Khai thác và ứng dụng của một bất đẳng thức trong giải toán

khai thác và ứng dụng một bất đẳng thức trong giải toán.

Bất đẳng thức xuất phát: Cho a,b là hai số thực và x,y là hai số d-ơng chứng minh rằng:

2 2 2
()
(*)
a b a b
x y x y




* Chứng minh:
Bất đẳng thức (*) t-ơng đ-ơng với

2 2 2
2 2 2 2
2
( ) ( ) ( )
2
( ) 0
a y x y b x x y a b xy
a y b x abxy
ay bx




Bất đẳng thức sau cùng hiển nhiên đúng.Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi:

ab
xy


Bất đẳng thức kéo theo từ (*):
áp dụng bất đằng thức (1) hai lần ta nhân đ-ợc bất đẳng thức:

2 2 2 2
()a b c a b c
x y z x y z



(1) với ba số a,b,c bất kì và ba số d-ơng x,y,x.
Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi :
a b c
x y z


Tổng quát áp dụng bất đằng thức (1) liên tục ta đ-ợc bất đằng thức:

22
22
12
12
11
1 2 1 2
( )
(2) ; , , ; , , 0

nn
nn
nn
a a a a
aa
a a x x
x x x x x x




Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi:
12
12

n
n
a
aa
x x x


1.Các tr-ờng hợp đặc biệt: :
1.1 Đặc biệt 1:
+ Khi x=y=1 thì (*) trở thành bất đẳng thức quen thuộc
2
22
()
2
ab

ab


(3)
+ Khi x = y = z =1 thì (1) trở thành :
2
2 2 2
()
3
abc
abc


(4)

+ Khi
12
1
n
x x x
ta có :
2
2 2 2
12
12
( )

n
n
a a a

a a a
n


(5)
* Chứng minh :
áp dụng BĐT (2) ta có:

2 2 2
22
1 2 1 2
12
( ) ( )

1 1 1 1 1 1
n n n
a a a a a a a
aa
n




Một số bài toán ứng dụng các bất đẳng thức trên:
Bài toán 1: Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng:
2
1
22
ba
;

8
1
44
ba
;
128
1
88
ba

* Giải : áp dụng bất đẳng thức (3) và giả thiết a + b = 1 ta có:
2
1
2
)(
2
22



ba
ba
;
8
1
2
)
2
1
(

2
)(
2
222
44



ba
ba

128
1
2
)
8
1
(
2
)(
2
244
88



ba
ba
.Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2.
* Khai thác bài toán

Nhận xét 1:Nếu tiếp tục áp dụng bđt (3) và tăng số mũ của biến ta thu đ-ợc các kết quả nh-:


2
1
2
)
128
1
(
2
)(
15
2
288
1616



ba
ba

Tổng quát ta có bài toán sau:
Bài toán 1.1: Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng:
12
2
1
22

n
n
b
n
a

* Giải bài toán 1.1: áp dụng ph-ơng pháp quy nạp toán học và làm t-ơng tự bài toán 1.

Nhận xét 2:Tiếp tục khái quát bài toán 1.1 khi thay giả thiết a + b = 1 bởi giả thiết a + b =k , làm t-ơng tự nh- trên
ta có :
12
2
22


n
n
k
n
b
n
a

Vậy có bài toán 1.2 nh- sau:
Bài toán 1.2: Cho a + b = k . Chứng minh:
2
22
21
2
k

n
nn
ab
n




* Khai thác sâu bài toán
Nhận xét 3: Nếu áp dụng bất đẳng thức (3) liên tiếp hai lần ta có kết quả:


3
4
2
2
222
44
2
2
2
2
)( ba
ba
ba
ba

Tổng quát ta có bài toán sau:
Bài toán 1.3: Chứng minh :
a)

3
4
44
2
ba
ba



b)

12
2
2
22

n
n
ba
n
b
n
a

* Giải:
Ta sử dụng BĐT (3) và dùng ph-ơng pháp quy nạp để chứng minh.
Nhận xét 4: Nếu áp dụng bất đẳng thức (3) liên tiếp nhiều lần và tăng số biến ta có:


22
22
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4
44
44
3 2 3
22
( ) ( )
22
( ) ( )
8 8.2 (2 )
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d a b c d

a b c d












* Khai thác sâu bài toán
Nếu tiếp tục nâng số mũ lên cao hơn theo cách khai thác của bài toán 1.3 và áp dụng BĐT (5) liên tiếp ta thu đ-ợc
kết quả tổng quát hơn nữa chẳng hạn:
Bài toán 1.4: Chứng minh:
4
4 4 4
12
12
3
2
( )
a)
(2 )
n
n
n
a a a

a a a


với
*
Nn

2
8 8 8
12
12
7
2
( )
b)
(2 )
n
n
n
n
a a a
a a a


với
*
Nn


2

2 2 2
12
12
2
21
( )
)
(2 )
n
n n n
n
n
n
n
a a a
c a a a



với
*
Nn

* Giải :
áp dụng BĐT (5) cho 2
n
và sử dụng ph-ơng pháp quy nạp.

Bài toán 2: Cho
1 2 3 4

4a a a a
. Chứng minh rằng:
2222
1 2 3 4
4aaaa


*Giải :
áp dụng (5) cho bốn số ta có:
22
2 2 2
2222
3 1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
()
4
1 1 1 1 4
a a a a a
a a a
aaaa



Dấu (=) xảy ra khi:
1 2 3 4
1a a a a

Tồng quát ta đ-ợc bài toán sau:
Bài toán 2.1: Cho

12

n
a a a k
.Chứng minh rằng :
2
2 2 2
12

n
k
a a a
n


* Giải :
áp dụng BĐT (5) và sử dụng giả thiết
12

n
a a a k
ta có điều phải chứng minh.
* Khai thác sâu bài toán
Từ bài toán 1.4 và theo cách khai thác bài toán 2.1 ta có bài toán sau:
Bài toán 2.2: Chứng minh rằng
a)

3
4
321

44
2
4
1


n
aaaa
aaa
n
n


với
*
Nn

b)

7
8
321
88
2
8
1


n
aaaa

aaa
n
n


với
*
Nn

2
2 2 2
12
12
21
( )
)
m
m m m
m
n
n
a a a
c a a a
n



với
,*m n N

* Giải :
Với m = 1 thì ( c) trở thành BĐT (5) (đúng)
Giả sử (c) đúng với m = k nghĩa là :

2
2 2 2
12
12
21
( )

k
k k k
k
n
n
a a a
a a a
n




Ta phải chứng minh đúng với m = k+1 .Thật vậy ta có:

1 1 1
1
1
2 2 2 2
2 2 2

12
12
2
22
1 2 1 2
2 1 2 1
( )

( ) ( )
1
k k k
k k k
kk
kk
n
n
nn
a a a
a a a
n
a a a a a a
n
nn

Vậy BĐT (c) đ-ợc chứng minh.
Khi có thêm giả thiết
12

n
a a a k
ta có bài toán sau:


Bài toán 2.3: Cho
12

n
a a a k
. Chứng minh rằng:

2
2 2 2
12
21

m
m m m
m

n
k
a a a
n



1.2.Đặc biệt 2:
+ Khi
| | | | 1ab
thức (*) tr th nh :
2
1 1 2
x y x y


(6)
+ Khi
| | | | | | 1abc
thì (1) trở thành
2
1 1 1 3
(7)
x y z x y z



+ Khi
12
| | | | | | 1

n
a a a
thì (3) trở thành:

2
1
1 2 1 2
1 1 1
, , , 0 (8)

n
nn
n
xx
x x x x x x



Một số bài toán ứng dụng các bất đẳng thức trên:
Bài toán 4: Cho ba số d-ơng x,y,z thoã mãn:
1 1 1
4
x y z

.Chứng minh rằng:

111
1
2 2 2x y z x y z x y z

(Đề thi đại học khối A năm 2005)
*Giải:
áp dụng BĐT (6 ) ta có:

2 1 1 1 1 1 1 4 4 16
2
1 2 1 1 1 1 1 4 4 16
2
1 1 2 1 1 1 1 4 4 16
2
16 16 16 1 1 1
4( ) 16
2 2 2
111
1
2 2 2
x y z x y x z x y x z x y z
x y z x y y z x y y z x y z
x y z x z y z x z y z x y z
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z

Dấu (=) xảy ra khi x =y = z=3/4
Hoặc ta có thể áp dụng BDT (8 ) cho bốn số.
* Khai thác sâu bài toán

Nhận xét1:Ta thay giả thiết bài toán 4 thành cho ba số d-ơng x,y,z thoã mãn:
1 1 1
k
x y z

.Và tổng quát hoá
bài toán lên ta có bài toán sau:
Bài toán 4.1: Cho ba số d-ơng x,y,z thoã mãn
1 1 1
k
x y z

và ba số
*
,,a b c N
chứng minh rằng:
111k
ax by cz cx ay bz bx cy az a b c



*Giải:

áp dụng bất đẳng thức (7) cho (a+b+c) số ta có:

2
2
22
( ) 1 1
()
()
1 1 1 1
( ), ( )
( ) ( )
111
a b c a b c a b c
ax by cz x y z ax by cz a b c x y z
c a b b c a
cx ay bz a b c x y z bx cy az a b c x y z
k
ax by cz cx ay bz bx cy az a b c








Nhận xét2: Nếu vẫn là bài toán 4.1 chỉ thay giả thiết
1 1 1
k
x y z

bằng giả thiết
x y z k
ta có bài toán sau:
Bài toán 4.2: : Cho ba số d-ơng x,y,z thoã mãn
x y z k
và ba số
*
,,a b c N
chứng minh rằng:
1 1 1 9
()ax by cz cx ay bz bx cy az k a b c



* Giải:
áp dụng BĐT (7) cho ba số
1 1 1 9
99
( )( ) ( )
ax by cz cx ay bz bx cy az ax by cz cx ay bz bx cy az
a b c x y z k a b c





2.Tổng quát:
Sau đây là một số bài toán chứng minh bằng câch áp dụng bất đẳng thức trên ở dạng tổng quát.
Bài toán 5: Cho ba số d-ơng x,y,z chứng minh rằng:

3
2
xyz
y z z x x y



( Bất đẳng thức Nesbitt)
* Giải:
Ta có :
2 2 2 2
()
2( )
x y z x y z x y z
y z z x x y xy xz yz yx xz yz xy yz xz





Vì thế ta chỉ cần chứng minh BDT :

2
2 2 2
( ) 3
( ) ( ) ( ) 0
2( ) 2
x y z
x y y z z x

xy yz xz



(luôn đúng)
Dấu (=) xảy ra khi x = y = z.
Tổng quát hoá bài toán trên ta đ-ợc bài toán sau:

Bài toán 5.1: Cho các số d-ơng x,y,z a, b .Chứng minh rằng:

3xyz
ay bz az bx ax by a b



( Với a = p = 1 ta trở về bài toán trên).
* Giải:
Ta có :
2 2 2 2
()
( )( )
x y z x y z x y z
y z az bx ax by axy bxz ayz byx axz byz a b xy yz xz




Vì thế ta chỉ cần chứng minh BDT :

2

2 2 2
( ) 3
( ) ( ) ( ) 0
( )( )
x y z
x y y z z x
a b xy yz xz a b



(luôn đúng)
Dấu (=) xảy ra khi x = y = z
Khai thác sâu bài toán
Nhận xét 1: Theo cách khai thác bài toán 5 nếu ta tăng số biến lên ta có bài toán sau:

Bài toán 5.2: Cho các số d-ơng
12
, , ,
n
x x x
.Chứng minh rằng:

12
2 3 3 1 1 2 1

1
n
n n n
x
xx

n
x x x x x x x x x n




* Gải:
áp dụng BDT (2) và chứng minh t-ơng tự nh- bài toán 5
Nhận xét 2: Theo cách khai thác bài toán 5.1 và bài toán 5.2 ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 5.3: Cho các số d-ơng
1 2 1 2 1
, , , , , , ,
nn
x x x a a a

. Chứng minh rằng:
12
1 2 2 3 1 1 3 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2


n
n n n n n n n n
x
xx
n
a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a a

*Giải: áp dụng BDT (2) và chứng minh t-ơng tự bài toán 5.1
Nhận xét 3:Vẫn giả thiết nh- bài toán 5.3 nh-ng thêm điều kiện
12

n
a a a k
ta có kết quả bài toán mới
t-ơng đối đẹp.

Bài toán 5.4: Cho các số d-ơng
1 2 1 2 1
, , , , , , ,
nn
x x x a a a

và
12

n
a a a k
.Chứng minh rằng:
12
1 2 2 3 1 1 3 2 1 1 1 1 2 2 1 1


n
n n n n n n n
x
xx
n

a x a x a x a x a x a x a x a x a x k




Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho ba số d-ơng x,y,z chứng minh rằng

2 2 2 9
y z z x x y x y z



Bài 2: Cho ba số d-ơng x,y,z chứng minh rằng
a,
1
2 3 2 3 2 3 2
x y z
x y z y z x z x y



b,
2 2 2
3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
x y z
x y x z y x y z z y z x

Bài 3: Cho ba số d-ơng x,y,z thoã mãn 3(xy +yz+zx) = 1.Chứng minh rằng:

2 2 2
1
1 1 1
x y z
x yz y xz z yx x y z



Bài 4: Cho ba số d-ơng x,y,z thoã mãn xyz =1 .Chứng minh rằng:

3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2x y z y z x z x y



Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2010
12
2 3 2010 3 2010 1 1 2 2009
)
2 2009 2008 2009 2 2009
x
xx
aP
x x x x x x x x x

1 2 2010
( , , , 0)x x x

2048 2048 2048
1 2 2010
) b Q a a a
biết
1 2 2010
2010a a a