NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: GIẢI TÍCH

1

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc


NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: GIẢI TÍCH 1

Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc
Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006

DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
THỜI GIAN : 120 phút
MỖI ĐỀ 4 CÂU
( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4)


A. CÂU HỎI LOẠI 1 ĐIỂM (V.I)

1. Tìm miền xác định và vẽ đồ thị hàm số
( ) 2
x
f x
x
 
.
2. Tính đạo hàm của hàm số

3
(sin )( ln )
y x x x x
  
.
3. Tính đạo hàm của hàm số
3 2
sin( )
y x x
 
.
4. Tính đạo hàm của hàm số
2
ln
2
x
y
x
 

 
 

 
.
5. Tính đạo hàm của hàm số


sin ln(cos )
y x


.
6. Tính đạo hàm của hàm số


sin
ln
x
y e x
 
.

7. Tính đạo hàm của hàm số


2
ln 1
y x x
  
.

8. Tính đạo hàm của hàm số


2
arctg
x
y x e
 
.

9. Cho hàm số
( ) 2 1
y f x x
  
, tính đạo hàm
'(5)
f
.
10. Tính tích phân sau
cotg
sin
x
I dx
x


.
11. Tính tích phân sau
2
1 sin 2
sin
x
I dx
x



.
2

12. Tính tích phân sau
tg
cos
x
I dx
x


.
13. Tính tích phân sau
3
0
arctg
I x xdx


.
14. Tính tích phân sau
2
16
x
x
e
I dx
e



.

15. Tính tích phân sau
ln 2
0
1
x
I e dx
 

.
16. Tính tích phân sau
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x



.
17. Tính tích phân sau
arctg
2
1
1
x
e
I dx
x





.
18. Tính tích phân sau
2
x
I xe dx



.
19. Tính
2
1
cos sin
t
d x x
dx
dt
x


20. Tính tích phân sau
2
ln
e
e
dx

x x



B. CÂU HỎI LOẠI 2 ĐIỂM (V.II)

1. Tìm giới hạn
2
lim( 2)cotg3( 2)
x
L x x

  
.
2. Tìm giới hạn
2
1
ln
lim
2
x
x
L
x x


 
.
3. Tìm giới hạn
 

tg
0
lim 1 cos
x
x
L x

 
.
4. Tìm giới hạn
 
1
2
0
lim
x
x
x
L x e

 
.
5. Tìm giới hạn
4
0
1 1
lim
4
1
x

x
L
x
e

 
 
 

 
.
3

6. Tìm giới hạn
3
0
lim
sin
x
x
L
x x




7. Tìm giới hạn
0
1 1
lim

sin 3 3
x
L
x x

 
 
 
 

8. Tìm giới hạn sau
2
4
3 2
0
211
lim
xx
xx
x



.
9. Tìm giới hạn sau
1
sin 2
0
lim( cos )
x

x
x x


.
10. Tìm giới hạn sau
x
xx
x
2
3
0
sin
coscos
lim


.
11. Cho hàm số
ln( 1) ln(1 )
khi 1, 0
( )
khi 0
x x
x x
f x
x
a x
  


 







Tìm hằng số
a
để hàm số liên tục tại
0
x

.
12. Cho hàm số
khi 0
( )
khi 0
ax bx
e e
x
f x
x
c x











Tìm hằng số c để hàm số liên tục tại x = 0 .
13. Cho hàm số
2
1
sin khi 0
( )
0 khi 0
x x
f x
x
x








. Hàm số có khả vi tại
0
x

không? Nếu khả vi hãy
tìm

'(0)
f
.
14. Một tấm bìa hình vuông có chiều dài mỗi cạnh 12cm. Cắt bỏ bốn góc bốn hình vuông bằng nhau
để dựng thành hình hộp như hình vẽ sau. Tình thể tích lớn nhất của hình hộp.




15. Cho hàm số
2
1
1
x
y


, hãy tính
(2004)
(0)
y
.
16. Tính vi phân hàm số
x
x
y
ln


17. Chứng minh

1
x
e x
 
,
0

x


4

18. Chứng minh
2
1
2
x
x
e x  
,
0

x

19. Tính vi phân hàm số
1
ln
2
x a
y

a x a




20. Tính
( )
( )
n
y x
, biết
2
sin
y x




C. CÂU HỎI LOẠI 3 ĐIỂM (V.III)

1. Cho hàm số
2
2
1
x
y
x




a. Tính dy tại x=1
b. Tìm cực trị của hàm số.
2. Cho hàm số
( )
f x
liên tục trên đoạn


a,0

a. Chứng minh rằng
0
( ) ( )
a a
o
f x dx f a x dx
 
 

b. Dùng kết quả trên, hãy tính
4
0
ln(1 tg )
x dx




3. Cho hàm số

1 cos khi 0
( )
ln( 1) khi 0
x x
f x
x x x
 



  


a. Tìm
'(0)
f

b. Chứng minh rằng không tồn tại
"(0)
f
.
4. Cho hàm số xxy
2
ln
a. Tính vi phân tại x = e với
1,0



x

.
b.Tìm cực trị của hàm số.
5. Một quả cầu có bán kính 5 cm với sai số
0,01cm
. Ước lượng sai số tối đa của thể tích quả cầu.
6. Cho hàm số
1
2


x
x
y

a. Tính dy tại
0
x

.
5

b. Tính
( )
( )
n
y x
.
7. Cho tích phân suy rộng
2
1

arctg
x
dx
x



a. Chứng minh tích phân đã cho hội tụ.
b. Tính tích phân đó.
8. Cho tích phân suy rộng
2
3
0
x
x e dx




a. Chứng minh tích phân đã cho hội tụ.
b. Tính tích phân đã cho.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
1
2
 xy ,
2
2
1
xy 
và

5

y
.
10. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2 2
6 5 0
x y y
   
quanh trục Ox.
11. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay miền phẳng giới hạn bởi các đường

2
2 xxy  và
0

y
quanh trục Ox.
12. Tính tích phân suy rộng
4
5
4
4
1
dx
x



.

13. Cho tích phân suy rộng
2
2
1
dx
x x





a. Chứng minh rằng tích phân hội tụ

b. Tính tích phân đã cho.
14. Tính các tích phân sau
a
.
2
cos (1 cotg )
dx
x x




b.


3
3

3
2
3
1xx
dx

15. Tìm giá trị bé nhất, lớn nhất của hàm số
x
b
x
a
y


1
22
, với
0,0,10




bax

6

16. a. Tính độ dài đường cong cho bởi phương trình
3
1
12

x
y
x
 
, từ
1

x
đến
4

x


b. Xét sự hội tụ của tích phân


0
2
sin
dx
x
x

17. Tính độ dài đường cong cho bởi phương trình

)1ln(
2
xy  , từ
2

1
x
đến
2
1
x

18. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

x
y
1

và
522


yx

b. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
3
0
x
x e dx





19. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

3
xy  và
2
yx 
b. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
2
0
x
e
dx
x




20. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

3
xy  ,
x
y

và
xy 2


b. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
1
1

1
x
e dx
x





D.LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM (V.IV)

1. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát
2
n
a n n n
  
.
b. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
2
1
2
( 3)
n
n
n
x
n






.
2. a. Chuỗi số sau có hội tụ không? Nếu hội tụ hãy tính tổng
2
2
1
1
n
n





7

b. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau
1
2
(4 8)
n
n
n
x
n





3.
a. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
ln(1 tg )
n
n




.
b. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
8
n
n
n
x
n



.
4.
a. Chuỗi số sau có hội tụ không? Nếu hội tụ hãy tính tổng
2 1

1
9 4
n n
n

 



b. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
2 1
0
( 2)
2 1
n
n
x
n






.

5.
a. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1

sin
2
n
n
n





b. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
2
1
( !)
( 3)
(2 )!
n
n
n
x
n




.
6. Chứng minh rằng
1
2
0

(2 )
2
!
n
x
n
x
xe
n





. Từ đó hãy tính tổng
0
2 ( 1)
!
n
n
n
n




.
7. Cho hàm số
2
1

( ) ln
2 2
f x
x x

 
.
a. Khai triển hàm số thành chuỗi các luỹ thừa của
1
x

.
b. Tính tổng
0
( 1)
1
n
n
S
n






.
8. a. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1

2 cos
n
n
n




.
b. Khai triển thành chuỗi Mclaurin hàm số
( ) ch
f x x

.
9.
8

a. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
2
n
n
n
n




.

b. Khai triển thành chuỗi Mclaurin hàm số
2
1
( )
3 2
f x
x x

 
.
10.
a. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát
1 1
ln lnsin
n
a
n n
 

b. Khai triển thành chuỗi Mclaurin hàm số
2
( ) ln( 5 6)
f x x x
  

11.
a. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1 ( 1)
1

n
n
n
n


 



b. Khai triển hàm số
x
xf
1
)( 
thành chuỗi Taylor tại lân cận
3

x

12.
a. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát
2.4.6 (2 )
n
n
n
a
n


b. Khai triển hàm số xxf
2
sin)(  thành chuỗi Mclaurin
13.
a. Xét sự hội tụ của chuỗi số có số hạng tổng quát
2
ln
n
n
a
n


b. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát
2
1
( ) ( 1)
2 1
n
n
n
n
u x x
n

 
 
 

 

14. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát

3
( ) (3 1)
n
n
u x n x
 

15. Cho hàm số
khi 0
2
( )
khi
2
x x
f x
x x


 






    




a. Khai triển hàm số theo các hàm số sin.
b. Tính tổng
2
1
1
(2 1)
n
S
n





.
9

16. Cho hàm số
2
2
( ) 1
x
f x  

với
x
 
.

a. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier.
b. Tính tổng
2
1
1
n
S
n




.
17. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số
( ) sin
2
x
f x 
, với





x

18. Cho hàm số
2
)( xxf  với




x0
.
a. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier.
b. Từ đó hãy tính tổng
2
1
1
n
S
n




.
19. Cho hàm số
)()( xxxf



với
),0(


x

a. Khai triển hàm số đã cho theo các hàm số sin.
b. Tính tổng

3
0
( 1)
(2 1)
n
n
S
n






.
20. Cho hàm số
2
)( xxf  với
),(




x
.
a. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier.
b. Tính tổng
2
1
( 1)

n
n
S
n





.