MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA

BND

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG THPT SÔNG CÔNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
" MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI
TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA
MỘT ĐƯỜNG CONG "

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ THU THỦY
Tổ

: TỐN

Sơng Cơng, năm 2010


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thực tế giảng dạy lớp 12 thì bài tốn viiết phương trình tiếp tuyến
với một đường cong là một bài toán rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong
các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học hàng năm. Vì thế là một giáo viên dạy
Tốn THPT và nhiều năm dạy, ơn luyện học sinh lớp 12 tơi chỉ có một lao động
sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các bài tốn viết phương trình tiếp tuyến với một
đường cong, đưa ra các phương pháp giải với từng dạng đồng thời chỉ ra một số
sai lầm mà học sinh hay mắc phải. Vì mục đích ấy kính mong sự đóng góp ý
kiến của các đồng chí chun viên có trách nhiệm thẩm định đề tài và các đồng
chí đồng nghiệp bổ khuyết.
B. NỘI DUNG
I. PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN

1. Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với (C) tại một điểm M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) .
a) Phương pháp giải:
- Tính f ' ( x) .
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến k = f ' ( xo ) .
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm M o ( xo ; yo ) là:
y − yo = f ' ( xo )( x − xo )

b) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 15 x + 12 có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)∈(C).
Giải
f ' ( x) = 3x 2 + 4 x − 15 ⇒ f ' (2) = 5

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
y + 2 = 5( x − 2)
⇒ y = 5 x − 12

2


⇒ Trong trường hợp khi biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm
yếu tố cịn lại và làm tương tự như trên.
Ví dụ 2: (Bài tập 7 trang 44 SGK GT12)
1
4

1
2

Cho hàm số: y = x 4 + x 2 + 1 (C )
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng

7
.
4

Giải
Gọi xo là hồnh độ tiếp điểm ⇒ ta có

7 1 4 1 2
= x0 + x0 + 1 ⇔ xo = ±1 .
4 4
2

7

Với xo = 1 ⇒ f ' (1) = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 1  − 1;  là:


y−

4

7
1
= 2( x − 1) ⇔ y = 2 x −
4
4

7

Với xo = −1 ⇒ f ' (−1) = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M 2  − 1;  là:


y−

4

7
1
= −2( x + 1) ⇔ y = −2 x −
4
4

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x) =

x2 − 2x − 2
có đồ thị là (C).
x +1

(C) cắt trục hồnh tại A và B. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
A và B.
Giải
- Tập xác định: D = R\{- 1}
- Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình.
x2 − 2x − 2
= 0 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3
x +1

⇒ (C) cắt Ox tại điểm A (1 + 3; 0) và B(1 − 3; 0) .

x 2 + 2x
y' =
⇒ y ' = (1 + 3) = 2 3 (2 − 3 )
( x + 1) 2
y ' = (1 − 3 ) = −2 3 (2 + 3 )

3


Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
y = 2 3 (2 − 3 ) ( x − 1 − 3 )

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B có dạng:
y = −2 3 (2 + 3 ) ( x − 1 + 3 )

* Nhận xét: Qua ví dụ 3 cho thấy học sinh sẽ lúng túng khơng viết được
phương trình tiếp tuyến nếu khơng tìm được tọa độ của A và B. Vì vậy đối với các
bài toán ở dạng 1 nhưng trong bài lại chưa cho tọa độ (xo; yo) thì cần tìm (xo; yo)
trước rồi mới bắt đầu vào bước 1 trong phần phương pháp giải ở trên.
Đồng thời bài toán ở dạng 1 này đã được mở rộng để áp dụng vào xây
dựng phương trình tiếp tuyến của các đường Cơnic như trong SGK hình học 12
(trước phân ban) ta xét ví dụ cụ thể với elip.
x2
y2
+
= 1.
Ví dụ 4: Cho (E) có phương trình:
100 64

Hãy viết phương trình tiếp tuyến của Elip tại điểm M (5; 4 3 ) .
Giải
Nhận xét điểm M (5; 4 3 ) ∈ ( E ) .
y2 =

100 − x 2
4
4
x
64 ⇔ y = ± 100 − x 2 ⇒ y ' = ±
.
100
5
5 100 − x 2

⇒ y ' (5) = ±

4
5 3

vì M (5; 4 3 ) ∈ phần (E) mà các điểm trên đó có tung độ

4

4

2
dương nên y = 5 100 − x ⇒ y ' (5) = −
.

5 3

Vậy phương trình tiếp tuyến tại M (5; 4 3 ) là:
5 3 y + 4 x − 80 = 0

2. Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C). Hãy viết phương trình
tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k cho trước:
a) Phương pháp giải:
- Tính f ' ( x) .
4


- Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tại đó tiếp tuyến có hệ số góc k.
⇒ xo là nghiệm phương trình f ' ( xo ) = k .
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y − yo k ( x − xo ) .
Chú ý: Giả sử đường thẳng D1 có hệ số góc là k1.
đường thẳng D2 có hệ số góc là k2.
Thì D1 // D2 ⇔ k1 = k2.
D1 ⊥ D2 ⇔ k1 . k2 = - 1
D1 cắt D2 ⇔ k1 ≠ k2
b) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y =

2x + 1
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
x−2

(C) của hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 - 2009)
Giải

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm ( xo ; yo ) .
−5

x = 1

o
⇒ xo là nghiệm phương trình y ' ( xo ) = −5 ⇔ ( x − 2) 2 = −5 ⇔  x = 3
 o
o

Với xo = 1 ⇒ yo = −3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = −5 x + 2 .
Với xo = 3 ⇒ yo = 7 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = −5 x + 22 .
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) =

3x − 2
có đồ thị (C).
x −1

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vng góc
với đường thẳng y = 4 x + 10 .
Giải
−1

D = R \ {1}; y ' = ( x − 1) 2 .
Gọi M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) tại đó tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
1
y = 4 x + 10 , có hệ số góc k: k . 4 = −1 ⇒ k = − .
4

5

5

xo =
 xo = −1 
−1
1
2
⇒ xo là nghiệm phương trình ( x − 1) 2 = 4 ⇔  y = 3 ⇔ 
 o
o
y = 7
 o 2

5
1
9

Tại M 1  − 1;  có tiếp tuyến là y = − x + .


2

4

4

1
17

 7
Tại M 2  3;  có tiếp tuyến là y = − x + .


2

4

4

* Nhận xét: Qua ví dụ 2 ở trên cho thấy nhiều bài tốn viết phương trình
tiếp tuyến dạng 2 nhưng khơng trực tiếp hệ số góc mà phải thơng qua một giả
thiết khác. Vì vậy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc
nắm kiến thức một cách liền manh, biết vận dụng, liên hệ các phần với nhau.
3. Dạng 3:
a) Bài toán: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua một điểm A ( x A ; y A ) cho trước.
b) Cách giải:
* Cách 1:
- Gọi d là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k và đi qua A.
⇒ d có phương trình: y = k ( x − x A ) + y A (1)
- Hồnh độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ
phương trình:
 f ( x) = k ( x − x A ) + y A

 f ' ( x) = k

Giải hệ phương trình tìm k ⇒ thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến.
* Cách 2:
- Giả sử có tiếp tuyến (d) đi qua A, tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm

M o ( xo ; yo ) ⇒ d có phương trình: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) .

- Vì A (xA; yA) ∈ d ⇒ y A − yo = f ' ( xo )( x − xo )
⇒ y A − f ( xo ) = f ' ( xo )( x A − xo )

6

(2)


 yo = f ( x0 )
.
 f ' ( xo )

- Giải phương trình (2) tìm xo ⇒ 

- Viết phương trình tiếp tuyến dạng:
y − yo = f ' ( x0 )( x − xo )

c) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y =

3x − 2
(C ) .
x −1

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A (2; 0).
Giải
TXĐ: D = R \ {1}.
y' =

−1
( x − 1) 2

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0) và có hệ số góc k là
y = k ( x − 2).

- Hồnh độ tiếp điểm xo và hệ số góc k của tiếp tuyến là nghiệm của hệ

 x = 0
 3x − 2

 x − 1 = k ( x − 2)
  k = −1

 f ( x) = k ( x − x A ) xy A
 1
⇔
⇔ 
phương trình: 
4 .
=k
f x' = k
2
 x =

 ( x − 1)
3



 k = −9
 x ≠1




- Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua A(2; 0) là
 y = −x + 2
.

 y = −9 x + 18
1
2

3
2

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f x 4 − 3x 2 + (C ) .
Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (2) biết tiếp tuyến đó đi
qua A(0; 3/2).
Giải

7


- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 3/2) và có hệ số góc k là
y = kx +

3
.

2

- Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2) thì hệ
phương trình:
3
3
1 4
2
x = 0x
k = 0
 x − 3 x + = kx +
⇒
2
2 Có nghiệm ⇔ 
2
 x = ±2 2 k = ±2 2

2x3 − 6x = k


Vậy các phương trình tiếp tuyến cần viết là:
y=

3
2

y = −2 2 x +
y = 2 2x +

3

2

3
2

- Từ dạng 3 này có thể mở rộng bài toán tiếp tuyến thành 1 vài dạng:
chẳng hạn ở ví dụ 3:
Ví dụ 3:
Cho hàm số: y =

x 2 − 3x + 1
(C ) .
x−2

CMR khơng có tiếp tuyến nào với (C) đi qua giao điểm của các tiệm cận.
Giải
Có

x=2

Là tiệm cận đứng

y=x-x

Là tiệm cận xiên

Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận ⇒ I (2; 1).
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm ⇒ yo =
Và y ' ( xo ) =

2
xo − 3 xo + 1
.
xo − 2

2
xo − 4 xo + 5
.
( xo − 2) 2

Phương trình tiếp tuyến tại (xo; yo) dạng.
y−

2
2
xo − 3 xo + 1 xo − 4 xo + 5
=
( x − xo )
xo − 2
( xo − 2) 2

8


Giả sử tiếp tuyến đi qua I(2; 1) thì pt:
2
2
xo − 3 xo + 1 xo − 4 xo + 5
1−
=

( 2 − xo )
xo − 2
( xo − 2) 2

(2) phải có nghiệm

2
2
( x − 2) 2 − ( xo − 3 xo + 1)( xo − 2) = ( xo − 4 xo + 5)(2 − xo )
⇔ o
(2)
vơ nghiệm
xo ≠ 2


Vậy khơng có tiếp tuyến của đường cong đã cho đi qua I (2; 1) là giao
điểm của các đường tiệm cận.
PHẦN 2: KẾT LUẬN
1. Những sai lầm thường gặp: Học sinh hay nhầm lẫn giữa dạng 1 và
dạng 3 nên trong quá trình giảng dạy cần phan biệt cho học sinh:
- Tại một điểm thuộc đường cong chỉ có một tiếp tuyến với đường cong
đó.
- Qua một điểm có thể có ít nhất một tiếp tuyến với đường cong (nếu có
tiếp tuyến).
1
2

Chẳng hạn như ở ví dụ 2 dạng 3 là hàm số y = x 4 − 3x 2 +

3

(C ) mà phải
2

 3
viết phương trình tiếp tuyến đi qua A  0;  .


2

- Lời giải đúng: (Đã trình bày).
- Lời giải chưa chính xác như sau:
 3
Dễ dàng nhận thấy A  0;  ∈ (C ) ⇒ phương trình tiếp tuyến tại A:


y−

2

3
3
= 0( x − 0) ⇔ y .
2
2

Lời giải này khơng đầy đủ cụ thể thiếu hai phương trình tiếp tuyến
3
3
y = −2 2 x + ; y = 2 2 x + .
2

2

2. Để học sinh có thể làm được các bài toán tiếp tuyến với đường cong
cần phân tích rõ các yếu tố cần thiết.
- Tọa độ tiếp điểm (xo; yo).
9


- Hệ số góc k = f'(xo).

C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
1. Phương pháp tiến hành.
- Chọn đối tượng thực nghiệm và đối tượng dùng để đối chứng sau đó so
sánh kết quả:
- Phân tích số liệu thực nghiệm và rút ra kết luận.
2. Kết quả:
- Đối tượng thực nghiệm: 12C7.
- Đối tượng đối chứng: 12C6.
Cùng làm bài viết phương trình tiếp tuyến với đường cong cả 3 dạng
(nhưng 12C7 được dạy tổng kết các dạng phương trình tiếp tuyến).
Kết quả:

12C7: 81,2% trên TB.
12C6: 62% trên TB.

3. Kết luận:
- Việc tổng kết các dạng bài toán cơ bản, mở rộng, chỉ ra những sai lầm
hay gặp của học sinh là những hoạt động phải làm thường xuyên trong các giờ
giảng trên lớp.
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

- SGK giải tích, hình học 12.
- Hướng dẫn ôn thi TN 2008 - 2009; 2009 - 2010.
- Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học - cao đẳng tòan quốc (từ 2002 2008).

10


11


12