Sử dụng tích phân để chứng minh đẳng thức nhị thức Newton

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP
LÊ HỒNG ĐỨC-LÊ BÍCH NGỌC-LÊ HỮU TRÍ
BÀI TẬP
Sử dụng tích phân để chứng minh đẳng thức nhị thức
Newton
Bài 1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
a. (ĐHGTVT 2000):
1 2 k n
n 1
0
n n n n
n
C C C C
2 1
C
1 1 1 2 1 k 1 n 1 n
+
−
+ + + + + + =
+ + + + +

b.
1 2 n
0 n
n n n
n
C C C
1
C ( 1) .
1 1 1 2 1 n 1 n
− + − + − =

+ + + +
Giải
Với mọi x, và với n là số nguyên dương, ta có:
(1+x)
n
=
n
k k
n
k 0
C x
=
∑
(1)
Lấy tích phân theo x hai vế của (1), ta được:
t t
n 1 k 1
n n
n k k k
n n
k 0 k 0
0 0
k 1 k
n 1
n
n
k 0
t t
(1 x) x
(1 x) dx C x C

n 1 0 k 1 0
t C
(1 t) 1
(2)
n 1 k 1
+ +
= =
+
+
=
+
+ = ⇔ =
+ +
+ −
⇔ =
+ +
∑ ∑
∫ ∫
∑

a. Thay t=1 vào (2), ta được:
k
n 1
n
n
k 0
k 1 k k k
n n
n n
k 0 k 0

C
2 1
, ®pcm.
1 n k 1
b. Thay t=-1 vµo (2), ta ® îc:
( 1) C ( 1) C
1 1
- , ®pcm.
n 1 k 1 n 1 k 1
+
=
+
= =
−
=
+ +
− −
= ⇔ =
+ + + +
∑
∑ ∑


2
n
0
n
0 2 1 3 2 n 1 n n
n n n n
2 2

n 1
n n n
0 0
Bài 2 : Tính tích phân: I= (1 x) dx.
Từ đó chứng minh rằng:
1 1 ( 1) 1
2C 2 C 2 C 2 C [1 ( 1) ].
2 3 n 1 n 1
Gi ả i
Ta có:
2
(1 x) 1
I= (1 x) dx (1 n) d(1 x) [( 1) 1]. (1)
n 1 0 n 1
Với mọi
+
+


+ + + = +
+ +

= = = +
+ +


n
n k k k
n
k 0

n
x, và với n là số nguyên d ơng, ta có:
(1-x) ( 1) C x (2)
Lấy tích phân theo x hai vế của (2), ta đ ợc:
(1 x) dx ( 1
=
=
=

2 2
k 1
n n
k k k k k
n n
k 0 k 0
0 0
n
0 2 1 3 2 n 1 n
n n n n
2
x
) C x ( 1) C
k 1 0
1 1 ( 1)
2C 2 C 2 C 2 C . (3)
2 3 n 1
Từ (1) và (3) suy ra điều cần chứng minh.
+
= =
+

=
+

= + + +
+



2 3 n 1 n 1
0 1 2 n
n n n n
n
n k k
n
k 0
Bài 3: Với n là số nguyên d ơng, chứng minh rằng:
2 2 2 3 1
2C C C C
2 3 n 1 n 1
Gi ả i
Với mọi x, và với n là số nguyên d ơng, ta có:
(1+x) C x
+ +
=

+ + + + =
+ +
=

t t

n 1 n 1
n n
n k k k
n n
k 0 k 0
0 0
k 1 k
n 1
n
(1)
Lấy tích phân theo x hai vế của (1), ta đ ợc:
t t
(1 x) x
(1 x) dx C x C
n 1 0 k 1 0
t C
(1 t) 1

n 1 k 1
+ +
= =
+
+
+
+ = =
+ +
+
=
+ +

n
k 0
k k
n 1 1
n
n
k 0
1
2 n
n
0
1 2 n n
0
n n n
n
(2)
Thay t=2 vào (2), ta đ ợc:
2 C
3
, đpcm.
n 1 k 1
Bài 4: (ĐHQG TPHCM Khối A 97). Tính tích phân:
I (1 x ) dx, với n N.
Từ đó suy ra:
C C ( 1) C
2.4 2n
C
3 5 2n 1 35 (2n 1
=

+
=
=
+ +
=

+ + =
+ +



n
2 n 2 n 1
1 1
2 n 2 n 1 2 2 n 1 2
n
0 0
2 n
)
Gi ả i
Ta xác định tích phân I bằng ph ơng pháp tích phân từng phần, với đặt:
u (1 x ) du 2nx(1 x ) dx
dv dx v x
Khi đó:
1
I x(1 x ) 2n (1 x ) x dx 2n (1 x ) [(1 x ) 1]dx
0
2n (1 x ) dx (

= =


= =

= + =
=

1 1
2 n 1
n n 1
0 0
1
n n 1 0
0
1 x ) dx 2n(I I )
2n 2n 2(n 1) 2 2.4 2n
I .I . I dx
2n 1 2n 1 2n 1 3 3.5 (2n 1)
2.4 2n
. (1)
3.5 (2n 1)




=

= = =
+ + +
=
+


n n
n k k k 2 n k 2x
n n
k 0 k 0
1 1
2k 1
n n
2 n k k 2k k k
n n
k 0 k 0
0 0
1 2
0
n n
n
Ta có:
(1-x) ( 1) C x (1 x ) C x (2)
Lấy tích phân x theo hai vế của (2), ta đ ợc:
2
x
(1 x ) dx ( 1) C x ( 1) C
2k 1 0
C C (

C
3 5
= =
+
= =
= =
= =
+

= + +



n n
n
1) C
(3)
2n 1
Từ (1) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
+