de va dap an hsg toan 9

Trờng THCS Nam Tân - Tích luỹ chuyên môn.
Đề thi HS giỏi huyện năm học 2008 - 2009.
Môn : Toán.
Thời gian làm bài: 120 phút.
Lớp 9.
Bài 1:
a(2 điểm), Rút gọn các biểu thức sau:
6 2 5 6 2 5; 2 2 4 2 2 4M N x x x x= + = + +
b(2 điểm), So sánh:
15 63+
với
147
;
3
3 5+
với
6
4 5
.
Bài 2:
Cho hệ phơng trình tham số m:
( )
( )
2
2 1
5 2 5 2
m x y x m
mx y x m

+ =

+ =


a(2 điểm), Giải hệ khi m = 3.
b(2 điểm), Tìm m để các đờng thẳng (1) và (2) song song với nhau.
Bài 3(2 điểm):
Giải phơng trình:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2008 2008 2009 2009
19
49
2008 2008 2009 2009
x x x x
x x x x
+ +
=
+
Bài 4:
Cho biểu thức: A =
2 2
4 4x x+ +
a(2 điểm), Tìm tập xác định của A rồi tìm x để A =
5 3+
.
b(2 điểm), Tìm GTNN và GTLN của A.
Bài 5:

Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn. Đờng cao BE và đờng cao AD cắt
nhau tại H. Đờng tròn tâm O đờng kính AH cắt AB tại điểm thứ hai F.
a(2 điểm), Chứng minh 3 điểm C, H, F thẳng hàng.
b(2 điểm), Chứng minh
ADC



BDH
, từ đó tính HD biết BC=8 cm, AD=12 cm.
c(2 điểm), Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O đờng kính AH.
Bài Giải:
Bài 1:
a, Rút gọn:
*
( ) ( )
2 2
5 1 5 1 5 1 5 1 2M = + = + + =
*
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
N x x
x x
= + +
= + +
TH1: x

4

2 2N x =
TH2:
2 x

< 4
0 2x
<
2

2 2N =
b, So sánh:
*
GV: Phạm Thị Phơng.
1
Trờng THCS Nam Tân - Tích luỹ chuyên môn.
15 63 16 64 4 8 12
12 144 147
15 63 147
+ < + = + =
= <
+ <
* Xét hiệu:

( ) ( )
( ) ( )
2 2
3 6 6 6 6
6 6
3 5 4 5 4 2.2. 5 5 1 2 5 1
1 5 3 5

+ = + =
=
Ta lại có:
6
6 6
1 5 1 5 0 = <

6 6
6 6
3 5 3 5 0 = >
3 6
3 5 4 5 0 + <
hay
3 6
3 5 4 5+ <
Bài 2:
Hệ phơng trình tham số m:
( )
( )
2
2 1
5 2 5 2
m x y x m
mx y x m

+ =


+ =

a, Giải hệ khi m = 3.
m = 3 hệ phơng trình trở thành:
9 3 2
3 5 6 5
x y x
x y x
+ =


+ =

8 5 8 5 1
2 11 6 6 13
x y x y x
x y x y
= = =



+ = = =

b, Hệ đã cho tơng đơng hệ pt sau:
( )
( )
( ) ( )
2
1 2 1
5 2 5 2
y m x m

y m x m

= + +


= + +


Đờng thẳng (1) và (2) song song khi:
TH1:
2
1 5 0
2 2 5
m m
VN
m m

= =


+ +

TH2:
2
1 5 0
2 2 5
m m
m m

=

+ +

2
1; 5; 6 0
3
m m m m
m

+ =




( ) ( )
1; 3;5
1; 3;5
2
3
3 2 0
2
m
m
m
m
m m
m

=
=


+ =




=


Bài 3:
Giải phơng trình:
Đặt 2008 - x = a

x - 2009 = - (2009 - x) = - (a + 1)
Ta đợc phơng trình:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
1 1
19
49
1 1

a a a a
a a a a
+ + +
=
+ + + +
(3).
ĐKXĐ: 3a
2
+ 3a + 1

0
a

(Vì
0; 0a < >
)
x

.
( )
( ) ( )
2 2
3 49 1 19 3 3 1 0a a a a + + + + =
2
4 4 15 0a a + =
GV: Phạm Thị Phơng.
2
Trờng THCS Nam Tân - Tích luỹ chuyên môn.
' 2
4 60 64 8

a
= + = =
1
2
2 8 3
4 2
2 8 5
4 2
a
a
+
= =

= =
TH1:
1
3 2008.2 3 4013
2 2 2
a x

= = =
TH2:
2
5 2008.2 5 4021
2 2 2
a x
+
= = =
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x.
Bài 4:

2 2
4 4A x x= + +
a, ĐKXĐ của A:
2
4 0 2 2x x
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
2
5 3
4 4 5 3
4 4 2 4 4 8 2 15
16 15
16 15
1
A
x x
x x x x
x
x
x TM
= +
+ + = +
+ + + + = +
=
=
=
b, * áp dụng BĐT Bunhia cho 4 số không âm: 1;

2
4 x+
;
2
4 x
; 1 ta có:
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 4 1 1 4 4x x x x+ + + + +
2 2
4 4 4A x x = + +
Vậy GTLN của A bằng 4 đạt đợc khi
2 2
4 4 0x x x+ = =
.
* Ta có:
(
)
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
2
4 4 8 2 4 4
8 2 2
A x x x x
A A
= + + = + +

Dấu bằng xảy ra khi
( ) ( )

2 2 2
4 4 0 4 2.x x x x+ = = =
Vậy GTNN của A bằng
2 2
đạt đợc khi
2x
=
.
Bài 5:

O
F
B
H
D
C
E
A
a, Do
{ }
AD BE H =
H là trực tâm của
.ABC CH AB

Mặt khác
ã
0
90AFH =
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
HF AF

hay
HF AB
.
GV: Phạm Thị Phơng.
3
Trờng THCS Nam Tân - Tích luỹ chuyên môn.
Từ đó suy ra C, H, F thẳng hàng.
b, Xét
;ADC BDH
có:
ã
ã
0
90ADC BDH= =
ã
ã
DAC DBH=
(cùng phụ với
ã
ACB
)
ADC



( )
BDH g g
2 2
. 8 4

4. 4.12 3
AD DC DC BD BC
DH
BD DH AD AD
= = = = =
c, Do B, H, E thẳng hàng và
BE AC HE AE


E thuộc đờng tròn tâm O đờng kính AH (1).
Ta có:
BEC

vuông tại E, ED là trung tuyến ứng với cạnh BC
1
2
ED BD CD BC = = =
DBE

cân tại D
ã
ã
DBE DEB =
Mặt khác:
OAE

cân tại O
ã
ã
OEA OAE =

Mà
ã
ã
OAE DBE=
(c/m câu b)
ã
ã
ã
OEA DBE DEB = =
Lại có:
ã
ã
ã
ã
0
0
90
90
OEA OEH
DEB OEH
+ =
+ =
hay
ã
0
90DEO =
(2).
Từ (1) và (2)

DE là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O đờng kính AH.

GV: Phạm Thị Phơng.
4