TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ-KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Không Gian Véc Tơ
ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
Ngày 9 tháng 11 năm 2011
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập

trắc
nghiệm
Nội Dung
1
Độc lập tuyến tính-phụ thuộc tuyến tính- Tổ hợp tuyến
tính
2
Hạng của họ véc tơ
3
Tập sinh-cơ sở-số chiều
4
Bài tập trắc nghiệm
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Độc lập tuyến tính
Cho họ M = {x
1

, x
2
, . . . , x
m
} gọi là ĐLTT nếu
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ · · · + α
m
x
m
= 0(∗) ⇒ α
1
= α
2
= · · · = α
m
= 0
hay nói cách khác, phương trình (*) chỉ có nghiệm tầm thường.
Không có véc tơ không.
Không có véc tơ nào là THTT của các véc tơ khác.
Họ con của họ ĐLTT thì
ĐLTT.


M ĐLTT
x không là THTT của M.
⇒ {x; M} ĐLTT.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Phụ thuộc tuyến tính
M = {x
1
, x
2
, . . . , x
m
} gọi là PTTT nếu
∃(α
1
, α
2

, · · · , α
m
) = 0 : α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ · · · + α
m
x
m
= 0
hay nói cách khác, phương trình (*) có vô số nghiệm.
Một họ có véc tơ 0 thì PTTT.
Trong họ PTTT, có véc tơ biểu diễn được qua các véc tơ
khác.
Thêm một véc tơ vào họ PTTT thì PTTT

M ĐLTT,
x là THTT của M.
⇒ {x; M} PTTT.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp

tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Không gian R
3
2 vecto ĐLTT khi và chỉ khi chúng không cùng phương.
3 vecto trong R
3
ĐLTT nếu chúng không đồng phẳng.
Không gian tầm thường:
V = {0} ⇒ dim(V ) = 0.
Không gian này không có cơ sở.
Không gian con 3 chiều trong R
3
là chính nó.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ

Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Không gian R
3
Không gian con 2 chiều: các mặt phẳng qua gốc tọa độ
(các vecto có gốc O và có ngọn trên mặt phẳng.)
Ví dụ:
x − 2y + 3z = 0
Không gian 1 chiều: các đường thẳng qua gốc tọa độ
(các vecto có gốc O và có ngọn trên đường thẳng đó.)
Ví dụ:

x + y − z = 0
2x − 3y = 0.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều

Bài tập
trắc
nghiệm
Độc lập và phụ thuộc
Trong KGVT V , cho véc tơ họ M = {x; y; z} có {x; y} ĐLTT.
Xét sự ĐLTT và PTTT của hệ sau:
1
{x}
2
{x; y; 0}
3
{0}
4
{x; y; z}
5
{x + y;2x − y}
6
{x + y;y + z; z − x}
7
{2x; 3y; x + z; 3y − 2z}
8
{x + y;y + z; z + x}
Trong KGVT V cho {x; y}, {y; z}, {z; x} ĐLTT. Hỏi {x; y; z} có
ĐLTT hay không?
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp

tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Hạng của họ véc tơ
Trong không gian véc tơ V, cho họ véc tơ M = {x
1
; x
2
; . . . ; x
m
}
M ĐLTT khi và chỉ khi r(M) = m.
Bỏ đi các vectơ là THTT của các véc tơ khác không làm
thay đổi hạng
r(M) = r thì trong M có nhiều nhất r véc tơ ĐLTT gọi là
họ con ĐLTT cực đại.
Mọi véc tơ trong M luôn biểu diễn được qua họ con ĐLTT
cực đại.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp

tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Hạng của họ véc tơ
Ví dụ: Cho họ
M = {e
1
= (1, 2, 3); e
2
= (2, 1, −1); e
3
= (3, 3, 2); e
4
= (1, 5, 7)}
Lập ma trận
A =


1 2 3 1
2 1 3 5
3 −1 2 7


r(A) = 2 ⇒ r(M) = 2

Cách khác, ta có: e
3
= e
1
+ e
2
; e
4
= 3e
1
− 2e
2
⇒ r(M) = r({e
1
; e
2
})
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập

trắc
nghiệm
Tập sinh - cơ sở- số chiều
Cho M là tập sinh của không gian V , dim(V ) = n
Mọi cơ sở có đúng n véc tơ.
Mọi tập n véc tơ ĐLTT là cơ sở.
Mọi tập sinh có n véc tơ là cơ sở.
Mọi tập hơn n véc tơ thì PTTT
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 1
Cho M = {x; y ; z; t} có hạng bằng 3. Khẳng định
nào sau đây luông đúng
a {x; y; z} ĐLTT.
b M sinh ra không gian 3 chiều.
c M ĐLTT
d x là THTT của y, z, t.

Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 2
Cho M = {x; y ; z} là tập sinh của KG V . Khẳng
định nào sau đây luôn đúng:
a {x; y; x + y + z} sinh ra V .
b {x; 2y; x + y} sinh ra V .
c {2x; 3y; 4z} không sinh ra V .
d {x; 2x; z} có hạng bằng 3.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của

họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 3
Trong KG V có số chiều bằng 3 và {x; y; z}
ĐLTT. Khẳng định nào sau đây luôn đúng:
a V = x + 2y; y + z; 3x + 5y − z.
b {2x; 3y ; 0} ĐLTT.
c {x; y ; x + y} sinh ra không gian 2 chiều.
d {x; y ; x + 2y} ĐLTT.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 4

Cho M = {x; y ; z; t} có hạng bằng 2. Khẳng định
nào sau đây luôn đúng?
a M sinh ra không gian 3 chiều.
b 2x không là THTT của x, y .
c {x; y } ĐLTT
d {x; y ; x + z} PTTT.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 5
Cho M = {x; y ; z} là cơ sở của V . Khẳng định
nào sau đây luôn đúng?
a {x; y ; 2y} sinh ra V .
b {x; 2y ; 3z} PTTT.
c {x; x + y ; x − 2y} có hạng bằng 2.
d {x; y − z; x + y + z} không sinh ra V .
Độc lập
tuyến

tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 6
Trong R
3
, cho M = {(1, 1, 1); (2, 3, 5); (3, 4, m)}.
Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian 3
chiều
a ∀m.
b m = 6.
c m = 4.
d m = 6.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính

Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 7
Cho {x; y ; z; t} là tập sinh của KG V và {x; y ; z}
ĐLTT. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a r ({x; 2y ; z + t; z − t}) = 4.
b dim(V ) = 3.
c t là THTT của {x; y; z}.
d Các câu khác sai.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm

Câu 8
Cho M = {x; y ; z} là cơ sở của KG V . Với giá trị
nào của m thì
{mx + y + 3z; mx − 2y + z; x − y + z} cũng là cơ
sở của V
a m = −
7
5
b m =
7
5
c m =
7
5
d Các câu kia sai.
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm

Câu 9
Trong R
3
cho họ
M = {(1, 2, −1); (2, 4, −2); (1, −1, m)}. Với giá trị
nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều.
a m = 1
b m = 3
c m
d ∀m
Độc lập
tuyến
tính-phụ
thuộc
tuyến tính-
Tổ hợp
tuyến tính
Hạng của
họ véc tơ
Tập
sinh-cơ
sở-số chiều
Bài tập
trắc
nghiệm
Câu 10
Trong R
3
, cho V = (1, 1, 1); (2, −1, 3), (1, 0, 1).
Với giá trị nào của m thì x = (2, 1, m) ∈ V ?

a m = 2.
b m = 0.
c ∀m.
d m.