Các thuật toán gần đúng giải bài toán cây khung với chi phí định tuyến nhỏ nhất.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI





PHAN TẤN QUỐC




CÁC THUẬT TOÁN GẦN ĐÚNG GIẢI BÀI TOÁN
CÂY KHUNG VỚI CHI PHÍ ĐỊNH TUYẾN NHỎ NHẤT



Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 62480101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH








Hà Nội –2015





Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội







Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Xuân Hoài
Phản biện 2: TS. Nguyễn Đức Dũng
Phản biện 3: TS. Hoàng Tuấn Hảo



Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ
cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Vào hồi …… giờ, ngày … tháng … năm ………





Có thể tìm hiểu luận án tại:
1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam



1
MỞ ĐẦU
Tối ưu hóa mạng liên quan đến nhiều lĩnh vực như toán ứng dụng,
khoa học máy tính, vận trù học, kỹ thuật, mạng truyền thông,…
Nhiều bài toán thực tế trong lĩnh vực mạng truyền thông, chẳng hạn
như các bài toán Optimal Communication Spanning Trees, Steiner
Minimal Trees, Bounded Diameter Minimum Spanning Trees -
BDMST, Minimum Routing Cost Spanning Trees thuộc lớp bài toán

NP-khó hoặc NP-đầy đủ.
Minimum Routing Cost Spanning Trees-MRCST là một bài toán tối
ưu đồ thị nổi tiếng và có nhiều ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực
mạng truyền thông và trong tin sinh học. Bài toán này lần đầu tiên
được giới thiệu bởi T. C. Hu vào năm 1974 qua công trình
“Optimum communication spanning trees”.
Mô hình toán học của bài toán MRCST có thể phát biểu như sau:
Cho G là một đồ thị vô hướng liên thông có chi phí định tuyến
không âm trên cạnh. Giả sử T là một cây khung của G. Chi phí định
tuyến cho mỗi cặp đỉnh trên T được định nghĩa là tổng các chi phí
định tuyến trên các cạnh của đường đi đơn nối chúng trên T và chi
phí định tuyến của T được định nghĩa là tổng của tất cả các chi phí
định tuyến giữa mọi cặp đỉnh của T. Bài toán MRCST đặt ra là tìm
một cây khung có chi phí định tuyến nhỏ nhất trong số tất cả các
cây khung của G. Bài toán MRCST đã được chứng minh thuộc lớp
bài toán NP-khó.
Việc đề xuất thuật toán dạng metaheuristic giải bài toán MRCST có
ý nghĩa quan trọng, một mặt, nhằm giải quyết những bài toán ứng
dụng thực tiễn vừa nêu; mặt khác, còn là cơ sở để giải quyết những
bài toán cây khung tối ưu dạng NP-khó khác trên đồ thị.
Bài toán MRCST đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà khoa học trong hơn bốn mươi năm qua. Hiện nay đã có hàng
loạt thuật toán giải bài toán MRCST được đề xuất theo các hướng:
tìm lời giải đúng, tìm lời giải gần đúng cận tỉ lệ, heuristic,
metaheuristic.
Mục đích của luận án là phát triển một số thuật toán gần đúng dạng
metaheuristic giải bài toán MRCST cho chất lượng lời giải tốt hơn
so với các thuật toán có cùng cỡ thời gian tính hoặc đòi hỏi thời
gian tính ít hơn khi so sánh với các thuật toán có chất lượng lời giải

2
tương đương hoặc đưa ra lời giải tốt nhất mới cho một số bộ dữ liệu
thực nghiệm chuẩn.
Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố ở 4 bài báo tạp
chí và 2 bài báo hội nghị chuyên ngành.
Luận án được trình bày trong 5 chương.
Luận án đã phân tích được ưu nhược điểm của từng thuật toán đối
với từng loại dữ liệu thực nghiệm cụ thể và qua đó định hướng
phạm vi áp dụng cho từng thuật toán đề xuất.
Phụ lục của luận án ghi nhận kết quả thực nghiệm của các công
trình nghiên cứu liên quan cho đến thời điểm hiện tại.
Chương 1. TỔNG QUAN
Chương này giới thiệu tổng quan về bài toán MRCST, các ứng dụng
của bài toán MRCST, khảo sát các thuật toán giải bài toán MRCST,
các tiêu chí đánh giá chất lượng một thuật toán giải gần đúng và hệ
thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn được sử dụng cho bài toán
MRCST.
1.1.BÀI TOÁN MRCST
1.1.1.Một số định nghĩa
Cho G = (V(G), E(G)) là một đồ thị vô hướng, liên thông, có trọng
số không âm trên cạnh; trong đó V(G) là tập gồm n đỉnh, E(G) là
tập gồm m cạnh, w(e) là trọng số của cạnh e, e  E(G).
Định nghĩa 1.1 (Chi phí định tuyến giữa một cặp đỉnh). Cho T =
(V(T), E(T)) là một cây khung của G, trọng số trên cạnh e được hiểu
là chi phí định tuyến của cạnh e, ta gọi chi phí định tuyến (routing
cost) của một cặp đỉnh (u,v) trên T, ký hiệu là d
T
(u,v), là tổng chi
phí định tuyến của các cạnh trên đường đi đơn (duy nhất) nối đỉnh u

với đỉnh v trên cây T.
Định nghĩa 1.2 (Chi phí định tuyến của một cây khung). Cho T =
(V(T), E(T)) là một cây khung của G, chi phí định tuyến của T, ký
hiệu là C(T), là tổng chi phí định tuyến giữa mọi cặp đỉnh thuộc cây
T, tức là:
, ( )
( ) ( , ).
T
u v V T
C T d u v




(1-1)
Bài toán MRCST: Cho đồ thị G được định nghĩa như trên, bài toán
đặt ra là trong số tất cả các cây khung của đồ thị G cần tìm một cây
khung có chi phí định tuyến nhỏ nhất.


3
Bài toán này được đặt tên là bài toán cây khung với chi phí định
tuyến nhỏ nhất (Minimum Routing Cost Spanning Tree-MRCST).
Bài toán MRCST đã được chứng minh thuộc lớp bài toán NP-khó.
Định nghĩa 1.3 (Tải định tuyến một cạnh của cây khung) Cho T =
(V(T), E(T)) là một cây khung của đồ thị G. Nếu loại khỏi cây T
một cạnh e thì T sẽ được tách ra thành hai cây con T
1
và T
2

với hai
tập đỉnh tương ứng là V(T
1
) và V(T
2
). Ta gọi tải định tuyến của cạnh
e, ký hiệu là l(T,e), là giá trị 2×V(T
1
)×V(T
2
).
Từ định nghĩa, dễ thấy rằng tải định tuyến của cạnh e chính bằng số
lượng đường đi trên cây T có chứa cạnh e.
Định lý 1.1 sau cho ta cách tính chi phí định tuyến của cây khung
thông qua tải định tuyến của các cạnh.
Định lý 1.1. Cho T là một cây khung của G, ta có:




)(
)(),()(
TEe
eweTlTC
(1-2)
và chi phí định tuyến của T có thể tính được trong thời gian O(n).
1.1.2.Thuật toán tính chi phí định tuyến của cây khung
Đây là thuật toán được đề cập trong tất cả công trình giải bài toán
MRCST; ở đây chúng tôi trình bày thuật toán tính chi phí định tuyến
của cây khung chi tiết hơn các công trình kể trên ở góc độ kỹ thuật.

Algorithm 1.1. Thuật toán tính chi phí định tuyến của một cây
khung
RoutingCost(T)
Đầu vào: Cây khung T được biểu diễn là cây có gốc tại v
1

Đầu ra: Chi phí định tuyến của cây khung T
1. if (T = ) return +; // Qui ước cây rỗng có chi phí +
2. Thực hiện duyệt cây T theo chiều sâu (Depth First Search) bắt
đầu từ đỉnh v
1
ta thu được biểu diễn của T dưới dạng cây có gốc
tại đỉnh v
1
. Gọi n
u
là số lượng đỉnh của cây con có gốc là u. Với
mỗi đỉnh u của cây T, u  v
1
, ký hiệu e
u
= (p(u)
,
u); trong đó p(u)
là cha của u trong cây T.
3. C=0;
4. for (mỗi đỉnh u  V(T){v
1
}) {
5. l(e

u
) = 2  n
u
 (n  n
u
);
6. C = C + l(e
u
)  w(e
u
);
7. }


4
8. return C;
RoutingCost là thủ tục quan trọng được sử dụng trong tất cả các
thuật toán giải bài toán MRCST. Các thuật toán giải bài toán
MRCST thường xuyên thực hiện thao tác loại một cạnh của cây
khung và sau đó thêm một cạnh khác sao cho kết quả thu được là
một cây khung có chất lượng tốt hơn hoặc là thêm một cạnh vào
cây khung và sau đó loại một cạnh trong chu trình vừa mới hình
thành sao cho kết quả thu được là một cây khung có chất lượng tốt
hơn; hai thao tác này mặc dù chỉ đem lại sự thay đổi nhỏ về mặt cấu
trúc cây, nhưng để tính chi phí định tuyến của cây khung thu được
sau mỗi thao tác trên vẫn đòi hỏi độ phức tạp O(n).
1.1.3.Đánh giá chi phí định tuyến của cây khung
Định lý 1.2. Giả sử T là một cây khung của đồ thị G. Khi đó với
mọi cạnh e  E(T) ta có:
2

2( 1) ( , ) / 2.n l T e n  
(1-3)
Từ định lý 1.1 và định lý 1.2 trên, chúng tôi đề xuất các hệ quả sau:
Hệ quả 1.1. Chi phí định tuyến của cây khung T bất kỳ thỏa mãn
bất đẳng thức sau:
22
min max
2( 1) ( ) ( 1) / 2,n w C T n n w   
(1-4)
Trong
đó
min
min{ ( ): ( )}w w e e E G
và
max
max{ ( ): ( )}w w e e E G

Hệ quả 1.2. Đối với đồ thị đầy đủ G với trọng số trên các cạnh đều
là w
0
, ta có chi phí định tuyến của cây khung tối ưu là
2(n−1)
2
w
0
(1-5)
1.2.ỨNG DỤNG
Có thể tìm thấy các ứng dụng của bài toán MRCST trong các lĩnh
vực mạng thiết kế mạng và tin sinh học.
1.3.CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN BÀI TOÁN MRCST

Đối với bài toán thuộc lớp NP-khó như bài toán MRCST thì khó hy
vọng tìm được một thuật toán vượt trội cả về chất lượng lời giải lẫn
thời gian tính trên mọi bộ dữ liệu thực nghiệm. Do đó đã có nhiều
thuật toán giải bài toán MRCST được đề xuất. Mỗi thuật toán giải
bài toán MRCST, tại thời điểm công bố có một đóng góp nhất định,
hoặc là cải thiện chất lượng lời giải, hoặc là cải thiện thời gian tính,


5
hoặc là đề xuất một cách tiếp cận mới cho chất lượng lời giải tương
đương.
Bảng 1.1. Danh sách các thuật toán giải bài toán MRCST hiện biết
Thứ
tự
Tên gọi thuật toán
Kiểu thuật toán
Năm
đề xuất
1
Branch And Bound
giải đúng
1979
2
Branch And Bound + Column Generation
giải đúng
2002
3
Wong
cận tỉ lệ 2
1980

4
General Star
cận tỉ lệ 4/3
1999
5
Parallelized Approximation Algorithm
cận tỉ lệ 4/3
2008
6
PTAS
cận tỉ lệ 1+


1999
7
Add
heuristic
2005
8
Campos
heuristic
2008
9
ESCGA (thuật giải di truyền mã hóa
cạnh)
metaheuristic
2005
10
BCGA (thuật giải di truyền mã hóa
Prũfer)

metaheuristic
2005
11
SHC (tìm kiếm leo đồi ngẫu nhiên)
Metaheuristic
2005
12
PBLS (tìm kiếm địa phương)
metaheuristic
2008
13
PABC (thuật toán Artificial Bee
Colony)
Metaheuristic
2011
14
ABC+LS (thuật toán Artificial Bee
Colony + Local Search)
metaheuristic
2011
15
Distributed Approximation Algorithm
cận tỉ lệ 2
2014
1.4.TIÊU CHÍ ĐÁNH GIÁ THUẬT TOÁN
Chất lượng của một thuật toán gần đúng được đánh giá qua chất
lượng lời giải và thời gian tính.
Đối với lớp những thuật toán gần đúng cận tỷ lệ, có thể đánh giá
đóng góp mới thông qua cận tỷ lệ của thuật toán. Tuy nhiên, đối với
phần lớn các thuật toán gần đúng hiện nay, việc đánh giá tiên

nghiệm chất lượng của lời giải mà chúng đưa ra là không thể thực
hiện được. Trong tình huống này, các nhà khoa học chấp nhận giải
pháp là đánh giá qua thực nghiệm.
Để chứng tỏ thuật toán đề xuất của mình có những đóng góp mới để
giải bài toán đặt ra, các nhà khoa học cần tiến hành thực nghiệm
trên các bộ dữ liệu chuẩn để chỉ ra thuật toán của mình đề xuất so
với những thuật toán hiện biết có những điểm tốt hơn hoặc ở tiêu
chí thời gian, hoặc ở tiêu chí chất lượng lời giải, chẳng hạn:


6
 hoặc thuật toán đề xuất đòi hỏi thời gian ít hơn khi so với các
thuật toán có cùng chất lượng lời giải tương đương,
 hoặc thuật toán đề xuất cho lời giải với chất lượng tốt hơn so
với các thuật toán có cùng cỡ thời gian tính,
 hoặc thuật toán đề xuất đưa ra lời giải tốt nhất mới (new best
solution) cho một số bộ dữ liệu trong bộ dữ liệu chuẩn,
 hoặc tốt nhất, thuật toán đề xuất là tốt hơn mọi thuật toán hiện
biết ở cả hai tiêu chí thời gian lẫn chất lượng lời giải đem
lại,…
Trong lý thuyết phân tích độ phức tạp tính toán của thuật toán, các
nhà khoa học đã đưa ra tiêu chí khách quan để đánh giá thời gian
tính của thuật toán: đó là đánh giá thời gian tính của thuật toán giải
bài toán bởi một hàm của kích thước dữ liệu đầu vào của bài toán,
được ghi nhận dưới dạng ký pháp tiệm cận (asymptotic notation),
trong đó ký hiệu O được sử dụng để ghi nhận đánh giá tiệm cận
trên. Tuy nhiên, một nhược điểm của việc sử dụng ký hiệu tiệm cận
chính là kết quả so sánh tốc độ tăng của các hàm chỉ đúng khi đối
số “đủ lớn”. Vì thế khi đối số chưa đủ lớn thì kết quả so sánh có thể
là không đúng. Chẳng hạn, một thuật toán có đánh giá thời gian tính

là f(n) = 1000n
2
O(n
2
) là nhanh hơn thuật toán có đánh giá g(n) =
2n
3
O(n
3
) khi n đủ lớn. Nhưng khi n<100, dễ thấy là đòi hỏi
1000n
2
(= 10
7
, khi n=100) là lớn hơn đòi hỏi 2n
3
(= 2*10
6
, khi
n=100) đến 5 lần.
Mặt khác, người sử dụng rất cần thông tin chi tiết về thời gian mà
thuật toán đòi hỏi để đưa ra lời giải có chất lượng đáp ứng yêu cầu
đặt ra đối với những kích thước cụ thể tương ứng với kích thước bài
toán ứng dụng mà họ cần lựa chọn thuật toán giải. Để đáp ứng yêu
cầu này, bên cạnh việc đưa ra đánh giá thời gian tính lý thuyết của
thuật toán trong ký pháp tiệm cận, các nhà khoa học khi phát triển
thuật toán thường đưa ra thông tin về thời gian tính thực nghiệm
của thuật toán.
Khi so sánh thời gian tính của các thuật toán khác nhau dựa trên
thực nghiệm, lại phát sinh một yêu cầu Khi so sánh các thuật toán

cần chạy trên một hạ tầng thông tin; mà để đáp ứng yêu cầu này,
khi tiến hành thực nghiệm các tác giả không những phải cài đặt
thuật toán của mình mà còn phải cài đặt lại các thuật toán của các


7
tác giả khác trên cùng một ngôn ngữ lập trình và chạy trên cùng
một cấu hình máy tính để giải cùng bộ dữ liệu chuẩn. Đây là một
thách thức với cộng đồng những nhà khoa học trong lĩnh vực phát
triển thuật toán. Do đó, ngay cuối những năm 1980, có một cách
giải quyết vần đề này được cộng đồng các nhà khoa học sử dụng
trong những tình huống như vậy: Đó là dựa vào thông tin đánh giá
tốc độ xử lý của các máy tính được các chuyên gia máy tính đưa ra.
Hiện nay, trong công trình Performance of Various Computers
Using Standard Linear Equations Software của Jack J. Dongarra đã
trình bày cách đánh giá hiệu quả của các hệ thống máy tính khác
nhau bằng việc sử dụng các phần mềm tính toán giải hệ phương
trình tuyến tính. Công trình này sử dụng đơn vị đo Mflop/s (Million
Floating-point Operations Per Second – triệu phép tính dấu phảy
động trên giây) để đánh giá hiệu suất của các máy tính. Kết quả của
công trình nghiên cứu là bảng số liệu về tốc độ đo bởi Mflop/s cho
mỗi một cấu hình máy tính. Sử dụng bảng thông tin này các tác giả
không cần cài đặt lại thuật toán của người khác, mà để so sánh
tương đối thời gian tính của các thuật toán có thể đưa ra các thông
tin sau: Thời gian tính được công bố bởi chính tác giả thuật toán;
thông tin về cấu hình máy tính thực hiện thuật toán; qui đổi thời
gian tính dựa trên thông tin về tốc độ máy tính lấy từ công trình của
Dongarra.
1.5.HỆ THỐNG DỮ LIỆU THỰC NGHIỆM CHUẨN
Trong các công trình nghiên cứu gần đây về bài toán MRCST, các

tác giả thường sử dụng 35 bộ dữ liệu là các đồ thị đầy đủ: Trong đó
21 bộ dữ liệu là các đồ thị đầy đủ Euclid được lấy từ website
và 14 bộ dữ liệu
đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên được đề xuất từ công trình của tác giả
Bryant A. Julstrom (B. A. Julstrom là tác giả đầu tiên sử dụng 35
bộ dữ liệu này).
Trong nhiều giáo trình cấu trúc dữ liệu, lý thuyết đồ thị; khi bàn về
các cách biểu diễn đồ thị trên máy tính, đều nhấn mạnh là hầu hết
các đồ thị gặp trong thực tế ứng dụng là đồ thị thưa. Vì vậy, trong
luận án, để phân tích hiệu quả của các thuật toán trên các đồ thị
thưa, chúng tôi sử dụng thêm 14 bộ dữ liệu là các đồ thị thưa; trong
đó có 7 bộ dữ liệu 500 đỉnh và 7 bộ dữ liệu 1000 đỉnh. Toàn bộ 14


8
bộ dữ liệu bổ sung này chúng tôi lấy lấy từ website

Như vậy, luận án sử dụng tổng cộng 49 bộ dữ liệu, và chúng tôi gọi
đây là hệ thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn cho bài toán MRCST;
viết tắt là BDMRCST.
1.6.KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC THUẬT TOÁN GIẢI BÀI
TOÁN MRCST
1.6.1.Cấu hình máy tính thực nghiệm các thuật toán
Bảng 1.3 ghi nhận cấu hình máy tính được sử dụng khi tiến hành
thực nghiệm các thuật toán giải bài toán MRCST hiện biết. Trong
đó, cột “Tốc độ” ghi nhận tốc độ của CPU (Theoretical Peak) được
tính theo đơn vị Mflop/s; các thông số này được trích dẫn từ công
trình của Dongarra. Các số trên cột “Hệ số” được tính như sau: Máy
tính có tốc độ thấp nhất được gán hệ số 1, hệ số của mỗi máy tính
còn lại được tính bằng tỷ số giữa tốc độ của máy tính đó với tốc độ

của máy tính có hệ số 1.
Bảng 1.3. Cấu hình máy tính thực nghiệm các thuật toán
Thứ
tự
Tên gọi
thuật toán
Bộ xử lý
Tốc
độ
Hệ
số
Bộ nhớ
RAM
Hệ điều
hành
1
WONG
Intel (R) Core i3-
2330M, 2.20 GHz
22170
4.38
4 GB
Windows 7
2
ADD
Intel (R) Core i3-
2330M, 2.20 GHz
22170
4.38
4 GB

Windows 7
3
CAMPOS
Intel (R) Core i3-
2330M, 2.20 GHz
22170
4.38
4 GB
Windows 7
4
ESCGA
Pentium 4, 2.53 GHz
5060
1.00
256 MB
Red Hat
Linux 9.0
5
BCGA
Pentium 4, 2.53 GHz
5060
1.00
256 MB
Red Hat
Linux 9.0
6
SHC
Pentium 4, 2.53 GHz
5060
1.00

256 MB
Red Hat
Linux 9.0
7
PBLS
Pentium 4, 3.0 GHz
6000
1.19
512 MB
Red Hat
Linux 9.0
8
PABC
Pentium 4, 3.0 GHz
6000
1.19
512 MB
Red Hat
Linux 9.0
9
ABC+LS
Pentium 4, 3.0 GHz
6000
1.19
512 MB
Red Hat
Linux 9.0


9

1.6.2.Chất lượng lời giải
Kết quả thực nghiệm từ các thuật toán đã công bố của các tác giả
khác như ESCGA, BCGA, SHC, PBLS, PABC, ABC+LS trên các đồ
thị đầy đủ Euclid và đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên được trích nguyên
gốc từ các công trình tương ứng. Với 14 bộ dữ liệu là các đồ thị
thưa; do chưa có một công trình nào công bố chất lượng lời giải,
nên chúng tôi đã cài đặt lại các thuật toán SHC, PBLS, ABC+LS
trên cùng môi trường triển khai các thuật toán đề xuất trong luận
án. Để kiểm tra chất lượng các chương trình do chúng tôi cài đặt,
chúng tôi đã đối sánh output từ các chương trình do chúng tôi cài
đặt với output mà các tác giả đã công bố (trên các bộ dữ liệu đã có
kết quả công bố).
Chi phí định tuyến trong các bảng thực nghiệm được ghi nhận bằng
½ giá trị tính theo công thức (1-2).
Đánh giá chung trên 49 bộ dữ liệu thì các thuật toán được xếp hạng
theo chất lượng lời giải như sau: ABC+LS, PABC, PBLS, SHC,
ESCGA, BCGA, CAMPOS, WONG, ADD.
Từ chất lượng lời giải thu được trên, luận án rút ra một số nhận xét
sau: Đối với đồ thị đầy đủ Euclid, trong các thuật toán nhanh
WONG, CAMPOS, ADD thì thuật toán CAMPOS cho chất lượng lời
giải tốt nhất; thuật toán ABC+LS cho chất lượng lời giải tốt nhất
trong số tất cả các thuật toán đã khảo sát. Đối với đồ thị đầy đủ
ngẫu nhiên, trong các thuật toán nhanh thì thuật toán WONG cho
chất lượng lời giải tốt nhất; các thuật toán SHC, PBLS, PABC,
ABC+LS cho chất lượng lời giải tương đương và chúng cho chất
lượng lời giải tốt hơn các thuật toán di truyền ESCGA, BCGA.
1.6.3.Thời gian tính
Thời gian thực nghiệm trong luận án được tính theo đơn vị giây.
Thời gian tính của các thuật toán metaheuristic ESCGA, BCGA,
SHC, PBLS, PABC, ABC+LS đã được công bố trong các công trình

tương ứng.
Thời gian tính các thuật toán trên các máy tính khác nhau đã được
quy đổi về một mức theo trên cơ sở của công trình Dongarra.
1.7.KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Chương này đã trình bày một số nội dung chính sau: Thứ nhất, giới
thiệu bài toán MRCST; MRCST là bài toán thuộc lớp bài toán NP-


10
khó. Thứ hai, trình bày về ứng dụng của bài toán MRCST trong lĩnh
vực mạng truyền thông và trong tin sinh học. Thứ ba, giới thiệu một
số thuật toán gần đúng điển hình giải bài toán MRCST như WONG,
GENERAL STAR, PTAS, ADD, CAMPOS, ESCGA, BCGA, SHC,
PBLS, PABC, ABC+LS; cũng trong phần này, luận án đã giới thiệu
một số công việc liên quan như mã hóa cây khung, tính chi phí định
tuyến của cây khung và một số cách thức tạo lời giải ban đầu được
áp dụng trong các thuật toán metaheuristic giải bài toán MRCST.
Thứ tư, trình bày tiêu chí đánh giá chất lượng thuật toán giải gần
đúng. Thứ năm, giới thiệu chi tiết về hệ thống dữ liệu thực nghiệm
chuẩn cho bài toán MRCST và ghi nhận kết quả thực nghiệm của các
thuật toán trên đối với hệ thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn này. Từ
khảo sát thực nghiệm khẳng định tiếp cận giải bài toán MRCST theo
hướng metaheuristic là có tiềm năng nhất. Trong đó, thuật toán
ABC+LS cho chất lượng lời giải tốt hơn các thuật toán gần đúng
hiện biết trên đồ thị đầy đủ Euclid.
Chương này có một số đóng góp cụ thể sau: Về mặt lý thuyết, luận
án đã đề xuất định lý đánh giá cận trên và cận dưới của tải định
tuyến một cạnh thuộc cây khung (Định lý 1.2), từ đó đưa ra hệ quả
1.1 và hệ quả 1.2 về cận trên và cận dưới của chi phí định tuyến
một cây khung. Về mặt thực nghiệm, luận án đã đề xuất bổ sung 14

bộ dữ liệu thực nghiệm là các đồ thị thưa có kích thước lớn. Để
đánh giá các thuật toán hiện có trên các bộ dữ liệu bổ sung, chúng
tôi đã cài đặt lại các thuật toán WONG, SHC, PBLS, ABC+LS trên
cùng môi trường mà luận án đã triển khai.
Kết quả chính của chương này đã được nghiên cứu sinh công bố tại
hội nghị SocPar 2013.
Chương 2. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM LEO ĐỒI
Hầu hết các đồ thị gặp trong thực tế ứng dụng là đồ thị thưa. Các
thuật toán metaheuristic gần đây giải bài toán MRCST như SHC,
PBLS, PABC, ABC+LS được thực nghiệm trên các đồ thị đầy đủ
Euclid và đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên. Khi thực nghiệm các thuật toán
này trên các đồ thị thưa thì chất lượng lời giải không có sự vượt trội
nào trong khi thời gian thực hiện lại chậm đáng kể.
Chương này đề xuất hai thuật toán HCSRI và HCSIR giải bài toán
MRCST – trong đó có đề xuất cách thức tìm kiếm lân cận mới. Các


11
thuật toán HCSRI và HCSIR được phát triển dựa trên sơ đồ của thuật
toán tìm kiếm leo đồi. Qua thực nghiệm cho thấy các đề xuất này
cho lời giải với chất lượng cạnh tranh được với các thuật toán cùng
lớp là SHC, PBLS và các thuật toán PABC, ABC+LS trên các loại đồ
thị thưa và đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên nhưng với thời gian tính nhanh
hơn. Các thuật toán HCSRI, HCSIR cũng đã cho chất lượng lời giải
tốt hơn hẳn các thuật toán heuristic và các thuật toán di truyền đã
được công bố trước đó như WONG, ADD, CAMPOS, ESCGA,
BCGA trên hệ thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn.
2.1.CÂY KHUNG LÂN CẬN
Cho đồ thị vô hướng liên thông có trọng số G. Để ngắn gọn, trong
các phần tiếp theo ta sẽ sử dụng ký hiệu T–{e} (hoặc T {e}) là đồ

thị thu được từ T bởi việc loại cạnh e (hoặc chèn thêm vào cạnh e).
Mục này đưa ra một số định nghĩa về cây khung lân cận.
Định nghĩa 2.1. (1-lân cận của cây khung T) Cho đồ thị G và T là
một cây khung của nó. Ta gọi 1-lân cận của cây khung T là tập tất
cả các cây khung của đồ thị G sai khác với T không quá một cạnh.
Nếu T’ là một cây khung thuộc 1-lân cận của T thì ta nói T và T’ là
1-lân cận với nhau.
Như vậy, nếu T’ là cây khung thuộc 1-lân cận của cây khung T (T’


T), thì tìm được cạnh e  E(T) và cạnh e’ E(T’) sao cho E(T’)=
E(T) –{e}  {e’}, nghĩa là cây T’ thu được từ cây T bằng cách loại
cạnh e và sau đó thêm vào cạnh e’.
Trong một số trường hợp chúng ta còn sử dụng những lân cận rộng
hơn so với 1-lân cận. Khái niệm k-lân cận dưới đây là mở rộng trực
tiếp của khái niệm 1-lân cận.
Định nghĩa 2.2. (k-lân cận của cây khung T) Cho đồ thị G và T là
một cây khung của nó. Ta gọi k-lân cận của cây khung T là tập tất
cả các cây khung của đồ thị G sai khác với T không quá k cạnh. Nếu
T’ là một cây khung thuộc k-lân cận của T thì ta nói T và T’ là k-lân
cận với nhau.
Như vậy, nếu T’ là cây khung thuộc k-lân cận của cây khung T (T’


T), thì tìm được tập cạnh X  E(T) và tập cạnh X’  E(T’) sao cho
|X| = |X’| ≤ k và E(T’)= E(T) – X  X’, nghĩa là cây T’ thu được từ
cây T bằng cách loại tập cạnh X và sau đó thêm vào tập cạnh X’.
Định nghĩa 2.3. (Lân cận tất định và lân cận ngẫu nhiên) Nếu các

12
cây khung trong lân cận được xác định không phụ thuộc vào yếu tố
ngẫu nhiên thì ta nói về lân cận tất định, còn nếu ngược lại, ta nói về
lân cận ngẫu nhiên.
Thuật toán tìm kiếm leo đồi ngẫu nhiên (Stochastic Hill Climber-
SHC) là thuật toán dạng 1-lân cận ngẫu nhiên. Các thuật toán tìm
kiếm leo đồi HCSRI, HCSIR là sử dụng 1-lân cận tất định.
2.2.THUẬT TOÁN HCSRI
2.2.1.Ý tưởng thuật toán HCSRI
Bắt đầu từ cây khung T của G được khởi tạo ngẫu nhiên bằng thuật
toán LikePrim (tìm cây khung ngẫu nhiên theo ý tưởng của thuật
toán Prim nhưng không quan tâm đến trọng số cạnh), loại lần lượt
từng cạnh e  E(T), với mỗi cạnh e như vậy, tìm một cạnh e’ 
E(G) – E(T) sao cho cây khung T' = (T –{e}) {e’} có chi phí định
tuyến nhỏ nhất. Nếu C(T’) < C(T) thì thay T bằng T’ (thay cạnh e
trong T bằng cạnh e’ trong E(G) – E(T)). Thuật toán dừng nếu trong
một lần duyệt qua tất cả các cạnh e  E(T) mà không tìm được cạnh
e’ để cải thiện chi phí định tuyến của cây khung T.
Thao tác quan trọng của thuật toán HCSRI là việc kiểm tra xem với
mỗi cạnh e’  E – E(T), đồ thị T –{e}  {e’} có là một cây khung
hay không? Thao tác này được giải quyết như sau: Ghi nhận hai tập
V(T
1
) và V(T
2
) tương ứng là các tập đỉnh của hai cây con T
1
, T
2
được tạo thành từ cây khung T khi loại cạnh e khỏi cây khung T.

Cạnh e’=(u,v)  E – E(T) có thể chèn được vào T – {e} khi u và v
không thuộc cùng một trong hai tập V(T
1
) và V(T
2
).
Độ phức tạp một lần lặp của thuật toán HSCRI là O(kn
2
m).
2.3.THUẬT TOÁN HCSIR
Cho đồ thị vô hướng liên thông có trọng số G. Bắt đầu từ cây khung
T của G được khởi tạo ngẫu nhiên bằng thuật toán LikePrim, chèn
lần lượt từng cạnh e  E(G)–E(T) vào cây khung T, khi đó E(T) 
{e} sẽ chứa một chu trình, tìm một cạnh e’ trên chu trình này sao
cho việc loại nó dẫn đến cây khung T’ có chi phí định tuyến là nhỏ
nhất. Nếu C(T') < C(T) thì thay T bằng T' (hoán đổi cạnh e trong
E(G) – E(T) với cạnh e’ trong T). Thuật toán dừng nếu trong một
lần duyệt qua tất cả các cạnh e  E(G) – E(T) mà không cải thiện
được chi phí định tuyến của cây khung T.
Thao tác quan trọng của thuật toán HCSIR là việc tìm chu trình


13
trong T sau khi chèn thêm cạnh. Khi chèn cạnh e =(u,v) vào T,
duyệt cây khung T theo chiều sâu bắt đầu từ u, lưu vết trên đường
đi bằng mảng p (đỉnh trước của một đỉnh trong phép duyệt). Tiếp
theo, bắt đầu từ đỉnh v, truy vết theo mảng p đến khi gặp u thì kết
thúc, các cạnh trên đường truy vết chính là các cạnh trong chu trình
cần tìm.
Ta nhận thấy tập các lân cận của một cây khung T theo kết quả tìm

kiếm của hai thuật toán này là tương đương, tuy nhiên do thứ tự các
cạnh được chọn tại một thời điểm ảnh hướng đến kết quả của mọi
thời điểm sau đó; vì vậy chúng tôi xem đây là hai chiến lược tìm
kiếm khác nhau.
Độ phức tạp một lần lặp của thuật toán HSCIR là O(kn
2
m).
Các thuật toán HCSRI và HCSIR ngoài việc lời giải ban đầu được
khởi tạo ngẫu nhiên thì các cây khung lân cận tìm được trong quá
trình tìm kiếm là kiểu 1-lân cận tất định. Hiệu quả của các thuật
toán HCSRI, HCSIR có thể được cải thiện khi ta thay đổi thứ tự các
cạnh được duyệt trong tập E(G) – E(T); nghĩa là ta sẽ duyệt tập
cạnh này theo một hoán vị được sinh ngẫu nhiên chứ không theo
một thứ tự cố định ở tất cả các lần duyệt.
Các thuật toán HCSRI, HCSIR; chủ yếu sử dụng tính tăng cường;
thể hiện qua các chiến lược tìm kiếm cây khung lân cận; tính đa
dạng được sử dụng vào hai thời điểm sau: thứ nhất là khi khởi tạo
lời giải ban đầu; thứ hai là thay đổi thứ tự duyệt của các cạnh trong
tập cạnh ứng viên (như đã đề cập ở đoạn trên). Hai chiến lược tăng
cường hóa và đa dạng hóa được sử dụng trong các thuật toán
HCSRI, HCSIR là khác so với chiến lược tăng cường hóa và đa
dạng hóa được sử dụng trong các thuật toán cùng nhóm được công
bố trước đó như SHC, PBLS.
Các thuật toán HCSRI, HCSIR có độ phức tạp thời gian tính cho một
lần lặp là O(kn
2
m). Trong khi các thuật toán SHC, PBLS đưa ra số
lần lặp khá lớn để đạt được kết quả như công bố; thì các thuật toán
HCSRI, HCSIR với cách thức tìm lân cận đã nêu có giá trị k khá
nhỏ. Thời gian tính của các thuật toán HCSRI, HCSIR nhanh hơn so

với nhiều thuật toán metaheuristic khác, đặc biệt là khi làm việc với
các đồ thị thưa.
2.4.THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ


14
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm các thuật toán HCSRI, HCSIR trên
BDMRCST. Với mỗi loại đồ thị, chúng tôi so sánh chất lượng lời
giải và thời gian tính của các thuật toán HCSRI, HCSIR với các
thuật toán của các tác giả khác đã khảo sát như WONG, ADD,
CAMPOS, ESCGA, BCGA, SHC, PBLS.
2.4.1.Môi trường thực nghiệm
Các thuật toán HCSRI, HCSIR được cài đặt trên ngôn ngữ C
++
sử
dụng môi trường DEV C 5.0, CPU INTEL i3-2330M, 2.20 GHz, bộ
nhớ 4GB RAM, hệ điều hành Windows 7.
2.4.2.Tham số thực nghiệm
Các thuật toán HCSRI, HCSIR đều cho thực hiện 60 lần trên mỗi bộ
dữ liệu đồ thị đầy đủ Euclid và 30 lần trên mỗi bộ dữ liệu là các đồ
thị đầy đủ ngẫu nhiên và đồ thị thưa. Lời giải ban đầu của mỗi lần
chạy được cho khởi tạo bằng thuật toán LikePrim. Mỗi lời giải hiện
tại đều cho tìm 1-lân cận tất định tốt nhất trong số tất cả các 1-lân
cận có thể có theo ý tưởng của thuật toán HCSRI, HCSIR tương
ứng.
2.4.3.Chất lượng lời giải
Đánh giá chung, với 49 bộ dữ liệu trên, thuật toán HCSRI cho chất
lượng lời giải tốt hơn (tồi hơn) các thuật toán WONG (100.0%,
0.0%), ADD (100.0%, 0.0%), CAMPOS (100.0%, 0.0%), ESCGA
(88.6%, 0.0%), BCGA (100.0%, 0.0%), SHC (36.7%, 2.0%), PBLS

(8.2%, 18.4%).
Đánh giá chung, với 49 bộ dữ liệu trên, thuật toán HCSIR cho chất
lượng lời giải tốt hơn (tồi hơn) các thuật toán WONG (100.0%,
0.0%), ADD (100.0%, 0.0%), CAMPOS (100.0%, 0.0%), ESCGA
(88.6%,0.0%), BCGA (100.0%, 0.0%), SHC (36.7%, 6.1%), PBLS
(6.1%, 22.4%).
2.4.4.Thời gian tính
Thời gian tính được ghi nhận ở đây là thời gian trung bình của các
lần chạy.
Thuật toán HCSRI có thời gian tính nhanh hơn các thuật toán
metaheuristic ESCGA, BCGA, SHC, PBLS. Cụ thể, với tất cả 35 bộ
dữ liệu đồ thị đầy đủ của Julstrom; thuật toán HCSRI có thời gian
tính chỉ bằng không quá 7.22% thời gian tính của thuật toán
ESCGA, không quá 18.60% thời gian tính của thuật toán BCGA,
không quá 17.31% thời gian tính của thuật toán SHC, không quá


15
8.04% thời gian tính của thuật toán PBLS. Với tất cả các bộ dữ liệu
là đồ thị thưa, thuật toán HCSRI có thời gian tính chỉ bằng không
quá 1.29% thời gian tính của thuật toán SHC và không quá 13.13%
thời gian tính của thuật toán PBLS.
Thuật toán HCSIR có thời gian tính nhanh hơn các thuật toán
metaheuristic ESCGA, BCGA, SHC, PBLS.
Thời gian tính của các thuật toán HCSRI, HCSIR chậm hơn rất
nhiều so với thời gian tính của các thuật toán WONG, ADD,
CAMPOS.
2.5.KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Chương này đề xuất hai thuật toán HCSRI, HCSIR giải bài toán
MRCST; đây là các thuật toán dạng tìm kiếm leo đồi. Cây khung lân

cận trong quá trình tìm kiếm của hai thuật toán HCSRI, HCSIR là
dạng 1-lân cận tất định. Các đề xuất này luôn cho chất lượng lời
giải tốt hơn các thuật toán WONG, ADD, CAMPOS, ESCGA,
BCGA trên hệ thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn. Thuật toán HCSRI,
HCSIR luôn cho chất lượng lời giải tốt hơn hoặc bằng các thuật
toán metaheuristic SHC, PBLS trên các đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên và
đồ thị thưa. Đối với các đồ thị đầy đủ Euclid thì các thuật toán
HCSRI, HCSIR cho chất lượng lời giải tồi hơn thuật toán PBLS ở
một số bộ dữ liệu. Trong mọi bộ dữ liệu, các thuật toán HCSRI,
HCSIR luôn cho thời gian tính nhanh hơn so với các thuật toán
metaheuristic SHC, PBLS, ESCGA, BCGA. Đề xuất này có ý nghĩa
quan trọng đối với các đồ thị thưa có nhiều đỉnh.
Các kết quả chính của chương này là một bài báo đã được báo cáo
tại hội nghị IMLC vào tháng 2 năm 2011, sau đó bài báo được
chỉnh sửa và công bố ở tạp chí IJMLC [1] tháng 8/2012.
Chương 3. THUẬT TOÁN DI TRUYỀN
Các thuật toán di truyền ESCGA, BCGA của Bryant A. Julstrom
mặc dù đã cho lời giải chất lượng tốt hơn các thuật toán đề xuất
trước đó như WONG, ADD; tuy nhiên hai phép toán di truyền cơ
bản nhất của ESCGA, BCGA được thiết kế không có tính định
hướng về chi phí định tuyến; mà chúng được thực hiện hoàn toàn
ngẫu nhiên; chính điều này đã làm cho ESCGA, BCGA thiếu đi các
tính đa dạng và tăng cường; đây là yếu tố chính làm cho chất lượng
lời giải của các thuật toán ESCGA, BCGA không như mong muốn.


16
Chương này đề xuất thuật toán có tên gọi là GST để giải bài toán
MRCST, thuật toán GST thuộc dạng thuật toán di truyền. Thuật toán
GST đề xuất phép lai và đột biến mới có tính định hướng đến chi

phí định tuyến; các phép lai và đột biến này có tính đa dạng và tính
tăng cường cao hơn. Qua thực nghiệm cho thấy, thuật toán GST cho
lời giải với chất lượng tốt hơn và thời gian tính nhanh hơn so với các
thuật toán ESCGA, BCGA; thuật toán GST cũng cho lời giải với chất
lượng tốt hơn các thuật toán WONG, ADD, CAMPOS, SHC.
3.1.THUẬT TOÁN GST
Mục này luận án trình bày thuật toán các thủ tục giải quyết bài toán
MRCST dựa trên sơ đồ của thuật toán di truyền cơ bản.
Thuật toán GST sử dụng thuật toán LikePrim đã trình bày trong
chương 1 để tạo quần thể ban đầu P.
Phép lai của thuật toán GST mà chúng tôi đề xuất là phép lai mới;
có định hướng đến chi phí định tuyến; có tính tăng cường cao hơn
so với các phép lai đã được sử dụng trong các thuật toán di truyền
ESCGA, BCGA.
Phép đột biến mà chúng tôi đề xuất trong thuật toán GST là phép
đột biến mới; có tính tăng cường và tính đa dạng cao hơn so với các
thuật toán di truyền ESCGA, BCGA.
Thuật toán GST sử dụng phép chọn lọc các cá thể dựa trên độ thích
nghi xếp hạng.
Để không làm mất đi cá thể tốt nhất đã được khai phá trong quá
trình tiến hóa, Thuật toán GST luôn cập nhật cá thể tốt nhất cho đến
thời điểm hiện tại.
Sơ đồ thuật toán GST
Quần thể cây khung ban đầu được khởi tạo ngẫu nhiên, tiến hành
đánh giá độ thích nghi cho mỗi cá thể. Thuật toán GST lặp lại các
công việc sau cho đến khi điều kiện dừng được thỏa: Thực hiện
phép lai các cá thể cây khung để hình thành thêm các cá thể cây
khung mới; trên quần thể mới sau khi lai, thực hiện phép đột biến;
tiếp theo thực hiện phép đa dạng hóa quần thể, phép chọn các cá thể
cây khung dựa trên độ thích nghi xếp hạng và cuối cùng là cập nhật

cá thể có độ thích nghi tốt nhất cho đến thệ hệ tiến hóa hiện tại.
So với các thuật toán di truyền đã công bố trước đó như ESCGA,
BCGA; phép lai và đột biến của thuật toán GST được chúng tôi thiết


17
kế có tính định hướng về chi phí định tuyến; do đó làm cho thuật
toán GST có tính đa dạng cao hơn và tăng cường mạnh mẻ hơn.
Độ phức tạp một lần lặp của thuật toán GST là O(N
2
n
2
).
3.2.THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm thuật toán GST trên BDMRCST.
Với mỗi loại đồ thị, chúng tôi so sánh chi phí định tuyến và thời
gian tính thuật toán GST với các thuật toán của các tác giả khác là
WONG, CAMPOS, ESCGA, BCGA, SHC, PBLS.
Chất lượng lời giải
Đánh giá chung, với 49 bộ dữ liệu trên, thuật toán GST cho chất
lượng lời giải tốt hơn (tồi hơn) các thuật toán WONG (100.0%,
0.0%), CAMPOS (100.0%, 0.0%), ESCGA (88.6%, 0.0%), BCGA
(100.0%, 0.0%), SHC (38.8%, 2.0%), PBLS (10.2%, 14.3%).
Thời gian tính
Thuật toán GST có thời gian tính nhanh hơn các thuật toán ESCGA,
BCGA, SHC, PBLS trên mọi bộ dữ liệu đồ thị đầy đủ của Julstrom;
nhưng chậm hơn các thuật toán SHC, PBLS trên các đồ thị thưa. Cụ
thể, với tất cả 35 bộ dữ liệu đồ thị đầy đủ của Julstrom; thuật toán
GST có thời gian tính chỉ bằng không quá 18.22% thời gian tính của
thuật toán ESCGA, không quá 18.22% thời gian tính của thuật toán

ESCGA, không quá 45.10% thời gian tính của thuật toán BCGA,
không quá 42.07% thời gian tính của thuật toán SHC, không quá
38.62% thời gian tính của thuật toán PBLS. Với các đồ thị thưa,
thuật toán GST có thời gian tính chậm hơn thời gian tính của các
thuật toán SHC, PBLS không dưới 234.05%.
Thuật toán GST có thời gian tính chậm hơn rất nhiều so với các
thuật toán WONG, CAMPOS.
3.3.KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Chương này đề xuất thuật toán GST giải bài toán MRCST. Cụ thể
trong thuật toán này chúng tôi đã đề xuất phép lai và phép đột biến
mới so với phép lai và đột biến trong các thuật toán di truyền đã
công bố trước đó là ESCGA, BCGA. Thuật toán GST cho chất
lượng lời giải tốt hơn các thuật toán ESCGA, BCGA, WONG,
CAMPOS, SHC trên phần lớn các bộ dữ liệu thuộc hệ thống dữ liệu
thực nghiệm chuẩn. Thuật toán GST cho thời gian tính nhanh hơn
các thuật toán ESCGA, BCGA, SHC, PBLS trên tất cả các đồ thị đầy
đủ Euclid và đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên.


18
Các kết quả chính của chương này đầu tiên được nghiên cứu sinh
báo cáo tại hội nghị IMLC vào tháng 2 năm 2011 và sau khi chỉnh
sửa đã công bố trong tạp chí IJMLC [2] tháng 8/2012.
Chương 4. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM TABU
Các thuật toán HCSRI, HCSIR có ưu điểm nổi bật khi giải quyết các
bài toán MRCST ứng với các đồ thị thưa hoặc các đồ thị đầy đủ
ngẫu nhiên (đặc biệt hiệu quả đối với đồ thị thưa); tuy nhiên với các
đồ thị đầy đủ Euclid, thì các thuật toán HCSRI, HCSIR cho chất
lượng tồi hơn thuật toán PBLS ở một số bộ dữ liệu.
Thuật toán GST cho chất lượng lời giải tốt hơn các thuật toán

ESCGA, BCGA, WONG, CAMPOS, ADD, SHC. Thuật toán GST
cho chất lượng lời giải tốt hơn thuật toán PBLS 23.8% nhưng tồi
hơn đến 33.3% trên các đồ thị Euclid.
Chương này đề xuất một thuật toán mới có tên gọi là TST để giải bài
toán MRCST, thuật toán TST được phát triển dựa trên thuật toán tìm
kiếm Tabu; đây là vận dụng đầu tiên của tìm kiếm Tabu vào việc
giải bài toán MRSCT. Thuật toán TST thừa kế được những ưu điểm
của thuật toán tìm kiếm Tabu trong việc giải bài toán tối ưu, Thuật
toán TST sử dụng chiến lược tăng cường hóa (tìm kiếm lân cận)
như các thuật toán SHC, PBLS; Thuật toán TST đề xuất một chiến
lược đa dạng mới.
Thuật toán TST cho chất lượng lời giải tốt hơn các thuật toán đã
được công bố trước đó như WONG, ADD, CAMPOS, SHC, PBLS,
ESCGA, BCGA trên mọi bộ dữ liệu; Thuật toán TST cho lời giải
chất lượng tương đương với thuật toán PBLS trên các đồ thị đầy đủ
Euclid và với thời gian tính nhanh hơn.
4.1.THUẬT TOÁN TST
Mục này luận án trình bày thuật toán tìm kiếm Tabu cơ bản; trình
bày các thủ tục tìm bước chuyển tốt nhất, cập nhật danh sách Tabu,
các chiến lược đa dạng hóa của thuật toán TST.
Với thuật toán TST, tính đa dạng được thể hiện qua việc khởi tạo cá
thể ban đầu ngẫu nhiên và khi chiến lược tăng cường hóa một lời
giải không còn được hiệu quả. Thuật toán TST sử dụng tính tăng
cường mạnh mẻ qua chiến lược tìm kiếm lân cận.
Độ phức tạp một lần lặp của thuật toán TST là O(mn).
4.2.THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ


19
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm thuật toán TST trên BDMRCST.

Với mỗi loại đồ thị, chúng tôi so sánh chi phí định tuyến và thời
gian tính thuật toán TST với các thuật toán SHC, PBLS, CAMPOS,
HCSRI, ESCGA, GST, ABC+LS.
Chất lượng lời giải
Đánh giá chung, trên 49 bộ dữ liệu thì thuật toán TST cho chất
lượng lời giải tốt hơn (tồi hơn) các thuật toán SHC (38.8%, 2.0%),
PBLS (12.2%, 10.2%), CAMPOS (100.0%, 0.0%), HCSRI (16.3%,
10.2%), ESCGA (88.6%, 0.0%), GST (14.3%, 2.0%), ABC+LS
(6.1%, 18.4%).
Thời gian tính
TST có thời gian tính nhanh hơn các thuật toán PBLS, ESCGA ở
mọi bộ dữ liệu đầy đủ của Julstrom. Thuật toán TST có thời gian
tính nhanh hơn các thuật toán SHC, PBLS, GST, ABC+LS ở các đồ
thị thưa. Với các đồ thị đầy đủ có kích thước lớn, thuật toán TST có
thời gian tính nhanh hơn thuật toán ABC+LS. Thuật toán TST có
thời gian tính chậm hơn thuật toán HCSRI ở mọi bộ dữ liệu thuộc
BDMRCST. Ưu điểm nổi trội của TST là cho thời gian tính nhanh
hơn các thuật toán đã công bố trước đó như SHC, PBLS, ABC+LS
trên đồ thị thưa. Cụ thể, với các đồ thị thưa, thuật toán TST có thời
gian tính chỉ bằng không quá 4.25% thời gian tính của thuật toán
SHC, không quá 41.71% thời gian tính của thuật toán PBLS, không
quá 0.30% thời gian tính của thuật toán ABC+LS. Thuật toán TST
có thời gian tính chậm hơn rất nhiều so với thuật toán CAMPOS.
4.3.KẾT LUẬN CHƯƠNG 4
Chương này đề xuất mới thuật toán TST dựa trên thuật toán tìm
kiếm Tabu để giải bài toán MRCST. Thuật toán TST cho lời giải với
chất lượng tốt hơn các thuật toán WONG, ADD, CAMPOS, ESCGA,
BCGA, GST, SHC, PBLS, HCSRI. Thuật toán TST cho lời giải với
chất lượng tốt hơn hoặc tương đương với thuật toán ABC+LS trên
tất cả các đồ thị thưa và đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên, tuy nhiên TST

cho lời giải với chất lượng tồi hơn thuật toán ABC+LS trên một số
đồ thị đầy đủ Euclid. Thuật toán TST cho thời gian tính nhanh hơn
thuật toán ABC+LS trên các đồ thị thưa và đồ thị đầy đủ có kích
thước lớn, thuật toán TST cho thời gian tính nhanh hơn các thuật
toán ESCGA, PBLS trên hệ thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn.


20
Các kết quả chính của chương này được nghiên cứu sinh công bố
tại tạp chí Công nghệ Thông tin và truyền thông [4], năm 2013.
Chương 5. THUẬT TOÁN BẦY ONG
Thuật toán TST có ưu điểm là có thời gian tính nhanh hơn các thuật
toán SHC, PBLS, GST, PABC, ABC+LS trên các đồ thị thưa. TST
cho chất lượng lời giải tốt hơn thuật toán GST nhưng TST vẫn tồi
hơn các thuật toán PABC, ABC+LS trên một số bộ dữ liệu đồ thị đầy
đủ Euclid.
Chương này đề xuất một thuật toán mới có tên gọi là BST để giải bài
toán MRCST. Thuật toán BST được phát triển dựa trên thuật toán
bầy ong cơ bản; bản thân thuật toán bầy ong cơ bản là một công cụ
hữu hiệu để giải quyết các bài toán bài toán tổ hợp NP-khó. Thuật
toán BST đề xuất mới các chiến lược tăng cường hóa và đa dạng
hóa; BST là vận dụng đầu tiên của thuật toán bầy ong cơ bản vào
việc giải bài toán MRCST (sơ đồ thuật toán bầy ong cơ bản này khác
với sơ đồ của thuật toán cơ bản mà thuật toán PABC phát triển).
BST cho chất lượng lời giải tốt hơn các thuật toán đã được công bố
cũng như các thuật toán mà luận án đề xuất như PABC, ABC+LS,
ESCGA, BCGA, TST.
5.1.THUẬT TOÁN BẦY ONG CƠ BẢN
Mục này luận án trình bày thuật toán bầy ong cơ bản từ công trình
“The bees algorithm - A novel tool for complex optimisation

problems” của nhóm tác giả D.T. Pham, A. Ghanbarzadeh, E. Koc,
S. Otri, S. Rahim, M. Zaidi (2006).
5.2.THUẬT TOÁN BST
Mục này luận án trình bày một áp dụng của thuật toán bầy ong cơ
bản vào việc giải bài toán MRCST.
Thuật toán BST sử dụng thuật toán cây đường đi ngắn nhất để tạo
quần thể ban đầu: mỗi cá thể là một cây đường đi ngắn nhất có gốc
xuất phát từ một đỉnh ngẫu nhiên nào đó của đồ thị.
Quần thể P có N cá thể, sắp xếp các cá thể trong quần thể P theo
chiều tăng dần theo chi phí định tuyến của các cá thể. Sau khi sắp
xếp, ta phân bố các cá thể vào ba nhóm: Nhóm 1 gồm h cá thể tốt
nhất, nhóm 2 gồm p-h cá thể tốt tiếp theo và nhóm 3 gồm N-p cá
thể còn lại của quần thể.
Luận án đã đề xuất cách thức phân nhóm các cá thể vào ba nhóm cá


21
thể để thực hiện việc tìm kiếm; đề xuất này là khác biệt so với cách
thức phân nhóm các cá thể theo thuật toán bầy ong chuẩn.
Luận án đã đề xuất hai chiến lược tìm cây khung lân cận; trong đó
chiến lược thứ nhất là mới so với các cách tiếp cận đã được công bố
ở các công trình liên quan giải bài toán MRCST và chiến lược thứ
hai đã được đề cập đến trong thuật toán HCSIR ở chương 2 của luận
án.
Luận án đã đề xuất hai chiến lược đa dạng hóa để làm tăng tính đa
dạng của lời giải: Chiến lược thứ nhất là chiến lược đa dạng đã
được sử dụng trong thuật toán TST ở chương 4 của luận án. Chiến
lược thứ hai là thực hiện đa dạng hóa bằng cách thay thế lời giải
đang xét bằng một cây khung ngẫu nhiên dựa vào kỹ thuật bánh xe
quay rulet.

Sơ đồ của thuật toán BST
Thuật toán BST trước hết là tạo quần thể ban đầu P, sau đó là lặp lại
các thao tác: Sắp xếp các cá thể thuộc quần thể P và phân bố các cá
thể vào các nhóm; mỗi cá thể thuộc nhóm 1 cho tìm kiếm lân cận k
1

lần, mỗi cá thể thuộc nhóm 2 cho tìm kiếm lân cận k
2
lần, các cá thể
thuộc các nhóm 1,2 đã được khai thác cạn thì được thay thế bằng
một lời giải ngẫu nhiên (thực hiện đa dạng hóa lời giải). Trong mỗi
bước lặp, quần thể P đã được cập nhật thông qua các thao tác tìm
kiếm lân cận và tìm kiếm lân cận ngẫu nhiên. Khi thuật toán dừng,
cá thể tốt nhất tìm được trong quá trình thực hiện thuật toán được
công bố làm lời giải cần tìm.
Độ phức tạp một lần lặp của thuật toán BST là O(Nn
2
+ Nlog N).
5.3.THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ
Trong chương này, luận án đã so sánh thuật toán BST với tất cả các
thuật toán đã được khảo sát đến, qua đó có một cái nhin tổng thể về
chất lượng của các thuật toán và cũng để thuận tiện khi cần so sánh
các cặp thuật toán nào đó với nhau.
Chất lượng lời giải
Đánh giá chung, với 49 bộ dữ liệu trên, thuật toán BST cho chất
lượng lời giải tốt hơn (tồi hơn) các thuật toán WONG (100.00%,
0.0%), CAMPOS (100.0%, 0.0%), SHC (40.8%, 0.0%), PBLS
(24.5%, 0.0%), HCSRI (24.5%, 0.0%), HCSIR (26.5%, 0.0%), TST
(18.4%, 0.0%).

22
Đánh giá chung, với 49 bộ dữ liệu trên, thuật toán BST cho chất
lượng lời giải tốt hơn (tồi hơn) các thuật toán ESCGA (88.6%,
0.0%), BCGA (100.0%, 0.0%), GST (20.4%, 0.0%), PABC (17.1%,
2.9%), ABC+LS (18.4%, 2.0%).
BST tốt hơn ABC+LS ở 9 bộ dữ liệu, trong đó có 6 bộ dữ liệu nằm
trong số 35 bộ dữ liệu đã được các công trình khác công bố chất
lượng lời giải và 3 bộ dữ liệu nằm trong số 14 bộ dữ liệu mà luận
án đã bổ sung.
Thời gian tính
Thuật toán BST có thời gian tính nhanh hơn các thuật toán SHC,
PBLS, TST ở các bộ dữ liệu đầy đủ của Julstrom và có thời gian
tính chậm hơn so với các thuật toán SHC, PBLS, TST trên các đồ thị
thưa. Cụ thể, với các bộ dữ liệu đầy đủ của Julstrom, thuật toán BST
có thời gian tính chỉ bằng không quá 52.37% thời gian tính của
thuật toán SHC, không quá 45.30% thời gian tính của thuật toán
PBLS, không quá 51.87% thời gian tính của thuật toán TST. Thuật
toán BST có thời gian tính chậm hơn các thuật toán SHC, PBLS,
TST trên các đồ thị thưa.
Thuật toán BST có thời gian tính chậm hơn thuật toán HCSRI trên
mọi bộ dữ liệu thuộc BDMRCST.
Thuật toán BST có thời gian tính nhanh hơn các thuật toán ESCGA,
BCGA, PABC, ABC+LS ở mọi bộ dữ liệu thuộc BDMRCST. Cụ thể,
với các bộ dữ liệu đầy đủ của Julstrom, thuật toán BST có thời gian
tính chỉ bằng không quá 22.27% thời gian tính của thuật toán
ESCGA, không quá 58.56% thời gian tính của thuật toán BCGA,
không quá 94.37% thời gian tính của thuật toán PABC, không quá
93.15% thời gian tính của thuật toán ABC+LS. Với các bộ dữ liệu
đồ thị thưa, thuật toán BST có thời gian tính chỉ bằng không quá

12.73% thời gian tính của thuật toán ABC+LS. Thuật toán BST có
thời gian tính nhanh hơn thuật toán GST trên đồ thị thưa, nhưng
chậm hơn trên các đồ thị đầy đủ.
5.4.KẾT LUẬN CHƯƠNG 5
Thuật toán BST là công trình đầu tiên giải bài toán MRCST được
phát triển dựa trên thuật toán bầy ong chuẩn, thuật toán BST đề xuất
mới cách thức phân bố các cá thể vào các nhóm cá thể để thực hiện
việc tìm kiếm, thuật toán BST đề xuất mới chiến lược tăng cường


23
hóa và đề xuất cách thức áp dụng chiến lược đa dạng hóa vào trong
sơ đồ thuật toán BST. Kết quả thực nghiệm trên hệ thống dữ liệu
thực nghiệm chuẩn cho thấy thuật toán BST cho chất lượng lời giải
tốt nhất trong số các cách tiếp cận hiện biết. Thuật toán BST cũng
cho thời gian tính nhanh nhất khi so sánh với các thuật toán
metaheuristic có chất lượng lời giải tốt nhất đã khảo sát trên hầu hết
hệ thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn.
Các kết quả chính của chương này được nghiên cứu sinh báo cáo
trong hội nghị ICTFIT2012 tháng 4/2012 [3], sau đó được chỉnh
sửa và công bố tại tạp chí Tin học và điều khiển học [5], năm 2013.
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
KẾT LUẬN
Luận án đề xuất một số thuật toán mới dạng metaheurristic giải
quyết bài toán MRCST. Đó là các thuật toán tìm kiếm leo đồi
HCSRI, HCSIR, thuật toán di truyền GST, thuật toán tìm kiếm Tabu
TST và thuật toán bầy ong BST.
Đóng góp mới của luận án là sự tổng hợp các thuật toán trên với các
kỹ thuật tìm kiếm lân cận trên cơ sở đặc tính của bài toán MRCST.
Theo hiểu biết của tác giả luận án, luận án là công trình đầu tiên

phát triển thuật toán dựa trên tìm kiếm Tabu và thuật toán bầy ong
để giải bài toán MRCST ; trong các thuật toán TST, BST; luận án đã
đề xuất một số chiến lược tăng cường hóa và đa dạng hóa mới. Các
thuật toán HCSRI, HCSIR đề xuất cách thức tìm kiếm lân cận mới
so với các thuật toán tìm kiếm địa phương đã công bố trước đó như
SHC và PBLS; đề xuất này có hiệu quả rõ nét đối với các đồ thị thưa
và đồ thị đầy đủ ngẫu nhiên. Thuật toán GST đề xuất các phép lai và
phép đột biến mới, khác biệt so với các phép toán di truyền trong
các thuật toán di truyền trước đó.
Kết quả thực nghiệm trên hệ thống dữ liệu thực nghiệm chuẩn cho
thấy rằng: Các đề xuất này cho chất lượng lời giải tốt hơn hoặc có
thời gian tính nhanh hơn các thuật toán trong cùng lớp và phần lớn
các thuật toán đã được công bố trước đó. Cụ thể, các thuật toán
HCSRI, HCSIR cho chất lượng lời giải tốt hơn các thuật toán xấp xỉ,
các thuật toán heuristic và các thuật toán di truyền đã công bố là
WONG, GENERAL STAR, PTAS, ADD, CAMPOS, ESCGA, BCGA.
Các thuật toán HCSRI, HCSIR có ưu điểm cho chất lượng lời giải
tương đương các thuật toán metaheuristic tốt nhất trên loại đồ thị
đầy đủ ngẫu nhiên và đồ thị thưa trong thời gian nhanh hơn hẳn;