Một số bài tập về cấp số nhân

BÀI SOẠN :
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
MỤC TIÊU BÀI HỌC :
- Qua việc giải bài tâp học sinh nắm được đònh nghóa cấp số nhân, các
công thức về số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu và tính chất các số hạng của
cấp số nhân.
- Biết cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân
- Mối quan hệ giữa u
1
, q, n, u
n
, s
n
qua các công thức. Tìm được một trong
các yếu tố khi biết các yếu tố còn lại.
- p dụng được trong một số bài toán thực tế
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
4
1−
1. Nêu đònh nghóa cấp số nhân. p dụng viết 5 số hạng đầu của cấp số
nhân sau
a. u
1
= - 4 và công bội q =
b. u
1
= - 2 và công bội q = 3
2. Nêu công thức tính số hạng tổng quát , tổng n số hạng đầu của cấp số
nhân và công thức tính chất các số hạng ?



KIỂM TRA BÀI
CŨ
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
ĐÁP ÁN
1. Cấp số nhân là dãy số (u
n
) có u
1
là số hạng đầu tiên và công bội q với
công thức truy hồi : u
n + 1
= u
n
.q với n N
*
a. Cấp số nhân là : - 4, 1, - , , -
b. Cấp số nhân là : -2, -6, -18, - 54, - 162
∈
4
1
16
1
64
1
2. Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu là u
1

và công bội q là : u
n

= u
1
.q
n – 1
với n 2
Tính chất các số hạng của cấp số nhân (u
n
) là :
với
Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (u
n
) là :
≥
11
2
+−
=
kkk
uuu
q
qu
s
n
n
−
−
=
1
1(
)

1
2≥k
1 *
1
1
3 3
2 : 2 2 2
5 5
n n
n
n n
n
u
u u n N
u
+
+
+
   
= = ⇒ = ∀ ∈
 ÷  ÷
   
1
*
1
1
1 1 1 1
:
2 2 2 2
n n

n
n n
n
u
u u n N
u
+
+
   
+
 
= − − =− ⇒ = − ∀ ∈
 ÷  ÷
 ÷
 
   
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
DẠNG TOÁN CHỨNG MINH MỘT
DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 1 : Chứng minh dãy số sau là cấp số nhân :
a. Dãy số (u
n
) với u
n
= b. Dãy số ( u
n
) với u
n
=
n

2.
5
3
n
2
1
−

Hướng dẫn : sử dụng công thức truy hồi ở đònh nghóa. Cần tìm q và chứng
minh với n N
*
q
u
u
n
n
=
+1
∈
ĐÁP ÁN BÀI 1
DẠNG TOÁN TÌM MỘT TRONG
CÁC YẾU TỐ U
1
, U
n
, q,S
n,
n
Bài 2 : Cho cấp số nhân (u
n

) với công bội q
a. Biết u
1
= 2, u
6
= 486. Tìm q b. Biết q = , u
4
= tìm u
1
c. Biết u
1
= 3, q = -2 . Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
8
21
2
3

Hướng dẫn : Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
ĐÁP ÁN BÀI 2
a. Ta có :
5
6
1
486
243 3
2
u
q q
u

= = = ⇒ =
3
4
1
3
8 3 9
21 2 7
u
u
q
 
= = =
 ÷
 
b. Ta có :
( )
1
1
1
192 2 64 7
n
n
u q n
−
−
= ⇔ − = ⇔ =
c. Ta có :
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 3 : a. Tìm các số hạng của cấp số nhân có 5 số hạng biết u

3
= 3 và u
5
= 27
b. Tìm các số hạng của cấp số nhân có 5 số hạng biết
u
4
– u
2
= 25 và u
3
– u
1
= 50
c. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31, và tổng
của 5 số hạng sau là 62.
DẠNG TOÁN TÌM CẤP SỐ
NHÂN

Hướng dẫn
a, b Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, lập hệ phương trình chứa u
1
và q
c. Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu, tìm mối liên hệ giữa tổng 5 số
đầu và cuối?
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
ĐÁP ÁN BÀI 3
2
3 1
4

5 1 1
2
5 3
1
, 3
3
1 1
3 : ,1,3,9, 27 3 : , 1,3, 9, 27
3 3
u u q
u u q u q
u u q
q q

=

= ⇔ = =±


=

= ⇒ = − ⇒ − −
a. Ta có
( )
( )
2
3
1
`1 1
2

2
`1 1
1
1
1
1 25
25
2
200
50
1 50
3
q
u q q
u q u q
u q u
u q
u

=

− =


− =
  
⇔ ⇔
  
− =
− =


 

=−



200 100 50 25 25
, , , , ,
3 3 3 3 6
− − − − −
b. Ta có
Cấp số nhân là :
c.
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
31
62
( ) 31
31 2
1, 2, 4,8,16,32
u u u u u
u u u u u
u u u u u q q
u u u u u q q
+ + + + =



+ + + + =

⇒ + + + + =
⇒ + + + + = ⇒ =
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
ĐÁP ÁN BÀI 3
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 4 : Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là
1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm dân số của tỉnh đó
là bao nhiêu?
DẠNG TOÁN ÁP DỤNG CẤP SỐ NHÂN VÀO
THỰC TẾ
Hướng Dẫn : cần xác đònh được số dân của năm nay là N thì
số dân của năm sau là bao nhiêu?
Số dân của năm sau là qN thì số dân sau mỗi năm có mối quan hệ gì?
Suy ra cách làm

BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
ĐÁP ÁN BÀI 4
Dân số của tỉnh sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân
2
101, 4 101, 4
, , ,
100 100
N N N
 
 ÷
 
5
101,4

.1,8 1,9( )
100
tr
 
=
 ÷
 
Sau 5 năm dân số là :
Sau 10 năm dân số là :
10
101, 4
.1,8 2,1( )
100
tr
 
=
 ÷
 
1. Cho cấp số nhân (un), biết u3 = 8, u5 = 32. Tìm u10?
A. 1024 hoặc -1024 B. 512 hoặc -512 C. 1024 D. -1024
2. Cho cấp số nhân (u
n
), biết u
1
= 5, u
5
= 405 và tổng s
n
= 1820. tìm n?
A. 9 B. 8 C. 6 D. 7

3. Cho cấp số nhân (u
n
), biết u
1
= 5, q=3 và tổng s
n
= 200. tìm n?
A. 5 B. 6 C. 7 D. 4
4. Cho cấp số nhân (u
n
), biết s
n
= 3
n-1
. tìm u
1
và q
A. u
1
=2, q=3 B. u
1
=3, q=3 C. u
1
=4, q=3 D. u
1
=3, q=4
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

1. A
2. C
3. D
4. A
KET THUC BAỉI HOẽC