Chuyên đề KHOẢNG CÁCH ĐẶC BIỆT trong không gian mới nhất

HÌNH HỌC – HỌC HÌNH CŨNG GIỐNG NHƯ TÌM CÁCH ĐỂ U MỘT CƠ GÁI VẬY

CHUN ĐỀ HÌNH
HỌC
Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT 

XẠO TỤI MÀY ƠI, KHƠNG HỌC THÌ NGỒI ĐĨ MÀ CHỜ
GIỎI.
CHĂM CHỈ NHƯNG PHẢI CÓ TƯ DUY NỮA CHỚ!!

CHUYÊN ĐỀ DÀNH CHO ÔN THI
TỐT NGHIỆP VÀ TUYỂN SINH ĐẠI
HỌC

CHĂM HỌC
MÀ VẪN
DỐT NÈ!

TƯ DUY TỐT VỀ TOÁN HỌC
LÀ ĐIỀU MÀ TƠI MONG
CÁC BẠN CĨ ĐƯỢC KHI
ĐỌC CHUN ĐỀ LẦN NÀY.
CÁC BÀI TOÁN LÀ CÁC
CÁCH GIẢI DẪN CÁC EM
ĐÊN VỚI TƯ DUY BÀI TỐN
CHỨ KHƠNG PHẢI LÀ
TRÌNH BÀY 1 BÀI TỐN.

Ờ! HỌC
NHIỀU
CŨNG CHẢ

HIỂU NỮA!

BAN ĐẦU ĐA PHẦN LÀ KHÓ, KHÓ TRONG CÁCH TIẾP CẬN, KHĨ TRONG CÁCH HIỂU ĐƯỢC CƠ
GÁI VÀ KHĨ CẢ TRONG CÁCH TÌM PHƯƠNG PHÁP HĨA GIẢI CƠ GÁI ĐÓ.
Vậy mấu chốt ở đây là người nào nắm giữ trong tay mình những thủ thuật và cách tư duy tìm hiểu một cách
khoa học thì sẽ có được sự tiến bộ để sở hữu giá trị cần tìm.
Trần Mậu Tú – Nghiên cứu ứng dụng kỹ thuật tạo hưng phấn trong học tập.


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

XIN CHÀO CÁC BẠN HỌC SINH THÂN QUÝ.
Lần này tôi xin được biên soạn chuyên đề hình học về khoảng cách, đây là 1
vấn đề hay gặp trong các đề thi đại học và thi tốt nghiệp, đặc biệt trong xu thế đổi
mới cách ra đề như hiện nay thì vấn đề tơi muốn nói ở đây là các bài toán khoảng
cách ở dạng: Dùng để tính thể tích khối đa diện và dùng để tính khoảng cách nào đó
theo u cầu bài tốn. Tơi xin đề cập đến khía cạnh này vì có 1 số bài tốn gặp phải
tính khoảng cách làm nhiều em học sinh tốt mồ hơi.
Các bài tốn sẽ đi từ rất dễ đến khá đến khó và đến cực khó. Tài liệu này phù
hợp với học sinh có học lực TRUNG BÌNH và KHÁ dùng cho ƠN THI QUỐC GIA.
Ở chuyên đề lần này các em không chỉ được học kiến thức về tốn mà cịn tìm
hiểu về phương pháp học cũng như các cách để có thể nâng cáo khả năng tự học,
cách để trở nên ĐỘT PHÁ hơn trong học tập.
Tất nhiên trong quá trình biên soạn sẽ khơng tránh khỏi những sai sót, mong
các em đọc và cho ý kiến chỉ giáo qua địa chỉ: 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT1


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

MỤC LỤC:

Phần 1: Kỷ năng cho bạn.



Ơn lại kiến thức về khoảng cách trong khơng gian.



5 kỹ năng cần thiết cho việc học đối với học sinh bình thường là gì?

 Lên tinh thần để bắt đầu buổi học.

Phần 2: Các bài tốn tính khoảng cách để áp dụng tính thể tích khối đa
diện và các bài tốn khác tính khoảng cách .

Phần 3:

Ơn thi và tâm lý phịng thi.

 Phương pháp ơn thi cấp tốc
 Tâm lý phòng thi.
Phần 4: Giới thiệu cho bạn những điều bí mật.
 Bàn tay chiến lược.
 Bí quyết vượt qua chán nản.

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT2


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Phần 1: Kỷ năng cho bạn.
Sau đây là một số kiến thức liên quan tới chun đề lần này của chúng ta. Đây là 
những gì cần thiết nhất để chúng ta đi giải quyết các bài tốn và các cách học, nâng cao 
khả năng tự mày mị của các em hơn. 

 Ơn lại kiến thức về khoảng cách trong khơng gian.
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng. 
- Khoảng cách từ  một đường thẳng tới mặt phẳng song song với nó. 
- Khoảng cách từ hai mặt phẳng song song 
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
 Các em xem lại sách giáo khoa để tìm hiểu kỹ lại những điều trên. Ngồi ra cần 

nắm chắc kiến thức để chúng ta học tập được hiệu quả hơn. 
 
 Năm kỹ năng cần thiết cho việc học đối với học sinh bình thường là gì?
  Ở đây chúng ta sẽ được tìm hiểu về 5 kỹ năng quan trọng cho việc học tập trở 
nên tốt hơn. Các em sẽ tìm hiểu về những điều gì sẽ giúp ích cho việc học trở nên 
hiệu quả hơn. Tìm ra những nguồn động lực cũng như các kỹ năng quan trọng trong 
việc học. Khi đọc những kỹ năng này điều lưu ý dành cho các em đó chính là phải 
thực hiện được một số điều mà tơi đã đề ra cho các em. 
  Các kỹ năng này đi giúp các em có phương pháp học tốt hơn, cải thiện tình hình 
học tập của mình và đối với bản thân các em sẽ biết nên làm gì khi đọc qua các kỹ 
năng  này.  Hi  vọng  nó  sẽ  giúp  ích  cho  các  em  trong  chuyên  đề  lần  này  cũng  như  
việc học của các em hiệu quả hơn. 
  

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT3


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

TỔNG QUAN 5 KỸ NĂNG QUAN TRỌNG

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT4


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

 

 

 

Kỹ năng thức khuya dậy sớm

  Đây  là  kỹ  năng  quan  trọng  mà  một  học  sinh  bình  thường  muốn  đột  phá  hơn 
trong học tập cần có được. Sự thơng minh khơng hẳn là ai cũng có, vì thế chúng ta 
cần phải cần cù mỗi ngày, chăm học và thức khuya để học bài, dậy sớm đi học đúng 

giờ. Đó là kỹ năng đầu tiên nên làm được. Dù rằng mọi người bảo khơng được thức 
khuya nhưng do tình cảnh học tập của chúng ta buộc phải làm vậy, phải cố gắng để 
có  được  kết  quả  học  tập  khả  quan  hơn.  Chúng  ta  chưa  chết  được  khi  thức  đêm, 
chúng ta sẽ chết khi chúng ta khơng ngủ và chúng ta sẽ bị nhấn chìm nếu chúng ta 
khơng chịu khó để đạt được mục tiêu của mình, phải hi sinh để đánh đổi sự thành 
cơng cho chúng ta. 
 

 
 
  Trong kỹ năng thức khuya này cần có một số lưu ý và các vấn đề liên quan như 
sau: 
 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT5


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

 Nên biết những tác hại khi thực hiện kỹ năng này.
 

 
 Cách để thích nghi với kỹ năng này là gì?

 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT6


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

 
 Để không gây ra những tác hại nghiêm trọng ta cần làm gì?
 

 
  Trên đó là tồn bộ những kỹ năng thứ nhất cần có và các em cần hiểu, hãy thử 
áp  dụng  để  trở  nên  chăm  chỉ  hơn,  có  được  sự  chuyển  biến  trơng  học  tập  hơn.
  Thức khuya nó là khơng tốt, nhưng đơi khi chúng ta cần phải áp dụng nó, nhưng 
phải khoa học để bản thân mình đủ sức lực cho tới ngày thi. 
  Cịn sau đây là kỹ năng thứ hai mà chúng ta cần phải biết. Một kỹ năng cũng vơ 
cùng quan trọng. 
 
 
 
 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT7


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Kỹ năng chọn bạn bè

  Với kỹ năng này các em cần xác định được cho mình những người bạn như thế 
nào? Cần chơi với những người bạn như thế nào để mình tốt hơn, tất nhiên chúng ta 
chơi với tất cả mọi người nhưng cũng hãy biết chọn cho mình những người bạn thực 
sự để có thể học hỏi và trau dồi mình hơn. Các em nên chọn bạn thế nào?  

 
 
  Đó  là  kỹ  năng  thứ  hai  mà  các  em  cũng  phải  biết  để  có  thể  có  đươc  cho  mình 
những  người  bạn  thực  sự,  giúp  đỡ  nhau  trong  học  tập  cũng  như  trong  cuộc  sống. 
Bạn bè là người khai sáng giúp chúng ta, hãy chủ động gặp bạn bè và mong họ giúp 
đỡ  chúng  ta,  hãy  chủ  động  tìm  họ,  các  em  khơng  nên  ngồi  chờ  mà  hãy  tự  đi  tìm 
những người bạn đó. Sau đây ta đến kỹ năng thứ ba của vấn đề. 
 
 
 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT8


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Kỹ năng từ chối các cám dỗ

 
 
  Đây là kỹ năng mà các em cần có để có thể biết cách từ chối những cám dỗ, đó 
là những điều hết sức quan trọng để các em cân bằng mọi thứ, biết điều gì là tốt cho 
bản thân mình. Một kỹ năng quan trọng khi các em muốn có được nhiều thời gian 

cho việc học hơn. Nó giúp các em biết kiểm sốt bản thân mình, biết làm chủ bản 
thân và tỉnh táo trong mọi vấn đề, khơng ùa theo những lỗi hư tật xấu, những việc 
làm mất thời gian của các em.  
  Các  em  biết  cái  gì  tốt  cho  mình,  cái  gì  khơng  tốt  cho  mình  thì  phải  dừng  lại 
ngay, biết là nó khơng tốt nhưng vẫn làm, vẫn ham muốn thì đó là do các em, do các 
em  khơng  kiểm  sốt  được  bản  thân.  Các  em  đáng  bị  những  hậu  quả  xấu  tới  với 
mình. 
  Mong là các em có được kỹ năng này, và sau đây là tới với kỷ năng thứ 4, một 
kỷ năng tự học và biết cách để hỏi bài người khác. 
 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT9


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Kỹ năng tự học và kỹ năng hỏi bài người khác
  Tự học là một kỹ năng thực sự quan trọng mà khơng phải ai cũng làm được, các 
em phải biết tự học và học như thế nao cho hiệu quả. Tự học cần có phương pháp, 
chắc các em ý thức được điều này nhưng khơng phải ai cũng làm được, đơn giản vì 
đa  phần  chúng  LƯỜI  nữa.  Cần  vượt  qua  được  sự  lười  biếng,  phải  ý  thức  được  tự 
học là cả một kỹ năng quan trọng khơng thể bỏ q nếu muốn học tốt hơn. 

 
  Bên cạnh tự học các em đơi khi gặp phải những vấn đề mà khơng phải lúc nào 
cũng tự mình giải quyết được, cho nên các em cần tới kỹ năng hỏi bài người khác, 
hỏi bài người khác cũng cần một kỹ, sau đây các em sẽ được tìm hiểu các ngun 
tắc của việc hỏi bài người khác là gì? 

 
 
 
 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT10


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

 Nguyên tắc 1: Để bắt đầu hỏi bài, các em cần?

 
 Nguyên tắc 2: Để duy trì được việc hỏi bài dài lâu.

 
 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT11


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

 Nguyên tắc 3: Hãy làm bạn với những người giỏi như vậy
 

 
 
  Trên đó là tồn bộ ba ngun tắc quan trọng nếu các em muốn có được những 
cách  hỏi  bài  người  khác  cho  hiệu  quả,  cho  họ  sẵn  sàng  giúp  đỡ  chúng  ta.  Các  em 
hãy tìm hiểu sâu hơn ba ngun tắc này để giúp cho mình có được những kiến thức 
sâu hơn về cách để có thể hỏi bài người khác. Một kỹ năng quan trọng nữa mà các 
em cần chú ý đó là kỹ năng chịu đựng các khó khăn sẽ tới với  mình. Cách lập kế 
hoạch cũng như cách cân bằng cuộc sống, đó là kỹ năng tiếp theo. 
 
 
 
 
 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT12


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Kỹ năng chịu đựng khó khăn, biết lên kế hoạch và cân bằng cuộc sống

 
 
  Như  vậy  là  các  em  vừa  được  tìm  hiểu  qua  tất  cả  là  5  kỹ  năng  vơ  cùng  quan 
trọng để các em có thể có đước sự vượt bậc hơn trong học tập của mình. Trên đó là 
5 kỹ năng hồn tồn có cơ sở sau khi thực tế hóa nhu cầu của các em, đây là 5 kỹ 
năng hàng đầu cho một học sinh BÌNH THƯỜNG muốn vươn lên trong học tập một 
cách nhanh nhất. Các em nên áp dụng để thây được sự biến chuyển trong việc học 

của  mình, hãy  thử áp  dụng để tự  mình đi tìm kiếm các  phương pháp học tập hiệu 
quả, có được thành tích học tập tốt hơn. Chúc các em học tốt và sau đây chúng ta 
cùng đi vào cụ thể chun đề KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN. 

Kết Luận: Để cho các em hiểu rõ bản chất cũng như phương pháp thực hiện thì
tơi có xây dựng cho các em một kênh youtube về chính BÀI GIẢNG này, mời
các em truy cập để xem chi tiết cách tôi hướng dẫn các em.
Link: />
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT13


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Phần 2: Các bài toán tính khoảng cách để áp dụng tính thể tích khối đa diện
và các bài tốn khác tính khoảng cách .
Sau đây là các bài tốn tính khoảng cách để áp dụng vào tính thể tích: Trong 1 số 
bài tốn thì người ta u cầu tìm thể tích khối đa diện, vấn đề khó khăn hay gặp là tính 
khoảng cách hoặc tìm diện tích đấy để đi giải quyết bài tốn. Tơi sẽ đề cập đến vấn đề 
khoảng cách trong các bài tính thể tích. Sau chun đề này tơi sẽ biên soạn tiếp theo 
chun đề hình học là thể tích đa diện. Mong độc giả đón đọc. 
Chúng ta sẽ đi từ những bài tốn cơ bản đến phức tạp. 
Bài 1:   Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy là 
tam giác đều cạnh a, cạnh bên AA1 tạo với mặt 
đáy 1 góc 600.  Và A1 cách đều 3 đỉnh A,B,C. 
a. Tính khoảng cách từ A tới (ABC). 
b. Tính độ dài BC1 
c. Khoảng cách từ B tới (AA1C1C). 

Lời bình:  
a. Do tam giác   ABC có đáy là tam giác 
đều nên ta gọi M, N là trung điểm của AC 
và BC. 
Khi đó BM  

AC và  AN

BC . Gọi H 

là giao điểm của AN và BM, khi đó H là tâm của tam giác đều   ABC , mặt khác thì do 
A1 cách đều các đỉnh của   ABC nên A1H
thuyết các em đã được học). 

(ABC). (Điều này có được là dựa vào lý 

Điều này có nghĩa là khoảng cách từ A1 tới mặt phẳng (ABC): d(A1/(ABC)) = A1H. 

ABC có cạnh bằng a, và là tam giác đều nên ta có AN cũng là trung tuyến, va có độ 
dài AN = 

√

√

 => AH =  AN =  a. 

Gỉa thiết có rằng A1A tạo với đáy góc 600, ta đi  xác định góc: 

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài

nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT14


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Do A1H
(ABC), nên hình chiếu của A1A xuống mặt đáy là AH, ta biết rằng góc giữa 
đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đưởng thẳng đó với hình chiếu của nó lên mặt 
0
phẳng, vì vậy góc ở đây chính là (
1) = 60 . 
Vậy trong tam giác vng   AA1H vng tại H có ( 1
 Do đó : A1H = tan600.AH = 

√

. √3 = . 

) = 600. 
A1H=   

Tư duy bài tốn:  Đây là bài tốn khơng khó, em nào làm nhiều bài tập rồi thì khi gặp bài 
này sẽ khơng có vấn đề gì khó khăn cả, song , chúng ta qua đây thấy được điều gì, đó là 
nếu bài tốn u cầu tìm thể tích lăng trụ ABC. A1B1C1 thì việc cịn lại là tìm diện tích 
ABC. Có 1 số bài tốn có thể u cầu các em tìm VA1.ABM , VA1.ACN….thì cách làm chỉ 
cần tìm A1H và diện tích đáy thì rất dễ rồi. 
 
b. Bài tốn tính BC1 có thể là khơng dùng để tìm thể tích nhưng nó là 1 bài tốn tính 

độ dài đáng lưu tâm. 
Nhìn vào hình vẽ, thực sự mà nói để tìm được lời giải cũng cần mất khoảng thời gian khá 
dài. Các em thấy BC1 nó hầu như chưa có mối liên hệ rõ ràng nào với các đối tượng đã 
biết. Vậy hướng tư duy ở đây là, nhận thấy BC1 và BC = a có chút quan hệ với nhau khi 
chúng là các cạnh của hình bình hành CC1B1B. Nhưng tìm được BC1 như thế nào? 
Liệu rằng CC1B1B có thể là 1 hình chữ nhật hoặc 1 hình nào đó đặc biệt hơn khơng? 
Ở đây, nó có thể là hình chữ nhật khơng? 
Ta có: AN

BC, và A1H

Suy ra BC

(A1AN), suy ra tiếp là BC

Mặt khác A1A // B1B nên BC
thật. 

BC (Do A1H

(ABC)). 
A1A ( Do A1A thuộc (A1AN)) 

BB1, điều này có nghĩa là CC1B1B là hình chữ nhật 

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT15

LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Có nghĩa là   CC1B vng tại C có BC = a, vậy chúng ta chỉ cần tìm thêm CC1 bằng bao 
nhiêu nữa là tìm được BC1. Rõ ràng là CC1=AA1 =  

 = 

√

. ( Các em tính được 

AH rất dễ rồi nhỉ) 
Vậy CC1= 

√

BC1 = √ 1
+

BC1 = 

; do đó ta có : 
+

 = 

 = 
a. 
 

a. 

 
 
Tư duy bài tốn:  Qua bài tốn 
này chúng ta tư duy như thế 
nào, có thể người ra đề sẽ u 
cầu các em tính CB1  thay vì 
tính BC1 hoặc là chứng minh 
CC1B1B là hình chữ nhật 
chẳng hạn hoặc là tính thể tích 
VA1.ANB…….Bài này nhằm mục đích giúp các em tư duy hình học nhìn nhận vấn đề và khai 
thác triệt để mối tương quan của các dữ kiện trong bài tốn. 
c. Gọi I là hình chiếu của B lên AA1. 
Xác định khoảng cách đó như thế nào? 
Ta có các kết quả sau:  
 Tư duy kiểu 1: 
A1H
(ABC)  => A1H
AC, lại có AC
BM, nên AC
kết quả tiếp theo là dẫn đến AC
BI ( BI thuộc (A1MB)). 
Mặt khác là BI

A1M, cho nên  BI

(A1MB), điều này ta có 

(A1ACC1). Do đó khoảng cách là BI 

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT16


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

 Tư duy kiểu 2:  
Do A1 cách đều ABC nên ta có   A1AC cân tại A1, mà M là trung điểm AC nên A1M
AC, lại có AC
BM =>AC
(A1MB), sau đó chúng ta làm tương tự như tư duy 
trên . 
Tóm lại chúng ta có kết quả cần dùng là BI

(A1ACC1). 

Khi đó khoảng cách từ B tới (A1ACC1):   d(B/( A1ACC1)) = BI. 
 
Tính BI như thế nào? 
Tơi xin giới thiệu 1 cách tư duy cho các bạn tính: 
Các bạn thấy là hồn tồn tìm được số đo góc 
1 dựa vào tam giác vng A1MB, 
vng tại H và đã biết độ dại cạnh A1H và MH. Sau khi tìm được số đo góc 
1 thì 
dựa vào tam giác vng MIB vng tại I sẽ tính được BI khi biết số đo góc 
1 và 

cạnh MB. ( Các bạn có thể tự trình bày được lời giải thì tốt hơn). 
Lời giải:  Tan(
 cotg(

1) = A1H/MH = a : 

1) = 

√

√

 =    => sin(

√

 =   = 2√3 
√

1)= 

(

 Khi đó trong tam giác vng BMI có BI = sin(
=

√ √
√

. a = 

√

.  

                                              

BI = 

√

 = 

)

 = 

√
√

 

).MB 

. 

 

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT17


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Bài 2:  Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vng cân tại B và 
độ dài 2 cạnh vng là a. Gọi B’ là trung điểm SB và C’ là hình chiếu của A lên SC. 
a. Tính khoảng cách từ A tới (SBC). 
b. Tính độ dài B’C’. 
 
Lời giải:      
                                                                                                          
Phân tích đề tốn:  Các bạn thấy SA=BC=AB=a, điều này sẽ có các kết luận bổ 
ích như   ASB là tam giác vng cân tại A, 
mà B’ là trung điểm của SB nên suy ra AB’ 
là trung trực của    ASB   . 
Điều hiển nhiên là SA
(ABC) , cho nên 
SA
BC, mặt khác BC 
AB ( giả 
thiết), điều này dẫn tới BC
(SAB) suy ra 
BC 
AB’(do AB’ thuộc mặt phẳng 
(SAB)). 
Vậy từ các kết quả trên ta có được BC 
AB’ và AB’
SB cho nên AB’

(SBC).  
Điều này đồng nghĩa với việc khoảng cách 
từ A tới mặt phẳng (SBC) chính là đoạn 
AB’. Ta đi tính AB’: 
Rõ ràng SA
AB =>   ASB vng cân 
tại A có cạnh vng bằng a, do đó đường 
cao AB’ có rất nhiều cách tính  
AB’= sin450.SA =  

√



√

 = 

 
a. Theo kết quả trên thì ta có AB’

.    

AB’=

√

a.    

(SBC) nên AB’

B’C’ dẫn đến   AB’C’ vng tại B’, và tam giác này đã biết độ dài AB’, 
khi đó để tìm được B’C’ thì ta nên đi tìm thêm cạnh AC’, AC’ nó thuộc vào 
tam giác   SAC cũng vng tại A và đã biết cạnh SA cịn AC thì có thể 
tìm được thơng qua   ABC vng cân có 2 cạnh vng bằng a. 
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT18


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Ta đi tìm AC bằng định lý pytago với   ABC  
 
AC = √2a , suy ra AC’ sẽ được tính theo cơng thức đường cao 

1
1
1
1
1
3


 2 2 2
AC '2 AS 2 AC 2 a 2a
2a
 
2

 AC '  a
3
 Khi đó ta dễ dàng tìm được  
2
2
B’C’ =     AC '  AB ' 

2 2 1 2
1
a  a 
a
3
2
6     

B’C’=

1
a 
6

  
 
 
                
Tư duy bài tốn:   
Nếu giả thiết bài tốn khơng cho B’ khi đó các bạn phải tự hình dung và vẽ thêm 
hình, bài này cho B’ là đã giúp các bạn 50% tìm khoảng cách A tới (SBC), gặp bài tốn 
khác, nếu họ u cầu tìm khoảng cách đó mà khơng nói B’ là trung điểm SB thì các em 
nên tự hình dung bài tốn.  

Cịn nữa nếu bài này khai thác thêm ở chỗ SA=AB=BC, vậy nếu độ dài 3 cạnh đó khác 
nhau liệu bài tốn này có làm được như thế nữa khơng? Câu trả lời là có.  
Vì khi đó AB’ khơng phải là khoảng cách từ A tới (SBC) nữa mà là đường cao hạ từ A 
xuống SB và hồn tồn tính được đường cao này.  
Phát triển bài tốn này thì có nhiều vấn đề cho các bạn khai thác, mong các bạn dành 
nhiều thời gian nghiên cứu phát triển và tự mình ra đề bài để làm tốn.    
 
        
“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT19


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

Bài 3:  Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. 
Tính khoảng cách sau:  d(AC;DC’). 
Lời giải:    
Bài tốn u cầu tính d(AC;C’D) 
khoảng cách giữa 2 đường thẳng 
trong khơng gian, cách tư duy khi 
làm loại tốn này là đưa về 1 đường 
thẳng và 1 mặt phẳng chứa đường 
thẳng cịn lại sao cho đường thẳng 
và mặt phẳng song song với nhau. 
Với bài này thì ta thấy AC//A’C’ 
=> AC//(A’C’D) và DC’ thuộc ( 
A’C’D) cho nên khoảng cách 
d(AC;DC’) chính là 

d(AC;(A’C’D). 
Điều này có được là do chúng ta 
biết rằng:  Khoảng cách giữa 2 
đường thẳng chính là khoảng cách 
giữa mặt phẳng chứa 1 trong 2 
đường thẳng và song song với 
đường thẳng cịn lại với đường 
thẳng cịn lại ấy. 
Vậy ta có khoảng cách đó tính thế nào? 
AC//(A’C’D) nên mọi điểm trên AC đều có chung khoảng cách tới (A’C’D) hay ta có các 
kết quả sau: 
d(A/(A’C’D))=d(C/(A’C’D))=d(D’/(A’C’D)). 
Tại sao lại có d(C/(A’C’D))=d(D’/(A’C’D)) ,  có được điều này là vì ta thấy C và D’ có 
khoảng cách tới DC’ là như nhau. Nên theo tính chất về khoảng cách ta có kết quả đó. 
Vậy tóm lại : d(AC;DC’) = d(D’;(A’C’D))  
Ta có D’.A’C’D là chóp tứ diện vng tại D’ ta cócơng thức sau: 

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT20


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

1
1
1
1
1

1
1
3



 2 2 2  2
a
a
a
d 2  D’;  A’C’D   D ' A '2 D ' C '2 D ' D 2 a
3
 d  D’;  A’C’D   
a
3

 

Tư duy bài tốn:
 
Đây là 1 bài tốn với mức độ khó bình thường, nếu bạn học sinh nào làm quen 
nhiều với hình lập phương thì bài này khơng là vấn đề gì.  
 
Tơi có 1 số tư duy cho những ai cịn kém về phần này: Để làm được loại này thì 
các em học sinh cần phải nắm chắc được kiến thức về khoảng cách từ 2 đường thẳng, 
khoảng cách điểm đến mặt phẳng và khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng, sau đó 
tìm mối liên hệ giữa chúng. Ví dụ như: Khoảng cách giữa đường thẳng đến mặt phẳng thì 
có mối liên hệ thế nào với khoảng cách từ 1 điểm đến mặt thẳng, mối quan hệ của nó là 
tất cả các điểm nằm trên đường thẳng đều có chung 1 khoảng cách tới mặt phẳng, vậy 
nên ta chỉ cần tìm được khoảng cách từ 1 điểm là suy ra được khoảng cách của đường 

thẳng đến mặt 

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT21


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

 ( Đương nhiên đường thẳng và mặt phẳng là song song với nhau thì mới có khoảng cách 
nhé các em) 
 
Một lưu ý nữa là vấn đề vẽ hình là 1 việc vơ cùng quan trọng trong giải tốn 
hình học, các em cũng nên vẽ hình 1 cách dễ nhìn, rõ ràng và phải để phơ ra những dữ 
kiện đã biết của bài tốn. 
 
Các em nên rèn luyện kỷ năng vẽ hình cho mình, tìm hiểu các tính chất của tất 
cả các hình học trong khơng gian để có được những kiến thức hữu ích phục vụ giải tốn. 
 
Bài 4:  Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang , 
Cạnh  bên SA vng góc với đáy và SA=√2a. 

=

=900 , BA=BC=a, AD=2a. 

Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên SB. Tính d(H;(SCD)). 
Lời giải:     
Cách giải bài này khá là hay và 

cần 1 cái nhìn tinh tế với bài 
tốn: 
Sẽ có nhiều cách giải, nhưng tơi 
xin đề cập đến vấn đề áp dụng tứ 
diện vng để tính. 
Gọi N là giao điểm của AB và 
CD thì ta được 1  tứ diện vng 
S.AND . 
Gọi K là giao điểm của AH với 
SN khi đó ta có các tư duy sau 
đây: 
Thay vì tính trực tiếp d(H;(SCD)) 
ta sẽ đi tính d(A;(SCD)) và dựa 
vào mối quan hệ tỷ lệ của 

 =

;(

)

;(

)

 (talet); trong đó ta có d(H;(SCD)) = d(H;(SND)) 

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT22


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

và d(A;(SCD)) = d(A;(SND))  trong đẳng thức này ta phải đi tìm cho được tỷ lệ 

 là bao 

nhiêu? Cịn việc tính d(A;(SCD)) thì dễ hơn nhiều thơng qua tứ diện vng S.AND với 
cơng thức  

1
1
1
1
 2

, trong cơng thức này ta chỉ cần tính 
d 2 ( A;( SND)) SA
AN 2 AD 2

AN là áp dụng xong. 
Vậy bài tốn chỉ cịn việc tìm cho được tỷ lệ 
 Ta có AH

 và AN. 

SB nên : 

                                        

SH cos ( HSA).SA
SA2
2a 2
2
2
2

 cos ( HSA)  cos ( BSA)  2
 2

SA
SB
SA  AB 2 a  2a 2 3
cos ( HSA)
Mặt khác ta có thể chứng minh được B  là trung điểm của AN khơng.Ta có tỷ lệ: 

NB BC a 1


 vậy B là trung điểm của AN, mặt khác  SH  2 điều này chứng tỏ 
NA AD 2a 2
SB 3
H phải là trọng tâm của tam giác  SAN mà A,H,K thẳng hàng cho nên ta có tỷ lệ cần 
tìm  
Suy ra 
Ta có 

= = 

;(

)

;(

)

H; (SND)  = 
;(

 
;(

)

  

)  tính dựa vào tứ diện vng A.SND theo cơng thức 

d ( H ;( SCD)) =

2 7a
 
21

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CÔNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hoài
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT23


LỚP HỌC BÀI THI : />………………………………………….........*T*M*T*……………………………………………………………..

1
1
1
1
1
1
1
7




 2 

2
2
2
2
2
d ( A ; ( SN D )) SA
NA
DA
2a
a
4a

4a 2
2

 d ( A ; ( SN D )) 

2 7a
7

 d ( H ; ( SN D )) 

2 7a
 d ( H ; ( SC D ))
21

 
Tư duy bài tốn:    
Bài tốn này đã vận dụng sự đặc biệt của điểm H để đi giải quyết kết hợp với tính 
gián tiếp qua A, lý do là A đã thuộc 1 tứ diện vng A.SND rất dễ tính tốn, và dựa vào 
mối tương quan của H và A để tìm tỷ lệ khoảng cách. Các bạn có thể tính gián tiếp qua B 
xem thế nào. Hoặc áp dụng cách khác để đi giải quyết bài tốn. Những bài tiếp theo tơi sẽ 
tiếp tục đi áp dụng các tứ diện vng với cơng thức tính khoảng cách ở tứ diện vng. 
 
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là 
trung điểm  của AA’, AD và CC’ . Gọi O là tâm của ABCD . Tính d(B;(MNP)) ; 
d(O;(MNP)). 
 

-

-

Phân tích bài tốn:  Đây là 1 bài tốn u cầu tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 
mặt trong 1 hình lập phương cạnh ạ, phương pháp làm loại tốn là chúng ta áp 
dụng các phương pháp sau. 
Chúng ta hãy đưa mặt phẳng đó trở thành đáy của 1 tam diện vng, cịn điểm cần 
tính khoảng cách là đỉnh của tam diện đó, khi đó chúng ta áp dụng cơng thức đặc 
biệt để tính đường cao trong tam diện vng. 
Chúng ta xác định thiết diện của mặt đó, sau đó tìm mối liên hệ của điểm cần tính 
khoảng cách với các đường thằng chứa điểm đó, tìm xem có đường thẳng nào 
song song với mặt đó hay khơng, sau đó ta đi tìm khoảng cách từ đường đến mặt. 

“Cuộc chiến THẤT BẠI-THÀNH CƠNG trong bạn sẽ kéo dài mãi mãi nếu bạn cứ hồi
nghi với khả năng của mình và suy nghĩ tiêu cực về tương lai tốt đẹp phía trước”

-Trần Mậu Tú-TMT24