SỐ PHỨC LUYỆN THI đại học

SỐ PHỨC

Chuyên đề SỐ PHỨC luyện thi TNPT - Đại học 2013
Hàng Bá Hữu
Student at: Faculty of Geology and Petroleum
Ho Chi Minh City University of Technology
01672512603
42
2
2
2
2
20
20
11
22
zz
tz
tt
zz
z z i
  

  

   

    


Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của:

1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
   


33
55
(3 )(3 ) 10
ii
z i i
ii

     

Suy ra số phức liên hợp của z là:
53 9
10 10
zi
Ví dụ 3: Tìm mô đun của số phức
(1 )(2 )
12
ii
z
i




2
1 26
1
55
z

  


51
1
55
i
zi

  
Tìm các số thực x, y thoả mãn:
3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x –
y)i
3 2 1
5
x y y
x x y
  




1

7
4
7
x
y









Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

Ví
dụ 5: Tính:

i
105
+ i
23
+ i
20
– i
34

Ta có: i

2
= -1; i
3
= -i; i
4
= i
3
.i

= 1; i
5
= i; i
6
= -1…
i
105
+ i
23
+ i
20
– i
34
= i
4.26+1
+ i
4.5+3
+ i
4.5
– i
4.8+2

= i – i + 1 + 1 = 2
z = (1+i)
15

(1 + i)
2
= 1 + 2i – 1 = 2i
 (1 + i)
14
= (2i)
7
= 128.i
7
= -128.i


z = (1+i)
15
= (1+i)
14
(1+i) = -128i (1+i)
= -128 (-1 + i) = 128 – 128i.
16 8
11
11
ii
Z
ii


   

   

   
1 (1 )(1 ) 2
1 2 2
i i i i
i
i
  
  

1
1
i
i
i



16 8
11
11
ii
ii

   

   


   
=i
16
+(-i)
8
= 2
Ví
dụ 13: Tìm số phức z thoả mãn hệ:
1
1
3
1
z
zi
zi
zi












1

1
22
z
z
zz

1
1
z
zi



3
1
zi
zi



Giả sử z = x + yi, khi đó
|z-1| = |z-i|  |x+yi-1|=|x+yi-i|
 (x-1)
2
+ y
2
= x
2
+ (y-1)
2

 x=y.
 |z-3i| = |z+i|  |x+yi-3i| = |x+yi+i|
 x
2
+ (y – 3)
2
= x
2
+ (y+1)
2

 y = 1  x = 1.
Vậy số phức phải tìm là z =1+i
22
(1 )
21
1
(1 )( ) 2(1 )
( , ) 1
1
(1 )( ) 2(1 ) 1 2 2 2
2 ( 2) 2 ( 2) ( 2) 2
iz
i
i x yi i
z x yi x y R
i
i x yi i i x yi ix y i
x y i x y x y x y




   
    

             
             
2 2 2 2
2 2 2 2
34
( , ) 3 4
3 (4 )
( 3) (4 )
6 8 25
6 8 25 0
z z i
z x yi x y R x yi x yi i
x yi x i y
x y x y
x y x y x y
xy
  
        
     
     
      
    
3
23
2

zi  
3
( 2) ( 3)
2
x i y    
22
3
( 2) ( 3)
2
xy    
22
9
( 2) ( 3)
4
xy    
3
( , ) 2 3
2
z x yi x y R x yi i       
2 2 2 2
2 2 2 2
1
( , ) 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
2 1 2 1 0:
zi
zi
x yi i

z x yi x y R
x yi i
x i y x i y
x y x y
x y x y
y y y Ox




    

     
     
     
      
4 4 10z i z i   
4 4 10z i z i   
22
1
9 16
xy

Xét hệ thức:
Xét F
1
, F
2
tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức
là F

1
(0;4) và F
2
=(0;-4). Do đó:
(4)  MF
1
+ MF
2
= 10 (M = M(z))
Ta có F
1
F
2
= 8  Tập hợp tất cả các điểm M nằm trên (E)
có hai tiêu điểm là F
1
và F
2
và có độ dài trục lớn bằng 10.
Phương trình của (E) là:
Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| =
3
2
Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
3
2
3
2
9
4

4 9 13
Giả sử z = x + yi, khi đó : |z – 2+3i| =
 |(x-2) +(y+3)i|=
 (x-2)
2
+ (y+3)
2
=
 Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là
đường tròn tâm I(2;-3) và bán kính 3/2.
Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi
và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất
M trùng với M
1
là giao
của đường thẳng OI với đường tròn.

Ta có: OI =
Kẻ M
1
H  Ox. Theo định lý Talet ta có:

11
1
3
13
2
3
13
9 6 13 9

13 3 13
22
M H OM
OI
MH



   
6 13 9 78 9 13
26
2 13


3
13
26 3 13
2
2 13
13
OH
OH


  
26 3 13 78 9 13
13 26
z



Vậy số phức cần tìm là:
 M
1
H =
Tìm căn bậc hai cũa số phức
      
    








   

   
    


   

w a bi z a bi i
a b abi i
ab
ab
a b a vn
ab
a b a

ab
2
22
22
2
2
( ) 4
24
0
24
* 2 4( )
22
* 2 4
22
.
zi4
          
       



     

  


     
  



    

i i i i i
w a bi a bi
ab
a b abi i
ab b
a
a a a
a
ab
a
ab
al
2
2
22
22
2 4 2
2
2
2
(2 3 ) 4. 2 3 4 4 3 3 8 3 1 4 3
()
1
2 1 4 3
23
2 4 3
12
1 12 0

23
4
23
3( )
   z i z i
2
(2 3) 2 3 0
  

  
  
  
ii
z
wi
ii
zi
2 3 2 3
2
2
* 2 3
2 3 2 3
3
2
 
  
  
      
  


ii
zi
w i S i
ii
z
2 3 2 3
3
2
* 2 3 3 ;2
2 3 2 3
2
2
Ví
dụ 21: Giải phương trình:
z
4
– 4z
3
+7z
2
– 16z + 12 = 0 (1)
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0
nên (1) có nghiệm z = 1.
(1)  (z – 1)(z
3
– 3z
2
+ 4z – 12) = 0
 (z – 1) (z – 3) (z
2

+ 4) = 0
2
1
1
3
3
2
40
2
z
z
z
z
zi
z
zi



















Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Ví
dụ 22: Giải phương trình:

(z
2
+ z)
2
+ 4(z
2
+ z) -12 = 0
Đặt t = z
2
+ z, khi đó phương trình đã cho có dạng:
t
2
+ 4t – 12 = 0 
2
2
1 23
2
6 6 0
1 23
2
20
2

1
2
i
z
t z z
i
z
t
zz
z
z






    









  









Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
33
w 3(1 ) (1)
w 9( 1 ) (2)
zi
zi
  


   

55
5
1
i
zw i
i

  

w 3(1 )
.w 5
zi
zi

  




2
12
ti
ti





Từ (2) ta có: (z + w)
3
– 3zw(z + w) = 9(-1+i) (3)
Thay (1) vào (3) ta được: 27(1+i)
3
– 9zw(1+i) = 9 (-1+i)
 3(1+3i+3i
2
+i
3
) – zw(1+i) = -1 + i
Vậy ta có hệ phương trình:
 z, w là các nghiệm của phương trình: t
2
-3(1+i) + 5i = 0 (4)
Ta có:  = -2i = (1 – i)

2

 Phương trình (4) có hai nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (z;w) là (2+i; 1+2i) và (1+2i;2+i)
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
1 (1)
1 (2)
1 (3)
z z z
z z z z z z
z z z
  


  




Ta có z
1
, z
2
, z
3
là các nghiệm của phương trình:
(z – z
1

)(z – z
2
)(z-z
3
) = 0
 z
3
– (z
1
+z
2
+z
3
)z
2

+(z
1
z
2
+z
2
z
3
+

z
3
z
1

)z - z
1
z
2
z
3
= 0
 z
3

– z
2
+ z – 1 = 0  z = 1 và z = ±i
2
5( )
2 ( 1)
1
5( ) (2 )( 1) 5( ) (2 )( 1)
5 (5 5 ) 2 2 2
5 (5 5 ) 2 2 (2 1)
5 2 2 1
5 5 2 1 1
zi
iz
z
z a bi z a bi
z i i z a bi i i a bi
a i b a bi ai bi i
a i b a b i b a
a a b a

b b a b

   

    
          
        
        
   



    
