Bài tập giải tích 11 cơ bản và nâng cao

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
2. Hai cung bù nhau:
x
π
−
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π

π
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Hai cung phụ nhau:
2
x
π
−
và x
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
π π
π π
   
− = − =
 ÷  ÷
   
   
− = − =
 ÷  ÷
   
4. Hai cung hơn kém nhau Pi:
x

π
+
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
1
. sin cos 1 . 1 tan
cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin
a x x b x

x
c x d x x
x
+ = + =
+ = =
6. Công thức cộng lượng giác
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y y x
x y x y y x
− = +
+ = −
− = −
+ = +
7. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
sin 2 2sin cos : sin 2sin cos
2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x
= =
= − = − = −
8. Công thức nhân ba:
3 3

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = −
9. Công thức hạ bậc:
2 2
1 cos2 1 cos2
sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= − + +
= − − +
= − + +
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích

Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
1
Trng THPT Hựng Vng WWW.ToanCapBa.Net Bi tp Toỏn khi 11
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+
+ =
+
=
+
+ =
+
=
A. CễNG THC BIN I
I/. GI TR LNG GIC

Bi 1: Cho
3 3
sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot .
5 2
p
a p a a a a
ổ ử
ữ
ỗ
=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0
( )
o o
180 < a < 270
.Tớnh sina , tana, cota.
Bi 3: Cho
o o o o
tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= -
Bi 4: Tớnh
tan x cot x
A
tan x cot x
+
=
-

bit
1
sinx = .
3
Tớnh
2sin x 3cosx
B
3sin x 2cosx
+
=
-
bit tanx = -2
Tớnh
2 2
2
sin x 3sin xcosx 2cos x
C
1 4sin x
+ -
=
+
bit cotx = -3
Bi 5: Chng minh:
4 4 2 2 6 6 2 2
a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x

(s dng nh 1 cụng thc)
2 2 2 2 2 2
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
Bi 6: Chng minh cỏc ng thc sau:

2 2
2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosx
g/
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin y
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx
tan x.tan y sin x.sin y
Bi 7: * Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 6 4 4 4 2 4 2

2
4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4
6 6
4 2 4 2
4 4
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
sin x+cos x-1
E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= ;
sin x+cos x-1
4 4
6 6 4
2 2
sin x+3cos x-1
G=
sin x+cos x+3cos x-1
H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
2
p
ộ ự
ờ ỳ
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
II/. GI TR LNG GIC CA CUNG C BIT
* Bit 1 HSLG khỏc:
Bi 1: Cho sinx = - 0,96 vi
3
x 2
2

p
p
ổ ử
ữ
ỗ
< <
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Nguyn Hu Hiu - GV Trng THPT Hựng Vng- TX ng Xoi-Bỡnh Phc
WWW.ToanCapBa.Net
2
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
a/ Tính cosx ; b/ Tính
( ) ( )
sin x , cos x , tan x , cot 3 x
2 2
p p
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç

è ø è ø
Bài 2: Tính:

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2cos sin tan
2 2
A 2cos ;
cot sin
2
3 3
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3
cos 2 tan
cos cot
2
p p
a a p a
a
p
a p a
p p p p
a b b a
b b b
p

p b p a
p a b
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
= -
æ ö
÷
ç
+ -
÷
ç
÷
ç
è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
+ + - +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

= - + -
æ ö
- -
÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 3: Đơn giản biểu thức:

( ) ( )
( )
( ) ( )
9 5
A sin 13 cos cot 12 tan ;
2 2
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2
p p
p a a p a a
p p p
p a a a a
p p p

p a a p a a a
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= + - - + - + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= - + - - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= + + - - - + - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
÷
Bài 4: Đơn giản biểu thức:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o o o o o
A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
p p p p= + + + + + + + +
= - - - + + + - + -
Bài 5: Đơn giản biểu thức:

( ) ( )
( )
( )
o o
o o o
19
tan x .cos 36 x .sin x 5
2sin 2550 cos 188
1
2
A B
9
tan368 2cos638 cos98
sin x .cos x 99
2
p
p p
p
p
æ ö

÷
ç
- - -
÷
ç
-
÷
ç
è ø
= = +
æ ö
+
÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 6: Chứng minh:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
2 2
a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0
85 3
b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1
2 2

p p
p p
- + - + =
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ + + + + + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:

A B C
a /sin(A B) sin A; b/ cosA cos(B C) 0; c /sin cos ;
2 2
3A B C
d/ cosC cos(A B 2C) 0; e/sin A cos 0
2
+
+ = + + = =
+ +
+ + + = + =
III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
o o o o o
15 ,75 ,105 ,285 ,3045
Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
7 13 19 103 299

, , , ,
12 12 12 12 12
p p p p p
Bài 10: Tính
cos x
3
p
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
biết
12 3
sin x , ( < x < 2 )
13 2
p
p=-
Bài 11: Cho 2 góc nhọn
,a b
có
1 1
tan ,tan
2 3
a b= =
. a/ Tính

( )
tan a b+
b/ Tính
a b+
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
3
Trng THPT Hựng Vng WWW.ToanCapBa.Net Bi tp Toỏn khi 11
Bi 12: Cho 2 gúc nhn x v y tho :
x y
4
tan x.tan y 3 2 2
p
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ớ
ù
ù
= -
ù
ợ
a/ Tớnh
( )
tan x y ;tan x tan y+ +
b/ Tớnh tanx , tany c/ Tớnh x v y.
Bi 13: Tớnh
tan x

4
p
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
bit
40
sin x
41
=-
v
3
< x <
2
p
p
Bi 14: Tớnh
tan
4
p
a
ổ ử
ữ
ỗ

+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
theo
tana
. p dng: Tớnh tg15
o
Bi 15: Tớnh:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
o o
tan 25 tan 20 1 tan15
A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C
1 tan 25 .tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 .cot 69
D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F
3
cot 261 tan 201
+ +
= + = =
- -
-
= - = + =
+

Bi 16: Tớnh:

3
a / A cos x cos x cos x cos x
3 4 6 4
2 2
b/ B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x
3 3 3 3
p p p p
p p p p
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= - + + + +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= + + + + + +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
Bi 17: Chng minh biu thc sau c lp i vi x:

2 2 2 2 2 2
2 2
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3
p p p p
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= + + + - = + + + -
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
Bi 18: Chng minh:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c/sin a b .cos a b sina cosa sinbcosb
d /sin a sin a 2 sina
4 4
p p
+ - = - = -
+ - = - = -
+ - = +

ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Bi 19: Loi 5: H thc lng trong tam giỏc
Cho tam giỏc ABC.Chng minh:

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B
6/ tan tan tan
2 2
p
= -
= -
ổ ử
ữ

ỗ
ạ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+ =
+ + =

( hc thuc kt qu )
Cụng thc bin i:
Nguyn Hu Hiu - GV Trng THPT Hựng Vng- TX ng Xoi-Bỡnh Phc
WWW.ToanCapBa.Net
4
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
( ) ( )
o o
2
a / sin .sin b / cos5x.cos3x c/ sin x 30 cos x 30
5 5

p p
+ -
( ) ( ) ( )
d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e /8cos x.sin 2x.sin3x;
f /sin x .sin x .cos 2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a
6 6
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - - -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH

( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c/ sin5x sin x
d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tana; f / tan 2a tan a
+ - +
+ - - + + -
Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C

10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )
2 2 2
2 2 2
4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23: Chứng minh
ABCD
vuông nếu:

2 2 2
sin B sin C
a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2
cos B cosC
+
= = + + + =
+

Bài 24: Chứng minh
ABCD
cân nếu:

2
C sin B
a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2tan B tan A.tan B; d / 2cos A
2 sin C
= + = + = =
Bài 25: Chứng minh
ABCD
đều nếu:
1 3
a / cos A.cosB.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cosA cos B cosC
8 2
= + + = + + + + =
Bài 26: Chứng minh
ABCD
cân hoặc vuông nếu:

( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ -
Bài 27: Hãy nhận dạng
ABCD
biết:

2 2 2
sin A
a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C
cos B
+ + = + + = =
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0
≠
(A có nghĩa) ;
A
có nghĩa khi A
0
≥
2)
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤

3)
sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2
2 2
x x k k k
π π
π π π
= ⇔ = ⇔ + ⇔ − +
4)

os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2
2
c x x k c k c k
π
π π π π
= ⇔ = + ⇔ ⇔ +
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
5
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
5) Hàm số y = tanx xác định khi
2
x k
π
π
≠ +
Hàm số y = cotx xác định khi
x k
π
≠
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x
+
+
3) y = sin
4x +

4) y = cos
2
3 2x x− +
5) y =
2
os2xc
6) y =
2 sinx−
7) y =
1 osx
1-sinx
c+
8) y = tan(x +
4
π
) 9) y = cot(2x -
)
3
π
10) y =
1 1
sinx 2 osxc
−
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin
2
(-x) =
[ ]
2

sin(-x)
= (-sinx)
2
= sin
2
x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ
D
; Kiểm tra
,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng

− = →


− = − →


− ≠ ± →

0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y =

1
2
tan
2
x 5) y = sin
x
+ x
2
6) y = cos
3x
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 ÷
 
Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
+ π + π
 ÷
 

Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2k k−π + π π
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2k kπ π + π
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 ÷
 
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
;k kπ π + π
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên
;
6 3
π π
 
−
 ÷
 
2) y = cosx trên khoảng
2 3
;

3 2
π π
 
 ÷
 
3) y = cotx trên khoảng
3
;
4 2
π π
 
− −
 ÷
 
4) y = cosx trên đoạn
13 29
;
3 6
π π
 
 
 
5) y = tanx trên đoạn
121 239
;
3 6
π π
 
−
 

 
6) y = sin2x trên đoạn
3
;
4 4
π π
 
−
 
 

7) y = tan3x trên khoảng
;
12 6
π π
 
−
 ÷
 
8) y =sin(x +
3
π
) trên đoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 

 
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
6
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số
Hàm số

Khoảng
3
;
2
π
 
π
 ÷
 
;
3 3
π π
 
−
 ÷
 
23 25
;
4 4
π π
 
 ÷

 
362 481
;
3 4
π π
 
− −
 ÷
 
y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K
⇒
y = A.f(x) +B
®ång biÕn trªn K nÕu A > 0
nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0



Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn
[ ]
;−π π
2) y = -2cos
2
3
x
π

 
+
 ÷
 
trên đoạn
2
;
3 3
π π
 
−
 
 
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý :
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤
; 0
≤
sin
2
x
≤
1 ; A
2
+ B
≥
B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x-
2

π
) + 3 2) y = 3 –
1
2
cos2x 3) y = -1 -
2
os (2x + )
3
c
π
4) y =
2
1 os(4x )c+
- 2 5) y =
2 sinx 3+
6) y = 5cos
4
x
π
+
7) y =
2
sin 4sinx + 3x −
8) y =
2
4 3 os 3 1c x− +
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
;a b

thì
[ ]
[ ]
a ;
a ;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f b f x f a= =
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f a f x f b= =
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn
;
2 3
π π
 
− −
 
 

2) y = cosx trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 
3) y = sinx trên đoạn
;0
2
π
 
−
 
 
4) y = cos
π
x trên đoạn
1 3
;
4 2
 
 
 
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
sin u = sin v ⇔




+−=
+=
ππ
π
2
2
kvu
kvu
( k ∈ Z )
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
7
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11
sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π ,sinx = -1 ⇔ x = -
2
π
+ k2π
cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .

3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a
2
+ b
2
≠ 0
Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔
)cos(.
22
ϕ
−+
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
asinx +bcosx = c ⇔
)sin(.
22
ϕ
++
xba
= c với
22
cos
ba

a
+
=
ϕ
.
Cách 2 :
Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z
Với x ≠ π + kπ đặt t = tan
2
x
ta được phương trình bậc hai theo t :
(c + b)t
2
– 2at + c – a = 0
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a
2
+ b
2
- c
2
≥ 0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1.
2sincos3 =− xx
, 2.
1sin3cos
−=−
xx
3.
xxx 3sin419cos33sin3

3
+=−
, 4.
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx
5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
, 6.
tan 3cot 4(sin 3cos )x x x x
− = +

7.
3(1 cos 2 )
cos
2sin
x
x
x
−
=
8.
2

1
sin 2 sin
2
x x+ =

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin
4
x + cos
4
x) = 2sin2x – 1
5. sin
4
2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x 6.
x
x
2
cos
3
4
cos

=
7.
2
3
3 2tan
cos
x
x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4x x+ =
10.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 .
Cách 1 :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xét
cos 0x ≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx.
Cách 2: Thay sin

2
x =
2
1
(1 – cos 2x ), cos
2
x =
2
1
(1+ cos 2x) ,
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
8
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11
sinxcosx =
2
1
sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi
đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =
2
π
+ kπ ,k∈Z.
Bài tập :
1. 2sin
2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = - 2
2. 3sin

2
x + 8sinxcosx + ( 8
3
- 9)cos
2
x = 0
3. 4sin
2
x +3
3
sin2x – 2cos
2
x = 4
4. 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
5.
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
6/ Phương trình dạng : a( cosx
±
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =

2
1
2
−
t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
t
−
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2

x + 3 =
xcos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2
x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx
2/
x
x
2
cos
3
4
cos
=
ĐS : x = k3π , x= ±
4
π
+k3π , x = ±
4
5
π
+k3π
3/ 1+ sin
2
x

sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(
−
4
π

2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π
+ k π
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
ĐS : x = k2π , x = ±
3
π
+k2π
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos

2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1

7/ 2cos
2
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
9
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x

12/ tan
3
( x -
4
π
) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π
+ kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π
+ kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 .
2/ cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3

x
4/ sin
3
x + cos
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x ) ĐS : x=
4
π
+
2
π
k

5/ sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
6/ 3cos
4

x – sin
2
2x + sin
4
x = 0 ĐS :x = ±
3
π
+ kπ v x=
4
π
+
2
π
k

7/ 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos
3
x = 5sin 2x cosx
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
Giải các phương trình sau :
1/ cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos

3
x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin
3
x + cos
3
x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin
3
x – cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin
1
cos
1
=+++
xx
xx

7/ tanx + tan
2
x + tan
3

x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6
8/
x
2
sin
2
+ 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x 10/ cos
3
x – sin
3
x = - 1
11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).


IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC .

Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
3/ sin
2
x + sin
2
3x – 3cos
2
2x = 0 4/ cos3x cos
3
x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

5/ sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
x + cos

6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin
4
x + cos
4
x – cos
2
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
10
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin
3
x. 10/
x
x
xx
sin
cos1

sincos
=
−
+

11/ sin
2
)
42
(
π
−
x
tan
2
x – cos
2
2
x
= 0 12/ cotx – tanx + 4sinx =
xsin
1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)

2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x
x
xx
x
16/ sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
tan 1
cos
x x
x
x

−
+ =
19/ tanx +cosx – cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x
)
20/ cotx – 1 =
2
cos2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
+ −
+
21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =
D. TOÅ HÔÏP
Tóm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và
B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách.
Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được
thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:

a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k ∈ ¥
mà
1 k n≤ ≤
. Khi lấy ra k phần
tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được
một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A
là:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
.

3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số
k ∈ ¥
mà
1 k n≤ ≤
. Một tập hợp con của
A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
( )
( ) ( )
k
n
n n 1 n k 1
n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
( )
( )
*
k n k
n n
k k k 1

n 1 n n
Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n
−
−
+
∈
= ≤ ≤
= + ≤ ≤
¥
III. Khai triển nhị thức Newton
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
11
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.

– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T
k+1
thì:
k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
–
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2
+ + + + =
–
( ) ( )
k n
0 1 2 3 k n
n n n n n n
C C C C 1 C 1 C 0
− + − + + − + + − =
Chú ý:
–
( )
n
n
k n k k
n
k 0

a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
–
( )
n
n
k k n k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
Các Dạng bài toán cơ bản
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu
khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập
{ }
A 0;1;2;3;4=
. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn
trong số các phần tử của A?

Bài 3: Từ tập
{ }
A 1,2,3, 4,5=
hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1
xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: P
n
= n! = 1.2.3…n
• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ
ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập
{ }
A 0,1,2,3,4,5=
có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?

Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
( )
( )
k
n
n!
C 0 k n
k! n k !
= ≤ ≤
−
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập
được bao nhiêu tam giác?
Dạng 5: Tìm
*
n ∈ ¥
trong phương trình chứa
k k
n n n
P , A ,C
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
12
Trng THPT Hựng Vng WWW.ToanCapBa.Net Bi tp Toỏn khi 11
Phng phỏp gii: Dựng cỏc cụng thc:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )

k k
n n n
n! n!
P n! n 1 ; A n n 1 n k 1 1 k n ; C 0 k n
n k ! k! n k !
= = + = =

Bi 8: Tỡm
*
n

Ơ
, nu cú:
( )
3
n
n
n 1
2P
A 1
P

=
.
Bi 9: Tỡm
*
n

Ơ
, nu cú:

( )
3 3
n n 1
6n 6 C C . 2
+
+
Dng 6: Tỡm phn t c bit trong khai trin ca (a + b)
n
.
Phng phỏp gii: S dng cụng thc khai trin ca nh thc Newton:
( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
n n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b C a b C b

=
+ = = + + + + + +

(khai trin theo ly tha ca a
tng, b gim)
(Chỳ ý:
( )
n
n
k k n k
n
k 0

a b C a b

=
+ =

khai trin theo ly tha ca a gim dn, b tng dn)
Bi 10: Tỡm s hng cha x
3
trong khai trin (11 + x)
11
.
Bi 11: Trong khai trin
10
3
3
2 x
x


ữ

, (x > 0), hóy tỡm s hng khụng cha x.
Bi 12: Tỡm h s ca x
8
trong khai trin
( )
8
2
1 x 1 x

+

Bi 13: Cho khai trin:
( )
10
2 10
0 1 2 10
1 2x a a x a x a x+ = + + + +
, cú cỏc h s
0 1 2 10
a ,a ,a , , a
. Tỡm h
s ln nht
Bi 14: Tỡm s hng trong cỏc khai trin sau
1) S hng th 13 trong khai trin
25
(3 x)-
2) S hng th 18 trong khai trin
2 25
(2 x )-
3) S hng khụng cha x trong khai trin
12
1
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
4) 32) S hng khụng cha x trong khai trin
12
28
3
15
x x x
-
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
5) 33) S hng cha a, b v cú s m bng nhau trong khai trin
21
3
3
a b

b
a
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 15: Tỡm h s ca s hng trong cỏc khai trin sau
1) H s ca s hng cha
4
x
trong khai trin
12
x 3
3 x
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ố ứ
2) H s ca s hng cha
8
x
trong khai trin
12
5
3
1
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
3) H s ca s hng cha
8
x
trong khai trin
8
2
1 x (1 x)
ộ ự
+ -

ờ ỳ
ở ỷ

4) H s ca s hng cha
5
x
trong khai trin
( )
10
2 3
1 x x x+ + +

5) H s ca s hng cha
3
x
trong khai trin
2 10
(x x 2)- +
Nguyn Hu Hiu - GV Trng THPT Hựng Vng- TX ng Xoi-Bỡnh Phc
WWW.ToanCapBa.Net
13
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11
6) Hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển
2 10
(1 x 3x )+ +
7) Hệ số của số hạng chứa
3

x
trong khai triển:
8)
3 4 5 50
S(x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x)= + + + + + + + +
9) Hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển:
10)
3 4 5 22
S(x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x)= + + + + + + + +
11)Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển
10 10
(1 x) (x 1)+ +
.
Dạng 7: Tìm tổng có chứa
k
n
C
Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị
thích hợp, từ đó suy ra kết quả.
Bài 16: Tính tổng:
( ) ( )
k n
0 1 2 n 0 1 2 k n
1 n n n n 2 n n n n n
S C C C C ; S C C C 1 C 1 C= + + + + = − + − + − + + −

Bài 17: Tính tổng:
0 2 4 2n 1 3 2n 1
3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n
S C C C C ; S C C C
−
= + + + + = + + +
Bài 18: Tính tổng:
( )
n
0 1 2 2 3 3 n
n n n n n
T C 2C 2 C 2 C 2 C= − + − + + −
E. CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ
số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số
không đỗi gọi là công sai.
Gọi d là công sai, theo đònh nghóa ta có: u
n+1
= u
n
+ d (n = 1, 2, ).
Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều
bằng nhau.
Để chỉ rằng dãy số (u
n
) là một cấp số cộng,ta kí hiệu
÷
u
1

, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát u
n
của một cấp số cộng có số hạng đầu u
1
và công sai
d được cho bởi công thức: u
n
= u
1
+ (n - 1)d
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số
hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số
hạng kề bên nó, tức là
2
11 +−
+
=
kk
k
uu
u
(k
≥

2).
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Đònh lí: Để tính S
n
tacó hai công thức sau:
• S
n
tính theo u
1
và d
[ ]
dnu
n
S
n
)1(2
2
1
−+=
• S
n
tính theo u
1
và u
n

)(
2
1 nn
uu

n
S +=
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:

, 8,5,2/÷a
tìm u
15
.

, 32,4,32/ −+÷b
tìmu
20
.
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
14
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11
ĐS:
31840/
44/
20
15
−=
=
ub
ua
Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng
30.
Bài 3: Cho cấp số cộng:




=+
=−+
26
10
64
352
uu
uuu

Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của
chúng là 165.
Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của
chúng là 1140.
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một
cấp số cộng với công sai là 25.
Bài 7: Cho cấp số cộng
÷
u
1
, u
2
, u
3
,
Biết u
1

+ u
4
+ u
7
+ u
10
+ u
13
+ u
16
= 147.
Tính u
1
+ u
6
+ u
11
+ u
16
.
Bài 8: Một cấp số cộng (a
n
) có a
3
+ a
13
= 80.
Tìm tổng S
15
của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng
cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Bài 10: cho cấp số cộng (a
n
) có a
1
= 4, d = -3. Tính a
10
.
Bài 11: Tính u
1
, d trong các cấp số cộng sau đây:




=
=



=
=+
35
19
/2
129
14
/1
9

5
13
53
u
u
S
uu




=−
−=+





=
=
72
31
/4
2
45
9
/3
94
103
6

4
uu
uu
S
S
ĐS: 1/ u
1
=
13
53
và d =
39
38
; 2/ u
1
= 3 và d = 4.
3/ u
1
= 0 và d =
2
3
; 4/ u
1
= và d = .
Bài 12: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
= -15, u
14

= 18.
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Bài 13: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
1
= 17, d = 3. Tính u
20
và S
20.

ĐS: u
20
= 74, S
20
= 910
Bài 14: Cho cấp số cộng (u
n
) có a
10
= 10, d = -4.
Tính u
1
và S
10
. ĐS: u
1
= 46, S
10
= 280

Bài 15: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
6
= 17 và u
11
= -1.
Tính d và S
11
. ĐS: d =
5
18
−
và S
11
= 187
Bài 16: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
= -15, u
4
= 18.
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. ĐS: S
20
= 1350
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
15
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11

CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ
số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với
một số không đỗi gọi là công bội.
Gọi q là công bội, theo đònh nghóa ta có
u
n+1
=u
n
.q (n = 1, 2, ).
Đặc biệt:
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, u
1
, , u
1
,
Nếu u
1
= 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (u
n
) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu

u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
u
n
= u
1
1−n
q
(q
0≠
)
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Đònh lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng
cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trò tuyệt đối là trung bình nhân của hai
số hạng kề bên nó, tức là:

11
.
+−
=
kkk
uuu

)2( ≥k
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Cho một cấp số nhân với công bội q
≠
1
u
1
, u
2
, ,u
n
,
Đònh lí: Ta có:
1
1
1
−
−
=
q
q
uS
n
n
(q
≠
1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:

1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u
1
= 243 và u
6
= 1
2/ Cho q =
4
1
, n = 6, S
6
= 2730. Tìm u
1
, u
6
.
Bài 2: Cho cấp số nhân có: u
3
= 18 và u
6
= -486.
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
Bài 3: Tìm u
1
và q của cấp số nhân biết:



=−
=−
144

72
35
24
uu
uu
Bài 4: Tìm u
1
và q của cấp số nhân (u
n
) có: u
3
=12, u
5
=48.
Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (u
n
) biết:



=++
=++
351
13
654
321
uuu
uuu
Bài 6: Tìm cấp số nhân (u
n

) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số
hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
16
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11
Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1
và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
17
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11
PHẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Câu 1: Trong mặt phẳng oxy,phép tònh tiến theo vectơ
( ; )v a b

biến điểm M(x;y)
thành M’(x’;y’) . Tìm tọa độ điểm M'
Câu 2:Trong mặt phẳng oxy cho điểm M (1;2) .Phép tònh tiến theo vectơ
(2;3)v
r
biến
điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N.
Câu 3: Trong mặt phẳng oxy cho điểm A(4;5). Tìm điểm B(x,y) sao cho A là ảnh của
điểm B qua phép tònh tiến theo
(2;1)v
r
:
Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng:

A) tam giác đều B) hình chữ nhật C) Hình vuông D)Hình thoi
Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3). Phép đối xứng qua trục ox biến
điểm M thành M’. Tìm tọa độ điểm M'
Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 .Tìm ảnh
của đường thẳng d qua phép tònh tiến vectơ
(1;1)v
r
?
Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm
ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục ox.
Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3).Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến
điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N?
Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 3x+4y-
6=0, phép đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’. Tìm phương trình d'
Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)
2
+(y-4)
2

=36 . Phép tònh tiến theo vectơ
(1;2)v
r
biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C')
Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)
2
+(y-4)
2
=25
. Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C')
Câu 12 :Trong các phép biến hình sau phép nào không phải là phép dời hình ?

A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vò tự tỉ số k=
1±
; C) phép tònh tiến ;
D)phép chiếu vuông góc
Câu 13 : Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)
2
+(y-3)
2

=16 . Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ
độ biến (C) thành (C') và phép tònh tiến
(1;4)v
r
biến (C') thành (C’'). Tìm phương
trình của (C'').
Câu 14 :Cho hình vuông ABCD .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo .Thực hiện
phép quay tâm O biến hình vuông ABCD thành chính nó. Tìm số đo của góc quay
đó?
Câu 15 : Phép vò tự tâm O tỉ số k (k
≠
0) là một phép biến hình biến điểm M thành
điểm M’ sao cho :
A)
OM
uuuur
= k
'OM
uuuuur
B)
'OM

uuuuur
= k
OM
uuuur
C) OM’ =k OM D)
'OM
uuuuur
=
1
k
OM
uuuur
Câu 16 : trong mp oxy cho điểm M( -2;4 ). Phép vò tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M
thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N
Câu 17 : trong mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – 4 = 0. Phép vò tự tâm O tỉ số
k = 3 biến d thành đường thẳng d'. Tìm phương trình d'?
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
18
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11
Câu 18 : trong mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 )
2
+ y
2
= 16. phép vò
tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn (C'). Tìm phương trình (C')
Câu 19 : Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là
phép naò sau đây:
A) phép đối xứng trục B) phép tònh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm
Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) . phép đồng dạng có được bằng cách thực

hiện liên tiếp phép
2
o
V
và phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N. Tìm N?
Câu 21 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 . phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số
1
2
và phép
đối xứng qua trục ox biến d thành d’. Tìm phương trình d'?
Câu 22 : Trong các phép biến hình sau đây phép biến hình nào không có tính chất
“biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”:
A) phép đối xứng tâm B) phép tònh tiến C) phép vò tự D) phép đối xứng trục
Câu 23: Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)
2
+ (y-2)
2
=4 .Phép đồng dạng có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k=3 và phép tònh tiến theo
vectơ
(1;2)V
ur
biến (C) thành (C'). Tìm (C') ?
Câu 24 : Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)
2
+ (y-2)
2
=4 . Phép đồng dạng có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k=3 và phép đối xứng qua

gốc toạ độ biến (C) thành (C'). Tìm (C')?
Câu 25 : Chọn khẳng đònh sai trong các khẳng đònh sau :
A)phép tònh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
B) phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
C) phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
D) phép vò tự biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG
Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β :
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
α
và
β
ta đi tìm hai điểm chung I ; J của
α
và
β



α

∩

β
= I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :


Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung


M
∈
d và d
⊂

α


M
∈

α





β⊂α⊂
=∩
b;a
Mba (P) trong


M là điểm chung
1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt
phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC)
cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau :
(SAB) ; (SAC) ; (SBC)
1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S khơng nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm

giao tuyến của :
a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
19
α
β
I
J
•
•
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với
các mặt phẳng (SAD) ; (SCE)
1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD.
Tìm giao tuyến của các mặt phẳng :
a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC)
1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm
giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD)
1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM =
4
1
MB ; N nằm trên AC sao cho
AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)
1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC .
a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)
b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao
tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?

1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho :
NC
AN
MB
AM
≠
. Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD)
1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?
1. 10 : Trong mặt phẳng α cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm
ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của :
a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD)
1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là
trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC)
Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Chứng minh A; B; C thẳng hàng :
Chỉ ra A ; B ; C
∈

α

Chỉ ra A ; B ; C
∈

β
Kết luận : A; B; C
∈

α

∩

β


A; B; C thẳng hàng
Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
20
α
β
A
C
•
•
•
B
M
N
•
•
a
b
P
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
Đặt a
∩

b = P
Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng
Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P
2. 1: Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d .Trên α lấy hai điểm A ; B
nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần
lượt cắt β tại A’ ; B’. AB cắt d tại C
a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?
b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy
2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ;
trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC
cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?
2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng α . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao
điểm AB ; BC ; AC với α. Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?
2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai
đường chéo ; M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO ;
BN ; CM đồng quy
2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD
lần lượt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?
2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện
đồng quy ?
2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là
trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD)
c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu
b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ?
Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU,
VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG
Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :

Giả sử : a không chéo b


Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong
cùng mặt phẳng
α
( đồng phẳng )

Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc
mâu thuẫn với một điều đúng nào đó

Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng


Chứng minh hai đường
thẳng tạo thành từ bốn
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
21
b
a
α
•
A
α
B
C
D
•
•
•
•

A
α
B
C
D
•
•
•
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
điểm đó cắt nhau hoặc
song song với nhau
3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng
b)Chứng minh AB chéo với CD ?
3. 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai
điểm C, D
a)Chứng minh AC chéo BD ?
b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB
hoặc CD không ?
c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng
3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng
phẳng không ? Tại sao ?
3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC.
a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ?
Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α
Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ α = ?
Phương pháp 1:
Tìm a
⊂

α

Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và
chúng cắt nhau tại M

d
∩

α
= M ( hình vẽ )
Phương pháp 2:
Tìm
β
chứa d thích hợp
Giải bài toán tìm giao tuyến a của
α
và
β

Trong
β
: a
∩
d = M

d


α
= M ( hình vẽ b)

4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN cắt
(ABC) tại P. Xác định giao điểm P
4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên
AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD) b) BD với (MNP)
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)
4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC;
BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :
a) CD với (MNP) b) AD với (MNP)
4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ;
SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO) b) SO với (ADE)
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
22
•
α
d
a
M
•
α
M
β
d
a
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K
sao cho CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?

4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm
trên SA; SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC
4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong ABC; ABD của tứ diện ABCD. M là điểm
tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB)
4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD
a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?
b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?
Vấn đề 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG α VỚI KHỐI ĐA DIỆN
Lần lượt xét giao tuyến của

với các
mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của
các cạnh của đa diện với mặt phẳng


Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép
kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm.
Việc chứng minh tiết diện có hình
dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ;
. . . trong mặt phẳng
α
cũng nhờ vào quá trình
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên
Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :
I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến
II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’
; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?
2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ;

AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của
(MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là
trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba
điểm E; F ; K
2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ;
SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
23
A
α
B
D
C
E
F
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N
là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA =
2
1
MD ; ND =
2
1
NC
a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm ABC ; DBC ; M là trung

điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ?
2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định
thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp
5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung
điểm SB ; SC .
a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp
*5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC
a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM
b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?
c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp
d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?
*5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là
trung điểm SB ; SD ; OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?
c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1
5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là
trọng tâm ∆SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?
b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ?
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?
d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?
*5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm
∆SAB ; ∆SAD
a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp
5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?

b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
24
Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11
1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng α qua I cắt AB; BC;
CD; DA tại M; N; P; Q.
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm
SD; E là điểm trên cạnh BC
a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?
b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là
điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình
4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là
điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB .
a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là điểm
trên cạnh BC sao cho BE = 2EC .
a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?
b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?
6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là
trọng tâm ∆SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và
IC = 2ID ?

b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số
JD
JA
c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính
KS
KA
HD: b) 2 c) 2
7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho
AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ =
4
1
BC
a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID
b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD
8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không song
song với BC. Mặt phẳng α quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ?
b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?
c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ?
9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả :
SA’ =
1n
1
+
SA ; SB’ =
1n2
1
+
SB ; SC’ =
1n3

1
+
SC
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
WWW.ToanCapBa.Net
25