KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN Năm học: 2010-2011 MÔN: TOÁN QN

UBND TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2010-2011
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 ( 2,0 điểm )
a.Rút gọn :
A =
30211−
-
6
B =
7474 −−+
b.Tìm số x nguyên để biểu thức Q =
x 1
x 1
+
-
nhận giá trị nguyên.
Bài 2 ( 1,0 điểm )
Giải trong tập hợp các số tự nhiên hệ phương trình.

x y z 100
1
5x 3y z 100
3
ì
+ + =
ï
ï
ï
í

ï
+ + =
ï
ï
î
Bài 3 ( 1,5điểm )
Cho hàm số
2
2
y x
3
=
, có đồ thị là (P).
a.Gọi M, N là các điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 3.Viết phương trình
đường thẳng MN.
b.Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng MN và tiếp xúc
với (P).
Bài 4 (1,5 điểm )
Cho phương trình : x
2
- 2(m-1)x – m = 0
a.Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1,
x
2
với mọi m.
b.Với m
≠
0, lập phương trình ẩn y thoả mãn.
y

1
= x
1
+
2
1
x
; y
2
= x
2
+
1
1
x

Bài 5 ( 3,0 điểm )
Cho đường tròn (O;R) và I là trung điểm của dây AB.Hai dây bất kỳ MN và EF đi
qua điểm I với EF > MN; MF và EN cắt AB tại C và D.Vẽ dây FG song song AB, kéo dài
IO cắt FG tại K.
a.Chứng minh:
·
·
IFK IGK=
và tứ giác IDNG nội tiếp.
b.Chứng minh: IC = ID.
c.Khi dây AB di động trong đường tròn (O) nhưng độ dài AB = m không đổi thì
điểm I chuyển động trên đường nào ? Vì sao?
Bài 6 ( 1,0 điểm )
Tính hai cạnh b, c của tam giác vuông biết cạnh huyền a = 10cm và bán kính đường

tròn nội tiếp r = 1cm.
======================= Hết =====================
ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2010-2011
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát
đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
I. Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm
phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội
đồng chấm thi.
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
II. Đáp án:
Bài Nội dung Điểm
1
(2đ)
a)
A =
30211−
-
6

=
( )
656
2

−−

=
656 −−
= -
5
0,25
0,25
B=
7474 −−+
=
2
)74(2
2
)74(2 −
−
+

( ) ( )
2
17
2
17
22
−
−
+
=
=
2

2
2
=
b)
Q =
x 1
x 1
+
-
(điều kiện x
1,0 ≠≥ x
)
Q =
2
1
x 1
+
-
Có 1
Z∈
, với x
∈
Z,Q
∈
Z
⇔
2
Z
x 1
Î

-
x 1 U(2) x 1 ( 1; 2)Û - Î Û - Î ± ±
Kết luận x
∈
( 0; 4; 9) thì Q thuộc Z
0,25
0,25
0,25
0,25
025
025
x y z 100
1
5x 3y z 100
3
ì
+ + =
ï
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï
î
x y z 100
15x 9y z 300
ì
+ + =

ï
ï
Û
í
ï
+ + =
ï
î
0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
(1,đ)
Khử z ta được ta được 14x + 8y = 200
⇔
y = 25 -
x
4
7
(1)
x ; y
∈
N (1) cho
x = 0 ; y = 25
x = 4; y = 18
x = 8; y = 11
x =12; y = 4
Do đó, hệ phương trình có tất cả 4 nghiệm
x = 0; y = 25; z = 75
x = 4; y = 18; z = 78
x = 8; y = 11; z = 81

x =12; y = 4; z = 84
0,25
0,25
025
3
(1,5đ)
a) Tìm được N(3; 6); M
)
3
2
;1(−
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và N nên
2
a b
3
3a b 6
ì
ï
ï
- + =
ï
í
ï
ï
+ =
ï
î
Tìm được
4
a ; b 2

3
= =
. Vậy phương trình đường thẳng MN cần tìm là
4
y x 2
3
= +
0,25
0,25
0,25
b) Phương trình đường thẳng (d) có dạng ; y =
4
x b
3
+
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là;
2
2
x
3
=
4
x b
3
+
⇔
2x
2
– 4x – 3b = 0
Lý luận tìm được b =

3
2−
Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là
4 2
y x
3 3
= -
0,25
0,25
0,25
a)
x
2
- 2(m-1)x – m = 0
( )
2
/ 2 2
2
m 1 m m 2m 1 m m m 1
1 3
m 0
2 4
D = - + = - + + = - +
æ ö
÷
ç
= - + >
÷
ç
÷

ç
è ø
Vậy phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1,
x
2
với mọi m

b)
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(1,5đ)
5
(3đ)
1 2 1 2
1 2
2 2 1 1
x x 1 x x 11 m 1 m
y ; y
x x x x
+ +- -
= = = =
Tính
( )
( )
2
1 2

2
1 2
1 m
y y
m
2 1 m
y y
m
-
=
-
-
+ =
Vậy y
1
, y
2
là 2 nghiệm của phương trình
my
2
- 2( 1 – m )
2
y - ( 1 – m )
2
= 0
0,25
0,25
Hình vẽ
0,5
a) *

I là trung điểm của dây AB nên OI
⊥
AB
mà FK // AB nên IK
⊥
FG
ta có OK
⊥
FG nên K là trung điểm của dây cung FG
∆IFG có IK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên
∆IFG cân tại I do đó
·
·
IFK IGK =

**
Có AB // FG nên
·
·
DIG IGF =
( so le trong)
mà
·
·
IGF IFG =
( C/m trên)
Tứ giác EFGN nội tiếp trong đường tròn tâm O cho ta

·
·

IFG GND+
= 180
0

Do đó
·
·
DIG GND+
= 180
0
nên tứ giác IDNG nội tiếp.
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Xét hai tam giác ICF và tam giác IDG có
·
·
CFI IND=
( vì cùng chắn cung ME )
tứ giác IDNG nội tiếp nên
· ·
IND IGD=
( cùng chắn cung ID)
Do đó
·
·
MFI IGD =

Mà tam giác IFG cân và AB // FG nên IF = IG và

·
·
CIF DIG =

Vậy ∆ ICF = ∆ IDG ( g-c-g)
Nên IC = ID
0,25
0,25
0,25
c) Xét tam giác vuông AIO
0,25
K
C
D
M
N
G
F
E
I
O
A B
OI
2
= OA
2
- IA
2
= R
2

-
2
2 2 2
2
m m 4R m
R
2 4 4
æ ö
-
÷
ç
= - =
÷
ç
÷
ç
è ø
Do đó OI =
2 2
4R m
2
-
không đổi ( 2R > m )
Vậy điểm I chạy trên một đường tròn tâm O bán kính r =
2 2
4R m
2
-
0,25
0,25

6
( 1đ)

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ( b>0, c>0 )
b
2
+ c
2
= a
2
(1)
+chu vi tam giác ABC
P = a + b + c
+Tính: P = ( AF + AE ) + ( BF + BD) + ( CD + CE) = 2r + 2a
Do đó : a + b + c = 2r + 2a
Suy ra: b + c = 2r + a (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
2 2 2
b c a
b c 2r a
ì
ï
+ =
ï
í
ï
+ = +
ï
î
Giải hệ phương trình ta được

b (6 14)
c (6 14)
ì
ï
= +
ï
í
ï
= -
ï
î
(thoả mãn đk)
Vậy :
b (6 14)
c (6 14)
ì
ï
= +
ï
í
ï
= -
ï
î
Hoặc
c (6 14)
b (6 14)
ì
ï
= +

ï
í
ï
= -
ï
î
0,25
0,25
0,25
0,25

======================= Hết ======================
A
C
F
B
E
D
r
O