Chuyên đề phương pháp giải các bài tập hình học không gian

1
Chuyên đề luyện thi đại học
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH
KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH
Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tậ p gây khó khăn cho học
sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ r àng dạng bài tập để lựa
chọn công cụ , phương pháp giải cho phù hợp. Bài vi ết này sẽ giúp học sinh giải q u y ết
những vướng mắc đó.
Ph ần 1: Nhữ n g vấn đề cần n ắm c h ắc khi tính toán
- Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A ) đường cao AH thì ta luôn có:

b = c t a n B , c = b t a n C ;
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
 

- Trong tam giác thường ABC ta có:
2 2 2
2 2 2
2 cos ;cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
 
   
. Tươn g
tự t a c ó h ệ thức cho cạng b, c và góc B, C:
-
1 1 1

sin sin sin
2 2 2
AB C
S ab C bc A ac B

  

- V(khối c h ó p ) =
1
.
3
B h
(B là diện t í c h đáy, h là chiều cao)
- V(khối l ăn g t r ụ)=B.h
- V(chóp S(ABCD)=
1
3
(S(ABCD).dt(ABCD))
- S=p.r (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác)
Ph ương p háp xác đ ịnh đườn g cao các loạ i khối ch óp:
- Loại 1: K h ối c h ó p c ó 1 c ạnh g ó c v u ô n g v ới đáy đó chính là chiều cao.
- Loại 2: K h ối c h ó p c ó 1 m ặt bên vuông góc với đáy t h ì đường cao chính là đường kẻ từ
m ặt bên đến g i a o t u y ến.
- Loại 3: K h ối c h ó p c ó 2 m ặt kề nhau cùng vuông góc với đáy t h ì đường cao chính là giao
tuyến c ủa 2 mặt kề nhau đó.
- Loại 4: K h ối c h ó p c ó c á c c ạnh b ê n b ằng nhau hoặc các cạnh b ê n c ù n g t ạo với đáy 1 g ó c
b ằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại t i ếp đáy.
C
B
H

A
2
- Loại 5: K h ối c h ó p c ó c á c m ặt bên đều tạo với đáy 1 g ó c b ằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm vòng tròn nội t i ếp đáy.
Sử dụng c á c g i ả t h i ết mở:
- Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy g ó c

thì chân đường cao hạ từ đỉnh
sẽ rơi v à o đường phân giác góc tạo bởi 2 c ạnh n ằm trên mặt đáy c ủa 2 mặt bên (Ví dụ:
Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạ o với đáy g ó c

thì chân
đường cao hạ từ đỉnh S t h u ộc p h â n g i á c g ó c B A C )
- Hình chóp có 2 cạnh b ê n b ằng nhau hoặc hai cạnh b ê n đều tạ o với đáy m ột góc

thì
chân đường cao hạ từ đỉnh r ơi v à o đường trung trự c của đoạn t h ẳng nối 2 điểm còn lại
của cạnh bên thuộc mặt đáy. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB và SC cùng
tạ o với đáy m ột góc

thì chân đường cao hạ từ S rơ i v à o đường trung trực c ủa BC)
Việc xác định được chân đường cao cũng là yếu tố quan trọng để tìm góc tạo bởi đường
thẳng và m ặt phẳng hoặc góc tạo bởi 2 mặt phẳng.
Ví dụ: Cho khối c h ó p S A B C D c ó m ặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạ o bởi S C v à ( A B C D )
l à 6 0
0
, góc tạ o bởi ( S C D ) v à ( A B C D ) l à 4 5
0
, đáy l à h ì n h t h a n g c â n c ó 2 c ạnh đáy l à a , 2 a ; c ạnh
b ê n b ằng a. Gọi P , Q l ần l ượt là trung đi ểm c ủa SD,BC.Tìm góc tạ o bởi P Q v à m ặt phẳng

(ABCD).Tính V khối c h ó p ?
Rõ ràng đây là khối c h ó p t h u ộc dạn g 2 . T ừ đó ta dễ dàng tìm được đường cao và xác định các
góc như sau:
- K ẻ SH vuông góc với A D t h ì S H l à đường
cao(SC,(ABCD))=
ˆ
ˆ
;( ,( ) ) )
SCH SM ABCD HMS

, với M l à c h â n đường cao kẻ từ H l ê n
CD
- Từ P hạ PK vuông góc với A D t a c ó
ˆ
( ,( ) )
PQ ABCD PQK


Ph ần 3: Các bài toán về t í n h t h ể t í c h
A. Tính thể t í c h t r ự c t i ế p b ằ n g c á c h t ìm đường cao:
Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Ch o h ì nh ch ó p SA BCD có đáy A B C D l à h ì n h t h a n g v u ô n g t ại A v à D . ,
có AB=AD=2a; CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I l à t r u n g đi ểm
D A
B C
M
H
S
P

Q
K
3
A D b i ết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với ( A B C D ) . T í n h t h ể tích khối c h ó p
SABCD?
HD giải: Vì 2 mặt phẳng (SBC) và (SBI) cùng vuông góc với ( A B C D ) m à ( S B I ) v à ( S C I ) c ó
giao tuyến l à S I n ê n S I l à đường cao. Kẻ IH vuông góc với B C t a c ó g ó c t ạ o bởi m ặt phẳng
(SBC) và (ABCD) là
0
ˆ
60
SHI 
. Từ đ ó ta tính được:
2
1
2; 5; ( ) ( ) 3
2
IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a
     

2 2
2 2
1 3
. ( ) ( ) ( ) ( ) 3
2 2 2
a a
IH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a       
nên
2 ( )
S IBC

IH
BC
 
3 3
5
a
. Từ đ ó V(SABCD)=
3
3 15
5
a
.
Ví dụ 2) (TSĐH D 2 0 0 9 ) C h o l ăn g t r ụ đứng ABCA
’
B
’
C
’
có đáy A B C l à t a m g i á c v u ô n g t ại B ,
A B = a ; A A
’
=2a; A
’
C=3a. Gọi M l à t r u n g đi ểm c ủa đoạn A
’
C
’
, I là trung đi ểm c ủa AM và A
’
C

’
.
Tính V chóp IABC theo a?
HD giải:
- A B C A
’
B
’
C
’
là lăn g t r ụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy.
Vì I

(ACC
’
)

(ABC), từ I ta kẻ IH

A C t h ì I H l à đường cao và I chính là trọng tâm tam giác
AA
’
C
’
2 4
3 3
I H CI a
I H
AA CA
    

 

Có
2
2 2 2 2 2
A A 9 4 5 2
AC A C a a a BC AC AB a
 
        
V(IABC)=
3
1 1 4 1 4
. ( ) . . .2 .
3 3 3 2 9
a
I H d t A B C a a a
 
( đv t t )
S
I A
B
H
D
C
4
B. Tính thể t í c h b ằ n g c á c h s ử d ụ n g c ô n g t h ứ c t ỉ s ố t h ể t í c h h o ặ c p h â n c h i a k h ố i đ a d i ệ n
thành các khối đa diện đơn giản hơn
Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn t h ì t a p h ải t ì m c á c h p h â n c h i a k h ối đa diện
đó thành các khối c h ó p đơn g i ản h ơn m à c ó t h ể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công
thức tính tỉ s ốthể tích để tìm thể tích khối đa diện c ần t í n h t h ô n g q u a 1 k h ối đa diện t r u n g g i a n

đơn g i ản h ơn .
Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau:
( ) . .
( ) . .
V SA B C SA SB SC
V SABC
SA SB SC
     

(1)
( A ABC) A A
(
) SA
V S
V SABC
 

(2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối c h ó p b ất kỳ .
C
B
A
C '
B '
A '
S
B’ C’ M
A’
B
A
I

H
C
5
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h t h o i c ạnh a ,
0
ˆ
60
BAD 
, SA vuông góc
v ới đáy(ABCD), SA=a. Gọi C l à t r u n g đi ểm S C , m ặt phẳng (P) đi q u a A C s o n g s o n g v ới B D c ắt
các cạnh S B , S D c ủa hình chóp tại B
’
, D
’
. Tính thể tích khối c h ó p
HD giải:
Gọi O l à g i a o 2 đườn g c h é o t a s u y r a A C
’
và SO cắt nhau tại t r ọng tâm I của tam giác SAC. Từ
I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ đường thẳng song song với B D c ắt SB, SD tại B
’
, D
’
là 2 giao
đi ểm c ần t ì m .
Ta có:
1 2
;
2 3
SC SD SB SI

SC SD SB SO
  
   
Dễ thấy
( ) ( ) ( ) ( )
2 ; 2
S A B C D S A B C SAB C SABC
V V V V
      
 
( ) ( ) . . 1
( ) ( ) . . 3
V SAB C D V SAB C SA SB SC
V ABCD V SABC SA SB SC
      
   
Ta có
3
( )
1 1 1 3 3
ˆ
. ( ) . . . . . .
3 3 3 2 6
S ABC D
V SA dt ABCD SA AD AB sinDAB a a a a   

3
( )
3
18

S AB C D
V a
  

(đv t t )
Ví dụ 4) (Dự bị A 2007)
Cho hình chóp SABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vuông góc với đáy, cạnh S B
h ợp với đáy m ột góc 60
0
. Trên cạnh S A l ấy M s a o c h o A M =
3
3
a
. Mặt phẳng BCM cắt DS tại
N. Tính thể tích khối c h ó p S B C M N .
HD giải:
Từ M kẻ đường thẳng song song với A D c ắt SD tạ i N l à g i a o đi ểm c ần t ì m , g ó c t ạ o bởi S B v à
(ABCD) là
0
ˆ
60
SBA 
. Ta có SA=SBtan60
0
=a
3
.
S
B’
C’

D’
O
B C
D A
6
Từ đó suy ra SM=SA-AM=
3 2 3 2
3
3 3 3
SM SN
a a a
SA SD
    
Dễ thấy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
S A B C D S A B C S A C D SA B C SACD
V V V V V   


( ) ( ) ( )
S B C M N S M B C S M C N
V V V 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. . . 1. . .
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2. . . 2. . .
1 2 5
3 9 9
V SMBCN V SMBC V SMCN V SMCN V SMCN SM SB SC SM SC SN
V SABCD V SABCD V SABC V SACD SA SB SC SA SC SD


     
  
Mà
3 3
( ) ( )
1 1 2 3 10 3
. ( ) 3 .2
3 3 3 27
S ABC D S M B C N
V SA dt ABCD a a a a V a
    

Ph ần 4: Các bài toán về k h o ả n g c á c h t r o n g k h ô n g g i a n
A. Khoả n g c á c h t ừ 1 đ i ể m đ ế n 1 m ặ t p h ẳ n g
Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh
cần nắm chắc bài toán cơ bản và c á c t í n h c h ấ t s a u
* Bài toán cơ bản: Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến
(SBC)
- Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy ra AH vuông góc với (SBC). Vậy
khoảng cách từ A đến (SBC) là AH.
Ta có
2 2 2
1 1 1
AS
AH AM
 

S
M

N
A D
C B
7
H
M
C
B
A
S
* Tính chấ t q u a n t r ọ n g c ầ n n ắ m :
- Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách từ mọi điểm trên (d)
đến mặt phẳng (P) là như nhau
- Nếu
AM kBM

thì
/( ) /( )
A P B P
d kd
trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M
Trên cơ sở các tính chất trên ta luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán
cơ bản.
Tuy nhiên 1 số trường hợp việc tìm hình chiếu trở nên vô cùng khó khăn, khi đó việc sử
dụng công thức tính thể tích trở nên rất hiệu quả.
Ta có V(khối chóp)=
1 3
.
3
V

B h h
B
 

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hì n h v u ô n g c ạnh a. Hì n h c h i ếu của S trùng với
trọng tâm tam giác ABD. Mặt bên (SAB) tạ o v ớ i đ á y m ộ t g ó c 6 0
0
. Tín h t heo a thể tích của khối
chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD,
E là hình chiếu của G lên AB
Ta có:


;
SG AB GE AB AB SGE
   

0
ˆ
60
 SAG 

ˆ
.tan 3
SG GE SEG G E
  
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABD
1

3 3
a
GE BC
  
3
1 3
.
3 9
S ABC D ABCD
a
V SG S  

8
Hạ GN vuông góc với AD, GH vuông góc với SN.
Ta có
/( ) /( )
2 2 2
2
3
3 .
3 . 3
3 3
3 3
2
3
3 3
B SAD G SAD
a a
GN GS a
d d GH

GN GS
a a
    

 
 

 
 
 
 
H
N
E
G
D
C
A
B
S
Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng
.
ABCD A B C D
   
có đáy ABCD là hình thoi ,
3
AB a
 ,
0
120

BAD 
. Biết góc giữa đường thẳng
AC

v à m ặt phẳng
( )
ADD A
 
b ằng
0
30
.Tính thể tích
khối lăng trụ trên theo a. và khoảng cách từ trung điểm N của BB’ đến mặt phẳng (C’MA).Biết
M là trung điểm của A’D’
Ta có
. ' ' ' '
'.
ABCD A B C D ABCD
V AA S (1).
Đáy ABCD là hì n h t h o i g ồm 2 tam giác đều ABC, ACD nên:


2
2
3 3
3 3
2 2.
4 2
ABCD ABC
a

a
S S

   (2)
Gọi C’M là đường cao của tam giác đều C’A’D’ thì


' ' '
C M ADA D

nên
0
ˆ
' 30
C AM 

Ta có
0 2 2
3 3 3
' ' .cot 30 ' ' 6
2 2
a a
C M A M C M A A AM A M a
       
(3)
Thay (2),(3) vào (1) ta có:
2 3
. ' ' ' '
3 3 9 2
. 6

2 2
ABCD A B C D
a a
V a 
.
9
Ta có
/( ' ) /( ' )
N C MA K C MA
d d
với K là trung điểm của DD’ (Vì K v à N đối xứng nhau qua trung
điểm O của AC’)
Từ K hạ KH vuông góc với AM thì
/( ' )
1
( ' ) ; . ( ' ' ) ( ' ) ( ' ) ( )
2
K C MA
KH AC M d KH KH AM dt AA D D dt AA M dt MD K dt AKD
      
3 3 1 3 1 6 3 1 6 6
. 6. 3 6. . . . . 3
4 2 2 2 2 2 2 2 2
a a a a a
KH a a a a KH a
      

Vậy
/( ' )
6

2
N C MA
d a


H
K
M
B '
C '
A '
D '
D
C
B
A
N
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạ o bởi 2 m ặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60
0
, ABC,SBC là
các tam giác đều cạnh a . T í n h k h o ảng cách từ đỉnh B đến m p ( S A C ) . ( Đề dự bị khối A 2007)
HD:
Cách 1: C o i B l à đỉnh k h ối c h ó p B S A C t ừ giả thiết ta suy ra BS=BA=BC=a. Gọi O l à c h â n
đường cao hạ từ B xuống mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngoại t i ếp tam giác SAC. Gọi M l à
trung đi ểm B C t a c ó
;
SM BC AM BC
 
. Nên góc tạ o bởi ( S B C ) v à ( A B C ) l à
0

a 3
ˆ
60 A S =
2
SMA SM AM   
.
Bây giờ t a tìm vị t r í t â m v ò n g n g o ại t i ếp tam giác SAC.
Tam giác SAC cân tại C n ê n t â m v ò n g t r ò n n g o ại t i ếp nằm t r ê n t r u n g t r ực của SA và CN (N là
trung diểm c ủa SA). Kẻ trung trực của SC cắ t trung trực của SA tại O l à đi ểm c ần t ì m
2
2
2
2
3
2
13
16
cos
4
SA
a
SC
a
NC
SNC
SC SC a
 


 

 
   
10
2
2 2 2
2 4 3
2
;
ˆ
13
cos
13 13
SC
a a a
OC BO BC OC a
SCN
        .
Cách 2:
0
( ) ( )
1 2
2 2 . ( ) . .sin 60
3 3.2
S A B C D SABM
a
V V BM dt SAM AM MS  
3
3
( )
16

a dt SAC

=
2
1 1 13 3 39 3 ( ) 3
. A S = . . ( ,( )
2 2 4 2 16 ( )
13
a V SABC a
CN a a d B SAC
dt SAC
   
Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h t h a n g
0
ˆ
ˆ
90
ABC BAD 
, BA=BC=a,
A D = 2 a . C ạnh b ê n S A v u ô n g g ó c v ới đáy v à S A =
2
a
, gọi H l à h ì n h c h i ếu của A lên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến m p ( S C D ) (TSĐH D 2007)
HD giải: Ta có
2 2 2 2
2; 6; 2
AC a SD SA AD a SC SA AC a
      
. Ta cũng dễ dàng

tính được
2
CD a

. Ta có
2 2 2
SD SC CD
 
nên tam giác SCD vuông tại C .
2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 . A S . 2 2
AS 3
A B A S 2
2
2 2
3
3
3 3
AB a a
A H a
A H AB
a a
a
SH
SH SA AH a
SB
a
     

 
      
O
S
P
C
M
B
A
N
11
2
1. .( ) 1
( ) ( ) ( ) . ;
2 2 2
AB BC AD a
dt BCD dt ABCD dt ABD AB AD

    
2
2
3
1
( ) . 2
2
( ) . . 2 1 1. 2. 2
; ( ) . ( )
( ) . . 3 3 3.2 6
dt SCD SC CD a
V SHCD SH SC SD a a

V SBCD SA dt BCD a
V SBCD SB SC SD
 
    
3
2
( )
9
V SHCD a

.Ta có
3
2
3 ( ) 2 1
( /( )) .3
( ) 9 3
2
V SHCD a
d H SCD a
dt SCD
a
  
B. Khoả n g c á c h g i ữ a 2 đ ư ờ n g t h ẳ n g c h é o n h a u t r o n g k h ô n g g i a n
Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến h à n h t h e o
trình tự sau:
- Dựng (tì m ) m ặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1
điểm bất kỳ trên b đến mp(P)
- Khi tính khoảng cách từ 1 đi ểm đến m ặt phẳng ta có thể vận d ụng 1 trong 2 phươn g p h á p đã
trình bày ở mục A.
Ví dụ 1) Cho lăn g t r ụ đứng ABCA

’
B
’
C
’
có đáy A B C l à t a m g i á c v u ô n g A B = B C = a , c ạnh b ê n
2
AA a


. Gọi M l à t r u n g đi ểm c ủa BC. Tính theo a thể tích khối l ăn g t r ụ
ABCA B C
  
và
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B
’
C.(TSĐH D2008)
HD giải:
3
2
( ) .
2
V ABCA B C S h a
  
 
. Gọi N l à t r u n g đi ểm c ủa BB
’
ta có B
’
C song song với

m p ( AM N ) . T ừ đ ó ta có:
( , ) ( ,( )) ( ,( ))
d B C AM d B AMN d B AMN
 
 
vì N là trung đi ểm c ủa BB
’
.
Gọi H l à h ì n h c h i ếu vuông góc của B lên (AMN), vì tứ diện B A M N l à t ứ diện v u ô n g t ại B n ê n t a
có
2 2 2 2
1 1 1 1
7
a
BH
BH BA BN BM
    
chính là khoảng cách giữa AM và B
’
C.
B
C
D A
H
S
12
Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận d ụng đi ều
kiện B
’
C song song với ( A M N ) . T ại s a o k h ô n g t ì m m ặt phẳng chứa B

’
C các em học sinh tự suy
n g h ĩ điều này
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì k h o ảng cách từ A đến (P)
cũng bằng khoảng cách từ B đến (P))
Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ g i á c đều SABCD có đáy l à h ì n h v u ô n g c ạnh a . G ọi E l à đi ểm đối
x ứng của D qua trung đi ểm c ủa SA, M là trung đi ểm c ủa AE, N là trung đi ểm c ủa BC. Chứng
minh MN vuông góc với B D v à t í n h k h o ảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.(TSĐH B
2007)
HD giải: Gọi P l à t r u n g đi ểm c ủa SA, ta có tứ giác MPNC là hình bình hành.
Nên MN// PC. Từ đ ó suy ra MN//(SAC). Mặt khác BD

m p ( S A C ) n ê n B D

PC
BD MN
 
.
Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))=
1 1 1
( ,( ) ) 2
2 4 2
d B SAC BD a
 

S
M P
E
A
N

C
D
B
B’
C’
A’
N
B H
M
C A
K
13
( Chú ý việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC)
giúp ta đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này
để vận dụng)
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
2 ,
AB BC a
 
hai mặt
phẳng (SAC) và (SBC) cùng vuông góc với đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua
SM song song với BC cắt AC tại N. Biết góc tạo bởi (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích
khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN (TSĐH A 2011)
Giải:
- Ta có
0 0
ˆ ˆ
( ); 90 60 2 3

SA ABC ABC SBA SA a
     

Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm AC
Từ đó tính được
3
3
V a


- Kẻ đường thẳng (d) qua N song song với AB thì A B s o n g s o n g v ới mặt phẳng (P) chứa SN và
(d) nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến (P).
Dựng AD vuông góc với (d) thì
/ /( )
AB S ND
, dựng AH vuông góc với SD thì
/ /( )
2 2
. 2 39
( )
13
AB SN A SND
SA AD a
AH SND d d AH
SA AD
     

M
N
D

H
C
B
A
S
Ph ần 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Khi cần t í n h g ó c g i ữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường
thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b c ũng chính là góc
tạo bởi b và c. Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a
và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin hoặc theo hệ thức lượng trong
tam giác vuông.
Ví dụ 1) Cho lăn g t r ụ A B C A ’ B ’ C ’ c ó đ ộ dài cạnh b ê n b ằng 2a , đáy A B C l à t a m g i á c v u ô n g t ại
A . A B = a , A C = a v à h ì n h c h i ếu vuông góc của A’ lên mp (ABC) là trung đi ểm của cạnh B C ,
Tính theo a thể tích khối c h ó p A ’ A B C v à t í n h c ô s i n g ó c t ạ o bởi A A ’ v à B ’ C ’ . (TSĐH A 2008)
HD giải :Gọi H l à t r u n g đi ểm c ủa BC. Suy ra A’H

(ABC) và
2 2
1 1
3
2 2
AH BC a a a
   
Do đ ó A’H =
2 2
' 3.
A A AH a 

14
V(A’ABC) =

1
3
A ’ H . d t ( A B C ) =
3
2
a
Trong tam giác vuông A’B’H ta có
HB’=
2 2
' ' 2
A B A H a
 
n ê n t a m g i á c B ’ B H c â n t ại B ’ . Đặt

là góc tạ o bởi A A ’ v à B ’ C ’ t h ì

1
' cos
2.2 4
a
B BH
a
 
   
Tel 0988844088
Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h v u ô n g c ạnh 2 a , S A = a , S B = a
3
mp
(SAB) vuông góc với m ặt phẳng đáy . G ọi M , N l ần l ượt là trung đi ểm c ủa các cạnh A B , B C .
Tính theo a thể tích khối c h ó p S B M D N v à t í n h c o s i n g ó c t ạ o bởi S M v à D N .

Hd giải: Từ S h ạ S H v u ô n g g ó c A B t h ì S H v u ô n g g ó c v ới m p ( A B C D ) . S H c ũng chính là đường
cao khối c h ó p S B M D N . T a c ó S A
2
+ SB
2
= 4a
2
= AB
2
SAB
 
vuông tại
S
2
AB
SM a SAM
    
l à t a m g i á c đều
3
2
a
 ABCH 

Dễ thấy đường thẳng(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a
2
. Do đ ó V
(SBMDN)
=
3
1 3

. ( )
3 3
a
SH dt BMDN 

K ẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra AE =
2
a
giả sử
(SM,DN)=
( , ).
SM ME
 
 
Ta có SA vuông góc với A D ( Định l ý 3 đường vuông góc ) suy
B
H
C
A
B’
C’
A’
15
ra
2 2 2 2
5 5
,
2 2
a a
SA AE SE SA AE ME AM ME       

Tam giác SME cân tại E
n ê n c o s
5
2
5
SM
ME

 

PHẦN 4) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản sau:
** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
1 2

n
SA A A
thì tâm I cách đều các đỉnh
1 2
; ; .
n
S A A A
- Vì vậy tâm I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và
v u ô n g g ó c v ới đáy
1 2

n
A A A
(đường thẳng này song song với đường cao khối chóp) (Phải chú ý
việc chọn mặt đáy cần linh hoạt sao cho khi xác định trục đường tròn đáy là đơn giản nhất)

- Tâm I phải cách đều đỉnh S và các đỉnh
1 2
;
n
A A A
n ê n I t h u ộc mặt phẳng trung trực của
i
SA
đây là vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên sao cho trục đường tròn đã xác
định và cạnh bên đồng phẳng với nhau để việc tì m I được dễ dàng
** Trong một số trường hợp đặc biệt khi khối chóp có các mặt bên là tam giác cân, vuông, đều ta
có thể xác định 2 trục đường tròn của mặt bên và đáy . Khi đó tâm I là giao điểm của 2 trục
đường tròn. Nếu hì n h c h ó p c ó c á c đỉnh đều nhì n c ạnh a dưới một góc vuông thì t â m m ặt cầu là
trung điểm của cạnh a.
** Khi tính toán cần lưu ý c á c c ô n g t h ức:
4 4
abc abc
S R
R S
  
;
2 sin ,
a R A

Ta xét các ví dụ sau:
S
A E
M
B N
C

D
16
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hì n h t h a n g v u ô n g t ại A và B
aADaBCAB 2;



.Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung điểm
của AD.Tính thể tích khối chóp SCDE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó.
HD giải:
6
3
a
V 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực
của SE. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hì n h c h ó p S C D E l à g ia o điểm của mặt phẳng
(ABMN) và trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE. Gọi

là đường thẳng qua I là trung điểm của
CD và song song với SA.Gọi K là trung điểm của AB thì
KN
//AM. KN và

đồng phẳng suy ra
OKN



là điểm cần tì m

Tam giác OIK vuông cân nên OI=IK=
2
3
2
aADBC


;
Ta có
2
11
4
11
4
2
4
9
222
222
a
OCR
aaa
ICOIOC 
(0,25 điểm)
j
O
C
E
I
M

N
K
A
B
S
Trong ví dụ n ày ta dựng mặt phẳng trung trực của SE để tận dụng điều kiện tam giác SAE
vuông cân ở A
Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hì n h c h ữ nhật cạnh
; 2
AB a AD a
 
góc
giữa hai mặt phẳng (SAC) và ABCD bằng 60
0
. Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên SAB
l à t a m g i á c c â n t ại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC
17
- Ta có
( )
SH AB SH ABCD
  
.Kẻ HM vuông góc với AC thì g ó c t ạ o b ở i ( S A C) và
(ABCD) là
0
ˆ
60
SMH 

Có

0
2 6 2
ˆ
sin ; tan 60
2 6 2
3
BC a a a a
HM AH HAM AH SH HM
AC
a
     
3
1
( )
3 3
SABCD
a
V SHdt ABCD 

Q
P
E
M
N
K
I
D
O
H
C

B
A
S
- Gọi E, K lần lượt là trung điểm của SA, HA . Kẻ đương thẳng qua K song song với AD cắt CD
ở F thì K F
( )
SAH

. Dựng Ex song song với KF thì E x l à t r ục đường tròn ngoại tiếp tam giác
SHA. Dựng đường thẳng qua tâm O của mặt đáy vuông góc với AC cắt KF, AD tại N, P thì N l à
tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trong mặt phẳng chứa Ex và KF kẻ đường thẳng Ny
v u ô n g g ó c v ới đáy (ABCD) (đường thẳng song song với EK) thì N y l à t r ục đường tròn của tam
giác AHC.
Giao điểm
I Ny Ex
 
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hì n h c h ó p S A H C .
Ta có
2 2 2 2 2 2
R IH IN NH KE NH
    
.
2
2
2 2
2
2
3 3 3 1 5 3 3
. ; ( )
ˆ

2 2 4
cos 2 2 2 4 2 4 2
2 3 3 31
4 32
4 2
AO a a a AH
AP a KN HO AP HN KN a
CAD a
a a
R a
         
   
   
   
   
Vậy
31
32
R a

Cach2) Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Ta có
.
24
33
2

4
a
S
ACHCAH

S
ACHCAH
r
ABCAHC


18
K ẻ đường thẳng

qua J và
.

// SH
Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hì n h c h ó p
AHCS.
l à
giao đ i ể m c ủ a đ ư ờ n g t r u n g t r ự c đ o ạ n SH và

trong mặt phẳng (SHJ). Ta có
.
4
2
2
22
r
SH
JHIJIH 
Suy ra bán kính mặt cầu là .
32
31

aR 
Ví dụ 3) Cho tứ d i ệ n A B C D c ó A B C l à t a m g i á c đ ề u c ạ n h a ,
3
a
DA DB 
, CD vuông góc với
A D . T r ê n c ạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho
0
ˆ
90
AEB 
.Tính góc tạ o b ở i m ặ t p h ẳ n g ( A B C ) v à
m ặt phẳng (ABD).Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE.
Giải:
- G ọi I là trung điểm của AB thì C I v u ô n g g ó c v ới AB và DI vuông góc với AB. Nên góc tạ o b ở i
(ACD) và (ABD) là
ˆ
CID
.Do hai tam giác ACD và BCD bằng nhau nên
2 2 2
0 2 2 2
3
ˆ ˆ
90 ( ) ; ;
2 3 4 12
a a a a
BDC ADC CD A B D CD DI CI DI DA AI           

3 1
ˆ

cos :
2 3
2
DI a a
CID
CI
  
- Tam giác vuông ACD có
2 2 2
2
3
CD CA D A a   . Tam giác ABE vuông cân, do đó
2 2
2
;
2
6
a a
AE DE AE DA ACE
      có AD là đường cao và
2
2
.
3
a
CD DE DA ACE
   
vuông tại A.Tương tự ta có tam giác BCE vuông tại B. Vậy mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE có CE là đường kính tâm I của mặt cầu là trung điểm của CE. Bán
kính

3
3
3
1 1 2 6 4 4 6 6
( )
2 2 3 4 3 3 4 8
6
a a a a
R CD DE a V R

 
   
        
   
   
I
B
A
C
D
E
19
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ HÌNH KHÔNG GIAN
THƯỜNG DÙNG TRONG KỲ THI TSĐH


Câu 1) Khối chóp SABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi
qua AM, song song với BD chia khối chóp làm 2 phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Câu 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.

b ) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến các mặt của hì n h c h ó p .
Câu 3) Khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA

(ABCD); SA=2a. Gọi E, F là hình
chiếu của A trên SB và SD. I là giao điểm của SC và (AEF). Tính thể tích khối chóp SAEIF.
Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A
1
BC) tạ o v ớ i đ á y 1
góc 30
0
và tam giác A
1
BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Câu 5) Khối l ăn g t r ụ ABCA
1
B
1
C
1
có đáy l à t a m g i á c v u ô n g c â n , c ạnh h u y ền A B =
2
. Mặ t
phẳng (AA
1

B) vuông góc với m ặt phẳng (ABC), AA
1
=
3
; g ó c A
1
A B n h ọn, góc tạ o bởi ( A
1
AC)
v à m ặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối l ăn g t r ụ.
Câu 6) Khối l ăn g t r ụ tứ g i á c đều ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và
A
1
D bằng 2, đ ộ dài đường chéo mặt bên bằng 5.
a) Hạ AH

A
1
D (K


A
1
D). chứng minh rằng AK=2.
b ) Tính thể tích khối l ăn g t r ụ ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
.
Câu 7) Cho hình tứ diện A B C D c ó c ạnh A D v u ô n g g ó c v ới m ặt phẳng (ABC), AC=AD=4cm;
A B = 3 c m ; B C = 5 c m . T í n h k h o ảng cách từ đi ểm A t ới m ặt phẳng (BCD).
Câu 8) Cho hình chóp tam giác đều SABC đỉnh S , đ ộ dài cạnh đáy b ằng a. GỌi M , N l ần l ượt là
trung đi ểm c ủa các cạnh S B v à S C . T í n h t h e o a d i ện t í c h t a m g i á c A M N , b i ết rằng mặt phẳng
(AMN) vuông góc với m ặt phẳng (SBC).
Câu 9) Cho hình chóp SABC có SA=3a và SA vuông góc với m ặt phẳng (ABC). Tam giác ABC
có AB=BC=2a, góc ABC=120
0
. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến m ặt phẳng (SBC).
Câu 10) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h v u ô n g c ạnh a , t a m g i á c S A B đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Câu 11) Cho hình chóp tam giác SABC có đáy A B C l à t a m g i á c đều cạnh a , S A = 2 a v à S A
v u ô n g g ó c v ới m ặt phẳng (ABC). Gọi M v à N l ần l ượt là hình chiếu vuông góc của A trên các
đường thẳng SB và SC
a) Tính khoảng cách t ừ A đến m ặt phẳng (SBC)
b ) Tính thể tích của khối c h ó p A B C M N .
Câu 12) Hình chóp tam giác SABC có các cạnh b ê n S A = S B = S C = a , g ó c A S B = 1 2 0
0

, góc
BSC=60
0
, góc ASC=90
0
. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và tính thể tích hình chóp
SABC theo a.
Câu 13) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. Khoảng cách từ A đến m ặt phẳng (SBC) bằng 2a.
Góc giữa các mặt bên và mặt đáy l à

.
a) Tính thể tích khối c h ó p t h e o a v à

b ) Xác định

để thể tích khối c h ó p n h ỏ nhất.
Câu 14) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h c h ữ nhật với A B = a , A D =
2
a
, SA=a và
SA vuông góc với m ặt phẳng (ABCD). Gọi M v à N l ần l ượt là trung đi ểm c ủa AD và SC, I là
giao đi ểm c ủa BM và AC.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với m ặt phẳng (SMB).
b ) Tính thể tích của khối t ứ diện A N I B .
20
Câu 15) Cho lăn g t r ụ đứng ABCA’B’C’ có đáy A B C l à t a m g i á c v u ô n g t ại B , A B = a , A A ’ = 2 a ,
A’C=3a. Gọi M l à t r u n g đi ểm c ủa đoạn t h ẳng A’C’, I là giao đi ểm c ủa AM và A’C
a) Tính theo a thể tích khối t ứ diện I A B C
b ) Tính khoảng cách từ đi ểm A đến m ặt phẳng (IBC)
Câu 16) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h t h a n g v u ô n g t ại A v à D , A B = A D = 2 a ,

CD=a, góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I l à t r u n g đi ểm c ủa cạnh A D . B i ết
2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với m ặt phẳng (ABCD), tí n h t h ể tích khối c h ó p
SABCD theo a.
Câu 17) Cho hình lăn g t r ụ t a m g i á c A B C A ’ B ’ C ’ c ó B B ’ = a , g ó c t ạ o bởi B B ’ v à m ặt phẳng
(ABC) là 60
0
, tam giác ABC vuông tại C v à g ó c B A C = 6 0
0
. Hình chiếu vuông góc của đi ểm B ’
l ê n m ặt phẳng (ABC) trùng với t r ọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối t ứ diện A ’ A B C
theo a.
Câu 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác đều SABC có
7
SC a
 . Góc tạ o bởi ( A B C )
v à ( S A B ) = 6 0
0
. Tính thể tích khối c h ó p S A B C t h e o a .
Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD với A B C D l à h ì n h t h o i c ạnh a , g ó c A B C = 6 0
0
,
SO vuông góc với đáy ( O l à t â m m ặt đáy),
3
2
a
SO 
. M là trung đi ểm c ủa AD. (P) là mặt
phẳng qua BM và song song với S A , c ắt SC tại K . T í n h t h ể tích khối c h ó p K A B C D .

Câu 20) Cho hình chóp SABC có đáy A B C l à t a m g i á c đều cạnh a , c ạnh b ê n S A v u ô n g g ó c v ới
đáy ( A B C ) . T í n h k h o ảng cách từ A đến m ặt phẳng (SBC) theo a biết
6
.
2
a
SA 

Câu 21) Cho hình chóp SABCD có đáy l à h ì n h c h ữ nhật,
2, 2 .
AD a CD a
 
Cạnh S A v u ô n g
góc với đáy v à
3 2 .
SA a

Gọi K l à t r u n g đi ểm A B .
a) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với ( S D K )
b ) Tính thể tích khối c h ó p C S D K t h e o a ; t í n h k h o ảng cách từ K đến ( S D C ) .
Câu 22) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h v u ô n g c ạnh a . M ặt phẳng (SAC) vuông
góc với đáy, góc ASC=90
0
, SA tạ o với đáy 1 g ó c 6 0
0
. Tính thể tích khối c h ó p .
Câu 23) Cho lăn g t r ụ ABCA’B’C’ có đáy A B C l à t a m g i á c đều cạnh a , h ì n h c h i ếu vuông góc
của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với t â m O c ủa tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và
v u ô n g g ó c v ới A A ’ c ắt lăn g t r ụ theo 1 thiết diện c ó d i ện t í c h
2

3
8
a
. Tính thể tích khối l ăn g t r ụ
Câu 24) Cho hình chóp SABC có AB=AC=a;
; 3
2
a
BC SA a
 
; góc SAB bằng góc SAC và
b ằng 30
0
. Tính thể tích của khối c h ó p t h e o a .
Câu 25) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy b ằng a. Gọi G l à t r ọng tâm tam giác SAC
v à k h o ảng cách từ G đến m ặt bên (SCD) bằng
3
.
6
a

a) Tính khoảng cách từ tâm của mặt đáy đến m ặt bên (SCD)
b ) Tính thể tích của khối c h o p S A B C D .
Câu 26) Cho hình chóp SABC có đường cao AB=BC=a; AD=2a. Đáy l à t a m g i á c v u ô n g c â n t ại
B. Gọi B ’ l à t r u n g đi ểm c ủa SB, C’ là chân đường cao hạ từ A xuống SC.Tính thể tích khối c h ó p
SAB’C’.
21
Câu 27) Cho lăn g t r ụ đứng ABCA’B’C’ có đáy A B C l à t a m g i á c v u ô n g , A B = B C = a , c ạnh b ê n
AA’=
2

a
. Gọi M l à t r u n g đi ểm c ủa cạnh B C
a) Tính theo a thể tích của khối l ăn g t r ụ A B C A ’ B ’ C ’
b ) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B’C.
Câu 28) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h v u ô n g c ạnh 2 a ; S A = a ; S B =
3
a
và mặt
phẳng (SAB) vuông góc với m ặt phẳng đáy. M và N lần l ượt là trung đi ểm c ủa cạnh A B v à B C .
Tính thể tích khối c h ó p S B M D N v à g ó c g i ữa (SM;ND).
Câu 29) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h t h a n g , g ó c B A D b ằng góc ABC và bằng
90
0
; A B = B C = a ; A D = 2 a . S A v u ô n g g ó c v ới đáy v à S A = 2 a . G ọi M , N l ần l ượt là trung đi ểm c ủa
SA; SD. Tính thể tích khối c h ó p S A B C D v à k h ối c h ó p S B C M N .
Câu 30) Cho lăn g t r ụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh b ê n b ằng 2a, đáy A B C l à t a m g i á c v u ô n g t ại
A , A B = a ; A C =
3.
a và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung đi ểm c ủa cạnh B C .
Tính theo a thể tích khối c h ó p A ’ A B C v à c o s i n c ủa góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’.
Câu 31) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h v u ô n g c ạnh a , m ặt bên SAD là tam giác
đều và nằm t r o n g m ặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P l ần l ượt là trung đi ểm c ủa các cạnh
SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với B P v à t í n h t h ể tích khối t ứ diện C M N P .
Câu 32) Cho lăn g t r ụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB=a; AC=2a; AA

1
=
2 5
a
và góc BAC=120
0
. Gọi
M là trung đi ểm c ủa cạnh C C
1
. Chứng minh rằng MB

MA
1
và tính khoảng cách d từ đi ểm A
đến m ặt phẳng (A
1
MB)
Câu 33) Cho hình chóp SABC có góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Các tam
giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a . T í n h t h e o a k h o ảng cách từ đỉnh B đến m ặt phẳng
(SAC).
Câu 34) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h v u ô n g t â m O , S A v u ô n g g ó c v ới đáy.
Cho AB=a; SA=
2
a
. Gọi H v à K l ần l ượt là hình chiếu của A lên SB; SC. Chứng minh
SC

(AHK) và tính thể tích khối c h ó p O A H K .

Câu 35) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và đi ểm C t h u ộc nửa
v ò n g ( S A B ; S B C ) = 6 0
0
. Gọi H , K l ần l ượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác
A H K v u ô n g v à t í n h V
SA BC

Câu 36) Lăn g t r ụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy l à t a m g i á c v u ô n g A B = A C = a ; A A
1
=
2
a
. Gọi M , N
l ần l ượt là trung đi ểm c ủa AA
1
và BC
1
. Chứng minh rằng MN là đoạn v u ô n g g ó c c h u n g c ủa AA
1
v à B C
1
. Tính thể tích khối c h ó p M A
1
BC

1
Câu 37) Cho lăn g t r ụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có tấ t cả các cạnh đều bằng a. M là trung đi ểm c ủa đoạn
AA
1
. Chứng minh BM

B
1
C và tính
 
1
;
BM B C
d

Câu 38) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy l à h ì n h v u ô n g c ạnh a . E l à đi ểm đối x ứng
của D qua trung đi ểm S A , M l à t r u ng đi ểm c ủa AE, N là trung đi ểm của BC. Chứng minh MN
v u ô n g g ó c v ới B D v à t í n h k h o ảng cách giữa MN và AC theo a.
Câu 39) Cho hình chóp SABCD có đáy l à h ì n h t h a n g , g ó c A B C = g ó c B A D = 9 0
0
; A D = 2 a ;
BA=BC=a. Cạnh b ê n S A v u ô n g g ó c v ới đáy v à S A =
2
a

. Gọi H l à h ì n h c h i ếu vuông góc của A
trên SB.
a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuôn g
b ) Tính khoảng cách từ H đến m ặt phẳng (SCD)
22
Câu 40) Cho hình chóp SABC mà mỗi m ặt bên là 1 tam giác vuông. SA=SB=BS=a. Gọi M , N ,
E lần l ượt là trung đi ểm c ủa các cạnh A B , A C , B C . D l à đi ểm đối x ứng của S qua E, I là giao
đi ểm c ủa AD và (SMN)
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với S I
b ) Tính theo a thể tích khối t ứ diện M B S I
Câu 41) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có các cạnh A B = A D = a ; A A ’ =
3
2
a
và góc
BAD=60
0
. Gọi M v à N l ần l ượt là trung đi ểm c ủa A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc
v ới m ặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối c h ó p A B D M N .
Câu 42) Hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h c h ữ nhật với A B = a , A D = 2 a , c ạnh S A v u ô n g
góc với đáy, cạnh S B t ạ o với m ặt phẳng đáy g ó c 6 0
0
. Trên cạnh S A l ấy M s a o c h o
3
3
a
AM 
,
m ặt phẳng (BCM) cắt SD tại N . T í n h t h ể tích khối c h ó p S B C N M .
Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h t h o i c ạnh a . G ó c B A D = 6 0

0
. SA vuông
góc với m ặt phẳng (ABCD), SA=a. Gọi C ’ l à t r u n g đi ểm c ủa SC, mặt phẳng (P) đi q u a A C ’ v à
song song với B D , c ắt các cạnh S B , S D c ủa hình chóp lần l ượt tại B ’ , D ’ . T í n h t h ể tích của khối
chóp SAB’C’D’.
Câu 44) Cho lăn g t r ụ ABCA’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy A B = a , c ạnh
b ê n A A ’ = b . G ọi

l à g ó c g i ữa 2 mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính
tan

và thể tích khối c h ó p
A’BB’CC’.
Câu 45) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy = a . G ọi S H l à đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ t r u n g đi ểm I c ủa SH đến m ặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối c h ó p
SABCD.
Câu 46) Cho hình lập phươn g A B C D A ’ B ’ C ’ D ’ c ó c ạnh = a v à đi ểm K t h u ộc cạnh C C ’ s a o
cho:
2
3
a
CK 
. Mặt phẳng

đi q u a A , K v à s o n g s o n g v ới B D c h i a k h ối l ập phươn g t h à n h 2
khối đa diện. Tính thể tích của 2 khối đa diện đó.
Câu 47) Cho 1 hình trụ t r ò n x o a y v à h ì n h v u ô n g A B C D c ạnh a c ó 2 đỉnh l i ê n t i ếp A; B nằm t r ê n
đường tròn đáy t h ứ nhất, 2 đỉnh c ò n l ại n ằm t r ê n đường tròn đáy t h ứ 2 cùa hình trụ. Mặt phẳng
(ABCD)tạ o với đáy h ì n h t r ụ góc 45
0

. Tính d iện t í c h x u n g q u a n h v à t h ể tích của hình trụ.
Câu 48) Cho hình nón đỉnh S , đáy l à đường tròn tâm O, SA và SB là 2 đường sinh. Biết SO=3a,
khoảng cách từ O đến m ặt phẳng (SAB) bẳng a, diện t í c h t a m g i á c S A B = 1 8 a
2
. Tính thể tích và
diện t í c h x u n g q u a n h .
Câu 49) Cho hình trụ có 2 đáy l à 2 h ì n h t r ò n t â m O v à O ’ . B á n k í n h đáy b ằng chiều cao và bằng
a. Trên đường tròn đáy t â m O l ấy đi ểm A , t r ê n đường tròn đáy t â m O ’ l ấyđi ểm B s a o c h o
A B = 2 a .
a) Tính diện t í c h t o à n p h ần c ủa hình trụ và thể tích của khối t r ụ
b ) Tính thể tích tứ diện O O ’ A B .
Câu 50) Cho hình chóp cụ t tam giác đều ngoại t i ếp 1 hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích
khối c h ó p c ụ t biết rằng cạnh đáy l ớn g ấp đôi c ạnh n h ỏ. (Hình chóp ngoại t i ếp hình cầu nếu hình
cầu tiếp xúc với t ất cả các mặt của hình chóp).
Câu 51) Cho hình chóp tam giác đều SABC có đ ộ dài cạnh b ê n b ằng a. Các mặt bên hợp với m ặt
phẳng đáy m ột góc

. Tính thể tích khối c ầu nội t i ếp hình chóp.
23
Câu 52) Cho hình chóp SABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với m ặt đáy.
Đáy A B C D l à t ứ giác nội t i ếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Xác định t â m v à t í n h t h ể tích
khối c ầu ngoại t i ếp hình chóp SABCD biết SA=h.
Câu 53) Hình cầu đường kính AB=2R. Lấy H trên AB sao cho AH=x ( 0<x<2R). Mặt phẳng (P)
v u ô n g g ó c v ới A B t ại H c ắt mặt cầu theo giao tuyến l à h ì n h t r ò n ( C ) , M N P Q l à h ì n h v u ô n g n ội
tiếp trong hình tròn giao tuyến ( C ) .
a) Tính bán kính đường tròn giao tuyến. Tính độ dài MN, AC.
b ) Tính thể tích khối đa diện t ạo bởi 2 h ì n h c h ó p A M N P Q v à B M N P Q .
Câu 54) Cho tứ diện A B C D c ó A B = B C = A C = B D = a ; A D = b . H a i m p ( A C D ) v à ( B C D ) v u ô n g g ó c
v ới n h a u .
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.

b ) Tính diện t í c h m ặt cầu ngoại t i ếp tứ diện A B C D .
Câu 55) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy b ằng a, tâm đáy l à O , c h i ều cao SH=
2
a
a) CMR tồn t ại m ặt cầu O tiếp xúc với t ất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính của
m ặt cầu
b ) (P) là mặt phẳng song song với (ABCD) và cách (ABCD) một khoảng x(0<x<R). S
td
là
diện t í c h t h i ết diện t ạo bởi ( P ) v à h ì n h c h ó p ( b ỏ đi p h ần d i ện t í c h n ằm t r o n g m ặt cầu) Xác
định x để S
td
=
2
R

Câu 56) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy v à c h i ều cao cùng bằng a. Gọi E , K l ần
l ượt là trung đi ểm c ủa các cạnh A D v à B C .
a) Tính diện t í c h x u n g q u a n h c ủa mặt cầu ngoại t i ếp hình chóp SEBK
b ) Tính thể tích của khối c ầu ngoại t i ếp hình chóp SEBK.
Câu 57) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, cạnh đáy c ó đ ộ dài bằng a, cạnh b ê n t ạo với c ạnh
đáy 1 g ó c 3 0
0
. Tính thể tích mặt cầu ngoại t i ếp hình chóp.
ĐÁP SỐ:
Câu 1) ĐS:
1
2
Câu 10)
21

7
Câu 33)
3 13
13
a
d 

Câu 2)
3
2 6
) ; )
6 6
a a
a b
Câu 11)
3
2 57 3 3
) ; )
19 50
a a
a b
Câu 34)
3
2
27
a
V 

Câu 3)
3

16
45
a
S Câu 12)
3
2
12
a
V 
Câu 35)
3
6
12
R
V 

Câu 4)
8 3
Câu 13)
3
2
4 3
;cos
3cos .sin 3
a

 

Câu 36)
3

3
12
a
V 

Câu 5)
3 5
10
V 
Câu 14)
3
2
36
a
V 
Câu 37)
10
30
a
d 

Câu 6)
) 20 5; 10 5
b V V 
Câu 15)
3
4 2 5
;
9 5
a a

V d 
Câu 38)
2
4
a
d 

Câu 7)
60 34
( )
17
cm
Câu 16)
3
3 15
5
V a

Câu 39)
3
a
h

24
Câu 8)
2
10
( )
16
a

S dvdt

Câu 17)
3
9
208
a
V 
Câu 40)
3
36
a
V 

Câu 18) V=3a
3
Câu 44
2 2 2 2 2
' ' '
2 3 3
tan ;
6
A BB CC
b a a b a
V
a

 
 

Câu 19)
3
6
a
V 
Câu 45)
3
2 2
2
.
3
16
a b
V
a b


Câu 20)
2
2
a
A H 
Câu 46)
3 3
1 2
2
;
3 3
a a
V V 

Câu 21)
3
3 5
2 ;
10
a
V a h 
Câu 47)
3 2
3 2 3
( );
16 2
xq
a a
V dvtt S
 
 

Câu 22)
3
6
12
a
V 
Câu 49)
3
2 3
3
4 ; ; ( )

12
TP OOAB
a
S a V a V dvtt
 
  

Câu 23)
3
3
12
a
V 
Câu 50)
2
7 3
V r

Câu 24)
3
16
a
V 
Câu 30)
3
1
;cos
2 4
a
V


 
Câu 25)
3
3 3
) ; )
4 6
a a
a b
Câu 31)
3
3
96
a
V 

Câu 26)
3
)
36
a
c
Câu 32)
5
3
a
d 

Câu 27)
3

2 7
) ; )
2 7
a a
a b
Câu 41)
3
3
16
a
V 

Câu 28)
3
3 5
;cos
3 5
a a
V

 
Câu 42)
3
10 3
27
a
V 

Câu 29)
3

3
) ; )
3
a
a a b
Câu 43)
3
3
18
a
V 

Câu 30)
3
1
;cos
2 4
a
V

 
BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP
Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hì n h c h i ếu của S trùng với
trọng tâm tam giác ABD. Mặt bên (SAB) tạ o v ớ i đ á y m ộ t g ó c 6 0
0
. Tín h t heo a thể tích của khối
chóp SABCD và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABD.
25
Câu 2) Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N , I lần lượt là trung
điểm của AA’, AB và BC. Biết góc tạo bởi (C’AI) và (ABC) bằng 60

0
. Tính thể tích khối chóp
NAC’I và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp C’AIB
Câu 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hì n h t h a n g v u ô n g t ại A v à B
aADaBCAB 2;



.Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung điểm
của AD.Tính thể tích khối chóp SCDE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó.
Câu 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hì n h v u ô n g c ạnh bằng a và đường cao là SH với
H thỏa mãn
3
HN HM
 
        
, trong đó M, N là trung điểm AB, CD. Mặt phẳng (SAB) tạo với đáy
A B C D g ó c 6 0
0
. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAC) và xác định thể tích khối cầu ngoại
tiếp hì n h c h ó p S A B C D
Câu 5) Cho hình ch ó p S A B C D c ó đ á y A B C D l à h ì n h c h ữ nhật cạnh
; 2
AB a AD a
 
góc
giữa hai mặt phẳng (SAC) và ABCD bằng 60
0
. Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên SAB
l à t a m g i á c c â n t ại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp

SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC
Câu 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hì n h t h a n g v u ô n g t ại A, B có
; 2
AB BC a AD a
  
, SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,
SB tạ o v ớ i ( S A C ) g ó c 6 0
0
. G ọi O là giao điểm AC và BD. Giả sử mặt phẳng (P) qua O song
song với SC cắt SA ở M. Tính thể tích khối chóp MBCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại
tiếp khối chóp SACD
Câu 7) Cho tứ diện ABCD có AB=2a;
0
ˆ
( ) ; ; 120 .
AB BCD CB CD a BCD   
Gọi M là trung
điểm của AB.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ACD) và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp
tứ d i ệ n A B C D
Câu 8) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của BC, lấy điểm D đối
x ứng với A qua M. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại D l ấy điểm S sao
cho
6
2
a
SD 
. Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (SAC). Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SAB) và xác định tâm
b á n k í n h m ặt cầu ngoại tiếp khối chóp NBCD
Câu 9) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a,

3
a
DA DB 
, CD vuông góc với
A D . T r ê n c ạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho
0
ˆ
90
AEB 
.Tính góc tạ o b ở i m ặ t p h ẳ n g ( A B C ) v à
m ặt phẳng (ABD).Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE.
Câu 10) Cho hình chóp SABCD có đáy l à h ì n h v u ô n g c ạnh 2 a . M ặt bên (SAB) vuông góc với
đáy ( A B C D ) . B i ết
aSAaSB  ;3
. Gọi M , N l ần l ượt là trung đi ểm c ủa AB, AD, O là giao
đi ểm A C v à D B . T í n h t h e o a t h ể tích khối c h ó p S A M B N v à x á c định t â m b á n k í n h m ặi c ầu ngoại
tiếp khối c h ó p S A M O N