môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Định lý cơ sở Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Vành và môđun phân bậc - Định lý Artin-Rees 13
2.1 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Vành phân bậc liên kết và vành Rees . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Định lý Artin-Rees và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Đa thức Hilbert 24
3.1 Độ dài của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Đa thức Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Kết luận 43
i
Tài li
Tài liệu tham khảo 44
ii
Lời mở đầu
Cho R là giao hoán, M là R-môđun, I là một iđêan của R. Mục đích
của luận văn là nghiên cứu về vành và môđun phân bậc, Định lý Artin-
Rees. Đặc biệt, tôi xem xét trong trường hợp vành R là vành Noether.
Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên cuốn bài giảng
của GS.TSKH Nguyễn Tự Cường và các cuốn tài liệu tham khảo chính :
Introduction to commutative (M.F. Atiyah and I.G. Macdonal), Step in
commutative algebra (R.Y. Sharp), Commutative algebra , Commutative
ring theory (H. Matsumura).
Với mục đích tìm hiểu về vành và môđun phân bậc, Định lý Artin-
Rees và các hệ quả của nó. Tôi đã lựa chọn đề tài " Vành và môđun
phân bậc, định lý Artin-Rees" làm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ.
Luận văn gồm 3 chương. Trong chương 1, tôi trình bày về các kiến
thức cơ sở như định nghĩa và các tính chất về vành và môđun Noether,
Artin; đặc biệt, trong chương này là Định lý cơ sở Hilbert và các hệ quả
của nó. Đây là những công cụ quan trọng nhất cho những nghiên cứu
được trình bày trong luận văn.
Chương 2 là chương chính của luận văn. Trong chương này, tôi nghiên
cứu về vành và môđun phân bậc bao gồm: định nghĩa và tính chất vành
môđun phân bậc; vành phân bậc liên kết và vành Rees; định nghĩa và các
tính chất về lọc môđun; Định lý Artin-Rees và các hệ quả.
Chương 3 là chương trình bày về đa thức Hilbert bao gồm: độ dài
của môđun, Định lý đa thức Hilbert và Đa thức Hilbert-Samuel.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

1
GS.TSKH Nguyễn Tự Cường. Em xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành
tới Thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn
thành luận văn. Tiếp theo em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo
trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình
giảng dạy và khích lệ, động viên em vượt qua những khó khăn trong học
tập.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè
đã giúp đỡ tôi cả về vật chất lẫn tinh thần để tôi có thể hoàn thành luận
văn và khóa học của mình.
Thái Nguyên, ngày 1 tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn
Lê Xuân Tuấn
Xác nhận của khoa Xác nhận của giáo viên hướng dẫn
2
Chương 1
Vành và môđun Noether, Artin
Trong toàn bộ luận văn này ta luôn xét vành là giao hoán có đơn vị.
1.1 Vành và môđun Noether
Trước hết ta chứng minh định lý.
Định lý 1.1.1. Cho M là một R−môđun. Khi đó các điều kiện sau tương
đương:
(i) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có một phần tử cực
đại.
(ii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh.
(iii) Mọi dãy tăng các môđun con của M
M
1
⊆ M
2

⊆ ⊆ M
n
⊆
đều dừng, nghĩa là tồn tại m để M
k
= M
m
, ∀k ≥ m.
Chứng minh. (i) =⇒ (ii) Ta cần chứng minh rằng mỗi R−môđun con N
tùy ý của M là hữu hạn sinh. Thật vậy, giả sử N là vô hạn sinh. Xét

3
là tập hợp tất cả các R−môđun con hữu hạn sinh của N. Vì 0 ∈

nên

= ∅. Theo giả thiết, tồn tại trong

một phần tử cực đại N

. Vì N

hữu hạn sinh, nên tồn tại x ∈ N\N

. Từ đây suy ra R−môđun con hữu
hạn sinh N

+ xR ∈

, điều này trái với tính cực đại của N


trong

vì
N

⊂ N

+ xR. Vậy N là hữu hạn sinh.
(ii) =⇒ (iii) Giả sử M
1
⊆ M
2
⊆ ⊆ M
n
⊆ là một xích tăng tùy
ý các R−môđun con của M (*). Đặt N = ∪
∞
i=1
M
i
. Khi đó, N là môđun
con của M suy ra N hữu hạn sinh, sinh bởi các phần tử x
1
, , x
k
, x
i
∈
N, ∀i = 1, , k. Suy ra tồn tại n

0
sao cho x
1
, , x
k
∈ M
n
0
, do đó N ⊆ M
n
0
và M
t
= M
n
0
, ∀t ≥ n
0
, từ đó suy ra (*) dừng.
(iii) =⇒ (i) Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, tức
là tồn tại một tập hợp

= ∅ gồm các môđun con của M mà trong

không có phần tử cực đại. Chọn M
1
∈

một phần tử tùy ý, vì


không
có phần tử cực đại nào nên tồn tại M
2
∈

và M
1
⊂ M
2
. Tiếp tục quá
trình này với chú ý rằng trong

không có phần tử cực đại ta chọn được
một xích tăng không dừng các môđun con của M
M
1
⊂ M
2
⊂ ⊂ M
n
⊂
điều này trái với giả thiết. Vậy mọi tập khác rỗng các môđun con của M
đều có phần tử cực đại.
Định nghĩa 1.1.2. Một R−môđun M được gọi là môđun Noether nếu
thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương trong Định lý 1.1.1. Vành
R là một vành Noether nếu nó là một R−môđun Noether.
Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau.
Nhận xét 1.1.3. Một tập con khác rỗng của R là một R−môđun con
của R−môđun R nếu và chỉ nếu nó là một iđêan của R, nên R là một
4

vành Noether khi và chỉ khi R thỏa mãn một trong ba điều kiện tương
đương sau đây.
(i) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại.
(ii) Mọi dãy tăng các iđêan của R
I
1
⊆ I
2
⊆ ⊆ I
n

đều dừng, nghĩa là ∃m để I
k
= I
m
, ∀k ≥ m.
(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh.
Ví dụ 1.1.4. (a) Vành các số nguyên Z là vành Noether vì mọi iđêan của
nó đều là iđêan chính nên nó hữu hạn sinh.
Tổng quát, mọi vành chính đều là vành Noether.
(b) Một trường là vành Noether.
(c) Một không gian vectơ là một môđun Noether nếu và chỉ nếu nó hữu
hạn chiều.
(d) Vành đa thức vô hạn biến trên vành giao hoán R khác không không
phải vành Noether, vì R[x
1
, x
2
, ] có dãy tăng thực sự vô hạn các
iđêan của R[x

1
, x
2
, ] là
(x
1
) ⊂ (x
1
, x
2
) ⊂ ⊂ (x
1
, x
2
, , x
n
) ⊂
1.2 Định lý cơ sở Hilbert
Trước hết ta chứng minh định lý.
5
Định lý 1.2.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp
ngắn các R−môđun
0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0.
Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu M

và M


là các môđun
Noether.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết thêm rằng M

là một R−môđun con của M và M

= M/M

.
Giả sử M là môđun Noether. Vì mọi xích tăng các môđun con của
M

cũng là xích tăng trong M nên M

là Noether.
Cho
N
1
⊆ N
2
⊆ ⊆ N
n
⊆
là một dãy tăng các môđun con của M

. Khi đó tồn tại dãy tăng các
môđun con
M
1

⊆ M
2
⊆ ⊆ M
n
⊆
của M sao cho N
n
= M
n
/M

, ∀n. Suy ra tồn tại số tự nhiên k để M
n
=
M
k
, ∀n ≥ k, tức là N
n
= N
k
, ∀n ≥ k và do đó M

là Noether.
Ngược lại, cho
M
1
⊆ M
2
⊆ ⊆ M
n

⊆
là một xích tăng tùy ý các môđun con của M, khi đó ta nhận được xích
tăng các môđun con sau
M
1
∩ M

⊆ M
2
∩ M

⊆ ⊆ M
n
∩ M

⊆
của M

và
(M
1
+ M

)/M

⊆ (M
2
+ M

)/M


⊆ ⊆ (M
n
+ M

)/M

⊆
6
của M/M

. Theo giả thiết tồn tại một số tự nhiên k sao cho M
n
∩ M

=
M
k
∩M

và (M
n
+ M

)/M

= (M
k
+ M


)/M

, ∀n ≥ k. Từ đây ta dễ dàng
suy ra M
n
= M
k
, ∀n ≥ k, tức là M là Noether.
Sau đây là các hệ quả suy ra trực tiếp từ 1.2.1.
Hệ quả 1.2.2. Vành thương của một vành Noether là một vành Noether.
Hệ quả 1.2.3. Cho một họ hữu hạn các R−môđun. Khi đó, tổng trực
tiếp của một họ hữu hạn các R−môđun Noether cũng là một R−môđun
Noether.
Chứng minh. Bằng phương pháp quy nạp ta thấy rằng chỉ cần chứng minh
hệ quả trên cho trường hợp n = 2. Khi đó hệ quả được suy ra từ Định lý
1.2.1 đối với dãy khớp ngắn
0 −→ M
1
−→ M
1
⊕ M
2
−→ M
2
−→ 0.
Hệ quả tiếp theo nói lên mối quan hệ giữa môđun hữu hạn sinh và
môđun Noether.
Hệ quả 1.2.4. Mỗi R−môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether là
một R−môđun Noether.
Chứng minh. Gọi một môđun M hữu hạn sinh bất kì trên vành giao hoán

Noether R. Ta sẽ chứng minh M là Noether. Thật vậy, vì M hữu hạn sinh,
nên tồn tại một số tự nhiên n sao cho M là ảnh đồng cấu của R−môđun
tự do R
n
. Bây giờ, theo Hệ quả 1.2.4 R
n
là Noether, suy ra M cũng là
R−môđun Noether theo Định lý 1.2.1.
Sau đây là một kết quả quan trọng của Hilbert về vành Noether.
7
Định lý 1.2.5. (Định lý cơ sở Hilbert) Vành đa thức một biến R[x] có hệ
số trên vành Noether R là một vành Noether.
Chứng minh. Cho R là vành Noether, để chứng minh vành đa thức một
biến R[x] là vành Noether ta sẽ chỉ ra rằng mọi iđêan khác không của nó
hữu hạn sinh.
Cho I là một iđêan khác không tùy ý của R[x]. Xét tập hợp con của
R
I
0
= {a ∈ R|∃f ∈ I : f = ax
m
+ a
1
x
m−1
+ + a
m
}.
Nói cách khác I
0

là tập tất cả các hệ số cao nhất của các đa thức thuộc I.
Dễ dàng kiểm tra được rằng I
0
là một iđêan của R. Vì R là vành Noether
nên I
0
là hữu hạn sinh. Giả sử
I
0
= (a
1
, , a
n
), a
i
∈ R, ∀i = 1, n.
Khi đó tồn tại những đa thức f
i
(x) ∈ I, i = 1, , n có hệ số cao nhất
chính là a
i
. Đặt degf
i
(x) = r
i
và r = max{r
1
, , r
n
}. Bằng cách nhân

thêm x
r−r
i
vào f
i
(x) với chú ý rằng x
r−r
i
f
i
(x) ∈ I, ta suy ra có thể giả
thiết thêm mà không mất tính tổng quát rằng r = r
1
= = r
n
.
Tiếp tục đặt J = (f
1
(x), , f
n
(x)) là iđêan con chứa trong I, M =
R + xR + + x
r
R và N = I ∩ M. Nếu xem M = R + xR + + x
r
R
như là R−môđun thì M chính là tập tất cả các đa thức f(x) ∈ R[x] có
degf(x) ≤ r nên nó có một hệ sinh hữu hạn trên R là {1, x, , x
r
}. Vì

R là vành Noether, M là hữu hạn sinh nên theo 1.2.4, M là R−môđun
Noether. Suy ra R−môđun con N của M là hữu hạn sinh. Bây giờ nếu ta
chỉ ra được
I = J + N
thì rõ ràng I là hữu hạn sinh và định lý được chứng minh. Thật vậy, cho
8
g(x) ∈ I, degg(x) = m là một đa thức tùy ý với khai triển
g(x) = ax
m
+ b
1
x
m−1
+ + b
m
, 0 = a ∈ I.
Nếu m ≤ r thì f(x) ∈ N. Trái lại, giả sử m > r. Vì a ∈ I nên tồn tại những
phần tử u
i
∈ R, i = 1, , n sao cho ra có thể khai triển a =

n
i=1
u
i
a
i
.
Khi đó đa thức
G

1
(x) = g(x) −
n

i=1
f
i
(x)u
i
x
m−r
sẽ có degG
1
(x) ≤ m − 1 hoặc G
1
(x) = 0. Để ý rằng cùng với P
1
(x) =

n
i=1
f
i
(x)u
i
x
m−r
∈ J thì G
1
(x) ∈ I. Vậy ta có

g(x) = P
1
(x) + G
1
(x), P
1
(x) ∈ J, degG
1
(x) ≤ m −r.
Nếu vẫn còn deg G
1
(x) > r, thì bằng phương pháp như vừa thực hiện
(thay vì g(x) ta xét G
1
(x)) và sẽ tìm được các đa thức G
2
(x) ≤ m −2 và
P
2
(x) ∈ J sao cho
G
1
(x) = P
2
(x) + G
2
(x).
Từ đây suy ra
g(x) = P
1

(x) + P
2
(x) + G
2
(x).
Nếu degG
2
(x) ≤ r thì quá trình trên được dừng lại, bằng không nhất
thiết sau m −r bước ta sẽ tìm được các đa thức G(x) ∈ I có degG(x) ≤ r
và P (x) ∈ J sao cho
g(x) = P (x) + G(x) ∈ J + N.
Từ đây suy ra rằng I ⊆ J + N. Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên và
định lý được chứng minh.
Từ đó ta có các hệ quả quan trọng sau.
9
Hệ quả 1.2.6. Nếu R là vành Noether thì vành đa thức R[x
1
, , x
n
] cũng
là một vành Noether. Đặc biệt, vành đa thức k[x
1
, , x
n
] trên trường k
cũng là một vành Noether.
Hệ quả 1.2.7. Giả sử R là vành Noether và A là một R−đại số hữu hạn
sinh. Khi đó, A là R−môđun Noether.
1.3 Môđun Artin
Định nghĩa 1.3.1. Một R−môđun M được gọi là môđun Artin, nếu mỗi

tập khác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần tử cực
tiểu (theo quan hệ bao hàm). Vành R được gọi là vành Artin, nếu R xem
như R−môđun là môđun Artin.
Định lý 1.3.2. Cho M là một R−môđun. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:
(i) M là môđun Artin.
(ii) Mọi dãy giảm các môđun con của M
M
1
⊇ M
2
⊇ ⊇ M
n
⊇
đều dừng, tức là tồn tại số tự nhiên k sao cho M
n
= M
k
, ∀n ≥ k.
(iii) Với mỗi họ các môđun con (M
i
)
i∈I
của M luôn tìm được một tập
con hữu hạn J của I sao cho

i∈I
M
i
=


j∈J
M
j
.
Chứng minh. (i) =⇒ (ii) Xét tập hợp không rỗng
Ω = {M
n
, n = 1, 2, }
10
Theo giả thiết của điều kiện (i) thì tồn tại một phần tử cực tiểu M
k
∈ Ω.
Khi đó ta suy ra M
n
= M
k
, ∀n ≥ k.
(ii) =⇒ (iii) Xét tập hợp

= {∩
k∈K
M
k
|K ⊆ I, |K| < ∞} và
xác định trên

quan hệ thứ tự bao hàm ngược ≤ như sau N ≤ N

khi N ⊇ N


. Vì mỗi phần tử của

là một R−môđun con của M,
nên điều kiện (ii) cho phép ta suy ra mỗi xích trong

luôn bị chặn
trên. Vậy theo Bổ đề Zorn tồn tại một phần tử cực đại, chẳng hạn là
N = ∩
j∈J
M
j
, J ⊆ I, |J| < ∞. Bây giờ với mỗi i ∈ I, từ định nghĩa quan
hệ thứ tự bao hàm ngược ta được N ≤ M
i
∩N. Do N là phần tử cực đại
của

, nên N = M
i
∩ N. Từ đây ta suy ra ∩
i∈I
M
i
= ∩
j∈J
M
j
.
(iii) =⇒ (i) Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử M không là

Artin. Khi đó phải tồn tại một tập hợp vô hạn các môđun con của M
không có phần tử cực tiểu nào. Do đó ta tìm được trong tập hợp này một
họ vô hạn các môđun con giảm thực sự
M
1
⊃ M
2
⊃ ⊃ M
n
⊃
Vì ∩
n
i=1
M
i
= M
n
, nên họ (M
i
)
i∈N
không thỏa mãn điều kiện (iii). Vậy M
phải là R−môđun Artin và định lý được chứng minh.
Định lý 1.3.3. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp
ngắn các R−môđun
0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0.

Khi đó M là môđun Artin nếu và chỉ nếu M

và M

là các môđun Artin.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết thêm rằng M

là một R−môđun con của M và M

= M/M

.
Giả sử M là môđun Artin. Vì mọi xích giảm các môđun con của M

cũng là xích giảm trong M nên M

là Artin.
11
Cho
N
1
⊇ N
2
⊇ ⊇ N
n
⊇
là một dãy giảm các môđun con của M

. Khi đó tồn tại dãy giảm các
môđun con

M
1
⊇ M
2
⊇ ⊇ M
n
⊇
của M sao cho N
n
= M
n
/M

, ∀n. Suy ra tồn tại k ∈ N để M
n
= M
k
, ∀n ≥
k, tức là N
n
= N
k
, ∀n ≥ k và do đó M

là Artin.
Ngược lại, cho
M
1
⊇ M
2

⊇ ⊇ M
n
⊇
là một xích giảm tùy ý các môđun con của M, khi đó ta nhận được xích
giảm các môđun con sau
M
1
∩ M

⊇ M
2
∩ M

⊇ ⊇ M
n
∩ M

⊇
của M

và
(M
1
+ M

)/M

⊇ (M
2
+ M


)/M

⊇ ⊇ (M
n
+ M

)/M

⊇
của M/M

. Theo giả thiết tồn tại một số tự nhiên k sao cho M
n
∩ M

=
M
k
∩M

và (M
n
+ M

)/M

= (M
k
+ M


)/M

, ∀n ≥ k. Từ đây ta dễ dàng
suy ra M
n
= M
k
, ∀n ≥ k, tức là M là Artin.
Hệ quả 1.3.4. Cho một họ hữu hạn các R−môđun. Khi đó, tổng trực tiếp
của một họ hữu hạn các R−môđun Artin cũng là một R−môđun Artin.
12
Chương 2
Vành và môđun phân bậc - Định lý
Artin-Rees
2.1 Vành và môđun phân bậc
Định nghĩa 2.1.1. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị.
(i) R gọi là vành phân bậc nếu R có phân tích thành tổng trực tiếp các
nhóm Abel R = ⊕
n≥0
R
n
, trong đó R
n
là các nhóm Abel với phép
cộng (tức là (R
n
, +) là các nhóm con của (R, +)) và thỏa mãn tính
chất R
i

R
j
⊆ R
i+j
, ∀i, j = 0, , n.
Một phần tử x ∈ R sao cho x ∈ R
i
được gọi là phần tử thuần nhất
bậc i, R
i
được gọi là thành phần bậc i của R.
(ii) Một môđun M trên vành phân bậc R = ⊕
n≥0
R
n
được gọi là R−
môđun phân bậc nếu M có phân tích thành tổng trực tiếp các nhóm
Abel M = ⊕
n≥0
M
n
, trong đó M
n
là các nhóm con của M và R
i
M
j
⊆
M
i+j

, ∀i, j = 0, , n.
Một phần tử x ∈ M sao cho x ∈ M
i
được gọi là phần tử thuần nhất
bậc i, M
i
được gọi là thành phần bậc i của M.
13
(iii) Cho M là R−môđun phân bậc, N là môđun con của M. N được gọi
là môđun con phân bậc của M nếu N = ⊕
n≥0
(N ∩M
n
). Ta cũng gọi
N là môđun con thuần nhất của M.
Nếu R là vành phân bậc thì R cũng là R−môđun phân bậc. Khi đó
I là một iđêan con phân bậc của R nếu I là một iđêan của R thỏa
mãn I = ⊕
n≥0
(I ∩ R
n
). I còn được gọi là iđêan thuần nhất.
Ví dụ 2.1.2. (a) Mọi vành R đều có thể xem là vành phân bậc với phân
bậc tầm thường R = ⊕
n≥0
R
n
, R
0
= R, R

n
= 0, ∀n > 0.
(b) Một R−môđun M luôn là R−môđun phân bậc với phân bậc tầm
thường M = ⊕
n≥0
M
n
, M
0
= M, M
n
= 0, ∀n > 0 (R là vành phân bậc
tầm thường).
(c) Xét vành đa thức R = k[x
1
, , x
n
], k là một trường. Khi đó R có phân
bậc R = ⊕
n≥0
R
n
, với R
0
= k, R
n
là tập tất cả các đa thức thuần nhất
bậc n của R.
Mệnh đề 2.1.3. Nếu N là môđun con hữu hạn sinh của M. Khi đó các
mệnh đề sau tương đương :

(i) N là môđun con thuần nhất của M.
(ii) ∀x ∈ N, x = x
1
+ + x
k
là biểu diễn thuần nhất của x, x
i
∈ M
i
. Suy
ra x
i
∈ N, ∀i.
(iii) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất.
Chứng minh. (i) =⇒ (ii) Do N là môđun con thuần nhất của M suy ra
N = ⊕
n≥0
(M
n
∩ N). Suy ra, nếu x ∈ N thì x = x
1
+ x
2
+ + x
k
với
x
i
∈ M
i

∩ N. Suy ra x
i
∈ N, ∀i = 1, , k.
14
(ii) =⇒ (iii) Giả sử {x
λ
|λ ∈ Λ} là một hệ sinh nào đó của N, với x
λ
ta
có
x
λ
= x
λ,1
+ x
λ,2
+ + x
λ,k
λ
.
Theo (ii) suy ra x
λ,i
∈ N, ∀i = 1, , k
λ
. Suy ra {x
λ,i
|λ ∈ Λ, ∀i = 1, , k}
là một hệ sinh của N gồm toàn các phần tử thuần nhất.
(iii) =⇒ (i) Giả sử {x
λ

|λ ∈ Λ} là hệ sinh thuần nhất của N và degx
λ
= d
λ
,
λ ∈ Λ.
Rõ ràng ⊕
n≥0
(M
n
∩ N) ⊆ N, ta chỉ cần chỉ ra N ⊆ ⊕
n≥0
(M
n
∩ N).
Thật vậy, cho x =

n
i=1
a
λ
i
x
λ
i
với λ
1
, , λ
k
∈ Λ, a

λ
i
∈ R. Khi đó tồn tại Λ
i
sao cho a
λ
i
∈ ⊕
n∈Λ
i
R
n
, ∀i = 1, , k. Khi đó ta suy ra x =

n
i=1
a
λ
i
x
λ
i
⊆
(⊕
λ∈Λ
1
R
λ
)x
1

+ + (⊕
λ∈Λ
k
R
λ
)x
k
⊆ ⊕
n≥0
M
n
∩ N.
Định lý 2.1.4. Cho R = ⊕
n≥0
R
n
là một vành phân bậc. Khi đó các mệnh
đề sau tương đương:
(i) R là vành Noether.
(ii) R
0
là vành Noether và tồn tại a
1
, a
2
, , a
n
là các phần tử thuần
nhất của R sao cho R = R
0

[a
1
, a
2
, , a
n
] = {f(a
1
, a
2
, , a
n
)|f ∈
R
0
[x
1
, x
2
, , x
n
]}.
Chứng minh. (i) =⇒ (ii) Đặt R
+
= ⊕
n≥1
R
n
là iđêan thuần nhất của R.
Vì R là Noether nên R

+
hữu hạn sinh. Suy ra tồn tại a
1
, a
2
, , a
n
∈ R
sao cho R
+
= (a
1
, a
2
, , a
n
). Mặt khác, R
+
là các iđêan thuần nhất nên
ta có thể giả thiết được là a
i
thuần nhất có bậc là n
i
> 0. Đặt R

là vành
con của R sinh bởi a
1
, , a
n

trên R
0
, R

= R
0
[a
1
, , a
n
]. Ta sẽ chứng minh
R
n
⊆ R

, ∀n ≥ 0 (*) bằng quy nạp.
Nếu n = 0 thì hiển nhiên mệnh đề (*) đúng.
15
Giả sử R
i
⊆ R

, với n ≥ i, n > 0. Ta chứng minh R
n+1
⊆ R

. Lấy
x ∈ R
n+1
⊆ R

+
, ta có x =

n
i=1
a
i
b
i
, trong đó b
i
∈ R
n+1−n
i
, ∀i = 1, , n.
Mà n
i
> 0, ∀i nên n + 1 − n
i
≤ n, ∀i = 1, , n. Theo giả thiết quy
nạp b
i
∈ R

, ∀i = 1, n do đó R
n+1
⊆ R

, suy ra (*) đúng. Hơn nữa
R

0
∼
=
R/R
+
. Vậy R
0
là Noether.
(ii) =⇒ (i) Từ điều kiện (ii) suy ra R có dạng R = R
0
[a
1
, , a
n
, a
i
], a
i
∈
R, ∀i = 1, , n. Khi đó tồn tại toàn cấu vành
ϕ : R
0
[x
1
, , x
n
] −→ R
0
[a
1

, , a
n
]
với ϕ(f(x
1
, , x
n
)) = f(a
1
, , a
n
).
Theo định lý cơ sở Hilbert thì R
0
[x
1
, , x
n
] là vành Noether (do R
0
là
vành Noether). Mà R
0
[a
1
, , a
n
]
∼
=

R
0
[x
1
, , x
n
]/Kerϕ là vành Noether
suy ra R
0
[a
1
, , a
n
] là vành Noether. Vậy R là vành Noether.
2.2 Vành phân bậc liên kết và vành Rees
Định nghĩa 2.2.1. Cho I là iđêan của vành R. Khi đó ta định nghĩa các
vành
(i) R(I) = ⊕
n≥0
I
n
T
n
là một vành phân bậc gọi là vành Rees của R đối
với iđêan I.
Với a ∈ ⊕
n≥0
I
n
T

n
suy ra a = a
0
T
n
+ + a
m
T
n+m
, a
i
∈ I
n+i
, i =
0, , m.
Phép nhân trong R(I) được xác định như sau. Cho a ∈ I
n
T
n
và
b ∈ I
m
T
m
, khi đó tích ab ∈ I
n+m
T
n+m
.
(ii) G

R
(I) = ⊕
n≥0
I
n
/I
n+1
là vành phân bậc liên kết của R đối với iđêan
I.
16
Phép nhân trong G
R
(I) được xác định như sau. Cho a ∈ I
n
/I
n+1
, b ∈
I
m
/I
m+1
. Khi đó tồn tại α, ∈ I
n
, β ∈ I
m
sao cho a = α + I
n+1
và
b = β + I
m+1

. Dễ dàng kiểm tra được rằng lớp ghép αβ + I
n+m+1
không phụ thuộc vào cách chọn α, β và ta đặt ab = αβ + I
n+m+1
∈
I
n+m
/I
n+m+1
.
(iii) Cho M là R−môđun. Ta có
R
M
(I) = ⊕
n≥0
I
n
M là R(I)−môđun phân bậc, gọi là môđun Rees
của M đối với I.
G
M
(I) = ⊕
n≥0
I
n
M/I
n+1
M là G
R
(I)− môđun phân bậc, gọi là

môđun phân bậc liên kết của M đối với I.
Định lý 2.2.2. R là vành Noether và I là iđêan của R. Khi đó, ta có các
khẳng định sau.
(i) R(I) và G
R
(I) là vành phân bậc Noether.
(ii) Nếu M là R−môđun Noether thì khi đó ta có R
M
(I) là R(I)−môđun
Noether và G
M
(I) là G
R
(I)−môđun Noether.
Chứng minh. (i) Ta chứng minh R(I) là vành Noether. Thật vậy, giả
sử I = (a
1
, , a
n
). Khi đó ta có phép nhúng
ϕ : R[a
1
T, , a
n
T ] −→ R[T ]
Xác định bởi ϕ(a
i
T ) = a
i
T, ∀i. Rõ ràng ϕ là một đơn cấu. Vì R[T ] là

vành Noether nên theo Định lý cơ sở Hilbert R[T ] là vành Noether.
Vậy R(I) là vành Noether.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh G
R
(I) là vành Noether.Thật vậy, ta có
(G
R
(I))
0
= I
0
/I = R/I là vành Noether vì R là vành Noether. Do
I là iđêan của R nên I hữu hạn sinh suy ra I = (a
1
, , a
n
), trong đó
17
a
i
∈ I, ∀i = 1, , n. Ta thấy a
i
= a
i
+ I
2
là các phần tử thuần nhất
cấp 1 của G
R
(I), ∀i = 1, , n.

Ta phải chứng minh G
R
(I) = R/I[a
1
, , a
n
]. Thật vậy, hiển nhiên
R/I[a
1
, , a
n
] ⊆ G
R
(I).
Lấy α ∈ (G
R
(I))
m
= I
m
/I
m+1
(phân bậc thứ m). Suy ra α = a +
I
m+1
, (a ∈ I
m
).
Ta có: I = (a
1

, , a
n
). Suy ra I
2
= (a
i
a
j
|i, j = 1, 1). Vậy I
m
= (a
α
)
Suy ra
a =

|α|=m
x
α
.a
α
, x
α
∈ R
Do đó
x = a =

|α|=m
x
α

.a
α
=

x
α
.a
α
1
1
a
α
n
n
∈ R/I[a
1
, , a
n
].
Suy ra G
R
(I) ⊆ R/I[a
1
, , a
n
]. Vậy G
R
(I) = R/I[a
1
, , a

n
].
Xét đồng cấu vành ϕ : R/I[x
1
, , x
n
] −→ R/I[a
1
, , a
n
] sao cho
f(x
1
, , x
n
) −→ f(a
1
, , a
n
). Vì ϕ là toàn cấu nên R/I[a
1
, , a
n
]
∼
=
R/I[x
1
, , x
n

]/Kerϕ, do R/I[x
1
, , x
n
] là vành Noether nên theo
định lý cơ sở Hilbert R/I[x
1
, , x
n
]/Kerϕ là vành Noether.
Vậy G
R
(I) là vành Noether.
(ii) Từ R
M
(I) = ⊕
n≥0
I
n
M và I
n
(I
m
M) ⊆ I
n+m
M. Suy ra R
M
(I) là
môđun phân bậc.
Vì M là môđun Noether nên M hữu hạn sinh, nên tồn tại x

1
, , x
n
∈
M sao cho M = Rx
1
+ +Rx
n
. Ta sẽ chứng minh R
M
(I) = R(I)x
1
+
+ R(I)x
n
. Thật vậy, khi n = 0 thì I
0
M = RM = M. Từ x
i
∈
M, ∀i = 1, , n suy ra x
i
∈ I
0
M ⊂ R
M
(I), ∀i = 1, , n suy ra
R(I)x
1
+ + R(I)x

n
⊆ R
M
(I).
18
Ngược lại, giả sử β ∈ (R
M
(I))
m
= I
m
M nên β =

a
i
t
m
x
i
, a
i
t
m
∈
I
m
, x
i
∈ M, suy ra β ∈ R(I)x
1

+ + R(I)x
n
hay R ⊆ R(I)x
1
+
+ R(I)x
n
. Do đó R
M
(I) = R(I)x
1
+ + R(I)x
n
. Suy ra R
M
(I)
là R(I)−môđun hữu hạn sinh. Mà R(I) là vành Noether nên R
M
(I)
là R(I)−môđun Noether.
Tương tự trên, ta có G
M
(I) = G(I)x
1
+ + G(I)x
n
với x
i
= x
i

+
I
2
M, ∀i = 1, n. Suy ra G
M
(I) là G
R
(I)−môđun hữu hạn sinh.
Theo trên G
R
(I) là vành Noether nên G
M
(I) là môđun Noether.
2.3 Định lý Artin-Rees và các hệ quả
Định nghĩa 2.3.1. (i) Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Một dãy
giảm (I
n
)
n≥0
các iđêan của R được gọi là một lọc các iđêan của R
nếu
I
n
I
m
⊆ I
n+m
, ∀n, m ≥ 0.
Cho I là một iđêan của R, thì dãy (I
n

)
n≥0
là một lọc các iđêan của
R và được gọi là lọc I−adic.
(ii) Cho M là một R−môđun, một dãy giảm các môđun con của M
M = M
0
⊇ M
1
⊇ M
2
⊇ được gọi là một lọc của M, kí hiệu
(M
n
)
n≥0
. Lọc (M
n
)
n≥0
được gọi là lọc tương thích với lọc iđêan (I
n
)
n≥0
nếu
I
n
M
m
⊆ M

n+m
, ∀n, m ≥ 0.
Đặc biệt, khi lọc iđêan là I−adic thì lọc (M
n
)
n≥0
gọi là I−lọc tốt
nếu (M
n
)
n≥0
là tương thích với lọc I−adic và tồn tại m
0
sao cho
I
n
M
m
= M
n+m
, ∀m ≥ m
0
, ∀n ≥ 0.
19
Theo đó, ta có (I
n
M)
n≥0
là một I−lọc tốt.
Từ định nghĩa trên ta có chú ý sau.

Chú ý 2.3.2. Cho (I
n
)
n≥0
là một lọc iđêan của vành R. Khi đó ta có
T = ⊕
n≥0
I
n
và G = ⊕
n≥0
I
n
/I
n+1
là một vành phân bậc.
Hơn nữa, nếu (M
n
)
n≥0
là một lọc các môđun con của M và là I−lọc
tốt. Thì ta có ⊕
n≥0
M
n
là môđun phân bậc trên vành phân bậc R(I) =
⊕
n≥0
I
n

và ⊕
n≥0
M
n
/M
n+1
là môđun phân bậc trên vành phân bậc G
R
(I) =
⊕
n≥0
I
n
/I
n+1
.
Mệnh đề 2.3.3. Nếu (M
n
), (M

n
) là các I−lọc tốt của M thì chúng sai
khác nhau chặn trên, tức là tồn tại n
0
sao cho
M
n+n
0
⊆ M


n
, M

n+n
0
⊆ M
n
, ∀ ≥ 0.
Chứng minh. Ta có (I
n
M)
n≥0
là một I−lọc tốt. Ta chỉ cần xét trường
hợp M

n
= I
n
M.
Vì I
n
M ⊆ M
n+1
⊆ M
n
, ∀n, ta có M

n
= I
n

M ⊆ M
n
. Do (M
n
)
n≥0
là I−lọc
tốt nên tồn tại n
0
sao cho IM
n
= M
n+1
, ∀n ≥ n
0
.
Suy ra M
n+n
0
= I
n
M
n
0
⊆ I
n
M = M

n
. Vậy M

n+n
0
⊆ M

n
0
.
Cho R là một vành bất kì (không phân bậc), I là iđêan của R. Khi đó
ta luôn có thể có vành phân bậc R
∗
= ⊕
n≥0
I
n
(Vành Rees). Tương tự, nếu
M là một R−môđun và (M
n
)
n≥0
là I−lọc tốt của M thì M
∗
= ⊕
n≥0
M
n
là một R
∗
−môđun phân bậc, vì I
n
M

n
⊆ M
n+m
, ∀n, m ≥ 0.
Và ta đã có, nếu R là vành Noether và I = (a
1
, , a
n
) là iđêan của R
thì R
∗
= R(I) = ⊕
n≥0
I
n
T
n
= R[a
1
T, , a
n
T ] cũng là một vành Noether.
Định lý 2.3.4. Cho R là vành Noether và I là iđêan của R, M là
R−môđun hữu hạn sinh, (M
n
)
n≥0
là lọc của M tương thích với lọc I−adic.
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
20

(i) Môđun phân bậc ⊕
n≥0
M
n
là R(I) = ⊕
n≥0
I
n
−môđun Noether.
(ii) Lọc (M
n
)
n≥0
là I−lọc tốt.
Chứng minh. Theo giả thiết M
n
là R−môđun hữu hạn sinh với ∀n. Suy
ra, đặt Q
n
= M
1
⊕ M
2
⊕ ⊕ M
n
là R−môđun hữu hạn sinh.
Xét các môđun
M
∗
= M

1
⊕ M
2
⊕ ⊕ M
n
⊕ M
n+1
⊕
M
∗
n
= M
1
⊕ M
2
⊕ ⊕ M
n
⊕ IM
n
⊕ I
2
M
n
⊕
Do (M
n
)
n≥0
là tương thích với lọc I−adic nên M
∗

n
⊆ M
∗
, ∀n.
Mặt khác, M
i
hữu hạn sinh với ∀i nên Q
n
là hữu hạn sinh. Giả sử Q
n
=
(y
1
, , y
k
), suy ra Q
n
= Ry
1
+ + Ry
k
. Do đó M
∗
n
là môđun hữu hạn sinh
của M
∗
trên vành R(I), cụ thể hơn M
∗
n

= R(I)y
1
+ + R(I)y
k
.
Ta thấy ⊆ M
∗
n
⊆ M
∗
n+1
⊆ M
∗
n+2
⊆ (*) là dãy tăng các môđun
con của M
∗
và ∪
∞
n=1
M
∗
n
= M
∗
.
Từ đây suy ra M
∗
là R(I)−môđun Noether khi và chỉ khi dãy tăng
các môđun con (*) là dừng. Hay tồn tại n

0
thỏa mãn M
∗
n
0
= M
∗
n
0
+1
=
tương đương IM
n
0
= M
n
0
+1
, , I
l
M
n
0
= M
l+n
0
, đây chính là điều kiện cần
và đủ để (M
n
)

n≥0
là I−lọc tốt.
Định lý 2.3.5. (Định lý Artin - Rees) Cho R là một vành Noether, I là
một iđêan của R. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh và M

là một môđun
con của M. Khi đó tồn tại một số nguyên dương k, sao cho
I
n
M ∩M

= I
n−k
(I
k
M ∩M

), ∀n ≥ k.(∗)
Chứng minh. Ta có ⊕
n≥0
(I
n
M ∩M

) là môđun con của môđun ⊕
n≥0
I
n
M
= R

M
(I), R
M
(I) là R(I)−môđun phân bậc Noether, nên theo Định lý
2.3.4 ⊕
n≥0
(I
n
M ∩M

) là R(I)−môđun phân bậc hữu hạn sinh khi và chỉ
21