đồ án kỹ thuật cơ khí Mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vật liệu composite nền cao su cốt sợi

1. Đề tài tốt nghiệp:
“Mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vật liệu
composite nền cao su cốt sợi”
2. Các số liệu ban đầu:
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………
3. Nội dung các phần thuyết minh và tính toán:
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
4. Các bản vẽ và đồ thị:
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
5. Giáo viên hướng dẫn:
Họ và tên giáo viên hướng dẫn: Trần Hữu Nam
Phần hướng dẫn:
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
1
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

6. Ngày giao nhiệm vụ thiết kế:
……………………………………………………………………………
7. Ngày hoàn thành nhiệm vụ thiết kế:
……………………………………………………………………………
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
2
Ngày tháng năm 2008
Ngày tháng năm 2008
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
(Ký, ghi rõ họ tên)
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
3
CHỦ NHIỆM KHOA
(Ký, ghi rõ họ tên)
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
(Ký, ghi rõ họ tên)
KẾT QUẢ ĐIỂM ĐÁNH GIÁ
Quá trình thiết kế:
Điểm phản biện:
Điểm bảo vệ:
Tổng hợp:
SINH VIÊN ĐÃ HOÀN THÀNH
Ngày tháng năm 2008
(Ký, ghi rõ họ tên)
LỜI CẢM ƠN:
Chúng ta đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ của những công nghệ hiện
đại, thế kỷ của những thách thức. Tuy vậy, hiện nay Việt Nam vẫn đang là
một nước có nền công nghệ sản xuất ở mức độ thấp hơn so với các nước phát
triển trên thế giới. Làm sao để có thể đuổi kịp được các nước tiên tiến trên thế
giới? Đó là một câu hỏi không hề dễ và đã đặt ra nhiều thách thức cho thầy

trò trường Bách Khoa chúng ta. Trong cuộc chiến tranh vệ quốc vĩ đại chống
đế quốc Mỹ, thầy trò trường Bách Khoa đã có nhiều đóng góp quan trọng cả
về nhân lực, vật lực và trí lực góp phần giải phóng đất nước. Trong cuộc
chiến tranh vệ quốc vĩ đại đó, trường đại học Bách Khoa xứng đáng là trường
đại học kỹ thuật hàng đầu của đất nước, những kiến thức về kỹ thuật đã được
những sinh viên Bách Khoa đem ra ứng dụng trong thực tế làm cho kẻ địch
vô cùng kinh sợ góp phần đưa đất nước đến thắng lợi cuối cùng. Điều đó có
công không nhỏ của những thầy cô giáo trường Bách Khoa đã ra sức giáo dục
và truyền thụ kiến thức của mình, đồng thời truyền thụ cả lòng yêu nước nồng
nàn cho thế hệ trẻ. Và trong công cuộc xây dựng đất nước ngày nay, các thầy
cô giáo trường đại học Bách Khoa nói chung và các thầy cô giáo khoa cơ khí
nói riêng vẫn âm thầm làm việc, đào tạo và bồi dưỡng cho sinh viên những
kiến thức khoa học kỹ thuật hiện đại để sau này xây dựng đất nước ngày càng
giàu đẹp hơn. Paul Brulat – nhà văn Pháp – có nói: “Làm sao không lưu tâm
được đến những người hết sức làm việc? Chính bởi cái hùng khí trầm lặng và
kín đáo ấy mà thế giới vẫn tiếp diễn và vững chắc vậy”. Vâng! Làm sao
không lưu tâm cho được cái hùng khí trầm lặng và kín đáo ấy, cái hùng khí ấy
sẽ giúp chúng em vững bước tiến lên. Em xin cảm ơn toàn thể các thầy cô
giáo trong trường Bách Khoa, những người anh hùng thầm lặng đã nhiệt tình
dạy dỗ và chỉ bảo chúng em suốt những năm tháng sinh viên, dạy cho chúng
em những điều hay lẽ phải. Em xin cảm ơn!
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
4
Đặc biệt, cho em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy giáo Trần Hữu
Nam, người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành đồ án tốt nghiệp này.
Và cuối cùng, em xin cảm ơn toàn thể bạn bè, anh em đã cùng được sống và
giúp đỡ nhau trong những năm tháng sinh viên đầy ý nghĩa. Xin cảm ơn tất
cả.
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
5

MỤC LỤC
MỤC TIÊU ĐỒ ÁN: 8
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: 8
CÁC NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỒ ÁN: 8
DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU 10
Chương I : MỞ ĐẦU 13
1.1 Giới thiệu chung 13
1.2 Tình hình nghiên cứu hiện tại 14
Chương II : 16
TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 16
2.1 Động học của biến dạng hữu hạn 16
2.1.1 Chuyển động của vật thể liên tục 16
2.1.2 Trường chuyển vị 18
2.1.3 Tenxơ gradient biến dạng 19
2.1.4 Phân tích cực 21
2.1.5 Tenxơ biến dạng 21
2.2 Tenxơ ứng suất 25
2.2.1 Tenxơ ứng suất Cauchy - phương trình cân bằng 25
2.2.2 Tenxơ ứng suất thay đổi 26
2.2.3 Các cặp liên hợp tenxơ ứng suất - biến dạng 28
Chương III : MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 30
3.1 Các phương trình trạng thái cho vật liệu SĐH 30
3.1.1 Các dạng hàm năng lượng biến dạng 31
3.1.2 Những dạng được rút gọn của các phương trình trạng thái 32
3.2 Các phương trình trạng thái của vật liệu SĐH đẳng hướng 33
3.2.1 Hàm năng lượng biến dạng 33
3.2.2 Phương trình trạng thái dưới dạng các bất biến 35
3.2.3 Những phương trình trạng thái biểu diễn dưới dạng các độ giãn chính 37
3.3 Vật liệu SĐH đẳng hướng không nén được 38
3.3.1 Tính SĐH đẳng hướng không nén được 38

3.3.2 Mô hình Ogden 40
3.2.3 Mô hình Mooney-Rivlin 41
3.2.4 Mô hình Neo-Hookean 41
3.4 Vật liệu SĐH đẳng hướng nén được 43
3.4.1 Tính SĐH nén được 43
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
6
3.4.2 Tính SĐH đẳng hướng nén được biểu diễn dưới dạng của những bất biến
44
3.4.3 Mô hình Ogden 45
3.4.4 Mô hình Mooney-Rivlin 46
3.4.5 Mô hình Neo-Hookean 47
Chương IV: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VÀ NHẬN DẠNG HẰNG SỐ VẬT LIỆU
(Trần Hữu Nam, 2004) 48
4.1 Thực nghiệm nghiên cứu 50
4.2 Xác định những hằng số vật liệu 58
Chương V: MÔ HÌNH PTHH VÀ MÔ PHỎNG BIẾN DẠNG CỦA CRC 60
5.1 Giới thiệu phần mềm ANSYS 60
5.1.1 Giới thiệu chung 60
5.1.2 Các lệnh cơ bản 62
5.2 Mô hình phần tử hữu hạn của CRC 66
5.3 Mô phỏng số 67
5.4 Mô phỏng tính toán 68
KẾT LUẬN 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO 77
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
7
MỤC TIÊU ĐỒ ÁN:
• Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vật
liệu composite trên nền cao su cốt sợi.

• Áp dụng mô hình đã trình bày nghiên cứu ứng xử cơ học và tính toán
biến dạng của vật liệu composite nền cao su cốt sợi.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
• Trình bày một số mô hình trạng thái của vật liệu siêu đàn hồi để mô tả
ứng xử cơ học của vật rắn đàn hồi biến dạng lớn.
• Trình bày các nghiên cứu thực nghiệm của vật liệu composite nền cao
su cốt sợi (CRC)
• Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vật
liệu composite nền cao su cốt sợi của lò xo khí nén chịu biến dạng lớn.
• So sánh kết quả tính toán với kết quả nghiên cứu thực nghiệm.
CÁC NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỒ ÁN:
• Chương1: Mở đầu
• Chương 2: Giới thiệu tổng quát về cơ học môi trường liên tục nhằm
nghiên cứu những ứng suất, biến dạng của các môi trường liên tục.
Chương này trình bày các định nghĩa động học và biểu diễn trong biến
dạng hữu hạn, các ứng suất trong vật thể biến dạng, và cuối cùng trình
bày một số cặp tenxơ ứng suất-biến dạng.
• Chương 3: Chương này trình bày tổng quan ứng xử cơ học của vật liệu
SĐH chịu biến dạng hữu hạn. Trong đó, các phương trình trạng thái của
cơ học vật rắn cho những phương pháp gần đúng, chẳng hạn phương
pháp PTHH. Các phương trình biểu diễn quan hệ ứng suất-biến dạng
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
8
mô tả ứng xử cơ học vật liệu. Trình bày một số mô hình tính toán cho
lớp vật liệu SĐH đẳng hướng nén được và không nén được.
• Chương 4: Chương này trình bày các nghiên cứu thực nghiệm về các
ứng xử cơ học của vật liệu composite trên nền cao su cốt sợi do thầy
Trần Hữu Nam nghiên cứu. Đồng thời nhận dạng hằng số vật liệu
• Chương 5: Chương này giới thiệu tổng quan về phần mềm ANSYS và
cách sử dụng. Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn để nghiên cứu ứng

xử cơ học của vật liệu composite nền cao su cốt sợi. Ứng dụng mô hình
phần tử hữu hạn để mô phỏng biến dạng kéo một chiều và hai chiều của
vật liệu CRC.
• Kết luận
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
9
DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU
A
a
B
B
B
C
C
t
C
0
C
1 2
,c c
E
EB
F
F
fb
I
I1, I2, I3
1, 2
I I
J

L
l
N
n
P
Tenxơ biến dạng Almansi
Véctơ đơn vị chỉ phương trong hình dạng tức thời
Tenxơ biến dạng Cauchy-Green trái
Tenxơ biến dạng Cauchy-Green trái sửa đổi
Thể tích
Tenxơ biến dạng Cauchy-Green phải
Tenxơ biến dạng Cauchy-Green sửa đổi
Hình dạng tức thời (biến dạng)
Hình dạng tham chiếu (chưa biến dạng)
Các hệ số trong mô hình vật liệu Mooney-Rivlin
Tenxơ biến dạng Green-Lagrange
Tenxơ biến dạng Biot
Gradient biến dạng
Gradient biến dạng sửa đổi
Lực thể tích
Tenxơ đơn vị
Các bất biến chính của Tenxơ biến dạng Cauchy-Green
Các bất biến chính của Tenxơ biến dạng Cauchy-Green sửa đổi
Định thức Jacobian
Chiều dài của phần tử trong hình dạng tức thời
Chiều dài của phần tử trong hình dạng tham chiếu
Pháp tuyến ngoài
Véctơ pháp tuyến
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
10

p
R
S
Svol
Sdis
T
TB
t
t
u
u
V
va
X
x
n
α
ε
L
ε
0L
ε
κ
a
λ
a
λ
µ
n
µ

ν
tp
0p
Tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ nhất
Áp suất thủy tinh
Tenxơ quay trực giao
Tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai
Thành phần lệch của tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai
Thành phần đẳng tích của tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ
hai
Véctơ lực Piola-Kirchhoff thứ nhất
Tenxơ ứng suất Biot
Véctơ lực bề mặt
Thời gian
Tenxơ giãn phải
Vectơ chuyển vị (của U)
Tenxơ giãn trái
Véctơ đơn vị trực giao
Véctơ vị trí trong hình dạng tức thời
Véctơ vị trí trong hình dạng tham chiếu
Các hệ số trong mô hình vật liệu Odgen
Tenxơ biến dạng vi phân
Tenxơ biến dạng logarit ở hình dạng bị biến dạng
Tenxơ biến dạng logarit ở hình dạng không bị biến dạng
Modun khối
Các độ giãn chính
Các độ giãn chính sửa đổi
Modun cắt
Các hệ số trong mô hình vật liệu Odgen
Hệ số Poát-xông

Tỉ trọng vật liệu trong hình dạng tức thời
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
11
σ
vol
σ
dis
σ
τ
ξ
ψ
vol
ψ
dis
ψ
0
Ω
Ω
Tỉ trọng vật liệu trong hình dạng tham chiếu
Tenxơ ứng suất Cauchy
Thành phần lệch của ứng suất Cauchy
Thành phần đẳng tích của ứng suất Cauchy
Tenxơ ứng suất Kirchhoff
Hàm giá trị vô hướng
Hàm năng lượng biến dạng
Thành phần lệch của hàm năng lượng biến dạng
Thành phần đẳng tích của hàm năng lượng biến dạng
Thể tích vật thể chưa bị biến dạng
Thể tích vật thể bị biến dạng
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48

12
Chương I : MỞ ĐẦU
1.1 Giới thiệu chung
Trong thực tế lớp vật liệu đàn hồi (elastomer) chịu được biến dạng hữu hạn
(biến dạng lớn) được xem như những vật liệu siêu đàn hồi (SĐH), chẳng hạn,
vật liệu dạng cao su là một thí dụ điển hình cho lớp vật liệu SĐH. Với khả
năng mô phỏng và xử lý các mô hình phức tạp trên máy tính điện tử ngày
càng tiến bộ và chính xác, kéo theo sự phát triển nhanh chóng và vượt bậc của
lớp vật liệu này. Các bài toán tĩnh học, động học và ứng xử của vật liệu…
không còn là vấn đề quá khó giải quyết trong phương pháp phần tử hữu hạn
(PTHH).
Trong công nghiệp, lớp vật liệu SĐH này được sử dụng bên cạnh kim loại
và trong một thời gian ngắn đã thay thế dần cho một số kim loại và hợp kim.
Ngoài ra, một số vật liệu SĐH còn được đưa vào sử dụng trong các cấu trúc
chịu cường độ áp lực cao. Lớp vật liệu SĐH có các ứng dụng nổi bật sau :
• Phát triển trang thiết bị cho công nghiệp. Được dùng trong các bộ phận
truyền chuyển động của máy móc, lớp vật liệu SĐH rất thích hợp cho những
công việc có tính chất lặp lại nhanh.
• Bảo vệ các trang thiết bị công nghiệp. Sử dụng làm các giá, khung và
các lớp đệm làm giảm các rung động cho máy móc thiết bị.
• Thay thế cho các lò xo kim loại trong các hệ thống giảm xóc của xe và
một số bộ phận khác, với tính năng nổi bật là nhẹ và mềm dẻo hơn.
Đặc tính của vật liệu SĐH có tác động quan trọng tới sự phát triển của công
nghiệp và xây dựng. Ngày nay, việc kết hợp các vật liệu đàn hồi với một số
vật liệu khác chúng ta thu được lớp vật liệu Composite có cấu trúc cứng và
bền vững hơn mọi vật liệu khác đã từng sử dụng.
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
13
Kết cấu dạng tấm vỏ của cao su như màng hơi, săm xe ôtô, xe máy, vòi
thủy lực… thể hiện tính bền vững và tính chất dị hướng của vật liệu đàn hồi

có thể chịu được những biến dạng hữu hạn.
1.2 Tình hình nghiên cứu hiện tại
Những nghiên cứu về vật liệu SĐH dạng như cao su đã được nhiều tác giả
trình bày theo hai hướng chính :
- Thứ nhất là dựa trên các lời giải giải tích mà được phát triển cho các
trường hợp đơn giản, chẳng hạn, bài toán màng cầu và trụ hữu hạn đã
được Beatty (1987) trình bày trên cơ sở lý thuyết liên tục của Green và
Adkins. Trong hầu hết các trường hợp thì bài toán đều đưa về hệ
phương trình vi phân bậc nhất phi tuyến với các điều kiện biên hai
điểm. Guo (2001) đã phân tích bài toán biến dạng hữu hạn của màng
trụ SĐH của vật liệu dạng như cao su dưới tác dụng của áp suất bên
trong. Gần đây Nam (2004) đã trình bày bài toán phân tích biến dạng
hữu hạn của vỏ trụ căng phồng lò xo khí nén chịu áp suất bên trong.
- Thứ hai dựa trên ứng dụng của phương pháp PTHH, chẳng hạn Shi và
Moita (1996) đã sử dụng phương pháp PTHH để nghiên cứu những ứng
xử phi tuyến của ống vật liệu dạng cao su chịu áp suất bên trong. Phần
tử hữu hạn đối xứng đã được dùng để mô hình hóa vật liệu SĐH dạng
cao su nhằm nghiên cứu ứng xử của màng căng phồng. Verron và
những người khác (2001) đã trình bày các phương trình trạng thái vật
liệu SĐH dưới dạng mạng lưới để nghiên cứu màng vật liệu dạng cao
su căng phồng. Gần đây, Nam (2004) đã xây dựng chương trình PTHH
cho việc phân tích biến dạng hữu hạn của vỏ trụ căng phồng lò xo khí
nén chịu áp suất bên trong.
Các phương trình trạng thái cho nghiên cứu các vật thể dạng cao su thường
được sử dụng thông qua các mô hình của Neo-Hookean, Mooney-Rivlin và
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
14
Ogden (Beatty, 1987; Holzapfel, 2000; Bonet, 2000 và Guo, 2001). Các mô
hình này ngày càng được thay thế cho các mô hình vật lý dựa trên cơ sở các
quan điểm thống kê. Gần đây những tính toán số của các mô hình đẳng

hướng, đẳng hướng ngang và trực hướng của vật liệu SĐH đã được một số tác
giả trình bày. Hầu hết các tác giả đều trình bày thông qua hàm năng lượng
biến dạng tiêu biểu dưới dạng đa thức (Bonet, 1998) hoặc dạng hàm mũ
(Ogden, 2000; Holzapfel, 2000, 2001) hoặc hàm logarit (Pozivilova, 2002).
Trong đề tài đồ án tốt nghiệp này có sử dụng ba mô hình của Neo-
Hookean, Mooney-Rivlin và Ogden để nghiên cứu ứng xử ứng suất và biến
dạng của một số kết cấu dạng vỏ vật liệu SĐH dạng cao su chịu biến dạng
hữu hạn.
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
15
Chương II :
TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
Cơ học môi trường liên tục nghiên cứu ứng xử của các đối tượng vật lý trên
cơ sở các vật thể liên tục. Cụ thể là khảo sát chuyển động biến dạng và ứng
suất do lực và mômen gây ra trong vật thể. Do đó, nghiên cứu chuyển động và
biến dạng hữu hạn của cơ học môi trường liên tục là cần thiết và là nội dung
chính trong chương này. Phần đầu của chương trình bày các định nghĩa động
học và biểu diễn biến dạng hữu hạn. Tenxơ biến dạng trong mô tả vật liệu
(hay Lagrange) và mô tả không gian (Spatial) được trình bày. Phần tiếp theo
trình bày ứng suất trong vật thể biến dạng. Phần cuối của chương trình bày
một số cặp tenxơ ứng suất và biến dạng.
2.1 Động học của biến dạng hữu hạn
Trong phần này các khái niệm và nguyên lý biến dạng hữu hạn được trình
bày. Mục đích của phần này là mô tả một số khái niệm động học cơ bản
nghiên cứu chuyển động và biến dạng hữu hạn của vật thể.
2.1.1 Chuyển động của vật thể liên tục
Nghiên cứu vĩ mô liên quan đến động học của vật thể trong đó khối lượng
và thể tích đều là các hàm liên tục của các toạ độ. Vật thể này được gọi là vật
thể liên tục.
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48

16
O
X2 , x2
E2 , e2
X
x
B
C
P
dX
Q
time t=0 time t
X3 , x3
E3 , e3
X1 , x1
E1 , e1
P'
dx
Q'
o
t
C
U(X,t)=u(x,t)
Hình 2.1: Động học của một vật thể biến dạng
Cho hệ toạ độ Đềcác vuông góc với gốc O cố định và vectơ đơn vị
i
e
v

(i=1,2,3) (hình vẽ 2.1). Một vật thể liên tục B chiếm một miền hình học ở

trạng thái chưa biến dạng ở thời điểm t=0 được ký hiệu là
0
C. Đó là hình dạng
ban đầu của vật thể và được gọi là hình dạng chưa biến dạng. Trong hình
dạng chưa biến dạng, một phần tử của vật thể đặt tại điểm P với vectơ định vị
X. Giả sử hình
0
C dịch chuyển đến vị trí mới
t
C thì điều gì sẽ xảy ra với vật
thể liên tục B tại thời điểm t>0. Hình dạng của B ở thời điểm t được gọi là
hình dạng biến dạng. Một điểm P đặc trưng cho vật thể ban đầu hay vật thể
chưa biến dạng dịch chuyển đến điểm P’ đặc trưng cho vật thể biến dạng với
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
17
vectơ định vị x. Chuyển động này có thể được mô tả bằng phương trình giữa
hai đại lượng vị trí của vật thể chưa biến dạng và biến dạng:
( , )t=x x X
(2.1)
Sự biến đổi của x kéo điểm P ở hình
0
C dịch chuyển tới điểm P’ ở hình
t
C.
Phương trình tham số (2.1) xác định vị trí x của phần tử P trong không gian.
Hàm x là quỹ đạo của điểm P.
Hàm (2.1) là duy nhất và cũng tồn tại duy nhất một hàm ngược với nó là :
( , )t=X X x
(2.2)
Các bài toán vật liệu trong cơ học môi trường liên tục có thể được công

thức hóa qua các toạ độ như các biến độc lập và được gọi là sự mô tả vật liệu
(Lagrange) hoặc qua các toạ độ không gian như các biến độc lập được gọi là
sự mô tả không gian (Euler). Đối với cơ học vật rắn biến dạng ta thường sử
dụng các mô tả vật liệu. Còn với cơ học chất lỏng thường sử dụng các mô tả
không gian.
Cả hai phương trình động học (2.1) và (2.2) là tương đương nhưng không
đồng nhất và chúng được mô tả bởi các hàm khác nhau. Sự mô tả vật liệu
trong phương trình (2.1) đặc trưng cho chuyển động đối với toạ độ vật liệu và
thời gian t, các biến độc lập (X,t) được coi là các biến vật liệu. Mặt khác, sự
mô tả chuyển động được đưa ra ở (2.2) liên quan đến một điểm trong không
gian. Sự mô tả này được gọi là sự mô tả không gian và các biến độc lập (x,t)
là các biến số không gian. Thực tế những ứng xử trạng thái của vật rắn thường
biểu diễn qua các tọa độ vật liệu, nên sử dụng mô tả Lagrange.
2.1.2 Trường chuyển vị
Trường chuyển vị trong mô tả vật liệu được kí hiệu là U, là hàm của chất
điểm X và thời gian t, được cho bởi công thức :
( , ) ( , )t t= −U X x X X
(2.3)
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
18
Trường chuyển vị trong mô tả không gian được kí hiệu là u, là hàm của
chất điểm x và thời gian t, được cho bởi công thức :
( , ) ( , )t t= −u x x X x
(2.4)
Véctơ U và véctơ u có cùng giá trị nhưng chúng trình bày cho các hàm có đối
số khác nhau.
2.1.3 Tenxơ gradient biến dạng
Biến dạng của một vật thể liên tục (đó là sự thay đổi kích thước và hình
dạng) xảy ra khi nó dịch chuyển từ hình dạng ban đầu
0

C sang hình dạng biến
dạng
t
C. Để xác định sự biến dạng của một phần tử vật liệu P, cần phải phân
tích sự biến đổi của phần tử lân cận nó, gọi phần tử đó là Q (như hình 2.1).
Mối tương quan vị trí giữa P và Q được xác định bằng véctơ thành phần dX,
mô tả bằng phương trình:
Q P
d = −X X X
(2.5)
Sau khi biến dạng, thì P và Q sẽ dịch chuyển đến vị trí mới P' và Q', tương
ứng với véctơ phần tử dx :
' 'Q P
d = −x x x
(2.6)
Một thành phần chính trong phép phân tích biến dạng hữu hạn là gradient
biến dạng F, nó liên quan đến tất cả các đại lượng trong các phương trình
trước khi biến dạng tương ứng với các đại lượng sau khi (hoặc trong quá
trình) biến dạng. Tenxơ gradient biến dạng được định nghĩa như sau:
( , )
( , )
t
t
∂
=
∂
x X
F X
X
(2.7)

Các thành phần của tenxơ Gradient biến dạng được biểu diễn như sau:
, ( , 1,2,3)
i
ij
J
F i j
∂
= =
∂
x
X
(2.8)
Giá trị đảo của F là:
1−
∂
=
∂
X
F
x
(2.9)
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
19
a) Tenxơ gradient chuyển vị
Tenxơ gradient chuyển vị trong mô tả vật liệu được xác định từ công thức
(2.3) và (2.7)
( , ) ( , )grad grad t grad t= − = −U x X X F X I
(2.10)
Tenxơ gradient chuyển vị trong mô tả không gian được xác định từ công
thức (2.4) và (2.9)

1
( , ) ( , )grad grad grad t t
−
= − = −u x X x I F X
(2.11)
b) Định thức Jacobian
Định thức của gradient biến dạng F cho bởi công thức:
( , ) det ( , )J t t=X F X
(2.12)
trong đó, J là tỷ lệ của sự thay đổi thể tích giữa hình dạng ban đầu và hình
dạng biến dạng tại thời điểm t.
( , )dv J t dV= X
(2.13)
Trong công thức (2.13) thì dV và dv lần lượt là phần thể tích vô cùng bé trong
hình dạng chưa biến dạng và hình dạng biến dạng.
Từ định luật bảo toàn khối lượng, ta có:
0 t
ρ ρdm dV dv= =
(2.14)
trong đó,
0
ρ là tỷ trọng của của thể tích dV trong hình dạng chưa biến dạng và
t
ρ là tỷ trọng của thể tích dv trong hình dạng biến dạng.
Bởi vì F không suy biến nên J = det(F) ≠ 0. Vì các thành phần thể tích
không thể có giá trị âm, J<0 sẽ bị loại.Tóm lại, tỷ lệ thể tích phải lớn hơn 0
đối với tất cả các phần tử trong hình dạng chưa biến dạng với mọi thời gian t.
det 0J
= >
F

(2.15)
Do đó tồn tại giá trị đảo của gradient biến dạng.
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
20
2.1.4 Phân tích cực
Tenxơ gradient biến dạng F mô tả ở trên biến đổi vectơ phần tử vật liệu dX
thành vectơ phần tử không gian dx. Vai trò chính của F là rất quan trọng khi
phân tích nó ra thành phần quay và giãn. Từ quan điểm thuần túy về mặt toán
học, phân tích cực của F có thể được định nghĩa bằng công thức :
=
F RU
, khi phân tích phải. (2.16)
=F VR
, khi phân tích trái. (2.17)
Với R là tenxơ quay trực giao và U, V là các tenxơ đối xứng dương được xem
như là các tenxơ giãn trái và phải trong hình dạng vật liệu và trong hình dạng
không gian cho bởi công thức:
, ,
T T T
= = =R R I U U V V
(2.18)
2.1.5 Tenxơ biến dạng
Ở trong phần trước gradient biến dạng được trình bày như tenxơ động học
cơ bản trong động học biến dạng hữu hạn. Mục đích của phần này là xác định
sự thay đổi kích thước dưới dạng các tenxơ biến dạng có liên quan tới hình
dạng biến dạng và hình dạng chưa biến dạng của vật thể.
Tenxơ biến dạng vô cùng bé sử dụng trong phép phân tích biến dạng nhỏ
được biểu diễn dưới dạng đạo hàm của trường chuyển vị
1
2

T
 
∂ ∂
   
= +
 
 ÷  ÷
∂ ∂
   
 
 
u u
ε
X X
(2.19)
Vấn đề đặt ra tại sao tenxơ này không thể sử dụng trong cơ học phi tuyến đối
với các vật rắn quay mà biến dạng đo không bỏ qua được. Điều đó có nghĩa là
ứng suất sẽ tăng trong vật rắn khi mà vật quay. Đối với các biến dạng nhỏ ứng
suất này còn có thể được bỏ qua, còn đối với các biến dạng lớn thì tenxơ này
thường không đem lại kết quả chính xác.
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
21
a) Tenxơ biến dạng vật liệu và không gian
Tenxơ biến dạng vật liệu được xác định bởi sự thay đổi chiều dài giữa hai
điểm lân cận P và Q với vectơ thành phần dX trong hình dạng vật liệu, điều
này xảy ra trong quá trình chuyển động đến hai điểm mới P’ và Q’ với vectơ
thành phần dx, trong hình dạng biến dạng. Bình phương chiều dài trong các
thành phần không gian và vật liệu được cho bởi công thức (xem hình vẽ 2.1)
2
.dL d d= X X

,
2
.dl d d= x x
(2.20)
Sự thay đổi bình phương các chiều dài xảy ra khi một vật thể biến dạng từ
hình dạng ban đầu, được xác định bởi công thức của vectơ thành phần là dX:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
1 1 1
. . . .
2 2 2
1 1
. .
2 2
1
.
2
T T
dl dL d d d d d d d d
d d d d d d
d d d d
− = − = −
= − = × −
= × − =
x x X X F XF X X X
X F F x X X X F F I X
X C I X X E X

(2.21)
trong đó :
C là tenxơ biến dạng Cauchy-Green phải được cho bởi công thức của
gradient biến dạng
T
=C F F
(2.22)
E là tenxơ biến dạng Green-Lagrange cho bởi công thức:
( )
1
2
= −E C I
(2.23)
Các tenxơ biến dạng không gian được xác định bởi sự thay đổi bình
phương các chiều dài, xảy ra khi vật thể biến dạng từ hình dạng biến dạng trở
về hình dạng ban đầu cho bởi công thức của vectơ thành phần dx :

2 2 1
1
1 1
( ) ( . . )
2 2
1
( ) .
2
T
dl dL d d d d
d d d d
− −
−

− = −
= × − =
x x x F F x
x I B x x A x
(2.24)
trong đó, B là tenxơ biến dạng Cauchy – Green trái :
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
22
T
=B FF
(2.25)
A là tenxơ biến dạng Almansi cho bởi công thức :
1
1
( )
2
−
= −A I B
(2.26)
Tenxơ C liên quan đến hình dạng chưa biến dạng
o
C và tenxơ B liên quan
đến hình dạng biến dạng
t
C. Cả hai tenxơ B và C là đối xứng và xác định
dương.
( )
( )
T T T T
T T T T


= = =


= = =


C F F F F C
B FF FF B
(2.27)
0
0
T
T

>


>


a Ca
a Ba
(2.28)
Thay thế phương trình (2.16) vào (2.22) và ( 2.17) vào (2.25) có thể thấy
tenxơ Cauchy – Green là bình phương của tenxơ độ giãn phải và tenxơ
Cauchy – Green trái là bình phương của tenxơ độ giãn trái.
2
=C U
(2.29)

2
=B V
(2.30)
Mối quan hệ giữa U và V, giữa B và C sẽ được xác định sau một vài phép
biến đổi:
T T
= =V FR RUR
(2.31)
2 T
= =B V RCR
(2.32)
Để xác định giá trị của U từ phương trình (2.29) cần thiết xác định các
phương chính của C thông qua vectơ riêng v
a
tương ứng với các giá trị riêng
của nó
2
a
λ
(a = 1,2,3). Khi đó C có thể viết như sau :
3
2
1
a
a
λ
=
= ⊗
∑
a a

C v v
(2.33)
Do tính đối xứng của C, nên các vectơ riêng v
a
(a=1,2,3) là vectơ đơn vị trực
giao. Kết hợp hai phương trình (2.29) và (2.33) thì U có thể dễ dàng nhận
được :
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
23
3
1
a
a
λ
=
= ⊗
∑
a a
U v v
(2.34)
Tương tự, nếu phương chính của B được xác định bởi các vectơ không gian
trực giao n
a
với các giá trị riêng
2
a
λ
(a=1,2,3), thì tenxơ Cauchy-Green trái và
tenxơ độ giãn trái được biểu diễn :
3

2
1
a
a
λ
=
= ⊗
∑
a a
B n n
(2.35)
3
1
a
a
λ
=
= ⊗
∑
a a
V n n
(2.36)
Các véctơ riêng của V và B là các véctơ riêng của U và C quay với R,
véctơ v
a
được biểu diễn qua véctơ trực giao không gian n
a
:
=
a a

n Rv
(2.37)
Từ sự phân tích cực của gradient biến dạng, ánh xạ phân tích phổ của
gradient biến dạng được biểu diễn dưới dạng sau :
3
1
a
a
λ
=
= ⊗
∑
a a
F n v
(2.38)
b) Tenxơ biến dạng Biot
Độ giãn tự nhiên của tenxơ biến dạng nhỏ đối với cơ học phi tuyến chính là
tenxơ biến dạng Biot. Tenxơ này phù hợp với những biến dạng nhỏ nhưng nó
bất biến với vật rắn quay. Tenxơ này được tính bởi công thức :
B
= −E U I
(2.39)
c) Tenxơ biến dạng logarit
Tenxơ biến dạng logarit có liên quan đến hình dạng chưa biến dạng được
xác định bởi công thức :
1
ln ln
2
oL
= =ε U C

(2.40)
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
24
Ngoài tenxơ biến dạng logarit trong công thức (2.40), còn có tenxơ biến
dạng logarit trái liên quan tới hình dạng biến dạng được xác định bởi công
thức :
1
ln ln
2
L
= =ε V B
(2.41)
2.2 Tenxơ ứng suất
Trong mục này giới thiệu các tenxơ ứng suất đối với một vật thể biến dạng
hữu hạn. Chuyển động và biến dạng được mô tả bởi các thuyết động học
thường gây ra do ngoại lực tác dụng lên vật thể. Trước tiên ứng suất được
định nghĩa trong một hình dạng tức thời dưới dạng chuẩn bằng lực chia cho
diện tích. Đây chính là tenxơ ứng suất nổi tiếng Cauchy thường được sử dụng
trong các phép phân tích tuyến tính. Ngược lại với phép phân tích tuyến tính,
các đại lượng ứng suất liên quan đến hình dạng ban đầu của vật thể cũng có
thể được định nghĩa. Điều này được sử dụng nhiều trong các khái niệm công
liên hợp và nó dẫn đến tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff.
2.2.1 Tenxơ ứng suất Cauchy - phương trình cân bằng
Tồn tại duy nhất hàm tenxơ bậc hai σ và t sao cho :
t = σn
hoặc
i ij j
t n
σ
=

(2.42)
trong đó, t là véctơ lực kéo Cauchy (lực đo được trên mỗi đơn vị diện tích bề
mặt trong hình dạng tức thời (hình 2.2)), khảo sát phần diện tích ds với véctơ
pháp tuyến n. σ là kí hiệu của tenxơ ứng suất Cauchy (hay ứng suất
Cauchy).
T
=σ σ
hoặc
ij ji
σ σ
=
(2.43)
Trần Đỗ Khải – CĐT1 K48
25