bài tập toán nâng cao có lời giải

Tổ hợp qua các định lý và bài toán
Trần Nam Dũng
Trường Đại học KHTN Tp HCM
1. Các quy tắc đếm
Ta nói tập hợp A có n phần tử nếu tồn tại song ánh f: A > {1, 2, , n}. Ký hiệu | A | = n.
Quy tắc cộng: Nếu công việc A có hai phương án thực hiện (loại trừ lẫn nhau), phương án 1 có n
1
cách
thực hiện, phương án 2 có n
2
cách thực hiện thì công việc A có n
1
+ n
2
cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập
hợp: Nếu A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B| = | A | + | B |.
Quy tắc nhân: Nếu công việc A có thể chia thành 2 công đoạn tiếp nối nhau, công đoạn 1 có n
1
cách thực
hiện, công đọa 2 có n
2
cách thực hiện thì công việc A có n
1
n
2
cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: |
A × B| = | A |.| B |.
Quy tắc phần bù:
|||||| AXA −=
, trong đó
|| A

là phần bù của A trong X.
1. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số?
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?
c) Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
2. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số, chia hết cho 3 nhưng không chứa chữ số 3?
c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
3. Trong một trường học mỗi một học sinh nam quen với 32 học sinh nữ và mỗi một học
sinh nữ quen với 29 học sinh nam. Hỏi trong trường học đó nam nhiều hơn nữ hay nữ
nhiều hơn nam, và nhiều hơn bao nhiêu lần.
4. Xét bảng chữ nhật m × n ô. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh song song
với cạnh của bảng?
5. Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương. Một đường tròn được chia thành p quạt
bằng nhau.
a) Có bao nhiêu cách tô p quạt bằng a màu, nếu ta cố định đường tròn (không
xoay).
b) Nếu ta cho phép xoay đường tròn, và hai cách tô được coi là như nhau nếu có
thể thu được từ nhau qua một phép quay thì có tất cả bao nhiêu cách tô?
Xét các tập hợp A, B, C thuộc X. Ta định nghĩa hàm đặc trưng của A, B, C, là các ánh xạ từ X vào
{0, 1} được xác định như sau:




∉
∈
=
Axneu
Axneu
x

A
0
1
)(
χ
Hàm đặc trưng hoàn toàn xác định tập hợp, và ta có các tính chất cơ bản sau:
1) A = B <=> χ
A
(x) = χ
B
(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ
A
= χ
B
)
2) A ⊆ B <=> χ
A
(x) ≤ χ
B
(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ
A
≤ χ
B
)
3) χ
A
∩
B
= χ
A

.χ
B

4)
A
A
χχ
−= 1
6. a) Chứng minh rằng χ
A
∪
B
= χ
A
+ χ
B
- χ
A
.χ
B
.
b) Chứng minh rằng χ
A
∆
B
= χ
A
+ χ
B
- 2χ

A
.χ
B
.
c) Áp dụng chứng minh A∆(B∆C) = (A∆B)∆C với mọi A, B, C.
Hàm đặc trưng liên quan trực tiếp đến phép đếm thông qua công thức quan trọng (và hiển nhiên) sau:
∑
∈
=
Xx
A
xA )(||
χ
(1)
7. Áp dụng các tính chất của hàm đặc trưng và công thức (1), hãy chứng minh
a) Quy tắc cộng
b) Quy tắc nhân
c) (Công thức bao hàm và loại trừ cho n = 3) |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (|A∩B| + |
B∩C| + |C∩A|) + |A∩B∩C|.
d) (Quy tắc đếm theo phần tử) Cho F là một họ các tập con của X. Với mỗi k = 0, 1, ,|X|
gọi nk là số tập con thuộc F có k phần tử, với mỗi x thuộc X, gọi c(x) là số các tập con
thuộc F chứa x. Khi đó ta có
∑ ∑∑
= ∈∈
==
||
1
.)(||
X
k Xx

k
FA
xcknA
e) (Áp dụng quy tắc đếm theo phần tử) Có 20 thí sinh tham gia cuộc thi Vietnam Idol.
BGK sẽ chọn ra 5 gương mặt xuất sắc nhất, còn khán giả cũng sẽ chọn ra 5 gương mặt
được ưu thích nhất. Nếu các danh sách được chọn một cách ngẫu nhiên thì trung bình sẽ
có bao nhiêu thí sinh được góp mặt trong cả hai danh sách?
Hướng dẫn: Gọi F là tập tất cả các cặp (A, B) với A,B ⊆ [20], |A| = |B| = 5. Bản chất của bài toán là tính
giá trị của
||
|}|
),(
F
BA
FBA
∑
∈
∩
.
2. Các đối tượng tổ hợp cơ bản
Xét tập hợp X gồm n phần tử. Từ tập hợp cơ bản này, ta có thể xây dựng các đối tượng tổ hợp phong phú.
Tập các tập con của tập X: Tập các tập con của X được ký hiệu là P(X). Dễ thấy |P(X)| = 2
n
. Các tập
con của một tập hợp là một đối tượng xuất hiện khá nhiều trong các bài toán đếm.
Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử phân biệt được sắp thứ tự của tập hợp
ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các chỉnh hợp là (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 3),(3, 1),(3, 2). Số
các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là
k
n

A
.
Hoán vị: Hoán vị của n phần tử là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó, nói cách khác, là một cách sắp thứ
tự các phần tử đó. Hoán vị của X còn có thể định nghĩa như một song ánh từ X vào X. Số các hoán vị của
n phần tử được ký hiệu là P
n
.
Tổ hợp: Tổ hợp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử phân biệt không sắp thứ tự của tập hợp ấy.
Nói cách khác, đó là một tập con k phần tử. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp là {1, 2},
{1,3}, {2, 3}. Số các tổ chập k của n phần tử được ký hiệu là
k
n
C
.
Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt
được sắp thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các chỉnh hợp lặp là (1, 1), (1,
2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 1),(3, 2), (3, 3). Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu
là
k
n
A
.
Tổ hợp lặp: Tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt không sắp
thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp lặp là {1, 1}, {1, 2}, {1,3}, {2,
2}, {2, 3}, {3, 3}. Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là
k
n
C
.
Để tiện lợi, ta thường lấy X = {1, 2, ,n} và ta ký hiệu tập này là [n].

1. a) Dùng quy tắc nhân, hãy chứng minh rằng
)!(
!
)1) (1(,
kn
n
knnnAnA
k
n
k
k
n
−
=+−−==
.
b) Chứng minh rằng
)!(!
!
! knk
n
k
A
C
k
n
k
n
−
==
.

2. Dùng định nghĩa tổ hợp của
k
n
C
hãy chứng minh các đẳng thức sau:
a)
k
n
k
n
k
n
CCC
1
1
+
−
=+
Hướng dẫn: Chia các tập con k phần tử của [n+1] thành 2 loại: chứa n+1 và không chứa n+1.
b)
.2
210
1
nn
nnn
CCCC =++++
Hướng dẫn: Hãy trả lời câu hỏi: Có bao nhiêu tập con k phần tử của [n]. Và tổng cộng [n] có bao nhiêu
tập con kể cả ∅ và chính nó?
c) (Công thức nhị thức Newton)
∑

=
−
=+
n
k
kknk
n
n
yxCyx
0
)(
.
Hướng dẫn: Có thể chứng minh bằng quy nạp dựa vào a) hoặc chứng minh trực tiếp bằng cách xét (x+y)
n
= (x+y)(x+y) (x+y). Để tạo ra một đơn thức x
n-k
y
k
, ta phải lấy x từ n-k dấu ngoặc và y từ k dấu ngoặc còn
lại. Có bao nhiêu cách lấy như vậy?
d) (Quy tắc lục giác)
11
111
11
1

−+
+−+
+−
−

=
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCC
3. Hoán vị lặp và định lý đa thức
a) Bảng chữ cái có k ký tự 1, 2, , k. Chữ cái thứ i có r
i
phiên bản. Biết r
1
+ r
2
+
+ r
k
= n. Hỏi có bao nhiêu từ khác nhau có độ dài n?
b) Chứng minh rằng
∑
+++
=+++
k

k
rrr
r
k
rr
k
n
k
xxxrrrCxxx

212121
21
21
), ,,() (
, trong đó

!! !
!
), ,,(
21
21
k
k
rrr
n
rrrC =
.
4. Cho tập hợp X có n phần tử. Có bao nhiêu cách chọn các cặp có thứ tự (A, B) các tập
con của X sao cho:
a) A ∩ B = ∅;

b) A ∪ B = X;
c) A ⊆ B;
d)* A và B không chứa nhau.
5. Phương trình x
1
+ x
2
+ x
3
= 100 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?
6. Bộ bài có 52 quân, trong đó có 13 giá trị: 2, 3, 4, , 10, J, Q, K, A với 4 chất: cơ, rô,
chuồn (tép), bích. Cơ, rô màu đỏ, chuồn, bích màu đen. Chọn ra 5 quân từ bộ bài. Ta biết
rằng có
5
52
C
cách chọn như vậy. Hỏi trong các cách chọn đó, có bao nhiêu cách chọn trong
đó:
a) Không có quân bài có giá trị giống nhau;
b) Có 3 quân bài giá trị giống nhau và hai quân bài khác giống nhau.
c) Cả 5 quân cùng chất;
d) Có đủ 2 màu;
e) Có đủ 4 chất.
7*. Trong n giác lồi kẻ tất cả các đường chéo. Biết rằng không có ba đường chéo nào
đồng quy tại một điểm. Hỏi đa giác lồi được chia ra thành bao nhiêu phần? Các đường
chéo cắt nhau tại bao nhiêu điểm?
Hướng dẫn: Giao điểm của hai đường chéo xác định một cách duy nhất bởi 4 đỉnh của đa giác. Mối liên
hệ giữa số phần của đa giác được chia ra và số giao điểm như thế nào?
3. Phương pháp song ánh
Nếu tồn tại song ánh f: A > B thì | A | = | B |. Nguyên lý đơn giản này rất có ích trong các bài toán đếm.

Chúng ta sẽ thường xuyên gặp tình huống sau: Để đếm số phần tử của tập hợp A, ta xây dựng một tập hợp
B có cấu trúc quen thuộc (và có thể đếm dễ dàng) và thiết lập một song ánh từ A vào B, từ đó | A | = | B |.
1. Xét các tập hợp A = {(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ N
n
| x
1
+ x
2
+ + x
n
= k}
và B = { (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ N*
n
| 1 ≤ y
1
< y
2
< < y

n-1
≤ k + n - 1}. Xét tương ứng
f(x
1
, x
2
, ,x
n
) = (x
1
+1,x
1
+x
2
+2, ,x
1
+x
2
+ +x
n-1
+n-1)
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ từ A vào B;
b) Chứng minh rằng f là song ánh;
c) Kiểm tra lại rằng
1
1
||
−
−+
=

n
nk
CB
d) Từ đó suy ra
.||
1
1
−
−+
=
n
nk
CA
Kết quả bài toán trên được gọi là bài toán chia kẹo Euler:
Định lý: Số nghiệm nguyên không âm của phương trình x
1
+ x
2
+ + x
n
= k bằng
.
1
1
−
−+
n
nk
C
Nhiều bài toán

đếm có thể mô hình hóa để đưa về bài toán này. Chú ý khi sử dụng, cần chứng minh lại như một bổ đề.
2. a) (Số đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên) Chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất
trên lưới nguyên từ điểm A(0; 0) đến điểm B(m, n) bằng
.
m
nm
C
+
b) Cho m ≥ n, tìm số đường đi ngắn nhất từ điểm A(0, 0) đến điểm B(m, n) và đi qua các
điểm có hoành độ không nhỏ hơn tung độ.
Hướng dẫn: Hãy chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất từ điểm A(0, 0) đến điểm B(m, n) và đi qua ít
nhất một điểm có hoành độ nhỏ hơn tung độ bằng số đường đi ngắn nhất từ điểm (-1, 1) đến B.
c) (Bài toán về số Catalan) Có 2n người xếp hàng mua vé. Giá vé là 50.000, có n người
có tiền 50.000 và n người chỉ có tiền 100.000, trong quầy ban đầu không có tiền lẻ. Mọi
người vào mua vé theo một thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất để tất cả mọi người đều có
thể mua vé mà không phải chờ để lấy tiền trả lại. Nếu trong quầy đã có sẵn k tờ tiền
5.000 thì sao?
3. a) Có n người xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho
không có hai người kề nhau được chọn?
b) Có n người xếp thành một vòng tròn. Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho
không có hai người kề nhau được chọn?
4. (VMO 2012) Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là G
1
, G
2
, G
3
, G
4
, G

5
và 12 chàng
trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho
ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi;
2/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là G
1
, G
2
, G
3
, G
4
, G
5
;
3/ Giữa G
1
và G
2
có ít nhất 3 chàng trai;
4/ Giữa G
4
và G
5
có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?
(Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế
đó trong hai cách xếp là khác nhau).
5*. (MOP 2006) Cho các số nguyên dương n và d với d | n. Gọi S là tập hợp các bộ n số 0

≤ x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n
≤ n sao cho d | x
1
+ x
2
+ +x
n
. Chứng minh rằng đúng một nửa số
phần tử của S có tính chất x
n
= n.
6. (Nghệ An 2009) Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Kí hiệu A = {1, 2, …,
n}. Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng của
các phần tử của B là 1 số nguyên. Gọi T
n
là số các tập tốt của tập A. Chứng minh rằng T
n
– n là 1 số chẵn.
Hướng dẫn: Có n tập con tốt có 1 phần tử. Chia các tập con tốt còn lại thành 2 loại, loại 1 là các tập tốt có
chứa trung bình cộng, loại 2 là các tập tốt không chứa trung bình cộng. Hãy chứng minh 2 loại này có số
phần tử bằng nhau.
7. (Mỹ, 1996) Gọi a
n
là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi con 010, b
n

là số
các xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi con 0011 hoặc 1100. Chứng minh rằng b
n+1
=
2a
n
với mọi n nguyên dương.
4. Công thức bao hàm và loại trừ
Khi ta cần tìm số các phần tử của một tập hợp X thỏa mãn một trong các tính chất P
1
,
P
2
, , P
k
ta có thể đặt A
i
= {x ∈ X| x thỏa mãn tính chất P
i
} và tính
||
1

k
i
k
A
=
. Để tính số
phần tử của hợp này, ta cần đến công thức bao hàm và loại trừ.

1. a) Cho A, B là hai tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B| = | A | +| B | - |A ∩ B|.
b) Cho A, B, C là ba tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (|
A∩B| + |B∩C| + |C∩A|) + |A∩B∩C|.
c) (Công thức bao hàm và loại trừ) Cho A
1
, A
2
, , A
n
là các tập hợp bất kỳ, khi đó ta có

n
i
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
ii
AAAAAAAAAA
1
21
1
111
.| |)1( ||||||||
=
−

≤<<≤≤<≤=
∩∩∩−+−∩∩+∩−=
∑∑∑
Hướng dẫn: Chứng minh bằng quy nạp hoặc bằng cách sử dụng hàm đặc trưng.
2. Trong 100 số nguyên dương đầu tiên có bao nhiêu số
a) Hoặc chia hết cho 2, hoặc chia hết cho 3, hoặc chia hết cho 5?
b) Chia hết cho đúng 2 trong 3 số 2, 3, 5?
3. Một lớp học có 20 học sinh. Cô giáo muốn tổ chức 4 chuyến du khảo cho học sinh sao
cho
a) Một học sinh tham dự ít nhất một chuyến du khảo;
b) Hai chuyến du khảo bất kỳ có ít nhất một thành viên chung.
Hỏi có bao nhiêu cách tổ chức các chuyến du khảo như vậy?
Hướng dẫn: Hãy cho các học sinh đăng ký tham gia các chuyến đi. Mỗi học sinh có bao nhiêu cách đăng
ký?
4. (Bài toán về vé hạnh phúc) Vé xe buýt có dạng a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
trong đó a
1
, a
2

, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
là các chữ số thuộc E = {0, 1, 2, …, 9}. Vé a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
được gọi là vé hạnh phúc nếu như
a
1
+ a
2
+ a
3
= a
4
+ a

5
+ a
6
. Hãy tìm số vé hạnh phúc trong các vé từ 000000 đến 999999
theo sơ đồ sau:
a) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình
a
1
+ a
2
+ a
3
= a
4
+ a
5
+ a
6
(a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6

) ∈ E
6
(1)
bằng số nghiệm của phương trình
a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
= 27 (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
) ∈ E
6

(2)
b) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình (2) bằng số nghiệm của phương
trình
a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
= 27 (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
) ∈ N
6
trừ đi số phần tử của


6
1=
=
i
i
MM
, trong đó
M
i
= { (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
) ∈ N
6
, a
1
+ a
2
+ a
3

+ a
4
+ a
5
+ a
6
= 27, a
i
≥ 10}
c) Dùng công thức bao hàm và loại trừ và bài toán chia kẹo Euler, hãy tìm số vé
hạnh phúc trong các vé từ 000000 đến 999999.
5. a) Cho E = {1, 2, ,n}. Có bao nhiêu song ánh f: E > E thỏa mãn điều kiện f(i) ≠ i
với mọi i ∈ E.
b) Cho bảng vuông T gồm n × n ô, B là một bảng con của T (một tập con các ô của
bảng). Gọi r
k
(B) là số cách đặt k quân xe đôi một không ăn nhau lên B. Chứng minh rằng
số cách đặt n quân xe đôi một không ăn nhau lên T \ B (tức là không được đặt vào các ô
của B) có thể tính theo công thức
∑
=
−−=
n
k
k
k
knBrBN
0
)!)(()1()(

trong đó ta quy ước r
0
(B) = 1.
6. Chứng minh rằng số các toàn ánh từ một tập hợp có m phần tử vào một tập hợp có n
phần tử có thể tính được tính theo công thức
∑
=
−−=
n
k
mk
n
k
knCnmC
0
)()1(),(
.
7. a) Trên mặt phẳng cho n hình. Gọi
k
ii
S

1
là diện tích phần giao của các hình với chỉ số
i
1
, , i
k
, còn S là diện tích phần mặt phẳng được phủ bởi các hình trên; M
k

là tổng tất cả
các số
k
ii
S

1
. Chứng minh rằng
i) S = M
1
- M
2
+ M
3
- + (-1)
n+1
M
n
;
ii) S ≥ M
1
- M
2
+ M
3
- + (-1)
m+1
M
m
với m chẵn và

iii) S ≤ M
1
- M
2
+ M
3
- + (-1)
m+1
M
m
với m lẻ.
b) Trong hình chữ nhật diện tích 1 có 5 hình có diện tích 1/2 mỗi hình. Chứng minh rằng
tìm được
i) hai hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 3/20;
ii) hai hình có diện tích phân chung không nhỏ hơn 1/5;
iii) ba hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 1/20.
5. Xây dựng công thức truy hồi
Một trong các kỹ thuật quan trọng để giải quyết các bài toán đếm là chia bài toán thành các bài toán nhỏ
hơn, giải các bài toán nhỏ rồi kết hợp lại. Kỹ thuật như thế được gọi là chia để trị. Và kỹ thuật này có thể
sử dụng để thiết lập các hệ thức truy hồi: Để giải bài toán đếm với tham số n, ta chia bài toán thành những
bài toán nhỏ hơn với định hướng là các bài toán nhỏ này liên quan đến bài toán ban đầu với tham số nhỏ
hơn.
Trong một số trường hợp, ta có thể đặt thêm các bài toán phụ để tạo ra các dãy số truy hồi lẫn nhau.
Chú ý, các hệ thức truy hồi thường sẽ có dạng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng mà ta đã biết
cách giải.
1. a) Tìm số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai bit 1 kề nhau;
b) Có bao nhiêu cách lát đường đi kích thước 2 × n bằng các viên gạch kích thước 1 × 2
(viên gạch có thể xoay).
c) Cùng câu hỏi như trên với đường đi kích thước 3 × 2n.
2. (PTNK 2009) Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và

các chữ số đều thuộc {3, 4, 5, 6}?
3. Có bao nhiêu tập con khác rỗng của {1, 2, 3, , 2012} có tổng các phần tử chia hết cho
3?
4. Tìm số các dãy số (x
1
, x
2
, …, x
2012
) thỏa mãn điều kiện: x
i
∈ {1, 2, 3}, x
1
= x
2012
= 1, x
i+1
≠ x
i
với mọi i = 1, 2, …, 2011.
5. Có 2n người xếp thành 2 hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một số người (ít
nhất 1) từ 2n người này, sao cho không có hai người nào đứng kề nhau được chọn. Hai
người đứng kề nhau là hai người có số thứ tự liên tiếp trong một hàng dọc hoặc có cùng
số thứ tự ở hai hàng.
6. Tìm số tất cả các bộ n số (x
1
, x
2
, …, x
n

) sao cho
(i) x
i
= ± 1 với i = 1, 2, …, n.
(ii) 0 ≤ x
1
+ x
2
+ … + x
r
< 4 với r = 1, 2, …, n-1 ;
(iii) x
1
+ x
2
+ … + x
n
= 4.
7. Có bao nhiêu số nguyên n, 0 ≤ n < 10
11
có tổng các chữ số chia hết cho 11?
6. Đa thức và ứng dụng trong bài toán đếm
Một tính chất rất đơn giản của đa thức là
nn
aaaaaa
xxxx
+++
=

21

21

lại có những ứng dụng rất hiệu quả để
đưa một số bài toán đếm số nghiệm của phương trình tuyến tính về bài toán tìm hệ số của x
n
trong khai
triển của một đa thức.
1. (Bài toán mở đầu) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình
a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
= 27
với a
i
là các số nguyên 0 ≤ a
i
≤ 9 bằng hệ số của x
27
trong khai triển của đa thức
(1+x+x
2

+ +x
9
)
6
2. a) Sử dụng đẳng thức
∑
∞
=
=
−
0
1
1
k
k
x
x
đúng với mọi x có | x | < 1, hãy chứng minh rằng
∑
∞
=
−
−+
=
−
0
1
1
)1(
1

k
kn
nk
n
xC
x
b) Áp dụng kết quả bài 1 và câu a), hãy tìm ra một lời giải khác cho bài toán 4.4.
Một số bài toán đếm sẽ quy về việc tính tổng các hệ số của các lũy thừa là bội của một số tự nhiên n.
Trong những trường hợp như thế, căn bậc n của đơn vị sẽ rất hữu dụng.
Số phức ε được gọi là căn bậc n của đơn vị nếu ε
n
= 1. Ta có tính chất đơn giản nhưng hữu ích sau:
Nếu ε ≠ 1 là căn bậc n của đơn vị thì 1 + ε + ε
2
+ + ε
n-1
= 0.
3. a) Cho đa thức
∑
=
=
N
k
k
k
xaxP
0
)(
. Tổng
∑

=
=
]/[
0
nN
k
kn
aS
có thể tính theo công thức sau.
n
PPPP
S
n
)( )()()1(
12 −
++++
=
εεε
.
trong đó
n
i
n
ππ
ε
2
sin
2
cos +=
là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.

b) Chứng minh rằng số các số có n chữ số lập từ các chữ số {3, 4, 5, 6} và có tổng chia
hết cho 3 bằng tổng các hệ số a
3k
trong khai triển của (x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
)
n
. Từ đó đưa ra một
lời giải khác cho bài toán 5.2.
4*. (IMO 1995) Cho p là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các tập con A của tập hợp {1, 2,…,
2p}, biết rằng
(i) A chứa đúng phần tử;
(ii) tổng các phần tử của A chia hết cho p.
Hướng dẫn: Xét đa thức Q(x) = (x-α)(x-α
2
) (x-α
2p
) với α là nghiệm tùy ý của phương trình x
p-1
+x
p-2
+ + x + 1 = 0.
5. Với mỗi tập hợp A = {x
1

, x
2
, , x
n
} các số thực, ta gọi A
(2)
là bộ các tổng x
i
+ x
j
với i <j
được xếp theo thứ tự tăng dần (có thể có 1 số tổng bằng nhau). Chẳng hạn với A = {1, 2,
3, 4} thì A
(2)
= {3, 4, 5, 5, 6, 7}. Chứng minh rằng nếu tồn tại các tập hợp số nguyên A và
B cùng có n phần tử sao cho A ≠ B nhưng A
(2)
= B
(2)
thì n = 2
k
.
Hướng dẫn: Nếu đặt
∑∑
∈∈
==
Bb
b
Aa
a

xxgxxf )(,)(
thì f
2
(x) - f(x
2
) = g
2
(x) - g(x
2
), f(1) = g(1) = n.
6. (IMOSL 2007) Với số nguyên dương n > 1 xét S = {1, 2, 3, …, n}. Tô các số của S
bằng 2 màu, u số màu đỏ và v số màu xanh. Hãy tìm số các bộ (x, y, z) thuộc S
3
sao cho
a) x, y, z được tô cùng màu;
b) x + y + z chia hết cho n.
Trong bài tập 4.5, ta thấy rằng số cách đặt n quân xe đôi một không ăn nhau lên T \ B sẽ hoàn toàn được
xác định nếu ta tính được r
k
(B). Bài tập dưới đây cho chúng ta phương pháp để tính r
k
(B) thông qua khái
niệm và tính chất của đa thức xe.
Với r
k
(B) được định nghĩa trong bài 4.5, ta đặt
∑
=
=
n

k
k
kB
xBrxr
0
)()(
.
7. (Tính chất cơ bản của đa thức xe)
a) Cho B và C là hai bảng con "không ăn nhau" của T (bảng vuông n × n) (tức là một con
xe nằm ở một ô bất kỳ của B và một con xe nằm ở một ô bất kỳ của C không ăn nhau),
khi đó ta có
r
B
∪
C
(x) = r
B
(x).r
C
(x).
b) Cho B là một bảng con của T, x là một ô thuộc B, C = B \ {x} và D là bảng thu được
từ B bằng cách xóa đi dòng chứa x và cột chứa x. Khi đó ta có
r
B
(x) = r
C
(x) + xr
D
(x).
c) Áp dụng tìm số cách đặt 8 quân xe đôi một không ăn nhau lên bàn cờ 8 × 8, trong đó

không được đặt xe lên hai đường chéo.
7. Quy nạp trong các bài toán tổ hợp
Quy nạp là một phương pháp suy luận quan trọng trong giải toán. Ở mục 5, chúng ta đã sử dụng ý tưởng
quy nạp trong việc xây dựng các công thức truy hồi để giải bài toán đếm. Dưới đây, chúng ta sẽ làm quen
với một số ứng dụng của quy nạp trong việc chứng minh các định lý, tính chất, dự đoán các chiến thuật
trong trò chơi.
1. Cho S = {(x, y) ∈ Z
2
| 0 ≤ x ≤ m, 0 ≤ y ≤ n, x + y > 0}. Chứng minh rằng để phủ tất cả
các điểm của S bằng các đường thẳng không đi qua gốc tọa độ, ta cần ít nhất m + n
đường thẳng.
2. a) (Định lý Mantel – Turan) Chứng minh rằng đồ thị đơn bậc n không chứa tam giác
có không quá






4
2
n
đỉnh.
b) Trong một giải bóng đá có 20 đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt (kết thúc giải
mỗi đội đá với mỗi đội còn lại đúng một trận). Tìm số k lớn nhất sao cho sau mỗi k vòng
đấu (mỗi đội đấu k trận) luôn tìm được 3 đội đôi một chưa đá với nhau.
3. a) Chứng minh rằng bảng vuông 2
n
× 2
n

khuyết một ô bất kỳ luôn có thể phủ kín được
bằng các quân trimino hình chữ L.
b)* Chứng minh rằng nếu n ≠ 5 là số nguyên dương không chia hết cho 3 thì bảng vuông
n × n khuyết một ô bất kỳ có thể phủ kín được bằng các quân trimino hình chữ L.
Hướng dẫn: Hãy quy nạp nhảy cách, từ n > n+6.
4. Mỗi một con đường ở Sikinia đều là một chiều. Mỗi một cặp thành phố được nối bởi
đúng một con đường trực tiếp. Chứng minh rằng tồn tại một thành phố mà từ mọi thành
phố khác ta có thể đến thành phố đó bằng con đường trực tiếp, hoặc đi qua nhiều nhất
một thành phố khác.
Ghi chú: Trên ngôn ngữ đồ thị, có thể phát biểu bài toán như sau - Chứng minh rằng trong một đồ thị có
hướng đầy đủ, tồn tại một đỉnh mà khoảng cách từ 1 đỉnh bất kỳ khác đến nó ≤ 2. Phát biểu một cách
khác nữa: Có n đội bóng chuyền thi đấu vòng tròn một lượt. Khi đó tồn tại một đội bóng A sao cho nếu A
thắng B thì tồn tại C sao cho C thắng A và thua B.
Các bài toán trò chơi chính là dạng toán sử dụng đến quy nạp toán học nhiều nhất. Chú ý là quy nạp toán
học đầy đủ bao gồm hai phần: dự đoán công thức và chứng minh công thức và trong rất nhiều trường hợp,
việc dự đoán công thức đóng vai trò then chốt.
5. Hai người A và B cùng chơi một trò chơi. Ban đầu trên bàn có 100 viên kẹo. Hai người
thay phiên nhau bốc kẹo, mỗi lần được bốc k viên với k ∈ {1, 2, 6} . Hỏi ai là người có
chiến thuật thắng, người đi trước hay người đi sau?
6. a) Trên bảng có số 2010. Hai người A và B cùng luân phiên thực hiện trò chơi sau:
Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá đi số N đang có trên bảng và thay bằng N-1 hoặc [N/2].
Ai thu được số 0 trước là thắng cuộc. Hỏi ai là người có chiến thuật thắng, người đi trước
hay người đi sau.
b) Cùng câu hỏi với luật chơi thay đổi như sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá đi số
N đang có trên bảng và thay bằng N-1 hoặc [(N+1)/2].
7. An và Bình chơi trò đoán số. An nghĩ ra một số nào đó nằm trong tập hợp X = {1, 2,
…, 144}. Bình có thể chọn ra một tập con bất kỳ A của X và hỏi « Số của bạn nghĩ có
nằm trong A hay không ? ». An sẽ trả lời Có hoặc Không theo đúng sự thật. Nếu An trả
lời có thì Bình phải trả cho An 2.000 đồng, nếu An trả lời Không thì Bình phải trả cho An
1.000 đồng. Hỏi Bình phải tốt ít nhất bao nhiêu tiền để chắc chắn tìm ra được số mà An

đã nghĩ ?
8. Phản chứng trong các bài toán tổ hợp
Phương pháp phản chứng có 4 sơ đồ cơ bản như sau
1)
0→⇔ AA
(chứng minh bằng mâu thuẫn)
2)
ABBA →⇔→
(chứng minh bằng mệnh đề phản đảo)
3)
0→∧⇔→ BABA
(sơ đồ 1 áp dụng cho mệnh đề A > B)
4)
ABABA →∨⇔→
(chứng minh bằng mâu thuẫn với giả thiết)
Phép phản chứng đặc biệt hiệu quả trong các bài toán tổ hợp, vì các bài toán này thường có cấu hình lỏng,
phát sinh nhiều trường hợp, rẽ nhánh. Phản chứng giúp chúng ta giảm bớt tối đa các rẽ nhánh.
1. Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được 3 số
x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
2. (IMO 1983) Các điểm trên chu vi tam giác đều ABC được tô bằng một trong hai màu
xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông có các đỉnh được tô cùng màu.
Trong việc chứng minh một số tính chất bằng phương pháp phản chứng, ta có thể có thêm một số thông
tin bổ sung quan trọng nếu sử dụng phản ví dụ nhỏ nhất. Ý tưởng là để chứng minh một tính chất A cho
một cấu hình P, ta xét một đặc trưng f(P) của P là một hàm có giá trị nguyên dương. Bây giờ giả sử tồn tại
một cấu hình P không có tính chất A, khi đó sẽ tồn tại một cấu hình P
0
không có tính chất A với f(P
0
) nhỏ
nhất. Ta sẽ tìm cách suy ra điều mâu thuẫn. Lúc này, ngoài việc chúng ta có cấu hình P

0
không có tính
chất A, ta còn có mọi cấu hình P với f(P) < f(P
0
) đều có tính chất A.
3. Cho ngũ giác lồi ABCDE trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ các đỉnh đều nguyên.
a) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của ngũ giác
(khác với A, B, C, D, E) có toạ độ nguyên.
b) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong ngũ giác có toạ độ nguyên.
c) Các đường chéo của ngũ giác lồi cắt nhau tạo ra một ngũ giác lồi nhỏ A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
bên
trong. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong hoặc trên biên ngũ giác lồi
A
1
B
1
C
1
D
1
E

1
.
4. Trên mặt phẳng đánh dấu một số điểm. Biết rằng 4 điểm bất kỳ trong chúng là đỉnh
của một tứ giác lồi. Chứng minh rằng tất cả các điểm được đánh dấu là đỉnh của một đa
giác lồi.
Phương pháp phản chứng thường được kết hợp hiệu quả với các nguyên lý chứng minh khác như nguyên
lý bất biến, nguyên lý Dirichlet, chứng minh bằng tô màu, đếm bằng hai cách.
5. Xét hình vuông 7 × 7 ô. Chứng minh rằng ta có thể xoá đi một ô để phần còn lại không
thể phủ kín bằng 15 quân trimino kích thước 1 × 3 và 1 quân trimino hình chữ L.
Hướng dẫn: Tô màu!
6. Hình tròn được bởi 5 đường kính thành thành 10 ô bằng nhau. Ban đầu trong mỗi ô có
1 viên bi. Mỗi lần thực hiện, cho phép chọn 2 viên bi bất kỳ và di chuyển chúng sang ô
bên cạnh, 1 viên theo chiều kim đồng hồ và 1 viên ngược chiều kim đồng hồ. Hỏi sau
một số hữu hạn lần thực hiện, ta có thể chuyển tất cả các viên bi về cùng 1 ô được không?
Hướng dẫn: Tô màu và bất biến!
7. Ta viết vào các ô của bảng 10 × 10 các chữ số 0, 1, 2, 3, , 9 sao cho mỗi chữ số xuất
hiện 10 lần.
a) Tồn tại hay không một cách viết mà trong mỗi hàng và mỗi cột xuất hiện không
quá 4 chữ số khác nhau?
b) Chứng minh rằng tồn tại một dòng hoặc một cột trong đó có ít nhất 4 chữ số
khác nhau.
Hướng dẫn: Phản chứng kết hợp với đếm bằng hai cách. Gọi a
n
là số dòng chứa n và b
n
là số cột chứa n
thì a
n
.b
n

≥ 10.
9. Nguyên lý Dirichlet
Nguyên lý chuồng và thỏ (hay còn được gọi là nguyên lý Dirichlet) khẳng định một sự kiện “hiển nhiên”
rằng n+1 con thỏ không thể được xếp vào n chuồng sao cho mỗi con thỏ đều ở riêng một chuồng. Một
cách tổng quát hơn, nguyên lý chuồng và thỏ khẳng định rằng:
Nếu một tập hợp gồm nhiều hơn kn đối tượng được chia thành n nhóm, thì có một nhóm nào đó có nhiều
hơn k đối tượng.
Chân lý này rất dễ kiểm tra: nếu nhóm nào cũng có nhiều nhất k đối tượng thì tổng cộng chỉ có nhiều nhất
kn đối tượng được chia ra.
Đây là một trong những nguyên lý không xây dựng (non-constructive) lâu đời nhất: nó chỉ nói đến sự tồn
tại của một chuồng trong đó có nhiều hơn k vật mà không nói gì đến cách tìm ra chuồng này. Ngày nay
chúng ta đã có những tổng quát hóa rất mạnh của nguyên lý này (các định lý kiểu Ramsey, phương pháp
xác suất…).
Mặc dù nguyên lý chuồng và thỏ được phát biểu rất đơn giản, nó có hàng loạt các ứng dụng không tầm
thường. Cái khó của việc ứng dụng nguyên lý này là xác định được xem thỏ là gì và chuồng là gì.
1. Trong một giải bóng chuyền có 8 đội tham gia, thi đấu vòng tròn 1 lượt. Chứng minh
rằng tìm được 4 đội A, B, C, D sao cho A thắng B, C, D, B thắng C, D và C thắng D.
2. a) Chứng minh rằng trong 6 người bất kỳ luôn có 3 người đôi một quen nhau hoặc 3
người đôi một không quen nhau. Chứng minh điều này nói chung không đúng với 5
người.
b) Chứng minh rằng trong 9 người bất kỳ luôn tìm được 3 người đôi một quen nhau hoặc
4 người đôi một không quen nhau. Chứng minh điều này nói chung không đúng với 8
người.
Với mỗi cặp số nguyên dương (m, n), ta chứng minh được tồn tại số R(m,n) nhỏ nhất sao cho trong
R(m,n) người bất kỳ, luôn tìm được m người đôi một quen nhau hoặc n người đôi một không quen nhau.
Số này gọi là số Ramsey. Theo hai bài tập trên thì R(3, 3) = 6, R(3, 4) = 9.
c) Chứng minh rằng R(3, 5) = 14, R(4, 4) = 18, R(3, 6) = 18.
d) (Erdos) Chứng minh rằng R(r, s) ≤ R(r-1,s) + R(r, s-1), từ đó suy ra
1
2

),(
−
−+
≤
r
sr
CsrR
.
3. (IMO 1972) Chứng minh rằng từ 10 số có hai chữ số, ta luôn có thể chọn được hai tập
con khác rỗng rời nhau có tổng các phần tử bằng nhau.
Khi ứng dụng Nguyên lý Dirichlet trong các bài toán có yếu tố hình học, ta thường xây dựng chuồng bằng
cách chia hình ra thành các thành phần nhỏ hơn.
4. a) Chứng minh rằng trong 6 điểm bất kỳ nằm trong hình chữ nhật 3 × 4, luôn tìm được
2 điểm có khoảng cách không lớn hơn
.5

b) Cho 9 điểm nằm trong hình vuông cạnh 1. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có
đỉnh tại các điểm đã cho có diện tích không vượt quá 1/8.
c) Với i = 1, 2, , 7, ta có a
i
, b
i
là các số không âm sao cho a
i
+ b
i
≤ 2. Chứng minh rằng
tồn tại hai chỉ số i ≠ j sao cho |a
i
- a

j
| + |b
i
- b
j
| ≤ 1.
d) (VMO 2011) Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài mỗi cạnh và độ dài các đường chéo
AC, AD không vượt quá
3
. Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó.
Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho
chứa ít nhất 403 điểm trong số các điểm đã lấy.
e) Chứng minh rằng trong bài toán trên, kết quả vẫn đúng nếu thay 403 bằng 503.
Nguyên lý Dirichlet còn có một dạng khác: Nếu A, B là các tập con của X và |A| + |B| > |X| thì A và B có
phần tử chung.
5. a) Chứng minh rằng từ n số nguyên bất kỳ luôn tìm được một số hoặc một số số có
tổng chia hết cho n.
b) Chứng minh rằng từ 9 số nguyên bất kỳ luôn tìm được 5 số có tổng chia hết cho 5.
c) Chứng minh rằng trong 70 số nguyên dương không lớn hơn 200, luôn tìm được hai số
có hiệu bằng 4, 5 hoặc 9.
d) Chọn ra 69 số nguyên dương từ tập hợp E = {1, 2, …, 100}. Chứng minh rằng tồn tại 4
số a < b < c < d trong 4 số được chọn sao cho a + b + c = d. Kết luận bài toán còn đúng
không nếu ta thay 69 bằng 68?
6*. Trên bàn cờ quốc tế có 8 quân xe, đôi một không ăn nhau. Chứng minh rằng trong
các khoảng cách đôi một giữa các quân xe, có hai khoảng cách bằng nhau. Khoảng cách
giữa hai quân xe bằng khoảng cách giữa tâm các ô vuông mà quân các quân xe đứng.
7. (Định lý Erdos-Szekeres) Cho A = (a
1
, a
2

,…, a
n
) là dãy gồm n số thực phân biệt. Nếu n
≥ rs + 1 thì hoặc A có dãy con tăng độ dài s+1 hoặc A có dãy con giảm độ dài r+1 (hay cả
hai).
10. Nguyên lý cực hạn
Một tập hợp hữu hạn các số thực luôn có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất. Một tập con bất kỳ của N
luôn có phần tử nhỏ nhất. Nguyên lý đơn giản này trong nhiều trường hợp rất có ích cho việc chứng minh.
Hãy xét trường hợp biên! Đó là khẩu quyết của nguyên lý này.
1. Cho n điểm xanh và n điểm đỏ trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng. Chứng minh rằng ta có thể nối 2n điểm này bằng n đoạn thẳng có đầu mút khác
màu sao cho chúng đôi một không giao nhau.
2. Có 3 trường học, mỗi trường có n học sinh. Mỗi một học sinh quen với ít nhất n+1 học
sinh từ hai trường khác. Chứng minh rằng người ta có thể chọn ra từ mỗi trường một bạn
sao cho ba học sinh được chọn đôi một quen nhau.
Nguyên lý cực hạn có thể được ứng dụng để chứng minh một quá trình là dừng (trong bài toán liên quan
đến biến đổi trạng thái), trong bài toán về đồ thị, hay trong các tình huống tổ hợp đa dạng khác. Các đối
tượng thường được đem ra để xét cực hạn thường là: đoạn thẳng ngắn nhất, tam giác có diện tích lớn nhất,
góc lớn nhất, đỉnh có bậc lớn nhất, chu trình có độ dài ngắn nhất …
3. (Định lý Sylvester) Cho tập hợp S gồm hữu hạn các điểm trên mặt phẳng thỏa mãn tính
chất sau: Một đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc S đều đi qua ít nhất một điểm thứ ba
thuộc S. Khi đó tất cả các điểm của S nằm trên một đường thẳng.
4. (Trận đấu toán học Nga 2010) Một quốc gia có 210 thành phố. Ban đầu giữa các thành
phố chưa có đường. Người ta muốn xây dựng một số con đường một chiều nối giữa các
thành phố sao cho: Nếu có đường đi từ A đến B và từ B đến C thì không có đường đi từ
A đến C. Hỏi có thể xây dựng được nhiều nhất bao nhiêu đường?
5. Trong quốc hội Mỹ, mỗi một nghị sĩ có không quá 3 kẻ thù. Chứng minh rằng có thể
chia quốc hội thành 2 viện sao cho trong mỗi viện, mỗi một nghị sĩ có không quá một kẻ
thù.
6. 2n+1 người tham gia trò chơi bắn súng sơn trên một cánh đồng. Biết rằng khoảng cách

giữa họ đôi một khác nhau và mỗi người bắn vào người gần mình nhất. Chứng minh rằng
a) Có ít nhất một người không bị bắn;
b) Không ai bị bắn quá 5 phát;
c) Đường đi của các viên đạn không cắt nhau;
d) Tập hợp các đoạn thẳng tạo bởi đường đi các viên đạn không chứa một miền đóng.
7. Trong mặt phẳng cho 100 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng
ba điểm bất kỳ trong chúng tạo thành một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng
minh rằng ta có thể phủ tất cả các điểm đã cho bằng một tam giác có diện tích 4.
11. Nguyên lý đếm bằng hai cách
Kỹ thuật đếm bằng hai cách là một kỹ thuật khá thông dụng trong toán học dựa trên nguyên lý cơ bản:
một đại lượng luôn có nhiều cách tính khác nhau, tùy theo cách ta nhìn nhận đối tượng. Và điều quan
trọng là tất cả các cách tính đó đều cho ra một kết quả như nhau. Nhờ vào điều này mà ta có thể thiết lập
ra các mối liên hệ, các phương trình, các bất đẳng thức, chứng minh các hằng đẳng thức.
1. Tại một hội nghị có 100 đại biểu. Trong số đó có 15 người Pháp, mỗi người quen với ít
nhất 70 đại biểu và 85 người Đức, mỗi người quen với không quá 10 đại biểu. Họ được
phân vào 21 phòng. Chứng minh rằng có một phòng nào đó không chứa một cặp nào
quen nhau.
Bản chất tổ hợp của
k
n
C
chính là số cách chọn ra k phần tử (không sắp thứ tự) từ một tập hợp gồm n phần
tử, hay nói cách khác số tập con k phần tử của một tập hợp gồm n phần tử. Hiểu rõ bản chất này, chúng ta
có thể chứng minh hàng loạt các công thức chứa
k
n
C
bằng cách giải cùng một bài toán bằng hai cách khác
nhau.
2. Chứng minh các đẳng thức sau bằng phương pháp tổ hợp

a)
k
n
k
n
k
n
CCC
1
1
+
−
=+
b)
1
1
2.
−
=
=
∑
n
n
k
k
n
nkC
c)
∑
=

=
n
k
n
n
k
n
CC
0
2
2
)(
d)*
[ / 2]
2
2
0
. .2
n
i i n i n
n n i n
i
C C C
−
−
=
=
∑
e)
2 1

2 1
1
( )
n
k n
n n
k
k C nC
−
−
=
=
∑
f)*
1
1 1
1
1
n m
m m
n i n
i
iC C
− +
− +
− +
=
=
∑

Trong tổ hợp
2
n
C
là số các cặp tạo thành từ n phần tử, là số cạnh của đồ thị đầy đủ bậc n. Trong nhiều bài
toán, sử dụng ý nghĩa tổ hợp này cùng với cách đếm bằng hai cách giúp chúng ta tìm ra chìa khoá cho lời
giải.
3. (Bulgarian MO 2006) Một quốc gia có 16 thành phố và có 36 tuyến bay nối giữa
chúng. Chứng minh rằng ta có thể tổ chức một chuyến bay vòng quanh giữa 4 thành phố.
4. a) Có 8 cái hộp, mỗi cái hộp có 6 viên bi thuộc một trong n màu. Biết rằng không có
hai viên bi cùng màu trong 1 hộp và không có hai màu xuất hiện trong quá 1 hộp. Tìm giá
trị nhỏ nhất của n.
b) Trong quốc hội có n thành viên. Người ta tổ chức 8 cuộc họp (tiếp nối nhau), mỗi cuộc
họp có 6 người tham dự. Biết rằng 2 thành viên bất kỳ không họp chung với nhau quá 1
lần, tìm GTNN của n.
c) Trong Duma quốc gia có 1600 đại biểu, lập thành 16000 ủy ban, mỗi ủy ban có 80 đại
biểu. Chứng minh rằng có ít nhất hai ủy ban có không dưới 4 thành viên chung.
Lý thuyết về phương pháp đếm bằng hai cách được tập hợp trong bài toán dưới đây
5. (Ma trận liên thuộc và ứng dụng)
a) Cho A = (a
ij
) là ma trận r × c với R
i
, i = 1, 2, , r là tổng các dòng; C
j
, j = 1, 2, , c là
tổng các cột. Khi đó ta có
∑∑
==
=

c
j
j
r
i
i
CR
11
.
b) Cho F là họ các tập con của X. Với x thuộc x, ta gọi d(x) là số phần tử của F chứa x.
Khi đó ta có:
∑∑
∈∈
=
XxFA
xdA )(||
.
c) Cho A = (a
ij
) là ma trận (0, 1) r × c với C
j
là tổng các cột. Giả sử rằng với hai dòng bất
kỳ, có đúng t cột chứa 1 trong cả hai dòng đó, khi đó ta có:
∑
=
=
c
j
Cr
j

CtC
1
22
d) Cho A = (a
ij
) là ma trận r × c với R
i
, i = 1, 2, , r là tổng các dòng; C
j
, j = 1, 2, , c là
tổng các cột. Chứng minh rằng nếu R
i
> 0 với mọi i = 1, 2, , r thì
∑
=
ji
i
ij
r
R
a
,
. Tương tự
nếu C
j
> 0 với mọi j = 1, 2, , c thì
∑
=
ji
j

ij
c
C
a
,
.
e) Cho A = (a
ij
) là ma trận (0, 1) r × c với R
i
, i = 1, 2, , r là tổng các dòng; C
j
, j = 1, 2, ,
c là tổng các cột, R
i
> 0 với mọi i = 1, 2, , r; C
j
> 0 với mọi j = 1, 2, , c. Chứng minh
rằng nếu C
j
≥ R
i
khi a
ij
= 1 thì r ≥ c.
6. (IMC 2002) 200 học sinh tham dự một cuộc thi giải toán. Họ giải 6 bài toán. Biết rằng
mỗi một bài toán có ít nhất 120 học sinh giải được. Chứng minh rằng tồn tại hai học sinh
mà hợp lại giải hết cả 6 bài toán.
7*. Cho X là tập hợp với | X | = n và A
1

, A
2
, …, A
m
là các tập con của X sao cho
i) | A
i
| = 3 với mọi i = 1, 2, …, m.
ii) | A
i
∩ A
j
| ≤ 1 với mọi i ≠ j.
Chứng minh rằng tồn tại A thuộc X, A chứa ít nhất
[ 2 ]n
phần tử sao cho A không chứa
A
i
với mọi i = 1, 2, …, m.
12. Bất biến và đơn biến
Nhiều bài toán trò chơi hay biến đổi trạng thái được giải quyết một cách khá hiệu quả nhờ khái niệm bất
biến, đơn biến.
Cho tập hợp Ω (tập hợp các trạng thái) và tập hợp T (tập hợp các phép biến đổi) các ánh xạ từ Ω  Ω.
Hàm số f: Ω  R được gọi là bất biến đối với cặp (Ω, T) nếu ta có f(t(ω)) = f(ω) với mọi ω thuộc Ω và
với mọi t thuộc T.
Nguyên lý bất biến: Nếu f là một bất biến của (Ω, T) và f(ω’) ≠ f(ω) thì ω’ không thể thu được từ ω
thông quan các phép biến đổi T.
1. Xét một bảng vuông 4 x 4 ô. Tại mỗi ô của bảng vuông có chứa dấu “+” hoặc dấu “-”.
Mỗi một lần thực hiện, cho phép đổi dấu của tất cả các ô trên cùng một hàng hoặc cùng
một cột.

a) Giả sử bảng vuông ban đầu có 1 dấu “+” và 15 dấu “-”. Hỏi có thể đưa bảng ban đầu
về bảng có toàn dấu cộng được không?
b) Giả sử bảng vuông có toàn dấu "+". Hỏi có thể đưa bảng ban đầu về bảng có 2 dấu -
được không?
c) Giả sử bảng vuông có toàn dấu "+". Với những giá trị nào của k thì có thể đưa bảng
ban đầu về bảng có k dấu -?
2. Trên bảng có các số 1/96, 2/96, 3/96, …, 96/96. Mỗi một lần thực hiện, cho phép xoá
đi hai số a, b bất kỳ trên bảng và thay bằng a + b – 2ab. Hỏi sau 95 lần thực hiện phép
xoá, số còn lại trên bảng là số nào?
Bất biến f đối với cặp (Ω, T) được gọi là bất biến toàn năng nếu:
Trạng thái ω
f
có thể đưa về từ trạng thái ω
s
bằng các phép biến đổi T khi và chỉ khi f(ω
f
) = f(ω
s
).
Bất biến toàn năng sẽ giúp chúng ta giải quyết trọn vẹn bài toán “chuyển được”. Tuy nhiên, việc xây
dựng một bất biến như vậy không đơn giản. Trong nhiều trường hợp, sẽ dễ dàng hơn khi chúng ta xét đến
một hệ bất biến toàn năng.
Định nghĩa. Hệ các bất biến (f
1
, f
2
, …, f
k
) đối với cặp (Ω, T) được gọi là hệ bất biến toàn năng nếu: Trạng
thái ω

f
có thể đưa về từ trạng thái ω
s
bằng các phép biến đổi T khi và chỉ khi f
i
(ω
f
) = f
i
(ω
s
) với mọi i = 1,
2, …, k.
Một khái niệm quan trọng khác có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các bất biến, đó là khái niệm
quỹ đạo. Trên Ω, ta đưa ra quan hệ “chuyển được” như sau: Ta nói trạng thái ω
s
có thể chuyển được về
trạng thái ω
f
bằng các phép biến đổi T nếu tồn tại một dãy các phép biến đổi t
1
, t
2
, …, t
m
thuộc T sao cho
ω
f
= t
k

(t
k-1
(…(t
1
(ω
s
)…))
Khi đó ta viết ω
s

T
ω
f
.
Trong nhiều trường hợp, quan hệ 
T
có tính phản xạ (ω
s
có thể đưa về ω
s
bằng cách … không làm gì cả),
bắc cầu (thực hiện phép hợp các phép biến đổi) và đối xứng (nếu các phép biến đổi T là khả nghịch).
Trong trường hợp đó 
T
là một quan hệ tương đương và ta sẽ viết ω
s
~
T
ω
f

thay vì ω
s

T
ω
f
. Với quan
hệ tương đương này, Ω sẽ được chia thành các lớp tương đương, có đại diện là ω
1
, ω
2
, …, ω
p
, ký hiệu là
Ω
i
= { ω ∈ Ω| ω ~
T
ω
i
}. Ta gọi Ω
i
là các quỹ đạo sinh bởi ω
i
. Dễ thấy hai quỹ đạo bất kỳ hoặc trùng
nhau, hoặc không giao nhau.
3. Xét tiếp bài toán 1.
a) Tập trạng thái có bao nhiêu phần tử? Có bao nhiêu quỹ đạo?
b) Hãy tìm một hệ bất biến toàn năng.
4. Hình tròn được chia thành n ô. Trên mỗi ô có một viên sỏi. Mỗi một bước đi cho phép

chọn hai viên sỏi và chuyển sang ô bên cạnh, một viên chuyển theo chiều kim đồng hồ,
một viên chuyển ngược chiều kim đồng hồ. Ta muốn bằng những bước đi như vậy
chuyển tất cả các viên sỏi về cùng một ô.
a) Chứng minh rằng nếu n lẻ thì điều này luôn thực hiện được.
b) Chứng minh rằng nếu n = 4k+2 thì điều này không thực hiện được.
c)* Nếu n = 4k thì có thực hiện được không?
Ngược lại với bất biến, đơn biến là đại lượng luôn tăng (hoặc không giảm, hoặc luôn giảm, hoặc không
tăng) trong quá trình biến đổi. Đơn biến thường được dùng để chứng minh một quá trình phải dừng, hoặc
để đánh giá kết quả cuối cùng của một quá trình.
5. (PTNK 2010) Xét số tự nhiên n ≥ 2. Bắt đầu các số 1, 2, …, 2n-1, 2n ta thực hiện các
phép biến đổi như sau: Chọn 2 số a, b sao cho a – b ≥ 2, xóa hai số này và thay bằng hai
số a – 1, b + 1; với bộ số thu được, ta lại thực hiện phép biến đổi tương tự, và cứ như vậy.
a) Chứng minh rằng sau một số lần thực hiện các phép biến đổi như trên, ta phải
đạt đến trạng thái dừng, tức là không thể thực hiện được một phép biến đổi nào
nữa.
b) Gọi k là số phép biến đổi cần thực hiện để đạt đến trạng thái dừng. Hãy tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của k.
6. a) Trên bảng có n số 1. Mỗi lần thực hiện cho phép xóa đi hai số x, y bất kỳ và thay
bằng
4
yx +
. Sau n-1 lần thực hiện, trên bảng còn lại số a. Chứng minh rằng
.
1
n
a ≥
b)* Khi n = 10, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của a.
c) (Đà Nẵng 2012) Cho các số 1, 2, 3,…, n. Chúng ta thực hiện việc xóa hai số bất kì trên
bảng và thay bằng số mới bằng 2 lần tổng của hai số đó. Cứ tiếp tục quá trình như vậy
cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số. Số cuối cùng trên bảng chính là số kẹo mà học

sinh nhận được. Chứng minh rằng số kẹo đó luôn lớn hơn
9
4
3
n
với mọi số tự nhiên n lớn
hơn hoặc bằng 2.
7.* (IMO 1986) Tại mỗi đỉnh của một ngũ giác lồi ta viết một số nguyên sao cho tổng của
tất cả 5 số là dương. Nếu 3 đỉnh liên tiếp được ghi các số x, y, z tương ứng và y < 0 thì ta
được phép thực hiện biến đổi sau: các số x, y, z được thay bằng các số x+y,−y, z+y
tương ứng. Các phép biến đổi đó được lặp lại khi mà có ít nhất một trong 5 số là âm. Xác
định xem quá trình này có nhất thiết dừng lại sau một số hữu hạn các bước hay không?
13. Chứng minh bằng tô màu
Nhiều bài toán về phủ hình có thể giải quyết khá hiệu quả bằng cách tô màu. Sử dụng bao nhiêu màu và
tô như thế nào sẽ phụ thuộc vào các điều kiện cụ thể của bài toán. Chứng minh tô màu thường kết hợp tốt
với các phương pháp khác như phản chứng, đếm bằng hai cách.
1. a) Chứng minh rằng bàn cờ quốc tế 8 × 8 bỏ đi ô a1 và h8 không thể phủ kín bằng 31
quân đô-mi-nô.
b) Có bao nhiêu cách chọn 2 ô của bàn cờ quốc tế để phần còn lại có thể phủ kín bằng 31
quân đô-mi-nô?
c)* Cũng câu hỏi trên với điều kiện bổ sung: Hai cách chọn được coi là giống nhau nếu
chúng có thể thu được từ nhau qua một phép quay.
2. a) Chứng minh rằng bàn cờ 10 × 10 không thể phủ kín bằng 25 quân tetramino hình
chữ T.
b) Chứng minh rằng bàn cờ 8 × 8 không thể phủ kín bằng 15 quân tetramino hình chữ T
và 1 quân tetramino hình vuông.
c) Chứng minh rằng bàn cờ 10 × 10 không thể phủ kín bằng 25 quân tetramino hình chữ
I.
3. Xét hình vuông 7 × 7 ô. Chứng minh rằng ta có thể xoá đi một ô để phần còn lại không
thể phủ kín bằng 15 quân trimino kích thước 1 × 3 và 1 quân trimino hình chữ L.

4. Đỉnh của một ngũ giác lồi là các điểm nguyên và các cạnh của ngũ giác là các số
nguyên. Chứng minh rằng chu vi ngũ giác là số chẵn.
Trong một số bài toán, thay vì tô màu, ta có thể dùng cách điền các luỹ thừa của căn bậc n của đơn vị vào
các ô căn bậc rồi tính tổng các số được điền bằng hai cách để suy ra các kết luận. Tính chất căn bản ta
dùng ở đây là: Nếu ε là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì 1 + ε + + ε
n-1
= 0.
5. a) Chứng minh rằng hình chữ nhật a × b phủ kính được bằng các hình chữ nhật 1 × n
khi và chỉ khi hoặc n | a, hoặc n | b.
b) Hình vuông 8 × 8 được phủ bằng 21 hình chữ nhật 1 × 3. Hỏi ô trống còn lại có thể là
ô nào?
6. Hình vuông 6 × 6 được phủ bởi các quân đô-mi-nô 2 × 1. Chứng minh rằng luôn có thể
tìm được 1 đường thẳng cắt ngang hoặc cắt dọc hình vuông mà không cắt qua bất cứ một
đô-mi-nô nào.
7*. (Vietnam TST 2010) Gọi mỗi hình chữ nhật kích thước 1×2 (hoặc 2×1) là một hình
chữ nhật đơn. Gọi mỗi hình chữ nhật kích thước 2×3 (hoặc 3×2) bị khuyết hai ô vuông
1×1 ở hai góc đối nhau là một hình chữ nhật khuyết.
Biết rằng người ta có thể ghép khít một số hình chữ nhật đơn và một số hình chữ nhật
khuyết với nhau để tạo thành một hình chữ nhật kích thước 2008×2010. Hỏi để ghép
được như vậy, cần phải dùng ít nhất bao nhiêu hình chữ nhật đơn ?
14. Bài tập tổng hợp 1
1. (VMO 2001, bảng B) Cho bảng ô vuông kích thước 2000 × 2001. Hãy tìm số nguyên
dương k lớn nhất sao cho ta có thể tô màu k ô vuông con của bảng thỏa mãn điều kiện:
hai ô vuông con nào được tô màu cũng không có đỉnh chung.
2. (VMO 2002, bảng B) Cho S là tập hợp tất cả các số nguyên trong đoạn [1, 2002]. Gọi
T là tập hợp tất cả các tập con khác rỗng của S. Với mỗi tập hợp X thuộc T, ký hiệu m(X)
là trung bình cộng tất cả các số thuộc X. Đặt
||
)(
T

Xm
m
TX
∑
∈
=
, hãy tìm giá trị của m.
3. (Vũng Tàu 2009) Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị,
người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n. Gọi S(m;n) là
số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có
ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
S(m;n).
4. (Hưng Yên 2012, vòng chung khảo) Trong mặt phẳng cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n≥4) sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên 1
đường tròn. Gọi a
t
(1 ≤ t ≤ n) là số các đường tròn ngoại tiếp tam giác A
i
A
j
A
k
(1 ≤ i < j <
k ≤ n) chứa điểm A
t

. Đặt N = a
1
+ a
2
+ … + a
n
. Chứng minh rằng các điểm A
1
, A
2
, , A
n
là các đỉnh của một đa giác lồi khi và chỉ khi
12
6116
234
nnnn
N
−+−
=
.
5. Hai người A và B cùng chơi một trò chơi. Ban đầu trên bàn có 100 viên kẹo. Hai người
thay phiên nhau bốc kẹo, mỗi lần được bốc k viên với k ∈ {1, 2, 6} . Hỏi ai là người có
chiến thuật thắng, người đi trước hay người đi sau?
6. Có n đội bóng thi đấu vòng tròn 1 lượt. Hãy lập lịch thi đấu gồm n-1 vòng đấu sao cho
trong mỗi vòng, mỗi đội chỉ thi đấu nhiều nhất 1 trận.
7. Cho 2n+1 máy tính. Hai máy tính bất kỳ được nối với nhau bởi một sợi dây. Chứng
minh rằng có thể tô các máy tính và các sợi dây bằng 2n+1 màu sao cho:
i) Các máy tính được tô màu khác nhau
ii) Các sợi dây xuất phát từ cùng một máy tính được tô màu khác nhau

iii) Hai máy tính và sợi dây nối chúng được tô màu khác nhau.
8. (Việt Nam TST 2009) Có 6n+4 nhà toán học tham dự 1 hội nghị, trong đó có 2n+1
buổi thảo luận. Mỗi buổi thảo luận đều có 1 bàn tròn cho 4 người ngồi và n bàn tròn cho
6 người ngồi. Biết rằng 2 người bất kỳ không ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau quá 1
lần.
a. Hỏi có thể thực hiện được không với n=1?
b. Hỏi có thể thực hiện được không với n>1?
9. Có ba lớp học A, B, C, mỗi lớp có 30 học sinh. Biết rằng một học sinh bất kỳ đều quen
với ít nhất 31 học sinh khác lớp. Chứng minh rằng tồn tại ba học sinh a, b, c lần lượt
thuộc lớp A, B, C sao cho họ đôi một quen nhau.
10. Cho n là số nguyên dương. Ta nói số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện C
n
nếu tồn
tại 2k số nguyên dương phân biệt a
1
, b
1
, , a
k
, b
k
sao cho a
1
+ b
1
, , a
k
+b
k
cũng phân biệt

và nhỏ hơn n.
(a) Chứng minh rằng nếu k thỏa mãn điều kiện C
n
thì k ≤ (2n-3)/5.
(b) Chứng minh rằng 5 thỏa mãn điều kiện C
14
.
(c) Giả sử rằng (2n-3)/5 nguyên. Chứng minh rằng (2n-3)/5 thoả mãn điều kiện C
n
.
11. Cho n là một số tự nhiên ≥ 2. Xét tập hợp W = {(x
1
, x
2
, …, x
n
) | x
i
∈ Z). Với mỗi
x = (x
1
, x
2
, …, x
n
) ∈ W ta đặt
U
x
= { y = (y
1

, y
2
, …, y
n
) ∈ W | |x
1
– y
1
| + |x
2
– y
2
| + … + |x
n
– y
n
| ≤ 1}
Chứng minh rằng tồn tại một tập con W
0
của W sao cho với mọi x thuộc W ta có
| U
x
∩ W
0
| = 1.
12. Trong một nhóm n người có 3 người đôi một quen nhau và mỗi một người này quen
nhiều hơn 1 nửa số người trong nhóm. Tìm số ít nhất có thể số bộ ba người đôi một quen
nhau.