Đề và cách giải về tiếp tuyến hàm đa thức

Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


HDG CÁC BTVN PHẦN TIẾP TUYẾN HÀM ðA THỨC
Bài 1. Cho ñồ thị
( )
3 2
: 1
m
C y x mx m
= + − −
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại các ñiểm cố
ñịnh mà
(
)
m
C
ñi qua
Lời giải: Gọi
0 0
( ; )
M x y
là ñiểm cố ñịnh mà
(

)
m
C
ñi qua

3 2
0 0 0
2 3
0 0 0
2
0 0 0
3
0 0
0 0
1,
( 1) 1 0,
1 0 1 1
0 2
1 0
y x mx m m
m x x y m
x x x
y y
x y
⇒ = + − − ∀
⇒ − + − − = ∀

− = = = −
 


⇒ ⇒ ∨
  
= = −
 
− − =



Do ñó có 2 ñiểm cố ñịnh mà
(
)
m
C
ñi qua là
(
)
1
1;0
M
và
(
)
2
1; 2
M
− −

Ta có:
2
3 2

y x mx
′
= +

- Phuơng trình tiếp tuyến tại M
1
là:
(
)
(1)( 1) (2 3) 2 3
y y x m x m
′
= − = + − +

- Phuơng trình tiếp tuyến tại M
2
là:
(
)
( 1)( 1) 2 ( 2 3) 2 1
y y x m x m
′
= − + − = − + − −

Bài 2. Tìm ñiểm
( )
3 2
: 2 3 12 1
M C y x x x
∈ = + − −

sao cho tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M ñi qua gốc tọa
ñộ.
Lời giải: Gọi
0 0
( ; )
M x y
là ñiểm cần tìm
3 2
0 0 0 0
2 3 12 1
y x x x
⇒ = + − −

(1)

PTTT của (C) tại M là:

(
)
(
)
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) : ( )( ) 6 6 12 6 6 12
d y y x x x y x x x y x x x
′
= − + = + − + − + −

Vì (d) ñi qua gốc tọa ñộ nên
(

)
2
0 0 0 0
6 6 12
y x x x
= + −

(2)

Từ
(1)
và
(2)

(
)
3 2 2
0 0 0 0 0 0
2 3 12 1 6 6 12
x x x x x x
⇒ + − − = + −


3 2
0 0
2
0 0 0
0 0
4 3 1 0
( 1)(4 1) 0

1 12
x x
x x x
x y
⇒ + + =
⇒ + − + =
⇒ = − ⇒ =

Vậy
( 1;1;2)
M
−


Bài 1: Tiếp tuyến hàm ña thức - Khóa LT ðảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị
( )
3 2
: 3 2
C y x x
= − +
biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường
thẳng:
5 3 4 0
y x
− + =

Lời giải: Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng:
5 3 4 0

y x
− + =
có phương trình dạng:

5
(d):y x a
3
= − +

ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
(d) và (C) ti
ế
p xúc nhau là: h
ệ

3 2
2
5
3 2 x a
3
5
3 6
3
x x

x x

− + = − +




− = −


có nghi
ệ
m
T
ừ

2 2
5 29
5
3 27
3 6 9 18 5 0
1 61
3
3 27
x a
x x x x
x a

= → =


− = − ⇒ − + = ⇒


= → =



V
ậ
y có 2 ti
ế
p tuy
ế
n th
ỏ
a mãn bài toán:
1
5 29
( ) : x
3 27
d y = − + và
2
5 61
( ) : x
3 27
d y = − +

Bài 4
. Vi
ế

t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
(
)
0; 1
A
−

ñế
n
3 2
2 3 1
y x x
= + −

Lời giải
: Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng

ñ
i qua A có d
ạ
ng d: y=kx – 1.
d ti
ế
p xúc v
ớ
i (C) khi và ch
ỉ
khi h
ệ
sau có nghi
ệ
m:

( )
3 2
3 2 2
2
3 2 3 2 3 2 2
2
2 3 1 1
2 3 1 6 6 1
6 6
0
2 3 1 6 6 1 4 3 0 (4 3) 0
3
4
0

3 3 9
6. 6.
4 4 8
x x kx
x x x x x
k x x
x
x x x x x x x x
x
k
k

+ − = −

⇔ + − = + −

= +


=


⇔ + − = + − ⇔ + = ⇔ + = ⇔

= −

=


⇒

   

= − + − = −
   

   


V
ậ
y có 2 ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm là:
y 1
= −
và
9
y x-1 hay 9x+8y+8=0
8
= −

Bài 5
. Vi
ế
t ph
ươ

ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
(
)
1;2
A −

ñế
n
3 2
3 2
y x x
= − +

Lời giải
: Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua A có d
ạ

ng d: y=k(x+1) + 2.
d ti
ế
p xúc v
ớ
i (C) khi và ch
ỉ
khi h
ệ
sau có nghi
ệ
m:

Bài 1: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th
ứ
c - Khóa LT
ðả
m b
ả
o - Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i

Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 4

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2
3 2 2
2
3 2 3 2 3
3 2 1 2
3 2 3 6 1 2
3 6
0
3 2 3 3 6 2 2 6 0
3
3
2
0

1 2 3 1 2 3 1 2
1 2 3
1 2 3 1 2
x x k x
x x x x x
k x x
x
x x x x x x x
x
y
k
k y x
k
y x

− + = + +

⇔ − + = − + +

= −


=


⇔ − + = − − + ⇔ − = ⇔

= ±




=
=




⇒ = − ⇒ = − + +




= +

= + + +



V
ậ
y có 3 ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm là:
y 2
=
và

(
)
( )
1 2 3 1 2
y x
= ± + +

Bài 6
. Cho
( )
3 2
: 2 3 12 5
C y x x x
= − − −
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n bi
ế
t
a, Ti
ế
p tuy
ế
n

ñ
ó song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
6 4
y x
= −

b, Ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
2
3
y x
= +

c, Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
5
2
y x
= − +
góc
45


Lời giải: a, Tiếp tuyến song song với ñt:
6 4
y x
= −
có dạng
(
)

: 6
d y x b
= +
với
4
b
≠ −

ðK ñể
(
)
d
và
(
)
C
tiếp xúc là hệ sau có nghiệm:
3 2
2
2 3 12 5 6
6 6 12 6
x x x x b
x x

− − − = +


− − =



Từ
2 2
1 13
2
6 6 12 6 3 0
1 13
2
x
x x x x
x

− +
=


− − = ⇔ − − = ⇔

− −
=



Vì:
(
)
(
)
3 2 2 2
1

2 3 18 5 6 6 12 6 6 12 15 7 13 8
3 6
x
b x x x x x x x x x
= − − − = − − − − − − − = − −

- V
ớ
i
1 13 1 13 3 13 13 3 13 13
13. 8 6
2 2 2 2
x b y x
− + − + + +
= ⇒ = − − = − ⇒ = −

2 2
1 13
2
6 6 12 6 3 0
1 13
2
x
x x x x
x

− +
=



− − = ⇔ − − = ⇔

− −
=




Bài 1: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th
ứ
c - Khóa LT
ðả
m b
ả
o - Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h

ọ
c trò Vi
ệ
t 4
- V
ớ
i
1 13 1 13 3 13 13 3 13 13
13. 8 6
2 2 2 2
x b y x
− − − − − −
= ⇒ = − − = − ⇒ = −

V
ậ
y có 2 ti
ế
p tuy
ế
n th
ỏ
a mãn bài toán là:
( )
1
3 13 13
: 6
2
d y x
+

= −
và
( )
2
3 13 13
: 6
2
d y x
−
= −

b, Ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
2
3
y x
= +
s
ẽ
có h

ệ
s
ố
góc
3
k
= −
.
Ph
ươ
ng trình hoành
ñộ
ti
ế
p
ñ
i
ể
m là:

1
2 2
2
1 7
2
6 6 12 3 2 2 3 0
1 7
2
x
y x x x x

x

+
=


′
= − − = − ⇔ − − = ⇔

−
=




(
)
(
)
3 2 2 2
1
2 3 18 5 6 6 12 6 6 12 15 7 16 5
3 6
x
b x x x x x x x x x
= − − − = − − − − − − − = − −

- PTTT t
ạ
i

1
1 7
2
x
+
=
là:
( )
1 7
3 16. 5 3 13 8 7
2
y x y x
+
= − − − ⇒ = − − +

- PTTT t
ạ
i
1
1 7
2
x
−
=
là:
( )
1 7
3 16. 5 3 13 8 7
2
y x y x

−
= − − − ⇒ = − − −

c, G
ọ
i k là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm. Theo gi
ả
thi
ế
t ta có:

1
3
2 1
2
tan 45 2 1 2
1
1

2
1
3
2
k
k
k
k k
k
k
k
= −

+
+

= = ⇔ + = − ⇔

−
=
−



- V
ớ
i
3
k
= −

ta có pt hoành
ñộ
ti
ế
p
ñ
i
ể
m:

1
2 2
2
1 7
2
6 6 12 3 6 6 9 0
1 7
2
x
y x x x x
x

+
=


′
= − − = − ⇔ − − = ⇔

−

=



- PTTT t
ạ
i
1
1 7
2
x
+
=
là:
( )
1 7
3 16. 5 3 13 8 7
2
y x y x
+
= − − − ⇒ = − − +

- PTTT t
ạ
i
1
1 7
2
x
−

=
là:
( )
1 7
3 16. 5 3 13 8 7
2
y x y x
−
= − − − ⇒ = − − −

- V
ớ
i k = 1/3 ta có pt hoành
ñộ
ti
ế
p
ñ
i
ể
m:

Bài 1: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th
ứ

c - Khóa LT
ðả
m b
ả
o - Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 4

1
2 2
2
3 315
1
6
6 6 12 6 6 9 0
3
3 315
6
x

y x x x x
x

+
=


′
= − − = ⇔ − − = ⇔

−
=



(
)
(
)
3 2 2 2
1 127
2 3 18 5 6 6 12 6 6 12 15 7 134
3 6 18
x
b x x x x x x x x x= − − − = − − − − − − − = − −

PTTT t
ạ
i
1

3 315
6
x
+
=
là
1 1333 402 201
3 18
y x
 
+
= −
 
 
 

PTTT t
ạ
i
1
3 315
6
x
−
=
là
1 1333 402 201
3 18
y x
 

−
= −
 
 
 

V
ậ
y có 4 ti
ế
p tuy
ế
n th
ỏ
a mãn bài toán

Bài 7
. Tìm các
ñ
i
ể
m trên tr
ụ
c hoành mà t
ừ

ñ
ó k
ẻ

ñượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n
ñế
n
ñồ
th
ị
hàm s
ố

( )
3 2
: 3
C y x x
= +
trong
ñ
ó có 2 ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i nhau
Lời giải
: L

ấ
y
(
)
,0
M m b
ấ
t kì thu
ộ
c tr
ụ
c hoành Ox.
ðườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua M v
ớ
i h
ệ
s
ố
góc k có ph
ươ
ng trình
( )
y k x m kx km
= − = −
ti

ế
p xúc v
ớ
i
(
)
C

⇔
h
ệ

3 2
2
3 (1)
3 6 (2)
x x kx km
x x k

+ = −


+ =


có nghi
ệ
m.
Th
ế

(2) vào (1) ta có:
(
)
( )
3 2 2
3 3 6
x x x x x m
+ = + −


( )
(
)
( )
2
2
2 3 3 6 0
0
2 3 3 6 0
x x m x m
x
x m x m
⇔ + − − =
=

⇔

+ − − =



ðể
t
ừ
M k
ẻ

ñượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n
ñế
n
(
)
C
trong
ñ
ó có 2 ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc thì ph
ươ
ng trình
( )
2
( ) 2 3 3 6 0

g x x m x m
= + − − =
ph
ả
i có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
;
x x
khác 0 sao cho
1 2
1
k k
= −
(k xác
ñị
nh
theo x trong (2))

( )
( )( )
( ) ( )
[ ]
2
2
2 2
1 2 1 2

1 2 1 2 1 2
1 1 2 2
1
; 3
3 3 48 0
9 30 9 0
3
(0) 6 0 0 0
9 2 2 1
9 2( ) 4 1
3 6 3 6 1
m m
m m
m m
g m m m
x x x x
x x x x x x
x x x x


> − < −


∆ = − + >
+ + >




⇔ = − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

  
  
+ + = −
+ + + = −
+ + = −

 




Bài 1: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th
ứ
c - Khóa LT
ðả
m b
ả
o - Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ

ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 4

( )( )
1 1
3 3
3 3
1
0 0
27
27 1
9 3 3 3 3 4 1
m m m m
m m m
m
m m m
 
> − ∨ < − > − ∨ < −
 
 
⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ =
 
 
− = −
− − + − + = −

 
 

sV
ậ
y
ñ
i
ể
m th
ỏ
a mãn là:
1
;0
27
M
 
 
 

Bài 8
. Cho
ñồ
th
ị

( )
3 1
:
3

x
C y
x
+
=
−
và
ñ
i
ể
m M b
ấ
t kì thu
ộ
c
(
)
C
. G
ọ
i I là giao c
ủ
a 2 ti
ệ
m c
ậ
n. Ti
ế
p tuy
ế

n t
ạ
i
M c
ắ
t 2 ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i A, B. CMR:
a, M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB
b, Di
ệ
n tích tam giác IAB không
ñổ
i
Lời giải
:
a,
ðồ
th
ị

(
)
C
có TCN:
(
)
1
: y 3
d
=
và TC
ð
:
(
)
2
: x 3
d
=
⇒
t
ọ
a
ñộ

ñ
i
ể
m

(
)
3;3
I

L
ấ
y
ñ
i
ể
m b
ấ
t kì
( )
10
3 ;3 , 0
M m C m
m
 
+ + ∈ ≠
 
 
. Ti
ế
p tuyên t
ạ
i M có d
ạ
ng:

( ) ( ) ( )
( )
2 2
10 10 20 30
: 3 3 3 3d y y m x m y x
m m
m m
 
′
= + − + + + ⇔ = − + + +
 
 

Ph
ươ
ng trình hoành
ñộ
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
C
và
(

)
d
là:

2
2 2 2 2 2
10 20 30 3 1 1 1 3 6 9
3 2 1 0
3
x
x x x
m x m m
m m m m m
     
+
− + + + = ⇔ − + + − + + =
     
−
     

D
ễ
th
ấ
y pt trên có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2

x x
<
. G
ọ
i
(
)
1 1
;
A x y
và
(
)
2 2
;
B x y
. Ta có:

2
1 2
2
2 6
2 6 2
1
M
m
m
x x m x
m
+

+ = = + =


( )
1 2 1 2
2 2
10 20 30 20
2 3 6 2
M
y y x x y
m m
m m
 
+ = − + + + + = + =
 
 

V
ậ
y m là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB (
ñ
pcm)
b, Do tam giác IAB vuông t
ạ

i I, mà có M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB nên ta có:

( )
( )
( )
( )
1 2
1 10
. 2 ; ; 2 20
2
IAB
S IA IB d M d M d m
m
∆
= = = =


Bài 1: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th

ứ
c - Khóa LT
ðả
m b
ả
o - Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 4
V
ậ
y di
ệ
n tích
IAB
∆
không
ñổ
i.

………………….Hết……………….
Nguồn:
Hocmai.vn