Đề và đáp án về tiếp tuyến hàm phân thức

Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
HDG CÁC BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC
Câu I: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
M C∈
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
có diện tích bằng 1.
I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
M C∈
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
cân.
Giải:
Tập xác định:
1
\
2
 
= −

 
 
D R
. Ta có:
( )
2
3
' 0,
2 1
−
= < ∀ ∈
+
y x D
x
Bài 1:
Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua M (2; 3) có hệ
số góc k có dạng:
( )
2 3y k x
= − +
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
( )
( )
2
1
2 3
2 1
3
2 1
x

k x
x
k
x
− +

= − +

+


−

=
+


có nghiệm
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

( )
( )
2
2
1 3
2 3 7 4 4 0
2 1
2 1
x
x x x

x
x
− + −
= − + ⇔ + + =
+
+
: Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)
Bài 2:
Hàm số có: TCĐ:
1
2
x = −
; TCN:
1
2
y
= −
1 1
;
2 2
I
 
⇒ − −
 ÷
 
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Vì đường thẳng
1

2
x
= −
không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua
1 1
;
2 2
I
 
− −
 ÷
 
có hệ số góc k có dạng:
1 1
2 2
y k x
 
= + +
 ÷
 
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
( )
2
1 1 1
2 1 2 2
3
2 1
x
k x
x

k
x
− +
 
= + +
 ÷

+
 


−

=

+

có nghiệm
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

( )
( )
2
1 3 1 1 3 3
2 1 2 2 2 1 2 2 1
2 1
x
x
x x x
x

− + − −
 
= + − ⇔ =
 ÷
+ + +
 
+
:Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)
Bài 3:
Gọi
( )
0
0
1 3 1
;
2 4 2
M x C
x
 
− − ∈
 ÷
 
. Tiếp tuyến tại M có dạng:
( )
0
2 2
0 0 0 0
3 3 1 3 3 1
:

4 4 2 4 2 2
d y x x x
x x x x
− −
= − + − = + −
Giả sử
Ox;A d B d Oy
= ∩ = ∩
suy ra:
( )
0 0
0
0
2 3
3
;0 ; 0;
3
x x
x
A B
x
− 
 
−
 ÷
 ÷
 
 
OAB
∆

vuông tạo O
( )
2
0
1 2
. 3 1
2 3
OAB
S OAOB x
∆
⇒ = = − =

0 0
6 6 6
3
2 2
x x
±
⇒ − = ± ⇒ =
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
3 4 6
20
40 12 6
y x
− −
= +
−
hay
3 4 6
20

40 12 6
y x
− +
= −
+
Bài 4:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 5
Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1k
= ±
. Gọi
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
là tiếp điểm
- Nếu
( )
0 0
2
0
3 1 3
1 1 2 1 3
2
2 1
k x x
x
− − ±
= − ⇒ = − ⇒ + = ± ⇒ =
+

Với
0 0
1 3 1 3
2 2
x y
− − − −
= ⇒ = ⇒
tiếp tuyến là:
1 3y x
= − − −

Với
0 0
1 3 1 3
2 2
x y
− + − +
= ⇒ = ⇒
tiếp tuyến là:
1 3y x
= − − +
- Nếu
( )
( )
2
0
2
0
3
1 1 2 1 3

2 1
k x
x
−
= − ⇒ = ⇒ + = −
+
: Vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là:
1 3y x
= − − −
và
1 3y x
= − − +
Câu II : Cho hàm số
( )
1m x m
y
x m
− +
=
−

( )
m
C

II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2. Tiếp tuyến tại
( )
m

M C∈
cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3. Cho điểm
( )
0 0
M x , y ∈
( )
3
C
. Tiếp tuyến của
( )
3
C
tại M

cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và
B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
Giải:

Bài 1:
Gọi
( )
0 0
;M x y
là điểm cố định của hàm số
( )
0
0
0

1
;
m x m
y m
x m
− +
⇒ = ∀
−

( ) ( )
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
1 0;
1 0 0
0 1
m x y x x y m
x y x
x x y y
⇔ + + − + = ∀
+ + = =
 
⇔ ⇔
 
+ = = −
 
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 5
Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Với
( )

0; 1M
−
, tiếp tuyến tại M là:
( )
' 0 1 1y y x x= − = − −
Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
1y x
= − −
tại
( )
0; 1M
−
.
Bài 2:
Ta có:
2
1
m
y m
x m
= − + ⇒
−
TCĐ:
x m
=
và TCN:
1y m
= −
Gọi
( )

2
; 1 , 0
m
m
M a m m C a
a
 
+ − + ∈ ≠
 ÷
 
. Tiếp tuyến tại M có dạng:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
: ' 1 1
m m m
d y y a m x a m m x a m m
a a a
= + − − + − + = − − − + − +
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:

( )
2
2
2 ; 1 ; ; 1
m
A a m m B m m
a
 
+ − − +

 ÷
 
Nhận thấy
2
2
A B M
A B M
x x x
y y y
+ =

⇒

+ =

M là trung điểm của AB (đpcm)
Bài 3:
Điểm
( )
3
9 9
: 2 3 ;2
3
M C y M
x
α
α
 
∈ = + ⇒ + +
 ÷

−
 
Phương trình tiếp tuyến của M có dạng:
2 2
9 18 27
: 2y x
α α α
∆ = − + + +
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
( )
18
2 3;2 ; 3;2A B
a
α
 
+ +
 ÷
 
Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên
( )
3;2I
+
IAB
∆
vuông tại I nên:
1 1 18
. . . 2 . 18
2 2
IAB
S IA IB

α
α
∆
= = =
(đvdt)
+ Chu vi tam giác IAB là:

2
2
18 18
2 4p IA IB AB
α α
α α
 
= + + = + + +
 ÷
 
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 5
Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.

2
2
18 18
2 2 2 4 12 2.2.18 12 6 2
α α
α α
 
≥ + + = + = +
 ÷
 

Dấu = xảy ra
18
2 3
α α
α
⇔ = ⇔ = ±
( )
6;5M⇔
hoặc
( )
0; 1M −

………………….Hết…………………
Nguồn: hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 5 of 5