tóm tắt khóa luận một số ứng dụng của định lý pascal và định lý brianchon

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL
VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
HÀ NỘI - 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL
VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học
Th.S. NGUYỄN THỊ TRÀ
HÀ NỘI - 2015
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc
biệt đối với những môn khoa học khác. Đồng thời, hình học còn
giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và
sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Định lý Pascal và định lý Brianchon chắc không còn quá xa lạ với
những bạn yêu toán và đặc biệt là yêu thích môn hình học. Với
mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu
hơn nữa về ứng dụng của hai định lý tuyệt mỹ ấy, tôi đã chọn
đề tài "Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý
Brianchon" làm khóa luận tốt nghiệp.
Định lý Pascal và định lý Brianchon tổng quát được phát biểu cho

các đường cônic trong mặt phẳng xạ ảnh. Trong đề tài này, tôi
cũng đã đề cập đến một trường hợp đặc biệt của nó, đó là đường
tròn trong mặt phẳng.
2. Mục đích - Yêu cầu
• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định
hướng của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng
dụng, ).
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lý thuyết, phân loại và đưa ra bài tập chi tiết liên quan
đến Định lý Pascal - Định lý Brianchon.
4. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu
- Định lý Pascal - Định lý Brianchon và những ứng dụng có liên
quan.
- Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 2
Nội dung chính
1. Tên đề tài
Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 2 chương:
• Chương 1: Một số lý thuyết chuẩn bị.
- Hình sáu đỉnh và định lý Pascal.
- Hình sáu cạnh và định lý Brianchon.
• Chương 2: Ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon.
- Ứng dụng của định lý Pascal.
- Ứng dụng của định lý Brianchon.

3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hình
học xạ ảnh.
• Tham khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyết
một số vấn đề.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 3
Chương 1
Một số lý thuyết chuẩn bị
1.1 Hình sáu đỉnh và định lý Pascal
1.1.1 Định nghĩa hình sáu đỉnh.
Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp gồm sáu điểm A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6
phân
biệt được gọi là hình sáu đỉnh.
Kí hiệu: A
1
A
2
A

3
A
4
A
5
A
6
.
Trong đó:
• Các đỉnh: A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6
.
• Các cạnh: A
1
A
2
, A
2
A
3

, A
3
A
4
, A
4
A
5
, A
5
A
6
, A
6
A
1
.
• Các cặp đỉnh đối diện: A
1
− A
4
, A
2
− A
5
, A
3
− A
6
.

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 4
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
• Các cặp cạnh đối diện:







A
1
A
2
− A
4
A
5
A
2
A
3
− A
5
A
6
A
3
A
4

− A
6
A
1
1.1.2 Định lý Pascal
Định lý 1.1.2. Nếu một hình sáu đỉnh có sáu đỉnh nằm trên một
đường ôvan (còn được gọi là sáu đỉnh nội tiếp ôvan) thì giao điểm của
các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh
Giả sử hình sáu đỉnh A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
nội tiếp đườn ôvan (S).
Gọi P = A
1
A
2
∩ A
4
A
5

.
Theo định lý Stayner (thuận): Cho hai điểm cố định A
1
và A
2
nằm trên ôvan (S), một điểm I bất kỳ chạy trên ôvan đó. Khi đó ánh
xạ f : {A
1
} → {A
5
} biến đường thẳng A
1
I thành A
5
I là ánh xạ xạ
ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục.
f : {A
1
} → {A
5
}
A
1
A
2
→ A
5
A
2
A

1
A
3
→ A
5
A
3
A
1
A
4
→ A
5
A
4
A
1
A
5
→ A
5
A
6
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 5
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
mà f bảo toàn tỷ số kép giữa hai chùm nên:
[A
1
A
2

, A
1
A
3
, A
1
A
4
, A
1
A
6
] = [A
5
A
2
, A
5
A
3
, A
5
A
4
, A
5
A
6
]
⇔ [ M, A

3
, A
4
, R ] = [ A
2
, A
3
, N, Q ]
Khi đó luôn tồn tại một ánh xạ:
g : A
3
A
4
→ A
3
A
2
M → A
2
A
4
→ N
R → Q
A
3
A
2
∩A
3
A

4
= A
3
mà g(A
3
) = A
3
nên g là phép chiếu xuyên tâm.
Suy ra tâm là giao của



MA
2
, NA
4
, RQ
mà MA
2
∩ NA
4
= P
⇒ P ∈ RQ
Hay P , Q, R thẳng hàng (đpcm).
1.1.3 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal
Trường hợp 1: Hình năm đỉnh.
Định lý 1.1.3. Hình năm đỉnh A
1
A
2

A
3
A
4
A
5
nội tiếp đường ôvan (S)
thì ba giao điểm của cạnh A
1
A
2
với cạnh A
4
A
5
, cạnh A
2
A
3
với tiếp
tuyến của (S) tại A
5
, cạnh A
3
A
4
với cạnh A
5
A
1

thẳng hàng.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 6
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
Chú ý 1.1.4. Nếu hai đỉnh trùng nhau thì khi đó cạnh nối hai đỉnh
trùng nhau đó thay bằng tiếp tuyến của ôvan (S) tại điểm đó.
Trường hợp 2: Hình bốn đỉnh.
Định lý 1.1.5. Nếu một hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp một đường
ôvan thì giao điểm các cạnh đối diện và giao điểm các tiếp tuyến tại
các cặp đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng.
• ABCD ≡ AABBCC (tiếp tuyến tại hai đỉnh kề nhau).
• ABCD ≡ AABCCD (tiếp tuyến tại hai đỉnh đối diện).
Kết luận 1.1.6. Nếu hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan thì giao của
các cặp cạnh đối diện và giao của các tiếp tuyến tại các cặp đỉnh đối
diện là bốn điểm thẳng hàng.
Trường hợp 3: Hình ba đỉnh.
Định lý 1.1.7. Nếu một hình ba đỉnh nội tiếp một đường ôvan thì
giao điểm của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm
thẳng hàng.
Xét hình ba đỉnh AABBCC:
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 7
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
Kết luận 1.1.8. Nếu hình ba đỉnh nội tiếp một ôvan thì giao của một
cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng.
Định lý Brianchon
1.2 Hình sáu cạnh và định lý Brianchon
1.2.1 Định nghĩa hình sáu cạnh
Định nghĩa 1.2.1. Hình sáu cạnh là hình tập hợp gồm sáu đường
thẳng có thứ tự a
1
, a

2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
. Kí hiệu: a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 8
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
Trong đó:
• Các cạnh: a
1
, a
2
, a

3
, a
4
, a
5
, a
6
.
• Các giao: a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
gọi là các đỉnh của hình.
• Các cặp đỉnh đối diện:







a

1
∩ a
2
và a
4
∩ a
5
a
2
∩ a
3
và a
5
∩ a
6
a
3
∩ a
4
và a
6
∩ a
1
1.2.2 Định lý Brianchon
Định lý 1.2.2. Nếu một hình sáu cạnh có sáu cạnh phân biệt cùng
tiếp xúc với một đường ôvan (còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp ôvan
đó) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy.
1.2.3 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon
Trường hợp 1: Nếu một hình tứ cạnh ngoại tiếp một ôvan thì các
đường nối các đỉnh đối diện và các đường nối các tiếp điểm trên các

cạnh đối diện đồng quy.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 9
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
Trường hợp 2: Nếu một hình ba cạnh ngoại tiếp một ôvan thì ba
đường nối mỗi đỉnh với tiếp điểm trên mỗi cạnh đối diện là ba đường
đồng quy.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 10
Chương 2
Một số ứng dụng của định lý
Pascal và định lý Brianchon
2.1 Ứng dụng của định lý Pascal.
2.1.1 Định lý Pascal với sáu điểm phân biệt.
Bài tập 2.1.1. Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn (O). Gọi
A’, B’, C’ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB
không chứa A, B, C của (O). Các cạnh BC, CA, AB cắt các cặp đoạn
thẳng C’A’ và A’B’, A’B’ và B’C’, B’C’ và C’A’ lần lượt ở các cặp
điểm M và N; P và Q; R và S.
Chứng minh rằng: MQ, NR, PS đồng quy.
Bài tập 2.1.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Gọi
M là điểm nào đó trên cạnh AC (M = A, C). Đường thẳng BM cắt
đường tròn lần nữa tại N. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và
đường thẳng quan N vuông góc với NC cắt nhau tại điểm Q.
Chứng minh rằng QM luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển
trên cạnh AC.
Bài tập 2.1.3. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) và 3 điểm
M, N, P cùng thuộc đường thẳng (d). AM, BM, CM cắt lại (O) tương
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 11
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
ứng ở A
1

, B
1
, C
1
; A
1
N, B
1
N, C
1
N cắt lại (O) tương ứng ở A
2
, B
2
, C
2
;
A
1
N, B
1
N, C
1
N cắt lại (O) tương ứng ở A
3
, B
3
, C
3
.

Chứng minh rằng: AA
3
, BB
3
, CC
3
, (d) đồng quy.
Bài tập 2.1.4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp
(I). Một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) và tiếp xúc với hai cạnh AB,
AC lần lượt tại S, M, N.
Chứng minh rằng I ∈ MN.
2.1.2 Định lý Pascal cho sáu điểm không phân biệt
Bài tập 2.1.5. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O). Tiếp tuyến
của (O) tại A cắt CD ở S. BS cắt lại đường tròn ở T.
Chứng minh rằng CT, SO và AD đồng quy.
Bài tập 2.1.6. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường
tròn (O). Kẻ đường kính AD của đường tròn, S là 1 điểm di động trên
đường tròn. SB cắt AC ở M, SD cắt BC ở N.
Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài tập 2.1.7. Cho tam giác ABC và điểm S thuộc cạnh BC. Trên các
tia AB, AC lấy tương ứng các điểm M, N sao cho

AMC =
1
2

ASC,

ANB =
1

2

ASB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Chứng minh rằng: IS⊥BC.
2.1.3 Định lý Pascal với cực và đối cực
Bài tập 2.1.8. Chứng minh rằng ba đường chéo chính của một lục
giác ngoại tiếp đồng quy.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 12
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Bài tập 2.1.9. Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp (O). Tiếp điểm (O)
trên AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Một điểm S nằm trên
cung nhỏ PN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại S cắt BC, CD lần lượt
tại H, K.
Chứng minh rằng: MH//AK.
Bài tập 2.1.10. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường
tròn (O) sao cho ABCD là hình chữ nhật. Giả sử EF cắt AB, CD lần
lượt ở P, Q; BE cắt AF ờ H; CE cắt DF ở K.
Chứng minh rằng: PH // QK.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 13
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho đường tròn tâm (O) đường kính EF . Lấy hai điểm
N, P trên đường thẳng EF sao cho ON = OP . Từ điểm M nào đó
bên trong đường tròn mà không thuộc EF, kẻ đường thẳng MN cắt
đường tròn tại A và C, đường thẳng MP cắt đường tròn tại B và D
sao cho B và O nằm khác phía đối với AC. Gọi K là giao điểm của
OB và AC, Q là giao điểm của EF và CD.
Chứng minh rẳng các đường thẳng KQ, BD và AO đồng quy.
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Một
đường thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi

I, J, K lần lượt là trung điểm của CM, BN, MN.
Chứng minh bốn điểm I, J, K, O nằm trên một đường tròn.
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và một điểm
S trong mặt phẳng. AS, BS, CS cắt lại (O) tương ứng ở D, E, F . Một
đường thẳng (d) qua S cắt BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P .
Chứng minh rằng DM, EN, F P và đường tròn (O) đồng quy.
Bài 4. Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB của tam giác
ABC lần lượt tại D
1
, D
2
; E
1
, E
2
; F
1
, F
2
. D
1
E
1
cắt D
2
F
2
ở L; E
1
F

1
cắt
E
2
D
2
ở M; F
1
D
1
cắt F
2
E
2
ở N.
Chứng minh rằng AL, BM và CN đồng quy.
Bài 5. Cho tam giác ABC không cần nội tiếp đường tròn tâm
(O). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh rằng các đường tròn (AOM), (BON), (COP ) có hai điểm
chung.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 14
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
2.2 Ứng dụng của định lý Brianchon
2.2.1 Bài toán Brianchon với cực và đối cực
Bài tập 2.2.1. Cho tam giác ABC với (I) là đường tròn nội tiếp.
Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi M, N, P
lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng (EF,BC), (DF,CA),
(DE,AB).
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Bài tập 2.2.2. Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với

BC, CA, AB lầ lượt là D, E, F. Đường tròn nội tiếp tam giác DEF
tiếp xúc với EF, FD, DE lần lượt là M, P, N.
Chứng minh rằng: AM, BP, CN đồng quy.
Bài tập 2.2.3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến
của (O) tại A, B cắt nhau tại S. Một cát tuyến quay quanh S cắt CA,
CB tại M, N và cắt (O) lần lượt tại P, Q.
Chứng minh rằng (M,N,P,Q) = -1.
2.2.2 Định lý Brianchon với các đường cônic
Bài tập 2.2.4. Cho ôvan (S) và 2 điểm I, J trên nó. Lấy 2 điểm A,
B lần lượt nằm trên tiếp tuyến (S) tại I, J. Vẽ AC và BD tiếp xúc với
(S) lần lượt tại C và D. Kí hiệu P = ID ∩ AC, Q = JC ∩ BD.
Chứng minh rằng: P Q ∩ AB ∈ IJ.
Bài tập 2.2.5. Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường bậc hai (S) biết
năm tiếp tuyến thuộc (S).
Bài tập 2.2.6. Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường bậc hai (S) biết
bốn tiếp tuyến thuộc (S).
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 15
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Bài tập 2.2.7. Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường bậc hai (S) biết
ba tiếp tuyến của (S) và hai tiếp điểm của a, b (a, b là hai tiếp tuyến
của (S)).
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 16
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M, N lần lượt là trung
điểm của AB, CD. (ABN) cắt CD ở P , (CDM) cắt AB ở Q.
Chứng minh rằng AC, P Q, BD đồng quy.
Bài 2. Cho parabol (G) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC
cố định. Chứng minh rằng: mỗi đường thẳng nối hai điểm thuộc hai
cạnh cho trước đều đi qua một điểm cố định, ba đường thẳng nối mỗi

đỉnh với tiếp điểm thuộc cạnh đối diện đồng quy tại điểm E. Tìm quỹ
tích điểm E.
Bài 3. Cho elip (G) và tam giác ABC có các cạnh AB, BC, CA
tiếp xúc với (G) lần lượt tại các điểm M, N, L.
Chứng minh rằng [ABM].[BCN].[CAL] = −1.
Bài 4. Cho parabol (G) và tam giác AC có các cạnh tiếp xúc với
(G).Từ B kẻ đường thẳng b

song song với AC. Đặt H và K là hai
giao điểm của b; với (G). Đặt L là giao điểm của hai tiếp tuyến tại H
và K của (G).
Chứng minh rằng: LA song song với BC còn LC song song với AB.
Bài 5. Trong mặt phẳng afin cho (H) với hai đường tiệm cận a
và b. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên (H). Gọi a

là đường thẳng
đi qua A và song song với a, b

là đường thẳng đi qua B và song song
với b. Đường thẳng AC ∩ b

= P, BD ∩ a

= Q. Chứng minhh rằng:
P Q//CD.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 17
Kết luận
Khóa luận với đề tài: “ Một số ứng dụng của định lý Pascal
và định lý Brianchon”, tôi đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếu
sau:

• Luận văn trình bày một số bài tập hình học được giải bằng cách
ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon. Đối với những
vấn đề đã được lựa chọn cho luận văn, tôi hi vọng rằng đó là những
vấn đề có thể giúp cho việc nghiên cứu các vấn đề khác của định
lý Pascal và định lý Brianchon được thuận lợi hơn.
• Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của tôi
đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn của cô NGUYỄN
THỊ TRÀ cùng ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoa Toán
và các bạn sinh viên. Theo tôi, đề tài thực tập cơ bản đã đạt được
mục đích đề ra, nó đã mang lại sự cần thiết và những lợi ích của
thực tập chuyên ngành nói chung và việc đào tạo Cử nhân ngành
Toán nói riêng, góp phần thúc đẩy sự tìm tòi, nghiên cứu toán học
của bản thân tôi. Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới bắt đầu
làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài này
cũng không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ bảo,
đóng góp ý kiến của thầy, cô và các bạn để đề tài này được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 18
Tài liệu tham khảo
[1] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục 1998.
[2] Văn Như Cương, Bài tập Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục
1998.
[3] Phạm Đình Đô, Bài tập Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Đại học
Sư phạm 2008.
[4] Các tài liệu khác, nguồn internet,
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 19