đồ án kỹ thuật cơ khí Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật

Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU
Chương I Cơ sở cấu trúc hệ cơ
1.1 Khớp động học
1.2 Chuỗi động học
1.3 Cơ cấu
1.4 Mô tả cấu trúc một hệ nhiều vật
Chương II Phương pháp ma trận trong phân tích
động học hệ nhiều vật
2.1 Động học điểm và vật

2.1 .1 Vị trí
2.1.2 Vận tốc
2.1.3 Gia tốc
2.2 Chuyển động ngược
2.3 Chuyển động liên tiếp
2.3.1 Vị trí
2.3.2 Vận tốc
2.3.3 Gia tốc
2.4 Phương pháp ma trận mô tả các chuyển động cơ bản
2.4.1 Chuyển động tịnh tiến theo trục Ox
2.4.2 Chuyển động tịnh tiến theo trục Oy
2.4.3 Chuyển động tịnh tiến theo trục Oz
2.4.4 Chuyển động quay quanh trục Ox
2.4.5 Chuyển động quay quanh trục Oy
2.4.6 Chuyển động quay quanh trục Oz
Chương III: Phân tích thiết kế chương trình sử dụng
phương pháp ma trận mô phỏng chuyển
động hệ nhiều vật
3.1 Cơ sở lí thuyết.

3.1.1 Chuỗi động mở
3.1.2 Chuỗi động kín
3.2 Phương pháp xử lí Symbolic
3.1.1 Các thuật giải cơ bản
3.1.1.2 Phõn tích chuỗi thành vector các phần tử
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
1
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
3.1.1.3 Biến đổi biểu thức hàm số từ dạng trung tố về
dạng hậu tố
3.2.1.4 Thuật giải xây dựng cây biểu thức từ vộctơ cỏc
phần tử dạng hậu tố
3.2.1.5 Thuật giải xây dựng cây đạo hàm như sau
3.2.2 Module tính giá trị hàm số
3.2.2 Module tính đạo hàm hàm số
3.3 Phân tích thiết kế chương trình
3.3.1 Các Module chung của chương trình
3.3.2 Diễn tiến hoạt động của chương trình
3.3.3 Các lớp chính của chương trình
3.4 Minh hoạ quá trình tính toán với cơ cấu 4 khâu
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
2
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
LỜI NÓI ĐẦU
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận

mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
3
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Chương I
CƠ SỞ CẤU TRÚC HỆ CƠ

Mỗi hệ cơ trước hết là hệ thống nhiều vật, có thể chứa các phần tử khác nhau
như: các phần tử đàn hồi, phần tử cản. Các vật trong hệ hầu hếtlà các vật rắn. Các
phần tử dẻo và cản được xem như không trọng lượng. Chuyển động của các vật trong
hệ chịu ràng buộc hoàn toàn hoặc một phần bởI các liên kết (constraint). Tất cả hình
thành nên một hệ thống riêng biệt, hệ MBS (Multibody System).
Đặc trưng bản chất của hệ MBS là cấu trúc của nó. Khi mô tả cấu trúc của
MBS, ta quan tâm đến số vật thể tạo nên hệ thống và các liên kết giữa chúng mà
không quan tâm tới kích thước của chúng.
Các thành phần được sử dụng để mô tả cấu trúc hệ MBS: khớp động học,
chuyển động học, nhóm hệ, tính chuyển động, bậc tự do.

1.1 Khớp động học:

Hai vật thể chuyển động tương đối với nhau được ràng buộc bởi một liên kết
hình thành nên một khớp động học. Có 2 loạị khớp động học: khớp động học bậc thấp
và khớp động học bậc cao.
Khớp động học bậc thấp là khớp mà 2 vật thể tiếp xúc với nhau theo một mặt
như: khớp xoay, khớp trụm khớp cầu, khớp xoắn, khớp lăng trụ, khớp nền…
Khớp động học bậc cao là khớp mà 2 vật thể tiếp xúc với nhau theo điểm hoặc
đường.
Số tọa độ độc lập xác định duy nhất vị trí tương đối của 2 vật được nối bởi
khớp là bậc tự do của khớp.
Khái niệm lớp của khớp động học : 1 khớp động học thuộc lớp thự nếu nó hạn
chế j bậc tự do của vật. Với j=1…6, khớp động học thuộc lớp j sẽ có (6-j) tọa độ độc

lập. Các tọa độ trong định nghĩa về bậc tự do của chuyển động có thể là tọa độ thẳng
hoặc góc quay, là tọa độ tuyệt đối hay tương đối.
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
4
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
1.2 Chuỗi động học
Các vật riêng biệt của một hệ nhiều vật gọi là các phần tử của hệ. Một phần tử
lien kết với các phần tử cạnh nó bởi s khớp động học là một phẩn tử bậc s:
unary: phần tử bậc 1
Hình 1.1. Phần tử bậc 1
binary: phần tử bậc 2
Hình 1.2. Phần tử bậc 2
ternary: phần tử bậc 3
Hình 1.3. Phần tử bậc 3
Các phần tử nối với nhau bởi các khớp hình thành nên 1 chuỗi động học. Cách
mô tả đơn giản nhất cấu trúc của một chuỗi động học là bằng đồ thị, trong đó vật được
mô tả bằng 1 đường thẳng, 1 khớp được mô tả bằng 1 đường tròn, vòng lặp của chuỗi
được mô tả bằng 1 đường polygon.
Chuỗi động học được phân làm các loại sau:
+ Chuỗi động kín: là chuỗi chứa 1 hoặc nhiều vòng lặp, trong đó mỗi
phần tử và khớp động học nằm trong ít nhất 1 trong số cỏc vũng lặp đó
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
5
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Hình 1.4. Chuỗi động học kín
+ Chuỗi động học hở: là chuỗi không chứa các chuỗi trên
Hình 1.5. Chuỗi động học hở
Có thể phân biệt thành: chuỗi đơn giản và chuỗi phức tạp:

+ Chuỗi đơn giản: chứa chỉ các phần tử binary
Hình 1.6. Chuỗi đơn giản
+ Chuỗi phức tạp: chứa ít nhất 1 phần tử bậc 3 hoặc cao hơn
Hình 1.7. Chuỗi phức tạp
Vị trí xác định của tất cả các phần tử của chuỗi được mô tả bằng tọa độ của
chuỗi động học. Các tọa độ của các khớp động học phụ thuộc vào chuỗi cụ thể. Các
tọa độ của tất cả các khớp động học của chuỗi là độc lập.
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
6
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Thuộc tính đăc trưng cơ bản của 1 khớp động học là bậc tự do chuyển động của
nó, được tính bằng số i cần thiết xác định một cách duy nhất vị trí của tất cả các phần
tử của khớp, có thể được tính như sau:
Mỗi vật tự do trong không gian có 6 bậc tự do. Hệ thống chứa n phần tử với 1
phần tử nền sẽ có n-1 vật có thể chuyển động , như vậy sẽ có 6(n-1) bậc tự do. Mỗi
khớp động học thuộc lớp j hạn chế j bậc tự do. Gọi số khớp thuộc lớp j này là dj, thì
số di chuyển tự do của một hệ xác định là :
i = 6(n-1) -
5
1j
jdj
=
∑
(1)
Với hệ MBS phẳng thì:
i = 3(n-1) -
2
1j
jdj

=
∑
(2)
1.3 Cơ cấu:
Một cơ cấu có thể được định nghĩa như một thiết bị cơ khí để truyền chuyển
động và lực hay tác động đến các điểm và các vật theo các yêu cầu cho trước.
Các phần tử của cơ cấu bao gồm: các phần tử dẫn và các phần tử bị dẫn. Phần
tử mà chuyển động của nó biết trước là phần tử dẫn còn lại là bị dẫn. Các phần tử dẫn
được gọi là các phần tử đầu vào. Các phần tử của cơ cấu mà thực hiện chuyển động
mà cơ cấu đã được thiết kế là phần tử đầu ra. Còn lại là các phần tử chuyển đổi.
Nếu chuyển động của phần tử đầu vào được mô tả bởi tọa độ ϕ(t) và chuyển
động của phần tử đầu ra được mô tả s(t), s(ϕ) thì được gọi là quan hệ vào ra. Quan hệ
vào ra là tuyến tính thì ta có tỉ số truyền thay đổi.
Cơ cấu được phân biệt thành 2 loại: Cơ cấu truyền và cơ cấu điều khiển. Cơ
cấu truyền đảm bảo truyền chuyển động hay lực giữa phần tử đầu vào và phần tử đầu
ra. Cơ cấu điều khiển đảm bảo chuyển động được yêu cầu của một phần tử hoặc điểm
của nó.
Cơ cấu được chia thành: Cơ cấu phẳng, cơ cấu cầu, cơ cấu không gian. Theo
những chuẩn khác nhau có thể chia cơ cấu thành cỏc nhúm độc lập như: các thanh(chỉ
gồm các khớp thấp), các cơ cấu cam, cơ cấu bánh răng, cơ cấu hơi nước hay cơ cấu
khớ nộn,…
Các tọa độ mô tả vị trí của tất cả các phần tử của cơ cấu gồm: các tọa độ độc
lập và các tọa độ phụ thuộc.
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
7
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Gọi p là số tọa độ của tất cả các khớp động học ta có:
p =
5

1
(6 )
j
j dj
=
−
∑
(3)
Một cơ cấu có i bậc tự do phải có i tọa độ độc lập, số tọa độ phụ thuộc là:
p-i =
5
1
(6 )
j
j dj
−
−
∑
- [ 6(n - 1) -
5
1j
jdj
−
∑
]
= 6
5
1j
dj
=

∑
- 6n + 6
= 6 (4)

Một cơ cấu đơn giản thì số khớp động học bằng số phần tử:
5
1j
dj
=
∑
= n (5)
Tóm lại: Các khớp động học của một cơ cấu đơn giản có i bậc tự do thỡ cú i
tọa độ độc lập và 6 tọa độ phụ thuộc.
1.4 Mô tả cấu trúc của một hệ nhiều vật (MBS):
Để phân tích và hệ thống hóa một hệ MBS một cách tự động bằng máy tớnh
thỡ trước hết phải mô tả được cấu trỳccủa MBS để máy tính hiểu được và đơn giản
cho người sử dụng.
Mô tả cấu trúc của một MBS ta sử dụng dữ liệu hình học riêng biệt không
quan tâm đến dữ liệu đo đạc. Với một cấu trúc MBS cần quan tõm đến : số và kiểu
của các phần tử(các vật), số và kiểu các khớp động học và vị trí của chúng trờn cỏc
vật. Từ đó xác định các thông tin khác về cấu trúc của hệ như soos vòng lặp cơ bản,
số và kiểu chuỗi động học và cỏc nhúm hệ thống.
Cấu trúc MBS được mô tả dưới dạng đồ thị, với lí thuyết về một đồ thị trừu
tượng như sau:
Cho U là một tập không rỗng,
H
là tập các tập con của U chỉ gồm hai phần tử.
Chọn một tập con H thuộc
H
. Một cặp thứ tự (U,H) được gọi là một đồ thị (hay một

đồ thị trừu tượng) và được kí hiệu G(U,H). Các phần tử của tập U được gọi là cỏc nỳt,
cứ một tập con hai phần tử của tập U đựơc gọi là một cạnh.
MBS có hai kiểu đối tựơng: các vật thể và các khớp động học, có thể chọn
mô tả như sau:
+ Vật thể của MBS tương ứng nút của đồ thị G
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
8
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
+ Khớp động học tương ứng với cạnh của đồ thị G
Đồ thị minh họa được vẽ với cơ cấu tay quay con trượt:
Hình 1.8
+ Các vật được biểu diễn bằng các đường tròn
+ Các khớp động học được biểu diễn bằng các đoạn
+ Chỉ số của cỏc nỳt được chọn tùy thuộc vào các chỉ số vật, chỉ số của
các cạnh được chọn tùy ý.
Với lí thuyết trên có thể mở rộng việc mô tả cho MBS không gian.
Để máy tính có thể nhận được các thông tin mô tả cấu trúc MBS theo hướng đồ
thị thì chương trình tính toán phải có module mô tả cấu trúc MBS bằng đồ họa. Ngược
lại phải cú cỏch nhập các thông tin về cấu trỳccủa MBS. Có một số cách nhập dẫn dến
các cách lưu khác nhau.
Có thể lưu danh sách tất cả các khớp động học được phân biệt bởi sốcủa vật
được nối. Ví dụ với cơ cấu ở trên ta có: (1,2),(2,3),(3,4),(1,4). Các khớp động học
được mô tả theo cách này có thứ tự tùy ý, để định hướng có thể lưu theo thứ tự của
cỏc nỳt. Bộ nhớ yêu cầu cho k khớp động học là 2k vì mỗi khớp được mô tả bởi một
cặp số. Cách này có thể được sửa đổi bằng cách lưu số các vật thành hai trường P,Q.
Trường thứ nhất chứa số các vật thể thứ nhất của khớp. Trường còn lại chứa số các
vật thể kết thúc của khớp tương ứng:
P[ 1 2 3 1 ]
Q[ 2 3 4 4 ]

Cách lưu trữ khác là danh sách tất cả các vật kèm theo danh sách các vật nối
với mỗi vật, ví dụ cơ cấu sau:
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
9
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Hình 1.9: Cơ cấu minh họa
Cách lưu : 1: 2,4,6 ; 2: 1,3 ; 3: 2,4,5; 4: 1,3; 5: 3.6; 6:1,5 ;
Cách này thuận tiện cho thuật toán tìm kiếm một đường dẫn từ một vật tới một
vật khác.
Một cách khác được sử dụng trong đồ án này là sử dụng ma trận "incedence",
kí hiệu A
c
. A
c
cú các phần tử được định nghĩa như sau:
1
0
ij
a

=


(6)
ij
a
= 1: nếu vật thứ i nối với khớp thứ j
ij
a

= 0: nếu không có liên quan
Ví dụ với cơ cấu trờn hỡnh 7 ta có ma trận A
c
:
1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1
2 1 1
3 1 1 1
4 1 1
5 1 1
6 1 1
c
pairs
bodies
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ma trận A
c
chứa tất cả các thông tin trên đồ thị đã biết và cú cỏc thuộc tính
sau:
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật

10
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
a, Chỉ có hai phần tử 1 trong một cột
b, Số phần tử 1 trong mỗi hàng bằng bậc của vật
Ví dụ : Vật 3 có bậc 3
c, Số khớp động học bằng số cột và số vật thể bằng số hang
d, Hạng của ma trận A
c
là U – 1, U là số vật.
e, Số các phần tử khỏc khụng của ma trận bằng hai lần số khớp
động học.
Cách lưu trữ này sẽ được sử dụng trong đồ án này. Thuật toán để xác
định cấu trúc của ma trận Ac là đơn giản. Có thể xác định nó một cách trực
tiếp.
Phân tích MBS yêu cầu thông tin về cỏc vũng lặp. Lý thuyết đồ thị cũng
giúp tìm ra cỏc vũng lặp bằng phương thức đại số thuần túy.
Trong đồ thị mô tả cấu trúc MBS một kết nối giữa hai nút được mô tả
bởi một chuỗi liên tiếp cỏc nỳt và cạnh được gọi là một “Sequence”. Một
“Sequence” mà mỗi nỳt khụng xuất hiện nhiều hơn một lần gọi là một đường
dẫn. Một đường dẫn cú nút bắt đầu và nút kết thúc trùng nhau là một vòng lặp
(loop). Nếu một đồ thị không chứa một vòng lặp nào gọi là một cây.
Đồ thị G được gọi là đồ thị con của G’ nếu các tập nút và cạnh của G là
tập con của các tập nút và cạnh của G’. Một đồ thị con của một đồ thị nếu
chứa tất cả cỏc nỳt của đồ thị đó và là cõy thỡ gọi là một khung (skelet). Các
cạnh của khung gọi là cỏc nhỏnh, cỏc cạnh còn lại là các chồi (chords). Một đồ
thị có thể có một vài khung. Việc xác định một skelet là không duy nhất và tập
cỏc vũng lặp cơ bản cũng không xác định duy nhất. Số phần tử của tập như
vậy biến. Nguyên lý xác định số vòng lặp độc lập trong cấu trúc MBS. Số l
vòng độc lập của một cơ cấu phức tạp có n phần tử và d khớp động học được
tính:

1l d n= − +
(7)
Thông tin về vòng lặp trong cấu trúc MBS được lưu dưới dạng ma trận
B
c
có cỡ (S,H). S là số vòng lặp, H là số các cạnh (khớp động học). Cấu trúc
của B
c
:
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
11
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
ij
1
0
b

=


(8)
b
ij
= 1: nếu vòng i chứa cạnh j
b
ij
= 0: nếu không có gì
Các tính chất của B
c

:
a) Số phần tử b
ij
khác 0 là số cạnh của vòng lặp cũng là chiều dài
của vòng
b) Việc đảo số cạnh và số vòng tương đương với việc hoán vị
hàng cột.
c) Hạng của B
c
là H – U + 1, U là số vật, H là số khớp động học.
Một hệ MBS phức tạp có i bậc tự do, l vòng lặp độc lập thỡ cú i tọa độ
độc lập và 6l tọa độ phụ thuộc.
Vỡ có
1d l n
= + −
mà mỗi khớp j có 6-j tọa độ, số tọa độ trong hệ thống
được tính:
5
1
(6 )
j
j
P j d
=
= −
∑
(9)
Như vậy số tọa độ phụ thuộc được tính:
5 5 5
1 1 1

(6 ) 6( 1) 6 6( 1) 6( 1) 6( 1) 6
j j j
j j j
P i j d n jd d n n l n l
= = =
 
− = − − − − = − − = + − − − =
 
 
∑ ∑ ∑
(10)
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
12
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRONG PHÂN TÍCH
ĐỘNG HỌC HỆ NHIỀU VẬT
Nền tảng của các phương pháp phân tích và hệ thống hóa MBS là động
học điểm và chuyển động của vật. Chuyển động của một điểm hay của một vật
được mô hình hóa bằng điểm. Khi nói chuyển động của điểm thì được hiểu là
chuyển động của điểm thuộc vật rắn. Mô tả chuyển động toàn bộ hệ nhiều vật
dựa vào việc mô tả chuyển động của các vật riêng biệt và các điểm có nghĩa
Động học của điểm thuộc vật có thể được giải quyết từ các quan điểm
khác nhau, sử dụng các cách khác nhau. Trong đồ án này việc mô tả và giải
quyết các vấn đề sử dụng phương pháp ma trận có thuận lợi là ngắn gọn và dễ
lập trình cho máy tính. (Hạn chế của phương pháp này là kộm tớnh sáng sủa
khi mô tả đại số của vector hay các tensor khối lượng và quan hệ giữa chúng).
2.1 Động học của điểm và vật:
2.1.1 Vị trí

Hình 2.1.
Vector bán kính của vector
aM
u
r
,
bM
u
r
của điểm M trong không gian a và
b tương ứng được biểu diễn bằng các tọa độ thuần nhất với giá trị tỷ lệ là 1.
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
13
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
,
1 1
aM bM
aM bM
u u
r r
   
= =
   
   
(11)
Vậy tọa độ của điểm M trong không gian a được biểu diễn dưới dạng ma
trận:
1 0 1 1
aM ab ab bM

u S u u
     
=
     
     
(12)
Trong đó:
a b
, , , a b
a b
cx x
, , y x
cz x
a b a b
ab a b a b a b a b a b
a b a b
cx y cx z
S i j k c cy y cy z
cz y cz z
 
 
 
= =
 
 
 
 
(13)
là ma trận cosin chỉ hướng của vector
ab

u
r
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 0 0 0 1 1
aM bM
aM bM
aM bM
x a a a a x
y a a a a y
z a a a a z
     
     
     
=
     
     
     
(14)
Viết lại:
.
aM ab bM
r T r
=
(15)
0 1
ab ab
ab
S u

T
 
=
 
 
(16) được gọi là ma trận chuyển từ hệ tọa độ b về hệ a.
,
aM ab
r T
là các hàm phụ thuộc vào thời gian,
bM
r
là hằng số phương trình
mô tả chuyển động của điểm M xác định trên vật b trong không gian a có
dạng:
( ) ( ). ( )
aM ab bM ab
u t S t u u t
= +
(17)
Thành phần
( )
ab
u t
mô tả chuyển động tịnh tiến.
Ma trận
( )
ab
S t
mô tả chuyển động cầu tương đối.

Nếu
bM
r
cũng chuyển động tương đối trong không gian b thì (5) có dạng:
( ) ( ). ( )
aM ab bM
r t T t r t
=
(18)
( ) ( ). ( ) ( )
aM ab bM ab
u t S t u t u t
⇒ = +
(19)
(9) mô tả chuyển động học chuyển của điểm và vật.
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
14
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
(19)
1
( ) ( ) ( )
bM ab aM
r t T t r t
−
⇒ =
(20)
Tính ma trận
1
ab

T
−
, ta có:
1 1
4ab ab ab ab
T T T T E
− −
= =
(21)
4
E
: ma trận đơn vị cỡ 4,
1
ab
T
−
có dạng khối:
3
1
4
0
,
0 1
ab
T
A B E
T E
C D
−
   

= =
   
   
(22)
(20)
33
0
0 1 0 1
ab ab
T T
S u A B E
C D
     
⇒ =
     
     
(23)
1
3
1
0
0 1 0
0
0 1 1
1
ab ab
ab
ab ab
ab ab
T T

T
T
S A u C E
A S
S B u D
B S u
A C
C
B D
D
−
−
+ =

=



+ =
= −
 
⇒ ⇒
 
+ =
=
 
 
+ =
=



(24)
ab
T
⇒
có :
1
0 1
T
ab ab ab
ab ba
S S u
T T
−
 
−
= =
 
 
(25)
1 1
det det det det 1
ab ab ab ab
T T S S
− −
= = = =
(26)
2.1.2 Vận tốc
Giả sử
onst

bM
r c
=
, vận tốc của điểm M trong không gian a là:
aM ab bM
v T r
=
&
(27)
Trong đó:
,0 , , ,0
aM aM aM aM aM aM
v r u x y z
= = =
   
   
& & & &
&
(28)
,ab ab b ab
T T V
=
&
(29)
1
,
,
0 0
T T
ab ab ab a ab

b ab ab ab
S S S u
V T T
−
 
⇒ = =
 
 
&
&
&
(30)
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
15
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Trước khi tính
,b ab
V
xét ma trận
,b ab
Ω
của vận tốc hệ b:a (hệ b xét trong
không gian a) bởi quan hệ :
,ab ab b ab
S S
= Ω
&
(31)
1

,
T
b ab ab ab ab ab
S S S S
−
⇒ Ω = =
& &
(32)
,b ab
Ω
là một ma trận phản đối xứng. Thật vậy:
3
T
ab ab
S S E
=
(33)
Đạo hàm theo thời gian (33):
0
T T
ab ab ab ab
S S S S
+ =
& &
(34)
Vậy từ (22) ta có:
, ,
( )
T T T T T
b ab ab ab b ab ab ab b ab

S S S S S SΩ = = = − = −Ω
& & &
(35)
Một ma trận phản đối xứng đại diện cho một vector, cụ thể là vector vận
tốc của hệ b xét trong không gian a:
ab
ω
ab x y z
, ,
ab
ω ω ω ω
 
=
 
(36)
z y
, z x
y x
,
0 -
0
- 0
b ab
b ab
ω ω
ω ω
ω ω
 
 
⇒ Ω = −

 
 
 
(37)
Từ (32) cho thấy
ab
w
là độc lập với mọi hệ quy chiếu. Thay (32) vào
(30) ta có ma trận vận tốc:
, ,
,
0 0
T
b ab ab a ab
b ab
S u
V
 
Ω
=
 
 
&
(38)
Thành phần
,b ab
Ω
: mô tả vận tốc góc của chuyển động cầu tương đối xét
trong không gian b
Thành phần

,
T
ab a ab
S u
&
: mô tả vận tốc của chuyển động tịnh tiến xét trong
không gian b
,b ab
u
&
=
,
T
ab a ab
S u
&
Các vận tốc được biểu thị bởi các thành phần trong không gian b.
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
16
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Thay (29) vào (27) ta được vận tốc tuyệt đối của điểm M bất kỳ trên vật
b xét trong không gian a:
,aM ab b ab bM
v T V r
=
(39)
Trong đó
,b ab bM
V r

là thành phần vận tốc tuyệt đối của điểm M xét trong
không gian b
Từ (16) và (38) ta có phương trình:
, , , ,a aM ab b ab b bM a ab
u S u u
= Ω +
& &
(40)
Với
, 1 2 3
a ,a ,a
a ab
u =
 
 
&
là vận tốc chuyển động tịnh tiến của điểm O
b
trong
không gian a.
Thành phần
, ,ab b ab b bM
S u
Ω
là vận tốc của điểm M trong chuyển động
cầu tương đối quanh tâm O
b
trong không gian a.
Thành phần
,

x ,y ,z
a aM aM aM aM
u
=
 
 
& & & &
là vận tốc tương đối của điểm M trong
không gian b xét trong không gian a.
Nếu M chuyển động tương đối trong không gian b thì:
aM ab bM ab bM
v T r T V
= +
&
(41)
, , , , ,a aM ab b ab b bM a ab ab b bM
u S u u S u⇒ = Ω + +
& & &
(42)
Trong đó:
,
x ,y ,z
b bM bM bM bM
u =
 
 
& & & &
là vận tốc của điểm M trong không gian b xét trong
không gian b.
, ,

,
b ab b ab
V Ω
là các thành phần vận tốc của hệ b trong không gian b xét trong
không gian a. Nếu xét trong không gian a và qua các bước biến đổi như trên ta
cũng thu được kết quả tương tự. Vậy có thể viết lại ma trận vận tốc bỏ đi chỉ
số b mà không bị hiểu sai.
,ab b ab
V V=
2.1.3 Gia tốc
Đạo hàm (18) theo thời gian thu được gia tốc:
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
17
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
aM ab bM
a T r=
&&
(43)
Trong đó:
u ,0
aM aM aM aM
a V r
= = =
 
 
&
&& &
(44) là gia tốc tuyệt đối của điểm M xét
trong không gian a.

Ma trận
ab
T
&&
có dạng:
, ,ab ab b ab ab b ab
T T V T V
= +
&& & &
(45)
Ma trận
, ,b ab b ab
A V=
&
(46) là ma trận gia tốc chuyển động của hệ b trong
không gian a xét trong không gian b. Thế (29) vào (45) và (46):
2
, , ,
( )
ab ab b ab b ab ab b ab
T T A V T B
= + =
&&
(47)
Trong đó:
2
, , ,b ab b ab b ab
B A V
= +
(48) là ma trận gia tốc toàn phần chuyển động của hệ b

trong không gian a xét trong không gian b.
Đạo hàm (31) ta có :
2
, , , ,
( )
ab ab b ab ab b ab ab b ab b ab
S S S S
= Ω + Ω = Ω +Ω
&& &
& &
(49)
Trong đó:
, ,
,
0
0
0
z y
b ab b ab z x
y x
b ab
α α
α α
α α
 
−
 
Λ = Ω = −
 
 

−
 
&
(50)
Với
, ,
ab x y z
ab
α α α α
 
=
 
(51) được gọi là ma trận gia tốc góc của hệ b trong
không gian a.
Thế các quan hệ và biến đổi (48) thu được:
2
, , ,
,
0 0
T
b ab b ab ab a ab
b ab
S u
B
 
Λ + Ω
=
 
 
&&

(52)
Thành phần
2
, ,b ab b ab
A
+ Ω
thể hiện gia tốc trong chuyển động cầu tương đối
Thành phần
,
T
ab a ab
S u
&&
thể hiện gia tốc của điểm gốc Ob của không gian b.
Tất cả các thành phần được biểu diễn trong không gia b.
Từ (43) và (47) ta thu được quan hệ:
,aM ab b ab bM
a T B r=
(53)
2
, , , , , ,a aM ab b ab b bM ab b ab b bM a ab
u S u S u u
= Λ + Ω +
&& &&
(54)
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
18
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Thành phần

, ,b ab b bM
A u
biểu diễn thành phần tiếp tuyến
Thành phần
2
, ,b ab b bM
u
Ω
là thành phần quán tính của điểm M trong chuyển
động cầu tương đối.
Các thành được biểu diễn trong không gian b.
,a ab
u
&&
là gia tốc theo

,a aM
u
&&
là gia tốc tuyệt đối của điểm M trong không gian a.
Nếu điểm M cũng chuyển động trong không gian b, cũng xuất phát từ
(41) ta thu được:
2
aM ab bM ab bM ab bM
a T r T V T a
= + +
&&
(55)
Trong đó:
,

,0 x ,y ,z ,0
bM bM bM b bM bM bM bM
a V r u
 
= = = =
 
 
 
&
&& && && && &&
(56) là gia tốc mở rộng của
điểm M trong không gian b.
Thu được:
, ,
2
aM ab b ab bM ab b ab bM ab bM
a T B r T V V T a= + +
(57)
2.2 Chuyển động ngược
Xuất phát từ phương trình:
, ,
( ) ( ) ( )
a aM ba b bM
r t T t r t=
(58)
Phương trình này mô tả chuyển động của hệ b trong không gian a. Đó là
trường hợp người quan sát đứng trong không gian a và quan sát chuyển động
của vật b và điểm M thuộc b. Đây gọi là chuyển động cơ bản. Chuyển động
ngược là trường hợp người quan sát đứng trong không gian b quan sát chuyển
động của vật a và M thuộc a.

Vậy ta có:
, ,
( ) ( ) ( )
b bM ba a aM
r t T t r t=
(59)
Có:
1
ba ab
T T
−
=
(60)
Để tìm quan hệ vận tốc, gia tốc của chuyển động ngược ta bắt đầu từ
phương trình:
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
19
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
4ab ba
T T E
=
(61)
Đạo hàm theo thời gian (61):
0
ab ba ab ba
T T T T+ =
& &
(62)
Từ ( ) bằng cách thay đổi ký hiệu ta có:

,ba ab a ba
T T V
=
&
(63)
(62) được viết lại:
1
, ,
0
ab b ab ab a ab
T V T V
−
+ =
(64)
Nhân
1
ab
T
−
từ bên trái và
ab
T
từ bên phải vào (64) được :
1
, ,
0
b ab ba a ab ba
V T V T
−
+ =

(65)
,b ab
V
:Ma trận vận tốc khi xét trong không gian b.
,a ab
V
:Ma trận vận tốc khi xét trong không gian a.
Để tìm quan hệ giữa các ma trận vận tốc ta đạo hàm phương trình (62)
theo thời gian, thu được:
, , , ,
0
ab b ab ba ab b ab ba ab b ab ba a ab
T V T T V T T V T V
+ + + =
& & & &
(66)
Thay
, , , ,
,
b ab b ab a ab a ab
V A V A
= =
& &
(67) vào (66):
2
, , , , ,
0
ab b ab ba ab b ab ba ab b ab ab a ab a ba
T V T T A T T V T V A
+ + + =

(68)
Thế (65) vào (68) thu được:
1
, ,
0
ab b ab ab a ba
T A T A
−
+ =
(69)
1
, ,b ab ba a ba ba
A T A T
−
⇒ =
(70)
Cũng làm như vậy thu được quan hệ giữa các ma trận vận tốc góc, các
ma trận gia tốc góc được biểu diễn theo quan hệ:
, ,
0
T
ab b ab ab a ba
S S
Ω + Ω =
(71)
, ,
0
T
b ab ba a ba ba
S S

Ω + Ω =
(72)
, ,
0
T
ab b ab ab a ba
S A S A
+ =
(73)
, ,
0
T
b ab ba a ba ba
A S A S
+ =
(74)
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
20
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
2.3 Chuyển động liên tiếp
Phần này trình bày việc tính toán động học chuyển động liên tiếp bằng
phương pháp ma trận.
2.3.1 Vị trí
Bài toán đặt ra là tìm quan hệ về vị trí của chuyển động tương đối giữa
vật b so với vật a. Gọi vật a là vật 1. Kết quả chuyển động của vật b đối với
vật a là chuỗi liên tiếp các chuyển động : vật 2 chuyển động tương đối với vật
1, vật 3 chuyển động tương đối với vật 2,…đến vật n ≡ b chuyển động tương
đối với với vật n-1 như hình vẽ. Các chuyển động tương đối đó có thể là
chuyển động không gian. Ta có phưong trình:

1 12 23 ( 2)( 1) ( 1)ab n n n n n
≡ = + + + − − + −
(75)
Chuyển động của điểm M thuộc vật b được mô tả theo quan hệ (15)
1 12 2 2 23 3 ( 1) ( 1)
, , ,
M M M M n M n n nM
r T r r T r r T r
− −
= = =
(76)
1 12 23 ( 1)

M n n nM
r T T T r
−
⇒ =
(77)
Phương trình (77) mô tả chuyển động của điểm M trong không gian
1(chuyển động tổng hợp), viết gọn lại (77):
1 1M n nM
r T r
=
(78)
Trong đó:
1 12 23 ( 1)

n n n
T T T T
−

=
(79): Ma trận chuyển của chuyển động tổng hợp
Từ (77) suy ra ma trận chuyển của chuyển động ngược:
1 1 1 1
1 12 23 ( 1) ( 1) 23 12 ( 1) 32 21
( )
n n n n n n n
T T T T T T T T T T
− − − −
− − −
= = =
(80)
Các ma trận chuyển tổng hợp
1 1
,
n n
T T
có cấu trúc giống như mô tả trong
(16). Có thể thấy rõ khi xét chuyển động liên tiếp sau:
13 12 23= +
(81)
Theo (79) ta có:
12 12 23 23 12 23 12 23 12 13 13
13 12 23
0 1 0 1 0 1 0 1
S u S u S S S u u S u
T T T
+
       
= = = =

       
       
(82)
Ma trận cosin chỉ hướng
13
S
là tớch cỏc ma trận trực giao
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
21
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
13 12 23
S S S
=
(83)
Nên
13
S
cũng là ma trận trực giao.
2.3.2 Vận tốc
Xuất phát từ quan hệ ( )
1 1M n nM
V T r=
&
(84)
Từ (69), đạo hàm theo thời gian và thế vào (84) thu được :
1 12 23 ( 1) 12 23 ( 1) 12 23 ( 1)
( )
M n n n n n n nM
V T T T T T T T T T r

− − −
= + + +
& & &
(85)
Sử dụng (29) ta thu được:
1 12 12 23 ( 1) 12 23 23 ( 1) 12 23 ( 1) ( 1)
12 12 2 13 23 3 1 ( 1) 1 ( 1)
( )
( )
M n n n n n n n n nM
n n k k k kn n n n nM
V T V T T T T V T T T T V r
T V T T V T T V T T V r
− − − −
− −
= + + +
= + + + + +
(86)
Áp dụng ( ) ta có:
1 1 ,1M n n n nM
V T V r=
(87)
So sánh (86) và (87) và biến đổi thu được ma trận vận tốc của chuyển
động tổng hợp
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ( 1) ( 2)( 1) 23 12 23 ( 1) ( 1) ( 2)( 1) 34 23 34 ( 1) ( 1) ( 2)( 1) 23 12 23 ( 1)

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
V T T T V T T T T T V T T T T T V T V
− − − − − − − − −

− − − − − − − − − − − −
= + + +
1 1 1
2 12 2 3 23 3 ( 1) ( 1)

n n n n kn k k kn n n
T V T T V T T V T V
− − −
− −
= + + + + +
(88)
Áp dụng (32) thu được vận tốc góc của chuyển động tổng hợp:
1 ( 1) ( 2)( 1) 23 12 23 ( 1) ( 1) ( 2)( 1) 34 23 34 ( 1) ( 1)

T T T T T T
n n n n n n n n n n n n n n n
S S S S S S S S S S
− − − − − − − − −
Ω = Ω + Ω + + Ω
2 12 2 3 23 3 ( 1) ( 1)

T T T
n n n n kn k k kn n n
S S S S S S
− −
= Ω + Ω + + Ω + + Ω
(89)
2.3.3 Gia tốc:
Theo (43) ta có:
1 1M n nM

a T r
=
&&
(90)
Theo (53) có:
2
1 1 1 1 1 1
( )
M n n n nM n n nM
a T A V r T B r
= + =
(91)
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
22
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
Có (46), (50):
1 1 1 1
;
n n n n
A V
= Λ = Ω
& &
(92)
Vậy biểu thức gia tốc của chuyển động tổng hợp có thể viết như sau:
2 2
1 12 23 12 23 12 23 3 12 12 12 23 12 12 23 23 12 23 23 23 3
( 2 ) ( ( ) 2 ( )) 0
M M M
a T T T T T T r T A V T T V T V T T A V r

= + + = + + + + =
&& & & &&
1 12 2,12 23 3 12 2,12 23 3,23 3 12 3,23 3
2
M M M M
a T B T r T V T V r T B r
⇒ = + +
12 2,12 2 12 2,12 2 13 3,23 3
2
M M M
T B r T V v T B r
= + +
(93)
1 1
3,13 3,13 32 2,32 2,12 23 23 2,12 23 23 2,12 23 3,23 3,23
A V T V V T T A T T V T V A
− −
= = + + +
&
(94)
3,13 3,13 32 2,32 2,12 23 23 2,12 23 23 2,12 23 3,23 3,24
T T
S S S S S S
Λ = Ω = Ω Ω + Λ + Ω Ω + Λ
&
(95)
2.4 Phương pháp ma trận mô tả các chuyển động cơ bản
Các chuyển động cơ bản là các chuyển động quay hoặc tịnh tiến từ vật a
đến vật b, các hệ tọa độ của vật a, b tại thời điểm b bắt đầu chuyển động là
giống nhau.

Các chuyển động phức tạp cả không gian và phẳng đều được hình thành
từ một chuỗi liên tiếp các chuyển động cơ bản. Việc mô tả các chuyển động cơ
bản bằng phương pháp ma trận sẽ rất thuận tiện cho mô tả chuyển động của
điểm và vật bằng máy tính cũng như bằng tay. Áp dụng các kết quả từ phần
trước:
0 1
ab ab
ab
S u
T
 
=
 
 
(94) : Ma trận chuyển
1
,
,
0 0
T T
ab ab ab a ab
b ab ab ab
S S S u
V T T
−
 
= =
 
 
&

&
&
(95) : Ma trận vận tốc
2
3,13 , ,
,
0 0
T
b ab ab a ab
b ab
S u
B
 
Λ + Ω
=
 
 
&&
(96) : Ma trận gia tốc
Ký hiệu các chuyển động tịnh tiến theo các phương
, ,x y z
tương ứng cú
cỏc chỉ số
1 2 3
, ,z z z
, các chuyển động quay quanh
, ,x y z
tương ứng cú cỏc chỉ số
4 5 6
, ,z z z

. Vị trí , vận tốc và gia tốc của các chuyển động cơ bản thu được như
sau:
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
23
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
2.4.1. Chuyển động tịnh tiến theo trục Ox
Hình 2.2: chuyển động tịnh tiến theo trục Ox
1
1 0 0
0 1 0 0
( )
0 0 1 0
0 0 0 1
z
x
T x
 
 
 
=
 
 
 
(97)
Để tính vận tốc và gia tốc chúng ta đưa thêm ma trận có dạng:
1
0 0 0
0 0 0 0
( )

0 0 0 0
0 0 0 0
z
x
D x
 
 
 
=
 
 
 
&
&
(98)
Theo (95), (46), (48) ta có:
1 1 1
( ) (1) ( )
z z z
V D x D E x= =
& &
(99)
1 1 1
( ) (1) ( )
z z z
A D x Z E x= =
&& &&
(100)
1 1
z z

B A
=
(101)
Trong đó
( )E p
là toán tử ma trận đơn vị
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
24
Đồ án tôt nghiệp VŨ THÀNH NAM
0 0 0
0 0 0
( )
0 0 0
0 0 0
p
p
E p
p
p
 
 
 
=
 
 
 
(102)
2.4.2. Chuyển động tịnh tiến theo trục Oy
Hình 2.3: Chuyển động tịnh tiến theo trục Oy

2
1 0 0 0
0 1 0
( )
0 0 1 0
0 0 0 1
z
y
T y
 
 
 
=
 
 
 
(103)
2
0 0 0 0
0 0 0
( )
0 0 0 0
0 0 0 0
z
y
T y
 
 
 
=

 
 
 
&
(104)
2 2 2
( ) (1) ( )
z z z
V D y D E y= =
& &
(105)
2 2 2
( ) (1) ( )
z z z
A D y D E y= =
&& &&
(106)
2 2
z z
B A
=
(107)
Xây dựng chương trình sử dụng phương pháp ma trận
mô phỏng chuyển động hệ nhiều vật
25