đồ án kỹ thuật điện lạnh Dòng và truyền chất trong trường hợp dòng có ma sát, dòng chảy tầng bị cưỡng bức.

Học viên: Nguyễn Văn Khang
Líp : CH 2001-2003
TÓM TẮT
CHUYỀN KHỐI, TRUYỀN CHẤT
I. Truyền chất
* CÁC DẠNG PHẢN ỨNG TRONG LUYỆN KIM
1. Khái quát
Trong các quá trình luyện kim các phản ứng thường bao gồm ba giai đoạn:
- Sự vận chuyển chất phản ứng tới biên giới pha
- Phản ứng hoá học trên biên giới pha
- Vận chuyển chất phản ứng khỏi biên giới pha
Tốc độ của quá trình có thể chia thành 2 trường hợp:
(1) Nếu tốc độ của quá trình chuyển chất lớn hơn quá trình phản ứng hoá học ở
biên giới pha thì tốc độ của quá trình này chỉ phụ thuộc vào động học của quá trình
phản ứng hoá học ở biên giơí pha.
(2) Nếu tốc độ của quá trình chuyển chất nhỏ hơn tốc độ của phản ứng hoá học
ở biên giới pha thì tốc độ của quá trình phụ thuộc chủ yếu vào tốc độ chuyển chất.
Với trường hợp (1): tốc độ là kết quả của quá trình động học của phản ứng được
thể hiện qua hệ số đặc trưng K và sự chênh lệch nồng độ là động lực học của phản
ứng.
V
pư
= k(c
i
I
- c
i
*I
)
Người ta có thể dùng qui luật của mật độ dòng điện để mô tả tốc độ của phản
ứng và sự phụ thuộc của nó vào hệ số K và độ chênh nồng độ mà sản phẩm là điện

trở và hiệu điện thế. Tốc độ phản ứng được biểu thị qua mật độ dòng khối lượng i
(g/cm
2
s), trọng lượng vật chất j (mol/cm
2
s) hay tốc độ V(cm
3
/cm
2
s), mật độ dòng
khối lượng j được sử dụng để nêu khái niệm cho tốc độ của mật độ dòng vật chất.
Với trường hợp (2): tốc độ của quá trình chuyển chất cũng được thể hiện như
trong các phản ứng ở biên giới pha thông qua mật độ dòng khối lượng. Ta có thể
thấy rằng mật độ dòng khối lượng tỷ lệ thuận với độ chênh nồng độ ở bên trong và

biên giới pha. Tốc độ dịch chuyển của vật chất (mol/s) được diễn tả qua mật độ dòng
khối lượng n. Nó được tính bằng tích mật độ dòng với mặt phẳng trao đổi:
n = j.F
Mật độ dòng khối lượng vận chuyển đến pha I có giá trị:
J
I
= β
I
(C
I
-C
i
I
)
Mật độ dòng khối lượng chuyển khỏi pha II:

J
II
= β
II
(C
II
-C
i
II
)
β: là hệ số chuyển chất (cm/s)
C: là nồng độ (mol/cm
3
).
Với :
(1/ β
Tổng
) = (1/ β
I
+ 1/ k + 1/ β
II
* K )
β
Tổng
: là hệ số truyền chất tổng.
Ta có:
J = β
Tổng
(C
I

-C
i
II
/K)
Có thể nói K đặc trưng cho tốc độ phản ứng còn β đặc trưng cho quá trình vận
chuyển chất.
2. Các dạng phản ứng
Trong thực tế người ta có thể chia làm 3 dạng phản ứng:
- Phản ứng nối tiếp
- Phản ứng chuyển biến hai lần
- Phản ứng phân nhánh
+ Các phản ứng nối tiếp:
Một phản ứng nối tiếp là phản ứng xẩy ra qua nhiều biên giới pha nối tiếp nhau.
Ví dụ: Quá trình vận chuyển ôxy để khử C và các tạp chất phi kim từ khí qua
lớp xỉ chứa oxit sắt tới sắt lỏng, sau đó được phân tách ra nhờ quá trình oxi hoá của
các nguyên tố đã hoà tan trong thép lỏng.
+ Phản ứng kế tiếp hai lần:
Ví dụ: phản ứng khử S giữa pha xỉ-kim loại:
A +B
2-
= A
2-
+B

Chóng ta giả thiết rằng cấu tử A và B hoà tan trong pha I (kim loại) ; A
2-
và B
2-
trong pha II (xỉ). Ta có thể sử dụng mô hình điện để biểu diễn như sau:
Ta nhận thấy các cấu tử A

I
và B
II
được vận chuyển tới biên giới pha và các cấu
tử A
II
và B
I
vận chuyển khỏi biên gioeí pha. Cho 4 dòng vật chất này có thể dùng các
công thức sau:
J =β
A
I
(C
A
I
- C
A
*I
); J =β
II
A
(C
B
II
-C
B
*II
) ; J =β
B

I
(C
B
I*
- C
B
I
); J =β
A
II
(C
A
II*
-C
A
II
)
Qua việc mô tả theo mô hình trên cho thấy sự truyền chất A từ kim loại vào xỉ,
qua việc lựa chọn một cách thích hợp nồng độ các cấu tử trong xỉ và kim loại mà có
thể điều chỉnh theo mong muốn hay ta chỉ việc điều chỉnh thành phần của xỉ để
chuyển các nguyên tố A cần loại bỏ ra khái kim loại.
Ví dụ: Cần loại bỏ S hay P khái kim loại lỏng, tỷ số phân bố (S*)/[S*] và (P*)/
[P*]>1.
Sự khử S cho gang và thép được tiến hành nhờ xỉ bão hoà CaO-Al
2
O
3
. Kim loại
xẽ được khử ôxy bằng nhôm:
[S] + 2/3 [Al] + (CaO) = (CaS) + 1/3(Al

2
O
3
)
Nếu [S] và [Al] tuân theo định luật Henry và a
(CaS)
= (S)f
Cao
thì hằng số cân bằng
K
S
được tính:
K
S
=[(S)f
(CaO)
a
1/3
(Al2O3)
] / a
(CaO)
[S] [Al]
2/3
Trong đó f
(CaS)
là hằng số, cho tất cả dòng vật chất, có thể coi gần đúng là hệ số
truyền chất của tất cả các cấu tử trong kim loại và trong xỉ là bằng nhau. do đó
phương trình dòng vật chất có thể viết :
J
[S]

= β
M
{[S] -[S*]}
J
[Al]
=β
M
{[Al]-[Al*]}
J
(S)
=β
(S)
{(S)_(S*)}













J
(CaO)
=β
(S)

{(CaO) -CaO*)}
J
(Al2O3)
= β
(S)
{(Al
2
O
3
)-(Al
2
O
3
*)}
β
M
: hệ số truyền chất trong kim loại
β
(S)
: hệ số truyền chất trong xỉ
Giá trị của tỷ số β
(S)
/ β
M
≈ 0, 1→ 0, 4.
+ Phản ứng phân nhánh:
Phản ứng phân nhánh xuất hiện nếu một nguyên tố phản ứng đồng thời với
nhiều nguyên tố khác. Trường hợp thực tế nguyên tố ôxy sẽ ôxy hoá nhiều nguyên tố
khác nhau.
Sơ đồ ôxy hoá: C; Si; Mn:

Ôxy đi từ môi trường khí qua lớp biên giới khí -xỉ đi vào trong xỉ và tạo thành
FeO
n
, ôxyt này phản ứng ở biên giới pha xỉ và kim loại, một phần ôxy hoà tan vào
trong sắt, một phần tác dụng ôxy hoá Si và Mn tạo thành SiO
2
và MnO, các ôxyt này
đi vào trong xỉ. Ôxy đã hoà tan ở biên giới pha kim loại - bọt khí tạo thành CO. Tổng
của các dòng vật chất đến phải bằng tổng các dòng vật chất đi khỏi, ở một phản ứng
riêng lẻ, dòng vật chất ở hai phía biên giới pha phải bằng nhau. Ở đây các bước xác
định tốc độ cần quan tâm  sau:
- Vận chuyển (FeO
n
) từ bên trong xỉ tới biên giới pha xỉ - kim loại
- Vận chuyển ôxy từ biên giới pha xỉ- kim loạivào kimloại và từ kimloại tới
biên giới pha kim loại - khí













 !

 
"
#
#

"



-Vận chuyển Si từ kim loại tới biên giới pha kim loại- xỉ.
II. chuyển khối
1. Các khái niệm
Nếu gọi C là nồng độ của một nguyên tố hoà tan trong mét pha lỏng và X là
hướng thẳng góc với biên giới pha, thì mật độ dòng khối lượng thẳng góc với biên
giới pha, ta có tổng của mật độ đó là:
uc
dx
dc
DJ
+−=
Trong đó:
D: hệ số khuếch tán
u: tốc độ dòng thẳng góc với biên giới pha
c: nồng độ
-D(dc/dx): khuếch tán theo định luật Fick I
uc: chuyển dòng
Trong điều kiện kỹ thuật, trong một chất lỏng, như mẻ nấu kim loại, trong xỉ
hoặc trong khí, luôn luôn xuất hiện các dòng chuyển động theo dạng nào đấy, có đủ
độ lớn và theo hướng để vận chuyển chất lớn hơn sự truyền chất nhờ khuếch tán. tất
cả các dòng gần biên giới pha phải theo hướng dao động song song với biên giới pha.

các cấu tử có tốc độ thẳng góc với biên giới pha ở gần biên giới pha bằng 0, do đó sự
chuyển chất đối lưu cũng trở lên bằng 0. Bấy giờ chỉ còn chuyển chất cho quá trình
khuếch tán là có khả năng, ở trường hợp này sự vận chuyển chất ở bên trong và biên
giới pha phải bằng nhau. $ vậy ở biên: -D(dc/dx) >> uc.
Ở bên trong (dc/dx) là nhỏ có thể bỏ qua do nồng độ gần đồng đều. Ở bề mặt thì
ngược lại, sự chênh lệch nồng độ này rất lớn, do đó sự vận chuyển bằng khuếch tán
chất ở đây chứng thực. Điều đó có nghĩa là: ở những dòng mạnh, thì sự cản trở vận
chuyển ở bên trong của mẻ nấu gần bằng 0 và chỉ lớp ngoài mới tồn tại một cản trở
vận chuyển. Người ta biểu thị vùng ngoài này là lớp khuếch tán giới hạn hay lớp
nồng độ giới hạn và chiều dày lớp giới hạn này được biểu thị bằng δ
N
%
C
∞

: có thể hiều nồng độ bên trong của pha là đồng đều.
C
i
: biểu thị nồng độ ở biên giới pha.
β : là hệ số cản trở
tacó:

N
D
∂
=
β
Sự xác định hệ số truyền chất có nghĩa là phải xác định mật độ lớp biên giới.
Mật độ lớp biên giới này phụ thuộc vào điều kiện dòng.
2. Lớp biên giới

Sự xuất hiện lớp biên giới pha là hiện tượng tự nhiên và được xuất hiện ở dạng
tương tự khi truyền nhiệt cũng  dòng. Sự truyền nhiệt được đặc trưng bởi lớp biên
dẫn nhiệt hoặc lớp biên nhiệt độ, dòng đặc trưng bởi lớp biên dòng hay lớp biên tốc
độ. Ngoài ra còn có dạng lớp biên khác :
- Lớp biên dòng hay lớp biên tốc độ
- Lớp biên khuếch tán hay lớp biên nồng độ
- Lớp biên dẫn nhiệt hay lớp biên nhiệt độ
&
$'(
)*+*,


∞


δ
$

Một lớp biên tốc độ xuất hiện nhờ dòng ở bên cạnh và song song với thành rắn
đã bị cản lại và ở cạnh bức tường này tốc độ bằng 0, đó là điều kiện bắt buộc. Điều
đó cũng diễn ra  vậy nếu chất lỏng không thành, ví dụ: ở trường hợp các vật lẫn
phi kim hay vật rắn được thổi vào mẻ nấu. Sự phân bố của tốc độ đựoc chỉ ra  hình
trên. Vùng có tốc độ đạt giá trị U
∞
không đổi giảm tới 0 được gọi là lớp biên. nó làm
phát sinh ứng xuất cắt:
τ = η (du / dx)
X=0
Do sự chênh tốc độ làm xuất hiện dòng xung thẳng vào thành, nó tỷ lệ với độ
chênh của nồng độ xung ρ(du /dx), có giá trị ν =η / ρ, ở đây ν là độ nhớt động học

Mật độ dòng xung = ν(ρdu /dx)
x=0
Ta có:
ν(ρdu /dx)
x=0
= η/ρ (ρdu / dx)
X=0
= η (du / dx)
X=0
= τ
Các lớp biên giới tốc độ chỉ xuất hiện khi xẩy ra sù ma sát. Cạnh các bề mặt tự
do không thể có lớp biên tốc độ.
Lớp biên nhiệt độ và nồng độ được hình thành ở cả bề mặt có ma sát và bề mặt
không có ma sát do các cấu tử dòng thẳng góc với biên giới pha dần tới 0 và sự vận
chuyển chất và chuyền nhiệt thẳng góc với biên giới pha chỉ có khả năng nhờ khuếch
tán cũng như dẫn nhiệt.
-
.
/
 !"!!#$%&''($)*+
Trong trường hợp dòng không có ma sát, thì các yếu tố thể tích của chất lỏng
không bị cản trở ở biên giới pha dọc theo dòng, và nhờ sự khuếch tán các phần tử
được trao cho các pha bên cạnh hoặc thu lại.
Khi có ma sát các dòng ở biên giới pha quay về yên tĩnh, các yếu tố ở xa biên
giới pha có thể trộn lẫn, điều này làm khó khăn cho quá trình truyền nhiệt và truyền
chất.
3. Sự truyền chất ở dòng không có ma sát.
Trường hợp đơn giản nhất là sự truyền chất lỏng không có ma sát. Trường hợp
này rất giống với sự trao đổi chất giữa pha khí và một mẻ nấu.

0
%&,-.$/*0%&''1!2$'3

1

2345
4675
*456!7('8$$9:
Sự khuếch tán của các chất hoà tan ở bên trong các nguyên tố thể tích tuân theo
định luật Fick 2:

2
2
x
c
D
t
c
∂
∂
=
∂
∂
D – Hệ số khuếch tán không phụ thuộc vào nồng độ
t
c
∂
∂
- Dòng vật chất một chiều
Trong thời gian dừng, các nguyên tố khối lượng ở trên bề mặt, chiều sâu xâm

nhập của mặt khuếch tán của nồng độ vào nguyên tố thể tích là nhỏ so với chiều sâu
của mẻ nấu. Nồng độ C
∞
thống trị ở khoảng cách tính từ bề mặt này. Điều đó có
nghĩa là người ta có thể sử lý khuếch tán có kết quả khi nó đi vào một mẻ nấu mở
rộng tới vô tận với hằng số C
∞
. Do đó tổng thể các điều kiện biên  sau:
C = C
i
cho x = 0 và t ≥ 0
C = C
∞
cho x > 0 và t = 0
C = C
∞
cho x = ∞ và t > 0
Từ hệ số truyền chất trung bình trên cả chiều dài dòng (l):

2/1
1
0
)(
1
l
Du
dy
l
y
π

ββ
=∫=
Ta xác định được mật độ dòng khối lượng sẽ là:
)()(2)(
2/1
∞∞
−=−=
cc
l
Du
ccj
ii
π
β
Biểu diễn quan hệ giữa hệ số truyền chất và điều kiện dòng ở dạng không thứ
nguyên:
Sh
D
lu
D
l
=






∏
=

2/1
.2.
β
(sè sherwood)
Biểu thức (ul/D) được gọi là số Bd(Bodensteinzahl). Được mở rộng chúng với
độ sệt động học ν và nhận được các biểu thức (ul/ν) và (ν/D).
Với tên gọi: ul/ ν = Re
ν/D = Sc
8
Ta có:
Sh = (2/√π).Re
1/2
.Sc
1/2
Sè Sh và Re, cũng giống hệ số truyền chất phụ thuộc vào chiều dài dòng.
Để nói chỉ số Sh và Re là cục bộ ta có:
Sh
Y
= (2/√π).Re
Y
1/2
.Sc
1/2
4. Dòng và truyền chất trong trường hợp dòng có ma sát, dòng chảy tầng bị
cưỡng bức.
Một lớp biên giới dòng xuất hiện cho một dòng có ma sát. Do đó, các nguyên tố
thể tích được tạo lên dòng ở lớp biên giới song somg với thành , tuỳ theo khoảng
cách tới thành mà có tốc độ khác nhau và từ đó có khác nhau ở trên lớp biên giới.
Người ta cần biết trường tốc độ để có thể tính toán được trường nồng độ.
a. Phương trình lớp biên giới dòng cho các dòng chảy tầng bị cản trở:

Một sự giải chính xác phương trình vi phân của sự cân bằng lực trong một dòng
chỉ có thể được với các điều kiện đơn giản, có hình dạng hình học xác định, nếu là
dòng chảy tầng. Sự cân bằng lực trong trường hợp chung bao gồm lực quán tính, lực
ma sát là những nội lực, trọng lực và áp lực là những ngoại lực.
Sự cân bằng lực trong trường hợp này được mô tả:

][
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
dt
Du
xxxx
∂
∂
+
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
=
ηρ

][
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
p
dt
Du
yyy
y
y
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ηρ

][
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
dt
Du
zzzz
∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ηρ
Hoặc biểu diễn dưới dạng véc tơ:

uggradP
dt
Du
2
∇++−=
ηρρ
Viết gọn lại:

2
2
2
2
2
yx ∂
∂
+

∂
∂
=∇
+
2
2
z
∂
∂

Để tính lớp biên giới ta xét các giả thiết sau:
9
- Trọng lực không đóng vai trò gì, có nghĩa là dòng được tạo ra ngoại trừ áp
lực bên ngoài, một dòng  thế người ta gọi là dòng ngừng trệ.
- Các dòng theo hướng X và Yđược mô tả còn dòng theo hướng Z không có
sự thay đổi.
- Tốc độ theo hướng X là nhỏ hơn theo hướng Y, sự chuyển động theo
hướnh X là chuyển động chậm (Du
x
/ dt = 0).
- Lực ma sát chỉ cần được quan tâm theo hướng Y.
- Tốc độ U
Y
thay đổi theo hướng Y chậm hơn theo hướng X, nên chỉ quan
tâm tới biểu thức:
2
2
x
u
y

∂
∂
- Trong thực tế ta ứng dụng phương trình:

2
2
)(
x
u
y
u
x
u
U
yyy
X
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ν

Trong đó: ν = η / ρ
b. Phương trình cho lớp biên khuếch tán trong dòng chảy tầng cưỡng bức:
Sau khi đã đưa ra được phương trình lớp biên tốc độ, có thể phát triển phương
trình lờp biên nồng độ. Xuất phát điểm ở đây là phương trình vi phân khuếch tán:

δ
C
/ δ
t
= div(Dgrad c)
Hoặc trong hệ toạ độ với hệ số khuếch tán là hằng số:






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
z

c
y
c
x
c
D
t
c
Nếu cho rằng toạ độ Z không tồn tại ta có:
δ
C
/ δ
t
+ U
X
(δ
C
/ δ
X
)+ U
Y
(δ
C
/ δ
Y
) =D[(δ
2
C
/ δ
X2

) +(δ
2
C
/ δ
Y2
)]
Trường nồng độ qua sự mô tả bằng phương trình này có lớp biên giới đặc trưng
như dòng chảy. Ta quan tâm đến vấn đề thực tế sau:
- Sù thay đổi theo hướng Y chậm hơn nhiều theo hướng X, nghĩa là:
(δ
2
C
/ δ
Y2
) << (δ
2
C
/ δ
X2
)

- Một hệ thống như thế được gọi là bất biến, nghĩa là:δ
C
/δ
t
= 0. Ta có phương
trình biên của sự khuếch tán:
U
X
(δ

C
/δ
X
) + U
Y
(δ
C
/δ
Y
) = D(δ
2
C
/δ
X2
)
Về trường nồng độ, có các điều kiện biên:
Khi X = 0 thì C = C
0

Khi X = ∞ thì C = C
∞

Khi Y = 0 thì C = C
∞
C. Giải phương trình biên
Để giải phương trình biên người ta đưa ra các hàm: U
X
= δΨ/δ
Y
và U

Y


= δΨ/δ
X
Hàm số dòng là lời giải của phương trình liên tục. Mặt khác, các đại lượng được
đưa về dạng không thứ nguyên. Tốc độ U
∞
được chọn làm đại lượng riêng từ 5 đại
lượng không thứ nguyên là: C
∞
, Ψ, X, Y, và ν, ta thành lập được 3 đại lượng không
thứ nguyên sau:
- Chiều dài dòng đến , C
∞
Y/ ν
- Khoảng cách thành , ξ = 1/2 ( C
∞
Y/ν)
1/2
(X/Y)
- Hàm số dòng, ς (ξ) = (ν/C
∞
Y)
1/2
(Ψ/ν)
Mặt khác ta thành lập được nồng độ không thứ nguyên: χ(ξ) =(C
0
– C)/(C
0

- C
∞
)
Do đó, tốc độ dòng sẽ là :
ξ
ςξ
ς
ψ
ξ
ς
∂
∂∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
Ψ∂
=
∞
.
2

U
Xx
U

Y
).()(
2
1

2/1
ξ
ξ
ξ
νξ
ς
ψ
ξ
ς
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−=
∂
Ψ∂
−=
∞
U

YYY
U
X
Với điều kiện biên:
- ξ = 0 thì ς= 0, dς / dξ = 0, χ = 0
- ξ =∞ thì dς / dξ = 2, χ =1
Ta có đồ thị quan hệ tốc độ U
Y
/U
∞
là hàm số của k/c tới thành  sau:

:;*'(<!=31,
>
/
>
∞
99?9?0??&?9
)*+*<!=31,!!5ξ
Qua quá trình biến đổi ta tính được:
- Mật độ dòng cục bộ
J =0,332(Du
∞
/y)
1/2
(D/ν)
1/6
(C
0
- C

∞
)
- Hệ số truyền chất trung bình:
β =0,664 (Du
∞
/L)
1/2
(D/ν)
1/6
Trong trường hợp hệ số truyền chất không có ma sát ta có
β
Có ma sát
= β
không có ma sát
* 0,332√π(D/ν)
1/6
Sự khác nhau giữa hai hệ số truyền chất chỉ bằng một yếu tố hằng số, được xác
định qua sè (Sh). điều đó cũng có thể hiểu là trường nồng độ trong trường hợp dòng
có ma sát còn gây ảnh hưởng của trường tốc độ và cả hai trường hợp này đã nằm
trong hằng số đặc trưng: hệ số khuếch tán và độ sệt động học.
5. Tính gần đúng phương trình biên với sự hỗ trợ của phương pháp trường vi
phân
a. Lớp biên dòng vào dọc theo tấm phẳng
Bên cạnh thành rắn, một xung từ lớp biên qua bề mặt có chiều rộng b và chiều
dài dy trên đơn vị thời gian:
t = η (du / dx)
X=0
Xung này phải được tách ra nhờ dòng chất lỏng chảy dọc theo thành. Từ cơ sở
đó, chiều dày của lớp biên tăng theo hướng dòng chảy, để tính toán xung tạo ra trước
hết ta phải định nghĩa được chiều dầy tổn thất xung. Dòng đi vào lớp biên do tác

dụng ma sát Ýt bị xung hơn dòng không có ma sát.

bdxuuumduu
x
x
)()(
00
−∫=−∫
∞
∞
∞
∞=
=
ρ


Trong đó:

m

: dòng khối lượng
u: tốc độ của chất lỏng ở khoảng cách x
u
∞
: tốc độ bên ngoài
Chiều dày tổn thất xung được tính:
dxuuuu )/1(/
02
∞∞
∞

−∫=
δ
Độ tổn thất xung bằng xung của lớp với tốc độ không đổi u
∞
và chiều dày δ
2.
.
Dọc theo dy, chiều dày tổn thất tăng, để phù hợp với tổn thất được tính:
0
2
2
)/(
=∞
=
x
dxdu
dy
b
u
ν
δ
Sau khi biến đổi ta được:
dy
u
y
d
ptpt
∞
=
ν

δδ
15
Tích phân phương trình này,với δ
PT
=0, khi y=0, ta có:
2/12/1
Re47,5)30(
ypt
y
u
y
==
∞
ν
δ
Ta tìm được ứng xuất cắt:
2/12
Re333,0
−
∞
= ut
ρ
Phương pháp trường tích phân được sửa dụng rộng rãi cho cả trường hợp các
dòng chảy tầng và dòng chảy rối, áp dụng để tính toán sự truyền chất ở biên giới pha
kim loại và xỉ.
b. lớp biên dòng và nồng độ tại lớp biên lỏng-lỏng.
Biên giới kim loại và xỉ bị phân cách bởi hai chất lỏng. Nếu một chất lỏng tiếp
xúc với chất lỏng khác. Ví dụ trong quá trình nấu kim loại lỏng thì sẽ xuất hiện một
dòng chuyển động vòng tròn trong mẻ kim loại như sơ đồ sau:


.
;<$=>!8(%&!?5(&
Ở bên trong của mẻ kim loại, tốc độ u
∞
là thống trị. Nó sẽ giảm khi đi vào vùng
biên dòng từ hướng kim loại tới giá trị u
i
của lớp biên phía xỉ một cách đối xứng tới
giá trị 0.
.
Ta cần quan tâm tới lớp phân tách. Vì kim loại và xỉ có độ nhớt động học khác
nhau, trường tốc độ ở biên giới pha có bước gẫy (bước nhẩy). Dòng chảy vòng của
kim loại có dạng ngừng trệ.Trong lớp xỉ, dòng tiến dần tới 0. Ở trước điểm dừng đầu
của dòng với toạ độ x=0 và y=0, xỉ lại tăng tốc từ giá trị tốc độ 0. Chiều dầy lớp biên
ở vị trí này ở cả hai phía đều bằng 0.
Tốc độ không thứ nguyên về phía kim loại được tính theo công thức:
u- u
i
/ u
∞
- u
i
= 2ξ - ξ
2
= f ; 0 <= ξ <= 1
Với ξ = x/δ
Pr

u
i

/ u
∞
= U
Ta có:
u/u
∞
= U + (1 – U)f
Chiều dày tổn thất xung về phía kim loại được tính như sau:
( )
dxuu
u
u
∞
∞
∞
−=
∫
/1
0
2
δ
Biến đổi ta được:
dy
Uu
d
M
5,11
15
*
Pr2

+
=
∞
ν
δδ
%
3




@&!A$
Với δ
Pr
=0 khi y =0
Ta có:
δ
Pr
= (30/ 1+1,5 U)
1/2
(ν
M
y / u
∞
)
1/2
Ứng suất cắt:
t
i
=ρ

M
ν
M
(du/ dx)
x=0
Ta có lực cắt theo đơn vị chiều rộng:

( ) ( )
2/12
2/1
2
1
0
Re5,111
15
8
−
∞






+−==
∫
yMii
uUUdytD
ρ
Sè Re ở đây được tính với độ dài dòng vào (l).

Tốc độ (u
s
) của xỉ được thể hiện dưới dạng không thứ nguyên sau:
u
s
/ u
i
= 1 -2ξ
s
- ξ
s
2
= f
s

Với ξ
s
= x
s
δ
Prs
chiều dày lớp tổn thất xung về phía xỉ δ
2,s
được tính:

( )
ssssss
dff
Pr
1

0
Pr,2
15
2
1
δξδδ
=−=
∫
Ta có phương trình cân bằng xung về phía xỉ:
δ
Prs
dδ
Prs
=15 (ν
s
/ u
i
)dy
Và khi tích phân với δ
Prs
= 0 khi y =0
δ
Prs
=(30ν
s
y/ u
i
)
1/2
Ta có:

( )
s
iss
x
sssi
u
dxdut
Pr
0
2
/
δ
νρ
νρ
==
=
( )
2/12
2/1
Re15/2
−
=
sisi
ut
ρ
Với Re
s
=u
i
y/ ν

s
, ứng lực cắt trên đơn vị chiều rộng được tính  sau:
2/122/1
1
0
Re)15/8(
−
==
∫
sisii
udytD
ρ
Tương tù  chiều dày tổn thất xung, chiều dày tổn thất khối lượng δ
2,N
là dòng
không bị cản trở ngược lại đi vào lớp biên nồng độ là lượng Ýt hơn đi vào:
( ) ( )
bdxccudVcc
x
x
x
x
∫ ∫
∞=
=
∞=
=
∞∞
−=−
0 0

c: nồng độ
&
V: dòng khối lượng từ khoảng cách x kể từ biên giới pha và b là chiều rộng
của lớp .
Chiều dày tổn thất khối lượng:
( )
dxccuu
x
x
N
∞
∞=
=
∞
−=
∫
/1/
0
,2
δ
Hoặc với ξ
N
= x/ δ
N
( )
NN
dccuu
ξδ
∞∞
−=

∫
/1/
1
0
,2
δ
N
là chiều dày lớp biên nồng độ
Nhờ biết δ
N
, có thể tính được hệ số truyền chất ở phía kim loại.
Ta có:
NM
i
xM
M
D
cc
dxdcD
δβ
/2
)/(
0
=
−
−
=
∞
=
Trường tốc độ về phía xỉ:

2
Pr
2
,
Pr
,
.21
S
NS
SN
S
NS
SN
i
S
u
u
δ
δ
ξ
δ
δ
ζ
+−=
Trường nồng độ về phía xỉ được biểu thị  sau:
2
,,
21
SNSN
SiS

SS
cc
cc
ξζ
+−=
−
−
∞
∞
c
∞
S
: nồng độ ở bên trong của xỉ
c
iS
: là nồng độ ở biên giới pha phía xỉ
Ta có chiều dày của lớp biên nồng độ phía xỉ:
3/12/1
Re08,5
SSyNS
Scy
−
=
δ
Với Re
Sy
=u
i
y/ν
S

Sc
S
= ν
S
/D
S
-
Hệ số truyền chất về phía xỉ được tính:

NS
S
S
D
δ
β
2
=
6. Dòng và sự truyền chất ở dòng có ma sát, dòng chảy rối.
a. Khái niệm về dòng chảy rối:
Trong luyện kim, dòng dưới tác dụng của các điều kiện kỹ thuật thường là
chảyrối. Dòng được gọi là chảy rối khi hệ số Re được tạo ra với các chiều dài dòng
tới lớn hơn 10
5.
Chảy rối được đặc trưng bởi sự không ổn định của dòng chảy tầng khi tốc độ
dòng cao. Dòng bị rối loạn và tạo ra sóng, không chỉ làm rối loạn dòng định hướng
mà ngay cả ở bên trong sóng chảy rối, đến mức tạo ra sóng rất nhỏ và cứ thế tới vùng
có kích thước rất nhỏ, trong đó năng lượng chảy rối bị ma sát triệt tiêu.
Sự chuyển từ dòng chảy tầng sang chảy rối ở bên thành được mô tả  sơ đồ
sau:

Lớp biên trở lên rộng hơn và chứa đựng đặc tính chảy rối. Chỉ bên cạnh thành
sự rối loạn mới đi vào yên tĩnh. Ở đó dòng dần dần trở thành chảy tầng, vùng này
được gọi là vùng chảy tầng dưới. Ngoài ra ta còn gặp vùng trong đó có sự rối loạn
nhưng tốc độ nhỏ hơn tốc độ bên ngoài, người ta gọi chúng là lớp biên chảy tầng.
Sóng xuất hiện do sự rối loạn có thời gian tồn tại ngắn nhưng liên tục và dãn nở
theo không gian. Do đó chúng có cường độ riêng, người ta gọi chúng là hình cầu rối
0
.

δ
!
1
1
@
δ
A@
3
∞
*)1!B4C
,*)1!B ,*)1@;
DE3
3
∞
4,!?5()!?5*!#%&%!B7$
loạn. Độ lớn của cầu này được trải ra thành chùm, bao hàm từ kích thước lớn hình
chậu đến kích thước phân tử. Với sự mô tả dạng cầu, thì chảy rối sẽ được thể hiện rõ
ràng là: Một quả cầu, ngoài tốc độ dòng được định hướng theo hướng chính, còn tốc
độ dao động với yếu tố u
,
, v

,
và w
,
. Tốc độ dao động này sẽ gây ra một hiệu ứng
nhất định mà trong lòng chảy tầng không có.
b. Ứng suất cắt Reynold
Mét trong các hiệu ứng kể trên là hiệu ứng cắt Reynold. Để hiểu nó hãy quan
sát một phần đơn giản là nửa dòng hai thứ nguyên, trong đó có chứa các cầu rối loạn.
Khi mét trong quả cầu rối loạn có các tốc độ tức thời u’ theo hướng của dòng và v’
thẳng góc với nó thì số xung trên đơn vị thể tích ρu’ được vân chuyển với tốc độ v’
thẳng góc với hướng của dòng theo hình sau:
Xuất hiện một ứng suất cắt τ = ρu’v’, trong một trường có tốc độ không đổi,
trong một thời điểm xung theo tất cả các hướng có sác xuất như nhau, tới mức tổng
các xung sẽ bằng 0. Một thể tích nguyên tố, mà nguyên tố này chuyển từ lớp tốc độ
thấp hơn sang lớp tốc độ cao hơn có nghĩa là v’ dương, sẽ có u’ mà sắc xuất xuất
hiệngiá trị đạt âm hơn.
Mật độ xung bằng ứng suất cắt có giá trị trung bình theo thời gian là:
Người ta gọi ứng xuất này là gọi ứng xuất cắt Reynold, nó chỉ xuất hiện khi
dòng chảy rối và nhập vào cùng với ứng suất nhớt.
Ta có: τ
Tổng
=η du/dx- ρu’v’
Ứng suất cắt Reynold trong lớp biên chảy rối thì lớn hơn nhiều lần ứng suất cắt
nhớt. Chỉ ở vùng lân cận thành, nơi mà sự rối loạn mất đi thì ứng suất nhớt mới đóng
8
τFρ3G7G
DG
>G
G
>G

G
DG
>G
G
DG
vai trò quyết định. ứng suất tổng τ
Tổng
→ const và giảm mãi tới vùng bên ngoài của
lớp biên chảy rối mới đạt giá trị = 0. Sự không đổi của ứng suất này là do sự tăng tốc
rất mạnh của dòng chảy song song với thành. Ta biểu thị τ
Tổng
là ứng suất cắt thành:
τ
W
Xét sơ đồ sau:
δ: chiều dày của lớp biên tổng
Trục hoành biểu thị x/δ
Trục tung là τ/τ
W

Theo sơ đồ ta thấy có sự thay đổi tỷ lệ khi x/ δ = 0,05.
Ứng suất cắt Re giảm trước thành tới giá trị 0, đồng thời ứng suất cắt nhớt
(ηdu/dx) tăng rất mạnh, đây chính là vùng của lớp dưới chảy tầng.
Ứng suất cắt thành có liên quan tới tỷ trọng và tỷ lệ bậc hai với tốc độ. Nó được
gọi là tốc độ ứng suất cắt u
τ
:
u
τ
= (τ

W
/ρ)
1/2
Đại lượng đặc trưng cho sự rối loạn được xác định bằng phương pháp thực
nghiệm:
9
99&9099999
99?99?99?99?99?9%9?9?9?&9?0?9?

?
9



9
?
0



9
?
&



9
?





9
?




9
?
9
3
τ
ν
ν434
3G7G
τρ
ττ
H
C=D!.4EF'47!+GHB5%()8$)
)$'!#?!3!)1F45δIHB
δ
JKILM
N
I
58O0*P!)QM=>δJMGMR
τ
W
= 0,03ρu
2

∞
Re
Y
-1/5

Trong đó:
u
∞
: là tốc độ ngoài lớp biên
Re
Y
: là số Re cục bộ được tạo thành bởi chiều dài dòng đến y
Ta có:
u
τ
= (τ
W
/ρ)
1/2
=0,173 u
∞
Re
Y
-1/10
u
τ
Ýt phụ thuộc vào số Re và thường tỷ lệ với u
∞
.
Với trở lực dòng ς = τ

W
/ρu
2
∞

Ta có: ς = 0,030 Re
Y
-1/5
hay ta lấy theo giá trị trung bình qua chiều dài dòng đến:

∫
−
==
1
0
5/1
Re037,01/1
L
dy
λς
c. Đoạn đường trộn lẫn Prandtl
Ứng suất cắt tạo ra do sự chuyển động quả cầu rối loạn, là sự truyền xung và
cũng là sự trộn lẫn của các quả cầu rối loạn và cũng đóng góp cho lý thuyết quá
trình truyền chất do các quả cầu rối loạn tạo ra.
Được minh hoạ theo sơ đồ:
Nếu từ vị trí (x
2
) trong đó xuất hiện một cầu A thì cầu rối loạn được vận chuyển
với tốc độ dao động (v’) thẳng góc với hướng dòng chảy đồng thời có một cầu rối
loạn B từ phần tử (x

1
) các xung được vận chuyển theo hướng ngược lại, sau đó có sự
vận chuyển xung là kết quả của các hiện tượng trên.
Mật độ dòng xung theo hướng tới thành :
dxduxxv /)(
~
12
−=
ρτ

3I***J

K
3I**!LJ
3I**
.
/
Khoảng cách x
2
-x
1
là một giá trị mà trên đoạn đó một cầu rối loạn của xung có
thể vận chuyển qua mà không làm mất cường độ của nó, khoảng cách này gọi là
đoạn đường trộn lẫn Prandtl.
Tốc độ dao động trung bình có thể biểu diễn theo u
τ
vì u’ và v’ nằm trong cùng
vùng trộn lẫn.
Ta có:
τ/ρ =u

τ
L du /dx
Người ta có thể định nghĩa biểu thức (l
2
du/dx) là độ nhớt dộng học của chảy rối
ν
t
τ/ρ =ν
t
du/dx và ν
t
=L
2
du/dx
Khác với sự vận chuyển xung nhớt, ở đây xung được truyền nhờ sự chuyển
động Brown, trong vận chuyển xung rối loạn các cầu rối loạn đảm nhiệm nhiệm vụ
này. Sự vận chuyển động đó về mặt vĩ mô tương tự như chuyển động phân tử vi mô.
Vì cầu rối loạn truyền rất nhiều xung hơn phân tử nên ν
t
>>ν.
Bằng những nghiên cứu về đoạn đường trộn lẫn (l), người ta có thể xác định
được độ nhớt chảy rối. Vì sự rối loạn ở cạnh thành tiến tới yên lặng(v’=0), nên ở đó
(l=0). Tăng khoảng cách tới thành, v’ trở lên lớn hơn làm cho l cũng tăng theo.
Ứng suất cận thành là hằng số, ta có: L = 0,41x
Hằng sè 0,41 là số tổng hợp.
d. Vận chuyển chất rối loạn
Nhờ khái niệm về doạn đường trộn lẫn cho phép làm rõ không những sự vận
chuyển xung mà còn sự vận chuyển chất trong điều kiện chảy rối. Nếu như cầu rối
loạn A có tốc độ v’ theo hướng tới thành và một cầu rối loạn B có tốc độ v’ vận
chuyển chất khỏi thành thì mật độ dòng vật chất trong khoảng thời gian được tính

theo công thức:
dxdcxxvj /)(
12
,
−=
Trong đó:
,
v
: căn bậc hai của bình phương tốc độ.

Ta có:
j =l
2
(du/dx).(du/dx)
Với định nghĩa về hệ số khuếch tán rối loạn đã cho phép xác định chiều dày của
lớp biên khuếch tán δ
N
ở dòng rối loạn. Trong điều kiện khi x=δ
N
thì hệ số khuếch
tán D
t
=D ta có:
τ
ν
δ
u
D
N
3/23/1

9,8=
Với δ
N
cho phép định nghĩa mật độ dòng:
N
Ni
cc
Dj
δ
δ
−
=

Trong đó:
N
c
δ
là nồng độ ở vị trí x = δ
N
.
Mặt khác ta lại có: j = β(c
i
- c
∞
)
Trong đó: c
∞
là nồng độ nằm ngoài lớp biên tổng, cũng là lớp biên rối loạn
∞
−

−
=
cc
cc
D
i
Ni
N
δ
δ
β
Sè Re cục bộ sẽ là:
3/110/9
Re013,0 Sc
k
y
D
L
Sh
y
N
y
===
δ
β
Và sè Sh trung bình trên cả chiều dài l là:
3/110/9
Re015,0 Sc
k
y

D
L
Sh
y
N
y
===
δ
β
Trong đó: kδ
N
là chiều dầy lớp biên tổng thể.
Để so sánh cho lớp dưới chảy tầng δ
Pr
cho lớp biên nồng độ δ
N
ta có:
δ
N
/ δ
Pr
=0,72(D/ν)
1/3

Vì D < ν nên dòng chảy rối, δ
N
<δ
Pr
. có dòng chảy tầng.
