Chủ đề: SỐ PHỨC

Chun
đề
S
Ố
PH
ỨC

Luyện thi Đại học 2011


“Chỉ sợ những ai khơng chịu cố gắng
! Còn các em?”
CHUN ĐỀ:


S
Ố PHỨC




Chủ đề:

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN

I-
LÝ THUYẾT:

1/ Tập hợp số phức:
*
N N Z Q R CÌ Ì Ì Ì Ì

2/ Số phức (dạng đại số):
2
( ) : phÇn thùc
: víi ( ) : phÇn ¶o
: §¬n vi ¶o: 1
Ỵ
ì
ï
" Ỵ = + Ỵ
í
ï
= -
ỵ

 
a
z z a bi b
i i


Nhận xét:
+
lµ sè thùc khi 0 : = = Ỵz b z a

+
lµ sè thn ¶o khi 0 :
z a z bi= =

3/ Hai số phức bằng nhau:

1 1 1 2 2 2
vµ . z a b i z a b i= + = +

1 2
1 2
1 2

a a
z z
b b
=
ì
= Û
í
=
ỵ

4
/ Biểu diễn hình học:
Số phức
z a bi= +
(a, b
)
Ỵ
được biểu diễn bởi điểm

M(a ; b) hay bởi
( ; )
u a b=


trong mp(Oxy) (mp phức)
5
/ Cộng và trừ số phức:

(a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
(a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
)Ỵ

· Số đối của z = a + bi là: – z =
-
a – bi (a, b
)
R
Ỵ

6/ Nhân hai số phức: (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’
)
Ỵ
.

7/
Số phức liên hợp của số phức
z a bi= +
là
z a bi= -

a)
; ' '; . ' . 'z z z z z z z z z z= + = + =

b)

z
là số thực
z zÛ =
; z là số ảo
z zÛ = -

8/
Môđun của số phức:
z a bi
= +

a)
2 2
z a b zz OM= + = =


b)
00,0
=
Û
=
Ỵ"
³
zz
C
zz

9/ Chia hai số phức:
1 1 1 2 2 2
vµ . z a b i z a b i= + = +

Lúc
đó
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2
a b i a b i a b i a b i
z a b i
z a b i a b i a b i a b
+ - + -
+
= = =
+ + - +

II-

LUY
ỆN TẬP:


1)
Chứng minh rằng:
1 2
, , " Ỵz z z
, ta có:
a) (z
)
0
¹
:

2
1 z
z
z
=

b)
2
.z z z=

c)
1 2 1 2
. .z z z z=

d)

1 1
2 2
z z
z z
=

e)
zz
zz
z
zz
zz
z
z
''
'
'
2
1
===
-

f)
. ' ' , ' ' , 'z z z z z z z z z z= + £ + " Ỵ


M
(
a
;

b
)
b
a
y
x
O

Chuyờn

S

PH
C

Luyn thi i hc 2011


Ch s nhng ai khụng chu c gng
! Cũn cỏc em?
2)
Th
c hin cỏc phộp tớnh sau:

a) (3
5i) + (2 + 4i) b) (11 6i) (2 4i) c) (2 4i)(3 + i)
d) 2i(3 8i) e) (3 + 2i)(1 i) + (3 2i)(1 + i) f)
2 + i
5 3i

g)
4
3i
i

h)
1 + 2i
1 2i
+
1
2i
1 + 2i

k)
(
2 + i)(1 2i)
2 i

+
(
2 i)(1 + 2i)
2 + i

l)
(
2 + i) + (1 + i)(4 3i)
3 + 2i

m)

(
3 i)(1 + 2i)
1 2i
+ 4
3i
4)
Tớnh cỏc biu thc sau:


a)
2 3 4 5 100 1008 2009
, , , , , , i i i i i i i
. T ú suy ra cỏch tớnh i
n
v
i
n ẻ


b) (1 + i)
2
,(1 + i)
3
,(1 + i)
4
,(1 + i)
5
, (1 + i)
2006
, (1 i)

2006

(1 + i)
3
(1 i)
4

c
)
5 + i
(1 + i)(2 3i)



d)
33
1
1
i
i
+
ổ ử
ỗ ữ
-
ố ứ
+ (1 i)
10
+ (2 + 3i)(2
3i) +
1

i
e)
cos
2p
3
+ i.sin
2p
3
5
(cos
7
p
6
+ i.sin
7
p
6
)

ố
ỗ
ổ
ứ
ữ
ử
cos
p
3
+ i.sin
p

3
( 4i)
5) Phân tích ra thừa số phức
a/
2
1a +
b/
2
2 3a +
c/
2 2
4 9a b+
d/
2 2
3 5a b+

6) Thực hiện các phép tính
a/
(
)
3 cos120 sin120
o o
i
+
(cos45 sin 45 )
o o
i+

b/
(

)
2 cos18 sin18
o o
i
+
(cos72 sin 72 )
o o
i+

c/
5 cos sin 3 cos sin
6 6 4 4
p p p p
ổ ử ổ ử
+ +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
i i
d)
cos85 sin85
cos40 sin 40
i
i
+
+



e/
2 2

2 cos sin
3 3
2 cos sin
2 2
p p
p p
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
i
i

f/
(
)
(
)
2 cos 45 sin 45
3 cos15 sin15
+
+


i
i

g/
(
)
7
5
cos sin . 1 3
3 3
p p
ổ ử
- +
ỗ ữ
ố ứ
i i i
h/
2008
2008
1
z
z
+
biết
1
1z
z
+ =

7)Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
z
thoả mãn mỗi điều
kiện sau:

a) Ph
n
th
c
b
ng

i
ph
n

o
b)
1 1z + <
c)
1 2z i< - <

d) Ph
n

o
b
ng
2 l
n
ph
n
th
c
c

ng
1 e)
2 1 2 3iz z- = +
f) Ph
n
th
c
b
ng
ph
n

o

g)
2 2 2 1i z z- = -
h) T
ng
c
ỏc bỡnh ph

ng c
a
ph
n
th
c
v
ph
n

o
b
ng
1, p
h
n

th
c
0


k)
Ph
n
th
c
khụng v
t
quỏ ph
n

o
l) Ph
n

o
l
n

h

n 1 m) Ph
n

o
1<
, ph
n
th
c
1>

1/
| 3| 4z z+ + =
2/
| 1 | 2z z i- + - =
3/
2 | | | 2 |z i z z i- = - +
4/
(
)
2
2
| | 4z z- =

5/
| 2 | | |z i z+ = -
6/
| 2 | | 2|z z+ > -

7/
| 4 | | 4 | 10z i z i- + + =
8/
1 | 1 | 2z iÊ + - Ê

8)
Tỡm s

ph
c
z
, bi
t
:


a)
z 2, và z là số thuần ảo=
b)
z 5, phần thực bằng 2 lần phần ảo=

9) T
ỡm s

th
c

,
x y
tho

m
ón

i
u
ki
n
:

a) 2 5 b) ( 1) 3( 1) 5 6
c) (2 3 1) ( 2 ) (3 2 2) (4 3) d) 2 1 (1 2 ) 2 (3 2)
e) 4 3 (3 2) 1 ( 3)
+ = + + + - = -
+ + + - + = - + + - - + + - = - + -
+ + - = + + -
x i yi x y i i
x y x y i x y x y i x y i x y i
x y i y x i
f) 2 (2 ) 2 ( 2 )+ + - = + + +x y x y i x y x y i

Chuyờn

S

PH
C

Luyn thi i hc 2011

Ch s nhng ai khụng chu c gng
! Cũn cỏc em?

Ch :
PH

NG TRèNH GI
I
TRONG T
P



I-
Lí THUYT:


1. Cn b
c hai ca s thc õm:

2
2
Do 1 nên ta nói là một căn bậc hai của
1 và cũng là một căn bậc hai của 1
do ( ) 1
= - - - -
- = -
i i i
i

- = -
2
Tơng tự, căn bậc hai của 5 là 5 do ( 5) 5i i



Tổng quát: Căn bậc hai của số thực âm là: a i a

2.
Phng trỡnh bc
nh
t

vi h s
ph
c
:

= ẻ
= ẻ
Dạng phơng trình: (*) ,
(*)


az b a b
b
z
a

2.
Phng
trỡnh bc hai vi h s thc:







+ + = ẻ ạ
= -
= -
-
>
2
2
0
1,2
Cho phơng trình: 0 (*) với , , , 0.
Xét 4
TH 1: 0, phơng trình (*) có một nghiệm = .
2
TH 2: 0, phơng trình (*) có hai nghiệm =
2

ax bx c a b c a
b ac
b
thực x

a
b
thực x
a


<

TH 3: 0, phơng trình (*) ô nghiệm . Nhng nếu giải (*) trên
tập thì có hai căn bậc hai là: nên (*) có hai nghiệm phức là:


kh ng có thực
i

-
1,2
=
2
b i
x
a

3. M

r
ng
:
Gii phng trỡnh bc hai vi cỏc h s phc

(
)



+ + = ẻ
= - ẻ
= + =
2
2
2
Đặt vấn đề: Cho phơng trình 0 (*) với , , ,
Xét 4
Nếu tìm đợc căn bậc hai của , thì bài toán hoàn toàn đợc giải quyết.
Gọi là một căn bậc hai của . Lú


ax bx c a b c
b ac
z a bi z
-
= ẻ
1,2
c đó: phơng trình (*) có
nghiệm là:
2

b z
x

a

CH í: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phơng tình
bậc hai với hệ số phức.
Thuận: Nếu hai số
1 2
v x x
là hai nghiệm của phơng trình
2
0ax bx c+ + =

v
i
, , , 0
a b c aẻ ạ

thì
1 2
1 2

b
x x
a
c
x x
a
ỡ
+ = -
ù
ù

ớ
ù
=
ù
ợ

Chứng minh:
Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có:
Chuyờn

S

PH
C

Luyn thi i hc 2011


Ch s nhng ai khụng chu c gng
! Cũn cỏc em?

1 2
2 2
1 2
2
2 2
.
2 2 4
b b b
x x

a a a
b b b c
x x
a a a a
- + - -
ổ ử
+ = + = -
ỗ ữ
ố ứ
- + - - -
ổ ử ổ ử
= = =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
d d
d d d


Đảo: Nếu hai số
;
a b
thoả mãn:
v .S P+ = =
a b a b
thì
;
a b
là nghiệm của pt:
2
0x Sx P- + =

.(1)
Chứng minh
:
Ta có:
(
)
(
)
(
)
2
(1) 0 0
x
x x x x
x
=
ộ
- + + = - - =
ờ
=
ở
a
a b ab a b
b

Điều này chứng tỏ
;
a b
là nghiệm của (1).
II-

LUYN TP:

Bi tp
1:
Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a) 5 12 b) 8 6 c) 33 56 d) 3 4
i i i i- + + - - +

Bi tp
2: Gi
i
cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
i
i
z
i
i
+
+-
=
-
+
2
31
1
2
2)

0)
2
1
](3)2[(
=+++-
i
iz
i
z
i
3)
i
zz
422
-=+


4)
0
2
=-
zz

5)
0
2
=+
zz
6)
0

2
2
=
+
zz

7)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ - +
=
- +
8)

2 1 8
z z i- = - -

9)
2 3 1 12
z z i- = -

10)
1
(2 ) 3 0
2
ổ ử
ộ ự

- + + + =
ỗ ữ
ở ỷ
ố ứ
i z i iz
i
11)
2
0
z z+ =

12)
2
0z z+ =

Bi tp

3: Gi
i
c
ỏc h


ph

ng tr
ỡnh sau:
1)
12 5
8 3

4
1
8
z
z i
z
z
ỡ
-
=
ù
-
ù
ớ
-
ù
=
ù
-
ợ

2)
1
1
3
1
z
z i
z i
z i

ỡ
-
=
ù
-
ù
ớ
-
ù
=
ù
+
ợ
3)
1 2
2 2
1 2
. 5 5
5 2
z z i
z z i
= - -
ỡ
ớ
+ = - +
ợ

4)
1 2
2 2

1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = +
ỡ
ớ
+ = -
ợ


2 2
2
4 0
5) 6)
2
1
z i z
u v uv
u v i
z i z
ỡ
- =
ỡ
+ + =
ù
ớ ớ
+ =
- = -

ù
ợ
ợ


Bi t
p
4: Cho
1 2
,z z
là hai nghiệm của phơng trình
(
)
(
)
2
1 2 3 2 1 0
i z i z i+ - + + - =
.
Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
) ) )
z z
a A z z b B z z z z c C
z z
= + = + = +

Bi t
p
5: Gi
i
cỏc ph

ng trỡnh sau trờn

:
2 2 3
1) 3 2 0 2) 1 0 3) 1 0x x x x x+ + = + + = - =

4)
3
3 24 0x - =
5)
4
2 16 0x + =
6)
5
( 2) 1 0x + + =

7)
2
6 34 0z z- + =
8)
052
2
=

++
zz
9)
4 2
3 0z z+ - =

10)
3
8 0z - =

11)
01
3
=+
z

4 2
12) 6 25 0z z- + =




Chuyờn

S

PH
C

Luyn thi i hc 2011

Ch s nhng ai khụng chu c gng
! Cũn cỏc em?
Bi tp
6: Gi
i
cỏc ph

ng trỡnh sau trờn

:
+ + + = + + - =
+ + + + - = + + + + =
- - + + =
2 2
2 2
2
1) (1 ) 5 0
2) 2 4 2 0
3) (1 ) (8 ) 3(5 2 ) 0 4) 2(1 ) 4 2 0
5) 2(2 ) 18 4 0
x i x i x x i
i x i x i x i x i
x i x i + + - =
+ - - + - = + + - =
+ + - + = + =
- =
2
2 4 2

4 2 3
3
6) 4 4 0
7) (1 2 ) (1 5 ) 2( 3) 0 8
) 2 2 2 2 1 0
9) (3 2 2) 4 8 2) 0 10) 0
11) 0
ix x i
i x i x i x ix i
x i x i z i
z i
( )
+
ổ ử
+ + = =
ỗ ữ
-
ố ứ
4
5
12) 2 1 0 13)* 1
z i
x
z i


MT S BI TP CHN LC

1) A- 2009
Gi z

1
v z
2
l 2 nghim phc ca phng trỡnh: z
2
+2z+10=0. Tớnh giỏ tr ca biu
thc A =
ẵz
1
ẵ
2
+ ẵz
2
ẵ
2
2) B- 2009
Tỡm s
phc z tho món :
z (2 i) 10 v z.z 25
- + = =

3) D- 2009
Trong m
t phng ta Oxy, tỡm tp hp im biu din cỏc s phc z tha món
iu kin
z (3 4i) 2- - =
.
4) A- 2010

a) Tỡm phn o ca s phc

z
, bit
(
)
(
)
2
2 1 2 .
z i i= + -

b) C
ho ph
c
z
th
a món:
(
)
3
1 3
1
i
z
i
-
=
-
. Tỡm mụun ca s phc
z iz+
.

5)
B- 2010
Trong m
t phng ta Oxy, tỡm tp hp im biu din s phc
z
tha món
(1 ) .z i i z- = +

6) D- 2010
Tỡm s
phc
z
th
a món:
2z =
v
2
z
l s
thun o.

7) T
t
nghi
p
2008
(
)
(
)

= + + -
2 2
Tính giá trị của biểu thức: 1 3 1 3P i i

8) T
t
nghi
p
2008 L2
- + =
2
Giải phơng trình: 2 2 0 trên tập số phức.x x

9) T
t
nghi

p 2009

- + =
- + =
= +
2
2
2
1) Giải phơng trình: 8z 4 1 0 trên tập số phức.
2) Giải phơng trình: 2z 1 0 trên tập số phức.
3) Cho số phức 3- 2 . Xác định phần thực và phần ảo của số phức:
z
iz

z i z z

10)
Tt nghip 2010

1 2 1 2
1 2 1 2
2
1) Cho số phức 1 2 và 2 3 . Xác định phần t
hực và phần ảo của số phức 2
2) Cho số phức 2 5 và 3 4 . Xác định phần thực và phần ảo của số phức .
3) Giải phơng trình 2 6 5 0 trê
= + = - -
= + = -
+ + =
z i z i z z
z i z i z z
z z
n tập số phức.

11) (THTT/1 /2009) Kí hiệu x
1
, x
2
là hai nghiệm phức của phơng trình bậc hai:
0122
2
=+-
xx
. 8) Tính giá trị các số phức

2
1
1
x
và
2
2
1
x
.
Chuyờn

S

PH
C

Luyn thi i hc 2011


Ch s nhng ai khụng chu c gng
! Cũn cỏc em?
12)
Chng minh
12
1
3
ữ
ữ
ứ

ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
+-
=
i
i
z
l mt s thc.

1
3)
Gi
i phng trỡnh :
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ - +
=
- +

4
3
14) Tìm số phức z thoả mãn: 1
15) Tìm các số thực x, y thoả mãn: ( 1 4 ) (1 2 ) 2 9

16) Tính căn bậc hai của số phức: 15 112
+
ổ ử
=
ỗ ữ
-
ố ứ
- + + + = +
+
z i
z i
x i y i i
i

b/
(
)
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 1 2 1 1
z z z z z z
z z
ổ ử ổ ử
+ + +
ỗ ữ ỗ ữ
+
+
ố ứ ố ứ

v
i

1 2
0; 0z zạ ạ

17) Tỡm giỏ tr

nh

nh
t
c
a

| |
z
n
u

| 2 2 | 1
z i- + =
.

18) Cho bi
t

1
| |z a
z

+ =
. Tỡm s

ph
c
z c
ú mụdun l
n
nh
t
, m
ụ
un nh

nh
t
.

1
9) Tìm các số nguyên x,y sao cho số phức
z x yi= +
thoả mãn
3
18 26z i= +
.

20) Cho hai số phức
1 2
z z
,

thoả mãn
1 2 1 2
1 3
z z z z= = + =;
. Tính
1 2
z z-
.
21) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức
1 3 2i zw = + +( )
biết rằng
số phức z thoả mãn:
1 2z - Ê
.
22)
Tính môđun và xác định phần thực, phần ảo của các số phức sau:

6
1)
3 2
i
z
i
-
=
+

2)
(
)

(
)
2
2
7 3 2z i i= - - -
3)
(
)
3
4 3 1
z i i= - + -