gọi ý giải đề thi học sinh giỏi lớp 11 , Bình định 2011

GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11
( BÌNH ĐỊNH NGÀY 18-03-2011)
Bài 1 : Giải phương trình :
3
sin ( ) 2 sinx
4
x
π
− =

HD : Đặt
4
x y
π
= +
, phương trình trở thành :
3
sin 2 sin( )
4
y y
π
= +

3
sin sin cosy y y= +

2
sin (1 sin ) cos 0y y y− + =

(sin cos 1)cos 0y y y+ =
 cosy=0 

,
2
y k k Z
π
π
= + ∈
 Nghiệm của phương trình :
3
,
4
x k k Z
π
π
= + ∈
Bài 2 : Cho P(x) , Q(x) là các đa thức với hệ số nguyên , thoã mãn P(x
3
)+xQ(x
3
) chia hết cho
x
2
+x+1 , d = UCLN (P(2011),Q(2011)) , CMR : d chia hết cho 2010
HD: Theo giả thiết ta có : P(x
3
)+xQ(x
3
) = (P(x
3
)-P(1))+x(Q(x
3

)-Q(1))+P(1)+xQ(1) chia hết cho
x
2
+x+1 , mà P(x
3
)-P(1) , Q(x
3
)-Q(1) chia hết cho x
3
-1 nên P(1) +xQ(1) chia hết cho x
2
+x+1
=> P(1)+xQ(1)=0 mọi x thuộc R => P(1)=Q(1)=0
=> P(x), Q(x) chia hết cho x-1 => đpcm
Bài 3 : Cho f(x) khả vi trên [0,1] , f(0)=0,f(1)=1 .Chứng minh rằng tồn tại hai số a,b phân biệt
thuộc (0,1) sao cho f’(a).f’(b)=1
HD :Đặt g(x)=f(x)+x-1 liên tục trên [0,1] , ta có g(0)=f(0)+0-1 =-1 , g(1)=f(1)+1-1 =1 =>g(0).g(1)<0
 g(x
0
)=0 , x
0
thuộc (0,1) => f(x
0
)=1-x
0
x
0
thuộc (0,1)
Khi đó :
a∃ ∈

(0,x
0
) ,
b∃ ∈
(x
0,
1) : f’(a)=
0 0
0 0
( ) (0) 1
0
f x f x
x x
− −
=
−
, f’(b)=
0 0
0 0
(1) ( )
1 1
f f x x
x x
−
=
− −
 f’(a)f’(b)=1 (đpcm)
Bài 4 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một , hạ OH vuông góc
với (ABC) , Gọi
, ,

α β γ
lần lượt là số đo góc hợp bởi OA,OB,OC với OH và ,A,B,C là các góc
trong tam giác ABC , CMR :
2 2 2
sin sin sin
sin 2 sin 2 sin 2A B C
α β γ
= =
HD : Theo giả thiết => H là trực tâm của tam giác ABC ,Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC , M là trung điểm của BC .Khi đó : AH=2IM , góc CAB=gócMBI
sin2A=2sinAcosA=
2
.
2. . 2. .
2 2 2R
MB IM BC AH BC AH
IB IB BI BI
= =

Gọi A’ là giao điểm của AH và BC => tam giác AOA’ vuông tại O => OA
2
=AH.OA’
=>
2
2
2
sin
'
AH AH
OA AA

α
= =
Khi đó :
2 2 2
sin 2R
sin 2A AA'.
ABC
R
BC S
α
= =
,
tương tự ta có :
2 2 2
sin sin
sin 2 sin 2
ABC
R
B C S
β γ
= =
đpcm
Bài 5 : Cho a,b,c>0 , chứng minh rằng :
2
1 1 1
( )
a b c
a b c
b c a a b c
   

+ + ≥ + + + +
 ÷  ÷
   
HD :
Ta có :
2 2 2 2
a b c a b c a c b a c b
b c a b c a c b a c b a
           
+ + = + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           
Mà
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
,
3
a c b
c b a
 
+ + ≥
 ÷
 
Nên
2

1 1 1
3 ( )
a b c a b c a c b
a b c
b c a b c a c b a a b c
       
+ + ≥ + + + + + + = + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra  a=b=c
Lê quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát