Đề và Đáp án khối B+ D lần 2 Năm học 2010-2011

TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN ; Khối B - D
Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian phát đề
I .PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
1
12
−
−
=
x
x
y

1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M vuông góc với đường thẳng IM
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
x
x
x
sin
2cos3
2cot4
+
=−
2. Giải hệ phương trình:






−−=+
=++−
1)24(log1log
136
32
8
2
2
2
yx
yxxyx
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
.
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp
.S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt phẳng

( ),ABCD SA a
=
. Đáy
ABCD
là hình bình hành
có
O
ABCbBCbAB 60,2, =∠==
. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
,BC SD
. Chứng minh
//( )MN SAB
và tính thể tích của khối tứ diện
AMNC
theo
, .a b
Câu V (1 điểm)
Cho
0,0 ≥≥ yx

1=+ yx
Tìm GTLN, GTNN của
11
+
+
+
=
x
y
y

x
P
I- PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a
1. Trong hệ trục toạ độ
Oxy
cho tam giác ABC có
( 2;3)C
−
. Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A và đường
phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là:
3 2 25 0, 0x y x y− − = − =
. Hãy viết phương trình đường
thẳng chứa cạnh AC của tam giác.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 6 4 11 0S x y z x y z+ + − + − − =
và điểm
( 1; 2;3)I − −
. Chứng minh điểm I nằm bên trong mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua
điểm I đồng thời mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I.
Câu VII.a Biết tổng các hệ số trong khai triển
n
x)21(
+
bằng 6561 tìm hệ số của
4
x
B.Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b
1. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết CD có phương trình
4 3 4 0x y− + =
. Điểm
(2;3)M

thuộc cạnh BC,
(1;1)N
thuộc cạnh AB. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AD.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường tròn (C) có tâm
(1; 2;3)K −
, nằm trên mặt phẳng
( ): 3 2 2 5 0P x y z+ + − =
, và đi qua điểm
(3;1; 3)M −
. Viết phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn (C)
và có tâm thuộc mặt phẳng
( ) : 5 0Q x y z+ + + =
.
Câu VII.b Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Niu tơn của
12
)
1
(
x
x
+


Hết

ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Thang điểm
I 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
• TXĐ:
{ }
1/RD =
• Sự biến thiên:
2
,
)1(
1
−
−
=
x
y
hàm số nghịch biến trên D
•
+∞=
+
→
1x
Limy

−∞=
−
→1x
Limy
Đồ thị nhận đt x = 1 làm tiệm cận đứng
•

2=
+∞→x
Limy

2=
−∞→x
Limy
Đồ thị nhận đt y = 2 làm tiệm cận ngang
• Bảng biến thiên:
x 1
y' - -
y 2
∞+


∞−
2
Đồ Thị :

4
2
-2
-4
-5
5
h
x
( )
=
2

⋅
x-1
x-1
g
y
( )
= 1
f
x
( )
= 2
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc IM
Gọi
);(
00
yxM
)(C∈
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là :
2
0
,
)1(
1
)(
−
−

=
x
xf
Hệ số góc của đường thẳng IM là k
2
0
)1(
1
−
=
x
Theo bài ra ta có :
2
0
)1(
1
−x
2
0
)1(
1
−x
= 1



=
=
⇔
2

0
0
0
x
x

⇒



=
=
3
1
0
0
y
y
0,25
0,25
0,25
0,25
II 1 Giải phương trình với
ĐK:.
0sin ≠x

Phương trình cho





+=
=
⇔



=+
−=−
⇔
=−++−⇔
−++=−++⇔
+=−⇔
π
π
π
2
2
3
)(2
3cossin
1cossin
0)3sin)(cossincos1(
)sin)(cossin(cos3)sin(cos3)sin(cos
2cos3sin2cos4
kx
Lkx
VNxx
xx
xxxx

xxxxxxxx
xxx
Vậy phương trình cho có nghiệm là
π
π
2
2
3
kx +=
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Giải hệ phương trình: Đk
22 <<− y
Hệ





=+
=++−
⇔
1
136
22
2
yx

yxxyx




=+
=−+−
⇔
1
0)12)(13(
22
yx
yxx

⇔












=+
+=






=+
=
1
12
1
3
1
22
22
yx
xy
yx
x
Nghiệm của hệ là
)
3
22
;
2
1
(
;
)
3
22
;

2
1
( −
;
)
5
3
;
5
4
( −−
; (0;1)
0,25
0,5
0,25
III
Tính tích phân I =
∫
2
0
2
cos
π
xdxx

∫
+=
2
0
)2cos1(

2
1
π
dxxx
=
∫
2
0
2
1
π
xdx
+
∫
2
0
2cos
2
1
π
xdxx
0,25
Đặt



=
=
xdxdv
xu

2cos






=
=
⇒
xdxv
dxdu
2sin
2
1
,
J=
0
2
2cos
8
1
0
2
2sin
4
1
2sin
4
1

0
2
2sin
4
1
2cos
2
1
2
0
2
0
πππ
ππ
xxxxdxxxxdxx +=−=
∫∫
I =
16
4
0
2
2cos
8
1
0
2
2sin
4
1
0

2
4
1
2
2
−
=++
π
πππ
xxxx
0,25
0,25
0,25
IV
Cho hình chóp
.S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
( ),ABCD SA a
=
. Đáy
ABCD
là hình bình hành có
·
0
, 2 , 60AB b BC b ABC= = =
. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm
của các cạnh
,BC SD

. Chứng minh
( )MN SABP
và tính thể tích của khối tứ diện
AMNC
theo a, b.
H
N
M
S
C
D
B
A
+) Gọi H là trung điểm của AD.
Khi đó
/ /
( ) / /( ) / /( )
/ /
HM AB
MNP SAB MN SAB
HN AS

⇒ ⇒


+) Có
,NH AD H AD⊥ ∈
.
Khi đó
22

1 a
SANH ==
Mặt khác dễ thấy
ABM∆
đều cạnh b. Do M là trung điểm BC nên
0,25
0.25
2
3
( ) ( )
4
a
dt MAC dt ABM∆ = ∆ =
Vậy thể tích của khối tứ diện AMCN là V với
2 2
1 1 3 3
. . ( ) .
3 3 2 4 24
a b ab
V NH dt MAC= ∆ = =
(đvtt).
0,25
0,25
V
Ta có :
xy
xy
xy
xyyx
P

+
−
=
+
+−+
=
2
22
2
12)(
2
0,25
Đặt t=xy (t
0≥
) thì P=f(t)=
t
t
+
−
2
22
. Do 1=x+y
4
1
0
4
1
2 ≤≤⇒≤⇒≥ txyxy
.
Ta có :







∈∀≤
+
−
=
4
1
;00
)2(
6
)(
2
'
t
t
tf







⇒
4

1
;0/)( NBtf

Max P = f(0) = 1 khi x =0 ,y = 1 hoặc x = 1, y =0
Min P = f(
4
1
) =
3
2
khi x = y =
2
1
0,25
0,25
0,25
VIa 1
Trong hệ trục toạ độ
Oxy
cho tam giác ABC có
( 2;3)C
−
. Đường cao của tam giác kẻ từ
đỉnh A và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là:
3 2 25 0, 0x y x y− − = − =
. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam
giác.
Gọi đường cao kẻ từ A là AH:
3 2 25 0x y− − =
Đường phân giác trong góc B là BE:

0x y− =
BC có phương trình :
2 3 5 0x y+ − =
Toạ độ B là nghiệm của hệ
2 3 5 0 1
(1;1)
0 1
x y x
B
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒
 
− = =
 
Gọi F là điểm đối xứng của C qua BE. Do BE là phân giác nên F thuộc AB.
Xác định toạ độ F được F(3; -2).
Đường thẳng chứa cạnh AB là đường thẳng đi qua B, F.
Phương trình AB là: 3x + 2y -5 = 0.
Toạ độ A là nghiệm của hệ
3 2 5 0 5
(5; 5)
3 2 25 0 5
x y x
A
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒ −

 
− − = = −
 
Vậy phương trình AC là: 8x + 7y - 5 = 0
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 6 4 11 0S x y z x y z+ + − + − − =
và điểm
( 1; 2;3)I − −
. Chứng minh điểm I nằm
bên trong mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm I đồng thời mặt
phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I.
Mặt cầu (S) có tâm J(1; -3; 2) bán kính R = 5.
Ta có
2 2 2
2 1 ( 1) 6IJ R= + + − = <
. Chứng tỏ I nằm bên trong hình cầu (S).
Mặt phẳng (P) thoả mãn ĐK của bài toán sẽ đi qua I và vuông góc với IJ.
Mp(P) có vectơ pháp tuyến
(2; 1; 1)n IJ= = − −
r uur
.
Vậy phương trình của mp(P) là: 2x – y – z + 3 = 0
0,25
0,5
0,25

VIIa Tìm hệ số của x
4
Ta có :
nn
nnn
n
xCxCCx )2( 2)21(
10
+++=+
Tổng hệ số : S =
nn
nnn
CCC 2 2
10
+++
Mà
nn
nnn
n
xCxCCx +++=+ )1(
10
Chọn x =2 ta có
kkkn
n
xCxxðóKhi
nS
2)21()21(
865613
8
8

∑
=+=+
=⇒==
K= 4 hệ số của x
4
là
11202
4
8
4
=C

0,25
0,25
0,25
0,25
VIb 1 Lập pt cạnh AD
A
B
D
C
N
M
:3 4 0AD CD AD x y C⊥ ⇒ + + =
ABCD
là hình vuông nên
( , ) ( , )d M AD d N CD=
tức là
| 6 12 | | 4 3 4 |
13; 23.

5 5
C
C
+ + − +
= ⇒ = − −
ĐS: PT
:3 4 13 0;3 4 23 0AD x y x y+ − = + − =
0,25
0,25
0,5
2 Viết pt mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc (Q).
+ Tâm I của mặt cầu thuộc đt d qua K và vuông góc với (P).
+ Ptts của d là:
1 3
2 2
3 2
x t
y t
z t
= +


= − +


= +

+ Mặt khác:
( ) 1 3 2 2 3 2 5 0
1 ( 2; 4;1)

I Q t t t
t I
∈ ⇒ + − + + + + =
⇒ = − ⇒ − −
+ Bán kính mặt cầu:
( ) ( ) ( )
2 2 2
66 ( ) : 2 4 1 66R IM pt S x y z= = ⇒ + + + + − =
0,25
0,25
0,5
VIIb Tìm hệ số không chứa x
Ta có :
k
k
kk
k
kk
xCC
x
xC
x
x
−
==
−
∑ ∑∑
==+
12
12

0
12
12
0
12
12
12
)
1
()
1
(
Hệ số của số hạng không chứa x là : 12-2k = 0
⇔
k = 6
Vậy số hạng không chứa x là :
6
12
C
0,5
0,5
K
M
I