TỔNG HỢP ĐỀ THITUYỂN SINH THẠC SĨ TOÁN HỌCĐẠI HỌC CẦN THƠ 2001-2012
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (927.85 KB, 21 trang )
TỔNG HỢP ĐỀ THI
TUYỂN SINH THẠC SĨ TOÁN HỌC
ĐẠI HỌC CẦN THƠ 2001-2012
L
A
T
E
X by Mẫn Tiệp
∗
Ngày 5 tháng 12 năm 2013
Lưu ý
a) Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút
b) Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào, kể cả Sách giáo khoa (đối với môn Lý luận dạy
học toán) để làm bài
c) Đối với đề thi Giải tích (tương ứng: Đại số) mà đề có hai phần Giải tích cơ sở và Giải tích hàm
(tương ứng: Đại số tuyến tính và Đại số đại cương) thì thí sinh làm mỗi phần trên tờ giấy thi
riêng
d) Đối với đề thi Lý luận dạy học toán (sau này sẽ gọi tắt là đề thi môn Phương pháp) thì các kiến
thức toán học trong đề chỉ được xét trong chương trình Toán (phân ban) hiện hành
e) Câu tô màu đỏ có thể đánh máy không chính xác, vì tác giả chỉ có đề photo rất mờ
f) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học Cần Thơ mà tác
giả chưa cập nhật, xin liên hệ email
g) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồn L
A
T
E
X của ebook này, nhưng phải ghi rõ đội
ngũ thực hiện
∗
Email:
1
1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
1 Đề thi môn Giải tích
1.1 Giải tích, đề mẫu 01 (gần với đề Giải tích, năm 2006)
Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân
K =
˚
V
x y z d x d y dz
với V là vật thể giới hạn bởi các mặt x + y = 1 và 0 ≤z ≤ x y
Câu 2 (2,0 điểm). Tính tích phân đường
I =
ˆ
L
x y d l
với L là đường giao tuyến của các mặt z = 2 −x
2
−2y
2
và z = x
2
từ điểm A(0;1;0) đến B(1;0;1)
Câu 3 (1,5 điểm). Tìm cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = 2x
3
+ 12x y −6y
2
+ 3
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y
+ 4y
+ 4y = 2e
2x
(x
2
+ 2x + 10)
Câu 5 (1,5 điểm). Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C [−3,3], với
A =
f ∈C [−3,3] : |f (x )|< 5 ∀ x ∈[0,1]
∩
f ∈C [−3,3] :
ˆ
1
0
f (x ) d x < 5
Câu 6 (1,5 điểm). Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình
f
(t ) = 4t + 3 + 5sin[f (t )]
2
; f (0) = 1
có nghiệm f ∈C [0,k ] thỏa mãn f
∈C [0, k]
Câu 7 (1,0 điểm). Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d . Chứng minh
ρ(x , y ) =
d (x, y )
1 + d (x, y )
, ∀ x , y ∈E
cũng là một khoảng cách trong E
———————————HẾT———————————
1.2 Giải tích, đề mẫu 02 (gần với đề Giải tích, năm 2010, đề 03)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho miền D giới hạn bởi y = x
3
, y = x ≥0. Hãy
• Biểu diễn miền D
• Tính diện tích của D
• Tính I =
¨
D
(x
2
+ y
2
)d x d y
2
www.VNMATH.com
1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.3 Giải tích, năm 2001
Câu 2 (1,5 điểm). Tính tích phân đường
I =
ˆ
C
(4x
2
−4y
2
)d x + (ln y −8x y )d y
với C = C
1
∪C
2
, mà C
1
=
(x, y )|1 ≤ x ≤2, y (x ) = x
2
, C
2
=
(x, y )|2 ≤ x ≤4, y (x ) = 8 −2x
Câu 3 (1,0 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số sau
f (x , y ) = −4x
3
+ 10x y + 2y
2
+ 10
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm của phương trình vi phân
2y
−3y
+ y = e
2x
(x
2
−10)
thỏa mãn điều kiện y (0) = 6, y
(0) = 15
Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng tập hợp
B =
f ∈C [0,1] : |f (x )|< 6 ∀ x ∈[0,1]
∩
f ∈C [0,1] :
ˆ
1
0
f (x ) d x ≥5
không mở, không đóng trong C [0,1]
Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình
f (t ) =
ˆ
1
0
e
−[t −f (s)]
2
d s
có nghiệm duy nhất f ∈C [0,1]
———————————HẾT———————————
1.3 Giải tích, năm 2001
Câu 1 Cho hàm u(x, y ) = lnsin
x
y
với x (t ) = 3t
2
, y (t ) =
t
2
+ 1. Tìm
d u
d t
Câu 2 Tính cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = y
3
−x
2
−2x y −x −2y
Câu 3 Tính I =
ˆ
AB
(x
2
+ y
2
)dl với AB là 1/4 cung đường tròn tâm O, bán kính R nằm ở góc
vuông thứ nhất
Câu 4 Tìm khoảng hội tụ và khảo sát tính hội tụ ở hai đầu khoảng đó của chuỗi
∞
n=1
(n + 1)x
2n
(2n + 1)
Câu 5 Cho T f =
ˆ
1
−1
t |t |f (t )d t , với mọi f ∈[−1;1]. Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính,
liên tục từ [−1;1] vào . Tìm ||T ||
Câu 6 Cho D =
(x; y ;z ) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ x y + y z + z x ≤1
. Chứng minh rằng D compăc trong
3
———————————HẾT———————————
3
1.4 Giải tích, năm 2002 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
1.4 Giải tích, năm 2002
Câu 1 Tính cực trị (nếu có) của f (x , y ) = y
2
x + 2x
2
−4x y + 5x
Câu 2 Tính I =
¨
D
(x +2y )(y −x)
2
d x d y , biết rằng D là miền giới hạn bởi các đường y = x +1;
y = x + 4; x = −2y ; x = −2y + 4
Câu 3 Tính I =
ˆ
C
(y + 2x e
y
)d x + (x + x
2
e
y
)d y , với C là đường cong nối từ (1; 0) tới (2; ln2)
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y
−5y
+ 4y = e
x
Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co (dạng mở rộng) rằng phương trình sau có nghiệm duy
nhất y ∈[0;1]: y (t ) =
ˆ
t
0
y (x )cos(t −x)
2
d x
Câu 6 Chứng minh rằng tập hợp A compăc trong
2
với A =
(x; y ) : x
2
+
3
2
x y + y
2
≤1
———————————HẾT———————————
1.5 Giải tích, năm 2003
Câu 1 Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f : D ⊂
n
→ trong đó D
là tập đóng giới nội. Áp dụng với f (x , y, z ) = x y z và D là hình cầu đơn vị đóng
Câu 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∞
n=1
(2x + 1)
n
2n.3
n
Câu 3 Tính I =
¨
D
x
2
+ y
2
d x d y , với D =
(x, y )|x
2
+ y
2
≤2y
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y
−6y
+ 9y = 3x
2
−1
Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co rằng phương trình: y (t ) =
ˆ
1
0
d s
1 + (t − y (s ))
2
có
nghiệm duy nhất y ∈[0;1]
Câu 6 Cho toán tử T : [−1;3] → với T f =
ˆ
3
−1
x (x −2)f (x)d x, ∀ f ∈[−1; 3]
a) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục
b) Tính ||T ||
Câu 7 Trên không gian [a; b ],a < b đặt ||f ||
1
=
ˆ
b
a
|f (t )|d t , f ∈[a ; b ]
a) Chứng minh rằng ||.||
1
là một chuẩn
b) Chứng mình rằng [a ;b ] với chuẩn ||.||
1
là không đầy đủ
———————————HẾT———————————
4
www.VNMATH.com
1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.6 Giải tích, năm 2004
1.6 Giải tích, năm 2004
Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số: f (x , y ) = (x
2
+ y
2
)e
−(x
2
+y
2
)
−(x
2
+ y
2
)
Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L: I =
˛
L
x
2
y
2
d x + y x
3
d y , với L
tạo bởi x = 0, y =
x , y = x −2
Câu 3 Chứng minh rằng nếu chuỗi dương
∞
n=1
a
n
hội tụ thì lim
n→∞
na
n
= 0
Câu 4 Viết nghiệm của phương tr ình vi phân: y
−4y
+ 3y = x
2
+ 1 thỏa mãn điều kiện ban đầu
y (0) = 2, y
(0) = 10
Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A =
f ∈[0;1],||f ||≤5 và
ˆ
1
0
f (x ) d x ≥2
là một tập mở
trong [0;1] với ||f ||= max
0≤t ≤1
|f (t )|
Câu 6 Áp dụng định lí Schauder chứng minh rằng phương trình thỏa mãn:
x (t ) = 3t + 2
ˆ
2
0
arctan(t −x(s ))d s có nghiệm x ∈[0;2]
———————————HẾT———————————
1.7 Giải tích, năm 2005, lần 1
Câu 1 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số theo p, q
+∞
n=1
n
p
n
q
+ sin
2
n
Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L
I =
˛
L
x y
2
d x + 3y x
2
d y
Câu 3 Tính gần đúng giá trị của biểu thức bằng phép tính vi phân A = arcsin0, 51 +
3
8,25
Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi
∞
n=1
(−1)
n−1
(x −5)
n
n
Câu 5 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 3y
+ y
−4y = e
2x
(x −1)
Câu 6 Cho A =
(x; y ;z ) ∈
3
: x ≥0, x + y + z < 1
. Chứng minh rằng A không mở, không đóng
trong
3
Câu 7 Đặt f (x ) = x
3
−2 và T x = x −
f (x )
f
(x)
a) Chứng minh rằng có tập hợp D ⊂(0;+∞) sao cho D là tập đóng và T (D ) ⊂D
b) Chứng minh rằng T có điểm bất động thỏa mãn phương trình x
3
−2 = 0
Câu 8 Chứng minh rằng tồn tại hàm f ∈[0; 1] thỏa mãn
f (t ) =
1
2
ˆ
1
0
f (s )arctan[2(t −s )] d s
———————————HẾT———————————
5
1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2
Câu 1 .
a) Tính tích phân đường theo chiều dương của L
I =
˛
L
e
x y
(1 + x y )d x + x
2
d y
trong đó L là nửa đường elip
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 với y ≤0, a > 0, b > 0
b) Cho D =
(x; y ) : x
2
+ y
2
≤2y
, tính tích phân kép
I =
¨
D
(x + y )
2
d x d y
Câu 2 .
a) Tính giá trị gần đúng của biểu thức bằng phép tính vi phân
A =
4
16,16 + sin(ln 1,273)
b) Tính khoảng cách từ điểm A(3; 0) đến đường cong y = x
2
bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số
nhiều biến
Câu 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi
+∞
n=1
(−1)
n
(2x −4)
n
n.2
n
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 7y
+ y
−3y = x
2
+ 3x −2
Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp sau mở trong [0;2]
B =
f ∈[0;2] : f (x ) < 6 ∀ x ∈[0;2]
∩
f ∈[0;2] :
ˆ
1
0
f (x ) d x < 5
Câu 6 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm f ∈[0; 2]
f (t ) = 30t + 3 + 5
ˆ
2
0
e
−[t −f (s)]
2
d s
———————————HẾT———————————
1.9 Giải tích, năm 2006
Câu 1 Tính tích phân
I =
ˆ
2
0
ˆ
4−y
2
0
(4 −x
2
)
3
2
d x d y
6
www.VNMATH.com
1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.10 Giải tích, năm 2007
Câu 2 Tính tích phân đường
I =
ˆ
L
x y d l
trong đó L là đường giao tuyến của các mặt z = 2 − x
2
−2y
2
và z = x
2
từ điểm A(0;1; 0) đến
B (1;0; 1)
Câu 3 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = sin x + cos y + cos(x + y ) trên miền D =
(x; y )|0 ≤ x ≤
3π
2
,0 ≤ y ≤
3π
2
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau
a) y
+ 4y
+ 4y = 2e
2x
(x
2
+ 2x + 10)
b) (x
2
+ y
2
+ x )d x + y d y = 0
Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A mở trong [0; 3]. với
A =
f ∈[0;3] : |f (x )|< 7 ∀ x ∈[0;3]
∩
f ∈[0;3] :
ˆ
2
1
f (x ) d x < 5
Câu 6 Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình f
(t ) = 4t +3+ 5 cos[f (t )]
2
; f (0) = 1 có nghiệm
f ∈[0;k ] thỏa mãn f
∈[0;k ]
Câu 7 Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d . Chứng minh rằng với x , y ∈E thì
ρ(x , y ) =
d (x, y )
1 + d (x, y )
cũng là một khoảng cách trong E
———————————HẾT———————————
1.10 Giải tích, năm 2007, khóa 14
Câu 1 (2,5 điểm). Tích phân bội
Cho một miền V giới nội bởi các mặt z = 0, y = z , y = x
2
và y = 1. Hãy
a) Biểu diễn miền V
b) Tính thể tích khối V
c) Tính tích phân bội ba I =
˚
V
(x + y )d x d y d z
Câu 2 (1,0 điểm). Tính tích phân đường
I =
ˆ
L
(2x
2
−2y
2
)d x + (ln y −4x y )d y
với L là đường nối hai điểm A(−1; 1) và B (4;e )
Câu 3 (1,0 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = (x −2) ln x y
7
1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y
−6y
+ 9y = e
2x
(x
2
+ 5)
Câu 5 (1,0 điểm). Khảo sát tính đóng (hay mở) trong C [0,1] của tập hợp
A =
f ∈C [0,1] :
ˆ
1
0
f (t )d t ≥4 : f (0) = f (1) = 0
Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng với λ ∈
0,
1
8
, ta có thể chọn được M > 0 để phương trình
x = T x có nghiệm trong K
M
với
T x (t ) = λ+
ˆ
t
0
x
2
(s )d s (0 ≤t ≤2)
và K
M
= {x ∈C [0,2] : ||x ||≤M }
Câu 7 (1,0 điểm). Chứng minh rằng ánh xạ
T f =
1
3
f (1) + f (0)
, f ∈C [0,1]
là ánh xạ tuyến tính liên tục trên C [0,1]. Tìm chuẩn của nó
———————————HẾT———————————
1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02
Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân đường với C là một chu tuyến bất kì
I =
ˆ
C
(x
2
+ y
2
)(x d x + y d y )
Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi
(x
2
+ y
2
)
2
= 2a
2
(x
2
− y
2
)
Hãy
• Tính diện tích của miền D
• Tính tích phân I =
¨
D
x y d x d y
Câu 3 (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = x
3
+ y
3
+ 3x y + 5
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm của phương trình vi phân
y
−4y
+ 3y = x
2
+ 3x + 5
thỏa mãn điều kiện y (0) = 1, y
(0) = 2
Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phiếm hàm sau tuyến tính liên tục trên C [−1, 1]
T f =
ˆ
0
−1
f (t )d t −
ˆ
1
0
f (t )d t , ∀ f ∈C [−1, 1]
Tính chuẩn của T
Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình f (t ) =
1
2
ˆ
t
0
e
−[t −f (s)]
3
d s có nghiệm duy nhất
f ∈C [0,1]
———————————HẾT———————————
8
www.VNMATH.com
1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03
1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03
Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân đường loại hai dọc theo C là các cạnh của tam giác nối các đỉnh
O (0; 0), A(2; 0), B (0;2)
I =
ˆ
C
x
2
y (y d x + x d y )
Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi
D =
(x; y )|π
2
≤ x
2
+ y
2
≤4π
2
Hãy
• Biểu diễn hình học miền D
• Tính tích phân I =
¨
D
sin
x
2
+ y
2
d x d y
Câu 3 (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số
f (x , y ) = x
2
+ y
2
+ 3x y + 5
Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình
x y
+ (1 −2x)y = x
Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng tập hợp
B =
f ∈C [0,1] : 10 ≥ min
x ∈[0,1]
f (x ) > 6
không mở, không đóng trong C [0,1]
Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình y
= x +
1
2
cos(x y (x )) ; y (0) = 0 có nghiệm duy
nhất y ∈C [0,1]
———————————HẾT———————————
1.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01
I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Cho hàm f (x , y ) = x + y −x y và tập D =
(x, y ) ∈R
2
: 0 ≤ y ≤1, y ≤ x ≤
2y −y
2
a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f (x , y ) trên miền D
b) Tính tích phân I =
¨
D
f (x , y )d x d y
Câu 2 Tính tích phân đường: I =
ˆ
(3,2)
(−2,1)
e
x −y
(1 + x + y )d x + (1 −x − y )d y
Câu 3 .
a) Giải phương trình vi phân y
=
y
2
x y −x
2
b) Giải phương trình vi phân
y +
2
x
2
d x +
x −
3
y
2
d y = 0 với điều kiện ban đầu y (1) = 1
9
1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
II. Giải tích hàm
Câu 4 Cho không gian metric (X , d ) và A ⊂ X . Đặt diam(A) = sup
x ,y ∈A
d (x, y )
Chứng minh nếu A là tập compact thì tồn tại a , b ∈A sao cho diam(A) = d (a, b )
Câu 5 Chứng minh A =
f ∈C
[0,1]
: max
x ∈[0,1]
f (x ) ≤1
là tập đóng
Câu 6 Cho toán tử A: C
[0,1]
→C
[0,1]
xác định bởi A x (t ) = x (t ) + x(1 −t ) với x ∈C
[0,1]
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A
———————————HẾT———————————
1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01
I. Giải tích cơ sở
Câu 1 Tìm cực trị của hàm ẩn z = z (x, y ), z > 0, xác định bởi phương trình
x
2
+ y
2
+ z
2
−2x + 4y −6z −11 = 0
Câu 2 Tính thể tích vật thể nằm trên mặt phẳng O x y và giới hạn bởi
mặt paraboloid z = x
2
+ y
2
và mặt trụ x
2
+ y
2
= a
2
(a > 0)
Câu 3 Tính tích phân mặt sau
I =
"
S
x z
2
d y dz + (x
2
y −z
3
)d z d x + (2x y + y
2
z )d x d y
với S là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
(a > 0) và z = 0. Tích
phân mặt lấy theo phía ngoài của S
Câu 4 .
a) Giải phương trình vi phân
y +
2
x
2
d x +
x −
3
y
2
d y = 0, y (1) = 1
b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình
y
+ 3y
+ 2y = x (e
−x
−e
−2x
)
II. Giải tích hàm
Câu 5 Cho không gian metric (X , d ), (Y ,ρ) và ánh xạ f : X → Y . Trên X ×Y ta xét metric
d
∗
((x, y ),(x
, y
)) = d(x, x
) + ρ(y, y
), (x, x
),(y , y
) ∈X ×Y
và xét tập hợp G =
(x, f (x)) : x ∈X
a) Giả sử f liên tục, chứng minh G là tập đóng
b) Giả sử G là tập đóng và (Y ,ρ) là không gian compact, chứng minh f liên tục
Câu 6 Chứng minh K =
(x, y, z ) ∈
3
: x + y + z ≤1, x ≥−1, y ≥−2, z ≥−3
là tập compact
Câu 7 Cho toán tử A: C
[0,1]
→C
[0,1]
xác định bởi A x (t ) = 2
t
.x(t ) với x ∈C
[0,1]
Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A
———————————HẾT———————————
10
www.VNMATH.com
2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ
2 Đề thi môn Đại số
2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01
Câu 1 Cho G là một nhóm giao hoán. Chứng minh rằng tập tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của G
là một nhóm con của G . Kết quả trên còn đúng khi G không gian hoán hay không? Tại sao?
Câu 2 Giải phương trình sau trong
488
68x −60 = 620
Câu 3 Trong [x ], xét hai đa thức
f (x ) = (x −1)(x
2
+ 1) và g (x) = x
3n
−x
2n
+ x
n
−1
trong đó n là số nguyên dương. Xác định n để f (x) |g (x)
Câu 4 Trong không gian
4
cho các véctơ
u
1
= (1,2, 3,4); u
2
= (2,1, 5,4); u
3
= (1,4, 3,8)
Gọi W là không gian con của
4
sinh bởi u
1
; u
2
; u
3
a) Chứng minh B = (u
1
; u
2
; u
3
) là một cơ sở của W
b) Xác định tham số m để vectơ u = (−1,1, 2,m) thuộc W . Với giá trị m đó, hãy tìm [u]
B
Câu 5 Trong không gian
3
cho các véctơ
u
1
= (1,1, 2); u
2
= (0,1, 1); u
3
= (0,1, 2);
và toán tử tuyến tính f (x , y, z ) = (x −y + z , 2x −3y , 2x − y +4z )
a) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im(f ), Ker(f )
b) Chứng minh B = (u
1
; u
2
; u
3
) là một cơ sở của
3
và tìm ma trận biểu diễn của f theo cơ sở B
Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A =
2 2 1
1 3 1
1 2 2
a) Tìm giá trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng của A
b) Chứng minh A chéo hóa được và tìm một ma trận P khả nghịch sao cho P
−1
AP là ma trận
chéo. Tính A
20
———————————HẾT———————————
11
2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ
2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01
Câu 1 Cho G là nhóm nhân cyclic cấp n sinh bởi x. Chứng minh rằng với m, k là hai số nguyên bất
kì ta có < x
m
>=< x
k
> khi và chỉ khi UCLN(m, n) = UCLN(k, n)
Câu 2 a) Xét vành
n
các số nguyên đồng dư modulo n. Tìm điều kiện của k ∈ để ánh xạ
f :
n
→
n
định bởi f (x ) = k x là một đồng cấu vành
b) Mô tả tất cả các tự đồng cấu của vành
p
với p nguyên tố
Câu 3 Cho đa thức với hệ số nguyên
f (x ) = x
6
+ 7x
5
+ 10x
4
−35x
3
−120x
2
−108x −16
a) Viết khai triển Taylor của f (x) tại x
0
= −2
b) Phân tích f (x ) thành tích các đa thức bất khả qui trên
Câu 4 Trong không gian R
4
cho các vectơ
u
1
= (1,2, 1,−3), u
2
= (2,3, −2,5), u
3
= (1,1, 0,2);
v
1
= (2,3, −1,5), v
2
= (1,2, −2,3), u
3
= (5,8, −5,13)
Gọi W là không gian con của R
4
sinh bởi u
1
, u
2
, u
3
a) Chứng minh
1
= (u
1
, u
2
, u
3
) là một cơ sở của W
b) Chứng minh
2
= (v
1
, v
2
, v
3
) là một cơ sở của W . Tìm ma trận chuyển cơ sở từ
1
sang
2
Câu 5 Trong không gian
3
cho các vectơ
u
1
= (1,1, 2); u
2
= (0,1, 1); u
3
= (0,1, 2);
v
1
= (2,9, −3); v
2
= (0,3, −3); u
3
= (1,7, −4);
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính f trên
3
thỏa mãn f (u
k
) = v
k
với
mọi k = 1,2,3 và xác định biểu thức của f
b) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im(f ), Ker(f )
Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A =
3 2 1
0 2 0
1 2 3
a) Chéo hóa ma trận A
b) Cho f là toán tử tuyến tính trên
3
thỏa [f ]
= A trong đó = (u
1
, u
2
, u
3
) là cơ sở của
3
với
u
1
= (1,−1, 1); u
2
= (0,1, 1); u
3
= (1,1, 4)
Tìm một cơ sở của
3
sao cho [f ]
là một ma trận chéo và xác định ma trận chéo đó
———————————HẾT———————————
12
www.VNMATH.com
2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ 2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03
2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03
A. Phần Đại số tuyến tính
Câu 1 Trong không gian vectơ M (2, 2), không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2 trên R , cho
E =
M =
a 0
b a + b
;a , b ∈R
và H = Sp
v
1
=
1 0
1 2
, v
2
=
0 1
1 0
a) Chứng minh rằng E ∩H là không gian con của M (2,2) và tìm cho E ∩H một cơ sở
b) Cho =
v
1
=
1 0
1 2
, v
2
=
0 1
1 0
là cơ sở của H , tìm v ∈ E ∩H sao cho [v ]
=
2
0
Câu 2 Cho B
0
= {1; x ; x
2
} là cơ sở chính tắc của P
2
(x) và phép biến đổi tuyến tính
T : P
2
(x) → P
2
(x) xác định bởi T (1) = 3 + 2x + x
2
, T (x) = 2, T (x
2
) = 2x
2
a) Tìm KerT và ImT
b) Biết = {1;1 + x ;1 + x
2
} là cơ sở của P
2
(x). Tìm ma trận của T đối với cơ sở , từ đó tìm
đa thức p ∈ P
2
(x) sao cho [T (p)]
=
4
2
1
c) Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tính T là chéo hóa được, từ đó tìm cho P
2
(x) một cơ sở
C để ma trận của T đối với cơ sở C là ma trận chéo
d) Áp dụng kết quả tìm được ở câu c) để tính T
4
(2 + x )
A. Phần Đại số đại cương
Câu 3 Cho X là một nhóm nhân. Giả sử tồn tại ba số nguyên liên tiếp k,k + 1,k + 2 sao cho với các
phần tử a ,b bất kì của X ta luôn có
(a b )
k
= a
k
.b
k
, (a b )
k+1
= a
k+1
.b
k+1
và (a b )
k+2
= a
k+2
.b
k+2
Chứng minh rằng X là nhóm giao hoán
Câu 4 Cho X và Y là những nhóm nhân cyclic có cấp lần lượt là m và n. Chứng minh rằng X ×Y
là một nhóm cyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau
Câu 5 Cho X là một vành giao hoán có đơn vị, và P là một ideal của X . Chứng minh rằng X /P là
miền nguyên khi và chỉ khi P là ideal nguyên tố
Câu 6 Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trong [x ]
f (x ) = x
4
+ 5x
3
−2x
2
−6x + 3
———————————HẾT———————————
13
3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP
3 Đề thi môn Phương pháp
3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1
Câu 1 .
a) Theo R. Marzano, khi dạy học kiến thức thông báo giáo viên cần thực hiện theo các bước nào?
Áp dụng vào dạy học khái niệm hai vectơ bằng nhau trong chương trình Hình học 10
b) Cho bài toán: “Trong mặt phẳng O x y , cho 4 điểm A(2;2), B(4;4), C (1;a
2
) và D (−1;a ). Tìm
a sao cho tứ giác ABC D là một hình bình hành”
Một học sinh giải như sau:
“AB C D là hình bình hành ⇔
−→
AB =
−−→
D C
⇔a
2
−a = 2 ⇔a = −1 hoặc a = 2. Đáp số: a = −1, a = 2”
Hãy phân tích lỗi trên của học sinh
Câu 2 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm cách giải bài toán sau đây: “Giải phương trình: |3−2x |=
x ” (Đại số 10)
Câu 3 .
a) Trình bày một mô hình dạy học có thể dùng để dạy học khám phá định lý, và cho biết nếu dạy
học theo mô hình đó thì giáo viên có thể phát triển những năng lực tư duy nào cho học sinh
b) Hãy tổ chức quá trình dạy học định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị (không chứng minh
định lí) bằng dạy học khám phá
Câu 4 Cho bài toán: “Trong tập số thực, tìm tham số m sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm:
x −1 +
y −2 = 1
x + y = m
”
a) Giải bài toán trên
b) Tổng quát hóa bài toán trên và nêu ra thuật giải
———————————HẾT———————————
3.2 Phương pháp, năm 2011, đợt 1
Câu 1 .
a) Theo Marzano, khi dạy học kiến thức qui trình giáo viên cần thực hiện theo các bước nào? Áp
dụng vào dạy học giải phương trình sau đây trên tập số thực
f (x ).g (x ) = f (x).h(x)
b) Phân tích sai lầm sau đây của học sinh
(x −3)
x
2
−16 = 0 ⇔
x −3 = 0
x −16 = 0
(2) ⇔
x = 3
x = ±4
14
www.VNMATH.com
3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP 3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03
Câu 2 .
a) Hãy nêu các ý nghĩa khác nhau của khái niệm hàm số
b) Hãy sử dụng sơ đồ để biểu thị mối liên hệ giữa các khái niệm “giá trị của hàm số”, “giới hạn
của hàm số”, và “hàm số liên tục”
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:
“Giải phương trình:
8 + x = 4 −
x ”
Câu 4 Vận dụng quan điểm hàm số giải bài toán sau đây: “Giải hệ phương trình
(x
6
+ 1)x +
1
3
y
− y =
1
3
x
+ y
7
3x + 4y = 7
”
———————————HẾT———————————
3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03
Câu 1 (3.0 điểm):
a) Khi hình thành khái niệm toán học cho học sinh, trong khâu nào giáo viên có thể yêu cầu học
sinh thực hiện hành động phân tích?
b) Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh phân tích định nghĩa sau đây về một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng: “Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông
góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó” (HÌNH HỌC 11 - Nâng cao)
Câu 2 (3.0 điểm):
Trong dạy học định lí toán học, nếu bắt đầu quá trình dạy học bằng phát biểu định lí thì giáo viên
làm thế nào để tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh. Áp dụng vào dạy học định lí cosin trong
tam giác
Câu 3 (2.5 điểm): Nêu cách hướng dẫn học sinh giải bài toán sau đây:
“Giải bất phương trình:
x
x + 1 −1
< 3 ”
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho bài toán: “Trong tập số thực, chứng minh rằng phương trình (ẩn x ):
4x
x
2
+ 1
=
(a + 1)(a −1) −a + 4
a (a −1) + 2
vô nghiệm với mọi a ”
Hãy giải và khái quát hóa bài toán trên theo quan điểm hàm số
———————————HẾT———————————
15
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02
Câu 1 Nếu dạy học một định lí toán học có khâu nêu giả thuyết thì quá trình dạy học cần được tổ
chức như thế nào? Áp dụng vào dạy học định lí sau đây
“Nếu a, b và c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì b =
a + c
2
”
Câu 2 .
a) Trong quá trình dạy học khái niệm toán học, trong những khâu nào giáo viên có thể yêu cầu học
sinh thực hiện hành động so sánh?
b) Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh so sánh khái niệm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của
đường thẳng
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:
“Giải phương trình:
x
3
−4 + 2x(1 − x ) − x + 2
x
2
(x −1) −(x −1)
2
−3 +
2x
2
+ 2(2 −3x)
= 1 ”
Câu 4 Xét bài toán: “Chứng minh rằng: a
2
+ a +
1
a
2
+ a + 1
≥1 với mọi a (1)”
Một học sinh đã giải như sau:
“Giả sử a
2
+ a +
1
a
2
+ a + 1
≤1 (2)
(2) ⇔a
2
+ a + 1 +
1
a
2
+ a + 1
≤2
⇔(a
2
+ a )
2
≤0 vô lí
Vậy (1) đúng với mọi a ”
Hãy nêu nhận xét về lời giải trên
———————————HẾT———————————
3.5 Phương pháp, năm 2013, đợt 1, đề số 03
Câu 1 .
a) Trình bày một mô hình dạy học có thể dùng cho dạy học khám phá định lý, và cho biết nếu dạy
học theo mô hình đó thì giáo viên có thể phát triển những năng lực tư duy nào cho học sinh
b) Hãy dạy học định lý sau đây:
“Cho cấp số cộng (u
n
). Đặt S
n
= u
1
+ u
2
+ . + u
n
Khi đó S
n
=
n(u
1
+ u
n
)
2
” (Đại số và giải tích 11)
bằng dạy học khám phá
Câu 2 .
a) Khi dạy học khái niệm toán học cho học sinh theo con đường diễn dịch thì giáo viên làm thế
nào để tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh
16
www.VNMATH.com
MỤC LỤC MỤC LỤC
b) Áp dụng vào dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng với định nghĩa như sau:
“Vectơ
n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu
n =
0 và
n vuông góc với vectơ
chỉ phương của ∆” (Hình Học 10)
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:
“Trong tập số thực, giải bất phương trình:
8
x
+ 2
x
−11 + 2
5
x −1
5
x −1 −1
≥1”
Câu 4 Cho bài toán: “Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi số thực α
3
2
=
1
2
sin
4
α + cos
4
α
+ sin
6
α + cos
6
α + sin
2
2α”
a) Hãy giải bài toán trên theo quan điểm hàm số
b) Hãy khái quát hóa bài toán trên theo quan điểm hàm số (trình bày cả thuật giải)
c) Anh (Chị) hãy đề xuất hai bài toán kèm theo lời giải chi tiết cùng dạng bài toán trên
———————————HẾT———————————
Mục lục
1 Đề thi môn Giải tích 2
1.1 Giải tích, đề mẫu 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Giải tích, đề mẫu 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Giải tích, năm 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Giải tích, năm 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Giải tích, năm 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Giải tích, năm 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Giải tích, năm 2005, lần 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.9 Giải tích, năm 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10 Giải tích, năm 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Đề thi môn Đại số 11
2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Đề thi môn Phương pháp 14
3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Phương pháp, năm 2011, đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Phương pháp, năm 2013, đợt 1, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
17
www.VNMATH.com
